概要信息：

Contents 
k目录A
第1章函数与极限
第一节函数...............................................................................1
第二节数列的极限........................................................................ 3
第三节函数的极限........................................................................4
第四节无穷小与无穷大................................................................... 6
第五节 极限的运算法则................................................................... 8
第六节极限存在准则及两个重要极限..................................................... 10
第七节无穷小的比较.....................................................................13
第八节 函数的连续性与间断点........................................................... 15
第九节连续函数的运算与初等函数的连续性.............................................. 18
第十节 闭区间上连续函数的性质......................................................... 18
第2章 导数与微分
第一节导数的基本概念.................................................................. 20
第二节 函数的求导法则..................................................................24
第三节高阶导数......................................................................... 26
第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数..........................................28
第五节函数的微分.......................................................................30
第3章 微分中值定理与导数的应用
第一节中值定理 35
2 目录
第二节洛必达法则....................................................................... 39
第三节泰勒公式......................................................................... 42
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性.....................................................44
第五节函数的极值和最值................................................................ 47
第六节函数图像的描绘.................................................................. 50
第七节曲率..............................................................................52
第4章不定积分
第一节不定积分的概念与性质............................................................54
第二节 换元积分法.................. i­ .....................................................................................................................................................................................................................56
第三节 分部积分法...................................................................... 61
第四节有理函数的积分.................................................................. 63
第5章定积分
第一节 定积分的概念与性质..............................................................67
第二节微积分基本公式.................................................................. 69
第三节 定积分的换元积分法和分部积分法................................................ 71
第四节反常积分......................................................................... 74
第6章定积分的应用
第一节定积分在几何学上的应用..........................................................78
第二节定积分在物理学上的应用..........................................................86
目录 3
第7章微分方程
第一节微分方程的基本概念..............................................................88
第二节可分离变量的微分方程........................................................... 89
第三节齐次方程.........................................................................91
第四节一阶线性微分方程................................................................ 92
第五节 可降阶的高阶微分方程........................................................... 93
第六节高阶线性微分方程......................................................... 95
第七节常系数齐次线性微分方程......................................................... 97
第八节常系数非齐次线性微分方程....................................................... 99
答案
第1章函数与极限......................................................................101
第2章导数与微分......................................................................137
第3章 微分中值定理与导数的应用.................................................... 166
第4章不定积分........................................................................ 196
第5章定积分.......................................................................... 226
第6章定积分的应用................................................................... 248
第7章微分方程........................................................................268
第1章
函数与极限
第一节函数
一、函数的概念
定义：设。是非空实数集，对于任一在对应规则/下，有唯一确定 
的实数y与之对应，则因变量歹是自变量％的函数，记作＞=/（%）.
函数的运算：四则运算、复合运算、反函数.
基本初等函数：常数函数、募函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三 
角函数.
初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算或复合运算，用一个式子表 
示的函数.
分段函数：在X的不同取值范围内，/用不同式子表示的一个函数.
E基础题 已知 /(%) = arccos(2x + 1) + log2(3x + 2),求定义域 Df.
基础题
y — 1
已知小）==1，求｛2）,加（切
基础题
已知/q，+2f+i,均（工）,/（/+1）.
*1基础题
4
已知 /(X) = arcsin-,求定义域。「及/(-4),/ 
x
函数/(x) = sin —7rx 丁的值域是( )•
2(1 + % )
(A) [-1,1] (B) [0,1] (C) -K ⑼
基础题
山基础题
X
设 /W = arccos 2x, g(x) = arctan x, h(x) = arccot —,
求/(3]g(T) .〃⑵的直
图J图
2 第1章函数与极限
上有界；否则无界，即对任意给定的正数M,存在飞£。，使得
单调性：对于。上的任意两点西和马，当石 <工2时，/(再)/(/)，则/(%)在。上单减.
奇偶性：。关于原点对称，对任意的有/*(-%)  = -/㈤，则/1)为奇 
函数；若/(f) = /(X),则/(%)为偶函数.
周期性：存在正常数T,对任意的有/a + T) = /(x).
画基础题 下列函数中，是偶函数的是(
(A) /(x) = (x2 +1) sin3 x
).
(B) g(x) = ln(x + \]x2 +a2)
第1章函数与极限 3
(C)心)=
2r - 2”
2r +2、
(D)(p(x) = x2 secx + esc2 x
1日基础题 设/(%)为奇函数，g(x)为偶函数，则下列函数中，是奇函数的是( ).
(A)/[/(x)] (B) /[g(x)] (C) g[/(x)] (D) g[g(x)]
基础题 设/(x) = x3+2x + 3 ,判断/(x)在定义域内的单调性.
的基础题 函数/(%) =」一分别在X £ (2,3)与X £ (3, +00)内是否有界? 
x-2
求函数/(x) = 2 + cos2(2x -1)的周期.
团基础题 设团表示不超过x的最大整数，则/(%) = %-田是(
(A)无界函数
(C)单调函数
(B)周期为1的周期函数
(D)偶函数
第二节数列的极限
一、数列极限的定义
定义1：对于数列｛/｝,当〃―8时，芍无限接近常数a ,贝！Jlimx〃=a.n—>co
定义2：数列｛/｝ , a为常数,对于任意给定的£>0,存在正整数N,使得 
当 〃 > N时，恒有\xn-a\<£ ,贝!j lim= a.
77—>00
定义1是描述性定义，用于观察极限；定义2又称N”定义， 
侧重于证明极限及相关性质.
的极限值，并证明.
叵
|国基础题
唯一性：若limx〃=a,则a是唯一的.
W—>00
有界性：若lim 4=。，则, ｝有界.
4 第1章函数与极限
保号性：若limx〃=aM>0(a<0),则存在正整数N,当〃〉N时，有 
00
：：%>0(当<0)・
若limx〃 =a ,从某一项起，有< 
W->00
当 eogwo)
或 ，则 aNO(aWO).
% > 0 (Z < 0)
数列收敛的充要条件：lim当=q o lim x2n = lim x2n+i = a .
H—>00 >00 W—>00
I国基础题 判断下列极限是否存在？若存在，求出极限值.
1 1 1 1 1 1 1 1
-2,2?~4,4?"6?8?~8，16?，"
Z7 4-1
国基础题 已知=< n + 2 
1,
,〃为偶数
,求 hmx〃.
〃为奇数
囹基础题 已知limx“ =1,求数列否,%,%，%，…U〃，…的极限( )•
W—>00 W—>00
(A)-l (B)l (C)0 (D)不存在
团中等题 下列4个命题中正确的是(
①若limx〃=q,则| = |a|.
W—>00 w—>00
③若limx“ = a , 则limx3w+1 = a .
).
②若| = |a|,则limx〃=a.
>00
④若limx〃=Q,贝！Jlim' = L.
〃一>8
(A)①② (B)①③ (C)①③④
is xn a
(D)③④
〃一>8 W—>00
〃一>8
图中等题 证明数列 sin与的极限不存在.
第三节函数的极限
一、函数极限的定义
磴
费
对于函数> = /(%),有如下定义.
定义1：当Xfoo时，/(X)无限接近于常数/,则lim/(x) = 4,否则
X—>00
lim /(%)不存在或发散.
口 '; X—>00
定义2：对于任意给定的£>0,存在X>0,当|x|>X时，恒有"(x) —4|<£,
* * *贝(J lim f(X)= A .
X->00
定义3：当x f /时，/(%)无限接近于常数4 ,则lim/(x) = 4 ,否则lim/(x)
不存在或发散.
第1章函数与极限 5
定义4：对于任意给定的£>0,存在b>0,当0<|x-时，恒有 
|/(x)- A\X0- X->X0+
充要
lim f(x) = A 七> lim f (x) = lim f(x) = A .
X—>00 、/ X->-00 X->+00
国基础题
1 — 4r2
利用函数极限的定义，证明lim-± = -2.
3 2x-l
2
|的基础题 考察下列函数在x f -8, X f +00的变化趋势，并^断lim /(x)是否存在.
X-»oo
(1) /W = e2x-1 (2) /(x) = arccot(l-x)
团基础题 考察函数/(%)=
存在，求极限值.
(x + l)smx, x<0在分段点处的极限是否存在.若 
1-cosx, x 0
[32]基础题 已知/(%)=
ln(l - x), x<\
1 ，求 lim f(x), lim/(x),lim /(x), lim f(x).
― . X 6] xTl xf ° x->2 x->oo
J2x + 1'
函基础题 已知函数〉=/(X)的图像如下:
()1
-1 O
-1(
2
X
图1-1
求 lim f (x), lim f (x), lim f (x), lim f (x), lim f (x), lim f(x), lim f (x). 
x->-l X->0 Xf 1 X->2 X->-00 XT+OO X->00
二、函数极限的性质
唯一性:若lim f(x) = A ,则■必唯一.
XfXo
。 a — 4 纨 小 疝 庚 撷 府 血 & 时。 出 血 6 m 的
6 第1章函数与极限
局部有界性：若lim /(%) = A ,则在点飞的某去心邻域内，/(x)有界.
XfXo
局部保号性：若lim /(%) = /,且4 > 0 (/ < 0),则在点x0的某去心邻域内, 
XfXo
有/(x)>0 (/(%)< 0).
7(x)^0(/(x)^0)
或 ，则/20G4W0).
/«>0(/(x)<0)
L►由此得不出4 > 0 (4 < 0).
若lim /(%) = /,且在x0的去心邻域内<
海因定理：也称“海涅定理”.lim/(x) = 4的充要条件是对任意的{%},
limx„ =x0(xn ^x0),都有 lim f(xn) = A , BP lim f(xn) = lim /(x) = A .
00 nT9 〃f0° XTXo
评注J
一海因定理的主要作用：一是将数列的极限归结为函数的极限；二是用 
于证明函数的极限不存在.
已知lim四 =-1,则下列选项正确的是( ).I届］基础题
Xfl X
(A)在x = 1的任一去心邻域内，都有/(%) < 0
(B)在x = 1的某个去心邻域内，有/(%)< 0
(C)在x = 1的某个去心邻域内,有/(x) W 0
(D)在％ = 1的任一去心邻域内，/(%)有界
回基础题 设lim f (x) = A, lim g(x) = B,下列选项正确的是( 
x->x0 x—>x0
).
(A)若/(x)00
第四节无穷小与无穷大
一、无穷小与无穷大的定义
定义1：若limy = 0,则当xf与时，y为无穷小.
第1章函数与极限 7
即“以零为极限的变量为无穷小”.
定义2：若lim> = 8,则当％ 一%时，y为无穷大. 
XIX。
即“|用无限大的变量为无穷大”.
^上述定义中"xf可换成"％—>8或〃.8
无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，若/(%)为无穷大，则 
工为无穷小；若f(x)为非零的无穷小，则」—为无穷大.
/(%) /(X)
基础题
证明：当1 ―0时，> = 2xsin,是无穷小. 
x
函数y = xcosx在(-Q0,+oo)内是否无界？当x f+8时，y是否无
穷大?
晅基础题 函数/1(%) = e"与g(x) = xarctanx在哪个变化过程中是无穷小？在哪个
变化过程中是无穷大?
国基础题
0 Y _
对于函数/(%) =---- 与g(x) = ln(x +1),下列结论错误的是(
x-2
).
(A)当x-0时，“X)与g(x)都是无穷小
(B)当x-2时，“X)是无穷大，g(x)局部有界
(C)当％——1+时,/(%)局部有界，g(x)是无穷大
(D)当x f +8时，f (x)与g(x)都是无穷大
的基础题 设数列任〃｝, ｛匕｝满足lim“〃 = 0 ,则下列结论正确的是(
W—>00
).
(A)若x〃发散，则约必收敛 (B)若当无界，则”必有界
(C)若互有界，则匕必为无穷小
(D)若工为无穷小，则为必为无穷小
|展］基础题|
二、无穷小与无穷大的性质
(1 )有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
(2)有限个无穷小的乘积仍是无穷小.
(3)有界变量与无穷小的乘积是无穷小.
(4)有限个无穷大的乘积仍是无穷大.
8 第1章函数与极限
(5 )有界变量与无穷大的代数和是无穷大.
(6)非零常数(或极限存在且非零)与无穷大的乘积是无穷大.
(7)极限与无穷小的关系：
• « « • » 充要
lim f(x) = A f(x) = A +a (其中 lima = 0).
•  «  » X->XO x->x0* *
国基础题 求下列极限.
. / 31 s、r arctan 12x +1
(1) hmsinx 2 +cos— (2) lim------ !--------
Xf 0 I X J xf 8 2x + l
圈基础题 在下列给定的变化过程中，是无穷小的为( ).
(B) 2： : G - 2 sin x)(x f 8)
小、sm2x +
(C) —^0 - 0+) 
x\1x
明中等题 设｛%｝，｛%｝，｛2〃｝均为非负舸1」，且limx〃 =o, limy〃 =1, limz〃 =oo , 
w->oo W->00 W->00
).
则必
(A) / (X f+8)
Vx3 +1
(D) ln(l + ')(xf 0) 
x
有(
(A)对任意的％都有为
(C)皿^马不存在
(B)对任意的〃，都有/00
EB中等题 已知 lim l + 2x + =4 , 求 lim /(x).
x->0
第五节极限的运算法则
一、四则运算法则
法则：设lim/(x) = 41img(x) = 5,其中均为常数，则 
X-^Xq x->x0
lim[/(x)±g(x)] = lim f(x)± limg(x) = A±B ; 
x->x0 x->x0 x->x0
lim[/(x) • g(x)] = lim /(x) - lim g(x) = A B ; 
x->x0 x->xQ x->x0
、 lim f(x) A
lim ^^ = ^2------ =々560).
-X。g(x) lim g(x) B
XfXo
再“—……列中的"…
馨 徐 福学唯 力 嵌 白 」 ［薇 磅 磁 卷 薛［脸 •堂 •• @@御 学。•单。
♦ 修 ◎畲■ 赛卷编 国口口 型韬小毒库修 ♦便 蜃整⑦ 津 第嵌晦 警呼吸
修挈口塞*争聿会前畲嘛  •♦畲 0 /怫*  通 ♦口朦。口都等祁他事
第1章函数与极限 9
国基础题 若 lim f (x) = qo, lim g(x) = oo ,则必有( ).
x->x0 x->x0
(A) lim[/(x) + g(x)] = oo
XT%
(C) lim kf3 = s (k 手 0 为常数)
(B) lim[/(x)-g(x)] = 0 
XfXo
(D) lim— -— =0 
^o/(x) + g(x)
电
国中等题
困中等题
x2 _i J_
当％ f _1时，函数/（x）=王」e*+i 的极限是否存在?
x + 1
求 lim(Vx2 + x + 3 -\/x2 -x + 3). 
