概要信息：

E 答案 (-1,0].
答案
第1章函数与极限
由反余弦函数及对数函数的定义域知,
—1W 2x +1W1
3x + 2>0
—1W % W 0
即1 2
x > —[3
2
故—< x W 0 , 
3
得函数的定义域外=卜-或卜：,0
]_
x
答案 3,
-2-1 
仆2)=刃=3,
/[/«] =
/(%)-1 
/W + 1
x-1
----------1
X + 1
x-l 1
X + 1
]_
X
3 答案
4x + 4 + l 
x
+ 5.
El答案
1 ? 2
令，=上,贝！j/«)= 〃 + [ + l, BP/(x) = 4x + —+ 1. 
X t x
2 ?
小")=…)+ ?7717 + 1 =叱+?7717 + 5.
(-00,-4] U [4,+00), - 5 y .
A
由反正弦函数的定义域知，解得xW-4或x24, 
定义域 0=(-吗-4] U [4,+8).
答案 (C).
f (-4) = arcsin(-l)=-
1 y
因为"'"Xi, -片 n
1
 - 2
=arcsin
102 第1章函数与极限
所以，--=sinf--sin一口 Wsin(乌]=也,故选(C).
2 I 4J 2(1+ x2) UJ 2
一^7本题很容易错选为(A).
0答案
96
因为 亨]=arccos^-=/ g(-l) = arctan(-l) = 一；, h⑵=arccot 1 =；.
1 4 4
令』+『得加) = —,即/)=工
6E1答案 1
12
0.
因喟 71< —
3
,所以/由7
\6J 7i 6
.71 sin —
6
1 1 1=—x —=—
6 2 12
同理,
8
因为2＞三，所以f(2) = 0.
El答案 g(x) = ；arctan(x2 -1), Dg = [-V2, V2].
用 g(x)替换 /(x)中的 x ,得 /[g(x)] = tan[2g(x)],因为 /[g(x)] = x2 -1 ,
所以 tan[2g(x)] = x2 -1 ,即 2g(x) = arctan(x2 -1) => g(x) = ； arctan(x2 -1).
已知|g(x)|《3 W|arctan(x2-l)|^-,利用反正切函数知 
8 4
-IW——iwinOW—W2,即一行WxW收，故定义域为[—行，后].
的答案 (-oo,+oo) , 4, 1, 1.
画函数＞ =0 =、2,〉= 1的图像，比较大小可得
第1章函数与极限 103
(p(x) = max{x, x2,]}
。1x0 
=<
x2, |x|>l
定义域为|x|Wl与|x|>l的并集，即q=(-8,+8).
由 |一2|>1,得姒-2) = (-2)2 = 4 ；由 |一1| = 1,得夕(_ 1) = 1；而|0|vl,得°(0) = l.
叵 答案 /[gW]= <
—1, X < 一
2
1, x —
. 2
矶/(%)]=
f-3, x< 0
[1, x20
用g(x)替换/(%)中的工 ,得
—1, g(x) < 0
1, g。)20
代入g(x)J—1, 2% — 1 < 0
= ]A, 2120
用/W替换g(x)中的工 ,得
1
 - 2
 .
1
 - 2
 
<
 
2
 
X
 
X
1±- 
L
猫(切=
g"(x)] = 2/(x) —1
代 A/(x)J 2 x (― 1) — 1, x <0
=[2x1-1, Q0
[0答案 加(切=<
2-x,
2 + ,
矶/(%)]= ,
a-x)2,
、(2 + x)2,
x < 0
xN 0
x < 0
工2 0
用g(x)替换f(x)中的X ,得
f[gM]=
2-g(x),
2 + g(x),
g(x) < 0
g(%) 2 0
12题-图
由g(x)的定义知，当x<0时g(x) = x<0 ,当x20时g(%) = %220 ,代人上式得
/Ig。)]=
2 — x,
2 +f,
x<0
x20
画函数 y = =
12 + x,
Y < 0
、八的图像，可知/(x)22〉0, 
工30
用/(x)替换g(x)中的工 , 得 g"(x)] = <
/(x), /(x)<0 (不存在) 
/2(x),/(x)^0
所以
国答案
g[/(X)] = /2(X)= <
2x + l + sinx, x< 0
f (x) + g(x) = \x2 +l + sinx,
(2-x)2, 
(2 + 4,
(2x + l)sinx, 
/O)g(x) = ((/ +l)sinx,
x<0
0 < x<兀.0 ,
x < 0
x20
X2 +1 + COSX, X，兀 (x2 +l)cosx, 兀
104 第1章函数与极限
将/(x),g(x)在数轴上分段写出表达式:
f(x)= 2x4-1 X2 +1 X2 +1
-------------------- 1----------- 1--------------- ► X
O 兀
g(x)= sinx sinx cosx
贝 I」/W + g(x)= <
2x +1 + sin x, 
x2 +1 + sin x, 
X2 +1 + COSX,
(2x + l) sin x, x < 0
0 x < 7t, / (x)g(x) = <(x2 +1) sin x, 0W%〈兀.
X271 [(x2 +1)COSX, X 71
[H答案
-4x 
k(l + 4 .
设上小)，令”后，则”吕
即= 解得％ = 塔一i
1 + ) (1 + 方
1-y nt =--
1 + y
—4y 
(i + y广
反函数为^=
-4x
(1 + 4
的答案 (D).
x < 0
(A)由 f(-x) = [(-x)2 +1] sin3(-x) = -(x2 +1) sin3x = -f(x)知，
/(%)为奇函数.或利用“奇函数x偶函数=奇函数"知，/COXV+Dsi/x是奇 
函数.
(B)因为 g(-x) = ln(-x + [(-丫丫 +力)=ln(-x + Vx2 +a2 )
=ln
a2
G +q2 + X
所以g(x)不是奇函数，也不是偶函数.
一**^当〃= 1时，g(x)是奇g函数.
©由〃(_止1^ = _1^ \ _3)知，g)为奇函数.
2X +2 x 2 x +2X
(D)因为(p(-x) = (-x)2 sec(-x) + esc2 (-x) = x2 sec x + csc2x =(p(x),
所以以幻为偶函数.故选(D).
也可由“偶函数+偶函数=偶函数"知夕(X)为偶函数.
E答案
(A)令尸(%) = /"(切，由/㈤为奇函数,f(-x) = -f(x), 
得
尸(f) = /[/(-x)] = /[-/(x)] = -/[/«] = -F(x), 
所以，尸0) = /[/(切是奇函数，故选(A).
第1章函数与极限 105
类似可推出(B)、(C)、(D)都是偶函数.
评注J
两个奇函数复合是奇函数，一个奇函数与一个偶函数复合是偶函数，两个偶函数 
复合是偶函数.此结论可直接使用.
答案 单调递增.
方法一：利用定义./(%)的定义域为0 =(-8,+8),对任意的国,工2 £(-°°,+00), 
当再 <工2 时，/(^2)-/(Xi) = X2 一 %； +2(% -玉)
=(乙一/)[再+；/] +?君+2 > 0 ,
即/(^2)> /(再)，所以/(X)在乌=(-叫+8)内单调递增•
方法二：利用导数.因为/'(%) = 3/ +2 >0/£ (-8,+8),所以/⑴在0=(-8,+00)内单 
调递增.
无界，有界.
/(%) =」,% £(2,3).
x-2
方法一：利用定义.对任意大正数取与=」一+ 2e(2,3),有
M + 1
/(x0)=」一=------= M + 1>M ,即/0)在(2,3)内无界
%-2 ^_ + 2-2
M + 1
方法二：利用极限的性质.因为lim /(%) = lim —^― = +oo , 
xf 2+, _ 2+ x-2
/(%)=—匚在(2,3)内无界.
x-2
由极限的性质知
/(%) = -- ,X G (3,+00), 由 1<%-2<+8 => 0 <-- < 1 , 
x-2 x-2
所以/(幻=」_在(3,+00)内有界 
x-2
在各种考试中，多用极限判定函数的有界性.
密答案
因为/(x + S = 2 + cos2 2(工 + 费一1 =2 + cos2 (2x - 1 + 冗)
= 2 + cos2(2x-1) =/(%), 
所以〃x) = 2 + cos2(21)的周期为会
国答案 (B).
画出/a)=x-［幻的图像.
|图答案I
1
2
106 第1章函数与极限
由0W/(工)<1 = /(')有界，且是以1为周期的周期函数.
事实上，f(x + l) = x + l-[x + l] = x + l-([x] + l) = x-[x] = f(x).故选(B).
团答案
n 1n 同时除以〃 1
'F一二
n
,BP limxw = lim8 2 W—>00 w—>00 2〃 + 1 2
【证明】对任意给定的£>0,要使
11 I n 1
当―5『|罚一5<八
即一-  
2(2%+ 1)
<£ ，解得〃 >------
4s 2
取正整数N=— 
4e 2
（或N= —+1）,则当〃 >"时，恒有 
4e 2
故 limx = lim------- =—
w—>oo nfg 2w + l 2
该极限取决于参变量x,需讨论.
|22|^^ limx"=<
W-»00
0, |%|<1
1, X = 1
不存在,x = -1
、8, |%|>1
当 |%|vl 时，limxw=0 (如 lim 仕[=0 );
8 ns 12 J
当x = l时，limxw=limln=l;
W—>00 w—>00
当x = -1时，limx〃=lim(-1)〃不存在，数列｛(-1)〃｝振荡发散;
W->00 w—>00
当|x|>l时，limx〃=8,极限不存在，数列｛/｝无穷发散.
需讨论参变量X.
0, |x|00
00, |x|>l
0, x<0
因答案I lim nx = < 1, x = 0 .nfg
8, X > 0
当 x<0 时，lim«x =0 (如 lim〃T =lim，= 0 ); 
77—>00 W->00 九 〃
当 x = 0 时，limwx = liml = 1 ； 
w—>oo ns
当x>0 时，lim«x =oo (如 lim〃2=oo).
第1章函数与极限 107
0, x < 0
所以，x = 0.
W—>00
oo5 x > 0
--722题与23题在各种考试中经常出现，需辨析清楚，结论可直接使用.
国答案
数列的通项记作马，设左为正整数，则
当〃 =21时，！吧' =呵— 
当〃 =2左时，limx2^ = lim^ = 0.
0;
2k
因为 lim%2i = limx2yt = 0 ,所以 limxn = 0.
后f 8 左一>8 W—>00
I国答案I 1.
设左为正整数，则
C 7 1 1 ~ ~--Mz …口4 1- v 2左+ 1同时除以2A 2k i
当〃 =2左时，limx9, = lim--------—= lim— 半=1 ；
i "左一8 2左+ 2 kfs 1
1 H-------
k
当〃 =2左一1 时，lim%1=liml = 1. 
上一>8 左一>8
因为 limx2jt_1 = lim/左=1 ,所以 limx〃 = 1.
上一>8 ks 〃一>8
国答案 (D).
记数列西，乃五王，…，了”〃，…的通项为Z〃，因为
limz2〃 = lim% = 1, limz^^ = lim% = -1, limz2„ w limz^^ ,
w—>oo w—>00 ns w->oo w—>oo w—>oo
所以，limz〃不存在，故选(D). 
W->00
国答案
逐个命题考察.
①若limx〃=a,由r-N”定义“对任意给定的£>0,存在正整数N,当〃〉N时，恒 
〃一>8
有-a|<£"，从而使| |x〃 |-0 |<|%〃-。|<£ 成立，故lim|%| = |a|,①正确.
W—>00
②若取xn = (-l)n ,则 lim I xw I = lim I (-l)w | = 1,但 limx〃 不存在,②不正确. 
W—>00 8 W-»00
③若limx〃=a,则任意子数列极限都是a,故lim%3〃+i=a,③显然正确. 
77—>00 77—>00
④中，若Q = o,命题不成立；若4W0,命题才成立，故④不正确.
综上所述，应选(B).
|因提示| 找出两个子数列，其极限不同.
【证明】t己％ =(l + ；］sin/,设左为正整数.
108 第1章 函数与极限
8左冗
若"8左时,则匣“庭l1 + iJsinV 口吧° = °；
上一>8 上一>8 k—>oo
若% = 8左+ 2 时，贝！j lim/k+2 = lim 1 + 
上一>8 ks \
1
8k+ 2
=L
所以limx„不存在，即+ Rsin?卜勺极限不存在.
图提示 利用定义
【证明】对任意给定的£>0,要使
l-4x2 , 仆 = |l — 2x |二2
1
需
1
<£ , x----X
2x — 1 2 2
若，取5嗅
当0< 上但-(-2)-00 X->-00 X—>4-00 X->+oo
因为 lim /(x)w lim /(x),所以 lim/(x)不存在.
X—>-00 X->4-oo X->00
(2) lim f (x) = lim arccot(l - x) = 0, lim f (x) = lim arccot(l 一 x)=兀,
X-»-00 Xf+00 X->+oo
因为 lim /(x)w lim /(x),所以 lim/(x)不存在.
EJ答案
X—>-00
I 0.
X->+00 X->00
分段点为x = 0,需考察左、右极限.
lim f (x) = lim(x + l)sinx = 0, lim f (x) = lim(l-cosx) = 0 , 
x->0- x->0- x->0+ x->0+
因为 lim /(x) = lim /(x) = 0 ,所以 lim/(x) = 0 .
x->0" x-0+ x->0
函答案 不存在，0,丧，不存在•
因 "k
1
x —
2
1
事实上，由 lim/(x) = limln(l - x) = -oo 知，lim/(x)不存在. 
x―r x-»r xfi
当 x - 0时，x < 1 => /(x) = ln(l-x),贝！J lim/(x) = limln(l-x) = Ini = 0 .
Xf 0 x->0
当x - 2时，x> 1 =>/(x) = , ,则limf(x) = lim-y 1• = .
a/2x + 1 -2 J2x + 1 V5
第1章 函数与极限 109
因为 lim f (x) = lim ln(l -x) = +oo, lim f (x) = lim /------- = 0 ,
X->-oo Xf-00 X—>4-00 X->+oo V2x + 1
所以lim/(x)不存在.事实上，由lim/(x) = +8知，lim/(x)不存在. 
X->00 Xf-8 X->00
本题应注意分段点x = l处，需讨论左、右极限；x = 0,x = 2不是分段点，不需 
求左、右极限；X f8的极限，需考察X f-00,1->+8的极限.
函答案 1,不存在，0, -1,1, —1 ,不存在.
看图可得lim /(x) = 1.
Xf—1
x = 0 是分段点，lim f (x) = 1, lim /(x) = -1,二者不等，故 lim/(x)不存在. 
xf(r x->o+ x->o
x = l 是分段点，lim f (x) = 0, lim /(x) = 0 ,二者相等，故 lim/(x) = O.
x = 2是分段点，lim f(x) = -1, lim/(%) = -1 ,故lim/(x) = -l.
xf2- x-2+ x-2
当 x < 0 时，/(x) = 1 ,则 lim /(x) = 1.
当x>2 时，/(x) = -l ,贝IJ lim/(x) = —1.
X-^4-oo
因为 lim /(x)w lim /(x),所以 lim /(x)不存在.
评注
1, x < 0
0, x = 0
本题也可以通过图像先求出函数/(X)= 1 X -1, 00,所以/(x)<0. 
X
故选(B).
(A)错在“任一”去心邻域，(C)错在"〃x)WO”，(D)错在“任一”去心邻域.
函答案
由极限的局部保号性知，(A)正确，(B)错误.
(B)的反例:/(x) = |x|,g(x) = |2x| ,虽然/(%) vg(x),但雪/(%) = :鸣g(x) = O.
(C)错在“任意的工 ”，应在飞的某去心邻域内，有/(x) < g(x) .
(D)错误，因为lim /(%) = Z与/(x)在点与是否有定义无关.
XfXo
故选(A).
110 第1章函数与极限
提 7F 找两个不同的数列，使其极限不同.
、 兀、
【证明】 取入〃 =2mt, >〃 = 2〃兀 + —,满足 limx〃 =+8, limy〃 =+8. 2 w—>00 77—>00
因为 lim x cos x = lim[2〃兀 cos(2wti)] = +oo Jim y cos y = lim 2rm + — cos 2mt + — = 0,
W—>00 W—>00 I 2 ) I 2 J
由海因定理知，lim xcosx不存在.
Xf+ooion
类似可证，lim xsinx不存在；limsin」不存在；limcos」不存在. 
%- x—>0 % xf 0 x
国提示 利用极限的X”定义.
【证明】因为lim/(x) = 4,所以对给定的£ = 1,存在正数X>0,使得当|x|〉X时，恒有 Xf 8
"⑸-力|<£ = 1；
\f(x)\ = \f(x)-A + A\^\f(x)-A\ + \A\0,当 |x|>X 时，\f(x)\)局部(在 |x|>X 内)有界.
5]提7F
x->0
【证明】方法一：利用极限定义.
对任意给定的£〉0 ,要使|y-0|= 2xsin --0 = 2|x|- sin— ^2|x|<^ , 
x x
需,取b =].
对任意的£>o,存在b = ]>0,当0<|x —0|0,存在/ = [〃 + 1]兀，使得 
L»取整数
| y(x0)\ = [M + 1] 7f| cos([M + l]兀)| = [〃 + 1]兀 > 〃， 
所以歹=%35%在(-8,+8)内无界.
而当％ f+8时，》却不是无穷大.
因为当取当=(2〃 + 1)] f+8 时，有 y(xn) = (2w +1) - cos^(2n +1) = 0 ,
第1章函数与极限 111
|歹|不能无限大，limy woo,故y = xcosx不是无穷大. 
Xf+00
同理，当X f—00时，y = xcosx不是无穷大.
j―«无穷大是无界变量，反之，无界变量未必是无穷大.
国答案 % -0-，/(%)是无穷小，x-»0+ , /(%)是无穷大;
X f o，g(x)是无穷小，x-»oo , g(x)是无穷大.
因为lim/(%)= lime" =0 ,所以当％ — 0一，/(%)=铲是无穷小. 
x-^0~ xf (T
因为 lim/(%)= lime*  =+8 ,所以当n->0+时,/(%) = e*  是无穷大.
x->0+ x-0+
当 x f 0 时，lim g(x) = lim x arctan x = 0 , g(x)是无穷小. 
x->0 xtO7C
当x f+oo 时，arctanxf —wO,贝(J lim g(x) = lim xarctanx =+8 .2 X—>4-00 Xf+oo
7T
当 了—>—8 时，arctan x — wO,贝！J lim g(x)= lim xarctanx = +oo .2 X—>-00 X—>-00
所以，当xf 00时，g(x)是无穷大.
IEI1答案I (D).
方法一：逐项考察.
2 x
因为 lim f(x) = lim------ = 0, limg(x) = limln(x + l) = 0 ,所以(A)正确.
xf 0 x->0 % — 2 %—° x->0
i r _o 无穷小与无穷大的关系
因为 lim------ = lim------- = 0 =>
x-2 y(x) 7 2x
9 v 
lim f (x) = lim------ = oo ,
Xf 2 Xf 2 x — 2
所以当％-2时，/(%)是无穷大.
lim g(x) = lim ln(x +1) = In 3 ,因此 g(x)局部有界.故(B)正确.
x->2 xf2
lim g(x) = lim ln(x +1) = -oo ,即当 x —> -1+ 时，g(x)是无穷大.
X+1+ Xf-1+
7 v 7
lim /(x)= lim * =-,因此/(x)局部有界.故(C)正确.
X+1+ Xf-1+ x-2 3
排除(A)、(B)、(C),应选(D).
方法二：直接判断(D),更简单.
因为 lim g(x) = lim ln(x +1) = +oo ,所以当 x f +oo 时，g(x)是无穷大. 
X->4-oo X—>+oo
但lim /(x) = lim二♦时除也］而―= 2 ,即当xf+8时，/(%)有界，非无穷大.
X—>+oo X—>4-00 X _ 2 X->4-00 2
1----
故选(D).
国答案
方法一：反证法直接推导.
若‘■为无穷小，即lim’ = 0,已知limx〃y〃=0,即lim学=0,
_V »->00 X 〃->8 〃->8 1
112 第1章函数与极限
则必有limy” =0.否则，若limy〃。0 = lim2 = 8 ,与题设矛盾. 
力-8 W—>00 77—>00 £
所以然必为无穷小，故选(D).
方法二：反例排除法(自己试一下吧).
函答案
Q 4
⑴因为limsinx = 0, 2 +cos— ^3 ,所以当xfO时，sinx是无穷小，2 + cos—有界. 
5 X X
由无穷小的性质知sinx(2 +cos3)是无穷小，故limsinx^2 + cos—^ = 0 .
1 jr _ _
⑵ 因为lim------- = 0, lim arctan 12x +11 =—,由无穷小的性质知
Xf 8 2% + 1 Xf 8 2
高.…3”仍为无穷小，故物甯詈h=°・
图答案
(A)中，考察倒数的极限，由1曲3卫蟹* lim 0 + 4=0知, 
x->+oo % x->+oo Y % x，
(B)中，因为 lim—■工蟹工~^ = 9 = 0 ,而 |3-2sinx|W5
X->002x4+x3 X—>00 12
Z H---
1 X
知 lim —- (3 — 2 sin x) = 0 ,即(B)是无穷力、.
xf0° 2x + x
由无穷小的性质
、[, ]. sin 2% 等价代换「 2x 1. 2 /c、
因为 lim ——=lim 一方=hm 7 = +8 ,排除(C).
Xy/X X->Q+ XyJ X XT0+ y/x
rpt >r. -a > 111(1 + X)等价代换X 1 八-LjprzA^ /c、
因为 lim—----- - -- lim- = I w 0 ,排除(D).
xf ° X x->0 x
故选(B).
EB答案
方法一：反例排除法.
取4 =3=1/〃 =2,满足题设条件，当〃 = 1,2,3时，马>)〃,外，2〃，
即(A)和(B)都不正确.
由 limx z =lim(3xD] = liml = l 知，(C)不正确.
M->00 3) ns
排除(A)、(B)、(C),故选(D).
方法二：直接计算.
由 limz〃 =oo =^> lim— = 0 , 已知 limlim—= 1,
第1章函数与极限 113
利用极限的运算法则，lim」一 = = 1x0 = 0 ,
W—>00 y z W—>00 y >oo z
由无穷小与无穷大的关系知]imynzn = oo ,即limy总不存在，故选(D). 
W->00 8
若 lim f(x) = 0,limg(x) = oo ,则 lim f (x)g(x) = oo .可直接选(D).
ES答案
方法一：利用极限与无穷小的关系.
由 limjl + 2% + ] = 4 ,得 1 + 2x + = 4 + a,其中 lima = 0,
—o I x J x xf o
解得 /(x) = x(3 -2x + a),贝!j lim f(x) = limx(3 -2x + a) = 0. 
x->0 x->0
方法二利用极限的运算.
由 lim(l + 2x + ^^] = 4 ,得
Xf。I X )
liml + lim2x + 1而八”)=4 n lim /°)= 3 ,则必有 lim /(x) = 0 .
若不然，lim/(x)wO,而limx = 0,则 Hm*“)= 8 ,与lim= 3矛盾. 
x—>0 x->0 x—>0 x x—>0 %
充要
7本题是由已知极限，求另一极限，方法一利用“lim/(x) = 4o/a)= N + a”(其 
中a为无穷小)，是解此类题的通用方法.
方法二利用重要知识点：1而丝 =/(常数)，且limg(x) = 0,贝iJIim/(x) = 0.
Xf “° g(x) x-“° Xf 与
E3答案
方法一：因左为非零常数，/(X)是无穷大，由无穷大的性质知
为(%)是无穷大,即lim左/(无)=00,故选(C).
方法二：由题设条件知，/(x),g(x)的极限不存在，不满足法则1的条件，从而(A)和(B)不正确. 
(A)不正确,则(D)也不正确.排除(A)、(B)、(D),故选(C).
国答案
% 八 X 八 xj XJ XJ XT81 XJ
liml-lim—
X—>00 X—>00 X lim 2 +lim
x—>oo Xf 8
= (l-0)x(2 + 0)x(3-0) = 6.
国答案 —6.
_ . 27r2smxH-----
lim-------------
x->- cos 2x
2
除法、加法
2九
2 lim sin x + lim —71
2
lim cos 2x
x->-
2
旧工 2 + 4 ,
-------二—6.
—1
114 第1章函数与极限
雨答案
3
⑴ 8； (2)
显然分母的极限为0,分子的极限不为0,考虑倒数，
3 1 lim(x3+l) o
lim .十,---I_______________ = ___0
x2 -x-3 lim(x2 - x-3) -1 ’
由无穷小与无穷大的关系得limx2-X —= 00 (极限不存在).
…X3 +1
(2) + 2五-dn-G) == lim 1----------- 〃厂 一
3° …6+ 2«+八-G
lim
W->00
除法
lim 3nfg
常出现的经典错误:
=00 — 00 = 0
lim J1 +
w—>00 \
① lim---------------- =lim-------- lim ——
+ l X +1J x+1% + 1 x+11 +1
00 — 00
评注J
一^ 本题属于每一项的极限都不存在，故不能直接用减法法则.
团答案 (1)|； (2)2.
x2 +x-6 (x-2)(x + 3)约分 x + 3 除法螃(x + 3) 5
(1) hm-.............= lim-------- - ------ - =lim------ =--------- =-
x^2 x -x-2 - 2(I_2)(x + 1) x-2 % +1 lim(x + 1) 3
x->2
⑵理福续盛3” 丝映…G+d
=lim(x +1) - lim(Vx + l +1) = 1x2 = 2. 
x-»0 x->0
函答案 0.
lim
X—>00
2x2 + x cos x 同时除以/
x3 -xsinx + 1
除法、加法
2 1
—I—y cos X
lim I )-----------
X->00 1 1
1 —s sin x H—r-
X X
「 2 「 1 lim—+ lim-^-cosx
X—>00 X X—>00 X
i r
lim 1 - lim -ysinx + lim 不
X->00 Xf 8 X X->00 X
T=o-
同除以«
-^ + lim 1- 
y/n f
=0.
1
4n
3
2
其中，liml = 0,1 sinx | W1J cosx | W1 ,由无穷小的性质得 
~8%
第1章函数与极限 115
lim-^-sinx = O, lim^-cosx = 0.
x—>00 x' X—>00 JQ
评注J
一^u利用法则求极限，常用的技巧：约分、分子分母同时除以或乘以一个函数、通 
分、有理化、取倒数等.
困答案 ⑴》⑵士
/八 r^_lx 通分 1. 1 + 2 H----- F n(1)原式=hm------ ----------
g n +1
1 / 1、
— n(n +1) 1 2 .
「2 1 v n +n=lim -^―r------- = — hm ------
〃+0 n +1 2 〃-00 n +1
£
2
/c、求和[.~a~~cF^ 1- /_]
(2)原式 =lim——q— = lim-------
8 1 ns 优
1-----
a
其中,
国答案
当 a > 1 => lim — = 0.
M->00 /
5
(1) -00 (或8)； (2) .
/ 八 1- 1 k + \ 求和[.(1) hm > In------ = lim
片 k + 2 〃f°°
12 3
In —F In —F In —I- • • , + In 
,234 7+2)
对数性质 limln 1x2x2x...xZL±1
W—>00 2 3 4 n + 2
=lim In
W->00
1 ------ =—00 .
n + 2
⑵原式型lim
ns
n + \
Jl + 2 -I----- F(7 + 1) + Jl + 2 -I----- Ft
求和=lim
ns
n + 1
2
5+ 1)5+ 2) ।
典丝亚lim
W—>00
1+-
n
2 1+1 w 
n
53题和54题是关于和的极限，后续内容仍有涉及.
-ln2. 
2
答案
i i
将函数值代入，原式= lim《ln(2j22x…x2〃)=lim-71n2 
〃foo / 〃T8 Yl
-2-
1
1 c「心+ 1) 1 1 o=In2- lim----- ；- =—m2 .
—8 2n2 2
明答案
1 — 6Z
分子分母同时乘以(1 — 6Z).
原式—]而(1")(1 + ")(1 + 42)(1 + “4>一(1 + 42)_Hm(l a2)(l + a2)(l + a4>・・(l + a2) 
〃->8 ] — Q 〃->00 ] — a
hm (1 - a" )(1 + a，)…(1 + a?) 1 - lim / | i
n48 _ 1
\ — a1 — w—>00 1 - a
116 第1章函数与极限
其中,当 | a | V1 => lim/” = o .8
Wal
55题和56题是关于积的极限，先求积，再求极限.
国答案
含指数函数ek,需分别考察xf --1+的极限.
lim f (x) = lim ----- - ex+1 lim (x — l)ex+1 lim (x-1)- lim ex+1 =-2x0 = 0 ;
x->-r x-—r x +1 x->-r x-^-r x->-r
如J(x) = Um^e-丝 Hm(x-l)e i
；x+1 = —00 .
i
其中，lim (x -1) = -2 0, liin ex+1 = +oo ,由无穷大的性质知 lim /(x) = -oo.
因为lim /(x)w lim /(x),所以当xf-1时，/(%)的极限不存在. 
x—>—1 x—>-1+
，含指数函数e “时，需分别求〃 f-oo,” f+oo的极限.
困答案 不存在.
由于根号里面是X的二次多项式，因此需考察X-»-OO?X->+0O的极限.
lim(Vx2 +x + 3 - Vx2 -x + 3) 22= lim / _ % /...... -
i i + % + 3 + G — % + 3
上式分母提V并开方，
同理,lim(J/ + % + 3 - Vx2 -x + 3) 2^： lim / _ % t----- -
f 8 - &+X + 3+&2 —x + 3
因为 lim(Jx2 +丁 + 3 一飞x2 - x + 3) w lim(Vx2 + x + 3 -\lx2 -x + 3) 
X^-00 X—>+oo
所以 lim(J」2 +% + 3 - V%2 - x + 3)不存在.
Xf 8
艮多同学直接用减法法则得出“00-8 = 0”是错误的，请找出错误的原因.
国答案 1.
lim ln(tanx)
lim(l + sin 2x)33、)= lim(l + sin 2x)忖 =(1 +1)1nl = 2° = 1.
n 兀x->_ x—>—
4 4
第1章函数与极限 117
E3答案 (B).
因为lim
X->00
X2 +XC0SX-1同时除以/
2x2 -xsinx
1 1 11 H--- COS X------ y [
lim-4一匚」 
…2--sinx
X
(上式中，利用无穷小的性质得，linJcosx = 0,linJsinx = 0 ),
而 lim(x2 +1) = 4-oo ,所以 lim f (x) = lim
X->00
XT8%
/ 2 1 y+i
X +XC0SX-1
2x2 -xsinx ,
=0.
3 +工
lim* + 2 - 1而--- = —>1 , 而 lime'=+oo ,
-8 2x — l x->8 0 1 2 - 82----
X
X—>00 X->00
3x + 2 
2x-l
eW
=00 .
故选(B).
~8%
Xf 8
得 limg(x) = lim
回答案
由 lim% +ax + ^ = 3 ,及 1面(%2 - 4) = 0 ,得 
x—>2 x — 4 x—>2
lim(x2 + 办 + b) = 0 = 2a + 6 = -4, b = -2a - 4 , 代入
「 x2 + ax+ b - x2 + ax-2a-4 1 「 a . a lim-----z--------= lim---------；----------- = l + lim------- = l + —,
xt2 X2 -4 -2 x -4 12 x + 2 4
所以，呜=3,解得』，从而占20.
评注J
若Hm 4 (常数)，且limg(x) = 0,则lim/(x) = 0.这是一个常用知识点.
XTX° g(x) XT沏 XT"°
a = 8, b = —20 .
国答案 a = \, b = -l.
由 lim s^O^-Qosx - 6) = 4 wO , 及limsin2x = 0 , 得
io ln(a + x) -。
limln(a + x) = 0nlna = 0nQ = l,贝！I
x->0
]im si。2%-90sx-b)等价代斐 lim—(cosx-b) = 2(1 -6) =4 , 解得b = -l.
x->0 ln(l + x) =。x
评注J
一常用知识点：若山114=4。0 (常数)，且lim/(x) = 0,贝himg(x) = 0.
X->X0 g(x) Xf Xo XTXo
国答案 a = 16, b = 8.
由 lim(4x + Jax2 -bx-l) = I ,提取x ,原式为 
X-
lim 4x +
Xf—8
=lim
x->-
二1 ,
118 第1章函数与极限
因为lim % = 8,所以lim 4-=0 (反证法可推导).
XT7 Y X X )
解得4 - lim
Xf-8
=4-4a = 0 => a = 16 .将其代入原式左端,
lim (4x + J16x2 -bx-1) lim
Xf-00 x—>-00
bx + \
4x - ,16 X、- bx -1
解得6 = 8.
=lim----------
Xf-oo
4x + 4x,
bx + l
1_2__L
16% 16x2
=lim
X->-00
4 + 4,
b+- hX b已知1X =l ,
b_____l_ 8
I6x I6x2
若 lim f (x)g(x) = A (常数)，且 lim/(x) = oo,
XIX。 XTXo 则lim g(x) = 0,这也是一个常用知识点、.
XfXo
|国答案
由 lim(Vl-x6 - ax2 -6) = 0 n limx21 /二—1 -a-^r | = 0 , 
… … X X )
而 1呼％2=00,贝U 1血1±_1 _q-乌］=0,
即 lim p/——1 — a — lim—- = —1 — a = 0 ,解得。=-1.
x->oo V %。 x-^oo
将。=一1 代入原式，lim(Vl-x6 +x2 - b) = 0 ,贝！j
X->00
b = lim(vr^7+公产 lim_—__o . 
… …(Vl-x6)2 - x2 Vl-x6 + X4
・有理化时,利用公式(a + 6)(〃—" + /) = 〃+".
雷答案
由0oo 2n
3〃 1
所以 lim — sin — = 0 .
―30%! n
抓“头与尾”.提
1 2 n
【证明】t己当= —;---- 1—5----
n +2n + l n +2n +2
-I--1_
n2 +2n + n
,则
------ ------- +____ -____ + …+____ _____ W x W____ i____+____ - + …+____ _____ 
n2 +2n + n n2 +2n + n n2 +2n + n " /+2% + l n2 +2n +1_____ n2 +2n + l
第1章函数与极限 119
通分得」jS + D W % W1 ：5 + 1)
2 n2 +2n + n 2 n2 +2n + l
因为lim」2双"+ 1)+ D=L 所以由夹逼准则得 
8 2 n +2n + n 2 «^°° 2 n +2n + l 2
函答案
lim 居=lim ------------+ —------------ + …+ -------------
W->00 w—>00\n +2n + l n +2n +2 n +2n + n
£
2
i. / /---- - 厂、和差化积 r . Jx +1 4- Vx
lim (cos Vx + 1 - cos y/x) = - 2 lim sm---------------
Xf+00 Xf+00 2
因为sin正式土正 W1,所以sin匹士区有界. 
2 2
-7r 八 .+1 — \!~X y/x + 1 — y[x 口 [. y/x + 1 — y[x [. 1 A
而 0 < sm--------------- <----------- ,且 lim---------------- 二 lim — 尸=— —=0 ,
2 2 f00 2 2^(Jx + l + Jx)
由夹逼准则得lim sin立壬史 =0. 
Xf+00 2
再由无穷小的性质得lim (cos Vx+T - cos Vx) = 0.
X->4-oo
函答案 收敛，2.
%+£|42 口^ = 2知,
｛当｝有下界.由 Xn+1
因此｛%｝单调递减.
因为｛%｝单调递减，且有下界，所以数列｛与｝收敛.
设limx =a, x〃+1 +3］两边求极限，a = -｛a + ^- \ ,解得a = ±2.
f° 2（ xj 2 < a J
又因x〃〉0,由极限的保号性知，limx〃 =a三0 ,故a = 2,即limx〃=2. 
n w-»oo w->oo
函答案 证明｛%｝单调递减且有下界，0.
当x>0时，有e"-l>x.由可>0= eX2 = - ------> 1 x2 >0.
花
利用数学归纳法得，％>0,即｛%｝有下界.
qX" _ 1 4 _Q°
由=上==匚2 = /" （拉格朗日中值定理，其中0<女<乙）
得%+1 <% = ｛%｝单调递减，由单调有界准则知｛%｝收敛.
设limx =q,则 limx卢”T = lime"-1 , BPaea =ea - I ,解得a = 0. W—>00 8 W—>00
rwi
题和69题都是单减有下界（或单增有上界）的数歹4有极限.此类题通用做法: 
第1步是推证数列单调有界；第2步是利用已知数列通项的关系，求出极限.
的答案| （1）利用定积分的性质与分部积分法可证；（2）1.
120 第1章函数与极限
(1)当 OWxWl 时，xM+1 => xn+iyjl-x2 xn41-7 ,由定积分的性质知%+i W% ,即 
｛4｝单调递减.
1 ________ 1 1 3
4 = £ / dl-x2dx = --£ xn-1d(l-x2)2
1
1
 
- 3̂
1
 
o a-x2¥dx
=；(〃 - 1) [ J； %"-2 Vl-x2dx - J： xn 71-x2dx^| = § (〃 - 1)(%_2 -a„),
H — 1
解得% =--- 2 5 = 2,3,…)•
n + 2
⑵因为｛4｝单调递减，且%>0,则由于 
an-2 an-\
lim--^2- = lim—■—- = 1, liml = l ,由夹逼准则知 lim2-=1.
>oo zj 〃->8 17-1-7 w—>oo ns n4-2 〃十/ 4 T
答案
(1)属于“号”型不定式，对照典式知°(%) = 2x,贝！J
「 sin 2x 凑"27「 sm 2x 2,22 lim------- =lim---------x— =lx —=—.
a。5x 5 ,2x\ 5 5 5
L不需写“2x”，以下皆如此.
(2)因为lim— = 0, |sin2x| W1,所以由无穷小的性质知 XT8 5x
lim s'n 2" = lim— • sin 2x = 0. 
XT8 5x Xf00 5X
Wal
^^7仔细观察(1)与⑵的区别，一不留神错把⑵做成(1). lim 吧 = Owl.
Z8 X
因答案
「 tan 3% 「 sin3x 乘法「 1 「 sin3xlim------- = lim--------------lim---------------lim--------
—o 4x 工-。4x - cos 3x — o cos 3x x-^° 4x
凑“3x” 3「 sin 3x 3lx—lim——=一.
4-0 \3x\ 4
国答案
(1) Z = arcsin2x => 2x = sin/,且 xf0 = / - 0,贝！J
「 arcsin2x 凑 “2x” arcsin 2xlim----------- — 2 lim------------
xfO X xfO 2x
= 21im—= 2x1 = 2. 
sin/
第1章函数与极限 121
(2)令，=arctanxnx = tan，，且x — O =，fO,贝(j
「 arctan x 「 ，乘法 1「 v t 1 hm----------= lim-------- = —lim cos/-lim-------=—.
x->° 2x ，f°2tan， 2­ ° —°sin，2
评注
lim 
x->0
arcsin x 1
=]； 
x
lim arCtan - = l可以直接使用. 
xtO x
⑴-! ； (2)1. 
o
八、「 2x-sin3x同时除以xr( 1) hm-------------- lim
1° 2x + sin 4x 2 0
sin 3%2----------
_____ x
2 + sin4x
四则运算
c 「 sin3x2 - hm-------
X
3「 sin 4x2 + lim-------
xfO X
重要极限2 — 3 _ 1
I+4--6,
c 1「c . c 2— sin3xi . 2x- sin 3x 同时除如[. x(2) lim--------；------ . hm-----y--------
X->00 9 Y -I- Qin 4 Y X->00 1
"十 snwx 2 + -sm4x
x
四则运算
2-lim —sin 3% 。八
x->oo % 无穷小性质2 - U _ ]
2 +lim —sin 4x 2 + °
18 X
评注J
:仔细鉴别（1）与（2） , （1）属于 方” 型不定式，（2）属于“2”型不定式. 
oo
国答案 4.
「 tanx 1 
lim------ = l ;
X
s答案
x
由典式知^(X) = x2-2x-3 = (x-3)(x +1),分母凑出由》),
lim 
x-»3
sin(x2 -2x-3)
x-3
1.sin(x2 -2x-3) / 八
=lim --- -------------- 乙­ (x +1)
13 (x-3)(x + l)
2.
「 sin(x2 - 2x - 3)「， t . .
=lim— \-------------- • lim(x + l) =1x4 = 4.
x->3 (x2 -2x-3) 13
方法一：禾lj用公式得cos2x = l-2sin2》 ,贝(J
「 1 - cos 2x _ 2sin2x
lim------ ------=lim------ 1—Xf o X xfO X
=2| lim^ 
(7 X
2
I =2.
方法二：利用等价无穷小代换得1-cos 2%〜2-,贝IJ
「 1 - cos 2x 「 2x2 仁 
lim------ ------= lim—= 2.
X-o X x-° x
E3答案
国答案 x2 +1.
/+ ]
〃是变量，由典式知夕(〃)=——,且%->8,e(〃) - 0. 
n
凑出分母矶〃）,
122 第1章函数与极限
,x2+l
2 sin-^
limn2 sin—— = lim— 产—
W—>00 〃 〃一>00 X +1
-(X2 +1) = lim --^--lim(x2 +1) 
nfs ：+ ] nfg
因答案 e-4
lim 1
Xf 00 I
评注
凑倒数v—limX->00
2x+100
| 乘法v= lim
X->00
•1 = lim 1 x->ool
本题需要先用乘法法则，求出lim（l +无穷小）常数=1,以简化计算.
国答案
直接凑典式,
分子分母同时除以2丁,再凑典式.
国答案
=1 - (x2 +1) = x2 + 1 .
2
x
属于“9”型不定式. 
o
方法一：利用两个重要极限，需分子分母同时除以％ . 
sin 3% 「 sin 3%.------- lim-------1. sin 3x 1. y 除法 x—>o x
lim------------ = hm 1「7、=-------- -— r，
xfoln(l +左x) +左x) 「… T x-
------------ lim ln(l + kx)xX x—>0
sin3x31im------- o 1 嗔
凑典式 xto 3% _ 3x1 _ 3
。一箴一工
limln(l + M'x
第1章函数与极限 123
方法二：等价无穷小代换.