Xf 8
修
10 第1章函数与极限
::::::二、幕指函数的运算法则
法则：有一幕指函数〃工产酎
若 lim f(x) = A>0, limg(x) = 5 ,其中45均为常数，贝U 
x->x0 x->x0
日餐寿鲁事埠 
/、 lim g(x) 门
lim /(x)g(x) = lim Ax)』 =AB ;
»««•*•  /、 0,当 00, limg(x) = +8 ,贝(J lim/(%产”)=〈 .
⑥率.科 联 . Xf % XTXo Xf Xo 18,当 4 > 1 时
.……卷［评注J
「： ； 的其他情形属于“不定式”，需用到后续内容“洛必达法则”.
I困基础题I 求极限 lim(l + sin2x)ln(tanx).
71 
x->—
4
雨中等题 设/(X)=
/ 2 1、/+1X +XC0SX-1
、2x2 -xsinx , ，g(x) =
<3x + 2\
，则 lim/(x)与 limg(x) 
x—>oo Xf 8
的极限分别为(
(A) 0,0 (B) 0,oo (C) 8,0 (D) oo,oo
第六节极限存在准则及两个重要极限
一、极限存在准则
准则1 (夹逼准则)：设函数〃x),g(x),〃(x)满足以下条件.
(1)当 0<| iolvb (或 |x|>X)时，有 g(x)W/(x)W%a).
(2) lim g(x) = lim h(x) = A .
XTXo 
(XToo)
x->xo 
(xf 8)
则 lim f(x) = A.
XfXo 
(18)
第1章函数与极限 11
1评注J ……
上述夹逼准则对于数列也成立.当〃足够大时，若"/z〃，且
limy〃 = limz〃 =A,则 limx〃 =A. n->oo n->oo n->oo
电密稗。
准则2：单调有界数列必有极限. ：：：：
I国基础题
3〃
求极限lim—sin—. 
n
基础题 证明lim
W->00
-- ---------------- 1-------------------  
n2 +2n + l n +2n +2
------ 1_
n2 +2n + n
1 2 n 1
2
津
曲
国中等题 求 lim (cos Vx + 1 - cosVx).
Xf+00
1 4、
困中等题 设当+1 ,其中% >0,判断数列&〃｝是否收敛，若收敛,
求 limxw.
〃一>8
国综合题 设数列｛%｝满足：%! >0, x„eXw+1 = eXn -1 (w = 1,2,-- •),证明｛xj 收敛,
并求limxw.
W->00
综合题 设a = [ xn\]l-x2dx (w = 0,1,2,-- •). 
Jo
(1)证明：数列｛/｝单调递减,且q="44_2(〃 = 2,3,…)；(2)求lim2.
二、两个重要极限 ::::
第一重要极限：lim型史=1.典式：lim 当维=1(其中，夕(工)工0).
I。X 7(x)f0 (P(X)
(---------------- x --------------- - « * * *
1 评注J ® * * *
第一重要极限是求一类商的极限lim42 , /(x) f 0, g(x) f 0不符合 
g(x)
第五节中求极限的运算法则，属于“9”型不定式.
° 擒小翩二
基础题
设 /(%)=吧处,求：(1) lim/(x) ; (2)lim/(x). 
5x x->0 x->00
国基础题 求极限lim”四
XTO 4x
密基础题
⑴映
求下列极限.
arcsin 2x 小、「arctan x-----------  (2) lim----------
x 2xX
12 第1章函数与极限
第二重要极限：1向11 + 4 =e ; lim| 1 + -| =e ; lim(l + /)z = e.
n j XT0O< X J -。
典式：(1 +无穷小)无穷大，且无穷小X无穷大=1,则极限=e.
第二重要极限是求一类氟指函数的极限lim/(x)g(x) , /(x) - 1,
g(x)f 8,属于“f0”型不定式，不属于第五节第指函数求极限的运算法则.
津
第1章函数与极限 13
第七节无穷小的比较
一、无穷小的阶
定义：设lima = lim，= O且a wO （a,/是函数），若
0,称力是较a的高阶无穷小，记作上纱；
P 00,称尸是较a的低阶无穷小； 
hm—= <
a cwO,称6与a是同阶无穷小；
1,称尸与a是等价无穷小，记作尸〜a （或a〜6）.
若lim《 = cwO （左>0）,称仅是关于。的左阶无穷小，或尸与〃是同阶无 
a
穷小.
二、等价无穷小代换定理
若a 〜%,/?〜4 , Hlim— = A ,则 lim2 = lim2■ = / . 
CCy CL CLy
评注J
——U等价无穷小代换适用于分子或分母中的因式替换，加减之间满足一定 
的条件也能代换，需慎用.
常用的等价无穷小：当Xf0时，有
1 2
sinx〜x; tanx〜％; arcsinx-x ; arctanx-x ; 1-cosx—x ; ln(l + x) - x ;2 埠/揖龄
1 e e w a
ex -1 ~ x; "-1 〜x]na(a > 0,a w 1) ; Jl + x -1---- x ； (l + x)a -1 〜ax (a w 0);
2 * * * *] e e e e
Vl + x - Vl-x - x ; x-sinx —x3.
6 
静》力 他
当Xf 0+时，下列无穷小中与4不等价的是( ).
(A) -1 (B) ln(l + Vx) (C) 1- cos yfx (D) arctan Vx
甯基础题
14 第1章函数与极限
卷
困基础题 当x - 0时，下列4个无穷小中比其他3个更高阶的无穷小是( ).
(A) arctan 2x
(C) l-cos2x
(B)Vi+^-i
(D) tanx-sinx
I国基础题 求 lim x tan —.
XT8 X -X + 1
寺
函中等题
(A)2
国中等题
图中等题
国中等题
国中等题
当xf 0时，excosx2
(B)3
证明：当1-0时,
证明：当xf 0时,
当％ f 8时,
-d与x"是同阶无穷小，贝”=( ).
(C)4 (D)5
tanx-x--x3 
3
(2’ - 1) arctan 2x = o(x2).
1 1
ax3 + bx2 + c 2x2 +1 '
求a,b,c的值.
当 x . 0 时，(Jl + j? -l)ln(l + d)是 %(arcsinx)k 的高阶无穷小，求 k
的取值范围.
I国综合题
阳综合题
ab 工 0 ,
I国综合题
因综合题
求 lim) 一 ta” 幻。一寸。,、) 
go (2x + l)sin5 x
当xf 0时，/(工)=工-5m0工与8(%) =，111(1_时 是等价无穷小，且 
求的值.
In 1 +
已知lim—— 
xtO ax
/(X) 
sit? x
—1
=4(其中，求理§
已知lim
x->0
sin 6x + jrf (x) =。，求曾寸
综合题
■【而综合题
4sinx + 3x2 cos^-
求极限lim---------------------仁
xf° (1 + cos x)ln(l + 2x)
求极限lim叵亟二空叵 
go xln(l + x)-x
第1章函数与极限 15
综合题
x2 _ 2-2 cos x 
求极限limj^—  
xt° x sinx
I哂综合题 求lim 
x->0
ln(sin2x + e2x) -2x 
ln(x2 +e3x)-3x
综合题 求 limx
X->00
SEI综合题 当％ f o+时，下列无穷小量中最高阶的是( ).
(A)£(J - 1)由 (B)£ln(l + #)d/ (C) £mxsinr2d/ (D)[…dt
综合题
1 .L Y 1
已知/(%) =--------,记a = lim/(x).
sin x x xf°
⑴求。的值；
⑵当0时，/(%)-a与/是同阶无穷小，求常数上的值.
综合题
确定常数〃，瓦C的值,使!啃需 
Jb t
第八节 函数的连续性与间断点
一、函数的连续性 ………
等价 t ,
定义：若 lim Ay=lim"(%+Ar) —/(/)］ = 0o lim/(%) = /(/),则/(%)在 
Ar->0 Ar->0 x->x0
点x = /处连续.若/(X)在区间/上的每一点都连续，则/(X)在区间/上连续.
------------------------ 噌律哪建咏停
［评注J ………
/可以是开区间，也可以是闭区间，若/=［。,W，则需在x = a处右连
续，在 x = b 处左连续,即 lim f(x) = /(a), lim /(x) = f(b).
xla "
若lim /(x) = /(x0),则/(x)在点/处左连续；
XT第
若lim /(x) = /(x0),则/(x)在点x0处右连续・
% "充要
f (x)在点Xo处连续既左连续又右连续，即lim f(x) = lim f(x) = f(x0).
XTXQ XT讲 锣卷**
基础题
国基础题
已知/(x)在点x = l处连续，且lin/aT = 4 (常数)，求/(1).
3 X-1
证明/(%) = 2%2一%+ 1在(一8,+8)内连续.
16 第1章函数与极限
e2x-l
已知/(%) = < sin4%在(-8,+8)内连续,求上的值.晒基础题
k, x = 0
2(丁+1)»>0 
tanx
题基础题 |判断/(x)= 2, x = 0在分段点x = 0处的连续性.
2_
ln(l-2x)x, x< 0
2 1
|讨论/(%)= GT) 3口，工<1的连续性.
叵基础题
(x + l)lnx,
|给/(0)补充定义，使得f(x) = " + ' 在点-=0处连续
xarcsinx
pH2]
恒中等题
内是否连续.
已知 f (x) = lim
W->00
皿* 2a > 0).(1)求人乃；(2)判断/(%)在定义域 
n
已知小)连续’且吃亭嚅詈求〃。)-
二、函数的间断点及其分类
m中等题
定义：函数/(X)的不连续点称为/(X)的间断点.
若X = %是/(X)的间断点，则满足下列三个条件之一：
(1) /(%)在点与 处没有定义；(2) lim/(%)不存在；(3) lim/(x)^/(x0).
x-»x0 x—>xQ
间断点分类：
跳跃间断点：lim .lim /(x).
x—>Xo X—>Xo
第一类间断点 —  左、右极限都存在 可去间断点Jim /(%)存在w /(%)XT%。
期(%)不存在.
无穷间断点:lim /(x) = 8或 lim /(x) = oo XTXo X^Xo
第二类间断点 —  左或右极限不存在 或lim /(%) = 00.
XT君
振荡间断点：lim /(%)振荡发散.
第1章函数与极限 17
115]基础题
已知/(%) = —] T 一 ,求/(x)的间断点，并判断其类型. 
x -3x + 2
,则关于/(%)的间断点的正确选项是(
x-1 — 1
(A)% = =1都是第一类间断点
(B)x = O,x = l都是第二类间断点
(C)x = O是第一类间断点，x = l是第二类间断点
(D)% = 0是无穷间断点，％ = 1是跳跃间断点
x2 sin —
_____ 2x_
2X-1 5
x< 0
已知点 x = 0是/(%) = b, % = 0的可去间断点，求。和6的值.
BE中等题
点的类型.
已知小)小占
,求/(%)的连续区间；若有间断点，指出间断
画综合题 (1)证明：lim击：+域+..• + a： = max{«z } («z. > 0,i = 1,2,…，加); 
w—>oo y IWWm
(2)利用(1)的结论，求f(x) = lim (x^O),并讨论其连续性.
I题中等题| 设/(x) = 1—
。+蚂92》＞。 
x
连续？。为何值时，x = 0为/(%)的可去间断点.
ln(l + ar3) 
x-arcsinx5
x<0
曲综合题fcfeiWM 6, x = 0,问。为何值时，/(%)在点％ = 0处<
+ / — ax _ 1
,x>0
xtanf —J
121J综合题 设/(%) = 1加 ,求f(x)的间断点并指出其类型.
18 第1章函数与极限
第九节连续函数的运算与初等函数的连续性
法则：连续函数的和、差、积、商(分母非零)仍为连续函数；连续函数经 
过复合运算后仍为连续函数；连续函数的反函数仍是连续函数.
结论：基本初等函数在其定义域内连续；初等函数在其定义区间内连续.
[122]基础题
已知尊悬'求理/(力
基础题 已知了(%)在(-8,+8)内连续，且/(x)wO,夕(X)在(-8,+00)内有定 
义，且有间断点，则下列陈述中正确的是( ).
(A)必有间断点 (B) 必有间断点
(C)(p\x)必有间断点 (D)驾2必有间断点
第十节闭区间上连续函数的性质
有界性：若/(幻在口，切上连续，则/⑴在切上有界.
最值性：若/(X)在值切上连续，则/(X)在［见切上有最小值和最大值.
介值性：若/(X)在3M上连续，冽,M分别是/(X)在口，切上的最小值与最 
大值，贝I对介于冽与M之间的任意常数至少存在一点六3/), 
使得=
若常数COW CW"),则至少存在一点J £ ［a,勾，使得/C) = C.
零点定理：若"%)在口，句上连续，且/3>/(6)<0,则至少存在一点 
使得/C) = 0.
pm
一•"V 若/(x)在开区间®b)内连续，且lim/(x)与lim /㈤都存在,则 
x-»a+ x->b~
/(x)在(见b)内有界.
国基础题
基础题
眄中等题
证明方程/ _ 9x - 2 = 0恰有3个实根.
适 证明方程X=；35%在(-8,+8)内存在唯一实根.
设函数/(X)在［0,1］上连续，且/(0) = /(1),证明在［0,1)内至少存在
一点自，使得
第1章函数与极限 19
中等题 已知/⑸在&+00）上连续，且lim/（x）存在，证明/（%）在［见+8）上
X->+00
有界.
El中等题 已知/(%)在［a, 6］上连续，a 0
〃24)一如)
x2
|EE@中等题 设/(0) = 0 ,则/(%)在点x = 0处可导的一个充分条件为( ).
(A) 1血殁匕&存在
2。 2h
(C) lim〃P 存在
20%3
(B) lim/(1_/(_〃)存在
2。 2h
(D) lim^^存在
hT° h
烟中等题I 设函数/(X)在点 X = 1处可导，且/⑴=0,41) = 2,求极限
1. ln(l + sin 3x) • f (cos x) 
lim-------------- --------------
Xf。 X
二、单侧导数
定义：左导数£(%) = lim /(/+­ )-/色2=丽 /(%)-/(泡).
Ax^o- Ax Xf X。 X — Xq
右导数£(/): lim /(/+.)->/)= 1而
A^->0+ A% xf x()+ X — Xq
定理：函数/(X)在点与处可导的充要条件是左导数£(%)和右导数月(%)都 
存在且相等.
四基础题 下列函数中，在点x = 0处可导的是( ).
(A) f(x) = \x\ (B) /(%) =五 ©/(%) = / (D) f(x) = xlnx
22 第2章导数与微分
[E目基础题
设函数小)=辞：：二求小)在点…处的左导数£⑼和 
右导数4(0)，由此讨论/(X)在点x = 0处是否可导.若可导，求出/'(0).