利用公式，当x -0时，sinx〜x, ln(l + x)〜％,贝U
「 sin 3x 「 3x 约分 3 
lim------------ t lim— =-.
xt。ln(l + kx) x->o k x k
方法三：运用洛必达法则.
「 sin3x 分别求导「 3 cos 3% 3 v o v . 3lim------------= lim — ：—  =—lim cos 3x - lim(l + kx)=—.
a。ln(l + kx) go k k -。 — o k
\ + kx
方法四：运用泰勒公式.
禾！I用公式，sin x = x — * + …+ ；匕)!”+i + o(%2〃+i),
ln(l + x) = x — x2 H— x3 H- F ---  X” + o(xn).
2 3 n
有 sin 3% = 3x + o(x), ln(l + kx) = kx + o(x),贝(J
3 +久»
「 sin 3x _ 3x + o(x)同时除以x「 xlim------------ = lim---------  == lim-------7—
x->° ln(l + kx) x-o kx + o(x) xf 0 卜 +。(对
x
a a. °(x) =3 +蚂丁 3 + 0 二 3 
二左+ 1而幽一小一1.
5 X
上式中，利用高阶无穷小定义知lim3 = 0. 
x-O x
本题给出4种解法，方法一同时运用了两个重要极限.求极限的题目一题多解, 
常规方法，如两个重要极限、等价无穷小代换、洛必达法则要熟练掌握.
阳答案
属于“广， 型不定式.
方法一：利用两个重要极限.
lim(l + tan 2x)1 22B lim(l + tan 2x)tan2x' 
x->0 xf 0
3tan2x
=lim(l + tan 2x)tan2x
XT 0
3tan2x
两个重要极限_6 一 e
方法二：恒等变形.
利用公式，/(X)g(x)=eg(x)ln/(x),贝U
3 3 3
—  — ln(l+tan2x) -lim — ln(l+tan2x)
lim(l + tan2x) x = lime x = e x->ox
x->0 xf 0
124 第1章函数与极限
其中，Iim31n(l + tan2x)空磐31im更吆=6 .代入上式得 
x->0 % xf 0 x
lim(l +tan2x) x = e-6.
函答案
(1)直接凑典式.
1 1 ] (_ cosx-l
lim(cos x) sin*  = lim[l + (cos x -1)] sinx = lim[l + (cos x - l)]cosx-11 sinx 
x->0 xf 0 x->0
Hm cosx-l
_1  sinx jim 1-008x
=< lim[l + (cosx -1)]00^-1 ' =e^° sinx ,
x->0
其中，lim"土鳖鳖Im二=0 （洛必达法则亦可），贝IJ原式= e0=l. 
3 sinx 2 3 x
「tanx-x>llim 1 +-----------
Xf。I X )
甘*,  「 tanx-x 洛必达[. sec x-1 - 2sec x-tanx 1 44旧— 不
其中,lim----- -----  == lim------ ----- = hm-----------------=-, 故原式=e3.
5 x …3x a。 6x 3
国答案
1 2 ax+bx-2
r A ax+bx-2V r < ax +bx 
原式=hm 1 +-------------- = hm 1 +--------------
2 J xto( 2 )
lim四匕 
gx—>0 2x
廿… ― /+6”—2 洛必达「 ax\na-\-bx ]nb Ina + lnb 1, / 7X 
其中,lim--------------lim---------------------------=-------------= - 1ii(q6).
3 2x 7 2 2 2
代人上式得原式=e51n侬）=4ab .
评注J
题与84题需要凑出“1+无穷小”，即“加1再减1”，也可用洛必达法 
则求解.
国答案
“lim
W—>00
1 
2a-l , 
n-2an-lX
H(1 - 2(7))
“属于“r0”型不定式.
第1章函数与极限 125
i Y
limln8
n - 2an -1 
n(l- 2a)
=limln 1 +
W->00
2ttlimIn 1 +
W—>00
=lne2a-1 = 1 
2a-l
因答案
等式左端属于“10°”型不定式，利用第二重要极限.
lim
X->00 、(x_q)(x + 6)
lim
x-»00
同时除以X?
J 
X.
=lim
X->00 X—>00
•limf 1 + - -X
由题设知ea~b = e2 ,解得a-b = 2.
国答案 (C).
显然，(A)、(B)、(D)都与4等价，故选(C).
事实上，1-cosVx 〜=；%.
函答案 (D).
x(-6)
-b=e - e
由arctan2x〜2x, yjl + x -1〜gx知，(A)和(B)与x同阶无穷小;
由1 —cos2x〜2,知，l — cos2x是x的2阶无穷小;
而 tanx-sinx =吧…〜9,即—是、的3阶无穷小.
cosx
故选(D).
函答案
由lim
2.
—■—― = 0=> limtan^^—— = 0 ,贝!j
X -X + \ Xf 8 X -x + l
「 ， 2% — 3 等价代换「 2x-3lim x tan ---------- -- lim x ----------
XT8 x - x +1 XTS x -x + l
lim 2『-3x = 2.
X-8% -X + l
函答案 (D).
由 excosx2 广 望eYeXcosf-x—i)〜McosV—i)〜,
即/cG—e"与4是同阶无穷小,则〃 =5,故选(D).
国提示 利用定义.
1
(2a_1)x_J_
\ n(2a-l)J
a — b = 2.
Xf 00
、
X
.3”X
xfoo X
了、口口 Y tanx - x 洛必达「
【证明】因为hm  -------=lim
x—>0 1 ? x—>0
-X
3
「 tan x重要极限1=lim—— -1 ,
10 x
sec2x -1
X2
126 第1章 函数与极限
所以，当％ —0 时，tanx-x~ —x3. 
3
图提示 利用定义.
[证明]因为丽⑵ T)：rctan2xg^Hm21n；x3 =0, 
xf 0 %， xf 0
所以当xf 0时，(2x2 -1)arctan2x = o(x2).
函答案 a = 0, b = 2, 。为任意常数.
由等价无穷小定义知
1
lim +bx2 +c =],
x-»oo 1
2x2+1
2r2 4-1
即lim =1，则a = 0/ = 2,c为任意常数.
xf°°QX +bx +c
国答案
由题设知日巾巫乙弛善宜二0. 
io x(arcsinx)
等价代换可得
lim^T-r = 0=>左 + 1<5 =左 <4.Xf o Xk
国答案
分子提取 tanx =包代入化简, 
COSX
原式=由/.(31)出了-1)
xf° (2x +1) cos x sin x
乘法 eC0SX (cosx-IXe1--1)
=lim------------------- -  lim--------------- ---------------
—° (2x +1) cos x Z ° sin x
等价代换 r ~2X(1 — cosx)等价代换 [ 14 ]
=e - hm—------ t------------------ ■ ■ — e lim —=— e
—o x 4 -。x 4
评注J
1本题分子中的"sinx-tanx"不能代换成“%-%”，同时灵活运用四则运算 
法则.
国答案
由题设知lim』3 = 1向等勺业=1. 
%-o g(x) %-o x ln(l - bx)
而lim
x->0
x - sin ax 
x2 ln(l- bx)
等价代换 x-sin ax 洛必达 l-acosax==— hm----- ；------=— hm-------- ；------
b …x b —。 3x
第1章函数与极限 127
因为 lim~ac—ax 存在,^ljm3x2 =0 ,所以 lim(l- acosax) = 0 n a = 1.故 
x-»o 3xz x->0 x->0
lx2
1 r 1-cosx 等价代换 2
原式=— lim----- z— =^=—
b xf。 3x b 3 3x
—,所以一，二臼」 
6b 6b 6
即 a = 1, b =
6
因答案 Zina.
方法一：利用等价无穷小代换，凑出所求极限.
由题设知limIn| 1 + ] = 0 n lim」毕
一o sin xx->0 sin2x
=0,贝IJ
lim
Xf 0
—Iim5 = lim4" 
x-o xlna x^° x In a
即 lim J") = 4 = lim^^ = Aina . 
xf。x ]na %fo x
方法二：利用极限与无穷小的关系求极限.
由题设知
lnl + S
I sin x 
a》_ ]
=4 + 1(其中11111二=0). 
xtO
ln[l +『] = (4 + a)⑷—l)n 等 
I sin x) sin xsin2x
= e("a)Sf _i,则
1• /w sinx〜x [. /(x)[.
== hm 八=lim
5 x xsin x xf°
y+a）（a"T） 1等价代换
lim 
xtO
(A + a)(ax-l)
等价代换[.—lim
x->0
(4 + a)xlna 八-------- --------=A\na.
因答案 36.
lnl +9
〈 sm x.
ax —1
x x
X
方法一：利用极限与无穷小的关系.
由lim 
x->0
sin 6x + xf (x) =0,得
sin 6x + xf (x)
x3
= 0 + a,其中 lima = 0.
Xf 0
xf (x) = x3 (0 + of) - sin 6x n /(x)=
—蛇，将/⑴代入,
lim 6 t驾=lim
x->0 k x->0
6x - sin 6x + ax3 =lim 
x->0
X
6x - sin 6x + lima 
x->0
洛必达「 
lim
Xf 0
6-6cos6x 等价代换
2廊抄会 
x—0 x
128 第1章函数与极限
方法二：将所求极限凑成已知极限.
Hm 6 + /(x)同时乘以 x ]加 6% + 犷(%) _ ]加 6% - sin 6% + (sin 6x + xf (x))
x->0 x->0 x->0 %，
「 6x - sin 6x ；「sin 6x + xf （x）；
=lim------- -------+ lim----------—— \
3 X ； ­ 。 X ;
=0 （已知）
洛必达「 6 — 6cos6x等价代换「 （6x）2=lim-------- ；----- == lim = 36.
3 3x 7 x
Tfal
本题两种方法都需求lim竺普■丝，可利用泰勒公式求此极限：将
3 x->0
sin6x = 6% -（6；； +）代入,求出极限；或直接利用 6x - sin 6x 〜，（6］丫 =36/ .
函答案
I 4sinx + 3x2 cos —
原式=lim--------------lim----------------------
x^° （1 + cosx） io 2x
1 Q 2sinx 3r 1 1 I 八、1
=— hm-------- F —limxcos— = — （2 + 0） = l.
2 I-。x x J 2
本题综合运用了等价无穷小代换、四则运算法则、无穷小的性质、第一重要极限.
回答案
分子有理化，原式=lim----------------- / .
x[ln(l + x) - x][Vl + tanx + Vl + sinx]
「 I r tanx(l-cosx)
-° + tanx + Vl + sinx …x[ln(l + x) - x]
等价代换I x2 洛必达2x
==----- hm--------------- —lim ―-
2 2 - o ln(l + x)-x 4-0 ]
l + x
原式= lime2"sx -lim—
x->0
x2-2+2 cos x -l等价代换「— lim
Xf 0
x2 - 2 + 2cosx
£
2
洛必达「 x-sinx等价代换[. 6 I=lim------ ----  == lim22—r =— .
2x3 -o 2x3 12
利用对数的性质，
国#「ln[e2x (l + e-2x sin2x)]-2x 「lne2x+h(l + e-2x sin\)-2x
= lim i z z — lim i z I
i。 ln[e3x(l + x2e-3x)]-3x -。 lne3x+ta(l + x2e_3x)-3x
第1章函数与极限 129
「 ln(l + e-2x sin2x)等价代换「 e_2x sin2x 「 ％「 sin2x .
=hm  .......... .... ....... ... lim — - - = lime -lim —— = 1.
x-o ln(l + x e ) 'I。x e ―。 一。x
I 3.则答案
利用三角函数的和差化积公式,
1In | 1H— j + In f 1H— 1ln| 1 + -- | — In| 1 + —
X ) x
原式二 2 lim x • cos
Xf 8
X )
~2 — ­sin
=2 lim cos
Xf 8
等价代换
2 lim x •
X->00
1 x J
F
i x + 4In------
1 x + 4 m------
• lim xsin— ­
XfQO 2
x + 1 =limx-ln 1 +
%-8
=lim 二=3.
XT0° X + 1
EE4答案 (D).
因为lim
xf0+
T)由譬鸳会4所以(A)与丁同阶无穷小;
4In | 1H— | + In I 1h—
x
2
3
x + 1
因为现血金 3呼气守卫如当=|,所以(B)与姬同琳穷小 
2X
因为lim
x-»0+
二吧码W产;理嘿J］所以©与丁同阶无穷小;
pl-cosx I-； I---------------------------
Jo Ism t 由洛必达 A/sin3(l-cosx)-sinx
因为 hm -------- t---------= lim △---------------------------
xfO+ X 5+ 5x ,----------
等价代换 1 1. J(l-cosx)3 1 J 1
==-hm - ------ --------= - hm -- -----------二----产,
5一。+ %3 51。+ %3 10<2
所以(D)与/同阶无穷小.
综上可知，最高阶的无穷小是(D),故选(D).
本题综合运用了洛必达法则、变限积分函数求导数、等价无穷小代换.
(1) 1; (2)4 = 1.
/八 「 “、通分「 x +x-smx r x +x-smx 
(1) a = hmf (x) = lim-----------------= lim------------------
xfo io xsinx a。 x
1 r x - sinx 等价代换 1 x3 1
=1 + lim----- ----- -■ 1 + = 1.
x->0 xz 6 10 X
2 • •
「、、 x +x-smx-xsmx -
(2) f(x)-a =-------- ；----------,而
「 fix)-a 「 x +x-smx-xsmx 「 (x + l)(x-sm x) 
lim ^-7— =lim--------- ------------------  = lim  --------
一。 x x-° x -xsinx x
130 第1章 函数与极限
=lim(x +1) - lim 
x->0 x->0
x-sinx等价代换1「—lim
xk+2 6 1 ° x1,k+2
若与/是同阶无穷小，则左+ 2 = 3=＞左=1.
・ 一 ’本题运用了 “x-sinx〜-0)”，使得计算简化，利用洛必达法则亦可. 
6
a = l, b = 0 , c =— 
2
由题设及雪3-sinx) = 0知，回"冲£2由=0 ,则6 = 0.
ax-sinx 洛必达「 a-cosx 等价代换「 q - cosx mtl rV〔 
而lim----------- ；— =lim---------- - lim-------— , 则必有a = l.
io-皿]+ 力山 x^0 ln(l + x ) x
J° t x
1—rr _lx 1 . 1 — COS X 1 r-r- t \ r 1
原式=lim----- - =—,所以 c =—.
xf。 x2 2 2
|HB答案
由 limZ^―- = 4 (常数)，lim(x-l) = 0 ,得
Xf 1 X — l Xf 1
lim[/(x) - 4] = 0 n lim /(x) = 4.
Xf 1 Xf 1
因为 /(x)在 X = 1 处连续，lim/(x) = /(l),所以 /(1) = 4 .
Xf 1
M国提示 利用定义.
【证明】 对任意的X£(-8,+8),因为
Ay = /(x + Ax) - /(x) = 2(x + Ax] -(x + Ax) + 1- (2x2 - x + 1)
=4xAx + 2(Ax)2 - Ax ,
lim Ay = lim[4xAx + 2(Ax)2 - Ax] = 0 , 
Ax—0 AxfO
所以在X处连续，由X的任意性知，/(X)在(-8,+8)内连续.
由/(X)在(-00,+00)内连续知，/(X)在X = 0处连续，则
|面1答案 不连续.
2x _ 1 Oy 1
lim/(%) = f ⑼=k , BP lim--------= lim— = — = k
io x，osin4x -o4x 2
本题不需要考察左极限与右极限.
因为 lim f (x) = lim 则在(—+1) = lim — • lim(x2 +1) = 2 , 
xfo+ xfo+ tanx 》一。+ x ^->o+
lim f (x) = lim ln(l - 2x)x = lim ―= -2 , 
x->0- x->0- xf (T x
第1章函数与极限 131
lim /(x) w lim /(x) => lim/(x)不存在，所以 /(x)在 x = 0 处不连续. 
x->0~ xf 0+ x-0
叵u答案 连续.
在分段点X = 1处，因为/⑴= 21nl = 0,
lim f (x) = lim(x -1)2 cos
x^r x-^r
」一=0, lim /(x) = lim(x +1) In x = 0 , 
x — 1 x->l+ x->l+
lim/(x) = /⑴=0 ,所以/(x)在n = 1处连续.
X->1
当％<1 时，/(%) = (%-1)2cos」一连续;当％>1 时，/(%) = (x + l)lnx连续. 
x-1
综上所述，/(%)在(-00,4-00)内连续.
1诋答案 1.
若 /(%)在 X = 0 处连续,则 lim /(x) = f (0).
x->0
而[. ，/、等价代换[.
而 hm f (x)-------  hm
x->0 xf 0
V1 + x2 — a/1 — x2 有理化
lim
x->0
2x2
x2 (yll + x2 + a/1-x2)
=1 ,
故补充定义/(O) = l.
即 /(%) = <
Jl + — —Jl — / 
xarcsinx
1,
，Xw 0
x = 0
[ii3l 答案 (1) /« =
1, OvxWe 
lnx,x>e ；⑵连续
⑴当 000
lne〃+ln 1 + ^-^j
-------------------------=1 ;
In xM + In
当 x > e 时，/(x)型=lim------------
8
1+0
当x = e时，/(x) = lim蚂型2 = lim也2*  = 1.因此
W—>00 〃 H—>00
/(%) =
n
fl, 0 e
⑵显然 lim /(x) = lim /(x) = 1 = /(e),即 /(x)在 x = e 处连续. 
x->e- x->e+
—= lnx ;
当0<%e时, 
连续.
/(x) = lnx连续 所以/(x)在定义域(0,+8)内
BE!答案 2.
因为lim 
x->0
1 - cos[Vxf(X)]等价代换
(e2x-l)/«
lim-----------
no 2x/(x)
=；1噌幻望「(0),
4 1 o 4
132 第1章函数与极限
叵
所以，；/(0) = ； = /(0) = 2.
答案 % = 1是可去间断点，x = 2是无穷间断点.
由 /(%)= 知，/(%)在x = l,x = 2处无定义，从而间断点为x = l,x = 2 .
因为 lim /(x) = lim
Xf 1 XT1
因为 lim f(x) = lim 
xt2 x->2
x + 1 
x-2
x + 1 
x-2
=-2,所以x = l是可去间断点.
=8,所以x = 2是无穷间断点.
(D).
因为/(X)在x = 0,x = l处无定义，所以x = 0,x = l是间Wf点.
lim f (x) = lim— -— =8 ,即％ = 0是无穷间断点.
X70 ' / x->0 与
lim f (x) = lim
x->r
铲t -1
— = -l, lim/(x)= lim—— = 0 , 
ex-1 -1 ex-1 -1
即％ = 1是跳跃间断点.故选(D).
吃J 上 旦
j 本题中用到了 lim ex-1 = 0, lim ex-1 = oo .
x-»r XT1+
答案
由可去间断点的定义知lim /(x)= lim /Q) w /(O) = b .Xf (T xf o+
2 . 1 2 . 1 . 1 x sin—  x sin—  xsin —
lim f (x) = lim--------  = lim--------  = lim------- = 0 ,
xf(r xf。- 2X -1 xf°- xln2 x-o- ln2
， ln(l + 3x)、 、lim f (x) = lim(<7 +------------) = <7 + 3 ,
x->0+ x->0+ x
贝!Ja + 3 = 0na = —3,且bwO.
连续区间是(-00,1)和(l,+oo) , x = l是跳跃间断点.
当|%|<1 时，limx2w=0 ,
W—>00
/W = lim
w—>00
当|x|>l 时，limx2w =oo ,
W—>00
/(X)= lim
W—>00
1 + x
l + x2n
1 + x 
d + x2w
当|x|=l 时，/(-l) = lim
w—>00
1-1
l + (-l)2w
=°，/(1)=照告片1.因此
(x-2)(x-l)
亘 6/ = —3, 6 w 0 .
=1 + X .
=0.
/(%)= <
0, xW-l
1 + x, -1 < X < 1
1, X = 1
0, x>l
第1章函数与极限 133
因为 lim f (x) = lim 0 = 0, lim /(x) = lim (1 + x) = 0 ,所以 lim /(x) = /(-I) = 0 , 
x->-r x->-r xt-i+ %->-i+ xt-1
故/(%)在x = -l处连续，从而/(%)在(-*1) 内连续.
因为lim/(x)= lim(l + x) = 2,lim/(x) = 0 ,所以x = 1是/(x)的跳跃间断点，从而/(x)在 
(1,十8)内连续.
综上所述，/(%)的连续区间是(-8,1)和(1,+8),、= 1是/(%)的跳跃间断显
1, 0 W X < 1
(1)利用夹逼准则可证;⑵/(%) = <
x, 1 < x < 2 ,连续.
— x2,x 三 212
(1)不妨设4=max{q,a2,…，则
4 W 4<+羽+…+成 < 而% =掰0，且1而勺=%, lim加& = am， 
▼ W—>00 77—>00
由夹逼准则得1加8+可+•.•+” = ' =max {q }. 
h—>oo y IWiWm
(2)由⑴ 的结论可得 /(x) = Jl + x" +(曰)=max (x > 0),即
1, 0 W x < 1
x, 1 W x < 2
—x2, x 2 2
2
/(%) =
显然，/(x)在(0,1), (1,2), (2,+oo)上连续，只需考查分段点处的连续性.
由 lim f(x) = 1, lim f (x) = lim x = 1 lim /(x) = 1 = /⑴知，/(%)在 ％ = 1 连续; 
Xf「 XTd+ Xfl+ Xfl
由 lim /(x) = lim x = 2, lim /(%) = lim — x2 = 2 => lim /(x) = 2 = /(2)知，/(x)在 x = 2 连续.
xTT x-2- xf 2+ xf 2+ 2 x^2
综上所述，/(x)在[0,+oo)内连续.
I网答案
「 「/、等价代换「 ax 洛必达「 3办'lim f (x) - lim---------- ；- = lim----------
x->o- x-0- x - arcsin x °一 ]_______ J
「 3ax2 等价代换1. 3q/
=lim / .——  --hm --— =-6a ,
5 Jl-- -1
2
「 //、等价代换/「 e6+%2—QX — 1洛必达 -e*  + 2x - a洛必达『2 ,」
hm f (x) - 4 lim-----------；---------= 4 lim-----------------= 2q + 4.
x->0+ xf 0+ %2 xf 0+ 2X
令 lim f (x) = lim f (x) n la + 6a + 4 = 0 ,解得 a = -1 或 q = -2 . 
xf。- x-»0+
当 a = —1 时，lim f(x) = 6 = /(O) , /⑴在 x = 0 处连续; 
xf0
当Q = —2 时，lim/(x) = 12w/(0) = 6, x = 0为/(x)的可去间断点. 
x->0
134 第1章函数与极限
[21 答案 x = 0是可去间断点，x = kit(k = ±1,±2,---)是/(%)的无穷间断点.
属于“r0”型不定式，利用第二重要极限求解，且,是变量.
x sinx x
“ \ . sin,-sinx、sinf-sinx ( sinr-sinx\sin"inx sinx —
/(x) = lim 1 +-------------- =hm 1 +-------------- = esmx.
sinx ) sinx )
可知x = 0, % =左兀(左=±1,±2,…)都是/(x)的间断点.
X
因为lim/(x) = limesinx = e ,所以x = 0是/(x)的可去间断点. 
x->0 x->0
因为lim /(%) = lim esinx = +oo ,所以％ =兀是/(%)的无穷间断点.
X->7T-
同理，在x = M(左= ±L±2,…)都有一个单侧极限不存在(无穷发散)，所以 
x = kn(k = ±1,±2,…)都是/(x)的无穷间断点.
之士J 上 上*****^^“lim f (x) = limesinx = 8 ” 是错误的,因为 lim f (x) = lim esinx = 0 woo .
Xf 兀 X—>71 X—>兀+ X->7C+
'122) 答案 2.
因为/(%)是初等函数，在工=0处连续，所以
lim/(x) = /(0) = ^^ = 2.
3 1 + 0
p123j 答案 (D).
使用反证法，若(D)”?没有间断点，即连续，因为/(x)连续，所以由运算法则知， 
/W
驾?"(')=0(功在(-8,+00)内连续，与题设夕(工)有间断点矛盾，因此"4必有间断 
f(x) “X)
点，故选(D).也可举反例，排除(A)、(B)、(C).
El提示 零点定理.
【证明】设函数/(x) = d—9x —2,因为
/(-3) = -2<0, /(—2) = 8>0,/(0) = —2<0, /(4) = 26>0,
在[-3,-2], [-2,0], [0,4]分别运用零点定理，得方程d—9x-2 = 0在
(-3,- 2), (-2,0), (0,4)各区间内分别至少有一个实根，即方程至少有3个实根.
又因为以-2 = 0是一元三次方程，至多有3个实根，所以三-9x-2 = 0恰有3个实根.
125]提示 零点定理+单调性.
【证明】设/(x) = x-；cosx 7T
在(-00,+00)内连续二> /(X)在0,]上连续,
且/(0)= 一；<0"图\>0, 由零点定理知，至少存在一点自£(0,]),使得
/(J) = J-;cosj = 0 ,即方程x = ；cosx至少有一个实根.
第1章函数与极限 135
因为/3 = l + ；sinx>0, /(x)在(-叫+8)内单调递增，所以只有一个实根.
阿提示
【证明】设函数户(%) = /［%+ ；)-/(%),由题设知，厂(%)在0,1上连续，
且产(0)= W)—/(0),尸(务 /(I) - W］=/(0) -吗)满足/(0) .吗1 0 .
当尸(0)•尸(；)=0时，贝IJJ = O或4=；.
当尸(0)•尸(；)<0时，由零点定理得，至少存在一点j£［o,；Ju(O,l),使得 
尸@ = o = D = /c).
综上所述，至少存在一点自£［0/)，使得/卜+ ；］ = /(4).
'"尸⑴在0,1 (非［0内)上运用零点定理.证明过程需严谨，分两种情况讨论.
[127]提示 极限定义与连续的性质.
【证明】设lim/(x) = Z,由极限定义：对任意给定的£>0,不妨设£ = 1,存在X>0, 
XT+oo
使得当时，恒有|/(x)-—l0,使得"(x)|WC
综上所述，取M = max{|4-1|,|4 + 1|,。},对任意的:且&+8),都有
提 ZF
即/(%)在［见+8)上有界.
在［再上运用最值定理与介值定理.
【证明】由题设知，/(%)在［再,/］上连续，存在最小值冽与最大值〃，使得
m W f(xj W M (i = 1,2,3), 2m W 2/(x2) W 2M, 3m W 3/(x3) W 3M ,从而
m W + 2/(々)+ 3/Q)w 乂 ,由介值定理知，至少存在jEgglug/),
6
使得 /(%)+ 2华)+3g = /C),即人再)+ 2/每)+ 3/(x3) = 6/C). 
6
El答案 (A).
因为 lim /(x) = lim 
x->o- xt(t
xsin(x-2)
-x(x-l)(x-2)2
史上，同理lim/(x) =皿 
4 xto+ 4
所以f(x)在x = 0的邻域内有界.
因为“X)在％ = -1处连续，lim/(x) = /(-1)存在，所以/(%)在x = -1的邻域内有界. 
x->-l
又因为/(x)在闭区间［-l + b,0-切(5>0)上连续，所以/(X)在［-1 + 5,0-加上有界，故
/(%)在(-1,0)内有界.故选(A).
136 第1章 函数与极限
由 lim/(x) = 8, lim/(x) = 8 =>/(%)在 x = l,x = 2 的邻域内无界，排除(B)、(C)、(D). 
Xfl Xf 2
国]提示 g(x) = /(%)-/[ x + -|^ 0,巴士上运用介值定理.
n n
1【证明】设g(%) = /(x)-/(工+ 口，g(x)在0,巴士上连续，故存在最小值加与最大值
v n
M,使得加Wg(x)W",贝lj
n
因为 g(0) = /(0) —/
nm W g(0) + g
m W g(0) W M,加 W < M,…，加 W g
所以，g(O) + g = /(0)-/(l) = 0,又因为
g(O) + gp]
W nM --------寸"
— /(l)，
由介值定理知，存在%£ 0,T C=[O,1],使得
_ n _
g(0) + g(，) +…+ g
g(%) =-----------区----
n
=0,即/(%) = /1%+"
131] 答案 11.
第2章导数与微分
方法一：用导数定义.
. (1 + 2x + 3x3)-6 2(x-1) + 3(x3-1)
j ⑴=lim----------------- = lim-------------------------- = lim-----------------------------
-i x-1 -I x-1 x-1 x-1
132]
= lim[2 + 3(x2+x + l)] = ll.
Xf 1
方法二：先求导函数，再求导数值.
由 f(x) = 2 + 9/ ,得 /XI) = /\x)|x=1 = (2 + 9x2)|x=i=ll.
答案 6.
方法一：用导数定义.
"0) = lim/。1⑼=lim(2x +1)(3% + 2)(4% + 3) = 6. 
Xf o X-0 Xf 0
方法二：用求导公式.
设 g(x) = (2x + l)(3x + 2)(4% + 3),则 /(x) = % , g(x),于是
f(x) = (x)z - g(x) -F X - g\x)
=(2x +1)(3% + 2)(4% + 3) + x • [(2x +1)(3% + 2)(4% + 3)]',
此处导数不必求出来
从而八 0) = lx2x3 + 0 = 6.
答案
10
~3
首先有/(0) = 0,/(2) = 0.由导数定义知
画
评注
本题也可以先求出导函数广(不)，再将冗=0"=2代入/'(X),求得/'(0),/'(2).
请读者自己动手试试，体会两种方法的不同.
回答案
由导数定义知，八。)=飕Te泻
sin2 x 0
「 2x v sin2x
=---------= lim— —
x-0 x Xf 0 2x
£ 
2
138 第2章 导数与微分
135] 答案 2。(0).
【证明】因为函数以工)在1 = 0处连续，所以有
/⑴=lin//TWaT)-。= Hm(x +1)^(%-1) = 2夕(0),
Xf 1 X — l Xf 1 X — l Xf 1
由导数定义知，/(%)在x = l处可导，且/")二lim "幻一 /⑴=2°(0).
______ 、 Xf 1 x-l
因为题目没有9(X)可导的条件，所以下面的解答过程是错误的.
因为 ff(x)=(x2 -iy(p(x-i)+(x2 -1)“a-i)= ix(p(x-i)+(x2 -1)“a -1),
所以 /XI) = 2 0(0) + 0 • “(0) = 2^(0).
|我答案I 1.
由导数定义知,
八 2) = lim /3 ⑵=lim/(2 + x)-/(2 + 0) 
x->0 % x—>0 %
.lim2/(x)-2/(0) 
xtO %
二2 . lim /⑴ 一 )⑼=2 A 0) = 2」=1. 
一。x-0 2
[l37| 答案 可导，fr(0) = 2.
由题设lim，㈤+ 3 =2知,lim[/(x) + 3] = 0. 
x->0 % x->0
因为f(x)在点x = 0处连续，所以/(0) = lim f(x) = -3 .于是有
x->0
.b- /(x) + 3
lim------------------=lim------------- = 2 ,
Xf。 X-0 3 X
由导数定义知，/(%)在x = 0处可导，且早(0)=lim/a)_〃°)=2.
XT° X-0
(1) 5/'(%);(2) 3f(x0).
⑴ lim /(%+5Ax)-/(%) = 5. Hm /(二+5Ax)-/(%) 
Ax 5 Ax
= 5/(%).
(2) lim /(/ -3Ax) = 3 ]jm /(% -3Ax)--(%) 
- Ax - -3Ax
= 3/'(%).
评注J
一^U根据导数定义可以求某些结构的极限.若函数/(X)在点％ = %处可导，则有 
(1)甄"/+助 一"%)= /'(%)，(2) lim /(□；"%)=八%) .
⑤一° 0 gx。 Q-Xn
|晒答案| 2人) .
f(x0 + 4〃) 一 f(xQ +2h) f(xQ + 4h)~ /(x0 )-[/(x0 + 2h)~ /(x0)]
lim----------------------------------- = lim---------------------------------------------------------------A—>0 h A—>o h
4 lim /(XO+4/2)-/(XO) ? /(%0+2^)-/(X0)=4 - nm-------------------------------z • nm-----------------------------
20 4h x- 2h
=4/'(%)-2八%) = 2").
第2章 导数与微分 139
评注J
若函数/(%)在点％ = /处可导，则有
"&+♦)-/&+■)=(m
/?->0 Jj
但反之不然，即上述极限值存在，函数在点％ =/处未必可导.
答案 1.
注意到当x -> 0时，ln(l + x3 ,从而
lim/(3)-/(3-3x3)
一。 ln(l + x )
I3)一/(3 — 3d) o /(3-3x3)-/(3) 
二理-------?------- = 3.缈------ ---------- = 3/(3),
于是3/〈3) = 3,故/⑶=1.
IRfl答案| (1)8; (2)1.
⑴］向/(3')-〃令)= 1加/(3')一/(°)+1而〃°)一/(3) 
x->0 x X X
= 31im"3x)—/(°)+51im"5x)/(0)= 3^(0) + 5/'(0) = 8/r(0) = 8 .
10 3x Xf。 -5x
(2) lim/(2，)；泣%)= lim*̂  — lim包
XT。 X x-»O %' xf 0 %
=2 lim/(2^)-/(0)_lim/(x)-/(0)
=2r(o)-r(o)=r(o)=i.
XT。 2x X
|R月答案
方法一：1面驾^理当血/&)_/(°)存在,由导数定义知，/Q)在％ = 0处可导，极 
2。 h x-o x
限即为了'(O),故(C)正确.
丫2 .L 1 y 壬 n
方法二：排除法.令/(%)= ' ,显然/⑺在％ = 0处不可导，但(A)和(B)极
0, x = 0
限均存在，排除(A)和(B)；(D)中极限存在只能说明右导数存在，排除(D).故应选
(C).
|盛©答案
注意，当xf 0时，In(l + sin3x)~sin3x~3x,于是
Hmm(l + sin3x)・/(cosx)二lim3x，/(cosx)= 3Um/(cosx)-/(l) 
xtO X3 X3 X2
=3lim"'os')二犯.limC0Sx-2 = = _2/'⑴=_3 .
_____ 1。 cosx-1 1。 X2 5 X2 2
庭国答案
(A)中，/(%) = |%|在％ = 0处的左右导数不相等，所以在％ = 0处不可导；(B)中，因为 
lim〃^―^^ = lim――^ = 1沁/=不存在，所以/(x)=五在工=0处不可导；(C)中 
Xf。 X —0 X-0 X - 0 1。^2
y = %3处处可导，在％ = 0处也可导；(D)中/(x) = xlnx在x = 0处没有定义，所以不可导.
故应选(C).
140 第2章 导数与微分
£(0)=4(0) = 0 , /(x)在 x = 0 处可导且 /(0) = 0 .
函数/&)在x = 0处有定义，/(0) = 1.由导数定义知
,，仆 1- /«-/(0) 「x2+l-l r 八
f_(0) = lim = hm-----------= lim x = 0 ,
Xf (T x — 0 Xf X XT°-
r V COSX-1「一犷 n
A(0) = lim -= lim----------= lim —— = 0 ,
Xf o+ x — 0 Xf。+ X Xf。+ X
显然，£(0) =/(0) = 0,所以/(X)在x = o处可导，且导数((0) = 0.
(A).
函数/(x)在x = 0处有定义，"0) = 0.
1
因为lim /(“)一7(°);lim武1 + )- 0 = Hm(l + /) = 1 ,所以/⑴在x = 0处的左导数存
Xf (T X — 0 Xf 0- X xf(T
在，£(o)= i.
因为lim ―"上 =lim
Xf。+ X — 0 xf。+
不存在.故应选(A).
1
x(l + ex)-0
=lim(l + e") = +oo ,所以/(%)在x = 0处的右导数 
xf0+
评注
等.
lime，不存在，需要考虑左、右极限.类似的还有limarctanlime", limarctanx 
X->0 X->0 X X->00 X->00
|皿答案 不可导.
x
先将/(X)写成分段函数的形式，再根据左、右导数讨论可导性./(x) = x2|x-l| =
其中〃1) = 0.
［一％(X -1), X < 1
41)= 1/(、)一")=1141)一° — 
xfr X-1 1「 X -1
q ⑴=lim /⑶ -/⑴=lim
X->1+ x — l XT1+
x2(x-l)-0 1
L -］，X-1
显然，力⑴丰W⑴，所以函数/(X)在X = 1处不可导.
EE同答案 可导，ra)=o.
因为 lim"」—C ⑴=lim。、DI%"。-0 = lim((x2 +x + l) | x-11) = 0
XT 1 X — l Xf 1 X — l Xf 1
由导数定义知，函
数/0)在x = l处可导，且"1) = 1血/0)_、⑴=0.
Xf 1 x-1
.”«本题也可以先将jco写成分段函数的形式，再根据左、右导数讨论可导性.仔 
细体会上面两道题目中函数的区别，然后再做下一题.
第2章导数与微分 141
|啕答案| (A).
—(I)总), x 21 
xr
力⑴=1皿侬二3=1加(1)加一° = 1而吸)/), 
X-1+ X — 1 X->1+ x — 1 xfl+
于是,/(X)在％ = i处可导=f⑴=fi(y)= 一双i)="⑴=(p(y)= o.故应选(A).
一^u常用的两个结论：
(1) /(%) = |%-°|在％ =。处不可导；
(2)若/(X) = |%一。|矶x),且9(%)在x = a处连续，贝"/(%)在x = a处可导o 0(。) = 0.
/(x) = (x2+x-2)|x3-4x| = (x + 2)(x-l)|x||x-2||x + 2|,所以 /(x)可能的不可导点有 3 
个：x =-2,x = 0,x = 2.
对于 x = -2 , /(x) = | x + 21(p(x),其中(p(x) = (% + 2)(%-l)|x||x-2| ,显然(p(x)连续且 
0(-2) = 0,所以/(x)在x = -2处可导.
同理分析可得/(%)在x = 0和x = 2处不可导.所以/(%)有两个不可导点.故应选(C).
同答案
切线方程y = 2x + l,法线方程y = —gx + 1.
由 y' = (2x)z + (cosx)f = 2-sinx ,得山工句=2 ,于是
切线斜率左=W，=o =2,切线方程为> —l = 2(x —0),即歹= 2x + l.
法线斜率《=」=」，法线方程为歹―1 = —%—0),即歹= 3+1. 
k. 2 2 2
答案
在x = /处，两曲线的切线斜率分别为尢=/'(%) = 2%, k2 = gG0) = 3x02.
两切线互相垂直，则%/= 2%.3婕=6k=—1,解得/ =_，］
答案
回证明
直线£与2x —6y + l = 0垂直，则斜率左= —3.
设直线上与曲线) =%3+3%2—5在点加(%,%)处相切，贝!|斜率左= 3/2+6% ,于是有 
3/2 + 6x0 = -3 ,解得 xQ =-1 ,于是切点为 M(-l, - 3).
故直线 L 的方程为 > -(-3) = -3(x -(-1)),即 y = -3x - 6 .
由 > =工了 =—』得，双曲线在任一点处的切线斜率为左=-2，切线方
142 第2章导数与微分
程为y__L = _3(x —/).上式中分别令x = O,y = O,得切线在两坐标轴的截距分别为 
% xo
r = -,x = 2x0,于是切线与两坐标轴所围三角形的面积为
X。
答案 a--1 , b = l.
两曲线在x = l处有公共切线，则有相同的函数值与导数值，即
(1 + In x)|x=1 = (x2 + 办 + 6)L
(1 + In、儿=i =(炉 + 办 + 6)Li
计算得
回答案
(1 = 1 + q + 6 . Zl=t
( 二 ,解得q=-1,6 = 1.
[1 = 2 +a
£
2 ,
由lim
7/(3 + %) —%3)
= -2,得/'(3) = lim
x->0
/(3 + x)-/(3)x
x
]_
2
切线斜率即为函数在该点处的导数/(-3).因为偶函数的导函数为奇函数，故所求 
斜率为
左=八-3)=—八 3) = (
, ，■可导的偶函数的导函数为奇函数，奇函数的导函数为偶函数，周期函数的导函
数仍为周期函数.
157] 答案 5.
因为函数/(%)在点工=2处可导，所以在点x = 2处连续，于是 
/(2) = lim/(x) = 5.
连续，不可导.
因为出11/(1)=山］1X85二=0 = /(0),所以/(X)在x = 0处连续.又因为极限 
x-0 xf0 £
/,/、 //八、 x cos 5 0 1
「 /(%)一/(°) 1- X V 1―= lim-------- ------ 二 lim cos —
XT o X - 0 Xf 0 x Xf ° X
不存在，所以/(x)在x = 0处不可导.
|回答案 连续，可导.
lim /(x) = lim(x3 +x) = 0, lim f (x) = lim xex = 0, /(0) = 0 , 
x->0- xf(T xf()+ xfO+
显然，lim f (x) = lim /(%) = /(0),所以/(x)在x = 0处连续.因为 
Xf。- xfo+
第2章导数与微分 143
£(0) = lim ,⑴-= lim X +X = lim(x2 +1) = 1 , 
x->0- x x-»0- X x->0-
G g v /(x)~/(0) v 疣"一° r x i
力(0) = lim —乙」=lim----------= lim e = 1,
1。+ X X->0+ X XT°+
显然，£(0) =4(0) = l,所以/(x)在x = 0处可导，且"0) = 1.
|曲答案
lim /(x) = limx3 ]nx = 0, lim/(x) = lim(x3 +lnx) = 1 ,
x-»r x->r x->i+ x->i+
显然，lim/(x) w lim/(x),所以/(x)在x = l处不连续，从而在x = l处也不可导. 
XTr Xfl+
回答案
要使/(%)在X = 1处可导，则/(x)在X = 1处必连续，即
lim/(x) = lim/(x) = /(l),
Xfr X->1+
由此得a + 6 = 0,且/(l) = a + b = 0.由导数定义知
/，/八 1- f (^) — f (1) v 办 2+b —(a + b)
尸⑴=lim ~= lim------------ ------- - = lim a(x +1) = 2a ,
x->r % — 1 x->r x — 1 「
要使/(x)在冗=1处可导，贝"<1)=力(1)，于是。=-],再由a + b = 0得6 = '.
所以，当。= -]*  = ]时，/(x)在工=1处连续且可导.
I (C).
lim f (x) = lim x2(p(x) = 0, lim f (x) = lim 1n" +J干。=lim 三-=0 ,
xT(r x->0- x->0+ x->0+ x x->0+ x
/(0) = 0.^(0) = 0,
由lim /(x) = lim /(x) = /(0)知，/(x)在x = 0处极限存在且连续.
Xf 0- xfo+
/，力 r /(x)-/(°) r X2(p(x) - 0£(0) = lim = lim —— =lim x(p(x) = 0 ,
x-^0~ x xf (T X x->0-
ln(l + 2x3)
,，仆 r /«-/(°) r ? r ln(l + 2x3) 0
f/(0) = hm = lim----- - ----------- = lim —-— -=2 ,
x->0+ X XT。+ X XT。* X3
由£(0)w4(0)知，/(%)在x = 0处不可导.故应选(C).
I阚答案 9f+2/-£, 4 + 2e. 
x
/(x) = (3x3y+(2exy-(51nx/ +(sinl/ =3(x3/+2(ex/-5(lnx/+0
= 9x2+2ex-^ , 
x
/”)= /a)L=9 + 2e-5 = 4 + 2e.
144 第2章 导数与微分
cosx-xsinx + 6x , 竽，6n-l.
f'(x) = (xcosx)’ + (3x2)' = cosx-xsinx + 6x ,
(曰)= cos 日一日sin曰+ 6x? = 0— 曰+ 3兀=芋， 
7 \2) 2 2 2 2 2 2
/'(兀)=cos 兀一兀 sin 兀 + 6兀=6兀 - 1.
I的答案 -ex(cosx + 3sinx).
yr = (ex )z(cos x-2sinx) + e*  (cos x-2sin x)'
=ex(cosx-2sinx) + ex(-sinx- 2cosx) = -e"(cosx + 3sinx).
2x arctan x-In x.
yr = ((1 + x2)arctanx)r -(xlnx)r
=(1 + x2)' arctan x + (l + x2 )(arctan x)r - [(x)' In x + x(ln x/]
2 1=2x arctan x + (1 + x )--------
1 + x
lnx + x-- 
x
= 2xarctanx-lnx.
na答案 -3j3 +
2
(x-l)ex
-3(sinx + xcosx).
先化简函数，＞ =
+ xqx - 3x3 sin % ~ qx . 十日-------- ------------ =x 幺  3xsinx ,才是
X--------------------X
-3(xsinx/ =-^-x 工+0__£— 3(sinx + xcosx). 
2 x
先化简函数，再求导数，可以简化计算过程.
xcosx-sinx-l 
(x-cosx)2
sinx
x-cosx
_ (sinx)，• (x - cos x) - sinx •(% - cos x)r
(x-cosx)2
cos % • (x - cos %) - sinx • (1 + sin x) _ % cos x — cos?% — sin x — sir?》
(x-cosx)2
xcosx-sinx-l
(x-cosx)2
■ x4 -3x2 + 2x + 9x2 lnx-4xlnx
(x-cosx)2
(31nx + x2)2
<21nx + x3 
k 3 In x + x2
(21nx + x3/ -(31nx + x2)-(21nx + x3)-(31nx + x2)r
(31nx + x2)2
—+ 3x2 | • (3 In x + x2) - (2 In x + x3) * | — + 2x
施］答案
y=
2
x X
(31nx + x2)2
第2章 导数与微分 145
x4 -3x2 +2x + 9x2 lnx-4xlnx 
(31nx + x2)2
f ex(x2+l)Y _ (ex (x2 + l))z - (x +1) - (ex (x2 +1)) - (x + l)f
[x + 1 J = (x + 1)2
♦ (— + 2% +1) . (x +1) - e" +1)^ ex(x3+2x2+3x) 
(x + 1)2 — (% + l)2
2x
【提示】先求出函数/(%),再求导函数/'(x).
答案
1 /2 f > 2令I"得顽"号，即/剑用,于是
(x2 + 2)V +3) — (/ + 2)(X2 + 3)'= 2x(x2 +3)-2x(x2 +2) _ 2x
L (7T3p = = 7+3)2 -
评注1 、
" /卜-L)不是/(x)，求/'(x)不能直接对了卜-g卜勺表达式求导数,需先求出 
函数/(X),再求导函数/'(%).
答案
1 
/(x)= — (2x-1)2 x < 0
x > 0ex(sinx + cosx),
当时"'⑴
当x > 0时,
当x = 0时,
八%) = 0 sinx)r = ex sinx + ex cosx = ex(sinx + cosx);
____ o
/2(0) = lim = lim ------= lim --  = -1.
一 x->0- X-0 Xf。- X x->0- 2x-l
△0)=吟坦孚=吗 ex sin x - 0 =lim ex = 1 
xf0+x
显然£(0)。4(0),从而/(0)不存在.
-------  — 7, x < 0
综上可得，/'(%)= (2x-l)2
e” (sin x + cos x), x>0
146 第2章导数与微分
173] 答案
评注
求分段函数在分段点的导数，必须用导数定义.
]_ 
4
由/(1) = 2知，＞=2时对应x = l.由反函数的求导法则知“(2)=丸=；
评注)
利用反函数求导法则求函数在某一点的导数时，首先搞清楚与比对应的与：若
为=/(%)，贝”/0)|产为
77-^--本题容易错解成d(2) = 焉:
/WL=x0 /⑵ 5
|回答案
]_
2
先求出y = l对应的x值.令3/+2% + 1 = 1,解得x = 0.
因为f\x)= 9x2 +2/(0) = 2 ,由反函数的求导法则知“⑴=(pf(y)\y=i
[175] 答案 -4, 160.
1
7ML
]_
2
亚=4(1 -x + 2/丫 .(1 _% + 2x3)' = 4(64-l)(l-x + 2x3)3, 
dx
所以？ 
ax x=0
-斐
dx
= 160.
X=1
—= (lncose-xy = 
dr
(cos e-x )' - sin e~x ­ (e-x )，_ 一 sin e-x - e~x(-x)f _-x -x
------------ =---------------------=------------------------- =q tan q
cose-x cose-x
评注
y = lncose—x是由y = ln〃, u = cosv, v = ew, w = -x复合而成的，最内层函数是一工, 
求导数时不要遗漏(-工)'.
(1 + .) J2x(l - x)
f
一|血.
第2章 导数与微分 147
先化简函数.分母有理化，有
(V7+i-VT4)2
(a/ X +1 + yj x — 1 )(a/ X + 1 - yj x - 1)
再求导. 于是 V = (x)' — (ylx2 - 1/ = 1 —(*/  1)： = 1---- / ......
2，%2 — 1 y X2 —1
3xln3 + 3x2+xx(lnx + l).
y =(3xy+(x3y+(xxy+(33y=3xin3+3/ +(exlnxy+o 
= 3xln3 + 3x2 + exlnx(x In x)' = 3" In 3 + 3x2 + x" (In x + 1).
3sin2xcos4x.
y' = (cos3x)r - sin3x + cos3x • (sin%)’
=-sin 3x(3x)’ • sin3x + cos 3x • 3 sin2x(sin x)r
=-3 sin 3x - sin3x + cos 3x • 3 sin2x cos x
=3 sin2x(- sin 3x • sin x + cos 3x • cos x) 
= 3sin2xcos4x.
2a/1-x2 .
y' = (xj]_\2 y _ (arccos x)" = \ll-x2 + x---- ,
2 Jl —，
2x + 2y1 x2 +1.
yr = (x2/ 4- (xa/x2 +1/ + (ln(x + Nx2 +1))'
=2x + Jx： + 1 + X , (yjX2 + 1/ H------- / -(X + + 1)
X + +1
= 2x + Jx： + 1 + X--- :X -I-------- -------  14-
2v %2 +1 x + yj x2 +1
= 2x4- 25/ x2 +1.
2cos(lnx).
Jx +1 - x — \
J% + 1 + X — 1
=x — dx2 -1
“ 1、
< V1 - X2 >
y = (x)' • [cos(ln x) + sin(ln x)] + x - [cos(ln x) + sin(ln x)]
=[cos(ln x) + sin(ln %)] +、• - sin(ln x)« —+ cos(ln x) •—
X X
= 2cos(ln x).
148 第2章 导数与微分
回答案 e-x arccot ex.
yf =(一工)'+ ；(ln(l + e2x)/ -(e-x arccot ex/
1 ?e2x
= -l +--------- ----- -e-x arccotex + e~x •
2 l + e2x l + e2x
e2x _ 1
=-1 +----- - + e-x arccot ex +----- -
l + e2x l + e2x
=e~x arccot ex.
国答案I (l-6x* 2)e-3x2.
(sinx + cosx)2
(cos x + sin x)2 + (sin x - cos x)2 _ 2
(sinx + cosx)2 (sinx + cosx)2 '
〃 2 x (-2)(sin x + cos x) 4(smx-cosx)
y =---------------------- ：-----=------------------ .
(sin x + cos x) (sin x + cos x)
1 2x(2) y' = 6x2 arctan x + 2x3-------7 d------- = 6x2 arctan x + 2x ,
1 + x2 1 + x2
f, 1 6x2 _ 1 _ 8x2 + 2
y = 12x arctan xd------ 7 + 2 = 12x arctan xd-------- -
l + x2 l + x2
3k
-12eY
【提示】先求函数/（X）,再求导函数/'（X）. 
/ \tx
/(x) = limx r->oo
t-x
t + 2x
产 1-工
= x-lim----- ^— = xq
1%+利
-3x2
f\x) = (x/- e-3?+ X . (e-3x2)' = e-3x2 + W • (-6%) = (1 - 6x2)e-3x2.
评注J
讨论由极限形式表示的函数时，先计算极限求出/（X）的表达式，再讨论了（X）的 
有关特性.
I晒答案I (1) (3xln3 + 3x )/(3x+x )； (2) (lnx + l)/Vlnx).2 3
⑴+/))'=八3』3)⑶+/ =(3/3 + 3号八3』,
(2) — = (/(xinx)/ = /'(xlnx)(xlnx)' =(lnx + l)/z(xlnx). 
dr
|区2答案|
g\x) = f(2x3 - 3x)-(2x3 - 3xy = (6x2 - 3)f(2x3 - 3x), 
于是 g'(—1) = (6x2- 3)/\2x3 - 3x)L- = 3/(1) = -6 .
EE目答案
.、4(sinx-cosx) 小、8x2 +2(1) ----------------g ； (2) 12x arctan xd---------
(sinx + cosx)3 1 + x2
(sin x - cos x)"(sin x + cos x) - (sin x - cos x)(sin x + cos x)f
第2章 导数与微分 149
f\x) = 3e3x sin 2x + e3x - 2 cos 2x = e3x(3 sin 2x + 2 cos 2x), 
f\x) = 3/(3 sin 2x + 2 cos 2x) + e3x(6 cos 2x-4 sin 2x) 
=e3x (5 sin 2x +12 cos 2x), 
(仃、 37t
(5 sin 7c +12 cos 7r) = -12e
先化简函数，再求导数.j; = iln(l + e2
手 3 (ln(l + e"))，— (J = 1 . -1
dx 2 2 1 + e
(Py 二(l + e2)= Ze?' 
dx2 (l + e2x)2 (l + e2x)2 '
于是亚二」S」
dx.0 2?dx\=0 2-
———19
32 ,
i i %闾'=~/==y=(9——)
1 _3 _：
yr = -1(9-x2p-(9-x2y = x(9-x2):
y〃 =(9一一)《+ x.]—|](9 — .(_2
IQ 
于是广
(C).
yf = lnx + l, yff = — = x~l, y,,f = -x~2, j/(4) 
X
继续求导，可得,。)=(-l)(-2)(-3)...(-
―求函数y =/(x)的〃阶导数时 
/(x)的n阶导数表达式.
(D).
!x)-ilne2x=^ln(l + e2x)-x,
~l + e2x，
12
L1
、2/+9
期:」 — ，
7(9-x2)5
=(—1)(—2)婷，…，
QJ
.8) .上9=毛..故应选(C).
X
,一般先求出前几阶导数，从中找出规律，得到
(.X ] 丫 . 2 X 2
y = sin—+ cos— =sm —+ cos
，I 2 2) 2
于是 y' = cosx, yn = -sinx, y,n =- 
国(A).
X . x X .
—+ 2sin—cos— = 1 + sinx ,
2 2 2
-cosx, x (-l)x (-2)(2 - 3x)7 (2 _ 3xy =(_3)3 x(-l)x (-2)(2 - 3x)-3 ,
/(〃)(%) = (-3)〃(-1)x(-2)…(-(〃-l))x(2-3x)一〃 =:"一¥.故应选(D).
(2-3x>
由/'(%) = "(%)『，得
O =[八切' =2fB.fXx) = 2[/(x)]3 ,
/w(x) ="〃⑹=2 x 3 . [/(x)]2 Ax) = 6 x[/(x)]4, 
所以/解(l) = 6x[/(l)『=96.
y + 产 sin⑶) 2y-J?
1-xy sin(肛)， y2 -2x
(1)方程两边对x求导，得-sin(砂)(y +盯') + —y'-1 = 0 , 
y
第2章 导数与微分 151
解得? = 了 = 
dx
y + y2 sin(孙) 
l-xysin(xy)
(2)方程两边同时对工求导，3x2 + 3y2yf = 6(y + xyf), 解得半7 = 
dx
2y-x2 
y2 -2x
评注
一^^U隐函数求导，求导过程中牢记y是x的函数，y的表达式0(>)对x求导数实际 
上是复合函数求导数，y是中间变量，X才是自变量，°3)对X求导等于
1
2兀
|回3答案|
方程两边同时对％求导，得y +中'-cos(7ty2).2孙. j/ = 0 ,
解得V = — ，2、一，于是Vk。=一2万cos(. )-x I 27i
阿n答案 切线方程是2x + y + l = 0 ,法线方程是x-2y + 3 = 0.
方程两边同时对X求导，得sec2 x +7+ ：)(l + V) = V，
将工=-1/ = 1代入上式，求得外=丁=-2.
于是所求切线斜率左=-2,切线方程为y-1 = -2Q + 1),即2x + y + l = 0.
法线斜率质=-工=工，法线方程为y-l = }x + l),即x-2y + 3 = 0. 
k. 2 2
|回答案
将x = 0代入方程得y2 +2 = 3y ,解得必=1,% = 2.
方程两边同时对工求导，得2刃/ + 2e孙3 +盯') = 3y',
解得八 ,于是外=。=2,外=。=-4-
3-2xQxy -2y j=i 1=2
所以曲线在点(0,1)的切线方程为y -1 = 2(x - 0),即2x -歹+1 = 0.
曲线在点(0,2)的切线方程为y-2 = -4(x-0),即4% +歹-2 = 0.
|匣目答案
由方程切3) = e'lny得，当x = 0时，y = l-
方程两边同时对x求导，得/") +犷= + ,
y
将% = 0,y = 1"⑴=1代人上式，得半 ='.
dx n eX=0 ~
।画答案
由曲线 y = x1 + ax + b 过点(1,-1),得 一1 = 1 + a + 6 ,即 a + 6 = —2 .
对曲线> =/+办+ 6,有j/ = 2x + a,在点(1,一1)处的切线斜率为Wx=1 =2 + a ；
对曲线2y = 4 _i,两边同时对x求导，得2j/ = y3+3研之.了,解得一 ,在点 
2-ixy
152 第2章 导数与微分
Q,T处的切线斜率为此：E =】. 
y=-i
由题意知，两曲线在点处有公共切线，所以2 +。= 1,解得。=-1,从而b = —l.
醺答案
2, +/）
（%_歹）3 .
方程两边同时对X求导，得"=-（X2 +力= 2 fzY
% ' 1 +0⑴
解得了 =山.于是
X 一7
37g+2抄，）=表中
(X + y)'(x _ y) _ a _ y)(x + y) 
(x-y)2
(1 + j/)(x — y) — (1 一 y')(x + y) _ 2/ + 2孙，= 2, +/) 
a-4 a-" a-4
的答案I e + 2
(e + 1)3
将x = l代入原方程，得＞ = 1.
原方程两边对x求导，得eyyf + y + xyf = 0 , ①
①式两边继续对x求导，得/（了）2+门叶+ 了 + 了 +孙〃 =0, ② 
将—1依次代入①式和②式，得加）=-占"1）=高.
日必答案
等式两边同时对工求导，得3/+3/5+ 3（祟）察=°，
1 d2y
Ty将工=1〃 = -1依次代入已知等式和上式，得包
QX
醺答案 21nx
X=1
片T
x=l J=-l
= -2.
方法一：对数求导法.
两边取对数，得隐函数Iny = lnx・lnx = （lnx）2 ,
上式两边同时对x求导，得Ly' = 21nx/，于是y' = y•四” = 21n冗•/“t. 
y x x
方法二：复合函数求导法.
y = /x=eM' =e(inx)2 ,
所以 V = e(mx)2 .[(inx)2]' = X,nx •(2Inx• § = 2InX• .
第2章 导数与微分 153
评注J
一 "第指函数y = 〃(x)心)(〃(x)>0)求导数，常用两种方法.
(1)对数求导法：将y = ⑶两边同时取对数，得lny = va)ln〃(x),然后利用隐函数求
导方法求出导数.
(2)复合函数求导法：把函数变形为y = e也加"⑸，然后利用复合函数求导法则求出导数.
(1 + sin x)x2 2x ln(l + sin x) + x1 2 -
1 
所以 y =(i + ?)：
ex
cosx
l + sinx_ '
方法一：两边取对数，得Iny = %21n(i + sinx),
上式两边同时对x求导数，得。2xln(l + sinx) +，.生，所以
y' = (1 + sin x)x2 2x ln(l + sin x) + x2 • cosx
方法二：y = (l + sinx)，
ln(l+sinx)x2
V
l + sinx_ '
_ x2 ln(l+sin x)—v
_ aflnQ+sinx) 
y — c • ln(l + sin x)j =(1 + sin x)，2x ln(l + sin x) + x2 - cos%
l + sinx_'
EE答案
1 ex )
cosxlnx +—sinx +----------x 2(ex-l)J
两边取对数，^#lnj； = sinxliix + ^ln(ex -1),
上式两边同时对工求导，得Ly 1 . ex 
cosxlnx + —sinxH--------
型=了= 
dx
[21l] 答案
1
(1 + 2犷
2
ex
cosxlnx + -sinx + 
x
2 ( 11 八「、—— —ln(l + 2x) +
x { x
x 
ex 
2(e「l)
2 + 2x
l + 2x
2(ex-l)
,于是
1 2
两边取对数，得Iny = -yln(l + 2x)--,
X X
上式两边同时对工求导数，得丫 = -之111(1 + 2工)+ ± .二-+ 4 , 
y x x l + 2x xz
12 f 1 八 ~、 ——| — ln(l + 2x) +
X
2 + 2x
1 + 2%
I答案
(x + l)2 .j2x + 2 5 10
(工一1)3.^^(2(% + 1) 3(x-l)J,
两边取对数,得Iny = 2ln(x +1) + ；ln(2x + 2)-31n(x-l)-|ln(3x-3),
上式两边同时对X求导，得上•了 = 
y
2 1 2------- 1---------- 3 1 3
x + 1 2 2x4-2 x-1 3 3x-3
所以%广* 5 10
2(x + l)-3(x-l)
154 第2章导数与微分
[213] 答案 / In x(ln x +1) + x*T  ].
两边取对数，得lny = x"lnx.
上式两边再取对数，得Inlny = xlnx + lnlnx .
上式两边同时对x求导数，得—L.Ly = inx + i + L，. 
Iny y Inx x
所以;/ =产 /"Inx lnx + l +
x]nx )
In x(ln x + l) + ].
4 针(In x +Ip+2 铲I
首先夕=针=。2苗"于是
y = (x2xy =(e2xlnxy = e2xlnx(2xInx)f = 2x2x(Inx +1),
y,r = (yy = 2 [x2x(lnx +1) J = 2(针/(lnx + l) + 2x2x(lnx + l)r
= 4x2x(lnx + l)2+2x2x-1.
[2151 答案 d2y _ yQn y +1)2 - x(ln x +1)2 
dx2 孙(In 7 + 1)3
方程两边取对数，—lnx = —Inj；,即xlnx = yln). 
y x
上式两边同时对工求导数，得lnx + l = (lny + l)・V，解得了 =皿上1,于是 
ln〉+ l
d y _ t , Inx + l^j _ x y _y(lny + l) — x(lnx + l)
Ax1 ' [iny + lj (lny + 1)2 孙(Iny + lp
同日答案 (1) —T； (2) -tanz.L - t
4v
⑴变=¥
Ax dx 
dt
(2t2 Y 4/
11 + 月—(1 + 行= 2t
(2t V~2(l-/2)-l-/2
IwJ(1+行
dy _ _ (sin3Z)r _ 3sin2Zcosr
dx xr(t) (cos3Z)f 3 cos2, (一 sin/)
⑵
\2V7 答案
4y _ j/«) _ ((7 + 1对)_ « + 1注/+1
dx xr(t) (t2e2ty + l)e2f 2tC
所以上/爱
第2章导数与微分 155
的答案 x-y = 2-in3.
1
如二(In" 犷工))]」
心 (7?+3/
2+3
当，=1时，曲线上相应的点为M(2,ln3),该点切线斜率人当 
ax 
y-]n3 = x-2 ,即％-y = 2-ln3.
=1,于是切线方程为
t=\
的答案 切线方程为x —2y + 2 = 0,法线方程为2x + y — l = 0.
dy yr(t) _ (ez cos// _ ef cost-ef sin^ _ cos/-sinZ
dr xf(t) © sin 2t)f e' sin 2t + 2ez cos 2t sin 2t + 2 cos 2t
当X " 时’”。,且土。小 
于是切线斜率《=L 切线方程为y-l = ；(x-0),即x-2y + 2 = 0.
法线斜率左2=—1=一2,法线方程为y —1 = —2(x —0),即2% + y —1 = 0.
Ay _ At _ (z1 cos/-sin/) _ (cos/-Zsin Z)-cosZ _ ‘
dx dx (cos。' - sin/
dt
求2?,即求支，参数方程为[：=cos% ,由参数方程的求导公式，得
dx dx [y =t
答案
虹①(3 W±3(s 
改 xr(t) (arctan/)" ],
交二支=(3(1 +嗯工二空dL=⑵"")2 
山dx (arctan ” 1,
156 第2章 导数与微分
答案
"""" 2 8
dy _ _ (sin/)r _ cost
dx xf(t) ©+/)' e'+l'
(cos/ Y -sin/-(er +l)-ez cost
d2y _ dyr _ +1J _ (er +1)2 _ (e'+l)sin，+ e'cos，
dx2 dx © + t)f er +1 (e' +1)3
于是变」吗」
*鹏 2'd4=0 8
[223) 答案 dy\x=3 =2.8, AyL=3 =2.891 ；
Ax=0.1 Ax=0.1
dy\x=3 = 0.28 , AvL=3 = 0.280901. 
Ax=0.01 Ax=0.01
微分 Ay - /r(x)Ax = (3x2 + l)Ax ,增量 Ay = f{x + Ax) - /(x).
dy\x=3 = (3x2 + l)Axl =3 = 2.8, Ay|x=3 =3.13 +3.1-(33 +3) = 2.891.
Ax=0.1 z\x=0.1 Ax=0.1
切 x=3 = (3x2 + l)Axl =3 = 0.28, Ay|x=3 =3.013 +3.01-(33 +3) = 0.280901.
Ax=0.01 Ax=0.01 Ax=0.01
I区)答案
1
3
由题设条件知，函数增量削=)!=& +o(Ax).于是由微分的定义知，/(x)可微，且 
V1 + %3
/v)=-7=l=,所以/'(2)=]
Vl + x3 3
[225] 答案 (C).
在点X。处,叱")—于是R嗯=1,所以⑪是与Ax等价的无穷小.故应 
选(C).
I瓯答案
、 I . 2 sin2^- . X 1
(1) — -sin --e Xax ； (2) arcsin —dx .
esi^2sinirsinlKe^.2sinl.cosl.fiy 
x V xj x x
e-2i.2sinl.cosir-J = -±sin^esm2i
X X y X J X X
4匚]\r」 .J 1 . 2 sin2-
所以 ® = y dx =— -sm —-e Xax .
X X
(2) yf = (x)'arcsin —+ xfarcsin+ (yl4-x2/ = arcsin —+ x-/一 • - + —2-二
2 I 2) 2 1—咨 2 2a/4-x2
% ] —X X '
=arcsin — + x • / + / = arcsin —,
2 74^7 74^7 2
所以 dy = y'6x = arcsin —dx.
[227I 答案
1 2
(1) —rAx ； (2) ——In 2dx.
2A/2 5
第2章导数与微分 157
小， 1 c । ・ 、， cosx(1) y = ­ / …二一 • (2 + sin x) = ~/ ：…-
2/2 + sinx 2v2 + sinx
十日 cosx
于7HyL° = 2j2 + sinx =4=。*=击叱「总虬。
⑵六号马+ 2»△2”,(3)，二章”
于是 了匚=—j： 2产 =一 11口 2,切I = VL dx = -|ln2dx.
X=1
cos")dx 
2+cos(x + y)
方程两边同时对x求导，得2V + cos(x + y) • (1 +;/) = 0 , 
解得八一彘簧，于是朝次=.黑|北
当x = 0 时，y = L
方程两边同时对x求导，得e» ・_/+ (>+砂。-0 = 0 ,
|圆答案 —dx. 
e
解得歹仁。
ey +x x=0 
y=i
T，于是微分吼=0=八=0*=- ：叱
--dx. 
2
_lx2
由导数定义知，八0)=理号泮已映空=鹫+ = 一；
所以微分寸⑴匕=r(o)dx=-1dx.
答案
由 y = (1 + e* )x = exln(1+eX),得
/ X \
y = exln(l+^) . (xln(1 Qx^ = q + exy 1n(1+ 1) + %. ,
I 1 + e )
所以 dy = yfdx = (1 + ex)x fln(l + ex) + |dx.故应选(A).
I 1 + e )
(1) ^x3 +c ; (2) ；sin3x + c ; (3) Inlnx + c ; (4) arctanex + c.
⑴ x2dx = d^|x3j = dQx3
(2) cos 3xdx = | cos 3xd(3x) = 1 d(sin 3x) = dsin 3x + c) .
(3) —-—dx = d(ln x) = d(ln In x) = d(ln In x + c).
xlnx Inx
答案
158 第2章 导数与微分
QX J
(4)-— —Ax = - d(ex) = d(arctanex) = d(arctanex + c).
|23^ 答案 (C).
由 /得/(o)= O.因为
所以lim
x->0
/(%)-”0) 
x — 0
=0,于是lim1⑴一"°)=0.
Xf ° x-0
由导数定义知，/㈤在点”0处可导，且八0尸1面小)一〃°)=0.故应选(C). 
5 X-0
9(1)1； (2) 100! ； (3)—言
(1)利用导数定义.注意到/(0) = 0,且arctan二〜二乙(1—0),于是 
1+x 1+x
/r(0) = lim/(")_/⑼: lim 上
XTO X — 0 xtO
x2 -1 x 2x
—；— arctan------
% +1 1+x
X
4 
= lim 3 + ^1
2xarctan------
1 + x
x
x2 -1 2x
=3 + 1而*+1  1 + x =3-2 = ]
10 x
⑵利用导数定义.
r(100)= lim/)—”10°)= lim x(x-l)(x-2)...(x-99) = 100!. 
Xfioo x_100 X^IOO、八 / \ 7
(3)函数表达式是多因子乘幕，用对数求导法.
两边取对数,得Iny = ln(x3 + l) + 1ln(3x + l)-21n(x + l)-2x ,
上式两边同时对x求导，得上了 =卓\ + —-------?_一2,
y x3+l 2(3x + l) x + 1
所以
dy _ r _ (x3 + l)j3x + l ( 3x2 
~^c~y ~ 一(x + l)2e2x
-1------ ------------------2
x3+l 2(3x + l) x + 1 J
4y 
dx X=1
[235] 答案
/W-/(0)l |/(X)| 
x-0 I I x I w 二 =|x|, 
X
x—>0、
£ 
6
、
7
3 2
/㈤可导必连续，由题设知，lim[/(x0 + 3/z)-3/(x0 -h)] = -2/(x0) = 0 ,于是/(%) = 0.
因为lim
A->0
/(% +3%)-3/(% 一〃)
h
= lim3网-31加小曰
h—>Q 卜 h—>0 卜
/(%+3〃)—/(%)
二31im
20 3〃
+ 3 lim
20
/(玉一 〃)一/(%) =6/'(%),
第2章导数与微分 159
由题设知6八%) = 1,所以/'(%) = 9.
6I (D).
先求极限 lim」-In/(sin 工).因为 lim/(sinx) = /(O) = l ,于是 
lim y-ln f (sin x) = lim ; In [1 + f (sin x)-l] = lim^-[/(sin x) -1]
=lim —— ~ ~~~~ — lim —— ； ~ ~~~~ ,乎J/(0) = 2,
x->o 2x xf。 sin x — 0 2x 2
所以 lim[/(sinx)]^ = lime2xln/(smx)= e2.故应选(D).
答案
/,(%)=：吗！,切线斜率左=/，⑴=一号，切线方程为7 — = —乎(%一1)・ 
(1 + x ) 4 2 4
2
令歹=0,得&=1 +丁，于是
lim /© ) = lim --~=------------------
77->OO f O Y" I o
1+ 1 + — 1 + lim 1 + —
I 3n) 1 3yi
x + y + l = 0.
1
-1 + e2 '
由题设极限知lim[/(3x-l) + 3] = 0,从而/(2) = lim/(3x-l) = -3.于是
lim
Xf 1
/(3f + 3 
x-1
= 3・lim
X->1
/(3x-l)-7(2) 
(3x-l)-2
=3 八2) = 3,
从而八2) = 1.故法线斜率无=-1,法线方程为7 + 3 = -(％-2),即x + y + l = 0.
1, X < -1
=< x2, -1W x W1.
1, X>1
先根据极限求出/(%)的表达式，再讨论了(%)的可导性.先求出/(%).由 
lim41 + / =max{l,x2}知 
W—>00
x2 x2 £/W =------r=r =------7T^\ = {1
limVl + x2w max{l,x } [1,
W—>00
|内1 
|x|>l
于是 £(1) = lim 一罟"lim y=2,力⑴=lim "乃一?=li平—=0 , 
xtr X — 1 x->l X — 1 X-1+ X — 1 x-> 1 X — 1
显然，£(1)。4(1),所以/(x)在工=1处不可导.同理可以说明/(%)在％ = -1处也不可 
导.函数/(%)有两个不可导点，故应选(C).
|即答案
160 第2章 导数与微分
g(x)在x = 0处连续，则
, 仆 r /、「/(e2x) + ln(l-4x) r /(e2x) r ln(l-4x) 
b = g(0) = limg(x) = lim-   ------- - = lim—~- + hm-------- -
xtO x->0 % x->0 jq x->0 x
= lim/(e-)-/(D 
x->0 q2x —]
e2x -1
x
—4x
+ lim— = 2/(1) -4 =-2.
5 X
3ax + b,
(1) 尸忸3。+ 6 + 1),
x < 1
x = 1 ; (2) a = l, b = —2 ；
x>l
⑶八咻;2
(1)当 X>1 时,
x
x>l
//、x3 - 3ax+ b 3 
f (x)= lim---------+ lim ――；— =x
W->00 ] _|_ 1) 8 e"(“-1)+ ]
当 x = l 时，/(x)=；(3a + b + l)；当 x 1(36/4-6 + 1),
(2)/㈤在％ = 1处可导必连续,所以lim/a)= lim/(x) = /(l),计算得3a + 6 = l,且 
Xfr XT1+
此时
，，/八 r /㈤一/⑴ V 3ax+ A-172(1) = hm 八'八’ =lim------------- = 3a ,
x-l xM x-l
f；(l)= lim /⑴ ->⑴=lim
Xfl+ x-l xM x-l
要使函数/(x)在x = l处可导，则IZXD =力(1),于是。=1,从而b = -2. 
所以当。=1涉=-2时，函数/㈤在％ = 1处可导,且/'(1) = 3.
(3)计算易得，当xvl时，f(x)=3 ;当>>1时,ff(x)=3x2.因为"1) = 3,所以
fM=
J3, x W1
[3x2, x>l
sin 2x(/r(sin2x) - /r(cos2x)), 0 .
^ = (/(sin2%))' + (/(cos2x))" = 7'(sir?%) . (sin2x)r + /r(cos2x) • (cos2x), 
=/X(sin2x) - 2 sin x cos x + /r(cos2x) - 2 cos x(- sin x)
=sm2x(/z(siii2x) - /\cos2x)),
=sin 2x (/'(sir?%) - /z(cos2x))[=四=sin 兀(/'⑴-/'(0)) = 0.
答案I 6#T/(1 + 3x2)]./(1 + 3x2).
X < 1
X = 1 .
X > 1
=3 ,
4y
第2章 导数与微分 161
/ = {/"(1 + 3眉]}'=/'"(1 + 3马]仅1 + 3切,
既答案
fW + 3x2)]-/(l + 3/)(1 + 3x2y = 6xfW + 3x2)] •，(1 + 3x2).
I -12.
由题设知，两曲线在点％ = 1处的切线相同，于是有
/(1)=
3 + lnx
x
= 3J'(1) =
X=1
3 + lnx
x
2 + lnx
X=1
=-2
X=1
由复合函数的求导法知，
r(x) = [/2(e^)J =2/(e")[/(eX)J =2/(1)广(/)(/)' =2ex/(e")/'(ex), 
所以k(0) = 2e"C)/ e)L = 2/(l)/Xl) = -12 ・
2.
p/(x) _ 1
方法一：由极限 lim£— 1 = 2知，lim(e〃x)_l) = 0,故 lim/(x) = 0.于是
XT0 1 - COS X XT° Xf °
r e/(x) -1 r /(x)_r
lim----------= lim -....... = lim--------= 2 ,
Xfo 1 - COS X Xf。1 x2 xf0 X
从而得八0)= lim f(x) = 0 ,因此 lim"T = iim£WzZI22 = /"(0) = 2.
XT。 Xf 0 1 - COS X IO x —0
方法二：特例法.令/(%)=/,则/(%)二阶可导，且满足
e/(x) -1 r e'-l x2 c
lim---------- = lim----------- = lim-— =2 ,
Dl-cosx 1-cosx 7 尹 2
求得/〃(x) = 2,于是广(0) = 2.
0.
方法一：半=/r(x2)(x2y = 2xf\x2), 
ax
些=2"，)+ 2x[ff(x2)]f = 2/V) + 2切〃(」)• 2x = 2/V) + 4x2f\x2),
ax
鲁=2L/V) 1 +(4x2)yv)+ 4x2[/v)r
ox
=2/V)- 2x + 8V*" ，)+ 4x2/w(x2)- 2x = 12xf\x2) + 8x3/w(x2),
|阿答案
所以 L=o
方法二：因为^ = /（一）是偶函数
,所以半是奇函数，是偶函数, 
ox ax
是奇函数,
于是整
=0.
lx=0
162 第2章 导数与微分
©
由 /，(%)=/a),得
/(x) = (/'(%))'=("⑸)'=，⑺• f\x) = e2/w ,
/〃，(x) = (/〃(%))' = (e2/(x))r = e2/(x) - 2f\x) = 2 - e3/(x),
/(4)(X)= CTO))' = (2e3/(x)y = 2e3/(x) - 3/r(x) = 2x3-e4/w ,
/(〃)(x) = («-1)! • /⑴.故应选(C).
她答案
令〃(x) = (x + l)”,v(x) = e",则/(x) = 〃(x)v(x),且
i =0(左=0,1,2/.,〃一1),[〃(切(]]=川,心)J =e-1
由莱布尼茨公式，得/⑺a)=fc»a)r)[v㈤尸。所以
左=0
/伙-1）=支C：［〃（蛾［心）厂"一 =C：［〃⑼⑺似切L = e •
x
— + 1）3 .
方法一：用反函数和复合函数求导法则.
四日答案
首先? = 1 + •1 = 1±1,由反函数求导法则，得?=]=三，于是
dr xx 4y 8 x + 1
dx
仁〕1
____ ______ _ 1X + 1J _(X +1J * _ ] . _ x
dy2 dy dy dx dy (x + 1)2 x + 1 (x +1)3
方法二：用隐函数求导方法.
等式y = x + lnx两边同时对歹求导，得1 =四+工•生 
dy x dy
a2x 1上式两边继续对,求导，得。卷t 1 d2x
H----------------- y
x dy2
x d2x解得导E旷正而
,3 •
⑴连续、可导；（2）/口尸＜
3x2 sin - - x cos — + cos x, 
X X
1,
连续、
x = 0
不可导;
⑶ r(x) =(6x-ijsinJ--4cos--sinx(x w 0).
吼
x
x X
(1)由 lim f (x) = sin-^ + sinx +1^ = 1 = /(0)知 ,/（X）在X = O处连续;
第2章 导数与微分 163
x3 sin—+ sinx
------------------ = 1 知，/(x)在 x = 0 处可导，且/'(0) = 1.由1/㈤一/(0)=1而 
x->0 x-0 x->0 x
(2)当 x n 0 时，/'(%) =卜sin —+ sinx + 1 = 3x2 sin-i-xcos—+ cosx ,
X X
由⑴知,r(o)= i,所以/'(%)=<
2 1 1
3x sin - -xcos — + cosx, xwO
X X
因为瞥/口)=瞥
1, x = 0
(3, sin J- - x cos — + cos x卜1 二40),所以r(x)在x = 0处连续,
由于极限lim 
x->0
r«-r(o)
x-0
=lim (3% sin」一 cos 工 +“ 一」)=一 lim cos , 不存在,因此 f\x) 
xtO \ X X X ) x-»0 X
在x = 0处不可导.
(3)当xwO时，/〃(x) =(3. ・ 1 1sin --xcos—+ cos 6T
.I . 1sm --4cos--sinx ,
由⑵知，/〃(0)不存在.所以/〃㈤= 6%- —Isin --4cos --sinx(x^O).
X) X
(251]
答案
将％ =
-2.
0代人方程，得/(0)=此=0=1.
X X X x
X
方程两边同时对X求导，得与上 = (3，y + ；oo 2 '，
X X
|252|
答案 —1.
由方程盯一e"+e> =0知，x = 0时，y = 0 .
方程两边同时对x求导，得y + W-e"+-]=](工-0),即y = ](x + l). 
£
2
第2章导数与微分 165
y = 2e2V\e23,增量细的线性主部即函数的微分，于是有
dy|x=o = = 2e2V\e2x)Axl=0 = 2/(1) x (-0.1) = -0.1,
Ax=-0.1 Ax=-0.1 Ax=-0.1
所以r(i)=]
[257] 答案 九4—GX .
12
/2x-l
Ittt
,/2x-l
I x + 1
2x-l 
x + 1
，/2x — 1 3
x +1 J (x +1)2
jr __ jr
于是"⑵=/\1)- - = -arctanl =—,从而dy\x=2 = yf(2)dx = —dx. 
D D _L / 11N
dy
⑪二市二[/(r—1)]'= 3t2 /(/ _i)= 3/ .八/一 i)
近一空—[/On。]' _ r(ln/)-| 一 八山，)
d/ t
丈二 3户•/'(/_ 1)
7Hd%仁1 /'(In。
3/(0) 
八0)
=3 ,从而微分 dy\t=i = 3dx .
第3章微分中值定理与导数的应用
|演答案 (B).
判断函数在指定区间上是否满足罗尔定理的条件①、②、③，(A)中函数在x = 0处不可 
导，不满足条件②；(C)中函数在端点/(0)。/(-1),不满足条件③；(D)中函数在x = 0 
处不连续，不满足条件①，(B)满足三个条件，故选(B).
本题考查罗尔定理的条件，务必牢记三个条件缺一不可.
函数y = lnsinx在—上连续；在 
_6 6 _
(71 5冗) 4—TE 口 ， COSX 
一，一内可导，且了 =--- = cotx;
16 6 J smx
-ln2.因此函数在上满足罗尔定理的三个条件，则在区间
-6 6 _
71 571 
6}~6~
jr
内至少存在一点4使得/C) = 0.由v(j) = cotg = 0nj = ,£
71 5几
65T
^^3解析 令 F(x) = f(x)- arctan x ,则函数 F(x)满足 <
'①在［0刀上连续 
②在(0,1)内可导.
③b(0) = "1) = 0
由罗尔定理知，在(0,1)内至少存在一点八 使得尸隹)=0,即J是产(x) = /'(x)-
=0的根，故方程(1 + x2)/'(X)= 1在(0,1)内至少存在一个根片.
1 + x
1利用结论倒推找原函数是中值定理证明题的常用方法.
(l + x2)/'(x) = l o /'(x)---- ==0，找出原函数为厂㈤=/(%)-arctan %.
1 + x
国解析 令尸(x) = 4x +色/+竺/+... + 卫/+1 ,显然函数在［0,1］上连续，在(0,1)内可 
2 3 w + 1
导，F'(x) = % + ciyX + 2川+ …+且尸(0) ~ 0,尸(1) = % —~ ~1—— H----- 1    = 0 ,由 罗
2 3 n + \
尔定理得,至少存在一点火(0,1),使得尸隹)=0,即％+贴+名3+…+。若"=0,从
而证得方程/ + axx + a2x2 +…+ a/" = 0在(0,1)内至少有一个根.
方程根的存在性的证明一般考虑如下两种方法：
(1)闭区间口,切上连续函数的零点定理；(2)罗尔定理.
幽解析 因为lim2^ = lim"") —= 0 ,所以 /(0) = 0/<0) = 0. 
x->0 JQ x->0 x-0
由于/(I) = 0 ,因此/(x)在［0,1］上满足罗尔定理的三个条件，故至少存在一点B g (0,1),使
第3章 微分中值定理与导数的应用 167
得/'6) = 0,从而函数/'(%)在区间［0&］u ［0,1］上满足罗尔定理，因此在(0&)u(0,l)内 
至少存在一点J ,使得/〃(？ = 0.