EE3中等题
设函数/(%)=卜(1+口， 
【。，
(A)左导数存在，右导数不存在
(C)左、右导数都不存在
则/⑴在点x = 0处( ).
x = 0
(B)右导数存在，左导数不存在
(D)左、右导数都存在
1两基础题I 设函数/。)=，,一],讨论函数/(%)在点％ = 1处是否可导？若可
导，求出了'⑴.
函数/(%) = (>3 -1)卜-1| ,讨论函数/(%)在点1 = 1处是否可导？若可
导，求出厂(1).
|血中等题 设函数/(1)=卜-1|夕(X),其中°(x)在点x = l处连续，贝!⑴=0是
/(X)在X = 1处可导的( ).
(A)充分必要条件
(C)必要非充分条件
画中等题
(A)0
(B)充分非必要条件
(D)既非充分又非必要条件
函数/(%) = (%2 + X — 2) I d — 4% |不可导点的个数为(
(B)l (Q2
).
(D)3
KE3基础题|
：三、导数的几何意义
导数的几何意义：导数/'(%)在几何上表示曲线y = /(x)在点〃(%,%)处的 
一切线的斜率.
曲线在点(%,比)处的切线方程为歹-% = /'(x0)(x-x0).
曲线在点(飞,然)处的法线方程为y - % = (X - %) (/'(%)。0).
J \XQ)
特别地：当/'(%) = 0时，切线方程为y 二%，法线方程为x = %；
当/'(%) = 8时，切线方程为％ = 法线方程为夕二%・
|151|基础题 求曲线y = 2x + cosx在点(0,1)处的切线方程和法线方程.
|152]基础题 已知在横坐标％ = /处，曲线/&) = /与g(x) = x3的切线互相垂直,
第2章 导数与微分 23
求与的值.
[153|基础题 设直线£与直线2x —6y + l = 0垂直，且与曲线、=丁+3/—5相切,
求直线上的方程.
|回基础题 证明双曲线孙=1上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面
积恒为2.
|j55]中等题 问a, b为何值时，曲线4：歹=1 + lnx与抛物线4：V = — +办+ 6在
工=1处有公共切线.
嗝中等题 已知函数/㈤是可导的偶函数，且lim---------- ---------= -2,求曲线
/(3 + x)-/(3)
y = f(x)在点(-3J(-3))处的切线斜率h
四、可导与连续的关系
定理：若函数y = /(%)在点/处可导，则/(%)在点/处必连续.
推论：若函数y = /(x)在点/处不连续，则/(X)在点遍处不可导.
连续是可导的必要条件，但不是充分条件，即可导一定连续，但连续不一定 
可导.
基础题
面基础题
可导性.
I画基础题
可导性.
嗝基础题
可导性.
设函数/(%)在点％ = 2处可导,且lim/(x) = 5，求/(2). 
x->2
设函数/(x) =/c°S3' 讨论/(X)在点x = 0处的连续性与
0, x = 0
设函数/(x) = M”' 讨论了(%)在点工=0处的连续性与
[x + x, x < 0
设函数/(%) =卜：+ln*'  ,讨论了(%)在点1 = 1处的连续性与
lx Inx, 01 ,. 小一r口
2 / 在点X = 1处可导.
ax +b, x M1
码中等题 设函数/(%) = <
在1 = 0处( ).
(A)极限不存在
(C)连续但不可导
陈(1 + 2/)%>0
x2 ' ，其中9(%)是有界函数，则/(%)
X2^7(X), xWO
(B)极限存在但不连续
(D)可导
第二节 函数的求导法则
、函数的和、差、 积、商的求导法则
敏
翰
定理：如果函数〃(x),v(x)都可导，那么它们的和、差、积、商(除分母为零 
的点)也可导，且
(1) [〃(%) 土 v(x)[ = ± M(x);
⑵[〃(x)v(x)[ =/(x)v(x) + 〃(x)M(x)；
w(x) 
v(x)
幽"3宜例工”0) 
V(X)
特别地：©/(%)]' = c〃'(x)(。为常数),
v(x)
M(x) 
v2(x)
和、差、 积的求导法则可以推广到有限个函数的情形.
设 /(x) = 3x3 +2ex-51nx + sinl ,求 f\x)和 f(I).
设 /(x) = xcosx + 3x2,求 f\x)，/9)"'(兀).
设V = e”(cosx-2sinx),求y'.
^y = (l + x2)arctanx-xlnx , 求;/.
y[x + xex - 3x3 sin x
、几 sinx [二, 
设歹=--------,求V .
X - cos X
⑶
设y = ,求
第2章 导数与微分 25
求八%).
，求/'(%).
静 e
二、反函数的求导法则
定理：设函数＞=/(X)是单调的连续函数，若y=/a)可导且ra)wo,则 
其反函数x = °3)也可导，且
(p'(y)=-- 或半=,
f(x) dy 砂
dx
即两个互为反函数的函数，它们的导数互为倒数.
1173)基础题 设可导函数歹=/(%)的反函数为工=夕3),并且有/(1) = 2,/(2) = 3,
八1) = 4,八2) = 5,求"(2).
|回基础题 设y = /a)= 3/+2x + l ,其反函数为x = 9(y),求,(1).
三、复合函数的求导法则
定理：若函数) = /(〃),〃 = ?(x)都可导，则复合函数y = /(9(%))可导，且有 
链式法则
孚=孚孚=/,Q). -，(%)= ff[(p(x)] -(pr(x).
ax du ax
链式法则可以推广到多个函数复合的情形.
远基础题 设J = (1一% + 2%3)4 ，求学，孚
口X=0改Al
y Si Ei
因变量 … 中间变量 …自变量
26 第2章 导数与微分
阚中等题 已知函数/(%)可导，且八 1) = -2,设g(x) = /(2d—3x),求g'(-1).
第三节高阶导数
:高阶导数
定义：函数7 = /(%)的(〃-1)阶导数的导数称为/(%)的〃阶导数，即 
翳=/=1G)=翳=［尸)(时.
由定义知，求高阶导数就是多次求导数.
第2章导数与微分 27
莱布尼茨公式：如果函数m(x),v(x)有〃阶导数，则有
(C) (n-x)e-x (D) (x-n)e-x
设函数 > =(/ +1)5, +1)2 求严和严).|眄基础题
设函数 /(x) = sin4 x + cos4 x|码中等题 求 /(x)的 n(n > 1)阶导数 /(w)(x) .
髭口中等题 设函数 /(x) = ln(2- 3x),则 /(x)的 n 阶导数 f®(x)=(
(A)
Tn\ 
(2 — 3%)〃
3〃(〃-l)! © 一"J
(2-3x)w I ； (2-3x)w (D)
_3〃(1)!
(2-3x)w
国中等题 已知函数/(x)在x = 1的某邻域内可导，且f\x) = [/(x)]2,/(l) = 2 ,
求/汽1).
28 第2章 导数与微分
第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
一、隐函数的导数
定义：由方程尸(x,y) = O所确定的函数y = y(x)称为隐函数，而形如> =/0) 
的函数称为显函数.
隐函数求导的方法和步骤：设方程尸a/)=o,求学.
dx
第1步：方程尸(范四=0两边同时对x求导，建立了的方程.
第2步：从上面得到的方程中解出了.
已知曲线y = / +方+ 6与2> =孙3 _1在点处有公共切线，求常
I前中等题
数,
设函数y = y(x)是由方程ln(x2 +j/2) = 2arctan—+ —+ ln2确定的隐函
喑 “2
I圆日中等题 已知函数^ = y(x)由方程U +初= e + l确定，求y(l),y"(l).
|瓯i中等题
已知曲线y = y(x)过点。,-1)且满足x3 +y3 + 1%] =1 ,则
以也1中等题
数a和6的值.
疆
敏
第2章 导数与微分 29
二、对数求导法
对数求导法的步骤
第1步：函数y = /(x)的两边同时取自然对数，得到隐函数lny = ln/a).
第2步：利用隐函数求导方法，求出导数
对数求导法常用于多因子乘募求导，或募指函数求导.
三、由参数方程所确定的函数的导数
参数方程确定的函数的求导公式：设v = y(x)是由参数方程二号?确定的
函数，若x = =犷⑺都可导，且d«)wO,则〉对X的导数为
♦
，二由=一'«)
dx dx (p\t) 
At
I皿基础题
求下列参数方程所确定的函数的导数芈.
30 第2章 导数与微分
2t
1 + z2
2t2
1 -2y =
x =
⑴V
第五节函数的微分
函数的微分
定义：若〉=/(%)的增量 Ay = /(x + Ax) - f (x)可表示为 Ay = AAx + o(Ax), 
贝!)称＞ =/(x)可微，而Ay的线性主部4Ax称为〉=/(%)的微分，即
dy = d/*(x)  = AAx .
定理：)=/(%)可微的充要条件是＞=/(、)可导，且4=/6)，即
dy = 7'(x)Ax = /z(x)dx .
[223]基础题 设函数y = /(x) = x3 + x ,计算x = 3处Ar分别为0.1和0.01时的微分
砂及增量少.
已知函数＞ =/(X)在任意点X处的增量Ay =
lim —= 0 ,求/'(2). 
Ax
|回基础题 且
第2章导数与微分 31
|225]基础题 设函数/(x)可导，且= 则当AxfO时，/(x)在点％处的
微分砂是Ax的( ).
(A)高阶的无穷小 (B)低阶的无穷小
(C)等价的无穷小 (D)同阶但非等价的无穷小
|圆基础题| 求下列函数的微分.
(1) y =
sin2 — 
e % (2) y = xarcsin — + a/4-x2
\227\基础题 求下列函数在给定点处的微分.
(1) y = j2 + sinx ,求吼二。. (2)y = ln(l + 23),求如仁.
设函数> = 由方程2〉+ 5出(工+ >0 = 0确定，求微分4y.
设歹= y(x)是由方程e' +孙-e = O确定的函数，求微分刎7.
阿中等题
cosx-l
设函数/(x) = 1 X
0,
x w 0
,求/(x)在x = 0处的微分.
x = 0
设y = (l + e")x,则微分4y=( ).
(A) (l + ex)x| ln(l + ex) + ^-|dx (B) (l + ex)x\\n(l + ex) + -^\dx
I l + exJ I 1 + e )
( \ ( XQx \
(C) (l + ex)x ln(l + ex) + ^—dx (D) |^ln(l + ex) + ^-7 dx
中等题
|232底蒯1
(1) d(
在下列括号内填入适当的函数，使等式成立.
)=x2dx (2) d( ) = cos 3xdx
(3) d(
1 QX
)-1 * (4)d( )- dx
xinx 1 + e
综合提高题
综合题 设函数/(x)在点x = 0的某邻域内有定义，且|/(x)| W x2 ,则/(%)在
点％ = 0处( ).
(A)不一定连续
(C)可导，且/'(0)=0
(B)连续但不一定可导 
(D)可导，且八O)wO
32 第2章导数与微分
I回综合题 求下列函数在给定点处的导数.
y2 _ 1 ?
(1) /(x) = 3% + - arctan - ,求 /'(0).
x +1 1+x
(2) /(x) = x(x -l)(x 一 2)…(x - 99)(x -100),求 /r(100).
小 (x3+1)737+1
⑶广7+四
，求半• 
OX X=1
综合题 已知函数/•(%)可导，且当力―0时，/(/+3〃)-3/(/-〃)是力的等
价无穷小量，求/'('0).
I座日综合题 设函数/(%)在点x = 0处连续可导，且/(0) = 1,/'(0) = 4,则
lim[/(sinx)p =( ).
(A)l (B) e
1
(C) 小 (D) e2
[237\综合题
设曲线,〃加上
处的切线与x轴的交点为(a, 0),
求极限lim /(a).
W—>00
座日综合题 设函数小)连续可导,且曾弋产=3,求曲线”小)在点
(2J(2))处的法线方程.
在点［1,；
论为综合题 设函数/(x) = lim-^=,则/(x)在(-8,+ 8)内( ).
…9+ ’〃
(A)处处可导
(C)有两个不可导点
(B)有一个不可导点 
(D)有三个不可导点
|前综合题 设函数/(%)有连续的导函数，且/(1) = 0,尸(1) = 1,若函数
g(x)= <
I西综合题
/(e2^) + ln(l-4x)
'在x = 0处连续，则常数b = 
x = 0
(1)求函数/(x)的解析式;
deg)+3ax + b 
ew(x-1) +1
试解答下列问题.
也
x
设函数/(x)=lim
(2)讨论。和6为何值时，函数/⑴在x = l处可导;
⑶求导函数/'(X).
嚏电启 ♦■雷。蜃窗。曲。心带 健期健 白陶 一0 口稗弹 口弹窗 前 2 口海最 。•小 二番。。小 口留心 /心。 鲁璇后 图检修 ♦-
第2章 导数与微分 33
座且综合题 设函数/(%)可导, y = f (sin 2%) + f (cos2x) 求助虺 
dx dx
Ba综合题
设函数可导，y = /"(l + 3f)],求也. 
ax
期综合题 已知两曲线y = /(x)与y =
尸a)= /2(e"),求 P(0).
3 + lnx
x
在点x = l处的切线相同，设
|鹿目综合题
p/(x) _ 1
设函数/(冗)在点x = 0处二阶可导，且lim---------- = 2 ,求广(0).
XT° 1 — COSX
烟综合题 设函数/(X)可导，y = /(X2),求
lx=0
|纳综合题 已知函数/(%)任意阶可导,H f\x) = e/(x),则/(x)的双〃 >1)阶导
数/(〃)(》)=( ).
(A) e/(x) (B) ew/(x) (C) («-l)!eM/(x) (D)扑!e〃/⑴
地综合题 设函数 /(x) = (x +1)%-，，求 /(%)在 x = -1 处的 n 阶导数 /(W)(-1).
睦回综合题 设工二夕3)是函数歹= x + lnx的反函数，求二阶导数
d2x
旷
|区]综合题 设函数/(%)=<
x3 sin —+ sinx + l, 
x
1,
% w 0
x = 0
(1)讨论/(x)在％ = 0处的连续性与可导性；
⑵求f\x),并讨论f\x)在x = 0处的连续性与可导性;
(3)求一”
画综合题 设函数歹= /(%)由方程ln(x2 +歹)=/歹+ sinx确定，求极限
敏一⑶•
综合题 已知函数/(%)二阶可导，且/'⑴=1,函数y = y{x)由方程
d2z
中一e”+e，=0确定.设函数z = /(e"-sinx),求充
x=0
34 第2章 导数与微分
第3章
微分中值定理与导数的应用
第一节中值定理
一、罗尔定理
’①在口向上连续
定理：若函数歹= /(%)满足,②在(。力)内可导，则在(。,6)内至少存在一点
③/(。) = /(6)
使得了'⑹=0.
几何意义：连续曲线) = /(%)上的弧凝，除端点外处处有不垂直于工轴的切 
线，且两个端点/、5处的纵坐标相等，则在弧右上至少有一条水平切线.
痢基础题
图3-1
以下函数中在指定区间上满足罗尔定理的有( ).
(A) /(x) = |x|,[-l,l]
(C) /(x) = xe-\[0,l]
(B) /(x) = x2-l,[-l,l]
(D)/(x)= -,[-i,i] 
x
砌基础题 验证罗尔定理对函数y = lnsinx在上的正确性. 
6 6
|国|基础题
7?
设函数/(%)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且/(0) = 0,/(1)=［,
试证明方程(1 + x2)f(x) = 1在(0,1)内至少存在一个根.
|痢基础题 设 小, %,…,4〃是满足a0 + — + — H----- 1----- = 0的实数,
2 3 〃 + 1
证明方程
aQ + axx4-a2x2 +.•. + %/ =0在(0,1)内至少有一个根.
36 第3章 微分中值定理与导数的应用
|咽基础题 已知/(x)二阶可导，且lim△包=0J⑴=0 ,证明：在(0,1)内至少
存在一点g ，使得广e)= o.
困］中等题 已知 /(x)在［0,1］上三阶可导,且 /(0) = /(I) = 0 ,设F(x) = x3/(x), 
证明：在(0,1)内存在一点自，使得产〃(9=0 .
设函数/⑴在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且/(O) = 1J(1) = L 证
明：方程/'(x) + 6一" = 0在(0,1)内至少存在一个根.
设函数/(x)在［0,0上连续，在(0,a)内可导，且/⑷=0,证明：存 
在一点 “(0,a),使得/R) + "C) = 0.
醺中等题
礴中等题
断中等题 设函数在［0,1］上连续，在(0,1)内可导,且/⑴=0,证明：至
少存在一点J e (0,1),使得/C)=-美0.
挺］中等题
强综合题
设函数/(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且/(0) = 0,对任意
%£(0,1)有/(工)。0,证明：存在一点4£(0,1),使得《善=(2一？
/© /(T)
设函数“X)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且/(0) = /］£| = 1, 
/⑴=2 ,证明：存在一点4e (0,1),使得/隹)=.
|的综合题 设函数> = /(%)在［0,3］上连续，在(0,3)内可导，M/(0)+ /(1) + 
/(2) = 3,/(3) = 1,证明：必存在点火(0,3),使得八9 = 0.
[271 综合题 设函数y = /(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且/(0) = /⑴=0,
(£| = 1,证明：(1)存在点使得/(〃) = 〃；(2)对任意的实数之,
必存在点占e(0,77)，使得-4/C) -哥=1 ・
综合题 设抛物线y = -x2 + & + C与x轴有两个交点x = a,x = b(a = /(%)上的弧蕊，除端点外处处有不垂直于X轴的切
线，则在弧蕊上至少有一条切线平行于弦所在的直线.
拉格朗日中值公式的几种等价形式：
/(6)-40 = /隹). (b — a) O /⑷=/W；
b-a
f(b) = /(a) + f\a + 0(b - a)]・(b - a)(0 <0<1);
/(% + Ax) = /(x0) + f\xQ + 公).Ax(O < <9 < 1).
两个推论：
(1)若('(%) = 0,Vx£/ ,则/(x)三C;
(2)若 f(x) = gz(x), Vxel,则 f(x) = g(x) + C ( C 为常数).
基础题 以下函数在［-1,1］上满足拉格朗日中值定理的有( ).
(A) /(x) = ln(l + x2)
志
(B) f{x} = \x\
①)/a)=siJ
X
历目基础题 设函数/(x)在［a,切上有定义，在(a,6)内可导，则有( ).
(A)当/(a)/S)vO时,存在欠 Qb),使得/(自)=0
(B)当/(a) = /S)时，存在火(血 使得/隹)=0
(C)存在欠3b),使得f⑸-/⑷=rc)(b-a)
(D)对任意的安(。,6),有 lim［/(x)-/(/=0
|275j基础题 证明：当0<%<兀时，'U>cosx.
X
38 第3章 微分中值定理与导数的应用
设a > b > 0时，证明：
1 a< In — < 
b
ci - b 
~~b~
[277\基础题 设R>0时，证明:
证明：当x>l时 ex > ex.
|日福基础题
X------< ln(l + x) v x.
1 + x
|烟中等题|
|烟基础题 证明：arcsin x + arccos x = — 
2
|瓯中等题 、 2tx
证明：2 arctan x + arcsin-------=九(x 21).
1 + x2
|国］中等题 设/(%)在区间［a,切上连续，在(a,6)内可导，证明：在(a,6)内至少
存在一点4 ,使得吗-叭。)=/⑹+“C). 
b-a
图且综合题 设/(%)在闭区间［0,。］上连续，其导数/G)在开区间(0©内存在且
单调递减,/(0) = 0 .试应用拉格朗日中值定理证明不等式:
/(a + b)W f(a) + f(b),其中常数a和b满足条件OWaWbWa + bWc.
三、柯西中值定理
’①在口,切上连续
定理：若函数y = /a)和y = 尸(x)满足v②在(a,6)上可导 ，则在(a,b)内 
③产'(%) W 0,x £ (a,b)
至少存在一点使得
尸(6)_ 尸(。)一/'(？
说明：若尸(x) = x,则组二f(Q)- = 半 n f⑻—f@= f，化)・(b — a),即 
b-a 1
为拉格朗日中值公式.因此，拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情形.
座目基础题 对于函数/(x) = sinx,尸(x) = l + cosx在区间
理的正确性.
呜上验证柯西中值定
I回基础题 设函数“X)在区间［凡切上可微，0 < 1)④
事聿融口♦•*《(♦ 2! +1)!
不需要余项的精确表达时，亦可写为
小)=/(。)+八。)工+心/+…+3/+依〃) ⑤
2! n\
求函数/(X)的泰勒公式或麦克劳林公式的步骤：
(1)求出函数的各阶导数,八x)"〃(x),…"⑸(X)"("D(X).
(2)求出函数及各阶导数在点飞 (泰勒公式)或点0 (麦克劳林公式)处的函 
数值；
: (3)根据题目要求及公式①、③、④、⑤，写出所求.
I四基础题 求/(x) = e"的带有拉格朗日型和佩亚诺型余项的麦克劳林公式.
二、利用泰勒定理求极限
金翰
窜津■爨力
都。串馨小
第3章 微分中值定理与导数的应用 43
5日基础题 求lim
Xf 0
Jl + x + J1 — x — 2
|函］基础题 设lim
x->0
ln(l + x)-(ax + Z?x2)
=2,则( ). 争 a
(B) a = 0,b = -2
(D) a = l,b = -2
l + -x2 -Vl + x2
求 lim―Z----- 2----------
x-0 (cosx-ex )sinx
cos x - e 2
求 hm------- -------
I。 X
若lim
x-»0
sin 6x + xf (x)
X3
(B)6
=0, 则蚓中
(C) 36
).
(D)8
三、利用泰勒公式进行无穷小的比较
四基础题 设当工->0时, 产一(办2+& + 1)是比/高阶的无穷小，贝IJ ( ).
(A) a = —,b = 1
©J;,修
(B) a = l,b = l 
(D) a = -l,b = l
|3251基础题 试证明当xf 0时,“-2x-班-3x是x的几阶无穷小?
四、利用泰勒定理求高阶导数
基础题 求函数y = ln(l _ 3x)在x = 0处的〃阶导数7⑶(0).
五、利用泰勒定理证明不等式和等式
瓯基础题 证明 e" > 1 + x (x 0).
44 第3章 微分中值定理与导数的应用
国综合题 设函数/⑴ 在闭区间上具有三阶连续导数，且/(-1) = 0,
/(i)=i,r(o)=o,证明：至少存在一点六(-M),使得尸隹)=3.
I翅综合题 设函数/(X)在闭区间［0,1］上二阶可导，且〃0) = /(1) = 0, /(X)在
［0,1］上的最小值等于-1,证明：至少存在一点自£(0,1),使得/C)，8.
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性
一、函数的单调性
单调性的判定：如果函数/(%)在切上连续，在(a,b)内可导，
若八x) > 0 ,则/(%)在［a9b］上单调递增；
若八工)<0,则/(>)在口,切上单调递减.
单调区间的分界点：单调区间的分界点只能出现在函数的不可导点或者导数为 
零的点(叫驻点)处.
函数的单调区间的判定步骤：
(1)确定函数) =/(%)的定义域；
(2)求f\x),找出使f\x) = 0和/(X)不存在的点；
(3)用以上点将定义域分割为不同的小区间，在每个小区间上利用判定定理 
判断函数的单调性.
|瓯基础题
a 2
讨论函数f(x) = x-^的单调性.
[331]基础题
当0<%<色时，证明不等式tanx>x +』/ 
2 3
332
尊敝尊雕 1-------- 1
基础题 当x>0时，证明不等式ln(l +不 > 融黄皿％
1 + x
[333]基础题 设/(X)在(-00,+8)内可导，且对任意的西,工2, 当%时，都有
〃再)>/(/)，贝U ( ).
(A)对任意的x, /z(x) > 0
(C)函数/(f)单调递增
(B)对任意的x, /'(r)W0
(D)函数-”-x)单调递增
回中等题 在区间(一8,+8)内，方程 |%|4 +|刈2 _cosx = 0 ( ).
(A)无实根 (B)有且仅有一个实根
(C)有且仅有两个实根 (D)有无穷多根
第3章 微分中值定理与导数的应用 45
[335) 中等题 当。取( )时，函数/(X)= %3 一3%-。恰好有两个不同的零点.
(A)l (B) 2 (Q3 (D)0
I翘中等题 若3a2—56<0,贝1J方程/ — 2办3+3及 +4c = 0 ( ).
(A)无实根
(C)有三个不同实根
(B)有唯一实根
(D)有五个不同实根
[337]综合题 设/(%)为可导函数，且/"a)>o,则/(%)二这二3在(见句 
x-a
内( ).
(A)有极大值
(C)单调递减
(B)有极小值
(D)单调递增
凹凸性的判定：如果函数/(%)在区间/内二阶导数存在，若
(1)区间/内/〃a)>o,贝1」曲线y=/(X)在区间/上是凹的；
(2)区间/内/〃(x)<0 ,则曲线y = /(%)在区间/上是凸的.
凹凸区间的分界点：凹凸区间的分界点只可能出现在函数的二阶导数不存在 
的点或者二阶导数为零的点处.曲线上凹凸的分界点为拐点.
曲线的凹凸区间及拐点的判定步骤：
(1)确定函数夕=/(%)的定义域；
(2)求/〃(%),找出使/"(%) = 0和广(x)不存在的点(可能的凹凸区间分界点);
(3)用以上点将定义域分割为不同的小区间，在每个小区间上判断曲线的凹 
凸性.
基础题
8 5
讨论曲线/(X)= - - ♦的凹凸区间，并求拐点.
西基础题
判断/(x) = |l + sinx|在区间(兀,1•兀J内的图形( ).
(A)单调递增，凹的 (B)单调递减，凸的
(C)单调递增，凸的 (D)单调递减，凹的
46 第3章微分中值定理与导数的应用
的基础题 证明:
x+y
>e 2 .
设4%) = |%2一3% + 2],求曲线的凹凸区间和拐点.
若点(0,1)是曲线八» =加+加+。的拐点，则( ).
(A) a = l,6 = 0,c为任意值
(C) a)为任意值，c = l
(B)awO的任意值，b = O,c = l
(D) a = l,b = —3, c = 1
若/(一元) = /(%)( -80 ,7"(%) V。,则
在(0,+8)内有(). 
(A)r(x)>o,r(x)o,r(x)>o
⑼ r(x)o
|咽中等题|
|硼口中等题|
0目中等题
综合题
I瓯综合题
当x w y时,
2
设/'(%) = /"(%) = 0/'(%) > 0 ,则下列选项正确的是( ).
(A)八%)是广⑴的极大值
(C) /(%)是/⑴的极小值
(B) /(%)是/(乃的极大值
(D) (%,/(%))是曲线y = 的拐点 
设函数/(X)满足关系/〃(%) + [/'(切2 = X ,且/，⑼=0 ,则下列选项
0
摩
正确的是( ).
(A) /(0)是/(x)的极大值
(B) /(0)是/㈤的极小值
(C) /(0)不是/(x)的极值，(0J(0))也不是曲线y = /(x)的拐点
(D) (0,7(0))是曲线) =f(x)的拐点 
瓯综合题 设函数/(%)在定义域内可导，y = /(x)的图形如图3-3所示，则导数
y = /G)的图像为( ).
*
图3-3
第3章 微分中值定理与导数的应用 47
(A) (B)
(C) (D)
第五节函数的极值和最值
一、函数的极值
极值的定义：设函数/(X)在点X。的某邻域。(%)内有定义，若对Vx G U(x0), 
有fM/(%))，则称/(%)为函数/(X)的极大值(极小值)；点 
/称为了(X)的极大值点(极小值点).函数的极大值与极小值统称为极值，极大 
值点和极小值点统称为极值点.
极值存在的必要条件：若函数/(%)在点%处可导，且在点飞处取得极值, 
则/'(%) = 0 ( %是驻点).
极值存在的充分条件：
(第一充分条件)设/(X)在点/处连续，且在去心邻域0(为1)内可导，且 
八%) = 0或八%)不存在.
(1)当工£(%-①/)时，ff(x) > 0 ;当%£(%0，%+6)时,f'(x) < 0 ,则/(X) 
在X。处取得极大值(左增右减n极大值).
(2)当) £(/-夕/)时,f\x) < 0 ；当］ £(%,% +3)时，f\x) > 0 ,则/(%) 
在X。处取得极小值(左减右增n极小值).
(3)当％ £ U(xQ, 5)时f(x)不变号，则/(%)在Z处没有极值.
(第二充分条件)设函数/(X)在点与处具有二阶导数，且/'(%) = 0 ,
48 第3章 微分中值定理与导数的应用
(1)若广(%) < 0 ,则/(%)是极大值.
(2)若/〃(%) > 0 ,则/(%)是极小值.
⑶若f"(x0) = 0 ,则不能判断了(%)是否为极值.
求极值的步骤：
(1)确定y = /(%)的定义域；
⑵找出可能的极值点，即/6)=0及/6)不存在的点;
(3)根据第一充分条件或第二充分条件进行判断.
丽基础题 设函数) = /(x)在点/处二阶可导，且/(%)是/(、)的极大值，则以
下结论正确的是( ).