解析 由题设知，/(%) = //(%)在［0J］上连续，(o,i)内可导，且/(0)=尸⑴=0.由罗尔定
理知，存在刍£(0,1),使得尸'&) = 0.
Fr(x) = 3x7(x) + x7r(x),由于尸口)在［0,如上连续、可导，且尸，(0)=k&) = 0 ,因此 
由罗尔定理知，存在&£(0白)，使得片&) =().
尸〃⑴=6xf(x) + 6x2f(x) + x3f\x),因为 F\x)在［0& ］上连续、可导，且尸〃(0)= 
尸〃($) = 0,所以由罗尔定理知，存在会(0名)u(0,l),使得尸〃'C) = 0.
win
5在某些证明题中，罗尔定理需要反复使用.
’①在［0,1］上连续
解析 令F(x) = f(x)-Q-x ,则函数F(x)满足\②在(0,1)内可导
③尸(0)=尸⑴=0
且F(x) = /(%) — ©) = /(%) +er ,由罗尔定理知，在(0,1)内至少存在一点使得
尸隹) = 0,即/钻)+r=0,故自是/'(x) + er =0的根，得证结论.
评注
利用罗尔定理进行证明，关键是构造辅助函数.要证明形如/R) = g'C)的等
式，则直接构造函数b(x) = /(x)-g(x).
^^3解析
’①在［0,0上连续
令尸a)= ^(x),则函数尸(x)满足〈②在(0, a)内可导，
③尸(0)=尸(a) = 0
且尸口)=/(工)+犷口)，由罗尔定理可知，在(o,a)上至少存在一点g,使得尸e)=o, 
即/C)+“C) = o,得证•
一利用罗尔定理进行证明，关键是构造辅助函数.要证明形如/'(4)+ gC)/«) = o的 
等式，则构造函数产(%)= /(%)・ Jg。声 如上题，由/0+"隹)=0得/隹) + ("C) = o, 
从而可知 g(x) = L ,故构造函数77a) = /(x)-e^ = /(x)-elnx =xf(x).
访力解析
隰1解析
同上题构造方法，令尸a)=，/a),由题设知，函数尸(%)在［oh上连续，在 
(0,1)内可导，且尸'0) = 24>)+，/口),/(0)=尸(1) = 0.由罗尔定理知，在(0,1)上至少 
存在一点自，使得砥？ = 0 ,即24/0+铲/C) = 0 ,从而f'& =-空0，得证.
’①在［0刀上连续
令F(x) = /(x)/(1-x),则函数F(x)满足 < ②在(0,1)内可导.
③尸(0)=尸⑴=0
168 第3章 微分中值定理与导数的应用
因此，由罗尔定理知，在(0,1)上至少存在一点自，使得尸(自)=0,即9- 
/("(T) = 0,从而 Jd),得证.
/C) /(T)
一,,一 结论倒推找原函数.由叁=考二誓。/德)/(18) = 0 
/C) /(T)
是 /(I-x)-/(x)/f(l-X)= 0 o［/(x)/(l-x)］r = 0 的根,因此设辅助函数为尸(%) =
/(x)/(l-%).
陋解析
令尸(x) = /2(x)_e"由题设知，尸㈤ 在［0刀上连续，且尸［；］=
尸⑴=4-e>0,则由零点定理知，存在” plj,使得尸⑺=0.
’①在[0力]上连续
F(O) = 1-1 = O,函数尸㈤满足〈②在(0月)上可导,F,(x) = 2f(x)f,(x)-Q\
③尸(0)=尸(〃)=0
由罗尔定理知，在(0,〃) u (0,1)内至少存在一点使得尸痣)=0,即2/(乡f0 =3，从 
而八耻房,得证•
由结论倒推构造辅助函数,/'(J) = —— -> /(%) =上一 o 2/(x)/r(x) = e" o 
2/C) 2/(x)
[/2(x)y = (exy ,因此设辅助函数为厂(x) = r(x)—j.
俄］解析 由/(x)在［0,3］上连续知，“X)在［0,2］上连续，且在［0,2］上必存在最大值M和最小值
则尸(X)在1,1 
一乙
(271] (l)^F(x) = f(x)-x,解析
m,于是次W/(O)WM,mW/⑴因此次W /叱/：:) )⑷为m , 
由介值定理知，至少存在一点c e ［0,2］,使得/(c) = 〃。)+今1)+ /(2) = 1
已知/⑶=1,函数y = /(x)在匕3］上连续，(c,3)内可导，f(c) = /(3),由罗尔定理得, 
至少存在一点J e (c,3) u (0,3),使得/既)=0.
上连续，因为尸(1) = —1<0,尸
由零点定理知，存在使得厂(〃) = /(〃) —〃 = 0,即/(〃) = 〃.
⑵令。(x) = e-力/⑴-幻，则@(功在［0力］u［0,1］上连续,在(0月)内可导,力(%) = 
e-2xW)-l-/［/(%)-%］},且。(0) = 0,0(〃) = e一沏"S) — 〃］ = 0,由罗尔定理得，至少存在 
一点1e (0,7),使得娱)=e^W)-l-4/(9一/} = 0，即/砥)一犯⑹一身=1 ・
第3章 微分中值定理与导数的应用 169
评注J
……：此题中分别用到了零点定理和罗尔定理，两个定理都常用来证明点的存在性.若 
不含有未知函数的导数，可考虑利用零点定理或介值定理；若含有未知函数的导数，则考 
虑罗尔中值定理或其他的微分中值定理.
此题第二问的辅助函数的构造，可以参考如下推导，结论倒推找原函数的方法：
F(x)=/(x)-x
/w- 一哥=1 o /W-l =犯⑹一切 o [/(x) y Wx)-x] It o 
F\x) L = %F(x)二 o [F\x)~ AF(x)] kg =0,因此辅助函数构造为 0(x) = 改 尸(x)=
e-^F(x) = e^[/(x)-x].
[272] 解析 设曲线y = /(x)与7 =-，+& +。在36)内的交点为(%/(°))伍＜。＜6),根据题
意绘图如图272题-图所示.
令尸㈤=/(x)-(-x2 +Bx + C),贝lj
F\x) = fXx) + 2x-B,/(x) = /〃(%) +2.
因为尸⑷=F(b) = F(c) = 0 , F(x)在[a,b]上二阶可 
导，所以在&与匕切上分别运用罗尔定理，故存在 
百 1 e 3c)& £ Cb),使得尸©) = 074) = 0 , 
从而又有尸。)在国,$]上满足罗尔定理，因此存 
在会&g)u 3孙 使得尸〃G) = /〃C) + 2 = 0, 
即D + 2 = 0.
答案
需判断函数在[-1,1]上是否满足拉格朗日定理的两个条件①与②.
(A)显然满足拉格朗日定理的两个条件，故选(A).
(B)中函数在x = 0处不可导，不满足条件②；(C)中函数在X=±1处不连续，不满足条件
①；(D)中函数在x = 0处不连续，不满足条件①.
本题考查拉格朗日中值定理的条件，务必牢记两个条件缺一不可.
(D).
因为已知条件中不能确定函数在闭区间出力]上的连续性，因此排除(A)、(B)、(C). 
于(D), /⑴在女(々向内可导,则连续，从而lim/a)= /C)nlinj"a)-/⑹]=0, 
此选(D).
[275] 解析 y = sinx 在区间[0,x](0 
x-0
rI = sinx
COSX , 从[fn------>cosx.
X
170 第3章 微分中值定理与导数的应用
> -1- ci — b [ ci a _
由于---- (x —1).因为所以 
(e^ - e) - (x -1) > 0 ,从而 ex - ex > 0 ,得证.
因为(arcsinx + arccosx)f = — — J = 0 ,由拉格朗日中值定理的推论知, 
arcsin x + arccos x = C(Vx g R).
冗
将 x = 0 代入得 C = arcsin 0 + arccos 0 =—,得证.
2
e Jc . 2% Y 2 i ( 2x y
因为〔2armnx + arcsmE)= J1 2x、IM
2 1 + x2 2(1") >1、
=------7 + / •—―岩(x N1)
1 + x J(l-x2)2 (1 + x )
2 1 + x2 2(l-x2)^
~l + x2 (x2-l) (1 + x2)2 -'
由拉格朗日中值定理的推论知，2arctanx + arcsin-------  = C(Vx 1).
1 + x
将 x = 1 代入得 C = 2 arctan 1 + arcsin 1 =兀,得证.
构造辅助函数尸(x) = M(x),易知方(%)在口,可上连续，在(。力)内可导，且
尸(%)= /(》)+才⑴，因此由拉格朗日中值定理可知，存在欠Qb),使得尸(?一2")= 
b-a
尸©,即炉(?—叭叽
b-a
屋口解析
第3章 微分中值定理与导数的应用 171
评注J
:…一:本题的关键是辅助函数的构造，由等式右边/0 + 〃'0 =卬(切'|1得到构造 
思路.
醺解析 当 Q = 0 时，显然有/①+ 6) = /(.) +，(6).
当a>0时，在闭区间［0,a］和也a +句上函数“X)均满足拉格朗日中值定理，因此存在 
刍 w(0,a),$£S,a + b),使得
/&)= /⑷-/(0) = ,/，©)= fS + b)-f(b)= f(a + b)-f(b)
Q-0 a (a + b) -b a
由于。<5，且/'(%)在开区间(0,c)内单调递减，因此/'&)>/'&),故 
a
% + 6)-2).因为。>0,所以/(a + b)1
x3-3x2+2 [o] 「
--、--------- - =lim 
x — x — X + 1 | 0 |
3x2 - 6x 
—-----------= oo .
3x2-2x-1
…2一本题考查洛必达法则的应用.使用洛必达法则前务必要先判断是否是不定式.
屈目答案 1.
lim
Xf 1
Inx 0
0_
£
= lim—= 1.
Xf 1 ]
lim
x3 -1 + lnx rol 3x2+-
Xf 1
=lim
XT1
x x
00.
xf 1
x
4
e
x 4
评注J
在使用洛必达法则时，切莫不做判断反复使用，本题中使用一次洛必达法则后, 
不再是“°”或“艺”型不定式，直接可用四则运算求极限.
0 00
［国］答案| 0.
lim
X->4-00
x4+ex 
xex
Xf+00 qX 8
_ v 6x fool v 6 _
+ 0 = lim — —=lim — = 0.
Xf+00 QX |_^J Xf+00 Qx
第3章 微分中值定理与导数的应用 173
1
 - 6
1. x-sinx 等价代换「 x-smx 
lim—-------==lim  
7 x sinx 3 x Im( 
h
 X
洛必达「 1-cosx等价代换
^=lim-----；—==
2 3x2
1
 - 6
0
0
洛必达法则和等价无穷小替换结合使用，可以使计算更简便.总结几组常用的等
价无穷小，当 工-0 时，sinx~R,tanx~x,arcsinx~x,arctanx-x,e*  -1 〜x,ln(l + x)〜x,
1-cosx —x2，(1 + x)a _ 1 〜CCX.
I骸答案
1 1
------- ------ 1----------------
「 In(xlnx) 「 Inx + lnlnx oo 洛必达「 x 、1nx lim ------- - = lim--------------------lim --
k.用 xa xf+oo xa oo xf+oo ax
1 v lnx + 1 加法 1/1 1. 1 1 八
=—lim-------- = — hm — + lim--------- = 0.
a %f+00 xa\nx a 田 xa x-+oo x。山x.
|座目答案
「 e"-sinx-l 等价代换「 ex -sinx-1 lim / lim  ----------
…1-Vl-x2 x lx2
2
洛必达「 ex -cosx==lim------------
X
「 ex +sinx
= lim-----------
x->0
「 arctanx-x等价代换 lim----------- — • .
1。ln(l + 2x3)
「 arctanx-x 洛必达「 hm-------- ------ == lim
x->0 2x3 XT。
-lim 2 ~%2 2-
6 3/(1 +，) 6
醺答案
等价代换一 sin2x -x2 cos2x 11. (sinx-xcosx)(sinx + xcosx)—  lim--------------- ------= - lim  ------------------ --------------------
x - 2x - tan x 2》一0 x
乘法 1「 sinx-xcosx「 sinx + xcosx 
=—lim-------- --------- lim------------------
2 5 X Xf ° X
sinx-xcosx=—lim-------- ；-------
2 Xf 0 X
c 洛必达「 xsinx 「 sinx• 2 lim-----  = lim------=
XT0 3x 3 3x
174 第3章 微分中值定理与导数的应用
lim
Xf 0
(D).
a tan x + 6(1 — cos x)
cln(l-2x) + 6Z(l-e-x2)
0洛必达「
—— lim
x->0
asec2x+ bsinx
c-^- + d(2xe*)  
1 — 2x
乘法[.= lim
Xf 0
67 + Z?sinxcos2x
-2c + 2dxe~x2 (1- 2x)
「 l-2x 「 a + bsinxeos2 x a•lim------ = lim---------------- -----------=------
cos X z° -2。+ 2dxe-x (1- 2x) 2c
因此,
西答案
-y- = 2 ,得。= -4c.故选(D).
I
4 ,
市一等价代换［.
原式---- lim
x->0
1 2
—x [x-ln(l + tanx)]
=lim
x->0
x - ln(l + tan x)
国答案
洛必达 1. 1 +tanx- see2% 1. tanx- tan2x
=lim-------------------- = lim-----------------
xf 0 4x(1 + tan x) x^Q 4x(1 + tan x)
1「 tanx「 1-tanx 1=— lim------- lim-----------=—.
4zo % xfoi + tanx 4
। £
6 ,
厉_4等价代换「
原式----lim
xtO
[sinx-sin(sinx)]x
=lim 
x->0
sinx-sin(sin x)
洛必达「 
lim
x-»0
cos x - cos(sin x) ­ cos x 乘法 「
= -limcosxlim
3 %，°
l-cos(sinx)
x->0
9淮"m处="m
3 I。 x 3 -。
£ 
6
lim xne~Ax |qq.()| = lim 罔=lim 竺 
+oo eAx 181 xt+00 2eZx
「 1一cosx 洛必达「 sinx 1=hm---- ；— —lim------- =-
xf。 x xt。2x 2
oo 「
— =lim
00 X->+00
n(n - T)xn~2 
""2V"-
n\
2
二…（连续〃-2次洛必达法则）=如筋产 =0.
兀
lim(l-x)-tan^x |0.81 =lim -=lim
=lim
Xf 1
cot—x 1 
2
. 2九 sin -x
2
71
0
2
n
x->l
—1
7C 2 71
— CSC —x
2 2
2
第3章 微分中值定理与导数的应用 175
|既答案
lim(sec x - tan x)展一同=lim 1-.山” - lim -C°SX = 0 .
x旱 xf i cos x 0 X.2 - sin x
洛必达「 ex -1 v ex 1----- lim------- = lim—=—.
xf。2x xf。2 2
1 ] I-------- 1 通分「 tanx-x 等价代换「 tanx-x
--------- |oo-qo| lim-------- ---------lim------ -—
xtanxy x tanx x~^0 x
0
0
洛必达「 see2% -1 「 tan2x v x2 1
=lim------ -----=lim------ = lim—7 .
—。3x2 I o 3x2 — o 3/ 3
评注J n
，一f 本题是00-8型不定式，通分化为“9”型不定式，结合等价无穷小的替换和 
0
三角恒等式及洛必达法则求解，常用三角恒等式有sin2x + cos2x = 1 ? sec2x-l = tan2x,
csc2x-1 = cot2x.
显然所求极限为“ 0° ”型不等式，利用lim/(X严)=limegW(x)恒等变形.
, lim xlnx
lim/ = lime"1nx =e* ,
x->0+ x->0+
£
其中，limxlnx |0-qo| = lim~ = lim= lim(-x) = 0 ,所以，lim%x = e° = 1. 
x->0+ xf 0+ 1 00 x->0+ 1 x->0+ xf 0+
e
1 _____ 1 [ 「 Inx
---------- I I ------Inx lim------  
limx1-x [Tj = lime1-x = ex->n-x ,
Xf 1 X->1
£
其中，lim^^ h] = lim— = -1.所以，limx1-x = e-1 =-.
Hl —% [Oj ii — 1 x->i e
一^1本题是r0型不定式，亦可以利用第二重要极限求解: 
1 1 1
limx1^ = lim [l + (x-l)]^ = lim [l + (x-l)f^ = e-1. 
XTl Xfl —I
176 第3章 微分中值定理与导数的应用
|西答案
方法一：利用洛必达法则求解.
I------- 1 -^-ln(l+3x) lim 1 7
lim(l + 3x)sm*  \r \ =limesinx =ex^0 sinx , 
x—>0 x—>0
6
其中，lim0nQ + 3x)m=liml+3x = 6 ,所以 lim(l + 3x)高=e6.
x-o smx [0] 7 cosx
方法二：利用两个重要极限求解.
2 1 6x 「 1
lim(l + 3x)sinx = lim(l + 3x)3x siax = lim(l + 3x)3x
EE目答案
] [ Hm ln(cosx)
lim(cosx)氤语回=limeln(cosx)ln(1+x2)=/%+/),
其中,
-sinx
「 In cos x 「 In cos x 0 「 cnq T 1lim-------- r- = lim—  -------- =hm*sx  =―
ln(l + x ) x-o x |_0j 7 2x 2
所以,
] 
lim(cosx)1n0+') ,1
=e 2
1
」 j_1n ] I
由于 lim(C-1)= limQ X-l)= lim —= 0, lim —= 0,因此所求极限为 “ 0° ” 型不
X->-Foo Xf 4"oo Xf+oo % x—>4-oo '
tax
j_ 1 ln(xx -1) ln(e x -1)
等式，利用 lim/(x严)=limeg(x)ln/(x)恒等变形.lim (r-1产=lim = e用,
X—>4-00 X—>4-00
1 — 1-lnx
止 在----一•一了-
其中，1血蛇二口 5 1加三 J_________
x->+oo inx oo xf+oo 1
x
1 比 1-lnx
叵",二^ inx
等价代换化简「 e ” (1-lnx)==lim -------- ------------= hm--------------- -
X—>4-00 1 Xf+00 X
X
Inx
=lim e %
X->+00
1 j_
故 lim (xx - 1)1nx =e-1.
Xf+00
3
—
1.1-lnx洛必达 
lim-------- =
Inx
皿答案
第3章 微分中值定理与导数的应用 177
ax+bx 
2
lim 
x->0
3
|1°°| =limex 2 =『° x , 
------  x.0
优 Ina+ Z/In -
其中，lim3[ln(6zx+y)-ln2]^ ^31im = l(]na + ]nb)= In(而f ,
3 x 0 i o ] 2
3
所以，吧J = eW犷=（仍放.
< 本题是「型不定式，也可以利用第二重要极限求解.
可 答案 3.
因为lim二士 = lim芷二心 31血处二 
x->0 %" x->0 %" x->0 x”
0
0
洛必达〔.
lim
x->0
see2% -1
nxn~x
「 tan2x等价代换11. x2
=hm------- —lim— r ,Xf。nx n Xf o x
两者是同阶无穷小，所以〃-l = 2n〃 = 3.
答案
因为了（X）在+8）上连续，所以/（X）在X = O处连续，即lim/（x） = /（O） =4 ,从而
[. ，/、 「sin2x + e2— — 1 向 洛必达「 2cos2x + 2«e2ax 在 rnn
hm f(x) = lim-------------------  - =hm---------------------= 2 + 2a , 所以 2 + 2。=a, 则XTO XfO X |_0J XT。 1
= -2.
答案
In(cosx)
因为/(x)在x = 0处连续，所以 lim/(x) = /(0)=。，从lim/(x) = lim(cosx)” = lime - 
x->0 x->0 x->0 x->0
r In(COSX) 1 / \ • 1 I 1
e* ，，其中。n(c；sx)型_smx __— ,所以，lim/(%) = e ]，故。=”.
io x X^Q 2xcosx 2 I。
IEZJ答案
71
观察到函数在X = 1时无意义，需要补充函数在X = 1处的定义，要使函数在x = l处连续, 
只需左极限值lim“X）等于函数值/⑴即可.
lim f (x) = lim — +--------------------
XTr Xf「[_7ix sinTDC 7l(l - x)
_ 1 + Hm 兀(1 ~x)~ sin 7tx 令lr = ♦ 1 Hm殴- sin.
7t tc(1 - x) sin 7tx sin Tty - 7iy 71 y^Q+ 冗2y 2
1 「兀一兀 cos 孙 1 「 7t2 sin Tty 1
—I- lim------- ------- = —I- lim--------- =—.
71 yf0+ 2兀) 71 yf0+ 271 7t
178 第3章 微分中值定理与导数的应用
，1 1 1 「1 八
补充定义八1) = ▲，则/(、)/口 ‘mm 0时，sinxvx,贝1］五包=当用<1,即X用<当，因此数列｛与｝单调递减，由单调有 
4 %
界定理知lim/存在.W->00
设limx〃=/,等式z+i =sinz两边求极限得/ = sin/,解得/ = 0,即1而血=0. 77—>00 «—>00
⑵= lim(吧%[/ ,由(1)知此极限为“I00”型不定式.
I 〃 J I 〃 J ± ± In 呼) In(明
令 t = x〃,则〃.8 时，,-0,故 lim(包=lim(包4' = lime * =L° "
81 x } \ t J 1。
因此,
「 smt-t洛必达「 cosZ-1洛必达「=lim— -— —lim----- ----  == hm
r->0 f r-»0 3t
-sin/ 1
6t
=----
6
佩亚诺型：ex=l + x +
拉格朗日型:
2!
J在0与x之间).
! 5 + 1)!
写出函数的各阶导数,f(x)-广(x)=…二产)(%)二大］)(x) = ex.
求导数值，/'(0)= /〃(0)=…= f(n)(0) = /(w+1) (0) = 1.
代人公式③，得带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式为 
一 — 演
/(X) = ex =l + x + —+ -•- + —+ ———(《在0与x之间). 
2! n\ (77 + 1)!
代入公式④，得带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式为
X2 x〃
/a)= e" =l + x + |y +…+ ^y + O(X〃).
评注J
… 几个常见函数的麦克劳林公式需要记住，后期用时会更方便.
X2 xn
(1) ex=l + x + —+ ••• + —+ o(xw). 
2! n\
x3 x5
(2) sinx = x------- 1------------F
3! 5!
(_y〃T
(2«-1)!
+ O(，〃T).
第3章 微分中值定理与导数的应用 179
「、 1 X2 X4 (-l)WX2M / 2八
(3) cosx = l----+--------- + ----------- + o(x ).
2! 4! (2n)\
(4) ln(l + x) = x- —+ --• + (-1)”】£ + o(x〃),x g
2 n
(5) —^- = l-x + x xw+o(xw), | x|0 — % — 1 x->0 X / 2、
胃 +。(%)
同时除以x：
-------- -.......—=2.
Llim 卑
2 xro x
I的答案
当xf 0时，tanx〜x,分母可以先使用等价无穷小代换.分子的sinx不能使用无穷小 
代换由麦克劳林公式，有5m%=%-=+ 0（＞3）＜05% = 1-5 + 002）,贝（J
一 sinx-xcosx 「 smx-xcosx
lim--------- --------= hm---------- --------
a。 tan x 3 x
-x%-不+ O(/)
=lim
Xf 0
180 第3章 微分中值定理与导数的应用
|瓯答案
此题中的三不是作为因子出现的，故在计算中不要使用无穷小代换.
由麦克劳林公式，有inQ+xAx-^+oO?),得
ln(l + x)_(ax +如)工啖 +。(/)-3 +加)(~)0“+。2 
lim------ i―---------- - = lim----- - ----------；----------- = lim-------------、」------
x->0 1” x->0 %， x->0 £
所以，l_a = 0,_[； + 6)= 2 ,即 Q = l,b = _g.故选(A).
答案
12
当xf 0时，sin,〜/，由麦克劳林公式，有
cosx = 1 - - + o(x2),ex2 =l + x2 +0(/),& + %2 =i + J_%2 --x4 +o(x4), 
2! 2 8
则lim
x->0
l + -x2 - Vl + X2
2
(cosx-ex)sin x2
= lim
x->0
1 + —x2 
2
- 1 + —X2 --X4 +O(X4)L 2 8 7J
丫2
< 1- -+ o(x2) -[l + x2+o(x2)]L2
_ 2! _
由麦克劳林公式，有
=1 鸣3
~2
1
12
|x4+o(x4)
2
丫2 4 2 ---
cosx = l-------F — + 0(/) e 2 =1----- + ------- - + o(x4),贝！J2! 4! ' 2 2!
第3章 微分中值定理与导数的应用 181
|32^ 答案 (C).
由麦克劳林公式sin 6x = 6x - +。（三）得
lim 
x->0
sin 6x + xf (x) = lim- 
x->0
6>叱+ 
3!
o，)+xf(x)
=lim
xtO
6 + /W
^^ — 36 =0,
因此，理号”36.故选©
评注
1^U（l）此题不可用洛必达法则求解，因为题目中的/（X）不知道是否可导.（2）此题 
有多种解法，参见98题.
|幽答案 (A).
丫2
由麦克劳林公式 e"=l + x + 1y + o(x2)知 / —(妆2+/ + 1) = (1 —6)x + ——6ZJ %2 + O(%2),
因为e“-（办2+施+ 1）是比/高阶的无穷小，所以i — 6 = o,； —。= 0,即故 
选（A）.
（325） 答案 二阶.
由（1 + X）。=1 +办 + 一丁） / +…+心-1)・一(。一〃 + 1),+0(£)知
n\
J1 - 2% = 1 H (―2x)----(-2x)2 + 0(12 ) = ]__%----%2 + 0(%2),
2 8 2
J1 - 3x = 1 + — (―3x) — — (-3x)2 + 0(12 ) = ]_%_ 工2 0(X2),
故 Jl —2x—41 —3x=；x2+o(%2),因此当 x f o 时，J1 — 2% —也-3x 是 X 的二阶无穷小.
f 尤〃
由泰勒公式 ln(l + x) = x- -+ -•• + (—I)”]—+ o(x〃)知 
2 n
ln(l — 3x) = —3x —( 'I_ _|----- (. (—1)〃t( ')__(_) = —3x—^- x2h----- F (—l)n-1 -—— x〃+ o(xn),
2 n 2 n
其中，等式右端/的系数为（7）10.因为泰勒展开式 
n
7（%）=歹（0）+歹（0）% +电—+…+&22/+。（%〃）中式的系数为也22,所以（_1）〃T❷ =
2! nl n\ n
严(0)
n\
,解得歹5)(0) = —3〃 5 — 1)!.
182 第3章 微分中值定理与导数的应用
[327) 解析
由麦克劳林公式知，/>1 +工+ ；，~必(0<夕<1),其中当xwO时，|e^-x2>0,
因此，e">l + x(xwO),得证.
评注J
一•^^此题亦可用拉格朗日中值定理或根据函数单调性证明.
陛解析 在x = 0处将函数/(x)按泰勒公式展开得
/(%) = /(0) + 八0)工 + 5广(0)，+*/'〃(〃)/,  〃介于0与x之间，工£[-1,1],
当％ = = 1时，有
0 = /(—1) = /(0) + ：/〃(0) —£(—1，0)， 
2 o
1 = /(1) = /(0) + 力(0)+ )〃(%)，% £(0，1)， 
2 o
以上两式相减得了"'(7)+ /'"(%) = 6.
因为了"'(X)连续，则/'〃(%)在闭区间[九%]上必有最大值M和最小值加，
所以冽汽〃1)+ /汽由连续函数的介值定理知，至少存在一点 
会[7,%] u ,使得/〃© =+ /"'(%)] = 3 .
评注J
题设条件中出现二阶或二阶以上导数时往往考虑泰勒定理.本题中出现了三阶导 
数，因此我们使用泰勒定理时展开到了三阶.
|西解析| 设函数/(X)在点Q取得最小值，贝l)Q£(0,l)J(a) = -lJ'(Q)= 0.
函数在点 67 处的泰勒公式为 /(%) = /(67)+ f(a)(x-67)+ (X - 4)2 = -1 + (X - «)2 ,
令 x = 0, x = 1,得
0 = /(0) = —1 + ①
0 = 7 + (1- 4,$ £ 3D ②
若0 x > 0 ,从 
而F(x) = (tanx + x)(tanx-x)〉0,因此，尸(x)在上单调递增，故当0 F(0) = 0 ,即 tanx > x + ^x3.
—利用单调性验证不等式的步骤：(1)构造辅助函数尸(x), 一般情况下，我们把不 
等式一端整理为0,另一端为辅助函数；(2)判断尸(%)的单调性；(3)求出区间端点的函数值 
或极值得证不等式.
^33^ 解析
1 x2
令 F(x) = (1 + x)ln(l + x) - arctan x ,则 F\x) = ln(l + x) + l-------- z- = ln(l + x) +------- .
1+x 1+x
r2
当x>0时，P(x) = ln(l + x) +1」>0 ,因此，尸(%)在［0,+8)上连续且单调递增,故有 
1 + X
arctan x
F(x) > F(0) = 0 , BP F(x) = (1 + x)ln(l + x) -arctanx > 0 ,故 ln(l + x) > —---- .
瓯 答案 (D).
反例:f(x) = x3 ,xg (-00,4-00),则 f\x) = 3x2 2 0 . (A)不正确.
r(f) = 3%220,排除(B). /(-x) = -x3单调递减，排除(C).故选(D).
事实上，对任意的看,工2,当再时，有—石 <一工2,贝1 /(—再)一/(一%)， 
故—/(T)单调递增，(D)正确.
(C).
方程左端是偶函数，先在(0,+8)内讨论根的情况.
当 % > 0 时，令/(x) = / + — — cosX ,贝！］ /(%) = / + / 一cosx 2 / + — — 1 , 
故当工>1时，有/(%)21>0,即方程/(x) = 0在(1,+8)内没有根.
184 第3章 微分中值定理与导数的应用
因为〃0) = -1<0"⑴=2-cosl>0,所以由零点定理知，在(0,1)内至少有一个根.
1 _3 1 _1
又因为/0) = 上' 4 + -x 2+sinx,且lim/'(x) = +8 ,所以函数了(幻在［0,1］上单调递增, 
4 2 %”
因此方程/(%) = 0在(0,1)内有且仅有一个根.故方程/(%) = 0在(0,+8)内有且仅有一个根.
答案
利用偶函数的对称性知，方程在(-8,0)内有且仅有一个根，故方程|xF+|xp-cosx = 0在 
区间(-00,+ao)内有且仅有两个实根，所以选(C).
(B).
因为/6) = 3——3 = 3(x — l)(x + l),令/'(x) = 0,得驻点为x = —l,x = L
当xW-1户21时，函数/1)单调递增，当-IWxWl时，函数/(x)单调递减，且极大
值为/(-I),极小值为/(I).又因为lim /(x) = -oo, lim /(x) = +8,所以若要使函数恰好 
X—>-00 X—>+00
有两个不同的零点，贝懦要/(-1) = 0或/⑴=0 (如335题-图所示)，即/(-1) = 2-a = 0 
或/⑴= _2-q = 0,故q = 2或q = —2,因此选(B).
评注
点问题,
函数的零点问题或方程根的问题，在应用中可以转化为对应函数图形与x轴的交 
而与x轴的交点问题可以通过函数的单调性来判断.
(B).
因为-2加+36x + 4c是奇次多项式，lim f (x) = -oo, lim f (x) = +oo ,由极限的 
X->-00 X->+00
保号性知，存在。1<0,使得存在。2>0,使得/(。2)>0・由零点定理知，至 
少存在一^根.
由于/，(%) = 5/一 6 方2+3儿 因此 A = (—64)2—606 = 12(3/—5b),由条件知 A<0,所以 
f\x) = 0没有实根，且了'㈤> 0 ,从而/(%)单调递增，于是函数/(%) = /— 2ad + 3bx + 4c 
仅有一个实根，故选(B).
答案
因为尸,(、)=八领》0一"(')一/(以 
(x - a?
拉格朗日定理 /'(x)(x -a)- 1'(J)(x q) = /'(X) /'O 
(x - a)2 (x - a)
其中vx,
已知/(%)>0,则/'(x)单调递增，即八，)>/隹),从而产(x)>0,于是尸(X)在(。,切
第3章 微分中值定理与导数的应用 185
上单调递增，故选(D).
我解析 因为> = lnx是单调递增的函数，要证9 + %)。<优+、 即证 ln(a + x)a < In aa+x ,故只
需证明 aln(a + x) v(a + x)lna 即可.
/(x) = aln(a + x)- (a + x)lna,则/(%)在［0,+8)内连续、可导，因为。(%) =」— Ina, 
a + x
其中Q>e,lnQ>l,—乙<1,所以f\x) < 0 ,因此函数/(%)在［0,+8)上单调递减，而/(0) = 0, 
a + x
因此当 x>0 时，/(x)< /(0) = 0,即aln(a+ x)<(a +x) Ina ,也即(a + x)。<
设/(x) = ln2x,因为/，(%)= 学，所以/(%)在口向上满足拉格朗日中值定理,
^ln2b-ln2a = ^^-(b-a),a<^。仁2)
即火>嵯=_1_,因此— — —
e2 e2 4 e2
在(-8,0］［［,+8］上是凹的，在上是凸的，拐点(0,0), 
4 ) L 4J 4席
函数的定义域为(-00,+QO).
号 - R - 5 - 40 - 10 -- 10 1/(x) = (x3 -x3y = -x3 --x3,f,f(x) = —x3 -—x 3 = y ^=-(4x-l),故冗=0 是/〃(x) 
不存在的点.令/〃a)=o,解得x=[.
4
^x = 0,x = -将定义域划分为小区间，以表格形式讨论如下.
4
X (-8,0) 0 工 
4
­
/a) + 不存在 一 0 +
/(x) u (0,0)拐点 n
"明拐点
U
因此,曲线在S。］, *8上是凹的’在［ 上是凸的，拐点是(0,0)［；,-鲁］
i&n答案 (D).
当 ％£(兀,|"兀)时，一 l 0, x g ^7t, -| 7i^.故/(x) = |l + sinx| 的图形在区间(兀，g711 
186 第3章 微分中值定理与导数的应用
内是单调递减的，凹的，故选①).
幽解析 令加)=以,则―/(，)=.>o,因此曲线/⑺=1在(范内或出工)上为凹 
的，于是由定义知;［/(幻+加)］〉/1号)，即等.
在(-8,1］,［2,+oo)上是凹的，在［1,2］上是凸的，拐点是(1,0), (2,0).
函数的定义域为(-oo,+oo),因为/㈤=| _3x+21 =卜：3% + 2, ' W1或％ ' 2
[—X + 3x — 2, 1 < x < 2
2x-3, x< 1 或% > 2 2, x < 1 或x > 2
/〈%) =<不存在，x = lfx = 2，/"(%) = < 不存在，x = l,x = 2 .
-2x + 3, 1 < x < 2 -2, 1 < x < 2
用x = 1, x = 2将定义域划分为小区间，以表格形式讨论如下.
X (-8,1) 1 (1,2) 2 (2,+8)
广⑴ + 不存在 一 不存在 +
U (1,0)拐点 n (2,0)拐点 U
因此，曲线在(-8,1］,2+8)上是凹的，在工2］上是凸的，拐点是(1,0),(2,0).
绝对值函数本质是分段函数，求解时先去掉绝对值符号写成分段函数形式.
因为点(0,1)在曲线上，所以代入曲线方程得c = l.
/〃(x) = 6办+ 26,而点(0,1)是曲线/0)=改3+厩2+0的拐点，贝|)/〃(0)= 0=>6少0 + 26 = 0, 
即6 = 0 ,故/〃(%) = 6ax ,此时a取不为零的任意值，f\x)在x = 0两侧的符号总是相反, 
即(0,1)为拐点.故选(B).
由/(-x) = /(x)知，函数/(X)在(-8,+8)内为偶函数，因此函数图像关于y轴对称.
由/■)>0,/〃(%)<0知，在(-8,0］内曲线单调递增且为凸的，故在［0,+8)内曲线单调递 
减且仍为凸的，因此/G)vOJ"a)vO,故选(C).
因为f〃，(x0) = lim/〃 8 一 "%)= lim > 0 ,由极限的保号性知，存在b>0,当
Xf X。 X-XQ XTXO X-XQ
X£(Xo-①/+5)时，---> 0 .因此，当 /V/ 时，当' " x-x0 一 ‘ 、, I，
时，r(x)>0.所以(%,/(%))是曲线y =/(x)的拐点，故选(D).
第3章 微分中值定理与导数的应用 187
可以进一步推导，当％时，/'(%)单调递减，从而八%)>/(%) = 0.
当 / +b 时，/'(X)单调递增，从而/<%)>/60)= 0,即在(％ -3,%+3)内/(%) 
单调递增，故在％ = /处不取得任何极值.
〔一―< 一般地，若/(/) = /〃(％) = 0,/〃(/)工0,则(%,/(%))是曲线. = /(R)的拐点, 
且/(%)不是极值.此结论可以直接使用.
在广a)+"'(x)r=%中，令％=o,得/(o)=o.原方程两边同时求导,得/〃‘(%)+ 
2/W 〃㈤=1,令％ = 0,得厂(0) = 1>0,由88题评注知，(0J(0))是曲线/ = /(%) 
的拐点，故选(D).
由图3・3知，当x<0时，函数/(%)单调递增，故八x)>0,因此排除(A)和(C);当 
%>0时，歹= /(%)由凸曲线变凹曲线，因此/〃(%)由负变正，即/'(X)由单调递减变为单 
调递增，因此选(D).
不是函数) = /(%)的可导点，且取得极值，所以必为驻点，即八%) = 0,故选(C).二 
阶导数判断极值是充分非必要条件.
i-iU此题考查极值存在的必要条件和第二充分条件.
I砌答案 极大值为"0) = 1 极小值为了(X
函数/(X)的定义域为(-00,+00).
因为/口) = 2-；:吗土所以/(%)在工=0处不可导.令/口) = 0,得驻点为％
yjx 8
分割定义域讨论，如下表所示.
因此，/(x)在x = 0处取得极大值/(0) = 1, /(%)在x 处取得极小值/
X (-8,0) 0 1
8 Hi)
/'(X) + 不存在 — 0 +
1 (极大值)
7
-(极小值) 
8
评注
此题利用第一充分条件判断极值，解题方法与求函数的单调区间相同.
188 第3章 微分中值定理与导数的应用
[351] 答案
1
ln2
因为/ = 2"+%.27112 = 2*(1  +工1112),所以可能为极值点的点只有驻点.令了 =
2%l + xln2) = 0,得驻点％ = -一—.由于y〃 = 2*1112(2 + xln2),且一一— |
ln2 I ln2y
__i_
= 2-^ln2>0,
因此当方-+时’函数kX2取得极小值.
评注J
如果函数只有驻点(驻点可以有多个，不存在不可导点)，且较易求出二阶导 
数，则利用第二充分条件判断极值，计算相对简单.
答案
由图3-4知，导函数为零的点(驻点)有三个，导数不存在的点是x = 0.根据第一充 
分条件，判断这四个点两侧导数的正负，可以判断存在两个极大值和两个极小值，故 
选(D).
答案
将/代入方程切〃1) + 3h/6)]2=1_©一"并解出((%),得
1 _ e_x° 〜 1 - e~x°
/〃(%) =----------- 3 Lf (%)]2 =--------- > 0 (/ w 0),
由第二充分条件知，/(%)是函数/(X)的极小值，故选(A).
|陋答案
因为/(%)的导数在X = Q处连续，所以八〃)=1而/6).由于1加/宜=-1,因此
—a xf。X — a
lim f\x) = 0=> f\a) = 0 ,贝 lj f\a) = 1而%匕侬=lim£W =-l<0,由第二充分条
Xfa xra x-a x^a x_a
件知，％ 。是函数/(X)的极大值点.故选(B).
答案
由题设知lim('. /⑴—八4］二T ,贝！Him。的二79)-0. 
x^a\x-a x-a ) x-a x-a
若 lim®』⑷ w。,则 lim，- - n lim(，"/⑷］=口 一1,
—a x-a x^a x-a x^a\x-a x-a J
从而广⑷=0,排除(A)和(D).由极限的保号性知，在。的某一去心邻域内有用二孕< 0 , 
(x-a)
即/(x)-/(。)<0，由极大值的定义知，/⑺在x = Q处取得极大值，故选(B).
强答案 /◎) =
2x2x(l + lnx),x>0 
ex(x + l), x < 0
2
,极大值/(0) = 1,极小值= 和/［：］ 二 (：).
第3章 微分中值定理与导数的应用 189
当%> 0 时,f\x) = (x2xy = (e2xlnxy = x2x(21nx + 2) = 2x2x(l + lnx)；
当 xvO 时，/(x) = (xex+iy = ex(x + l)；
当x = 0时，由导数的定义知，
lim 3区1_"°)= lim= lim 町”一12s lim21nx = —oo ,故 /(x)在 x = 0 时不可
x->0+ x xtO+ X x-»0+ x xf 0+
导，于是于(x) = <
2x2x(l + lnx),x>0 
ex(x + l), x < 0
令/'(工)=0，得驻点为％ = = 1,可能的极值点为x = O,x = _l,x = L.
e e
列表讨论如下.
X (-00,-1) —1 (-1,0) 0 1 
e
/⑴ 一 0 + 不存在 一 0 +
/(X)
1-e-1
(极小值)
T K极大值)
2
(极小值) T
2
因此，极小值为/(-1) = 1-e-1和= 极大值为/(0) = l.
答案 x = l是驻点，x = l是函数的极小值点.
方程两边同时对x求导，得3。了 — 2券/ +W + y-x = 0 ①
令；/ = 0,得y = x ,代入原方程求出驻点为x = 1.
①式两边再对x求导，得(3/-2y + x)yn + 2(3〉-l)(^r)2 +2/-1 = 0 (2)
将x = l/ = l,y⑴=0代入，得y«)= ；>o,故驻点x = l是函数的极小值点.
此题为隐函数的极值判定问题，直接方程两边同时求导(两遍)，不需要求出 
/,/的表达式，使得计算变简单.
I国答案
显然f\x) = 3x2 + 6ax - a ,不存在不可导点.
①当A = 12(3/+q)<0,即-；/(幻单增无极值.
190 第3章 微分中值定理与导数的应用
当。=一；时，/'(%) = 3口 —，0=>/(>)单增无极值.
③当A = 12(3/+q)>0时，［(工)=0有二个不相等的实根，函数有两个驻点且为极值.
综上可知，当-时，函数无极值.
3
3 5
演答案 最大值f 最小值/(-5)=&-5.
由/口) = 1-—金=="三］知，％ = 1是不可导点，工=3是驻点，因此所有可能的
最值点是x = 5.计算函数值得阿"图(-5)=存5,比较大小
知，最大值为/(£］ = ；,最小值为/(-5)=&-5.
当I耐，/最小，最小值容・
设圆锥底圆半径为K,如图360题-图如示.
因为会=2，即合/ ' ，从而
SC SD h ^(A-r)2 -r2
R= /泌 ，于是锥体的体积/(〃) =四叱〃= 
yjh2 -2hr 3
兀/*〃2 
----------- (2r ) = 18-6%-12%2 =0 ,得工=1/=一1.5 (舍去).
上〃(x) = -6-24兀£〃⑴=-30<0,因此利润函数在x = l时取得极大值，即为最大值.
故当x = l时,利润最大，最大利润£(1) = 11.
第3章 微分中值定理与导数的应用 191
解析 令 f(x) = —xp +--x 
p q
则 f\x) =4 _ 1 J，，.=(2 _ 1)丁-2 .
令/，(、)=#T—1 = 0,得驻点X = l.由于/〃⑴=夕—1>0,因此当x = l时，/(X)取得极小值,
也是最小值/(1)=1+工—1理0.所以，对任意的x>0, /(x)^/(l) = o,即工式+」2札 
p q p q
解析 由于函数二阶可导，因此/(工)连续且一阶可导.
由 lim四=1 知，lim/(x) = 0 = /(0),从而八0) = lim"乃一"°)= lim^ = 1.
Xf 0 X X-0 Xf 0 X —0 XT° X
令尸(x) = f(x)-x,则尸(0) = 0.因为F(x) = r(x)-l,尸〃(x) = r(x)> 0尸(0)=令0)-1 -0, 
尸〃(0)=广(0) > 0 ,所以尸(0)是尸⑴的极小值.
由于尸6)单调递增，因此尸'(%)仅有一个零点工=0,即厂(%)有唯一驻点，从而尸(0)是 
F(x)的最小值，则 F(x) 2 F(0) = 0 ,即 /(x) 2 x.
y = i-
由于lim±±l = l,因此歹=1是曲线的水平渐近线.
18 X
I x = 1 和 x = T .
由于lim-= 8, lim —^—r = oo ,因此x = 1和x = -1是曲线的两条铅垂渐近线. 
3 1-X %-T 1-X
non
曲线的铅垂渐近线就是函数的无穷间断点.
水平渐近线为y = l,铅垂渐近线为x = l.
由于lim/ 丁=2 = i,因此歹=1是曲线的水平渐近线.
X->00 x2-l
由于lim——/~- = lim——- = oo ,因此x = l是曲线的铅垂渐近线. 
3 x -1 3 x — 1
由于lim ―—J-- = lim ——- = — ^ oo ,所以％ = 一1不是曲线的铅垂渐近线. 
XfT X -1 XfT x-1 2
y = x + l.
由于a = lim^^ = lim-^ = l,b = lim[/(x)-x] = lim -x
X—>00 % Xf 8 X — 1 x—>oo XT8 _ X — 1
r % i=lim-------= 1,
-8 x-1
因此，歹= x + l是曲线的斜渐近线.
铅垂渐近线为x = 0,斜渐近线为歹= 2x + l.2_
由于limy = lim(2x-l)铲=8 ,因此曲线没有水平渐近线.
192 第3章 微分中值定理与导数的应用
因为limy= lim(2x-l)ex =8 ,所以x = 0是曲线的铅垂渐近线. 
x->0+ x->0+
工 1- f(x) r (2x - l)ex
由于a = lim = hm-------- ----  = 2 ,
X—>00 x X—>00 x
1
b = lim[/(x) - 2x] = lim[(2x -l)ex - 2x]
X->00 X->00
令 x [. (2 — /)e 一2 洛必达].—e +(2 —%)e 「( 、/=lim  ----- --------== lim-------- ------ ---  = lim(l -Z)e =1,
ff 0 t -0 1 0
因此，> = 2x + l是曲线的斜渐近线.
求曲线的铅垂渐近线时，应注意Xf 0+,而非X f 0一或X f0.
瓯9答案 (A).
.1I sm —
由于limxsinL = lim—产=1 （第一重要极限），因此曲线有水平渐近线7=1.
Xf 8 X X—>00 1
X
由于J嚼xsin：=°,8 （无穷小量的性质），因此曲线没有铅垂渐近线.故选（A）.
答案
由于Xf ±00时，lim/（X）都不存在，故曲线不存在水平渐近线.X->±00
因为limxe^ ±ilim—= lim^ = oo,所以曲线存在铅垂渐近线x = 0.
X->0 fT8 t /->00 ]
因为 iim2X^1 = limex2 =1,即 a = 1 , 
X->00 % X->00
1 1 ]
b = lim[/(x)-x] = lim[xex2 -x] = limx(ex2 -1)等价代换 limx- -= 0,
X->00 x->00 x-»00 XT8 V2
所以，曲线存在斜渐近线> =x.故选（D）.
答案
由于lim - + ln(l + ex) =0 ,因此曲线有一条水平渐近线y = 0.
由于lim1- + ta(l + ex)l = oo ,因此曲线有一条铅垂渐近线x = 0.
—o|_X J
因为。=lim lim \ + — - + e- =lwO, 
+oo % x—>4-00 x x
b = lim [/(x) -x]= lim
X->+o0 X->+oo
- + ln(l + ex)-x 
x
= lim[ln(l + ex)-lnex] = lim In------- =0 ,
X->00 X->4-00 Qx
所以曲线有一条斜渐近线）=X.总共有三条渐近线，故选（D）.
第3章 微分中值定理与导数的应用 193
函答案 (C).
由lim?arctan上士匚一=二得，水平渐近线为歹='. 
x— (x - l)(x + 2) 4 4
由limy2 arctan —— "十］=8得，铅垂渐近线为x = 0. 
io (% -1)(% + 2)
的解析
而当xf -2时，lim/(%) Woo, lim/(x)oo ,所以x = l,x =-2不是铅垂渐近线.
X->1 x->-2
由lim© = 0知，曲线无斜渐近线.因此曲线有2条渐近线，故选(C).
XT8 X
(1)函数的定义域为(-8,-l)U(-l,+8).
(2)此函数非奇非偶、无周期性.
(3)由于lim生? = 8,因此x = -l是曲线的铅垂渐近线.
x->T(X + 1)
因为lim上=lim―= 1, 且lim(y-％) = lim — = lim+-- = -5 , 所以 
18 % 1 8+ iy — a, 一。o|_(x + l) J x-8 x +2x + l
歹= x-5是曲线的斜渐近线.
⑷计算得力气宇VJ3
a+i)4 •
当王=-1时，W都不存在.令y = 0得,x2 = -5,x3 = 1 ；令y" = 0,得%4=1.
(5)列表如下所示.
X (-oo,-5) -5 (-5,-1) —i (-14) 1 (1,+8)
yf + 0 一 不存在 + 0 +
y,r 一 一 一 不存在 一 0 +
y t n -13.5极大值 Jn 间断 Tn (1,0)拐点 T U
解析
(6)曲线与坐标轴的交点为(0,-1),(1,0),极大值/(-5) = -13.5
⑺综合以上信息，描绘出图形如374题-图所示.
⑴函数的定义域为工。T+ ：〃 = 0,1,2,♦-.
⑵函数是偶函数，周期为2兀，在［-兀,河上关于歹轴对称， 
因此仅讨论［0,兀］的情况，根据对称性得到一个周期［-71,71］ 
上的图像.
(3)由 于 lim C°SX =qo, lim C0SX =oo , 因此 x = —,x = —是 
Tcos2x x，cos2x 4 44 4
曲线的铅垂渐近线，无水平渐近线和斜渐近线.
(4)计算彳曰 sinx(3-2sin2x))〃_ cosx(3 + 12sin2x- 4sin4x)
cos22x cos32x
194 第3章 微分中值定理与导数的应用
令y = o,得%=0,工2=兀；令＜/' = o,得'3=］；在x =手处都不存在. 
(5)列表如下所示.
X 0
71
4
K
2
(71 3九) 3兀
T 71
yr 0 + 不存在 + + + 不存在 + 0
y" + + 不存在 — 0 + 不存在 一 一
y
1
极小值
TU 无定义 t n
加 
拐点
TU 无定义 t n
—1
极大值
(6)曲线与坐标轴的交点为［训，极小值/(0) = 1,极大值/(兀)=-1.
(7)综合以上信息作图如下.
答案
由》=!知，了 = 一4=之，代入曲率公式⑴，得 
X X X
曲率K= 卜〃I 3 =代入X = l,得K =
(i+y2)5 ；+(▲)1 (i+讲
2 13asin 2% |
, p — ・
136zsin2/01 2
因为(p(t) = acos3 *Z, “«) = a sin",计算得
O’。)= -3a cos2/ sin t, = 3a sin2/ cos t,(p"(t) = 6a cos t sin2/ - 3a cos3Z,
〃"«) = 6a sin t cos2/ - 3q sin),
代人参数方程形式的曲率公式(2),得
第3章 微分中值定理与导数的应用 195
K _ | /(/)，«) — 0"(/)〃'«) | _ \-9a2 sin2 / cos2/1 _ 1 _ 2
二 "⑺+ /2加 =[9*51  13asi…厂 |3.2/1
因此，在点.处的曲率K二二一曲率半径2二人二出包.
13asm2% | K 2
由/ = 4x-3,/ = 4得，/(1) = 1,/(1) = 4.所以，抛物线在点M(l,2)处的曲率及曲率半 
径分别为
ki(i,2)= ]=~^=行'夕=^^=专.
[l + y2(l)F (1 + 1)5 h,2)72
国出曲宓同由 P、“I 1 以 1)(1 + 歹'2⑴)1 m 94_l + y2(l) 5
因为曲率圆中心a |(1,2)= 1---------歹6------ =5,6|(1,2)= 2 + 丁⑴ =-，
2
所以点M(l,2)处的曲率圆方程为 X-1 +r-l I2 1
9.
4y[x^
,因此抛物线在点M(x/)(x21)处的曲率半径为
(、1 (") 
p = pM =-= 
K
= ；(4x + l)2.
抛物线上4M弧长为s =s(x) = + dt = J； ,1 + 1山,贝!1
dp
一dx
dr
一dx 
-
S
d7
1(4x + l)2 (4x + l)2x4
1 - ------- = 6G ,
由于广立” 1
3
2
3 1 3—X —X
2 2
2
3
J
d2夕 _ d [S] 1 = 6 1 _ 6
ds2 dxl (h J 小 2y[x 1 f~ V4x + 1
因此,
2 1 3 6
= 3x-(4x + l)2 x-==-36x = 9.
2V V47+T
瓯答案
第4章不定积分
因为 /(x) = [ln(x + =— 7—
x +Vx2 -1
(A).
所以ra尸
X
(x2-l)Vx2-l
X
(x2 -l)Vx2-l
因为 ln(ax) = lna + lnx ,与 lnx(x > 0)差一个常数Ina ,所以选(A).
本题也可以将4个选项分别求导，导函数是/(%)的即为所求.
71
2
因为(arcsin(2x - 1))'=
J] - (2x - ])2 -yj 4x — 4%2 y] x — x2
2 2 1
2arcsin Vx j = 2 1 1 1
所以arcsin(2x-1)和2arcsin&都是 J ..的原函数.
y/x-x2
设它们之间相差常数C, BP arcsin(2x -1) - 2arcsin Vx = C ,令x = 0,得
jr
arcsin(-l)-2arcsin0 = C , 故。=一万.
评注J
函数的任何两个原函数之间只相差一个常数，对于不同描述形式的原函数，相 
差的常数可以通过取特定变量值来得到.
不是.
因为 lim F(x) = lim(x3 + x +1) = 1, lim F(x) = lim x2 = 0,limF(x)不存在，所以尸(%)在工=0 
xf0+ xf0+ x->0- x->0
处不连续，从而尸(X)在X = 0处不可导，因此尸(X)不是/(X)在(-8,+8)上的原函数.
评注J
' 原函数与区间相联系.在本题中，因为当x>0时，有厂口) = /(>);当x<0时, 
有尸，(x) = /(x).因此，尸㈤是/㈤在(-8,0)上和(0,+8)上的原函数.
回答案 (C).
因为尸(x)是/(X)在(a,6)上的原函数，所以F(x) = /(x),因此尸(%)在(a, 6)上连续,于 
是尸(x)在(a, 6)上存在原函数，从而/0)+户(x)在(a1)上存在原函数.故选(C).
第4章不定积分 197
因为 lim f (x) = lim x2 = 0, lim f (x) = lim cosx = 1 , 
xf 0+ xf 0+ x->0- xf 0一
所以lim/(x)不存在，即x = 0是/(x)的第一类跳跃间断点，因此/(%)在(-8,+8)上不
x->0
存在原函数.
因为 limg(x) = limxsin- = 0 = g(0),故 g(x)在 x = 0 处连续，从而 g(x)在(-oo,+oo)上连 
x->0 x->0 %
续，8(%)在(-8,+8)上存在原函数.因此选(D).
苒毛 — “一^^U函数连续是原函数存在的充分条件，而不是必要条件.如果/(X)在区间/上有 
第一类间断点和无穷间断点，那儿/(%)在区间/上不存在原函数；如果函数在区间/上仅 
仅具有振荡间断点，那儿有可能存在原函数.
依题意，/'(x) = sinx,故/(%) = jsinxdx = -cosx + G , 
由/(0) = -1,得G=0.于是
J /(%) dx = j(-cosx) dx = - sin x + C .
因此选(B).
设所求曲线的方程为V = /(x),依题意，Ax) = —,即/(x)是小的原函数.
X X
由[工1n2%]=也知，匕/%是处的一个原函数，因此，处的所有原函数为
J x 2 x x
/(x) = -ln2x + C,即斜率为—的积分曲线簇方程为歹= ^ln2x + C.
2 x 2
因为所求曲线经过点(e,-1),所以将x = e/ = -l代入方程，得-I = ；ln2e + C,解得
a 1 aC = -j,故所求曲线方程为y = ]ln2x —
ion
...本题用定义求原函数，我们也可以用凑微分法求原函数，读者可以自己试试.
曲目答案
因为 d(J/'⑴时=d(/(x) + C) = /(x)dx ,故选(D).
国羽答案
国答案
由 d (J/(x)dxj = f(x)dx ,Q/(x)dxj = f(x) J/ (x)dx = /(%) +。知, 
(A)、(B)、(C)都不正确,只有(D)正确，故选(D).
(D).
198 第4章不定积分
因为/，(%) = g，(x),所以/(x) = g(x) + C,而(C)与(A)是一样的，故(A)、(B)、(C)都 
不正确，只有(D)正确.
事实上，对等式两边同时积分，得，/'(x)dx = Jg'a)dx,即向(x) = Jdg(x),因此(D) 
正确.
因为 J"(x) = 〃x) + C,所以 d[J"(x)] = d"(x) + C] = 4f(x),于是 
jd[jd/(x)] = jdf(x) = /(x) + C.
/r(sin2x) = cos2x + tan2x = 1-2sin2x +---------, 令sin2x = t
1 - sin x
/r(0 = 1 -2/ + —^― =  2t ,于是= --- 2t\dt =
故 /(x) = -ln(l-x)-x2+C.
泰弟, 1 2
—x -ln|x|-3arcsinx + C.
r(x2-l)Vl-x2 -3x . rf 1 3 1
J xVl-x2 JI X Vl-x2 J
=fxdx- [ —dx-3(—?=i=dx = — x2 ■
J Jx Jj_2 2
-cotx-tanx + C.
r cos2x 1 c COS2X - sin2X . r z 2 2、1
----  -------dx = ------ ------- ---- dx = (esc x - sec x)ax
J sin x cos x 」sin x cos x J
=j csc2x dx - j sec2xdx=- cot x - tan x + C.
--cotx + cscx + C.
,则
—ln(l -/)-/+ c ,
-ln| x | -3 arcsin x + C.
r 1 - 2 COS X 1 r 1 - 2 COS X .
------------ dx= -------- z—CD
J l-cos2x 」2 sin x
=^-jcsc2xdx -
到上+ic. 
ln5-l
』[5"1 +，网=4 
=1
c = ^csc2x - cscxcotx Jdx
fcscxcotxdx= --cotx4-cscx + C.
J 2
| +O-£X1±£)1
) (1 + 吟 _
j +l-ex dx = dx +jldx-jeA
第4章不定积分 199
|陶答案 4xVx + 5ex + ；(x + sinx) + C.
+ 5ex + cos2 = | dx = 6卜5dx + 5J e'dx + gj(l + cosx) dx
2
= +5ex +；(x + sinx) + C = 4xVx +5ex +；(x + sinx) + C.
-x3 -x + arctanx-2arcsinx + C. 
3
=J
&-1)(/+i)+ i
dx
x2-l + dx = -x3 -x + arctanx-2arcsinx + C. 
3
评注J
通过简单的恒等变形,是将积分转化为用基本积分公式求不定积分的最基本的技巧.
y-------- 1 0
(1) j2x + 3 + C; (2) -ln(x2+2x + 5) + C；
1 3
(3) -ln|2x + 3|+----------- + C.4 1 4(2x + 3)
(1)
==i［隼理』伴里二一+c. 
3 2J j2x + 3 2J j2x + 3
(2) f J—dx」［a： + 2x + 5」」jd(F+2x + 5)
Jx2+2x4-5 2J x2+2x + 5 2j x2+2x + 5 
1 9
=—ln(x2 + 2x + 5) + C.
z_x r xdx 1 r(2x + 3)-3 . 3r 1 .(3) I---------- = — I-----------z- dx = - I-------- dx — I 弓 dxJ(2x + 3)2 2J (2x + 3)2 2J2x + 3 2J(2x + 3)2
心+c
4
1给一月急叩x + 3什
国答案 (1) 01G + c ；⑵-2cosVx + C; (3) 2 arctan Vx + C.
⑴ 。2五・十改=卜2石(2«)'dx
=je2^d2V^ = e2^+C.
(2) jdx = jsin4x --^=dx = 2jsin>/x dVx = -2cosVx + C.
⑶%"J (Vx),dx
1 + (Vx)2
=2 f —- = 2 arctan Vx + C. 
Jl + g2
200 第4章 不定积分
EEH答案I (1) + C ； (2) arctanx2 + C ；
1 1 一
(3) -------------------- - + C ； (4) -[/(x2)]2+C6(1)(2d—l尸 八刀
(1) jx2e?dx = |je?(x3)rdx = |je'3dx3 = 1e%3 +C.
⑵
dx2
「X2dx _ 1 (2d 一 g _ 1/d(2X3 — 1) _________1_______ + c
()'(2x3 -iy - 6 J (2x3 -l)n - 6 J (2x3 -iy - 6(1-^X2%3-!)"-1 +
(1) — arctan —+ C ； (2) —ln|a + X| + C .
a a 2q a-x
(4) fW2)/V)dx = 1f/(x2W2)dx2 =1j/(x2)寸，)=；"(川)]2 +c.
|EEB答案| (1) — x----sin 4x + C ; (2) —cos3x -\—cos5x — cos7x + C ；
8 32 3 5 7
1 3 1 1
(3) — esc x + cscx + C ； (4) — sin2x-----sin8x + C .
3 4 16
小「• 2 2 j rl-cos2x l + cos2x」 1 r2c、」(I) J sin x cos x dx = J--- - ------------ - ----- dx = —J (I-cos 2x)dx
=l + ；s4x)改-1 J(l-cos4x)dx = Jcos4x d4x
1 1 •，厂
=-x----- sm4x + C .
8 32
(2) jsin5x • cos2x dx = jsin4x - cos2% • sin % dx = - J(1 一 cos2x)2 - cos2x d(cosx)
[ 2 ]=-J(cos2x - 2cos4x + cos6x) d(cos x) = --cos3x + — cos5x- - cos7x + C.
(3) jcot3xescxdx = jcot2x- cotxescxdx = -jcot2x-(escx),dx
=-j (csc2x -1) d(csc %)= 一 ； esc% + esc x + C.
(4) j sin 5x sin 3x dx = ； J (cos 2x - cos 8x) dx = ； J cos 2x d2x - ' J cos 8x d8x
咽答案
=—sin 2x----- sin8x + C.
4 16
⑴』 dx 
a1 +x2
dx _ 1 r(<2 + x) + (^-x)^_ 1 1 + 1
a2 -x2 2a J (a + x)(a -x) 2a^\a + x a-x
第4章不定积分 201
1 
~2a
r d(Q + x) r d(Q - X) 
J a + x 」a-x
a + x1 [ \ \ 〉 =”L+c.
x
EE4答案 (1) etanx+C； (2) eX+"+C.
(1) jetanxsec2xdx = je^x(tanxydx = jetanxd(tanx) = etanx+C.
⑵/ i i
x+- r xh-
e Xdx= I e * dx
X
i 
x+- 
e x +C.乎=
(1) arcsin(lnx) + C ； (2)------- ------ + C ； (3) arctan(xlnx) + C.
1 + lnlnx
⑴【
⑵J
dx 
xa/1 - ln2x
dx
r (Inx)'dx r d(lnx) , “ 、「，・乙一 -= /•'一 ,,=arcsin(lnx) + C.
J 77^7 J
xlnx(l + lnlnx)2
_ r(H-ln In x)rdx _ rd(l + ln In x) _ 1 +。
J (1 + lnlnx)2 」(1 + lnlnx)2 1 + lnlnx
r 1 + lnx i r (xlnx)f i r d(xlnx) , ,1 、 「(3) ------ -.... — dx = -—, ---dr = -------------7 = arctan(xlnx) + C.
J l + x2ln2x J l + x2ln2x Jl + (xlnx)2
|的答案 (1)------ -----  + C; (2) (arcsinV^)2+C; (3) --[arcsin(l-x)]2+C.
arcsin x 2
⑴
dx r d(arcsinx) 1 万， —I — H C .
-X2 (arcsin x)2 J (arcsin x) arcsin x
/一、r arcsin Vx, r arcsin Vx 1 , _ r 
⑵J而K&TfT .五改=2j
arcsinVx
y]l — (Vx)2
dVx
=2Jarcsin Vxd(arcsin Vx) = (arcsin Vx)2 + C.
⑶ rarcsind-x)^ r 
J y]2x-x2 J
arcsin(l - x) dr = -j arcsin(l - x)[arcsin(l - x)]rdx
|EE口答案
f 1 . 2
=-J arcsin(l - x)d[arcsin(l -x)] = -—[arcsin(l -x)] + C.
2 arcsin 4 + C 或 arcsin (2x -1) + C.
方法一：直接凑微分.
=2arcsinVx + C.
方法二：先配方，再凑微分.
dx =|
\x-x
tH /____
yjl — (2x — I)2 Jl - (21 — I)2
2dx d(2x — l) =arcsin (2x -1) + C.
7l-(l-x)2
\J1 — (a/x)2
202 第4章不定积分
同一个不定积分，用不同的方法凑微分，积分结果可能不同.
EE目答案
1-arctan 
3
+ C.
+ C.
r cosx 1 r (sm x) 〔 r d(sm x) 1
----------厂 dx = -------- —dx = —-------- =-arctanJ 9 + sin2x J 32 + sin2% J 32 + sin2x 3
评注
本题利用了公式]=-arctan-+ C. 
J a +x a a
」arcsin生+ 工一 4%2 + C.
2 3 4
dx xdx
J9-4d 2 3 8J 7^?
V9-4x2 + C.
评注J
1"、本题利用了公式
3 4
= = arcsin—+ C. 
x2 Q
3 ____________
-#(sin x - cos x)2 +C.
r sinx + cosx _ r(sinx-cosx)F _ rd(sinx-cosx)
I 厂:. CLX — I / ，・ QX — I / …— .
J vsinx-cosx J vsinx-cosx J vsinx-cosx
皿答案
3 .____________
=—^/(sin x - cos x)2 +C .
ln|cos(Vl-x2 )| + C.
r xtan(Vl-x2) 1 
----r=J 7i-%2
-j tan^l - x2 )(V1 - x2 )rdx
一 J tan(Jl - L、)d( Jl - l? ) = ln|cos(Vl-x2 )| + C.
评注J
一—「，” *本题利用了公式jtanx dx= -ln|cosx| + C.
IEIB答案
—[ln(x + Jl + X2)+1]之 + C.
它可)+ 1* = 2，=)+ ]4dx
=j Jln(x +Jl + M + l [ln(x + Vl + x2) + 1] dx
--- ——— - -- -- 3
=J Jln(x + Jl + x?) + Id [ln(x + Jl + 冗、)+ = — [ln(x + Jl + x') + 1J2 + C.
二，csin"
2
|皿答案
第4章不定积分 203
|国回答案 + C.
fC0SX dx = f = 2[e7i^(Vi+^)^
J Vl + sinx 」 Vl + sinx J
= 2je7^dVl + sinx =2eVi^+C.
1 9 1 q
—ln(l+x ) +-(arctanx) +C.
rx + (arctanx)2 * _ f x
J 1 + x2 1 + x2
j r (arctan x)2」 
dx+ ---------J 1 + x2
=g )+ j(arctan x)2d(arctan x) = ； ln( 1+x2) + ； (arctan x)3 + C.
ISE答案
-；cos2x + ； ln(l + cos2x) + C.
c sinxcos3^ , r cos2x-sinxcosx . 1 r cos2x JZ )、
--------------Ax = -------------- z-------dx =—  ----------丁 d(cos x)
J 1 + cos x 」 1 + cos x 2' 1 + cos x
r d(tan x) 1= —1-----=—j= arctan
J tan2x + 2 J2
+ C.
本题利用了公式[包= -arctan- + C. 
J a +x a a
题答案 x — ln(l + e") + C.
r dx r dx _ r Q~xdx _ r (1 +e-x)rdx _ r d(l + e-x)
J l + ex =」ex(l+e-x) -」l+e-x 一一」l+e-x，l+e-x
1 +ex
=-ln(l+e-x) + C = — In------- \- C = x — ln(l + ex) + C.
ex
[ln(x +1) - In x]dx
=-j[ln(x +1) - Inx]d[ln(x +1) - Inx] = -;[ln(x + l)-lnx]2 +C
204 第4章不定积分
1
|EE答案
2
Inx-arctan(ln x) + C.
= --ln2| 1 + -| + C.
x
J就W小J岛岫回端口叱）
]____ 1
l + ln2x
i f d(ln x) 1 , n 、.d(ln x) = Inx- -------- = Inx-arctan(ln x) + C.
J 1 + In x
|x3+|(x2-1)5/x2-1 + C.
I-X
_ r x(x + yjx2 -1)
- J%) - 1 (X — J%2-D(X + :公-1)
xdx
dx
=# +!|Vx2-ld(x2 -l) = ix3+1(x2-l)>/x2 -1 + C.
--esin2x-2x + C.
4
因为(sin2x-2x)r = 2cos2x-2 = -2(1-cos2x) = -4sin2x ,故
I-段 2x sin2x dx = jesin2x-2x sin2x dx =Jesin2x_2x-(sin2x - 2x)fdx
= --[ esin2x-2x-d(sin2x-2x) = --esin2x_2x + C.
4J 4
答案
1 9
— (In tan x) + C.
rIntanxj 1 r Intanx j 1 rIntanx 1 , 1 rIntanx 1Z 、 
--------ax = -\------------- dx = -- ------------------ ax = -i---------d(tan x)
J sm2x 2J sinxeosx 2J tanx cos x 2J tanx
|眄答案
=jlntanx d(ln tan x) = ；(ln tan x)2 + C.
— -— +c.
1-xtanx
r x + smxcosx . r x +tanxcos2x , r xsec2x +tanx , 
------------------r*= — 5---------------r *= -----------------厂dx
J (cosx-xsinx) J cos x(l-xtanx) J (1-xtanx)
In
_ r d(xtanx) _ r 
J (1-xtanx)2 」
d(l-xtanx)
(1-xtanx)2 1 -xtanx
+ C.
esinxcosx
l + esinx cosx
+ C.
1
因为91nxe= •cosxcosx + eSinx(—sin%) = eSinx(cos2x_sinx),
所以 f cos?、-sinx 改= f e= (cos2Asinx)也
J cos x(l + esmx cos x) J eslnx cos x(l + esmx cos x)
_ f ©nXcOSJCy * _ f dlcOS.)
一 J esinx cosx(l + esinx cosx)必二」esinx cosx(l + esinx cosx)
第4章不定积分 205
exsin x _ 
---------- + C. 
1 + C0SX
|侬答案
因为
sin x
1 + cosx
cosx-(l + cosx)-sinx-(-sinx) _ 1
(1 + cosx)2 1 + cosx
所以J (1+sin x)ex 
1 + cosx
」 r f sin x x 1 八」 
dx= ---------- e +-----------e Ax
J V + COSX 1 + cosx J
sin x z ( smx 、 x i sin x . e sin x 「 
---------- (e ) + ----------- ex dx= ---------- ex \dx = + C. 
1 + cosx 11 + cosxJ J11 + COSX ) 1 + cosx
1 9
--lnsin(l-x2) + C.
j#(l-x2)dx = 1j/(l-x2)dx2=-1j/(l-x2)d(l-x2)
j 一“ 一; J f(u) du = -；lnsin〃 + C _~lnsin(l -x2) + C.
面证明 因为
— ff(x) /(x)------------------  
"2-------------v v2
所以j切’⑴一，dx=/产^ -里_ /2卜七
1(74-x2)5 -^(V4-X2)3 + C .
令x = 2sin，，-- 0),则％ = /6@ = 6『也,于是
。=3网-6近 + 61口|1 + 蚯| +。.
第4章 不定积分 207
令、隹三〉0),则 X = l +Jy,dx = - -2、2由，于是
Vx-1 1 + /2 (1 + Z2)2
r 1 15 — X r 1 + * —8/ j . r t?
I------ A /------ dx = I - -------1 — ------ - dz = 41-- --- z— d/
J3-xVx-l J 2(Z2 -1)(r+1)2 J(l_『)(l +/)
-2arctan/ + C = In
I -\l x — \ + J5 - x I 
j yl x — \ - — x I
评注
本题利用了Jdx=l-ln 
J a2-x2 2a
9+c
a-x
ln(l + ex)-e-x-x + C.
令e"=，，贝!］工=111乙（1% = 1出，于是
= ln(l + /)---ln/ + C = ln(l + ex)- --lnex+C = ln(l + ex)-e-x-x + C. 
t ex
ln"1+C.
Vex+1+1
令 Je" +1 =，,贝!Jx = ln(r-l),dx = J-dz ,于是 
t — 1
2t , c r 1 」 1f---- d，= 2 —----- dt = Int2-l h2-l
+。=由尸匚1 +。.
Vex+1+1
t — 1
t + 1
评注J
本题利用了 dx=— 
2a
1 \x-a\ 「 In------ + C.
\x + a\
15 ~3
ln|x|--ln(x6+l) + C.
6
令工=’,贝!]x = 4dx = _■yd/ ,于是 
x t t2
八一信人十印
111=_ ^|1 + ^6 |+C = --lnl + 4- +C = ln|x|--ln(x6+l) + C. 
6 6 x 6 666
评注J
本题也可以用凑微分法.
a/1 + x2 -排(l + i)3+C
X
令_ = /,贝！Jx = -,dx = --At ,于是 
x t r
208 第4章不定积分
J也
=J1 + : J(l + 1)3 + C =
2J7w
-7F+7 a(i+/2)
一 An + '4+C.
评注J
本题也可以做三角代换.
ln|x + lnx| + C.
令lnx =，，贝！J x = e，dx = e'd/,于是
r 1 + x j rl + e' t j 「1 + e'」 
F-------- dx= —— -Qfdt = --dt =
J x +x]nx 」e +/e J e +/
—=ln|er+Z|+C = ln|x + lnx|+C.
|侬答案I ；[arcsin(x -1) + (x - 1)V 2x-x2] + C.
令x-l = sin/,则— - = cost,dx = cost dt, 于是
Ja/2x - x2dx = J^l-(x-l)2dx = jcos2/ d/ = ； j(l + cos2/) d/
1 1 . c 「 1 1 . 「=-Z H— sin 2/ + C = — t h— sin t cos t + C
2 4 2 2
J
yl2x-x2 
439题-图
题答案
——[arcsin(x — 1) + (x — 1)V 2x — x2 ] + C.
-ln|71 + e-2x +e-x|+C.
r dx
J Jl + e2x
dx _ r de-x 
exjl+e- 」Jl + e)，
令e-x = tanZ,贝！J ^/l + (e-x)2 =secr,de-x = d(tant) = sec2/ dz,于是
r dx r sec2/ r 1c
I / = -I--------- = -I secZ dt = -ln| sect + tanZ | + C
^/l+e2x sec/
= -ln|71 + e-2x +e-x| + C.
IES1答案 1 arctan + C.
x = sinZ , -- 
I I I 
2-x l+x
小号等+g'三总-2)占d(”
ln(l + x) 1.. 21, Z1 、 「 (l + x)ln(l + x) I1। ci 「—— -+ -ln|x-2| 一—ln(l + x) + C =  ----------- - + -ln|x-2| + C.
2-x 3 3 3(2 - x) 3
2(x - 2)Je" -1 + 4 arctan Vex -1 + C.
____ r\ j
令 Je" -1 =1 ,贝!Jx = ln(*+l),ck  = ^— dt ,于是
t +1
xe ,
―/ -- dx =
Vex-1
+ 1) 2t
= 2fln(/+l)-2,.
r2 +1
2r
t2 +1'
d/ = 2jln(»+l) dt
dt = 2/ln(/2 +1)-4小 一
dt
=2t]n(t2 +1) -4z + 4arctan+ C = 2(x -2)Vex -1 +4arctan Ve^-1 + C.
2(lnx-2)Vl + x -21n + C.
第4章不定积分 213
令 Jl + x = t,贝!Jx = *-l,Jx  = 2/d/,于是
j 声' dx = j 3二匕 2 位= 2，ln("—1)山=2/ln(r—1) —2卜山
=2小(/—1) —4/[1 +七) dt = 2t]n(t2-l)-4/-21n||^| + C
(x + l)arctan Vx - y[x + C .
=2(lnx-2)71 + x -21n C.
令G = t ,贝!J x = / ,于是
jarctan Vxdx = jarctan t dt2 = t2 arctan t-^t2 - - 2 dt = t2 arctant - dt
=t2 arctan/-1 + arctan t + C = (Z2 +1) arctan Z- t + C = (x +1) arctan Vx- Vx + C .
x - 2 x x-t------ ex + C.
x + 2
r x2ex 」 「2 %」1 x2ex 「1 , ”
-------- -dx = — x e d------- =--------- + ------- (x+2)xe dx
J(x + 2)2 J x + 2 x + 2 x + 2
x2ex 
x + 2 
x2ex
x + 2
cosx 「 ------ + C.
1 + x
+ f xqx6x = -- --- + fxdex = - X e + xex - f exdx
J x+2 」 x+2 」
x — 2+ %ex-ex + C = ^^ex + C.
x + 2
(l + x)sinx + cosx
(1 + 4
i r sinx i r cosx . ox = I------dx + I---------- dx
J l + X J(l + X)2
r smx 1r i 1 rsinx, cosx
=------dx- cosxd------ = -------dx------------
J 1 + X J 1 + x J 1 + x 1 + x
r sinx i cosx 「 
---- dx =--------- + C.
J 1 + x 1 + x
x
—[cos(ln x) + sin(ln x)] + C.
令e"=f,则x = ln九/()= cos(ln/),从而
/(/) = jcos(lnt)dt = tcos(ln%) +，sin(ln= tcos(lnZ) +Jsin(lnt) dt
=t cos(ln /) + / sin(ln。一，cos(ln。； df =，cos(ln /) + / sin(ln /) - j cos(ln %) dt ,
/ x
于是 /(/) = -[(cos(ln /) + sin(ln t)] + C ,即 /(x) = -[cos(ln x) + sin(ln x)] + C.
2 2
强证明 /〃 = j secnxdx = J sec〃一2% . sec2xdx = J secw-2xd (tan x) 
=sec77-2 xtanx-|tanx-(w- 2) secw-3x - sec x tan xdx 
=sec” - 2% tan x-(n- 2) j tan2x - secw_2xdx 
=secw-2x tan x-(n- 2) j (see2% -1)- secw-2xdx
1—白
J
214 第4章不定积分
移项,
=secw-2x tan x-(n- 2)j secnxdx + (〃 - 2)J secw-2xdx
=sec"-2% tan x-(n- 2)In +(n- 2)Zw_2, 
解得ln= —$出% +匕I/? .
(w-l)cosw 1 x n-1
1 . 1
-ln| x _ 11H-------- F C.
2 x + 1
1 9 1 9
—x — — ln(x +1) + C .
dx = N舄MME改
=jxdx1吗一+；)=lx2 -1ln(x2 +1) + C .
14 1
yln|x + 4|+-ln|x-l| + C.
3x-2 3x-2
x2 + 3x - 4 (x + 4)(x -1)
4 十 g,贝 IJ 
x+4 x-1
3x-2 = A(x-l) + B(x + 4) = (A + B)x + (4B-A),
A + B = 3 加日 14 „ 1 工日
…，C，解得/ =1§ = ：，于是
4B-A =-2 5 5
r 3x-2 J 14 r 1 
------- dx =--------
J x + 3x - 4 5 J x + 4
dx + — J---- - dx - ln|x + 4|+—ln|x — 1| + C7.
4 11
-ln\x + l\+-ln\x-3\+—ln\x + 2\ + C.
、几 2工2 — x 4-1 
设T— -— —
ABC--- 1------ 1----
(x + l)(x - 3)(x + 2) x + 1 x-3 x + 2
设
故
1
,则
2x2 — x +1 = — 3)(x + 2) + B(r
即 1邛[(x — l)2+CJ = l邛Elnx — D + C?],亦即于是
厂(%) =
厂(%)=
a—仔+g,
x(ln x — 1) + G +1, x，1
(1)2,
,其中G为任意实数.令G=o,则
.因此，选(D).
X < 1
X < 1
x(lnx-l) + l,x^l
—e~2x arctan ex — -— —arctan ex + C.
2 2ex 2
arctan ex
e2x
dx = -- f arctan exde-2x 
2J 2 2Je2x(l + e2x)
— c~2x arctan ex + —
2 2
rdex r dex
J e2x」1 + e2x
I —2x x l l x
—e- arctane------------arctane +C.
2 2ex 2
arctan x 1 z x x2 11 「--------------- (arctan x) + —In------+ C.
x 2 2 1+x2
r arctan x〔 r
—；---- 丁 dx 二J X (l + x ) J
因为］比再改=J
=-j arctan xd--j arctan x d( arctan x) = - arctan x r I l 2+J/再改一 5侬曲nx),
x2 (1 + x2)
dx = -
2
="二+。,
2 1+x2
x
x
二G、r f arctanx 〔 arctanx I z x2 I, x2 - 
所以 f----- 7-dx =----------------- (arctanx)2 +-ln— - + C.
Jx2(l + x2) x 2 2 l+x2
bra + C-
第4章不定积分 219
1 + X *- f (1 + X)d 网—r 
x(l + xex) 」x(l + xex)- ex 」
婀）
xex(l + xex)
xex =/ f d.Z
= h(l + 0
口图答案
d/ = In 1—^—1 
li+d
，=xe'》t x . xe >
+ C = ln-------- +C.
l + xex
x +C. 
x-lnx
r 1-lnx
J (x-lnx)2
-e2x 
2
——+ C. 
x-lnx
令 Je" -1 = f ,则 e" =l +，2,x = ln(l + »),dx=d，,于是
1 + t
J e2x arctan Vex - Idx =j(l + /2)2 arctan
=j 2/(1 + * ) arctan M, = ； J arctan t d(l +12 )2
=；(1 + /)2 arctan/- ；J(l + 〃)2. ] l,d = ；(l + *)2  arctan/ -1(1 + r2)dz
= ；(l + /)2 arctan/
,3
/ + — l + C =-e:
3 2
产 arctanVex-l--(ex + 2)Vex-l + C. 
6
题答案
xsinx 「 ----------------- + C.
xsinx + cosx
r x + sinxcosx f ^(sin2x + cos2x) + sinxcosx 改
J (x sin x + cos x)2 」 (x sin x + cos x)2
=i sin x(x sin x + cos x) + x cos2x
(xsinx + cosx)2
i r smx 1r xcos2x 工 
dx = ----------------- dx + --------------------7 ox
J xsinx + cosx J (xsinx + cosx)
r sin x i sinx=----------------- dx + xd—；--------------
J xsinx + cosx J xsinx + cosx
r sinx i xsinx r sinx j xsinx 「 = ----------------- dx +-------------------- ------ ；-------------dx = ­ ；------------- + C .
J xsinx+ cosx xsinx+ cosx J xsinx+ cosx xsmx + cosx
11 ， x 1 x 2 工 >
-In tan - h— tan —I- C .
8 224
J
dx
sin 2x + 2sinx =J dx
2 sin x(cosx + l)
T
咤
sin—cos3 —
dg
tan—cos2 — 
2 2
2
1 1 + tan2 — 
力— - 
4」tad
2
2
d| tan—j = —In tan— +-tan2 —+ C.
2 4 2 8 2
220 第4章不定积分
盛］答案
x
In tan — +1 + C.