(A) /'(%)< 0
(C) /'(%) = 0
(B) /U)>0
(D)八%) = 0且广(%)>0
|画］基础题 求函数/(%) = 2x
2
-
3
 X
3
 - 2 + 1的极值.
基础题 时，函数7 =x 2取得极小值.
(352] 中等题 设函数/(此在定义域(-8,+8)上连续，且其导函数的图像如图3・4
画 当％=
所示，则如下结论正确的是( ).
霞镭
(A)函数/(x)有两个极大值和一个极小值 
(B)函数/(%)有两个极小值和一个极大值 
(C)函数/(%)有三个极大值和一个极小值 
(D)函数/(%)有两个极大值和两个极小值
|353| 中等题 设函数 /(%)对一切 x 满足 xff\x) + 3x[/^)]2 =l-e-x ,若 /'(%) = o
磬餐
(%工0),则( ).
(A) /(%)是函数/(x)的极小值
(B) /(%)是函数/(%)的极大值
(C) (%,/(%))是曲线) = /(%)的拐点
第3章 微分中值定理与导数的应用 49
(D) /(%)不是函数/(%)的极值，(%,/(%))也不是曲线7=/(%)的拐点
|因中等题
(A) x =
设/(%)的导数在x = a处连续，若1而出
XT a X — d
。是函数/(X)的极小值点
则( ).=一1 ,
(B) X = Q是函数/(X)的极大值点
(C) 3/3))是曲线y = /(x)的拐点
(D) x =。不是函数/(%)的极值点，(a J(a))也不是曲线＞ = /(%)的拐点
[355] 中等题
设Hm」(初一牛)=—1
Xf a (x - a)
则在点x = a处( ).
(A) /(x)的导数存在，且f\a) W 0
(C) /(x)取得极小值
(B) /(%)取得极大值
(D) /(%)的导数不存在
综合题 已知函数/(x) = f 5 ,求f(x),并求/(X)的极值.
xex +l,x WO
瓯综合题 设函数y = y(x)是由方程2y3 _ 2y2 + 2xy - -= 1确定的，试求
y = y(X)的驻点，并判断是否为函数的极值点.
综合题 求Q的取值范围，使函数/(%) = / +3^2—qx — 1无极值.
二、求函数的最值
最值的定义：设函数/(%)在区间/内有定义，若对VXE/,有 
/(x)^ /(x0) ( /(X)2/(%)),则称/(%)为函数/(X)在区间/上的最大值(最 
小值)；点X。称为/(X)在区间I上的最大值点(最小值点).函数的最大值与最小 
值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点.
求最值的一般步骤：设函数/(%)在闭区间值口上连续，在(a,6)内可导.
⑴求/(%),找到人＞)在(a,b)内的驻点和不可导点.
(2)计算/(x)在以上驻点及不可导点处的函数值，以及端点处的函数值/(a) 
和/S).
(3)比较以上函数值的大小，求出最大值与最小值.
特别地：(1)连续函数/(x)在闭区间口，切上单调，则最值必在端点处取得；
(2)可导函数/(%)在区间I内仅有一个极大(小)值，则该极大(小)值就 
是最大(小)值；
50 第3章 微分中值定理与导数的应用
(3)在应用题中，根据实际情况可以判断最值存在，且仅存在一个驻点(没有 
不可导点)，则此驻点就是所求的最值点.
|匪］基础题 求函数/(x) = x + Vin分在上的最大值和最小直
西中等题 作半径为T的球的外切正圆锥，求此圆锥的高〃为何值时，其体积忆
最小，并求出该最小值.
贴
某企业在一个月内生产某产品0个单位时，总成本。(0) = 60 + 200 
(万元)，得至！J的总收益&(0) = 120-0.01。2(万元)，问在一个月内生产多少 
单位的产品获得的利润最大？最大利润是多少？ 
帛 •。静 毒 事悔事。也
ES］中等题
典中等题 已知某企业的总收入函数为R(x) = 26x - 2x2 -4x3，总成本函数为
C(x) = 8x + x2,其中％表示产品的产量，求利润函数、边际收入函数、边际
成本函数及企业获得最大利润时的产量和最大利润.
三、利用函数的最值证明不等式
|翅基础题
耐!综合题
|设,和夕是大于1的常数，>- + - = 1,证明：对于任意的%>0,有 
p q
q
Lxp +
P
设 = l ,且 f\x) > 0,证明 xfO X
：：：：：：：：：： 第六节函数图像的描绘
淤 砂伊普 津密杀 毒格称
函数的渐近线
水平渐近线：若lim/(x) = N (或lim /(%) = /或lim /(x) = Z ),则直线 
X->00 XT-00 Xf+00
歹=/为曲线y = /(x)的水平渐近线.
几何意义：曲线y = /(x)向左(或向右，或同时向左右)无限延伸时，/(x)
无限接近于直线> = 4.
铅垂渐近线：若lim/(x) = 8 (或lim /(x) = oo或lim /(x) = oo ),则直线 
事一等―口•雷建强*  X -^豌) X—X―
X = /为曲线歹=/(x)的铅垂渐近线(其中00亦可以为+00或-00 ).
几何意义：曲线y = /(x)向上(或向下，或同时向上下)无限延伸时，/(X)
第3章 微分中值定理与导数的应用 51
无限接近于(不能相交、不能穿越)直线% = %.
斜渐近线：若lim"(x)-(ax + 6)] = 0 ,则直线7= ax + b为曲线y = /(x)的斜
Xf 8
渐近线，其中a = lim/12 ,Z? = lim[/(x)-ax], oo亦可以为+8或-8.
X—>00 X %，8
几何意义：曲线) = /(%)无限接近于(不能相交、不能穿越)直线y = Q + b.
(A)有且仅有水平渐近线 
(B)有且仅有铅垂渐近线
(C)既有水平渐近线，又有铅垂渐近线 
(D)既无水平渐近线，又无铅垂渐近线
中等题 曲线/(x) = xe，( ).
(A)仅有水平渐近线
(B)仅有铅垂渐近线
(C)既有水平渐近线，又有铅垂渐近线
(D)既有铅垂渐近线，又有斜渐近线
|372|综合题 曲线f(x) = - + ln(l + ex)的渐近线的条数为( 
x
).
(A)0 (B)l (C)2 (D)3
|373l综合题
JL 丫2 _ 上,
曲线/a)= e- arctan % ~X+--的渐近线的条数为( 
(x -1)(% + 2)
).
(A) 4 (B)3 (C)2 (D)l
52 第3章 微分中值定理与导数的应用
作图步骤：
(1)求出函数“X)的定义域或者明确题目指定的区域；
⑵判断函数的奇偶性、周期性(由此可以缩小作图范围)；
(3)求渐近线；
(4)求/'(。/〃⑴，找出作图的关键点，即可能的极值点与可能的拐点;
(5)列表讨论函数的单调性和极值点及凹凸性和拐点；
(6)补充一些特殊点，如边界点、无意义点、与坐标轴的交点等；
(7)根据上面所获取信息作图.
作函数》=回二鸟的图像.
(' + 1)2
作函数7=£”的图像.
cos 2%
第七节曲率
定义：曲线上一点处的曲率是曲线在该点处弯曲程度的量度.
曲率在3种不同方程下的计算公式：
(1)曲线方程为＞ = y(x)时，曲率K= 3 ； 
(1 + 川)5
(2)曲线方程为厂=刈时，曲率⑺,⑺一瞋吗地;
(3)曲线方程为P = 0(。)，曲率K = (即
万伊)+夕，2⑹a
计算曲线盯=1在点(i,i)处的曲率.
二、曲率半径与曲率圆
曲率半径：曲线在某点处的曲率半径夕为曲线在该点处的曲率K的倒数，即
第3章 微分中值定理与导数的应用 53
[377)
曲率中心：曲线y = y(x)在某点处的曲率中心坐标(aQ为 
y(i+y2)a i+y2
曲率圆：曲线y = y(x)在某点处的曲率圆为(X - a? + 3 - £)2 = p2.
基础题
’ 3
计算曲线"COS：在点力处的曲率及曲率半径. 
y = asint
烟基础题 求抛物线y = 2x2-3x + 3在点M(l,2)处的曲率圆方程.
烟综合题 设/=p(x)是抛物线y = G上任一点M(x,yXx 21)处的曲率半径,
s = s(x)是该抛物线上介于点2(1,1)与〃之间的弧长，计算3/整-(普］的值
第4章
不定积分
第一节不定积分的概念与性质
一、原函数
定义：在区间/上，若可导函数尸(X)的导函数为/(%),即对任一 XG/,有 
尸，(x) = /(x)或 dF(x) = /(x)dx ,
则称尸(x)为/(x)在区间/上的一个原函数.
定理1：如果/(、)是/(x)的一个原函数，则方(x) + C是/(%)的所有原函数 
(其中。为任意常数).
定理2：(原函数存在定理)如果函数/(%)在区间/上连续，则/(%)在区间/ 
上存在原函数.
基础题
|回基础题|
|阿中等题
设/(%)在(l,+oo)上的一个原函数为ln(x +1I),求/'(%).
设了(%)的一个原函数为lnx(x>0),则它的另一个原函数为(
(A) In(办)(q > 0,x > 0)
(C) ln((7 + x)(a + x > 0)
(B) -lnx(x>0) 
a
1 、(D) |(lnx)2(x>0)
田羽中等题 证明函数arcsin(2x-l)和2arcsinVx是同一函数的原函数，并求出它
们之间相差的常数.
判断函数产(x) = <
x3 + x + l,x > 0
x W 0
是否是/(%) = <
3x2 +1, x > 0
2x, x W 0
在
(-oo5+oo)上的原函数并说明理由.
I逗］基础题 设尸(X)是“X)在(见6)上的原函数，则/0) +尸。)在(4,6)上( ).
(A)可导 (B)连续 (C)存在原函数 (D)是初等函数
第4章不定积分 55
B眼中等题 设 /(%) = ,
x2, x 2 0 ,、
cosx?x<05gW =
).
・ 1 八xsin —,x 0 
x
0, x = 0
则在(-00,+00)上
(A) /(%)与g(x)都存在原函数
(B) /(%)与g(x)都不存在原函数
(C) /(%)存在原函数，g(x)不存在原函数
(D) /(%)不存在原函数，g(x)存在原函数
二、不定积分的定义与性质
定义：函数/(%)的所有原函数称为了(%)的不定积分，记为即如果 
厂⑴是/(%)的一个原函数，贝(J
J/(x)dx = F(x) + C (C 为任意常数).
一Y求不定积分j/(x)dx时，结果切记要加上任意常数C.没有C,求 
出的只是一个原函数，而不是/(%)的不定积分.
性质1：积分运算与微分运算的互逆关系.
(1) (J/(x)dxj =/(%)或 dj/(x)dx = /(x)dx-
(2) J7'a)dx = /(%) +C或]"(%) =/(x) + C
性质2：积分线性运算法则.
(1) f "㈤ 土 g(x)]dx = J /(x)dx ± j g(x)dx.
(2) jkf(x)dx =町/(x)dx (左 w 0 且为常数).
设函数f (x)的导函数为sin x ,且满足/(0) = -1,则不定积分j/(x)dx =
(A) sinx + C (B) -sinx + C (C) cosx + C (D) -cosx + C
瓯中等题 设曲线经过点(e,-1),且其上任一点处切线的斜率为吐，求此曲线
的方程.
强基础题 设函数/(%)在(-8,+8)上可微，则d(J/'(x)dx)=( ).
(A) /(x) (B) /(x)dx (C) /(x) + C (D) f\x)dx
|丽n基础 以下结论正确的是( ).
(A) d(J/(x)dx) = /a) (B)("a)dxj=]7G)*
56 第4章不定积分
(C) jr(x)dx = /(x) (D) d(J/(x)dxj = /(x)dx
迎］中等题 在区间(a,b)内，若/'a)= g'a),则下列各式中正确的是(
(A) /(x) = g(x) (B) /(x) = g(x) + l
(C) (J/(x)dxj = (Jg(x)dx) (D) jdf(x) = jdg(x)
|回中等题 jd[Jd^(x)]=------------ -
国中等题 设 /"(sin2%) = cos(2x) + tan2x ,当 0cx < 1 时，贝！J /(x)=
三、基本积分公式
基本积分公式是计算积分的基础，必须熟记.
求不定积分J(--呼彳金dx. 
xa/1 -x2
求不定积分J c；s2x 改
J sin xcos x
求不定积分Jl1sd
求不定积分，
求不定积分
1 1-
— 十 一
2x、
5-xex l + ex J
dx.
6Vx+5ex+cos2 改•
求不定积分 dx.
第二节换元积分法
：：：：：：一、第一类换元积分法(凑微分法)
定理：若=尸Q) + C ,且〃 = 0(x)可导，则
第4章不定积分 57
. r p 9(x)=" . 〃=*)
(1) J sin2% cos2 x dx
(3) jcot3xcscxdx
g(x)dx=J /[夕(x)]”(x)dx =j力0(x)]d0(x) ― = F(u) + C - - - F[(p{x}\ + C.
用第一类换元积分法，首先要在被积函数表达式中确定一个复合函数
磁卷移馨 ◎您移移
f[(p(x)],使函数/成为基本积分公式中的被积函数，然后观察剩余部分是否为
(p\x)6x ,若是，则可直接凑微分；若不是，则需要通过恒等变形凑出“(x)dx.这 
类题目的难度弹性较大，务必熟记基本微分公式、基本积分公式及常见的凑微分 
形式.
⑶^春(“川
⑵小
(4) jxf(x1 2)ff(x2)dx
⑶心
⑶六
口Jg基础题 求下列不定积分.
(2) jsin5xcos2x dx
(4) j sin(5x)sin(3x)dx
dx
x J1 - In 2%
f dx
J 7^7
(awO)
i
x+一
e Xdx
xlnx(l + ln(lnx))2
/八 r 1 + lnx .
58 第4章不定积分
求下列不定积分.
⑴1 dx
Vl-x2 (arcsinx)2
rarcsinVx A
(2) / — dxJ [xQ - x)
⑶J arcsinfl - x)1
―/ dx
\2x-x2
EE口基础题
噩］基础题
|EE日基础题
求不定积分，苫=.
J y/x-x2
求不定积分j c°s; 心.
P -i 3JLJLJL
求不定积分J修也
IEE中等题 求不定积分J dx.
」A/sinx-cosx
第4章不定积分 59
定理：设x = 0«)单调、可导，且。")W oJ尸⑺+ C ,贝!J 
x= °)•
|西1基础题 求不定积分J dx
1 + yJx + 1
|既月基础题 求不定积分f l&l
|Eg目基础题
求不定积分』£后1dx.
阅基础题 求不定积分I击
I曲基础题
求不定积分J卷^.
gg窗基础题
求不定积分卷•
:二国基础题
团中等题
求不定积州看.
求不定积分J 1 + X 
x2 + x In x
dx.
求不定积分|yl2x-x2dx .
求不定积分J dr
Jl+e2”
求不定积分f— 曳一 
J(1 + %2)"Z
第4章不定积分 61
第三节分部积分法
分部积分公式
定理：设〃a)#a)具有连续一阶导数，贝!i
jwdv = uv vdu 或 juv'Ax = uv -jvu'Ax .
选择〃仅),*x) 的原则：一般按“反对塞指三”顺序，前为〃后为M,即
形如 JP〃(x)e"dx JJ夕〃(x)cos(ax)dx 的积分，把 pn(x)当 u(x), 
e", sin(办),cos(ax)当v\x),其中夕“ (x)是〃次多项式；
形如 J Pn (%) In % dx J 夕〃 (x) arctan x dx J 夕〃 (x) arcsin x dx 的积分,把 In x, arctan x, 
arcsinx当〃(x),夕〃(x)当v'(x),其中中(%)是〃次多项式;
形如 je" sin(Z?x)dx, jcos(Z?x)dx 的积分，把 sin(Z?x), cos(bx)当 〃(x),连续两 
次把e◎当M(x),分部积分后还原，求得原不定积分.
dx
(2) jxcot2xdx(1) je-x cosxdx
(3)设 j/(x)dx = (l + sinx)lnx + C ,求 J犷'(x)dx .
求不定积分卜ln(x + l)dx .
求不定积分Jarcsin(x + l)dx .
求不定积分［上学dx.
J sin x
xcos4f— 
求不定积分f—
J sin x
求不定积分［幽粤网.
J sm x
62 第4章不定积分
回基础题
|画基础题
|晒基础题
|因基础题
|回中等题
|晒中等题
求不定积分『忑』也.
求不定积分J e2x sin(3x) dx .
求不定积分j Vx2 +a2dx.
求不定积分j J/ _%2* .
求不定积分J x arcsin x dx .
求不定积分j 4 arctan x dx.
|国中等题 求不定积分J*苧 dx.
|曲中等题 求不定积分/等=心・ 
J Je"-]
理中等题
求不定积分/法=*.
|盛]中等题 求不定积分j arctan Vxdx.
|前中等题 求不定积分j/dx.
回中等题 求不定积分J (l + x)sinx + cosx
(1 + 4
dx.
|雷日中等题 设/'(e*)  = cosx ,求/(%).
晒中等题 设〃为自然数，Iw = jsec^xdx ,证明
sinx ( n-2 
--------------- ;—I , n = 2,3. 
(T7-1)COSW-1X n-1
第4章不定积分 63
第四节有理函数的积分
定义：形如壁旦的函数称为有理函数，其中匕⑴和。掰⑴分别为x的〃次多 
Z(x)
项式和m次多项式.
当加W〃时，坐立称为假分式；当功 时，型初称为真分式.
Ql,p2-4q<0.
.0基础题
基础题
i1二置基础题
求不定积分
求不定积分J点三口.
求不定积分年+仁蓝+ 2产
求不定积到. M
求不定积分J I? 如.
(% 十］乂X — 1J
64 第4章不定积分
综合提高题
烟综合题 下列说法不正确的是（ ）.
（A） 一切初等函数在其定义区间内都存在原函数
（B）不连续的函数也可能存在原函数
（C）奇函数的原函数都是偶函数
（D）偶函数的原函数都是奇函数
设/（%）在闭区间［兄切上连续，则在开区间Q6）内，/（工）必有（
（A）导函数 （B）原函数 （C）最大值或最小值 （D）极值
).
第4章不定积分 65
噩］综合题 已知函数/(%) = <
2(x -1), x < 1
Inx, x 21
,则/(x)的一个原函数是( ).
(A) F(x) =
(C) F(x) =
(1)2, x4-oo
£ (arctan Z)2d/
Jl + %2
一
£7。)(工-。山
70 第5章定积分
|团基础题 求由层d，+j>，d，=°所确定的隐函数的导数%
[527] 中等题 设函数/(%) = J；e于也(-00 < x < +00),求/(X)的单调区间，并判断
其奇偶性.
眄中等题
［国］综合题
设函数 f(x)连续，9(x) = [x xf(t)dt ,若0(1) = 1,"⑴=5 ,求/⑴. 
J 0
设函数/(x)在用上连续，且/(x)>0,证明方程［％)出+ ］焉=0
在区间(a,b)内有且仅有一个实根.
::； 二、牛顿-莱布尼茨公式
定理3：(微积分基本定理)如果函数F(x)是连续函数/(%)在区间［a,b］上的 
:::::一个原函数，则
//(工冲二尸(犹=尸(6)-尸⑷. 
=® 电二口 Ja 'a
此为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式.
,求积分上限函数尸(x) = J： 在［0,2］
演中等题 设/(*) =1二 + J1-，J；/(%)改，求£/(x)dx.
第5章定积分 71
瓯中等题 设/(X)在［04］上连续，且满足求［〃x)dx及八。
侬中等题 设二
x + x3
1 + x4
、:2痣
求J2 /(初上
第三节定积分的换元积分法和分部积分法
一、定积分的换元积分法
定理1：设函数/(%)在区间［a用上连续，若函数x = 0(。满足条件
(1)(p(a) = a,(p(B) = b ;
(2)(p(t)在区间［%£ ］(或吃a ］)上单调且具有连续导数，
则「/(%)*  =1/1如］?'。)山.
J a J a
常用公式
(1)设函数/(X)在区间［-a,句上连续，贝!J
『f(x)dx = r [/(%) + /(-x)]dx = 
J-a JO
fo,
2Jo
当/(X)为奇函数时 
当了(%)为偶函数时o
⑵设函数/(X)是以T为周期的连续函数，则
T
/(%)及 =「/(x)dx ; J： /(x)dx = Jj /(x)dx .
0 ~2
|国］基础题
计算 J； x13-2xdx.
计算「"-
也.______
计算 J。3 72-9x2dx .
计算「― 1 .—dx.
「 xa/1 + Inx
计算借此
密］基础题 计算—
72 第5章定积分
察
嬖
雷 密
霜
P = (tan8x + excos x - e-xcos x) dx ,则有( ).
4
(A)P>N>M (B)N>P>M (C)N>M>P (D)P>M>N
第5章定积分 73
I昂祠中等题 计算 J： Vl-sin2%dx.
圈中等题 计算 ja+nsin2x(tan x + l)dx .
司的综合题
兀 n
设/(X)为连续函数，证明(1) £2 f (sin x)dx = £2 f (cos x)dx ;
71
⑵，msinx)dx = 7tjj /(sinx)dx ,并由此计算定积分
/ _「 xsin2wx
n J。sin2wx + cos2wx dx (〃为正整数).
二、定积分的分部积分法
定理2：设〃 = 〃(%)/= v(x)在区间口用上连续可导，贝!I
[buv'Ax = uv\b - f u'vAx 或 f udv = - f v&u.
J a I。 J a J a 'a J a
74 第5章定积分
第四节反常积分
一、无穷限的反常积分
定义1：设/(%)在［a,+8)上有定义，且在任意有界区间［a, b］上存在定积分 
£ /(x)dx ,定义
r+oo rb
［f (x)dx = lim ［ /(x)dx ;J a 6->4-00 J a
定义2：设/(x)在(-oo,切上有定义，且在任意有界区间［a,切上存在定积分
『/(X)改，定义
J a
•b rb
f (x)dx = lim f /(x)dx ;
af-8
定义3：设/(X)在(-8, +00)上有定义，定义
f+oo f 0 f-Foo f 0 pb
f /(x)dx f (x)dx + I f (x)dx = lim [ f (x)dx + lim [ f (x)dx.
J -oo J -oo J 0 a—>-oo J a bf+oo J 0
第5章定积分 75
定义1和定义2中若右端极限存在，则称该反常积分收敛，否则为发散的;
定义3中要求右端的两个反常积分都收敛，贝i]r°/a)(k收敛.有一个发散，则
J-00
广/(x)dx发散
J-oo
二、无穷限积分的性质
性质1：「7。)日与「7(工)也具有相同的敛散性.
性质2：「°左/(%)dx (左wo为常数)与「7(x)dx具有相同的敛散性.
性质3：若「° /(x)dx与「°g(%)dx均收敛，则「°"(x)±ga)]dx收敛，且
p +oo p -boo r4-oo
f [/(X)± g(x)]dx = J f(x)dx±\ g(x)dx.
J a J a J a
吉田席2・「田&jp>l，收敛/、八、* j2>1，收敛,
常用结论・j — 匕咻(。>°)； J 丁丁1 / 哈坳
J。xp [pWl,发散 Ja x\np x [夕 W1,发散
在实际计算中，反常积分可按照定积分£/(%)及 =尸(刈；的计算方法进行, 
只不过要将尸3)或网。)改作lim /(%)或lim /(x)即可.定积分的换元法和分部积
X- Xf—8
分法在反常积分的计算中也适用.
三、无穷限积分敛散性的判别
比较判别法:设OW/(x)Wg(x),则有 
(1)当 £°°g(x)dx 收敛时，「7(%)dx 收敛; 
⑵当//(x)dx发散时，「”g(x)dx发散.
).
r+oo 1 f-Foo x© L赤心⑼(7dx
76 第5章定积分
(l + e-x)2
(B)取正值
min 卜
xe~x
dr 
x\j2x2 -1
(l + /)2
Inx i 
--------7dx. 
(1 + X)2
dn(2x) - e|x|dx ,下列结论正确的是(
(C)发散
).
(D)取负值
国1中等题
判别『白心的敛散性.
判别『e"dx的敛散性.
求c的值，使lim
X->+00
x + c
x-c
\CJe2tdt.
Esm基础题
|阿综合题
dx .
:四、无界函数的反常积分
如果函数/(X)在点X = %的任一邻域内都无界，则称点X = %为函数/(X)的 
瑕点，无界函数的反常积分又称为瑕积分.
定义1：设/(%)在3用上有定义，且在任一区间［。+£向上可积，其中£>0, 
且 lim /(x) = oo ,定义
rb rb
I /(x)dx = lim ［ f (x)dx ;
J a £->0+ J a+e
定义2：设/(%)在口乃)上有定义，且在任一区间口乃-£］上可积，其中£>0,
且 lim /(x) = oo ,定义
xflT
rb rb-e
［/(x)dx = lim ［ f (x)dx ;
Ja £->o+Ja
定义3：设/(x)在［a,C)及(C用上都有定义，且在任一区间［67,C -可及［C + £用 
上可积，其中£>0,且lim/(x) = 8,定义
第5章定积分 77
//(x)dx =「/(x)dx +「/(x)dx = lim [ ' /(x)dx + lim f /(x)dx .
Ja J a Jc £].o+Ja £2^+ ^c+e2
定义1和定义2中若右端极限存在，则称该瑕积分收敛，否则为发散的；定义3 
中要求右端的两个瑕积分都收敛，则J：/(x)dx收敛.有一个发散，则[/(%)已发散.
瑕积分的性质、计算方法及敛薮性的判别均与无穷积分相类似；
|商基础题 下列积分( )是反常积分.
(B) £xlnxdx dx
，=(而"是(题基础题 ).
(A)定积分且值为g (B)定积分且值为：
(D)反常积分且值为:(C)反常积分且发散
(B) a >2
( ).
(A) a<-2
e
,若反常积分『7(工)心收敛，则
(C) -2 < a < 0 (D) 0 < a < 2
综合题 下列计算正确的是(
f-KO X(A) [「= 0*
j 1-X
(B) sinxdx = Hm j sinxdx = Jim (-cos工匕)=J吧[cos(-6) - cosZ?] = 0
(C)[
x x
3
(D) [1)=京0 j；「 I
第6章
定积分的应用
第一节定积分在几何学上的应用
一、平面直角坐标系下平面图形的面积
1. X型区域：图形曲边是关于工的函数.
X型区域的面积计算口诀是“以上、下曲边的函数差作被积函数”，该分割 
时就分割.
由y = /(x),y =80)(/(%)>8(%)),% = 4户=5(。<力)所围成的平面区域(图6-1 )
的面积 S= f6[/(x)-g(x)]dx.
J a
(1)当 g(x) = 0 时，由 y = f (x), y = 0(/(x) ^0),x = a,x = b{a < b)所围 
成的平面区域为曲边梯形(图6-2),面积S = £7(x)dx.
(2)若在[应切上，图形的上曲边或下曲边不能用同一个解析函数表示 
(图 6-3 ),则从、 =。处分割，面积 S =「[/(%)-g(x)]dx +『[g(x)-/(x)]dx.
2. 丫型区域：图形曲边是关于y的函数.
y型区域的面积计算口诀是“以右、左曲边的函数差作被积函数”，该分割时 
就分割.
第6章 定积分的应用 79
由 x = i//(y),x =(p(y)(y/(y) 2。(歹)),〉= c,y = d(c< d)所围成的平面区域(图 6-4A)
的面积S = -夕3)］如•
评注J
若图形的右曲边或左曲边不能用同一个解析函数表示，则需要将平 
面图形分割后再分别列式计算(图6-4B ).
3.计算平面图形面积的步骤
第1步：画出围成平面图形的曲线，确定平面区域.
第2步：计算出必要的交点坐标.
第3步：根据平面图形的特点，选择平面图形的区域类型(尽量不分割).
第4步：确定平面图形的上、下曲边或左、右曲边，列式计算.
西基础题 求曲线y = ^,y = 0,x = 4所围成的平面图形的面积.
直线尸x + lj = l与x轴所围成的平面图形的面积.
国目基础题 求曲线y=d与直线y = %所围成的平面图形的面积.
求曲线y = -/ + 4与直线%—2x + 4所围成的平面图形的面积.
国自基础题 若曲线> =疝(4>0)与X轴及直线X = 3所围成的图形的面积等于6,
求常数a.
基础题 求曲线y = 2x和直线x + 2y = 2,x = 2所围成的平面图形的面积.
圆口中等题 求曲线歹=-7与％轴所围成的平面图形及直线歹=_2工+ 6,曲线
歹=/_工，入轴在％>1时所围成的平面图形的面积之和.
|则基础题| 求曲线工=6
80 第6章 定积分的应用
的中等题 求y =，在点(2,4)处的切线与y = -x2+4x + l所围成的图形的面积.
雨3中等题 计算由V = 9 一％ ,直线％ = 2及y = -1所围成的平面图形的上面部分
(面积大的那部分)的面积.
的面积.