2
J
1
1 + sinx + cosx
dx = J 1
2sin —cos—+ 2cos2 —
2 2 2
sec2 —
dx= f..........—
J x . 2tan —F1 
2
xd tan—+ 1 =ln tan —+ 1 + C .
2 2
2
国答案 arctan tan^ j + C.
2 + cosx l + (l + cosx)
dx = f------ -------
l + 2cos2 — 
2
2 x sec —
2
1 1 2 %1 + —sec —
2 2
di
1 +—| 1 + tan2 —
df tan^|= f----- - -----
I 2)J3 + tan^
2
d| tan-1 =
I V V3 arctanBtanC+c,
I 2
1方
1 dx = J
2
1 dx = j
1 X
2
匹0答案 x + 21n| cosx + sinx | + C.
令3cosx-sinx = A(cosx + sinx) + 5(cosx + sinx)r ,贝(J
3cosx-sinx = A(cosx + sinx) + B(-sinx + cosx) = (4 + B)cosx + (4 — 3)sinx , 
比较系数，得4 + B = 3,4 — B = ~L,解得4 = 1,5 = 2,于是
r3cosx-sinx〕 r (cos x + sin x) + 2(cos x + sin x)r
cosx + sinx
心=(a + 2(/吧±丽、)
J 」cosx + sinx
= x + 21n| cosx + sinx | +C.
评注J
被积函数的分子和分母是sinx和cosx的线性组合的不定积分，即形如
racosx + ftsinx .仝、 一五， ------------------dx的不定积分，可做如下变换：
J CCOSX +rfsinx
a cos x + b sin x = A(c cos x + d sin x) + B(c cos x + dsin x)f.
［国］答案 —x — — ln| 1 + sin 2x | + C.
方法一： 令 sin x = /(sin x + cos x) + B(sin x + cos x)r ,则
sin x = 4(sin x + cos x) + B(cos x - sin x) = (A- B) sin x + (4 + 5) cos x ,
i i
比较系数，得4 —5 = l,Z + 5 = 0,解得Z = =—七，于是
2 2
［一虹.dx△［幽
J sinx + cosx 2J
x + cos x) - (sin x + cos x)r 在
sinx + cosx
~2
d(sinx + cosx) 1 1一 • ,-------------------=—x — In| sinx + cosx| + C.
sinx + cosx 2 2
第4章不定积分 221
方法二:
r sinx r sin x(cos x - sin x) _ 1(• sin 2x - (1 - cos 2x)
J sin x + cos x 」 cos2x - sin2x 2」 cos 2x
=；j tan 2xdx 一 ； j(sec 2x — l)dx = 1 J tan 2x d2x 一 ： jsec 2x d2x + ~x
=一;ln|cos2x|一;ln|sec2x + tan2x|+；x + C = ^x-^-ln| 1 + sin 2x\ + C.
1 2 /-arcsinx + —ln|2x + a/1-x2 | + C.
^x = sin/ , ]H!jA/I=? = cos/,dx = cosZdZ,于是
f—L—dx=f cosz -d/
J 2% + Vl-x2 2sm/ + cos/ 492题-图
1 r (2 sin / + cos t) + 2(2 sin t + cos t),
-I------------------------------------------------ dZ
5 J 2sinr+ cosZ
1 2 rd(2sinr4-cosZ) 1 2, . . . 「「=—t h— I--------------------= — t -\— ln| 2 sin t + cos /1 + C
5 5 J 2sinZ + cos/ 5 5
|EE0答案
X + ]—ln(l + x2) +------7 + arctan x + C.
2 1 + x2
r %3 +1 dr = f — “ 2 改 + f----~n~ dx =，+ 右,
J (1 + x2)2 J(l + x2)2 1 2
日高端J4” T黑声
4W…)1 1
2
d(l + x2) = 1ln(l + x2) + —^-4-Q , 
， JL • X j
= tan/ ,贝!j 1 +，=i + tan2/= sec2/,dx = sec2f 由，于是 
4刃舟宏dTc2d"J匕等d.
= -Z + isin2/ = -r + -sinrcos/ =
2 4 2 2
1 1 X 1
—arctan x + — . —/ ，—
2 2 7TT7Vi77
因此, f X dx = - In(1 + x2) + + arctanx
J(l + x2)2 2[_ 1 + x2
2y/1+ x2
+ c.
+ c,其中c = g+G.
222 第4章不定积分
令arctanx = t ,贝！| x = tan%, 1 + / = sec2 t,dx = sec2/ dt,
J (2 + cosx)sinx J(3 2 + t 2 Z + l 6 t-lj
=—ln| Z + 21 —ln| / +11 h—ln| f — 11+C
3 2 6
^^=-ln(cosx + 2) - —ln(cosx +1) + -ln(l -cosx) + C.
— x + —x3 -~(x2 + 2)71-x2 arcsinx + C.
3 9 3
r xe3rctol4 rtan/-er 2 . 「「.」. 一J--------- ydx = J-------sec t dt =J e sin / d/ = j sin/ de
(1 + x2)2
=ef sinZ-J cos t de' = e' sin% — ercos /-j e'sin t At, 
故Je'sinZd/ = ；e'(sin，-cos，)+ C,从而
arctanx 1
[—— -dx=-e31-^
J 2 ?
(1 + 号2
+ c”-+c. 
2V1 + X2
x-3 ln(e® + 1)-1 ln(e 与+1)-3 arctan e^+C.
r dx 3=£
1 + e^+e^ + e^
6d/ 6d/(1 + /+/+/)，' +1)(/ +1)
设4 —
t(t + 1)(/ +1) t f + 1 r+l
解得 A = 6,B = C = D = -3 ,于是
Mi—”小曙 3rd(/2+l) r dt 
2-1 t2+l-- J t2+l
3
=61n| ZI -31n| Z + l I ~—]n(t2 +l)-3arctan/ + C
=x-31n(e" + l)- -ln(e^+l)-3arctan e" + C.
的答案 -ln(cosx + 2) ln(cosx +1) +—ln(l -cosx) + C.
3 2 6
J 1
(2 + cos x) sinx
dx = J sinx
(2 + cosx)sin2x
dx = -f一/吧)2
J (2 + cos x)(l - cos x)
cos x=t r dZ r d/
- J (2 + 0(1-2)= J(2 + 0« + l)(”l)，
设------- -------- =———F ——— + ——— , W1 A = —,B = ——,C = —,
(2 + /)(r + l)(/-l) 2 + t r + 1 t-1 3 2 6
r 1 4dli 1 1 1 1 3
I瓯答案|
第4章不定积分 223
f，:resin ^ (x2 arcsin x • 产— dx = - [ x2 arcsin x dVl-x2
J VTT7 J VT7 」7Esmx +尸]2x arcsin x + dx
=-x2y]l-x2 arcsinx + ^x3 + j2x71-x2 arcsinx dx , 
2 3
而 A = J 2xVl-x2 arcsin x dx = - § J arcsin x d(l - x2 y
r\ 2 2 2 1
=— (l-x2y arcsin x + —J(1 - f )2 — dy
3 3」 Vl-x2
2 3 2= -y(l-x2y arcsinx + —j(l -x2) dx
=—(1 — x2) J]一二2 arcsin x H— x—x3 + C1,
3 3 9
所以 r£arcsinx^_ + _ j_(%2 + 2)71-x2 arcsin x + C.
J VJT7 3 9 3 
1 9
-ln|(x-^)2-l| + C.国3答案
^x-y = t ,贝!= ，代入y(x-y)2 =x ,得(x-= x , 
解得.为,故*=笔濯必 y= ,于是
。心=1丁
t2-l
= 1ln|Z2-l|+C = |ln|(x-j；)2-l| + C.
-2Vl-x arcsin-jx + 2\[x + C.
由 4 2 0, Vl-x > 0, sinx w 0得0cx < 1,故 sinx > 0 ,
arcsin JF
令sii?x =，，贝!jsinx = VF,x = arcsin",/«) =-----『—, 于是
业
/(x)dx = J^=™^dx = = -2jarcsinq dE
=-2& - x arcsin G + 2 J Jl-x • 1
\J1 — (Vx)2
I弧答案
=-2a - x arcsin 4x + 2y[x + C .
4/1 + C.
J xf\x)6x = Jxcjf (x) = xf\x) - J f(x)dx = xff(x)-f(x) + C ,
由 J/a)dx = / + C知，/(x) = (ex2 +cy = 2xex2 ,故八%)=21+4—,
224 第4章不定积分
于是,jxfrr(x)dx = x(2ex2 + 4x2ex2) - 2xe' + C = 4/e*  + C .
|回答案 In
1 Vl-X2
+ C.
X X
由 f^(x)dx = arcsinx + C知，xf(x) = (arcsinx + Cy = , 
J Vl-x2
所以 /W = '—a J/(x)dx = j — -dx ,
^x = sint ,贝(J Jl — —=cos，,dx = cos，d%,于是
X
501题■图
[f (x)dx = f-----------cost At = [esc/ dz = ln| esc/ - cot /1 + C
J J sin/cos/ J
=In
1 yjl-x2
X X
+ C.
则答案 /(x) = ^ln2x.
由(]7'(1)&)’=[一(1 + 工"一"+。了得/'(1)=疣一＞ 令 e、=Z,贝(J x = ln，J") =乎，即
Ax) = —,积分得 
x
/(x) = = jinx d(ln x) = ^ln2x + C ,
由/(l) = 0 得 C = 0, ^/(x) = 1ln2x.
国］证明
方法^:
左边二 小年”
J (/'(x))3
2 low
=1%及+ ；斤（水1 1 
(7w
2
+ C.
厂5改
方法二:
左边=j /(X)(/r(x))2 -/(x)/\x)
ra） （ra））2
dx
2
+ c.证毕.
仲必！证明
(asinx + Z?cosx)2 =(a2 +/)
b Y
sin x + / cos x
V7+F )
= («2 +/)2)sin2(x + ^),
第4章不定积分 225
其中COS0 = I ,smq = 
\la2 +b2
b
飞 a2 +/
,于是
cos(x +(p) = cos x cos e - sin x sin (p =1 - - cos x — 〕 sin x ,
耳+# 耳+加
从而— \-----=2 1 .2 (―T7；d(x + 8)
J (asinx + bcosx) a +b J sin (x +。)
2 1 庐 j esc2 (x +(p)d(x + 0)=— 2 1 [2 cot。+ 0) + C
b
1 cos(x +(P) 
a1 + b1 sin(x + (p)
, cos x - , —sm x
+ c = -
1 J"/
a2 + b1 a .
y]a2 +b2 .r
b, sinx + , cosx
yla2 +b2
+ C.1 6zcosx-Z?sinx 
a1 +b2 asmx + bcosx
第5章定积分
麻日答案 (B).
因为定积分的值是一个常数，所以导数为0.
根据定积分的几何意义，c"77dx表示图中半圆 
的面积，所以「2-4 —X2dx =；兀.22 =2兀.
的答案
原式=limZ4 = lim£±」= [xdx = —.
〃-8禽" foM 九 n Jo 2
(1)这是和的极限，该极限即为函数/(x) = x在区间［0,1］上的定积分.事实上, 
/(%) = %在［0,1］上是连续的，因此可积，于是可将区间［0,1］〃等分，并取4为第，个小区 
间的左端点，这样作出的和的极限就是题目中所要求的极限.
(2)此题的另一解法是通分求和，仿照第一章53(1)题.
强答案 In 2.
n 1 n 1 1
原式=1血之----=lim竞---- r 一
1=1 " 丁 C Z=1 1 I _ ri
[—i―dx = ln2.
J。1 + x
原式=lim£
"f 8 i=1
曲答案 (B).
所有选项中只有(B)当0 W x W 1时，％ W tara,从而I】WA .
…f；相同区间内的定积分大小的比较，根据定积分的比较性质，直接比较被积函数 
在积分区间内的大小即可.
[511] 答案 (A).
因为当 OWxWl 时，Vl + x2 ^Vl + x3 ,且 J1 + J 至& + / ,所以有 I]〉/2.
一^-7 若函数/(%)与g(x)在区间口，可上连续，/⑴Wg(%),且/(%)美g(x),则
a af(x)dx < g(x)dx. J a J a
第5章定积分 227
[512j 答案 3 3
-71^1^-71.
4 2
令/（x） = l + cos2% ,显然在区间:兀上，0cos2x1 ,所以 1W/（X）W2, 
由估值定理得1；兀一£|可（1 +温工）改.2；兀—£|,即技.
答案 — 
10V2
1 
io
由于—j= W / 二 W / (0 W % W1), 
a/2 Vl + x
因此
*JW舟
因为(x9dx = -^-,所以--?= W J : — dx^ —.j。 io 10V2 j°vr+7 10
评注J
一^<^若函数/（X）在区间[。用上的最值不容易求得，可对/。）进行适当的缩放，以便 
于估值.
[d图证明
人、 sinx m 工,/、 xcosx-sinx 尽 (、 ^
令/(%) =----,贝！]/'(%) =------- ------ . 令g(x) = xcos%-smx ,
x x
贝！Jg'(x) = —xsinx<0,x£ ,于是g(x)单调递减，可知 g(x) W g(：) < 0 ,
从而/'(%)v0,则/(x)单调递减，有/(g] W/(冗)W,即电马旦,
<2) <4) it x 兀
由估值定理得2.佰-庐史dxW述.5,，即：W/W孕
71 12 4j X 71 U 4J 2 2
又当ZEWxW乌时，变wjw也所以
4 2 71 <2x x x 71
即注w/W 1.
4
综上所述，*/<当
晅 证明 利用积分中值定理和罗尔定理.
228 第5章定积分
由/(x)在口用上连续知，/(%)在冬审上连续，则由积分中值定理知，存在
- _1_ A-! 9 —
”。,幺厂，使得/S) = t—j2/(x)dx.于是/(〃) =/(6),且, /(x)在［小回 
_ 2 J b-aJa
上满足罗尔定理的条件，则至少存在一点/£(〃］) U 36),使得/隹) = 0.
的证明 利用积分中值定理.
由f(x)在［a,b］上连续知，F(x)在(a, b)内可导，且
x-a (x-a)Ja
由积分中值定理知，存在Je［a,x］,使得。f(t)dt = (x-a)”9，代人上式得
尸3=小)-/@ 
x-a
又由/'(x)W0知，/(%)在3力)内单调递减,则当)Wx时,有
于是x e (a,是时,F'(x) W 0.
[517] 答案
71
2
由平均值公式知，函数/(x) = a/4-x2在［-2,2］上的平均值为
4 w —2
由定积分的几何意义得工不了心二？九 ,故所求平均值为/«) = ：2兀=］.
应日答案 0, sin/)2 , -sin«2.
—=—[%in x2dx = 0.
dx dxJa
史=9/sinx2dx usin/ .
db do」。
—=—[6sinx2dx = --— [°sinx2dx = -sina2. 
da daJa daJb
国答案 2xy11 + x4
—=—f J1 + 力2 dt = + (x2)2 , (x2 y = 2x1l + / . 
dx dx %
评注
当积分上限是夕(x)时，求导要利用复合函数的求导法则. 
一般地，总”(。出=出(初叫江
第5章定积分 229
dy d 产 出 _ d ro dt d p3 dt _ d p3 dt d p2 dt
dx dx卜[1 +” J1 +产 dx」。Ji + * dx]。Ji + * dxJ° J1 + *
1/3、， 1/2、， 3x2 2x=i— 一• (% ) —一r= • (% ) = r— --r= •Jl + f Vl + x4 Vl + x6 Vl + x4
评注J
^当积分上下限均是X的函数时，要利用积分区间的可加性和复合函数的求导法则. 
熟练之后，过程可以简化：
更 _ 产出 _ (dy _ a2y _ 3，_ 2x
* dJ，J1 + * Jl + (%3)2 .1 + (工2)2 Jl + %6 Jl + %4
/⑺由=/[e(x)Ma)- /!〃(%)]，(%) •
dx J 力 a)
一般地,
f arctan t dt o arctan x 
hm -  --------- --= lim-------------
xf ° x 洛必达法则0 2x
]_
2
[523] 答案 2.
lim
XT 0
(J；叫2 2 
lim- 
xtO
u；叫
xe2x2 xex
0 
0
2 lim— 
洛必达法则 xf° e产(1 + 2，)
=2.
lim 
x->0
jy(o(x-t)dt
JU____________________
厂A对，积分时，X视为常量 
xf /(Z)dZ- [ tf (t)dt t
=lim』-------3---------  lim
xf 0 x 洛必达法则XT°X2
JU 
2x
[5251 答案
|圆答案
0
0
£re2?d/洛必达法则 
1/(0).
兀2 
T
当％ f +8时，必有X> 1,则
230 第5章定积分
j； (arctan Z)2 dt = £ (arctan t)2 dt +「(arctan t)2dt N j； (arctan Z)2 dt 2 (arctan l)2 dt = 
n2
而(1-1) T +8 ,
因此 lim [% (arctan t)2 dt = +00 ,于是
• X—>4-00 J 0
lim
X->+00
|o (arctan ,)2 d/ 
Jl + /
00 「 (arctan x)2
==lim ---------- -
洛必达法则X-+00 X
yjl + x2
1 4
cosx
方程两边同时对x求导，得U叱+ cosx = 0,解得亚=一半 
ax Ax Qy
[5271 答案 单调增区间(-8,+8),奇函数.
_lx2
因为 f\x) = e 2 > o (-00 < X < + 00),所以 f(x)在(-00,+00)上单调递增.
由于/(一%)=J。"e 2’ 出绘之 J：e 2" d(-〃) = 一，:e du = -f (x),因此/(x)是奇函数.
|阿答案 2.
因为？(x) = J； (t)dt = xj； f (t)dt ,所以(p'(x) = /⑺由 + 2x2f(x2),
由条件知。⑴=[/⑺由= 1,"⑴= J；/«)d/ + 2/(l) = 5,于是1 + 2/⑴=5,故/⑴=2.
［国］答案 利用零点存在定理和单调性.
设尸(x) =「/⑺d/ + ［£,则尸(x)在口用上连续，且
Ja Jb /(0
尸⑷= f>d"若T：焉 <。，尸@)= f>d，+ f今上⑺…，
由零点存在定理知，尸④=o在3,6)内至少存在一个根.
因为尸G) = /(X)+ —L >0 ,所以尸(X)在口用上单调递增，从而尸(%) = 0在(a,b)内最 
多有一个根.
综上所述，户(%) = 0在(a,b)内有且仅有一个实根.
j e2xdx = ； j e2xd(2x) = 1 e2x il 1
[53l1 y/~5 — 1.答案
—7 ........ d(l + X2 ) = — , 2 Jl + | — V5 — 1.
2 Io
第5章定积分 231
|532 答案
9
 - 8In
dx
=喘-/=岭+ 2—)1；
9 = (ln3-ln2)-(21n2-ln3) = 21n3-31n2 = ln-.
8
[533 答案
e、- . 12-x, x<2
因为2t =< ,所以
[x-2, x>2
13j2-x|dx = j (2 - x)dx + J2 (x _ 2)dx = 2x-^x2
2
+
-1
-2x = 3 = 5. 
2 2
/ + 5% + 6
3
2
|匡4答案 4.
因为卜in止产工，0<二：,所以
l^-sinx,兀vxW2兀
卜由 H dx =，sin x dr + J (- sin x)dx = 一 cos 成 +cosx|『=2 + 2 = 4.
In
评注J
—当被积函数在积分区间上是分段函数或带有绝对值符号时，应根据被积函数的 
取值情况，利用积分区间的可加性分段进行积分.
OWxWl
[535] 答案 改)=)>)八 2+2、- 1 -
12 2'
当 时，P(x) = ^f(t)dt = ^2tdt = t2
当 1 vx<2 时，P(x) = £ = £2tdt + J"(2 + t)dt
、
,2 I: I 2.
(%2 5
=1+ 2x +--------I 2 2
12c 3x + 2x —
2 27
OWxWl
所以‘尸㈤可""油=>+2>3,…<2 
12 2'
评注
当1 vx W2时, 注意积分区间要分段.
71
4-71
因为定积分是一个常数, 所以可设J°7a)dx=c,对等式两边同时求定积分，有
ri ri dxC = "(x)dx = Jo 百 + c£71-x2dx il — 7T 7T 7T -arctanxl +C- -= —+ —C ,
10 4 4 4
四分之一圆的面积
232 第5章定积分
解得C =占,即"㈤
[537] 答案 £/(x)dx = -2, /(x) = -2x-l.
设J；/(%)*  = C,对等式两边同时求定积分，有
c = £/(x)dx = £(Cx-l)dx = Cx2 -Xj =1c-l , 
解得C = 1/(x)dx = —2 ,且由条件知/(x) = x£/(Z)d/-l = -2x-l.
1-- F X
X ,令/[ + %，则%)=占
于是
「2® //、」 □夜 % 1仔& 1 1 |20 1八,1… lie]2 ?d(x -2)=-ln(x -2)|2 =-(ln6-ln2) = -ta3.
人 乙 乙 X 乙 乙 乙 乙
评注J
已知复合函数/S(x)],需先求出/。)，再计算定积分.
I国]答案
令 G = t ,贝！Jx = *,dx  = 2，d%, x = 4 时，f = 2；x = 9 时，t = 3.
J：；*̂  = 占 df = 2 讣 +1 + 言卜=H + 2t + 21n(- 1成
= [15 + 21n2-(8 + 21nl)] = 7 + 21n2.
3凤2
-5-,
令 J3 -2x =」,贝!Jx = ；(3-〃),dx = — —df, x = 0 时，/=百；x=l 时，t= 1.
J； x^3-2xdx = — J： ； G —/)t2dt = 1 J； (3/ -t4 )d/
2(V2-1).
击『=?3百—1)4(96-1) = ^|^
方法一：令lnx = / 贝！J 冗=e', dx = e'd/, x = l 时，f = 0； x = e 时，t = 1.
P . 1 dx= f―^=.eM/= [1^L=dZ = 2Vi+7|1 =2(V2-1).
J1 xVl + lnx 」。171工7 JoVT+7 I。
第5章定积分 233
方法二：令 Jl + lnx = t ,贝！J x = e/T,dx = 2忙”-1由，x = l 时，/ = 1 ; x = e时，t = 42 .
re 1 rV2 1
I i == dx - I 2Ji xVl + lnx J】e一
=｛后2由=24, =2(V2-1).・2甘”也
方法三：「/ 1 dx =「/ 1 d(l + lnx) = 2Vl + lnxP = 2(0-1).
xVl + lnx Vl + lnx 11
2(l-Vl-e-1).
方法一：令1 + 犹”=/,贝!J d，= (1 + x)e"dx , x = —1 时，/ = 1 — e-1 ； % = 0 时，t = \. 
一।-------►注意此处不是dx = "⑺由
『一»…一 E
方法二：令 J1 + * =，,贝IJ dt = J— d(l + xex) = (1t^ldx ,
2,1 + xe*  241+ %e"
x = -1 时，t = Jl - eIi ; x = 0 时，t = \.
I；：?；i=由=24nr = 2(1 - FT7).
方法三J：坪八J：小-d(l + xex) = 2>/l + XQX1° =2(l-Vl-e-1). 
俨 l-i
71
6
^x = —sin/ ,贝!](1% =巫85/由，x = 0 时，，= 0; x =巫时, 
3 3 3
71
2
I廓1答案
V2
『V2-9x2dx = jjV2cos/ •^-cos/ dt = - f5cos2f dt 
3 3 J。
. n
1 J (1 1^2 7T
=j £2 (cos 2t + l)dZ = sin 2^ + - / J =-
▼ 7C
令x = tan/ ,贝!J dx = sec2/ d/, x = 1 时，t = — 
4
71
3
1_ & . =fj s" t 电_ = jjcsc% 由=ln(csct - cot/)： 
1 xJl + %2 J4 tan/sec/ 7 4
=In -^f= - ln(V2 — 1) = In 0ft 1.
百 V3
2.
3
令) = secf,贝!|dx = secftanf df, x=l 时,，= 0；x = 2 时,
7C
3
—=sec t 
1
545题-图
「耳口小0翳w 岛d,
x = M 时,
234 第5章定积分
底回答案
=JJ (sec2Z-l)d/ = (tan 一滤二6 —1.
TC — 2 .
冗
令％ = sinZ ,贝!J dx = cos，d，，x = 0 时，t = 0； x = l 时，t =— 
2
ri dx 
^i+71-x2
T：—2鹏 2 r i—1___
l + cosr
dt
Tt
4
n
=2「由-2Jo .
7C
2cos2 — 
2
dt = 2' - -2^ sec2 — d
2 Jo 2
7r-2tan— 
2
n
2
=71 — 2 .
0
|的答案
1
J；V2x-x2dx = J；^/l-(l-x)2dx "士-- j：cos2ZdZ = JJcos21dt
2
•^l + cos2/ 
b 2
」If 1 • cd/ = — Z + —sm 2t
it
2 71
4
=— ln(2 + y[3 ).
1
2 2 o
方法一 ：J：/(x- 2)dx 工i 1(1 + t2)dt + J；e—电
o
-1
+（-＜）|；=。+ 1-遥 1
方法二：由条件得/（X-2）=
l + (x-2)2, 
e-(『
x — 2 < 0 
x-2^0
x2 — 4x + 5, 
e* 2-\
则 J： /(x - 2)dx = J： (x2-4x + 5)dx + j： e2^.
一^T此类问题两种方法均可，但显然方法一用变量代换将J：/（x-2）dx化为 
计算更简洁.
x<2 
x22’
：dx = [_2x2 + 5x
2
-e2~x i： 4 1
评注
第5章定积分 235
席H答案
答案
j^/(x-l)dxj\/(Z)dr = ^\xex2dt + j^(-l)d/ = O- 1-- U--.
2 2 2 \ ZJ 1
I------A对称区间,奇函数
e-2-l.
因为£7a-t)dt 组二1/(〃)(-d〃) = J； f(u)du ,所以 £>⑺d〃 = e-2x-l, 
取 x = 1,代入等式得 j； f (u)du = e-2 -1 ,即 J。f(x)dx = e-2 -1.
1
. —吸 也可以求出f(x) = -2e-2x，代入J；/(x)dx中求出定积分.
答案
因为 j： f(x-t)tdt j°/(w)(x - w)(-dw) = j；/(〃)(％— 〃)d〃
=x£ '(〃)d〃 一 Jo "(u)d〃，
所以 xj； f (w)dw -^uf (u) du = qx - x - \ ,
等式两边同时对％ 求导，得 J；/(〃)d〃 + 切(x) -xf(x) = ex -1 ,即 J。/Q)d〃 = e"-1 ,
等式两边再次对x求导，得/(x) = ex.
答案
设 /⑴=——，由 /(-X)= 1 = -f{x}知，/(X)是奇函数,
1 + cos X 1 + cos(-x) 1 + cos X
/ Y
设/(%) = sin2x ln(x + Vl + x2),因为
f (-x) = sin2 (一 x) ln(-x + yjl + (-x)2) = sin2x ln(-x + Vl + x2)
=sin2x ln(x + Vl + x2 )-1 = -sin2x ln(x + Vl + x2 ) = -f (x),
7t ________
所以/(x)是奇函数，故广兀sin2%ln(x +V14?)改=0.
答案
236 第5章定积分
显然一=是偶函数,设/(乃=」一［因为
V4-x2 l + ex 2
/(一) = ' -W」=' + jx)，
l + e-x 2 ex+l 2 ex+l 2 ex+l 2 八八
所以/(x)是奇函数，则 亦为奇函数，故 dx = O.
|阿答案 冗 sinl.
j cosx arc,osx dx = j: cosx --arcsin x dx =
(2 J
—f cosxdx - [ cosxarcsinxdx , 
2 L J-i
利用公式 arcsin x + arccos x = — 
2
其中cosx为偶函数，arcsinx为奇函数，则，cosxarcsinxdx = 0 ,于是
j cosxarccosx dx = ~^ ^osx dx = cosx dx = 7rsinx|^ = 7tsinl.
瓯 答案 (D).
经检验知 tan^ , ln(x + \lx2 +1), ex cosx - e~x cosx 均为奇函数，且 sin%, tan% 均为偶函
1 + x
数，故
4 ,十人 4
n n _________ n
N = |^ sin8x dx + ln(x + Vx2 +1 )dx = 2 jsin8% dx ,
~4 ~4
n n n
尸=jt tan8x dx + j*  (ex cos x - e~x cos x)dx = 2p tan8x dx ,
~4 ~4
又知当0 M> N. 
4
故选(D).
non
当积分区间为对称区间时，应首先考虑被积函数的奇偶性，以便化简运算.
强答案 2n.
|JnVl-sin2xdx = cosx |dx ,显然|cosx|是以兀为周期的函数,
所以 l-sin2xdx = cosx|dx = wjo |cosx|dx
=n jj cos x dx + j： (- cos x)dx 
0 2
71
sin 需-sinx|rt =2n.
2
第5章定积分 237
71
2
因为sir?》与tanx均是以冗为周期的函数，所以
々+冗 71
「"sin2x(tan x + l)dx = J《sin2x(tan x + l)dx
~2
=sin2x tan x dx + j sin2x dx = 0 + 2 jj - dx = 一 ; sin 2x
7C
2 71
2o
网”证明 (1)利用三角函数的诱导公式做变量代换；(2) /
(1) J 2 /(sin x)dx -Z- - J： /(cos t)dt = Jj /(cos t)dt = £2 f (cos x)dx.
2
(2) xf (sin x)dx = JJ #(sin x)dx + (sin x)dx ,
2
其中 J： 4®n x)dx -J：(兀一 f)/(sin t)dt =£2(tu-/)/(sin t)dt =£2 (k - x)/(sin x)dx ,
22
n k n
所以「步1 (sin x)dx = Jj 3(sin x)6x + Jj (兀一 %)/(sin x)dx =兀尸 /(sin x)dx .
sin 2〃 丫
因为cos2% = l-si/x,所以 ―sm X 是/(sinx)型的函数,由题意知
sin x +cos x
「 「兀 xsin2 x „
r = — Z------------- 7—dx = 71
sin2wx + cos2 x ,
g si/、
0 sin2wx + cos2/7x '
再由⑴知%离 cos2wx
cos2wx + sin2z7x
于是
2 1J。sin
• 2n 兀SIH X j Ct
t--------- 5—dx+ 2
X + cos X Jo
cos2wx
cos2zix + sin2wx
、 
dx
J 2 J。cos2wx + sin2wx 4
dx ,
2
，八 - 兀In 2 — 2 H—.
2 i 2
J；ln(l + x2)dx = xln(l + x2)[ -£xdln(l + x2) = ln2-£ 2 dx
= ln2-2 'o 1一百
] 7Cdx = In 2 - 2 (x - arctan x)|0 =ln2-2 + —.
强答案
j_ i i i
「 arcsin xdx = x arcsin 系一「％ d(arcsin x) = - - dx
= — + — p d(l-x2) = —+ 71-x2
12 2 Jo 7JT7 12 Io 12 2
X
Jl-F
238 第5章定积分
xarccosxdx=lfarccosx 
2>1
；12arccosx^ - j^x2 d(arccosx)j = -^- dx
答系］ -ln2.
ln(l + x)d
ln(l + x) 1
2-x
~^2-x dln(l + x)
= ln2 + J； 1
(x + l)(x-2)
J 1 C 1「1dx = ln2 + -3 Jo
£
o
隔答案
1
= ln2 + -lnt^ =ln2 + -(-ln2-ln2) = -ln2.
3 |x + l||0 3 3
|(l + eT).
兀 . 71 K
e-x sin2xdx = 一Jjsin2xd(e~x) = -e-x sin 2x|J + 2.e~x cos2x dx
n f k 7t 、
=一2Jjcos2x d(e-x) = -2 e-x cos2%，- j2 e-xd(cos2x) 
\ 7
= -21-e，-1 + e~x sin 2x dx J = 2(1 + e 2)_攻2 e-x sin2xdx ,
移项，解得geTsin2xdx = |(l + e3).
分部积分法可多次使用.此题也可选用sin 2%凑微分做v,过程类似，也需两次 
使用分部积分，注意〃和v的选择前后保持一致即可.
炉dx二 uZjoldS =2 1- £er dzj
=2 f-e-1 - e［： ) = -4e-1 +2 = 2--.
第5章定积分 239
评注
可综合使用换元法和分部积分法.
—(7t2 +4).
16
“21
n
2
16 8 0
舁. 2g.
；存 d" ； ? d(sin 20 = * -/sin 2/ 
4
—+ - = —(k2+4).
16 4 16
2
0
14—
4
n
jjsin 2 划
J； arctan vVx-ldx 令店一I『arctan t d[(/2 +1)2 ]
16=---71 — I - / + t
3 3 0
i2 d(arctan t)=
I国答案
方法一：年
2_ 令一=， ， 1J"” =
1 2
=，e[； - ji ef dz = e--e2 
2 2 2
2
e，irP-
方法二：已
2
2 -
exdx = —— d(ex) = —ex + | exd
国答案 -4tc .
16—71
3
-Jo (*+l)df
+ e + ex
2
产
|n Vx cos Vxdx 令召二 £ 2/ costdt = 2(/ d(sin t) =2卜 sin(— £ 2t sin t dt 
= 4j\d(cos/) = 4 ,cos"； — Jjcosf df) =4(-71-sin/|^j = -4tc .
回 答案 8.
£ xf"(x)dx = £ xdff(x)=叶(犹-£ f\x)dx
=2/(2)- /(x)|； = 2/(2) — "(2) - /(0)] = 2x5-3 + l = 8.
\572\ 答案 (A).
240 第5章定积分
由于 F\x) = esin(x+2K) sin(x + 2兀)—esinx sinx 三 0 ,因此 F(x) = C.
因为 F(0) = J\sinr sin rd/ = -£nesin/ d(cos/) = -esin/ cos+ J：cos/d(esw)
r2n 
=J。
esinz cos2 */ dr > 0 (由于 esin/ cos2Z > 0 )
,于是f(x) = x + 2I = x + 2-Ti,从而
[/(%)*=[(% + 2_兀)及=；/[+(2_兀)耳：=；+ 2_兀=^_兀.
所以厂(x)三。三尸(0)>0,故选(A).
[5731 答案
In x/'(In x) 此 令in x=.
= f/W) = ~£/(OdZx
= /(l) — e[：=/(l) — e + l,
因为/(、) = (1)'=2x/,所以/⑴= 2e,代入上式得「生岂警ldx = 2e —e + l = e + l.
5
—兀.
2
It
令J?/a)c°sx*  = /，贝!J/(%) = % +2/,两端同时乘以 cosx, 再积分，得
k n 兀 死
jj /(x) cos x6x = jj (% + 2/) cos xdx = Jj xd(sin x) + 2/Jj cos x dx
H 二 n
(sinxdx + 2/sinx|2 = K i- 7U- + cosx2 +2Z = --1 + 2Z, 
2 lo 2
CIo 2
BPZ = --l + 2/^/ = l--
2 2
丽答案 2.
「f(x)dx = (x)=叭冗)一 £ xf\x)dx ,
而/(冗)=/里Ud：「反廿dxJG) =处吧，将〃兀)和/'(x)代入上式得 
n-t ti-x Tl-X
无法用初等函数表示，但/‘(X)可以求得，因此被积函数中含有变限积分时, 
一般采用分部积分法.
|烟答案
3e-6
由 /« = ^e-y2dy 得 f(x) = e-x2 ,因为 f(l) = f'e^dy = 0 ,所以
第5章定积分 241
£ / fMdx = £ /(x)df|x3W x3/(x)|^ - J； 1 x3fXx)dx = 1 /(1)-| J；九-》2 dx
发散
♦一") =如  2e-［一£e% 
|577^^ ln2.
f(x) = x-^ ff(t)cost dt,两边同时对工 求导，
解得 /'(x) = 1 ,从而 /(x) =「 dx
l + COSX J 1 + COSX
V
由条件知/(0) = 0,于是C = O,则/ahtan,
n
故 ftan —dx = 2f2tan —df—= -21ncos —" =一二 
J。 2 J。 2 k2j 20
的国(D).
3)卜人+尸［卜建・
得 /'(x) = 1-/'(工)COS X ,
f 1 2 x J x X=—sec —dx = tan —+ c.J2 2 2
21n—= ln2.
2
+0°_ J_ 
2 -in2
J2 Jx 12
(B) jj=「°Inx d(lnx) = — In2.
2 X 2 2
r+00 1 p+oo 1(C) f --dx=f —d(lnx) = lnb
J2 xlnx J2 1nx
^+oo y r+°0 1+00(D)1 ( xde-=一疑一1
T
故选(D).
>9-9 1
无『=+8 ,发散.
ixr=+oo,发散.
+/e-xdx = 2e-2 - ［: = 2e~2 + e-2 = 3e-2,收敛 
利用洛必达法则求极限
x 1lim xc~x = lim — = lim — = 0
XT+8 XT+00 QX XT+8 QX
•+ooI -4-d(lnx) =—
(2 ln2x Inx
71 .
r+oo 1 r+°o
—；------------------- dx =
J-°° x + 4x + 5 JR
1
0 + 2)2+1
d(x + 2) = arctan(x + 2)R =^- 71.
In 2.
242 第5章定积分
•+<» dx
1 X2 +X
•+℃ dx
1 x(x +1)
= ln2.
注意，下面这样运算是错误的.
j. Y+x=r0瑞铲广/改一广右仁=川刈、皿、+1『， 
因为 广°工也与 广°—匚心都是发散的，不能应用性质3.
J1 X J1 x + 1
I且羽答案
1
(x-l)4>/x2 -2x
dx =
>+oo 1
3 a -1)4 Ja _ ip _ ]
dx二【年人…
强答案
n
3
(1 -sin2r)d(sin/) =f sin/一;sir??
兀
2
兀
3
14^-
可以看到，经过变量代换，反常积分转化为定积分了.
71
2
r+°° ex i 令e*=r  r+°° t 1 1 「+8 I I+oo
------t-Ax = ----- 7 --dt= ----- -At = arctan rlJ-00 l + e2x J。l + / t J。l + r2 lo
n
2
评注）
此题也可直接凑微分.
C 1—In 2 H—.
2 2
在（0, + 8）内《一”单调递减，令e—"=；,得x = ln2,
所以 min
0Wx4-oo l + e" Joe*+l
=照生一皿八球
=In 2 + lim —- ln(ed +1) g+oo ] _|_ Q~b
244 第5章定积分
b 1
而lim -ln(e" +1) = lim
6->+oo 1 + e
-[Z)-(l + e-6)ln(e6+l)]
=lim [In Qb - ln(e6 +1)- e~b ln(e6 +1)] = lim In
+00
eb__In1 +1) 
3+1 £ - = lnl-O = O.
lim ― 
X->+00 l + e'x
Jb 
xd 0
•+°° xe~x [ r+0° i
I ---------- 7 dr = xdI (l + e-x)2 J。
1
l + e『
,此处不可直接应用分部积分，因为
=+8发散，因此在方法二中，先对「xdJo 1
1 + e-*
用分部积分，再求
1
1 + e-
6Tm 1 + e
所以「就可
6f+8
(C).
因为 J： sin 2x • e®dx = j： ex sin 2xdr = -^ex(sin 2x-2 cos 2x)『,
而lim(sin21-2cos2%)不存在，贝!J (%由？》•朋dx发散，所以「sin2x•阴dx也发散 
x->+oo 5 J。 J-oo
故选(C).
蒯答案 发散
当l>1时，有,且f ,改发散, 
x Inx J2 x
由比较判别法知，(田一L也发散.
_______ 力 ln%
评注J ^
此题应用了当0>1时，2dx(a>0)收敛，当夕W1时，「°」dx(a>0)发散
J a jqP J a jqP
的结论.
I国I答案 收敛.
由性质1知，与有相同的敛散性.
当时，有OWe 
根据比较判别法知，
14-00
11 e-1 ,收敛,
『°e-"dr收敛，所以『e*dx 也收敛.
且广0 ©一“*=-er
5
2
I阿答案
因为lim
+00
=lim
X->4-O0
lim I 1 + —
X->4-oo
1 + -
x
lim 1
X-»+ool
X J 
x--(-c)
且口羽［口吟)=疗匚［口”八; 2c 1 2t ce —e
4 l-oo
e2c
1
第5章定积分 245
庭目答案 (C).
由题设知，e2c 巴解得,号
(A)因为用手48,不是瑕积分.
(B)因为加1
00
Inx 00
£
lim = lim(-x) = 0 w 8 ,不是瑕积分.
*-0+ 1 x->o+
x2
(C)因为1而3 = 8, x = 0是瑕点.
①)因为改，不是瑕积分.
故选(C).
rwan
51~二(A)和(B)的被积函数/(%)虽然在％ = 0无定义，但若补充定义(A)/(O)=1, (B) 
/(0) = 0,则/(X)在［0,1］连续，因而(A)和(B)均为定积分.
回答案 (B).
x
因为limxli?］：。工8 ,不是瑕积分, 
XT0+
，)后工改二；11n2%d(，)= ；、2 1n 一dx
x
=-^£lnxd(x2) = -^x2lnx|^ +^-£x2 - — dx = -^x2^ =；, 
故选(B).
兀
2
山用r a Ca dx 令x=o sin t f ~ Cl COS t
x = a 为瑕点，且 -F==== I2--------Jo J/*  Jo acost
Ttr- ti
,o 2
评注J
一^广经变量代换无界函数的反常积分可以转化为定积分.
国日答案 1.
x = 0是瑕点.
= f;d(lnx)^ 1 
(Inx)2 Inx
1 
方法二J；
dr 令 in x=t
x(lnx)2
_1 —1
=1.
—00
方法-八篇 e
=1.
0
246 第5章定积分
评注J
一方法二说明经变量代换无界函数的反常积分与无穷限的反常积分可以相互转化.
EB答案
x = a
I夕v 1时收敛，夕2 1时发散. 
是瑕点.
当夕=1时，『里 
Ja x-a
=ln(x - a)[ = ln(b -a) - lim ln(x - a) = +oo ,发散.
xf a
b
dx _ (x-。广。当夕x i时，£
(x - a)p 1-p
S-。尸 iI ，P<1 
1-2
+oo, p>l
综上所述，瑕积分\b-^—当夕V 1时收敛于卷二©二，当夕2 1时发散. 