计算由曲线y = xcos(2x)^
0 W x W 和直线y = 0所围成的平面图形|西中等题
|国1中等题 求由曲线 y = ex(y W1), y = e~x(y W1)和直线 x = l,x = -l,y = 0 所围成
的平面图形的面积.
底回中等题 求由曲线y = xlnx和直线y = x,y = 0所围成的平面图形的面积.
求由曲线7= sinx,y = cosx和直线％ = 0,% = 2冗所围成的平面图形的
面积.
国中等题 求由曲线 > =二，+ / = 2和直线> =o所围成的平面图形的面积.
应目中等题 设由抛物线y = 4x-x2, y轴和直线y = b(b> 0)所围成的平面图形的面
积是仅由抛物线y = 4x-x2及直线y = b所围成的图形的面积的一半，求b .
直线> =%将椭圆x2+3/-6y = 0分成两部分，求直线下方的面积S.
综合题 已知抛物线 > ="2+/ (其中2<0山>0 )在第一象限内与直线
工+ > = 5相切，且抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S.
(1)夕和g为何值时，S达到最大值？
⑵求出此最大值.
综合题 在抛物线y =，(0忘x W1)上找一点P ,使过点P的水平直线与抛物
线及直线x = 0, x = 1所围成的平面图形的面积最小.
综合题 求抛物线y = x2,y = -x2+4x-4的公切线，并求此公切线与这两条抛
物线所围成的图形的面积.
IEE中等题
|国中等题
第6章定积分的应用 81
国］综合题 设抛物线y = ax2+bx + c满足下列条件：（1）过（0,0）和（1,2）两点，且
qvO ； （2）与抛物线） =-，+2%围成的图形的面积最小，求a,b,c.
二、极坐标系下平面图形的面积
计算公式
1 .若平面区域。是由曲线尸= «e）,e = a,e =尸3＜尸）所围成的（图6・5）,则面 
积s = ；J"（e）de.
2 .若平面区域是由曲线尸=乃（6）,e = a,e = £（a ＜夕）所围成的（图6-6）, 
则面积s = ；］（片（夕）-刀@））de.
评注J
一^^（1）极坐标系下计算平面图形的面积有两个关键：
①围成平面图形的曲边尸= «e）或尸=爪6）） =々（夕）等；
②平面图形的角度夕的范围.
（2）记住一些极坐标系下的常见曲线的图形：心形线、双纽线、对数螺线和阿 
基米德螺线等.
|函1基础题 求曲线p = acos0 + b（b2a＞ 0）所围成的图形的面积.
圆中等题I 求由曲线夕=asin6,〃 = q（cos6 + sin6）（a〉0）所围成的图形的面积.
三、用参数方程表示的曲线所围平面图形的面积
计算公式
设曲线£的参数方程为「= a W W夕，其中%（/）, y（t）都连续.
〔歹=歹⑺
82 第6章 定积分的应用
1 .当 y(Z) 2 0, x(t)可导，1(。> 0 且 x(a) = a,x(/7) = b 时，由 x = a,x = 轴及曲 
线£所围成的图形的面积8 =1/。)及=1、(。，«)(1，.
其中，y = £［々,切是£的平面直角坐标方程•
2 .当 工«)与0, y(t)可导，yr(t) > 0 y(a) = c,y(/3) = d 时，由 y = c,〉= d,y 轴 
及曲线£所围成的图形的面积S=门⑺歹⑺山.
Ja
上述两个公式可以由定积分换元法得到.
I圜基础题 求旋轮线小
形的面积.
/sin%) " £电2河g〉0)与1轴所围成的平面图 
［y = 4z(l-cosZ)
国3中等题 设尸为曲线
X = cost 
y = 2sin2
05-上一点，该曲线与直线。尸及x轴 
.2」
所围成的图形的面积为S'求函数》取得最大值时点尸的坐标.
四、旋转体的体积
计算公式
1 .由 x = dx = b(00）所围成的平面图形绕x轴旋转一周，得一旋转体，此旋转体 
的体积为/（?,求满足7（a） = -lim的a ; （2）在此曲线上找一点，使过 2 A+oo
该点的切线与两个坐标轴所围成的平面图形的面积最大，并求该面积S.
五、旋转体的侧面积（旋转曲面的面积）
计算公式
1 .由曲线> =绕x轴旋转而成的旋转体的侧面积
5 = 2兀（"（工）|41 + "'（初2改.
2 .由曲线x =（p{y\c W > W d绕〉轴旋转而成的旋转体的侧面积
S = 2兀1|03）|阿西F屯.
3 .若曲线方程为且才⑺皿 则该曲线绕工轴旋转而成的旋 
转体的侧面积S = 2兀『| y（t） | J［x"）］2 +3（52出.
4 .若曲线方程为卜叱a — W/?,且以。。0,则该曲线绕y轴旋转而成的旋 
b=y。）
转体的侧面积S = 2兀/%（/） | JR。）］? +［了（在2位.
摆线的程为x = a（t- sin/）,y = a（l- cos0 W / W 2兀，> 0 , 
计算⑴该弧段绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积邑;⑵该弧段绕 > 轴旋转 
而成的旋转曲面的面积邑.
曲线V = 2x + 3（0 W x W 3）绕x轴旋转而成的旋转体的侧面积.
六、平面曲线的弧长
计算公式
1 .曲线y = 的弧长（其中/G）连续）s = g + Lf（x）rdx （平面
直角坐标）.
2 .曲线F " 的弧长（其中£（。,了⑺均连续，且不同时为零）
卜=帅）
s =「jH0）r+bWd/ （参数方程）.
3 .曲线/=«夕）,a we W6的弧长（其中”6）,/（。）均连续，且不同时为零）
第6章 定积分的应用 85
s =，J，(e)+[/(e)]2de (极坐标).
计算曲线y =小6,0 Wx W4的弧长.
计算曲线y = ln(cosx),0 x y的弧长.
计算曲线y =rtan粒,0 W % W £的弧长.
计算圆的渐开线厂=+亦叫0 0 w 2兀的弧长，其中。＞0. 
[y = a(sin%-7cos£)
当owew兀时，求对数螺线，=­ 的弧长s.
计算曲线« + 6 = 1的弧长.
3
计算曲线y = x\y = 2-xRy轴所围成的平面图形的边界曲线的周长.
设夕=p(x)是抛物线y = 4x上任一点M(x,y)(x 21)处的曲率半径,
s = s(x)是该抛物线上介于点4(1,1)与点M之间的弧长，计算3夕
值(平面直角坐标系下的曲率公式为K ).
(")5
2
的
七、平行截面面积已知的立体体积
计算公式
1 .夹在两平行平面%=兄％ = 6(。＜6)间的立体的截面面积函数4(%)已知，且是 
x e [a,b]上的连续函数，则该立体的体积/ =，A(x)dx.
2 .夹在两平行平面片c/ = d(c＜d)间的立体的嬴面面积函数/⑺已知，且是 
y £匕刈上的连续函数，则该立体的体积/ = A(y)dy.
颤中等题 设平面图形/由/+/W2x与所确定，求图形4绕直线％ = 2
旋转而成的旋转体的体积.
|瓯中等题 求曲线y = 3-1，—1|与％轴所围成的封闭图形绕直线少=3旋转而成
的旋转体的体积.
86 第6章定积分的应用
国日中等题 设有一正椭圆柱体，其底面的长轴、短轴分别为2a,26,用过此柱体底 
面的短轴与底面成。（0 < a < 角的平面截此柱体，得一楔形体（如图6-10所 
示），求此楔形体的体积
过坐标原点作曲线y = Inx的切线，该切线与曲线y = Inx及X轴所围 
成的平面图形为D,求（1） D的面积4 ; （2）。绕直线x = e旋转而成的旋转体 
的体积
则中等题
第二节定积分在物理学上的应用
设单位质点在水平面内做直线运动，初速度叫句=%.已知阻力与速
度成正比（比例常数为1）,问,为多少时此质点的速度为三？并求到该时刻 
该点所经过的路程.
综合题 为消除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井
底，抓起污泥后提出井口（图6-11）.已知井深30m,
抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起污泥重 
2000N,提升速度为3m/s.在提升过程中，污泥以 
20N/S的速率从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的 
抓斗提升至井口，问克服重力需做多少功？（说明: 
①lNxhn = U, m,N,s,J分别表示米,牛顿,秒，焦 
耳；②抓斗的高度、位于井口上方的缆绳长度忽略 
不计.）
30
X+%
X
A
 
- 
二 
-
O
 
7
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/1
/1/
某闸门的形状与大小如图6-12所示，其中
歹轴为对称轴，闸门的上部为矩形4g8,下部由 
二次抛物线与线段所围成.当水面与闸门的上端 
相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压与闸门下部 
承受的水压之比为5:4,闸门矩形部分的高力应为多 
少m （米）？
o
图 6-12
固Q基础题
|阿综合题
第6章定积分的应用 87
综合题 某建筑工程打地基时，需用气锤将桩打进土层.气锤每次击打，都将 
克服土层对桩的阻力而做功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深 
度成正比(比例系数为七左>0 ).气锤第一次击打将桩打进地下。m.根据
设计方案，要求气锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之比为 
常数 〃 (0 < r < 1).
(1)求气锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？
(2)若击打次数不限，气锤至多能将桩打进地下多深？
^§3综合题 一个高为/的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆, 
现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为|6时(图6/3),计算油的质量(长
度单位为m,质量单位为kg,油的密度为常数夕kg/n?).
国日综合题 一容器的内侧是由图6・14中的曲线绕y轴旋转而成的曲面，该曲线
由—+ / = 2 与—+ / = w 连接而成.
(1)求容器的容积.
(2)若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽走，至少需要做多少功(长度单位
为m,重力加速度为gm/s2,水的密度为lOSkg/n? )?
综合题
(1)求£的弧长.
⑵设。是由曲线£,直线x = l,x = e及工轴所围成的平面图形，求。的形心
的横坐标.
第7章
微分方程
第一节微分方程的基本概念
一、微分方程的定义
定义1：表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程，叫作微 
分方程，有时也简称方程.
rwn
方程中必须出现未知函数的导数或微分才能称为微分方程.
定义2：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫作微分方程的阶.
下列方程是微分方程的是( ).
(A)，+ % +1 = 0 (B) y2+2x + l = 0
(C) x2y2 +y = 3 (D) x2+yf + y = 2
|强基础题 微分方程/- 2x(j/)3 + / = 0的阶数是.
醺基础题 微分方程xdy + (x + y)dx = 0的阶数是.
二、微分方程解的定义
定义1：满足微分方程的函数，称为微分方程的解.
定义2：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程 
的阶数相同，则称之为微分方程的通解.
pm
通解里所说的任意常数是独立的，也就是说，它们不能合并而使得
任意常数的个数减少.
定义3：微分方程的不含任意常数的解，称为特解.
定义4：由通解确定特解的条件，称为初始条件.
|回基础题 判断y = 5,是否是微分方程W - 2y = 0的解，是通解还是特解?
第7章微分方程 89
验证y = Gcosx + C2sinx是微分方程y〃 +7= 0的解，并求满足初始 
条件y(0) = 2/(0) = 3的特解.
商基础题
I咽中等题 已知函数y = 'f+x + C,微分方程/ —/ = T,下列说法正确的是 
).
(A) y是微分方程的通解
(B) y是微分方程满足条件引片0 =1的特解
(C) y是微分方程的解
(D)以上都不对
1663 判断二元方程y = ln(xy)所确定的函数是否为微分方程
(初-%)/ + %(了)2 +yyf-2yf = 0的解，是通解还是特解?
第二节可分离变量的微分方程
一、可分离变量的微分方程的定义
定义：形如电=力(x)f23)或M^x)M2(y)dx + Nx(x)N2(y)dy = 0的微分方程称 
dx
为可分离变量的微分方程.
二、可分离变量的微分方程的求解方法
第1步：分离变量.一般地，把方程中与)有关的项移到左边，与工有关的 
项移到右边，得
g(y)dy = fMdx.
第2步：上式两边同时积分，得Jg3)dy=]7a)dx,则方程的隐式通解为 
G(y) = F(x) + C.
第3步：化简整理.将上面得到的隐式通解尽量化简，能整理出显函数的形 
式最好，不好整理的，微分方程的通解写成隐函数的形式也是可以的.
|南基础题 下列微分方程不是一阶可分离变量的微分方程的是(
(A) yf + xy = O
(C) 了 二碎门
(B) y2dx + (2x + l)dy = 0
(D) (x - y)dx + (x + y)dy = 0
90 第7章微分方程
求微分方程变=四二义的通解. 
dx x
求微分方程以=电兰吧的通解. 
dx yz
求微分方程(1 + ex)dy-yexdx = 0满足初始条件引一)=2的特解.
求微分方程(孙2 + x)dx + (y- X2y)dy = 0满足初始条件y\x=Q =1的特解.
求微分方程+ ydy = 0满足初始条件切%=。= 1的特解.
2
已知曲线＞ =y(x)上任一点尸(XJ)处的切线斜率为上方，且曲线过 
点(0,7),求该曲线的方程.
回中等题 设/(x)为连续函数，且满足/(x)=由+ 2 ,求/(%)的表达式.
国中等题 设工20时/(%)有一阶连续导数，且满足
/(%) = 2^ (x - dt + x-1,求x20 时的 /(x).
咽中等题 设函数/(%)连续，且满足J； f (t)dt = ^tf(x- t)dt -f- x ,求/(x)的表
达式.
|四中等题 设非零函数/(%)连续，且满足f(x) = ^f(t)dt + 2^tf\t)dt ,求/(%)
的表达式.
西中等题 设函数/(X)在(-8,+8)内可导，且满足/〈X)
若『#(x)dx = 7,求々的值.
X 
前…。….
瓯中等题 求微分方程yf = y2 + 2(sinx-l)y + sin2x -2sinx-cosx + l 的通解.
瓯中等题 求微分方程y(xy + l)dx + x(l +孙+ x2y2)dy = 0的通解.
第7章微分方程 91
第三节齐次方程
一、齐次方程的定义
定义：形如半=上]的微分方程称为齐次方程. 
ax \x J
二、齐次方程的求解方法
第1步：变量代换.令〃=上，贝!= x〃，半= 〃 + 工半.<；这一步最关键 
X QX OX I--------------------
第2步：代入方程并分离变量.u + x^=(pM^—^—du = -dx .
ax (p(u)-u x
第3步：两端同时积分.(^(u) = In | x | +C .
第4步：回代整理.以上代替〃，并化简整理，即可得原齐次方程的通解.
|的基础题 下列方程是齐次方程的是(
(A) yf + y = O
(C) yr + xy = ex
(B) y2dx + xdy = 0 
(D) x2yf + xy = y2
的基础题
求微分方程立=2区上的通解. 
dx V x x
基础题
求微分方程? = sec—+ —的通解. 
dx x x
求微分方程亚=兰士区满足初始条件H0=2的特解. 
dx xy
已知曲线 > =式幻通过点(1,0),且每一点(xj)处切线的斜率都等于 
l + 上 + I^Y，求该曲线的方程.
X yx J
段口基础题
强中等题 求微分方程y(x - y)dx + x2dy = 0满足初始条件引入=1的特解.
|日图中等题 求微分方程xyf + yQnx-]ny) = 0满足初始条件y(l) = e3的特解.
弼中等题
求微分方程(1 + 2e' )& + 2"[1 -二]dy = 0的通解.
国|基础题
92 第7章微分方程
|厢中等题| 求微分方程(2ysin 二+ 3xcos±］ 4y - 3”os±dx = 0 的通解. 
I y y) y
第四节一阶线性微分方程
一、一阶线性齐次方程的定义
定义：形如? + P{x)y = 0的微分方程称为一阶线性齐次方程. 
QX
一阶线性齐次方程其实是特殊的可分离变量方程.
二、一阶线性齐次方程的求解方法
方法1:分离变量，两端积分，化简整理.
方法2：套公式^ =。©一①""，其中。为任意常数.
国羽基础题 求微分方程电+ 2初=0的通解. 
dx
庭J基础题 求微分方程孚一tanx满足初始条件=1的特解.
三、一阶线性非齐次方程的定义
定义：形如半+尸(x)y = %),Q(x) w 0的微分方程称为一阶线性非齐次方程.
QX
四、一阶线性非齐次方程的求解方法
方法1：常数变易法.把齐次方程通解歹=八一1尸⑴近中的。换成关于X的未知 
函数C(x),将＞ =C(x)e-^(x)d"代入方程业+ P(x)y = 0(x)中，求出C(x)即可.
dx
方法2 ：套公式.y = 丁尸3”(J0(x) J尸⑴改改十 ° ,其中。为任意常数.
忸为基础题 下列方程是一阶线性微分方程的是( ).
(A) V+ / =0 (B)［崇］=向
(C) yr + xy = exy + x2 (D) yr + sin⑸)=1
第7章微分方程 93
；T同基础题 
;二基础题 
‘回度础题 
二同基础题
求微分方程电+ 2孙=4x的通解.
dx
求微分方程了 + y cosx二e-sinx的通解.
求微分方程(％ +1)虫—歹=e、(x +1)2满足y(0) = 2的特解. 
dx
求微分方程yr + ycosx- e~sinx Inx = 0满足y(l) = 0的特解.
求微分方程(y2 - 6x)yr + 2y = 0的通解.
求微分方程y3dx + (2xy2 - l)dy = 0的通解.
求微分方程)改+ (%-3y2)5 = 0满足初始条件4=]=1的特解.
求微分方程_/ =」一的通解.
x + y
座目中等题 求微分方程ydx + (x + y)dy = 0的通解.
已知曲线＞ =/(x)过点(0,1),且它在任意一点(%/)处的切线斜率都 
等于secx-/(x)tanx ,求该曲线方程.
已知/(%)为连续函数，且满足/(%) =,求函数/(%).
弼中等题
曲中等题
M3中等题 设函数/(x)连续，且满足『/(%一)& = ⑺出+ 6一「1,求
/(x)的表达式.
第五节可降阶的高阶微分方程
一、/〃)=/(%)型的微分方程的求解方法
解法：方程两边同时对工积分〃次，即可求通解.
^^3基础题 求微分方程/4)=%的通解.
94 第7章 微分方程
溷基础题
，乳基础题
■唱基础题
求微分方程了 = e3x + sin 2x的通解.
求微分方程＜'=疑”的通解.
求微分方程/ = 口，的通解.
求微分方程/' = e2x满足初始条件引I = Wz =源口=0的特解.
西中等题
求此曲线方程.
已知一曲线经过点(0,1)并在此点与直线y = ] +1相切，且满足7 = x,
二、丁"=/(占了)型的微分方程的求解方法
第1步：换元.令y=p,则＜=〃'，原方程变为p'=/(x,m，此方程为一 
阶方程.
第2步:解方程p' = /(x,p).设其解为P=火%G)，即一
第3步：两端同时积分.对y = e(x,G)两端同时积分即可得到原方程的通
解为 y = J e(x，G)口 +。2 -
物日基础题 求微分方程y,r = yf + x的通解.
求微分方程/ + (了)2 +1 = 0的通解.
求微分方程孙〃 + 3了 = 0的通解.
求微分方程/-2歹2 =。满足初始条件儿旬=0,川方0 =7的特解.
求微分方程。+ /»〃 = 2沙满足初始条件4=0=1,34=() =3的特解.
：：：：：：：：：三、/=/』,")型的微分方程的求解方法
第1步：换元.令户e，则八半=半•孚=〃半，原方程变为
...薛⑥津辔解「 gx uy ox dy
p? = f(y,p),此方程为一阶微分方程-
•………… 4y
第7章微分方程 95
第2步：解方程p空= /(>,0).设其解为〃=以乃G)，即V = 9(kG)・ 
dy
第3步：解方程V=@Cy，G).对y = e(y，G)分离变量可得一二、=*,  
1 -
两端同时积分即可得到原方程的通解为f —-— dy = x + C2.
评注J
1注意方程/ = /(力V)与/ = /(X, V)的区别，前者最大的特点是不含X , 
故换元时，令y' = p ,要把?看成y的函数，从而<=些=电.变=?虫.
dr 4ydx dy
[713]基础题 求微分方程处〃 + 2(/)2 = 0的通解.
|的基础题 求微分方程w+ay=o满足初始条件引e = 1,7[.0=；的特解.
[715)中等题 求微分方程// —1 = 0的通解.
西中等题 求微分方程/ + (了)2 =1满足初始条件儿=0 =0, VKo =0的特解.
第六节高阶线性微分方程
一、二阶线性微分方程的定义
定义：形如今+尸(唬+ 0(x)尸/(X)的方程称为二阶线性微分方程.当右 
端/(X)三0时，方程叫作齐次的；当/(X)至0时，方程叫作非齐次的.
二、二阶线性微分方程解的结构
定理1 ：如果函数必(%)与无⑴是方程 咤+ P(x)* + 0(x)v = 0的两个解， 
则y = Gm(x) + C2y2(x)也是方程的解，其中G，G为任意常数.
定理2 ：如果函数为(x)与y2(x)是方程置+ P(x)%+ Q(x)y = 0的两个线性 
无关的解，则"GmCO + G%。)( GC为任意常数)是方程的通解. 
rw^j
注意定理1和定理2的区别：一个是解，一个是通解；
(2)函数为(x)与%(x)线性无关o 里»丰常数.
96 第7章微分方程
定理3：如果函数”⑴是二阶非齐次线性方程吧+尸(工)农+ 0(%方=/(x) 
dx dx
的一个特解，爪＞)是对应的齐次方程察+尸(唬+。(、)ko的通解，则歹= 
+ y(x)是二阶非齐次线性方程的通解.
:；二
11^总(1)由上述定理可得，二阶非齐次线性方程的通解=它的一个特解+ 
对应齐次方程的通解，而要找二阶齐次方程的通解，需找到它的两个线性无 
关的解.
(2)上面的结论可推广到孔阶线性微分方程.
定理4：(叠加性)设为*(%) 与乃*(x) 分别是方程
誓 + P(x)孚 +。(工方=工(%)与萼 + 尸(X)半 + Q(x)y = f2(x)
Ax dx dx dx
的特解，则为*  (%)+%*  (x)是+尸(%)崇+ Q(x)y =工(x) + 72(X)的特解
基础题 下列函数组，在其定义区间内线性无关的是( ).
(A) x2,2x2 (B) sinx,cos尤
(C) sin2x,sinxcosx (D) e2x,3e2x
的基础题 方程(x-l)y,f-xy, + y = 0的两个线性无关的解是( ).
(A) x,2x
(C) x,x2
(B) ex58ex
(D) x,e”
|国基础题 已知%(%)是一阶线性非齐次方程yf + p(x)y = /(x)的一个解,
是对应的齐次方程的一个解，则方程了 +0(x)y = /(x)的通解是
I ).
(A) y = Cy1(x) + y2(x)
(C) ) = %(%)— Cy2(x)
(B) y = Cy1(x)-y2(x)
(D) y = %(%) +%(x) + C
已知%0)与%(%)是方程V + p(x)y = 0的两个不同的解，则该方程
的通解是().
(A) y = Cy1(x)
(C) y = C1yi(x)+ C2y2(x)
(B) y = Cy2(x)
(D) y = C(y1(x)-y2(x))
第7章微分方程 97
基础题 已知工(%)与人(%)是方程y,, + py, + qy = Q的两个不同的非零解，G，G 
为任意常数，则'=。/。) +。2%(%)是该方程通解的充分条件是( ).
(A) 7；(x)/2Xx)-72(x)^(x) = 0 (B)((X)月(乃 + 力5)<'(。=0
(C)力(%)力(%) - 于2。)/'(%) W 0 (D)力(%)为(%) + 于2(%)力") W 0
722 基础题 验证为=cosax,% =sinax都是方程y"+ °2) = 0 (。。())的解，并写
出该方程的通解.
|721基础题 验证 y = Ge" + C2e2x
2y = e5]的通解.
+ —e5x
12
(G，G为任意常数)是方程y〃-3j/ +
|圆基础题 设%㈤，%(%)，为(%)是方程y〃 + p(x)yf + q{x)y = /(x)的三个线性无
关的解，。］，。2为任意常数，证明k2。仍+(。2-G)为+。-G-G)%是该
方程的通解.
第七节常系数齐次线性微分方程
一、二阶常系数齐次线性微分方程的定义
定义：形如/ +加'+少=0 (其中P均为常数)的微分方程称为二阶常系数 
齐次线性微分方程.
二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法
第1步：写出特征方程户+/ +夕=0.
第2步：求出特征方程的两个根(特征根)大》
第3步：根据特征方程的两个根的不同情形，按照下表写出通解.
特征方程户+夕/+q=o的两个才艮%乃 微分方程y,f + py, + qy = 0的通解
两个不相等的实根"。马 y = C^x+C2^x
两个相等的实根与=r2 y = (G + G%)e"
一对共机复才艮6 2 = a ±仇 y = (G cos J3x + C2 sin J3x)
裳二阶常系数齐次线性微分方程的概念、求解方法和通解的形式，可推 
广到〃阶常系数齐次线性微分方程.
;725 基础题 下列函数可以作为方程< + 2/= 0的特解的是(
(A) > = / (B)…2] (C) y = l + e-2x (D) y =
98 第7章微分方程
圆|基础题 通解为y = C1e6x + C2e-8x的二阶常系数齐次线性微分方程为( ).
(A) y〃 + 2y' +48y = 0 (B) / + 2/-48.y = 0
(C) yff-2y, + 48y = 0 (D) yr,-2yf-4Sy = 0
(7271基础题
程为（
以乃=e2*  sin3x,% = e2" cos3x为特解的二阶常系数齐次线性微分方 
）.
(B) y,f-4y,-13y = 0(A) y,, + 4y, + 13y = 0
求/（、）.
第7章微分方程 99
第八节常系数非齐次线性微分方程
一、二阶常系数非齐次线性微分方程的定义
定义：形如/ + 0/ +处=/(%)(其中〃夕为常数)的微分方程称为二阶常系 
数非齐次线性微分方程.
二、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法
第1步：求/ +勿，+处=/(x)的一个特解/(%).
第2步：求出对应齐次方程的通解爪＞).
第 3 步：写出方程+ + = /(x)的通解y = ＞*(%)  + K(X).
三、二阶常系数非齐次线性微分方程特解的求法
情形一：若/(%)=20),匕(%)是工的〃次多项式，则
(1)当0不是特征方程的根时，设
y*  = Rn (x) = a0 + axx + «2x2 H- F anxn ;
(2)当0是特征方程的单根时，设
y*  = xRn (x) = a^x + axx2 + a2x3 + —F ;
(3)当0是特征方程的重根时，设
y = X2Rn (x) = 670X2 + 4/3 + 々2, +- F 3/+2 .
西中等题 若二阶常系数齐次线性微分方程yff + ayf + by = O的通解为＞ =(G + 
C2x)ex ,求非齐次方程/ + ayf + by = x满足初始条件y(0) = 2,了(0) = 0的特解.
情形二：若/(%)=小匕(%)，匕㈤是x的〃次多项式，则
(1)当a不是特征方程的根时，设
y" = eaxRn(x) = Qax(a0 + axx + a2x2 + …+ ;
⑵当a是特征方程的单根时，设
y = xQaxRn (x) = eax(aox + a^x2 + a2x3 +…+ anxn+i);
⑶当a是特征方程的重根时，设
100 第7章微分方程
y = x2eaxRn (x) = eax(aQx2 + arx3 + a2x4 + …+ anxn+2 ).
|EE国基础题 设a,b9c为常数，则微分方程y〃-5了 +6y = 3x + 2e2、的特解形式为
( ).
(A) e2x(ax + b)
(C) ax + b + ce2x
(B) xg2x (ax+ b)
(D) ax + b + cxe2x
基础题| 求方程/- 3 V + 2y = xe2x的通解.
|西基础题 已知y = e-2' + (x2 + 2)e* 是二阶常系数非齐次线性微分方程/ +殁'+
力=(ex + 4)e”的一个解，求的值.
西中等题 已知％ = ©2% + xex, % = e-x + xex, y3 = e2x 。一"+疣"是某二阶常系数
非齐次线性微分方程的三个解，求此微分方程.
情形三：若 /0)=产［片(x) cos J0X + Qn (x) sin px\ ,则
(1)当a 土仇不是特征方程的根时，设/ =*(q ⑴cos外+斗⑵5也为)；
(2)当a±£i是特征方程的根时，设式=疣磔(q⑴cos£x + Rj2)sin为)， 
其中，尺/)、左加⑵是加次多项式，加=max{/,〃}.
|EE口基础题 微分方程/- 2V + 5y = e" cos 2x有特解(
(A) y = xqx (cos 2x + sin 2x)
(C) y - ^xex cos 2x
(B) y = e  (cos 2x + sin 2x)*
* 1
(D) y =—xexsin2x
|侬基础题 设为常数，微分方程/ + 4y = cos2、有特解(
(A) y = tzcos2%
(C) y - fesin2%
(B) y = x(q + b cos 2x + c sin 2x) 
(D) y*  = a + x(b cos 2x + c sin 2x)
理基础题 求方程y" + 4y = xcosx的通解.
题中等题 求方程= ex +4cosx的通解.