Ja (x-a)p 1-p
i—«此结论经常用到，可作为公式使用.
屋目答案 0.
X = 0是瑕点,
r+°° Inx i
二— dx = 
x2 +1
"i Inx j 尸 Inx 」 F— dx+ —— dx ,
'°x2+l Ji x2+l
廿+ r+°° Inx 1 令x=； f(
其中， dx= f
Ji x2 +1 J]
o -InZ . ro ]nt . ri Inx」 
dt = ----- d/ = - ------dx ,Jl /2+1 J0 / +1
(D).
所以ri•
|陋答案
1
•+oo ]
因为收敛，所以瑕积分改与无穷限积分广一1-** 均收敛.而 
[X 1) x in X
当a - l vl,
当 a + l>l,
即a <2时，fe---- 收敛
即a>0时，— dx收敛 
Je x]n x
> n 0 < a < 2 ,故选(D).
国]答案 (D).
(A)因为「0 
也发散.
士*二 4/占d(13)=_；1nli72『=8 ,发散，所以厂.心
⑻因为广 sinx dx = lim f sinx dx = lim(-cosxR) = lim(l-cosb), 而 limcosb 不存在, 
b-»+ooJ0 bf+oo 1° Z>—>+OO bf+OO
所以「sinxdx发散，从而也发散. JO J—00
第5章定积分 247
(C)因为％ = 0是瑕点,
总改」=00,
X2 X o 发散，所以也发散
故选(D).
⑴反常积分j:/㈤改不能视为对称区间上的积分.
(2) r 函数 r(r) = ，一％一"改0 > 0),且有r(r + 1) = rr(r),r
第6章定积分的应用
如601题-图所示，交点有(0,0),(4,0),(4,2).
方法一：看成X型区域，不用分割.
3 4
S = Cs/xdx = —x^ =—.
Jo 3。3
方法二：看成y型区域，不用分割.
S = Jj(4_/)© =(4y_gy3)=8-1 = y.
6 ,
如 602 题-图所示，交点有(-1,0), (0,1), (0,0), (1,1).
将该平面图形看成y型区域.
面积S = 口6 - ("1)协
0 i 2 3 4 ^
601题-图
-1 -0.5 0 0.5 i %
=(| 八 f 2+"=|一； + l=:.
如603题-图所示，交点有(-1,1),(0,0).将第一象限 
的图形看成X型区域，且图形对称，则 /
S = 2 J。(x — x3 )dx = 2 - =2 ；.
如604题・图所示，交点有(2,0),(0,4).将该平面图形看成X 
型区域，则
= Jj(4 - x2) - (4 - 2x)]dx =卜_；%3)=4-1 = p
if /y=x
一
603题-图
L ： A.
604题-图
第6章 定积分的应用 249
3.
如605题■图所示，交点有(0,0),(3,0),(3,瓦).将该平 
面图形看成X型区域，则
3 ____ 2 3
5 = £ V^xdx = 4a—
3
=2a/3 • \[a = 6 ,故 q = 3 .
0
应日答案 AL
如606题-图所示，交点有(0,1),(2,0),(2,4).将该平面图 
形看成X型区域，则
MT*「2S = Jo
[=^-1
2.
如607题-图所示，交点有(0,0), 
(1,0),(2,2),(3,0).
将该平面图形看成X型区域，贝(IS =丘0 - (，一初* +- x)dx + (6 - 2x)dx
9T3
1
+
0
2
- + - + - + 1 = 2.
3 6
一本题也可以将平面图形看成丫型区域，但是也需要将其分割.
施回答案
y = x2- 
y = -xJ
20V5 
3
在点(2,4)处的切线方程为丁 = 4x-4.此切线与曲线 
：2+4X + 1所围成的平面图形(如608题-图所示)的交点
有(5/5,45/5 -4) , (-a/5,-4a/5 -4).
S = J：[(l + 4x-x2)-(4x - 4)]dx = j，(5 - x2)dx
75
-V5
1477 20 
-------- 1---- .
3 3
普E 
3
如609题-图所示，交点有(2,-1),(8,-1),(2,S).将平面图形看成y型区域，则
S = 2]dy = J：(7-/心=[ly-^y3 77 _14>/7 + 20
,二 3~
250 第6章 定积分的应用
609题-图
1本题也可以先计算出曲线『=9-%与直线x = 2所围成的平面图形的面积，其 
值为二7dx=空且，再减去该平面图形的下面部分(面积小的那部分)的面积 
J2 3
(一「(一g)]*  = f [⑪一 l]dx = 14?- 2° ,所以s =竽」4。一 2° =里+ 2°
|皿答案 兀1
8 ~4
如610题■图所示，交点有(0,0)(：,o)将该平面图形看成X型区域，则
n । 7C
S = % cos 2xdx = —xd(sin 2x)
] 71 r-
=— xsin 2x|J - f^sin2xdx
2L 10 Jo
TC 1
8-4
y=xcos 2x
y
610题-图
|西答案
如611题・图所示,交点有(-I©】),(0,1),(1,e—9. 
第一象限的图形看成X型区域，由对称性得 
S = 2^e-xdx=2 (-e-x)[ = 2(1-e-1).
611题-图
第6章 定积分的应用 251
|的答案
如612题-图所示，交点有(1,0),(e,e),(0,0).将该平面 
图形看成X型区域，则
S = £xdx +(x-xlnx)dx = -1x2^ +^-x2|^ + (-xlnx)dx
= ~^2 _；J：lnxd(x2) =^-e2 -^(lnx-x2)^ -
评注J
―本题也可以先计算出直线y = x ,直线冗=。与入轴所围成的直角三角形的面积, 
其值为^-e-e = ^-e2 ,再减去由曲线y = xlnx(l Wx We),直线x = e与x轴所围成的曲边三 
角形的面积，：xln%dx 丝£「山工丈一)-l(e2 +i), 所以S = ^-- -- e -
I屣］答案］ 472.
如613题-图所示，交点有停_等］
将该平面图形看成X型区域，分别以
x = =型为边界将该平面图形分成3部分，则
4 4
613题-图
5兀
2兀=jj (cos x - sin x)dx + jn4 (sin x - cos x)dx + j兀(cos 
4 4
x-sin x)dx
兀 2
二(sinx + cosx)|4 + (-cosx-sinx)|^ + (sinx + cosx)||^ = 4>/2 .
函答案
71 1
2-3
如614题■图所示，交点有(-1,1),(1,1).将该平面图形在第一 
象限的部分看成丫型区域，由对称性得
s = 2*7^7  - 6)dy = 2 ［ 7^7® _2 J；国
614题-图
1 _____ 2 3
= 2joV2-/4y-2--j/2 令y=°smt 2 j：拒 cos t d(V2 sin
s
,71
o
252 第6章 定积分的应用
»- 4 r- 4
二2£4 2 cos2/ dt-- = 2jo4 (1 + cos 2t)dt-:
J 1 . o V 4 71 1=2 t H— sin 2/ —=------ .
I 2 Jo 3 2 3
,.—本题解法较多，可以用上半圆的面积减去夹在圆与抛物线间的图形的面
积，即S = 7l_.(也-X? 也可以考虑把平面图形看成X型区域，则
Jt 2 3
S = 2j；x2dx + 2^>J2-x2dx = ]-g .
西答案
8
3
如615题-图所示，交点有(0,0),(2— JS=•6),(2 + 4^瓦6). 
抛物线j = 4x-x2与直线y = b(b> 0)所围成的平面图形关于 
x = 2对称，由抛物线y = 4x —，，)轴和直线y = b(6>0) 
所围成的平面图形的面积是仅由抛物线y = 4x-，及直线 
7 =6所围成的图形面积的一半，所以矩形4。助的面积和 
曲边梯形OC3的面积相等，而矩形405。的面积为2b,故
2b =(4x-x2)dx = ^2x2 _；短)=容所以*.
本题利用矩形4O5D的面积和曲边梯形OC5的面积相等而求出b的值，计算非
2
o
常简单.但如果利用两个阴影部分的面积相等，即
f2 ^[6-(4x-x2)]dx= f2 _(4x-x2 -b)dx ,计算量比较大，计算b的值很困难.
JO J2-y/4-b
|四答案
如616题■图所示，交点有(0,0),(|,|].将阴影部分看成y型区域，贝I]
3 _______________ 3 ____________________ 3 __________________ 3
s = £2 (16y - 3y2 -y)dy =「(^3-3(1-^)2 -y)dy =6£2 y]1-(l-y)2dy - £2 ydy
3 3
=百R J1 一 (1 一- -二百g J] _ (1 _ 方⑪一卜
2 ° o
3   71
令 1 一 y = sin % ,则 G Ji Jl-(l-y)2 4y = 73^(-cos2 t)dt 
0 n 1
行档 1 + COS2J 6( 1 . c 丫 月九 3
=何厂厂出=彳”5sm2i=亍+限
6
所求面积s=叵+-2=叵」
3 8 8 3 4
第6章 定积分的应用 253
评注J
一用定积分求平面图形的面积，一般先作出图形的草图，由曲线方程确定出交点 
坐标，这时若把平面图形看成X型区域，则积分的上限、下限与交点的横坐标有关；若 
把平面图形看成丫型区域，则积分的上限、下限与交点的纵坐标有关.
两答案
4 225
⑴0=-1，9 = 3；⑵8 =五
如617题•图所示，抛物线与1轴的交点为(0,0),
面积S = / °(.2 +如冲=1勺3 +表2) p
o
直线x + y = 5与抛物线相切，设切点为(%,%),则
X + % = 5
"焉+"0=%，
2px0+q = -l
6P2,
解得十三'犷5 +詈，) —1 — q 
2P
2
I +q zlzi = 5+l±l
2P 2P
,化简得
2=击+孤
3 
所以S⑷二版
200^q3 400 _______
T(l + q)4 =3(1 + 4' 于是皿
令SQ) = 2黑：=0 (q〉0),解得驻点为夕=3.
当0<”3时，S\q) > 0 ;当q>3时，S\q) < 0.故q = 3是S(g)=后四巧的极大值点,
3口 十 q)
又是唯一的极值点，所以9=3,2=-金时，S(g)= 了最大,最大值为S(3) = §^・
5 3(1 + q) 32
国答案
设点尸的坐标为(%,%)，如618题-图所示，交点有(飞,%),(1,%),其中% =%：.
,工 ,1 4 1
5=1 (Xq — X2 )dx + f (x2 — Xq )dx = — Xq — Xq h— (0 x0 W1).
Jo Jxo 3 3
254 第6章 定积分的应用
令SGo） = 4*-2x0 = 0 ,解得驻点 与 = ；,% = 0.
sR） = ；，s（o）= ；,s（i）= ,,比较大小’可知阴影部
分在％ =；时面积最小.所以点P的坐标为
两条公切线方程分别为＞ = 4x-4/ = 0,面积
为？
如619题-图所示，设公切线与抛物线y = Y的切点为 
，则公切线方程为=2«%T）ny = 2及.
设公切线与抛物线y = -x2 +4x-4的切点为(p,-p2 +4/7-4),则公切 
线方程为y + p2 - 4p + 4 = (-2p + 4)(x-p)^y = (-22 + 4)x + -4 ,
从而＜
2% = —2夕 + 4 . /口
解得
浮或穿
则公切线与y = x2的切点为（2,4）,（0,0）,公切线与歹=-/ + 4x - 4的
切点为（0,-4）,（2,0）,所以有两条公切线，方程为＞ =0和y = 4x-4.
所围图形的面积
s=r（号-五卜加一万一个, 
=（）+、-| 必）；+21：+| ㈠）工-（犷+了
a = —3, 6 = 5, c = 0.
因为7= #+fcc + c过点(0,0)和(1,2),所以。=0,a + 6 = 2.
由。＜0知，y=方之+版开口向下 抛物线歹=一一+2% = i一（工一1）2开口向下，过点（o,o）
和(2,0),且顶点为(1,1),而y = q/+6%在 ％ = 1 时，y = a + b = 2>1 ,即当 OWxWl 时,
抛物线y = ax2 + fox在y = -x2 + 2x上方.
设两抛物线的另一个交点为（%,-考+2%）,代入y =办2+取
中，解得/ （否则两抛物线不能围成平面图
1 + （7
形），所围图形（见620题-图）的面积
S =『。[ax2 +bx- (-x2 + 2x)]dx
a3 
6(1 +a)2
=『。[ax2 +(2- d)x + x2 - 2x]dx =-
620题-图
第6章 定积分的应用 255
令= -。S + ? = 0 ,解得a = —3 ( a = 0舍去)，q<-3 时史•<(), -3 < a<-1 时电■ > 0 , 
da 6(1 + a) da da
即。=-3是极小值点，又是（-8,0）内唯一的驻点，所以
。=-3是使面积最小的点，故a = -3,6 = 5,c = 0.
函1答案 71 Al
曲线夕= acose + 6S2Q>0）所围成的平面图形如621题-图 
所示.
p=acos0+b
621题-图
S 二『；/2de = ；『3cos6+ byde
=cos2 *0 + / + 2a6cos9)d6 = ； (b20 + 2" sin 6)
2 2 2
故所求面积S = Sq +sy等+ *?
o 3 4
a2『2兀1 +cos 26 1八
+ —  ------------ dO
2 J。 2
2 I 
71-1 2 ------a
4
2n
=兀
0
/7 = asine = p1 =Q『sin6= x2 + y2 = ay , BP x2 + a 
y-2.
同理，p-a(cos 0 + sin 6) = p2 = a〃(cos 6 + sin ff) u>
2 2 
l=7­
2
如622题■图所示，将公共部分分成2和3两部分，显然与
=加+孕+期丝
2 4 31
|喀答案
o
[ 3冗 j 3n
5d2 =-f7p2d^ = -j/(asin0 + 67Cos0)2d0
2 5 2 5
i 3n 3n A
= -a2 jn4 (1 + 2sin0cos0)d0 = -a2 6\^ + jn4 2sin/9 d(sin0)
 l万， )
-a2 
2
( 3兀、
…1j
L 2 7
-a2 
2
71
4 +
Tta2 a2 
~8~~^
(兀-l)a2
4
256 第6章定积分的应用
|圆答案 3/.
如623题■图所示,
r B 「2 九
S = J y(0x «)d，= Jo Q(1 — cos t)[a(t - sin
2兀 1 +cos 2f
2
dt
国］答案
如624题-图所示, 
其中
二〃『(1-2 cos t + cos2Z)dZ =a2(t-2 sin /)『+ a2 £
设点 P 的坐标尸(x, y) = (cos t, 2 sin2/) , S = Si+S2
1 2
S[ = —A^ = cosZsin t.
S2 = f ydx = [ 2(1 — x2 )dx =
J cost J cost
2卜一$3 1 ^-2cosr^cosy
cost 3 3
4 2
所以 S = cosZsin2/ +— 2cos/ + —
3 3
cos31, 从而—=2sinr-sin3/, 
dt
j2 o
令一-=cos/(2 -3 sin2/) = 0 , 
dt
解得 t = arcsin J—=—
V 3 2
dS人十d5 八由于丁 =05—dt
dS
t=0 dt 由 UarcsinJ
>1 ,所以当"arcsin■时,
号取得最大值,
|西答案 32兀.
如 625 题-图所示，Vy = J\(x)2dy =可1 +
=8 k
625题■图
第6章 定积分的应用 257
4-00
如627题■图所示，Vx =
71
20
,+oo p+oo - |4-oo
Vy = 2k£ xe~xdx = -2n£ xd(e-x) = -2ti(xq~x + e" )|q = 2tc .
逊答案 7u(l-e-1).
如628题-图所示，Vy =2可：|%|©**=一2可：泥“山:=兀©一[]=兀（1一©一1）.
____________ 2
=8a兀J" \la2 -x2dx = 8。兀♦ = 4ti2(73 .
629题-图
258 第6章 定积分的应用
如630题•图所示，设切点坐标为(%,In%),则切线方程为
y-]nxQ =—(x-x0), 即,=—x-l + lnx0.
工0 %
因为切线过原点，将x = 0/ = 0代入上式=>% =e ,故切点为(e,l).
切线方程为y =
e
匕=兀
2
dx-71^ (lnx)2dx = ye-7c[x(lnx)2]|^ +2(兀Inxdx
v-t=y e - to + 27i[xlnx - x]|^ =
或匕=；•九1 - e-je7t(lnx)2dx = ye-7t [x(lnx)2]|；+2ji£ 7tlnxdx=7i|2- -e|. I 3 )
或吟
哙=
2
71
4
所求体积Vx =兀『(xe-x)2
'0
*=兀『九一2"空
由「函数知，/1.& =门3)= 2,所以匕彳=：・
晒答案
为了求匕，需要知道》=/一4工+ 3与下半圆的大小，因为
J1 - (x - 2)2 + x? — 4x 4- 3 = J1 - (x - 2)2 — [1 — (x — 2)2 ]
=Jl-(x-2)2(l- 2)2)20 ,
所以Y—4x + 32 —Jl —(% —2)2 (下半圆)，如632题-图所示，交点有(1,0)和(3,0).
第6章 定积分的应用 259
故匕=,兀[Jl-(x-2)2]2dx =兀,[1 — (x — 2)2]dx = 7t
Vy = 2兀j xyll-(x-2)2dx + 2兀j x|x2 -4x + 31dx ,
x4(x-2)31=t-
其中，J：%J1 一 (x一2)2dx ±22 0 + 2「Jl 一"由=兀,
^x\x2 -4x + 3\dx = J：x(4x-x2 -3)dx = 1 ,
所以，/=2兀2+等.
|陋答案
3兀2 
"T
如633题-图所示，由于图形关于歹轴对称，因此只考察〉轴
632题-图右侧部分绕直线＞ =1旋转所成立体的体积匕，则V = 2匕.
选取歹£[-1刀作为积分变量，任取y轴上[V/ + dy]u
[-1刀对应的小横条，它绕直线y = l旋转的旋转体的体积微 
元为d% =2兀（l — y）x® ,所以
] --
匕=j 12兀(1 一 y)xdy = 2可,(1 - sin3/) cos3/ d(sin3Z)
一 ~2
=6兀J, (1- sin3/) cos4/sin2/ dt 12'Jj cos。sin2f d/
~2
s W， 4 6、,s /3 17r 5 3 1G 3兀
=12k 2 (cos t — cos /)d/ = 12k — x — x-------x — x — x — =—
j。' ) u 2 2 6 4 2 2； 8
3冗2
则所求体积为/ = 2匕=蓍
评注J
一^^此处使用了华里士(Wallis)公式
12sin2w/dZ= j^cos2wr dr = 2^- - x 2^—— x • • • x - x - x —；
。 。 2z? 2 4 2 2 
□ sir?叫d%= f2cos2w+1Zdt = —— x ——-x---x —xl ； f2sin/d/ =「cos，d，= l.
Jo Jo 2〃 + l 2〃-1 3 J。 J。
兀 71
⑴ 4（1,1）；（2）P = J（x + l）；⑶运力
（1）如634题■图所示，设切点坐标/（%,扃），则过点4的切 
线方程为
丫-4^ = 2G （工-_0）= ♦= 2G +万4^ •
求得切线与y轴的交点为，，亨J,所以
o] Xo X
634题-图
260 第6章 定积分的应用
s =『 x + 
2
i i - 1
已知S =上，即上(%)2=上
12 12 ° 12
=> x0 = 1 ,故/点坐标为(1,1).
⑵过点A的切线方程为y = 1(x + l).
(3)匕=或+ * =兀［* + 1)3-；， 与,
国答案
Vy = 2tc£ x.；(x + l)-x.&]dx =2兀(菅+ 亍 
(1) a = 1ln2； ⑵(I©，S = 2eT.
5 
X^2
5
71
30
(1) /⑹=可：6pax =冗「e2dx =却-e* .
因为 Lim 忆修)=-lim (l-e-2^) = -, 7(a) = -(l-e-2a),由题设得
2 A+°° 4 A+00 4 2
g(l —e一2。= :,解得q = ：ln2.
2 4 2
(2)设切点为(3),则切线方程为 y - e- = -e-f(x T) n y = -eA + (/ + l)e-f,
切线与两坐标轴的交点分别为(0,。+。©一)(1 +才,0),从而切线与两坐标轴所围成的平面 
图形的面积为
5 = 1(l + 02e-z.
S⑺=；。-"及")=；((〜1)2 一2储，
令S") = ；(l —，£-=0,解得驻点"1 (% = —1 舍去)，而S〃(l) = —e-】＜0.所以当"1
时，面积取得极大值，由于极值点唯一，因此，=1时面积最大，故切点为最大 
面积 S = 2e-i.
(1) y^2； (2) 16兀2a2 
(1) Sx = 2Tt^a(l - cos Z)7 a2 (1 - cos t)2 4- a2 sin2/ dt
o 2 f271 . 3 %64 2= 87i(7 sin —dt = — Tia .
Jo 2 3
⑵邑=2九「兀- sina2(l - cos/)2 + a2 sin2/ dt
2 C2n t 令2 f71
= 4ti« J。(t - sin /) sin—dt == 16na J0 (w - sin w cos u) sin u Au
=16tu(72 du - j： sin2w cosz/ d〃) = 16冗2a2
第6章定积分的应用 261
y(20V10-16).
曲线见题637-图，
因为"悬T代入公式得
Sr = 271 f3V2x + 3A 1 + [ y 1 -,■I dx = 271 [3V2x + 4 dx = -(20V10 -16).
Jo V LV27+3J J。 3V
将/,a) =(x4)'=代人公式得
眄答案 ln(2 + V3).
,-sinx 
y =--------= -tanx ,
cosx
n ________________ n 兀
s = jj 5/1 + (- tan x)2 dx = jjsecx dr = ln| secx + tanx | 平=ln(2 + VJ).
ln(V2+l).
因为了 = 1211%，代入公式得
TC 兀 兀
s = jj Jl + (tanx)2dx = |Jsecxdx = ln| secx + tanx | R = ln(V2 +1).
2an2.
因为£(f) = a・fcosf,y") = a・/sinf在0vf《2兀时连续,且不同时为零,所以
s =，：兀a (/ cos t)2 4- a2 (t sin t)2 dt = £ yla2t2dt = a] tdt = 2ajt2.
V2(eK-l).
因为〃 =e。与/(6) =/在OWSWti时连续，且都不为零，所以
s = J。\/e20 + q20d0 =亚、° e3d0 = V2(en — 1).
1 + —^― ln(V2 +1).
曲线如643题■图所示，« +。= 1=>>= 1 +工一2五/' = 1一3，贝U 
7x
262 第6章 定积分的应用
因为 =
44
71
secz/ d(tanw) = secx/tanw|\ 
~4
71
d(secw)
-4
71 7T
=2V2 - j*  secw tan2w du = 272 - R (sec% - secw)dz/,
44
所以
71 ](
sec% d〃 = — 2V2
21
A J 
seczz du =— 2V2 +ln|
= V2 + ln(V2+l),
从而 s = ' (0 + ln(V2 +1)) = 1 + ^- ln(V2 +1).
0.8
0.6 =10.4
0.2
0
n、
see// + tanw | |4K
4 7
1
0.2 0.4 0.6 0.8 i
3 
w
如644题-图所示，曲线交点为(0,0),(0,2),(1,1).
-4=,抛物线在点M(x,y)处的曲率半径 
4G 3
643题-图
,、1 (i+y2p I。 2
展「㈤=二和丁二不 )
抛物线上AM的弧长s - s(x) =，^1 + y,2dx
dp-
dx
dy-
dx 
- 
s
dr 
故
华坦i=66,
从而3P
兀 2 2 71
6
a/4x + 1，
4
兀
+皂
4 7
2 +收+ /
广仁8
3
2 3
如646题-图所示，依据题意知该旋转体夹在两平行平面)=0/ = 1之间，截面面积函数为 
Ay) = 42-(1- J7/)]2-^- J?= 27i[7W 一(1 一yP],
第6章 定积分的应用 263
则所求体积为
展 £ A(y)dy = 2兀［［而7 - Q -》W
71 1/1 J］兀之2兀
448 
-----71 .
15
y
x=l-A/l-y2
(1,1)
646题-图如647题.图所示，由于曲线＞ = 3-|/一1|与％轴所围成
的封闭图形关于歹轴对称，因此所求体积为平面图形043c绕y = 3旋转的旋转体体积的2倍. 
该旋转体夹在两平行平面％ = 0/=2之间，截面面积函数为 
A(x) = 7t-32-7i-［3-(3-|x2-l|)］2 =兀(8-x4+2x2), 
则所求体积为
V = 2. A(x)dx = 2.兀(8-x4+ 2x2)dx
(12=2冗| 8x—x5 H—%3
I 5 3
448
=----- 冗.
15
2a2b 
------ tana.
3
2 2
底面椭圆的方程为^ + = = 1.由图6-10知，该楔形体夹在两平行平面＞ =-6与y = 6 
a b
之间，用垂直于歹轴的平行平面截此楔形体，所得的截面为直角三角形，两直角边的边
长分别为aJ-3及aJ-^•tana,所以截面面积函数为
I-2" tana ,
故楔形体的体积为忆=「A(y)dy
J—b tan a4V =
g tana.
=2兀
2
0
康］答案
J.…
2 3
JT
(l)-e-l; (2)-(5e2-12e + 3).
2 6 
(1)画草图，设切点坐标为(%,In%),切线方程为
y-lnx0 =—(x-x0) , BPy = —x-l + lnx0. 
工0
切线过原点，将x = O,y = 0代入上式=＞% 
方程为y = '.
e
D 的面积为 ％ = J； (e、-ey)dy = 
649题-图
o
(2)。绕直线x = e旋转一周所得的旋转体夹在两平行平 
264 第6章 定积分的应用
面＞ =0与y = l之间，用垂直于y轴的平行平面截此旋转体，截面面积函数为 
A(y) = 7i(e-ey)2 -7t(e-e^)2 = n(e2y2 + 2eey -2e2y-e2y),
故 V = J： N(y)4y -兀 j； d/ + 2eey _ 2e2y - e2y ]dy
= 7tf-e2y3 + 2eey -e2y2--e2^ = -(5e2 -12e + 3).
(3 2 人 6
回答案
设质点的运动速度为v«),由题设和牛顿第二定律，有
m— = —v (式中质量M= 1), 
dt
解得？«) = %6一'.由晟=%e-,得，= ln3.
到此时刻，该质点所经过的路程S = = |Vo.
|画答案
方法一：建立坐标轴如图6-11所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功用=% + 
%其中，叫是克服抓斗自重所做的功；名是克服缆绳重力所做的功；也为提出 
污泥所做的功.由题意知％ =400x30 = 12000.
将抓斗由x处提升到x + dx处，克服缆绳重力所做的功为
dW2 = 50(30 - x)dx ,从而 W2 =『°50(30 - x)dx = 22500.
J 0
在时间间隔也方+切内提升污泥需做功d% = 3(2000-200dr,将污泥从井底提升至井口 
共需时间手=10 ,所以% =03(2000 —20。由= 57000.
因此共需做功 W = W1+W2+W3 = 12000 + 22500 + 57000 = 91500 ( J ).
方法二：建立坐标轴，将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功记为印，当抓斗运动到 
x处时，作用力/(%)包括抓斗的自重400N,缆绳的重力50(30-x)N,污泥的重力 
2000--X-20N ,即
3 20 170
/(x) = 400+ 50(30-%) +2000-yx =3900- -—x.
克服重力所做的功为
吟/(3900一音。改=[3900、— 表2)=91500 (J).
建立坐标系，由题652.图知，抛物线方程为歹=­ .
闸门矩形部分承受的水压
「 2 "1 "1
4 = 2「pg(〃 + l-y)dy = 2/g (h + l)y-^~ = pgh2 ,
Ji 2
第6章 定积分的应用 265
其中夕为水的密度，g为重力加速度.
652题-图
闸门下部承受的水压P2 = 2,夕g(/z +1 -例"dy = 4pgQ 〃 +5
由题意知二= 
,2
PgM
4叫+鼻
号解得〃 = 2,〃 = -；(舍去)，故〃 =2.
|咽答案| (1) J1 +尸+ 尸2 a(m) ； (2) . a(m).
V 1-r
(1)设第〃次击打后，桩被打进地下马(m),第〃次击打时，气锤所做的功为 
匕(〃 =1,2,3,…)，由题设知，当桩被打进地下的深度为x时，土层对桩的阻力的大小为 
kx ,所以
R 产 7 」 kx； Xi=a k 2 E 12 7 , 化(考一次；)Xi=a k 2 2、% = J。kxdx = = — a, W2 = J kxdx =------- ----- — (x2 - a ).
由% = rWx ,得考一 / = ra2,即考=(1 + r)a2.
W3 = j 3 kxdx = "工32 '2)_ q国-(1 + r)a2],
由名=rW2 = r2Wx ,得名一 (1 + r)a2 = r2a2 ,即退=Vl + r+ r2(7(m).
⑵根据归纳法，设当=Jl + r +*+••• + 〃〃-%,则
.x =「用 kxdx _及叱+；一 胃)=、区+「(1 + , + /+…+ ]
2 2
由匕+]=/%=*%_]=..  = /%,得工3—(1 + / +/+…+/1)/=//,
从而 x〃+i = vl + r + r2 +-
于是 limx〃+i = lim
«->oo W-»00
即若击打次数不限，气锤至多能将桩打进地下J」q(m).
V 1-r
266 第6章 定积分的应用
如654题-图所示，建立坐标系，则油罐底面椭圆方程为 =1 ， 图中阴影部分为
油面与椭圆所围成的图形.
记S］为下半椭圆面积，则岳=；兀仍.
记邑是位于X轴上方阴影部分的面积，则
b 
邑=2的
C 7 f?l+C0S2/J 7(
=2q6 J06-- --- dt =ab\t +
于是油的质量为® + S2)lp =
I蹈答案
9
(1) -n ; (2) 3375g兀.
(1)容器的容积即旋转体体积的两部分之和，即
j,
/=匕+匕=可；(2,_72)巾+可：(1_/)如=兀,2 =(兀.
2 T
⑵所做的功的微元为
d% =兀夕g(2 -y)(l-y2 )dy + 兀/g(2 - y)(2y -y2 )dy ,
1 2
所以印=九夕g J： (2- y)(l-y2)dy + 九夕g5(2- y)(2y - y2 )dy
= Rpg
= Rpg
2
J：(y3~2y2~y+2)4x+J；(外 - 4y ? + y3)®
X
2
1
f/_2£ _/
I 4 3 2
i2
npg = 337571g.
-1
2
第6章定积分的应用 267
(1)
e2+l 3(e2+l)(e2-3)
~T~，⑷ 4(e3-7) 
(1) yf = -x-—,由弧长的计算公式得上的弧长为
2 2x
⑵
『《fl/}21nl+ # ©+1)©3)
16
Je[—--Inx^ldx-f—--xlnx + -x>| 
2 ) U2 2 2
e3-7
12
由形心的计算公式得。的形心的横坐标为
J
x[---lnx]dx 
(4 2 )
—--lnx|dx 
4 2 J
(e2+l)(e2-3)
16 _3e2+1)@一3)
消-7 - 4(e3 -7)
12
第7章微分方程
曲答案
由微分方程的定义知只有(D)符合要求.
陋答案
该微分方程中未知函数的导数的最高阶数是二阶，由微分方程阶的定义知其阶数是2. 
不要被(了)3迷惑.
|屣］答案
该微分方程中虽然没有出现未知函数的导数，但出现了微分的，改，这是微分方程的另 
一种表达方式.由微分方程阶的定义知其阶数是1.
国答案
由7 = 5,知了 = 10% ,从而
中2y = x・(10x)-2x5X2 =10x2 -10x2 = 0 ,
所以y = 5f是微分方程引/一2歹=0的解.因为它不含任意常数，所以是特解.
|国1答案
由 y = G cosx + C2 sinx 知 y' = 一G sinx + C2 cosx ,从而
yn = -Cx cosx- C2 sinx = -(Q cosx + C2 sin x) = -y , 
所以歹"+ y = 0 ,即y =。1。。$% +。2$诂%是微分方程+ y = 0的解.由y(0) = 2,y'(0) = 3 
得弓=2,。2=3,故所求特解为y = 2cosx + 3sinx.
国答案
由y = gf+x + c知y = x + i/〃 = i,所以/_/ = 1_(工+ 1)= _工，满足微分方程，从而 
歹是微分方程的解.(C)正确.
微分方程V = f是二阶的，其通解中应含有两个独立的任意常数，而特解中不含任 
意常数，故(A)和(B)均错误.
陋答案
y = ln(9)两端同时对x求导，得了 =匕辿，整理得(肛-= 上式两端同时
对 x 求导,得(y + 初'- l)y + (xy - x)yn -yf = 0 ,即
(xy - x)yn + x(yr)2 + yyr - 2yf = 0.
故该二元方程所确定的函数是所给微分方程的解.因为它不含任意常数，所以是 
特解.
(D).
由可分离变量的微分方程的定义知，只有(D)不是.
第7章 微分方程 269
答案 y = Cre-" C为任意常数.
「把y放到分母了，于是丢了y = 0这个根
将所给的微分方程分离变量得;如=(；-1" 等式两端同时积分，得
故ln|y| = ln|x|r + G，整理得
ln| y | -ln| x\ = -x + Cx => In 4=-x + G n 上=±e-x+C1 y = ±eC1 xe~x .
\x\ x
因为土eG是任意非零常数，而y = 0也是微分方程的解，但是在分离变量时丢掉了，所以 
微分方程的通解为歹=Cre-X , C为任意常数.
/=-sin2x + C, C为任意常数.
2
将所给的微分方程分离变量得/® = siiixcosxdx,等式两端同时积分，得
Jy2dy = jsinxcosxdx = jsinx d(sinx),
故;/ =}in2x + G ,整理得/ =|sin2% + 3G ,令C = 3G ,从而微分方程的通解为 
y3=|sin2x + C, C为任意常数.
在本题中，微分方程的通解写成了隐函数的形式，这也是可以的.
I丽答案| y = 1 + ex.
将所给的微分方程分离变量得
1 ex
(1 + ex)dy = yexdx => —dy =-------dx ,
y l + ex
等式两端同时积分，得J抄可袅』J±dQ + e>故1n3川+ e"+G’整 
理得
网答案
ln| y | -ln| 1 + ex |= C n In —— = G n -= ieC1 n y = ±eC1 (1 + ex),
l + ex 1 + e
因为土eG是任意非零常数，而y = 0也是微分方程的解，但是在分离变量时丢掉了，所以 
微分方程的通解为y = C(l + e"), C为任意常数.由初始条件Hx=o=2得。=1,从而方 
程满足初始条件的特解为y = l + e\
/=-2x2+1.
将所给的微分方程分离变量得
y(x2 - l)dy = x(y2 + l)dx n —dy = —dx ,
X +1 X2 -1
270 第7章微分方程
等式两端同时积分，得』普如=』忠*爷=/富 ，故
；ln(>2 +l) = 1ln|x2 -l|+y
整理得
ln(y2+l)-ln| x2-l\ = C1^ In = G = = ±eQ
令土eG=C,则该微分方程的通解为F+1 = C(%2—i).由初始条件得。=一2, 
从而方程满足初始条件的特解为/ +1 = -2(，_ 1) = / = _2, +1.
时答案 (y -I)ey + ex = 1.
将所给的微分方程分离变量得
ydy = -exe~ydx => yQydy = -exdx ,
等式两端同时积分，得
Jyeydy = -J exdx n Jydey = -j exdx => y&y - jeydy = -j exdx ,
故"y—/=—e、+Cn(y —l)e，+e，=C.由初始条件引方。=1得C = 1,因此方程满足 
初始条件的特解为(y - 1)U + e" = 1.
函］答案］ 1
arctanx + 1
由题意得半=二，分离变量得3® = —二及，等式两端同时积分，得J4dy = 
dx 1 + X2 / ］ + %2 J y2
f—二dx, -- = arctanx + C=>y =------- ------.因为曲线过点(0,-1),即_y|x=o=T,
J 1 + x y arctan x + C
代入得C = L故所求曲线的方程为> =------ ----- .
arctanx + 1
/(x) = 2e3x.
/W =由+ 2两边同时对X求导‘得了'(x) = W • (3%y = 3/(x).
令丁=/(X)，则上式可写为了=空=3y，这是一个可分离变量的微分方程，分离变量 
dx
得,⑪= 3dx,等式两端同时积分，得已屯=］如，故ln|y| = 3x + G =
令C = ±eC1,贝切=/(x) = Ce3\由已知得/(0) = 2，代入得C = 2 ,故所求函数为/(x) = 2e3x.
在本题中，涉及变上限函数，只要被积函数连续就要想到求导，并且找到一初 
始条件求出具体的C值容易被忽视，一般取上下限相等时积分等于零的变量值.
第7章微分方程 271
|昭答案I 小)二一9 
由条件得 /(0) = —1,且 /(%) = 24：/(。/,(。出 一2「tf(t)fWt + x-l, 
等式两端同时求导，得
f(x) = 2j"("⑺df + 2xf(x)f(x)~ 2xf(x)f(x) +1 = 2j"("⑺dz +1 
“U J u
=2^/(0W) + l =f «)|； + 1 = / (x) _ f 2 (0) + 1 =广(%)
令歹= /(%),得半=,.这是一个可分离变量的方程，分离变量得当=改，等式两端 
dr y
同时积分，得-工= x + C=>> =----1.将/(0) = -1代入得C = 1 ,从而/(%) = 1.
y x + C x + 1
令 〃 =% - ,贝！J
J；"(x -，)df = -1(工 一 = xj； f (u)du ~\^uf (w)dw ,
条件变形为。/«)出=可；/(〃)<1〃-5"(〃)(1〃 + 工,等式分别对x求导，得 
/(%) = J： /(〃)d〃 + VX%) 一切(%) +1 = /W = J： /Q)d〃 +1 ① 
两边再分别对x求导，得八x) = /(x),令y = /(x)并整理可得包=改，等式两端同时积 
y
分，得ln| y | = x +G = > = ±eGe*  = Ce".由(D^0/(0) = 1,代入可得C = 1,因此/(x) = e”.
e2 +1
令J/2«)d/ = Q,由保号性知aNO,且/a)= j；/«)dz + 2a,等式两边分别对工求导， 
得 f\x) = /(x),解得/(x) = Cqx .由题意知 /(0) = 2a，代入可得。=2a ,从而/(x) = 2ae". 
因为J"?⑺由=q ,将/。) = 2源代入得
a = \y = 2a2\\de2t = 2a2 (作］：—］卜力义) 
=2/9+1：卜2/(产+£］ = 021+1),
1 2
解得。=0或。==」，所以/(对=0 (舍去)或/(%) = ——y. 
e2 +1 e2 +1
在本题中，将函数的表达式回代求出具体的。值是关键，同学们不要忽视.
272 第7章微分方程
|由答案
令歹= /(%)，则由条件得了 =半=/7,这是一个可分离变量的微分方程，分离变量 
dx 1 + x
得工期=—七，等式两端同时积分，得］= L^d(l+/),故
y 1 + x2 J y Jl + x2 2Jl + x2
ln|y| = ；ln(l +，)+ G = ln(l + x2y + Q In 1J1 t = Q
(1 + x2 )2
j.
n----—~- = ±eC1 n y = ±eC1 (1 + x2) ^.
(l +，)5
j_
令 C = ±e「，则尸/(x) = C(l +，)5.已知/(0) = a,代入得 C = a,故函数/(x) = 
j_
a(l + x2)2 ,从而 
/ W)dx=4；以1 +，)2*= 多:(l + x2)2d(l + x2)
a zo - 7a -
= H(8T) = t = 7, 
o
所以a = 3.
kl-si…夫' c为任意常数.
将原方程化简得
yr = y2 + 2(sin x-l)y + (sin x -1)2 - cos x = (y + sin x -1)2 -cosx ,
令〃 = y + sinx-l,则〃'二/ + cosx,代入上式得〃' = 〃2,即虫=/,方程变为可分 
dx
离变量的微分方程，分离变量得当=改，等式两端同时积分，得j4d〃 = Jdx,故
1 1—- = x + Cn〃 =--------- .
u x + C
将〃 = y + sinx-1代入上式，得y + sinx-1 =-——,整理可得原微分方程的通解为 
x + C
尸l-sinx—-二，C为任意常数.
x + C
的答案 2x2y2ln\y\-2xy-Cx2y2=l, 2为任意常数.
原方程可改写为 xy(xy +1) + x2(l + xy + x2y2)— = 0.令〃=盯 
dx
Au
j X------U
贝！)^ =工字=』_ 
x ax X
代人上式得〃(〃 + 1) + (1 + 〃 + "2)口卷_ 〃) = 0 ,整理得
第7章微分方程 273
du u(u 4-1) du u3
x - =------------ T + 〃 => x — =---------7，
dx 1 + u + u dx 1 + u + u
方程变为可分离变量的微分方程，分离变量得
1 + W + W2, 1 J ( 1 11] 1 J
------  QU = - CLX —— H - H d〃 二一dx ,
U X yu u u) X
等式两端同时积分，得
----- -------- F In | w | = In | x | + Cj => In _ = —— 4-----卜 G 2/ In — — 2n — 2C]" = 1 ,
2u u |x| 2u u |x|
将〃二孙代入上式并令C = 2G ,得原微分方程的通解为
2x2y2ln\y\-2xy-Cx2y2 =1 , C 为任意常数.
FWal
在上面两题中，做合适的变量代换，将方程化为可分离变量的微分方程，这种 
方法非常巧妙.
国答案
(D)中的方程可以化为了=上-上，由齐次方程的定义知只有(D)符合要求. 
x
y = x()n\x\ + C)2 ,
该方程为齐次微分方程，
的答案
分离变量得半=工改, 
2x— = 2\[u , 
dx dx
等式两端同时积分，得
4u = ln| x | + C =>〃 = (In| x \ +C)2 ,
以上代替上式中的〃并化简整理，得原齐次方程的通解为y = x(ln|x| + C)2, C为任意 
x
常数.
眄答案 sin — = ln|x| + C, C为任意常数. 
x
该方程为齐次微分方程，令〃=2，贝ljy = x〃，半= 〃 + x半，代入原方程得
X OX QX
du du
u + x— = secw + 〃 = x— = secw , 
dx dx
分离变量得-^-=上=35〃由='山:，等式两端同时积分，得sin〃 = ln|x| + C,以上代 
see” x x x
替上式中的"，得原齐次方程的通解为sin2= ln|x| + C, C为任意常数. 
x
274 第7章微分方程
西答案 y2 =2x2(lnx + 2).
原方程可表示为孚=邑^ = ' +?，这是一个齐次微分方程, 
dx xy y x
虫=〃 + x生，代入原方程得
dx dx au 1 au 1
U + X- =- F U => X--- =—,
dx u dx u
分离变量得〃d〃=Ldx,等式两端同时积分，得 
X
贝!J y = xu,
1 C
= ln| x | + — => w2 = 21n| x\ + C ,
以上代替上式中的〃，整理得原齐次方程的通解为必=x2(2in|x|+c).由初始条件 
x
M曰=2得。=4，代人得原微分方程满足初始条件的特解为歹2 =2/(lnx + 2).
j/ = xtan(ln|x|).
由题意知半=1 +上+任丫，这是一个齐次微分方程，令〃=上 贝仃=刈孚=〃 +呼, 
dx x \x J x dx dx
代入原方程得
QU . ? i 2U + X = 1 + 2/+ 〃 => X = \ + U 9 
dx dx
分离变量得*  =工，等式两端同时积分，得 
1 + w x
arctanw = ln|x| + C=>w = tan(ln|x\ + C),
以上代替上式中的〃，整理得原齐次方程的通解为y = xtan(ln|x| + C).因为曲线通过点 
x
(1,0),代入得。=0,故所求曲线方程为y = xtan(ln|x|).
严格地讲，所求曲线方程应是j； = xtan(lnx) (e ' < x < e^),这是由于当
71 It
x g (e 时，y = xtan(lnx)才是一条通过(1,0)的连续可微曲线.
原方程可变形为
令"=2
X
――= (.f )dxn半 J U，
dx x yx J x
这是一个齐次微分方程，令〃=上，则y = 孚= 〃 + %半，代入原方程得 
X QX QX
第7章微分方程 275
d〃 2 d〃 2 c〃 + x — = u — u x — — u — 2u , 
dx dx
分离变量得
1 1du
〃2 — 2〃 u(u -2) x
= -dx, 
Xx 2l w-2 u
等式两端同时积分，得
i(ln| u-2\ -ln| w I) = ln| x | +-y- => ln| w - 2 | -ln| u | -Inf = Q
nln u — 2 
ux2
=G n y = ±e°i = C, 
ux
以上代替上式中的〃并化简整理，得原齐次微分方程的通解为
X
^-2
—— = C=> 
匕d
x
y-2x 「一 2x
= C =歹=------ T •1-Cx2
由初始条件Ha =i得。=-i,代入得原微分方程满足初始条件的特解为>=高.
答案 y = xe2x+1
原方程可变形为户半 y Tnx)=上In上,这是一个齐次微分方程，令〃=上，则
QX X XX X
y = x 〃，业■ = 〃 + %如，代入原方程得 
dr dx
du d〃 八 八
u + x— = u]nu =>x— = 〃(ln〃-l), 
dx dx
分离变量得、」心,等式两端同时积分，得
[----- -------du = f— dx => [―- d(ln〃 -1)= [― dx ,
J uQnu-l) x lnu-1 x
故 ln| In〃- 11 = ln| x | + G n In ~- = Q => ~- = ±eC1 = C => Inw = Cx + 1 => w = eCx+1 ,
x x
以上代替上式中的〃并化简整理，得原齐次微分方程的通解为 > =祝以+1.由初始条件 
x
贝1) = e3得。=2 ,代入得原微分方程满足初始条件的特解为kxe2x+1
X
x + 2y^ =C , C为任意常数.
土 改
因为方程含有"项，所以可把工视为)的函数，原方程可变形为孚= 、
ay -
1 + 2"
,这是
276 第7章微分方程
一个齐次微分方程，令〃 =土，贝!)、= >〃,孚=〃 + ^¥，代入原方程得 
y dy qy
du 2eM(w-l) du 2eM(w-l) 2e"+〃
u + y— =------------ = y— =-------------- u =-------------,
dy l + 2ew dy l + 2ew l + 2eM
分离变量得上"d〃 = -Ldy ,等式两端同时积分，得
u + 2eu y
J 共由=一£仁］+7d(〃 + 2e“)T* ，
故
In| u + 2eM| = -ln| y | +G => ln| y(u + 2eM) |= Cx => y(u + 2ew) = ±eC1 = C ,
X
以-代替上式中的〃并化简整理，得原齐次微分方程的通解为X + 2y/ =C , C为任意常数. 
y
|阿答案| sin3- = Cy2,。为任意常数. 
y
因为方程含有sin讶,cos工项，所以可把工视为y的函数，原方程可变形为 
y y
x x
2ysin—+ 3xcos —
dx y y 2 x x—=-------- --------------=—tan —+ —,
dy 々％ 3 y yz 3ycos— / /
这是一个齐次微分方程，令〃/，贝卜=小坐= 〃 + 》黑，代入原方程得 
y ay ay
du 2x du 2 xu + y— = —tanz/ + w=> y— = —tanw ,
dy 3 dy 3
a 1
分离变量得士cot〃d" = L®,等式两端积分同时，得
2 y
—ln| sinw | = ln| y | + G = 1n ,融 u = G => sin，u = ±eCly = sin) = ±e2C1y2 = Cy2 ,
2 y
以-代替上式中的〃，得原齐次微分方程的通解为sin3- = Q2, C为任意常数. 
y y
y = CQ-x2 , C为任意常数.
该方程为一阶线性齐次方程且P(x) = 2x ,从而可得原方程的通解为
y = Ce-^(x)dx = Ce^2x(h = Ce*  , C 为任意常数.
|强答案
COST
将原方程变形得电-tan”y = 0,这是一个一阶线性齐次方程且尸(%) = -tanx,从而可 
dx
第7章微分方程 277
得原方程的通解为
y =八一/⑴* =Ce^tanxdx = Ce-mcosx = C
cosx
由初始条件儿.o = 1得c=1,从而原方程满足初始条件的特解为八一L.
COSX
咽答案
(C)中的方程可以化为/ + (%-e')y =，，由一阶线性微分方程的定义知只有(C)符合
要求.
瓯答案 y = Ce—,+2, C为任意常数.
该方程为一阶线性非齐次微分方程，且尸(x) = 2x,Q(x) = 4x,从而可得原方程的通
解为
7 = e-m* 加 00(%) 1尸(“独*  + C)= e 小皿(j4xe3dxdx + C)
=e-[J4xe，dx + c) = e-^J dx2 + C)
=e-x2 (2e，+ C) = 2 + 八一，，C 为任意常数.
国]答案 ^ = e-sinx(x + C), C为任意常数.
该方程为一阶线性非齐次微分方程，且尸a)= cosx,0(x) = eTin)从而可得原方程的通 
解为
y = e* ⑺* 00Q)J尸⑺及dx +。=€一"改+。
=e-sinx Qe-sinjcesinxdx + C)= e-sinx(x + C) , C为任意常数.
原方程可变形为双--匕=/(% + 1),这是一个一阶线性微分方程，且尸(工)=-1, 
dx x + 1 x + 1
0(x) = ex(x + l),从而可得原方程的通解为
y = e 中⑴匕 Qe(x)JTOdx +。=(w(x + l)e[2* dx + j
=e1na+D (J ex(x + 1£一呵"+1)<1% + C)= (x + 1)(J exdx + C)= (x + l)(ex + C).
由初始条件7(0) = 2得C = 1,所以要求的特解为歹=(冗+ l)(ex +1).
^ = e"sinx(xlnx-x + l).
原方程可变形为电+ /osx = e-si'nx,这是一个一阶线性微分方程，且尸(%) = cosx, 
dx
Q(x) = e-sinx Inx ,从而可得原方程的通解为
278 第7章微分方程
e-8'dx ^e-sinx 1nxeJcosx改* + c)
= e-smxQlnxdx + cj =e-smxfxlnx-jx- -dx + C j =e-smx(xlnx-x + C).
由初始条件y(l) = 0得C = 1 ,所以要求的特解为歹=e-siGX(xlnx-x +1).
x = ^y2+Cy3, C为任意常数.
将％看作)的函数，则原方程可变形为出-3% = -上，这是一个一阶线性微分方程，且
dy y 2
= ~—,Q(y) = -— »从而可得原方程的通解为
V 2
a eL［包⑺.加屯+ C)= JW (j-次融dy + c
=y3 \ ~^,~3 4v + C =y3 ^- + C>| = ^-y2+Cy3 , C为任意常数.
ll 2 y))⑵ J 2
------- ---如果将y看成x的函数，则方程化为业二’21^,这个方程不是一阶线性 
dx 6x-y
微分方程，也不是可分离变量方程，更不是齐次方程，不便求解，于是将x看成y的函数.
这也是我们求解微分方程的常用思路.
鹿目答案 x =:(ln3 + C), C为任意常数. 
y
将X看成》的函数，则原方程可变形为半+2、= 3,这是一个一阶线性微分方程，且 
dy y y
2 1P(y) = —, Q(y) = 4 ,从而可得原方程的通解为 
) y
c为任意常数.
-f J-^,^dy + C =4(ln|y| + C), 
y lJ r )y1
|幽答案
将工看成)的函数，则原方程可变形为出+工1 = 3九 这是一个一阶线性微分方程，且 
dy y
P(y) = —, Q(y) = 3y ,从而可得原方程的通解为 
y
第7章微分方程 279
X = e-Jp(，)d[j0y)jp(，)dydy + C)=e^iy[^3y^iy Ay+ c]
= —^3y-ydy + C^ =—(y3 +C) = y2
由初始条件引9=1得C = 0 ,所以要求的特解为x = y2=y = 6.
|陶答案 x = CQy-y-l, C为任意常数.
. . _ Ay
方法一：将X看成》的函数，则原方程可变形为W-X = y ,这是一个一阶线性微分方
程，且尸3）= -1,0（7）=y，从而可得原方程的通解为
x = e4尸5® 00(历)尸⑺砂郎+ c) = J砂0卢卜砂⑪+ c)
=e' (J广 Q y^y + C)= e» 卜jyd^~y =ey ^-ye~y + Je~ydy + C)
=ey(-ye-y-e-y+C) =Cey -y-1 , C为任意常数.
方法二：做变量替换，令工 +尸"，则”〃一工,半=黑—1,代入原方程得 
dx dr
du 1 I du u + l
------1 =—=> —=------ , 
dx u Ax u
分离变量得/一d〃 = dxn[l-一L]d〃 = dx,等式两端同时积分，得
〃 + 1 I U + 1J
〃-ln|〃 + l| = x + G =ln|〃 + l| = 〃- x-G n〃 + l = ±e~Cieu~x = Ceu~x ,
x = ”皿（j0（y）Jp（，）d%y + G ） = e-/d' （-Je/期 + G ）
将〃 = x + y代入上式并整理，得原方程的通解为x = C9-1, C为任意常数.
避］答案 y2+2xy = C, C为任意常数.
方法一：将x看成y的函数，则原方程可变形为虫+工、=-1,这是一个一阶线性微分方 
4y y
程，且23）=工,03）= _1,从而可得原方程的通解为 
y
if / 
工-万 + G1= ?_Jydy + G)
:一"
y
整理得2xy + y2 =2CX=C , C为任意常数. 
y
方法二：原方程可变形为半=
dx x + y j + 2
x
y = xu9 — = u + x—，代入原方程得 
dr dx
该方程为齐次微分方程，令〃=』，则 
x
280 第7章微分方程
du u du ( u \ u2 +2u
〃 + X  =--------X  = ------------ F W =------ ：----- ,
dx 1 + 〃 dx [1 + 〃 ) \ + u
分离变量得4-d〃=-」dx,等式两边同时积分，得
u +2u X
；ln| u2 + 2u | = -ln| x | + Q => (u2 + 2w)x2 = ±e2G = C ,
以2代替上式中的〃并整理，得原方程的通解为歹2+2孙=C, C为任意常数.
评注J
―^<^697题、698题均给出了两种解法，将同一微分方程化成了两种不同的类型.这 
提示我们做题的时候一定要灵活.
y = sinx + cosx.
由题意得半= secx-ytanx =>半+ ytanx = secx,这是一个一阶线性微分方程，且 
dx dx
P(x) = tanx,0(x) = secx ,从而可得原方程的通解为 
)=©一〕尸(“"02(')丁「(“冰心+。) =e ^tanx ” (J sec xe"3nx "dx + C)
=^cosx Qsecx e1nsecx*  + C)= cosx(jsec2xdx + C) = cosx(tanx + C) = sinx + Ccosx , 
) = /(%)过点(0/)，即4句=1，代入得。=1 ,从而该曲线方程为y = sinx + cosx.
IEE3答案| /(x) = -2e^ +2.
条件中的等式两边分别对x求导，得/'(x) = 犷a)-2x,令7= /(x)并整理，得 
孚-孙=-2%,这是一个一阶线性微分方程，且Pa)= f,Q(x) = -2x,从而可得原方程的 
dx
通解为
7 =。->㈤*  0°(x) J"*"  + c) = J 汕 ^-2xe-^dx + C)
= e，” [j—2底 5" dx + c) =/*  12e d
42 ( \
=e2 12e 2 +CJ =Ce2 +2,
lx2
由题意知/(0) = 0,代入得C = —2 ,因此/(%) = —2e2 +2.
|国1答案
令〃 = x-t, 则 1： /(X 一 ‘油=-J： /(〃)d〃 = J： /(〃)d〃 ,条件变形为
J： /(〃)d〃 = (t)dt + q-x-1 ,
第7章微分方程 281
等式两边分别对X求导，得
/⑴=]"(，)由 + xf(x)-xf(x)-e-x n/(%) = ^f(t)dt-e-x ①
两边再分别对x求导得/'(x) = /(、) +e[ 令y = /(x)并整理，得或-yr' 这是一
QX
个一阶线性微分方程，且尸(x) = -l,Q(x) = eT ,从而可得原方程的通解为
y = /尸（”浒J 尸⑴* dx + c） = （je-e 一如 dx + C）
= ex^e-xe-xdx +。） = e（—； e-2x + 0 =绮—（
1 1 e-x ex + e-x
由①知/（o）= —i,代入得。=一：，因此/（%） = —：/—] =—三二
J； = + C.X3 + C2x2 + C3x + C4 , G，G，C3，Q为任意常数.
对所给方程连续积分四次，得
ym = xdx =；工2 + c；,
y〃 = J&2 + q卜= lx3 + 牛 + 禺，
y = |[lx3+C；x + C^dx = ^-x4+-^x2+C^ + C3 ,
晒答案
=[f—x4 + —x2 + C^x + C^dx =-^― x5 +—x3 + —x2 + C3x + C4
J（24 2 2 3J 120 6 2 3
=*/ + g%3 + qx2+ C3X + C4, C15C2,C3,C4为任意常数.
y = -e3x+-cos2x + G，+ c2x + C3, C1,C2,C3为任意常数. 
27 8
对所给方程连续积分三次，得
yn = （e3x +sin2x）dx = ^e3x ~^cos2x + C[,
/ —；cos2x+ 0；）* =卜"--1sin2x + C1\ + C2 ,
=|Qe3x --^-sin2x + C/x + C2^ dx =+^cos2x + ^x2 + C2x + C3 ,
1 1
=—e3x+-cos2x + G，+ c2x + G，GG，G 为任意常数• 
27 8
y = xcx — 3e' + Gx2 + C?x + G , q,C2，G为任意常数•
对所给方程连续积分三次，得
282 第7章微分方程
yr, = jxexdx = jxdex = xex - j exdx = xex -ex + C/ ,
V = j (xe*  — ex + G' )改=xe*  — ex - ex + C/x + C2 = xex — 2ex + C/x + C2 ,
Q，y = J (%e，— 2e" + G % +。2) = Xe“ — cx — 2e“ H—+ C?x + G
=xex - 3ex + G— + C2x + C3, C1,C2,C3 为任意常数.
y = xarctanx-^ln(l + x2) + Cxx + C2 , G 和。2 为任意常数,
对所给方程连续积分两次，得
y' = [ —L7dx = arctanx + Cx,
J 1 + x2
y = \(arctanx + Cx)dx = xarctanx- % 2 dx + Cxx
1 r 1 2
= xarctanx--j  ---- -d(l + x ) + Qx
=xarctanx-^ln(l + x2) + Qx + C2 , G 和 G 为任意常数.
1 口2 2 21 2x e 2 e e y = —q-------x H--x----
8 4 4 8
对所给方程两边积分，得
y,, = je2xdx = ^e2x+Ci,
P2 i 2
将初始条件咻=1=0代入得。1=啖，故/ =产，-（上式两边同时积分，得
、2
e2x~ — 
2
dx = — e2x
4p2 i
将初始条件Vil =0代人得G =?，故V = "e2x
-yx + C2，
2 2
上式两边同时积分，得
2 4
v=J ；
7
=0 2 2
2 4
/
y
1 2% e 2 e 「 =­ e----- x + — x + Cq ,
8 4 4 3
p2 i 2 _2 2
将初始条件4=1 =o代入得g =力，故片/ ->2 + £_x -1-
西答案 yJd+L+i
6 2
对所给方程连续积分两次，得
V = jxdx =+ G , 
y=i x2 +CX dx = —+ C]X + C?,
第7章微分方程 283
曲线经过点(0,1),即儿=。=1,曲线在点(0,1)处与直线歹=| + 1相切，即，代 
入得G=1C=1，故所求的曲线方程为y = )+L + i.
2 6 2
1跖3答案| y = -^--x + C1ex+C2f G 和 G为任意常数•
令歹'=2，则歹"=2'，原方程变为〃'=夕+'=夕,-夕=x ,这是一个一阶线性微分方程, 
且尸(x) = -l,0(x) = x ,从而可得该方程的通解为
p =屋斤。Q(x)J尸⑴* dx + G)= 一体及 + G]
=ex Qxe-Xdx + G) =ex(-|xde-x + G) = e[-疣-"+1 e~xdx + cj
=ex(-xe-x —尸 + G) = Cxqx -x-1, 
y = Ge“-xT两端同时积分，得原方程的通解为
丫2
y = ~-x + C1Qx +C2, G和G为任意常数•
y = ln|cos(-x + G)l + G，G 和 G 为任意常数• 
令y' = p ,则/ = ;/,原方程变为
// + 22 + ] = 0 = — = -(t?2 +1),
dx
这是一个一阶可分离变量的方程，分离变量得^^ = -改，等式两端同时积分，得该方 
p +1
程的通解为
arctanp = -x + Cx^=> p = tan(-x + C\),
y = tan(r + g)两端同时积分，得原方程的通解为> = ln|cos(-x + G)l + g，G和。2为任 
意常数
y =-冬 + G，G和。2为任意常数.答案
令/ 二2，则/=",原方程变为
空，+ 3p = 0nx— = -3p ,
这是一个一阶可分离变量的方程，分离变量得包=-3改，等式两端同时积分，得该方
P X
程的通解为
ln|/?| = -31n|x| + C/ => px3 =±eC1 = G n P =与, 
x
c c
歹=与两端同时积分，得原方程的通解为歹= _3+ G，G和。2为任意常数•
%3 2/
画答案 y = _；ln|2x + l|.
284 第7章微分方程
令y =0，贝）/ = 〃'，原方程变为=（）=>? = 2/,这是一个一阶可分离变量的 
dr
方程，分离变量得黑 
P
= 2dx,等式两端同时积分，得该方程的通解为
--- = 2x + Cx^> yf = p 
P
1
将初始条件川内=-1代人得G=i, V = -丁二
2x + l
2x + G
两端同时积分，得）=-;ln|2x + l| + C2 ,
将初始条件儿=。=0代入得。2=。，因此，原方程满足初始条件的特解为片《ln|2x + l|. 
2
[7121 答案 j/ = x3 + 3x +1.
令，=0,则广p',原方程变为（1+，）八2空=半=乙吗，
dx 1 + x2
这是一个一阶可分离变量的方程，分离变量得电= 3y（k,等式两端同时积分，得该
方程的通解为 P i + X
ln|p|=ln（l + x2） + C； => y, = p = Ci（l + x2）, 
将初始条件川x=o=3代入得G=3, V = 3（1 +，）两端同时积分，得7 =9+3% +。2,将 
初始条件几句=1代入得。2=1,因此，原方程满足初始条件的特解为歹= d+3x + l.
[713] 答案 / = gx + G，G和。2为任意常数•
令了 =0，贝W = 2 = ?•半= p2,原方程变为即?+ 2/=o,这是一个一阶可分 
dx dy dx ay dy
离变量的方程，分离变量得空=-2即，等式两端同时积分，得该方程的通解为 
p y
ln|^| = -21n|y | + C0 => py2 = ±ec° = C； = p =与, 
y
对半=乌分离变量，得产砂二盘改，等式两端同时积分，得原方程的通解为 
dx y
I国a答案
-/ = C；x + C； / = Cxx + C2 , G 和。2 为任意常数• 
3
y = y/x + l .
令y=P,贝3=婴=?孚=夕半，原方程变为即手+/=o,得用=一0，分离 
dx dy ox ay oy oy
变量得出=-变，等式两端同时积分，得该方程的通解为了二夕
p y
儿=o =1jL=o =，6得G =；，对崇= 
s,将初始条件 
y
二分离变量得ydy二dx,等式两端同时积分, 
2y 2
得/ =工+。2,将初始条件Hz=l代入得。2=1，因此，原方程满足初始条件的特解为 
y2=x + in）= 7x + l.
第7章 微分方程 285
[715| 答案 G/-1 =（。n+。2）2，G和。2为任意常数•
令”夕，则上半=学孚=’?，原方程变为外半_」（），分离变量得 
dx dy dx ay dy
pdp = -Ldy,等式两端同时积分，得该方程的通解为
y ______
/ =_}+G =±小 _ j =±5辰2 -1 ,
对@=±±向“i分离变量，得/3'=苧咆也=±改,等式两端同时积分，得
原方程的通解为
sgnC^Jq/-1 = ±（G'+G） n -1 = （Gx + G ）2, G 和 c2 为任意常数.
1, x > 0
sgn代表符号函数，其表达式为sgn（x） = < 0, x = 0 .
-1, x<0
y = ]n ex+e-x
产不明=砂, 
1一。
2
/ =包=虫虫=夕虫，原方程变为夕孚+ /=i,分离变量得 
dx dy dx ay ay
等式两端同时积分，整理得该方程的通解为/=1 — Ge一2〃，将初始条件
令；/ = p ,则
引d =o,V|x=o =o代入得G =i，故0=半=±）1-和、,分离变量得 
dx
dy , , eydy 「-/ = = ±dx ~ = idx ,
«-e-2y de2y -1
等式两端同时积分，得式(U+Je2y—1) = 土x + G，将初始条件4=0=0代入得。2=0, 
因此，原方程满足初始条件的特解为
ln(eJ + 7e2>，-1) = ±x=> eJ = - - n y = In ~ •
答案
因为包± = tanx壬常数，所以sinx与cos%线性无关.注意（C）中sin2x = 2sinxcosx , 
COSX
故其与sin X cos X是线性相关的.
I弧答案
（A）和（B）中的两组函数显然线性相关，（C）和（D）中的两组函数线性无关，故只需验证 
f与d是否为方程的解.
因为（，y =2x,（，）〃=2,代入方程得（工-1>2-犷2%+，。0,所以f不是方程的解
286 第7章微分方程
而(/)"=(/)'=/,代入方程得(x —l)e“—xe*+ ，=0,故e”是方程的解.
EE答案 (Q.
由方程/ + p(x)y = /(x)的通解结构为齐次方程的通解加上非齐次方程的特解知，其通解 
为7= %(%)+G%G)，令G=—。，故(C)正确.
国答案 (D).
因为条件中的方程是一阶的，而(C)中含有两个任意常数，故首先排除(C).由于 
必(X)与内㈤都可能是原方程的零解，故(A)和(B)也不对.因为外(X)与内⑴是 
方程_/ +2(x)y = 0的两个不同的解，所以%(X)-%(%)为该方程的一个非零解，从而 
y =。(必0) -%(工))是该方程的通解.
[721 答案 (C).
由定理知y =C/(x) + C2f2(x)是该方程通解的充要条件是工(%)与力(x)线性无关，即 
瑞‘常数,从而
(这］'=力⑴力⑴-衣)心),0
［衣/2(工)
即工。)喘'a)— /(x)#(x)wo.
[722I 答案 通解为＞ = Gcosox + C2sinax , G和02为任意常数•
因为 K sin ax, = -a1 cos ax，代入方程得
yn + a2y = -a2 cosax + a2 cosax = 0 ,
所以％ =COS6ZX是方程V+ a2y = 0的解.
又因为 % = a cos ax,y2 = -a2 sin ax，代入方程得 y" + a2y = -a2 sin ax + a2 sin ax = 0 ,
所以% = sin ax是方程yf, + a2y = 0的解.
由于& = cot办不是常数，因此必=cos办与% =sin方线性无关，从而该方程的通解为 
%
y = Cx cos ax + C2 sin ax , G 和 G 为任意常数.
[723]提示 要证是方程/-3/ + 2j； = e5x的通解，需要证明:
⑴丁=5©5、是该方程的特解；(2) %=值%=。2、是对应齐次方程的解；(3)必=/与
%=e2* 线性无关.
【证明】⑴3"=表2*) 〃 =浮、，代人方程得
〃 r， c 25 5x 15 5x 2 5y 5x y -3y +2y= -e — e + — e =e
12 12 12
第7章微分方程 287
所以/ =le5x是该方程的特解.
(2) y；= W = ex,代入方程得/- 3y + 2y = e*  - 3e“ + 2/ = 0 ,所以乃=/是对应齐次方 
程的解.
%=2e2x，Z=4e2)代人方程得3" +2y =4e2“-6e2x+2e2'=0,所以% 是对 
应齐次方程的解.
⑶因为岂=e-x不是常数，所以必=/与% = e2x线性无关.
%
由⑵和⑶得Ge" + C2e2"是对应齐次方程的通解，从而
y = Ge*  + C2e2x + Le5% ( G和C2为任意常数)是方程/- 3V + 2y = e5x的通解.
|曲证明| 将y = 2G%+ (C2- G)% + (1 - G - G)为整理可得
y = G (2%— % — %) + G (% — %) + 为，
要证其是方程/ + p(x)y +9(x)y = /(x)的通解，需要证明：⑴ 乃是该方程的特解;
(2) 2%- % -乃是对应齐次方程的解；(3) 2%%-为与% - 为线性无关.(1)和(3)
显然成立，现证明(2)如下.
因为%(%),%(X),乃(%)是方程yr，+ P(x)V +式x)y = f(x)的三个线性无关的解，所以y1 -y2, 
为-%，% -为均是对应齐次方程的解，从而2%-% -% =(必-%) +(乂 -为)也是对应 
齐次方程的解.
由(2)和⑶得。(2%-%-为)+。2(% -为)是对应齐次方程的通解，从而
> =G (2 %一% —为)+ G (歹2 —为)+ %
=2Ciyi + (C2 -C,)y2 + (1 -Q -C2)y3 ( G 和。2 为任意常数)
是方程 y,r + p(x)y' + q(x)y = /(x)的通解.
答案
该微分方程的特征方程为尸+2r = 0,解得4=0,e=-2为两个互异的实根，故方程的通 
解为歹= G+Ge—2" ,令G=C2=1得歹= l + e-2"为一特解.
sm 一一
1本题也可把选项代入方程验证是否满足方程来判断是否为特解.
|商答案 (B).
由通解的形式知勺=6,马=-8是所求微分方程的特征方程的根，故特征方程为 
(r- 6)(r + 8)=户+ 2— 48 = 0 ,从而寸应的二系数齐降分方程为〉〃 + 2V — 48y = 0 .
|727) 答案 (D).
由特解的形式知，原微分方程的特征方程对应的特征根为共舸复根七=2±篁，故特 
征方程为(尸―2)2 =-9 =--4尸+ 13 = 0 ,从而对应的二阶常系数齐次线性微分方程为 
yn -4yr + 13y = 0.
288 第7章 微分方程
国答案 p = -4 , q = 4.
由特解的形式知，原微分方程的特征方程对应的特征根为两个相等的实根彳=弓=2,故 
特征方程为(尸-2)2 = 0n户-4〃+ 4 = 0 ,因此夕=-4应=4.
|西答案 y = Ciex+C2e-4x , G和C2为任意常数•
该微分方程的特征方程为一+5〃+ 4 = 0,解得及=-1逐=-4,为两个互异的实根，故所 
求通解为丁 =。2一”+。265, G和G为任意常数.
y = 6e-x - 4e-3x
该微分方程的特征方程为户+4尸+ 3 = 0,解得3,为两个互异的实根, 
故所求通解为7=。£”+。2«一3" 从而了 = --3c2厂。将初始条件4句=2,
川x=o =6代入得
解得I?“ 故所求特解为尸6eT-4e-3x.
[—C、- 3c2 = 6 = —4
百答案
3
y = (G + C2x)e^ , G和。2为任意常数.
该微分方程的特征方程为4--12.+ 9 = 0,即(2r-3)2=0,解得彳=马=3,为两个相 
3 2
等的实根，故所求通解为7 =(G + C2x)e" , G和。2为任意常数.
[7321 答案 s = (2 + t)e~f.
该微分方程的特征方程为户+2〃+ 1 = 0,解得々=马=-1为两个相等的实根，故所求通 
解为$ = (。1+。2%一'，从而/ = (-G+G-。2多一。将初始条件4=0=2,$'|仁0=-1代人
[733)
可得 C2 一,解华
答案
?二；故所求特解为s = (2 +
C2 =1
y = e” (G cos x + C2 sin x) , G 和 C2 为任意常数.
该微分方程的特征方程为尸+匕+ 17 = 0,即0+ 4)2=-1,解得应2=-4±i,为一对共 
轲复根，且二=-4,/? = 1,故所求通解为》ueTYGcosx + CzSinx) , G和。2为任意 
常数.
回答案 y = e-5x(cos 2x + 2 sin 2x).
该微分方程的特征方程为户+10r+ 29 = 0,即0+ 5)2=-4,解得匕2=-5±方，为一对 
共舸复根，且a = -5/ = 2,故所求通解为y = e-5" (Geos 2x + G sin 2x),从而
/ = e—5*  [(-5G + 2c2 ) cos 2x + (-2Q - 5C2) sin 2x)].
将初始条件Mx=0=l,川 x=0 =-1代人得 ,X2c2=-r 解得 C：：l故所求特解为
y = e-5x(cos 2x + 2 sin 2x).
座答案 y = (G + C2x)e-X + C3ex, C1,C2,C3为任意常数.
该微分方程的特征方程为r3+r2-r-l = 0,即(r+ 1)2(—1) = 0 ,解得"二e=-1,弓=1, 
故所求通解为y = (G + c2x)e-x + c.e, G，。2，G为任意常数.
第7章 微分方程 289
y = Cxo~x + C2e2x +C3cosx + C4sinx ,为任意常数.
该微分方程的特征方程为/-/-户-―2 = 0,即（尸+ 1）（一2）（尸+1） = 0,解得 
rx =-1,^2 = 2,弓,4 = 土i,故所求通解为
答案
y =+ C2e2x + C3cosx + C4sinx, C15C2,C3,C4为任意常数.
/（x） = cosx + sinx.
/（%）=/（］—q两边同时对工求导，得
/〃（X）= -怎- "）） = -/⑴ n /"（X）+ /（X）= 0，
这是一个二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为尸+1 = 0,解得.=±i，为 
一对共轲复根，且a = 0,£ = l,故所求通解为“xhGcosx + Gsinx,从而/'（%） = 
-G sinx + C2 cosx. 始豺牛f（0） = /'（0） = = C2 = 1,故/（x） = cosx + sinx.
晒答案
方程r(x) + r(x)-2/(x) = 0的特征方程为一+ —2 = 0 ,解得〃 =1,马=-2为两个互 
异实根，故 /a)= Ge”+Ge-2”,从而 f\x) = Qex -2C2q-2x , f\x) = Qex + 4C2e-2x , 
代入 /〃(%) + f(x) = 2ex 得 2Cxe + 5C2q-2x = 2e\ 从而 q = 1,g = 0 ,因此 /(x) = ex.
该微分方程对应齐次方程的特征方程为户+ 3 = 0,解得点=1通=3.因为/（%） = % 
是一次多项式，且0不是特征方程的根，所以设特解式=%+〃/,从而（，）' = %, 
3* ）〃 = 0,代入方程得—441+3（%+平）=%，比较两端的系数，得浮°一墨二0,解得 
〔34=1
%=［冯=3,从而原方程的一个特解为+
题答案 j; = y-1x+C1e-jr+C2e-4x, G 和 G为任意常数•
该微分方程的特征方程为产+5r+ 4 = 0,解得a=-1,马=-4,为两个互异的实根，故对
应齐次方程的通解为Y = Ge-" + .
因为/（x） = 3-2x是一次多项式，且0不是特征方程的根，所以设特解”=%+小，从 
而（y*  = q，3* ）" = 0 ,代入方程得5%+4（为+4/） = 3-2%,比较两端的系数，得
V4旬+5例=3,解得%=口M=」，从而原方程的一个特解为“ =?
4a1 = -2 8 2 8
程的通解为y = y+Y = ---x+ Ge- + C2「x , G和。2为任意常数.
8 2
4所以原方
lEEfl答案 7 3 a 1 —
y ——x—x H—x + G + C?e25 5 3 1 2 G和。2为任意常数•
290 第7章微分方程
该微分方程的特征方程为2r+5/=0,解得与=0,马=-为两个互异的实根，故对应
_5
齐次方程的通解为y = g + c2e"?.
因为/(x) = 5，_2x-1是二次多项式，且0是特征方程的单根，所以设特解 
y = x(a0 + axx + a2x2),从而(/)' = %+ 2aM + 3a2,, (W = 2al + 6a2x，代入方程得 
2(2% + 6%x) + 5(% 4- 2axx + 3(72x2) = 5x2 - 2x -1,
[15。2=5
7al
比较两端的系数，得v 10q+12a2 =-2 ,解得出 =毛冯=-1,。2 = §，从而原方程的一个 
5% +4。] = -1
特解为1X-2，+J_%3.所以原方程的通解为
25 5 3
y = /+Y= -|x2 + |x3 + Q + C2e-2X , G和G为任意常数.
由通解的形式知，方程的特征根为4=弓=1,故特征方程为(一 1)2 =尸一2,+ 1 = 0,从 
而 q = -2,6 = 1.
因为/a)=x是一次多项式，且o不是特征方程的根，所以设特解、*=&+%%, 从而
(y*y  = %,3*)"  = 0 ,代入方程得-2%+g+%x = x ,比较两端的系数，得产°, 
[4=1
解得% =2,%=1,从而原方程的一个特解为"=x +2.所以原方程的通解为
y = % + 2 +(G +V = 1 +(G + C? +，
将初始条件武0) = 2, 了(0) = 0代入得,解得弓=0,。2=-1，从而要求的
1 + Ci + C, — 0
特解为y = x + 2re".
利用微分方程解的叠加性，分别求出/- 5V + 6〉= 3x与/ - 5/ + 6y = 2e2x的特解煤㈤ 
与%*(%)，贝!1%*(工)+ %*(%)即为所求微分方程的特解.
该微分方程对应的特征方程为r2 - 
多项式，且0不是特征方程的根, 
方程的单根，所以设特解为*00  = 
b + cxe2x .
y = e2x^x2 + 0白 + C
该微分方程的特征方程为r2-3r + 
齐次方程的通解为Y = Ge*  + C2e2A 
特解 y = e2x(a0x + axx2 ),从而
5r + 6 = 0 ,解得 ^=2,〃=3.因为＜(x) = 3x 是一、次 
所以设特解为*(外=办+入 f2(x) = e2x ,且2是特征 
cxe2x ,从而原方程的特解形式为％*(x)  +%*( 、)=ax +
2e2\ G和G为任意常数.
2 = 0,解得彳=1乃=2,为两个互异的实根，故对应 
:.因为/(%)=加2%,且2是特征方程的单根，所以设
第7章微分方程 291
3*)'  = aoQ2x + 2(% + ax)xQ2x + 2a1x2e2x ,
(y*) 〃 = (4% + 2a1)e2x + 4(% + + 4^%262% ,
代人方程并整理得知+ 24+2股=%，比较两端的系数，得［：°+27=°,解得
2% = 1
从而原方程的一个特解为“=。2［；，一工).因此原方程的通解为
y = /+Y = e2x^x2-x^ + Cxe + C2e2x , G和。2为任意常数.
a = l, b = —2 , c = 6 , d = 2.
因为'=e2"+2/+，/,由解的性质和结构知，%=©一2、,%=/是对应的齐次方程 
的两个线性无关的解，式=//是非齐次方程的解.于是＜ +效，+如=0的两个特征根 
分别为彳=一2,弓=1,从而特征方程为&+ 2)&-1)=—+/一2 = 0,故。=1,6 = -2.因为 
歹*= ，e* 是原方程的解，且(歹*)= ，/+2犹*, 8*) 〃 =，/+4炊+2/，代人原方程并整理 
得(6x + 2)ex = (ex + d)ex ,所以 c = 6,d = 2.
i一哄f本题也可将y代入方程利用待定系数法求解.
yf, - yr -2y = (1- 2x)ex .
由解的性质和结构知，-y2 =e2x -e-x,^ -y3 =er,(% -%) + (乃-为)=©2”都是相 
应齐次方程的解，乂-e2x=xe* 是非齐次方程的一个解.由e-%和e2%是对应的齐次方 
程的两个线性无关的解知，勺=-1々=2是特征方程的两个特征根，从而特征方程为 
0+ 1)(.2) =户-- 2 = 0 ,故对应的齐次方程为/-y-2y = 0.设所求的微分方程为 
f_y-2y = f(x),因为xe"是该非齐次方程的一个解，代人得
f (x) = (xex)" -(xex y - 2xqx =(x + 2)e*  -(x + l)ex - 2xex =(1- 2x)ex ,
故所求微分方程为y,,-yf-2y = (l-2x)ex .
一^「本题也可根据条件得到要求微分方程的通解为y = Ge—“ +。2。2、+犹”,求出yf 
及再消去G和。2亦可得到所求微分方程，请读者自行尝试.
该微分方程对应的齐次方程的特征方程为户-2t + 5 = 0,即&-1)2=-4,解得 
rL2 = 1 ±2i.因为f(x) = excos2x ,且a±/?i = l±2i是特征方程的根，所以设特解 
y - xex (a cos 2x + b sin 2x),代入方程并整理得
4bex cos 2x - 4ae*  sin 2x = ex cos 2x ,
比较两端的系数，得。= 0/ = L 从而原方程的一个特解为y*= ，xe*sin2x.
4 4
(D).
该微分方程对应的齐次方程的特征方程为户+4 = 0,解得々2=±2L因为
292 第7章微分方程
f (x) = cos2x = cos2x = (x) + (x),利用微分方程解的叠加性，分别求出
/ + 4y =；与歹" + 4y = ；cos2x的特解煤(工)与%*(x) ,则乃*( 》)+ %*(%) 即为所求微分 
方程的特解.
1 1
又因为工(%) = ：,且0不是特征方程的根，所以设特解％*(x)  = a. 72(x) = -cos2x,且
2 2
a±Qi = ±2i是特征方程的根，所以设特解%*=%(bcos2x  + csin2x),从而原方程的特解 
形式为
y*(x)  = y； (x) +%*( )  = a +x(b cos 2x + c sin 2x).
答案I 1 2
y =-xcosx + —sinx + Cx cos2x + C2 sin2x , G和。2为任意常数•
该微分方程对应齐次方程的特征方程为户+4 = 0,解得七=±方为一对共班复根，且 
a = 0,/3 = 2 ,故对应齐次方程的通解为Y = Q cos2x + C2 sin2x .因为/(x) = xcosx ,且 
a±£i = ±i不是特征方程的根，所以设特解£5=(办+。)35%+ (6+ 6/)5111%，从而
(y*)'  = (cx + a + d)cosx + (-ax-b + c)sinx , 
(y*y = (-ax -b + 2c)cosx-(cx + 2a + d)sinx ,
代人方程并整理得(3ax + 36 + 2c)cosx + (3cx-2a + 36/)sinx = xcosx ,比较两端的系数, 
得a = W = c = 0,d',从而原方程的一个特解为y*=$cosx  + /sinx.因此，原方程的 
通解为
* j. Z
y = y +Y =-xcosx +-sinx + Qcos2x + C2 sin2x , G和。2为任意常数•
y=C1ex + C2e-x + |xex-2cosx, G 和C2为任意常数.
该微分方程对应齐次方程的特征方程为r2-l = 0,解得"=1/ 2=-1为两个互异实根, 
故对应齐次方程的通解为Y = Ge" + C2e-x.
因为/a)= e”+4cosx = <(x) + ^(x),利用微分方程解的叠加性，分别求出/与 
y〃-y = 4cosx的特解必*(%) 与%*(x), 则必*(x)  + %*(%) 即为所求微分方程的特解.
又因为水x) = e"且1是特征方程的单根，所以设特解必*(x)  = axe*.  y^(x) = 4cosx ,且 
a±2i = ±i不是特征方程的根，所以设特解y*=bcosx  + csinx,从而原方程的特解形式为
y*(x) =必*(工) +%*( )  =axex + bcosx + csinx ,
代入原方程并整理得2(ae” -6cosx-csinx) = ex +4cosx ,比较两端的系数，得〃 =
6 = -2,c = 0,从而原方程的一个特解为y*= ；xe“-2cosx.因此，原方程的通解为
y = y +Y =€^ + C2q-x +|xex-2cosx , G 和 c2 为任意常数.
宋浩翁命
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