概要信息：

目　录
教材分析及考试说明 （１）
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第一章　绪论 （７）
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第二章　波函数和薛定谔方程 （１８）
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第三章　量子力学中的力学量 （５４）
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第四章　态和力学量表象 （９３）
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第五章　微扰理论 （１１８）
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第六章　自旋与全同粒子 （１５７）
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周世勋《量子力学教程》考点精讲及复习思路
教材分析及考试说明
周世勋《量子力学教程》考研辅导课程
１．周世勋《量子力学教程》考点精讲及复习思路
２．周世勋《量子力学教程》名校真题解析及典型题精讲精练
３．周世勋《量子力学教程》冲刺串讲及模拟四套卷精讲
本课程使用教材
《量子力学教程》第二版
高等教育出版社
周世勋原著，陈灏修订
本课程参考教材
１．周世勋原著，陈灏修订《量子力学教程》，北京，高等教育出版社，２００９。
２．曾谨言著《量子力学》（第三版》，北京，科学出版社，１９９０。
３．张永德著《量子力学》北京，科学出版社，２００２。
Ⅰ　本课程总体要求
量子力学入学考试是为招收与物理相关专业类硕士生而实施的选拔性考试，其指导思想一般为
有利于选拔具有扎实的量子力学基础理论知识的高素质人才。其目的是科学、公平、有效地测试学生
掌握大学本科阶段量子力学的基本知识、基本理论，以及运用量子力学方法分析和解决涉及微观领域
问题的能力，以保证被录取者具有研究物理问题的基本的理论素质，以利于各高等院校和科研院所在
专业上择优选拔。要求考生能够系统地掌握量子力学的基本思想和方法；学习和掌握处理微观粒子
运动的理论方法；以及具备运用所学知识分析问题和解决问题的能力。
Ⅱ　考查目标
考研对量子力学要求包括：量子理论的基本概念和基本原理，并以波动力学为主要表现形式，具
体有波函数和薛定谔方程、力学量、微扰理论和自旋等。
要求考生：
（１）掌握和准确认识微观粒子的波粒二象性。
（２）掌握用波函数来描述微观粒子状态以及波函数的意义。
—１—
（３）学会运用波函数满足的薛定谔方程解决一些简单的量子力学问题，并由此提高对微观世界的
认识。
（４）运用微扰理论的方法解决一些比较简单的问题，并能由此举一反三分析和解决原子物理当中
一些比较实际的问题。
（５）了解和掌握微观粒子的内秉性质，如电子的自旋。结合这一内秉性质理解原子光谱的精细结
构，形成微观物质结构的正确图象。
Ⅲ　考试形式和试卷结构
１．试卷满分及考试时间
本试卷满分为１５０分，考试时间为１８０分钟
２．答题方式
答题方式为闭卷，笔试。
３．试卷内容结构
微观粒子的波粒二象性　　　　　　　　　　约５％
波函数和薛定谔方程　　　　　　　　　　　约２５％
量子力学中的力学量　　　　　　　　　　　约２０％
态和力学量的表象　　　　　　　　　　　　约１０％
微扰理论　　　　　　　　　　　　　　　　约２５％
自旋与全同粒子　　　　　　　　　　　　　约１５％
Ⅳ　试卷题型结构
简答题 （或填空题、或选择题）４８分左右
（一般６小题，每小题５分）
证明题　 ４２分左右
（一般４小题，平均每小题７分）
计算题　 不低于６０分
（一般５小题，平均每小题１２分）
Ⅴ　考查内容
一、微观粒子的波粒二象性
光的粒子性实验，
电子的波动性实验，
德布罗意的波粒二象性，
海森堡的不确定原理
二、波函数和薛定谔方程
微观粒子态的波函数表示，
波函数的统计解释，
态的叠加原理，
—２—
周世勋《量子力学教程》考点精讲及复习思路
薛定谔方程，
概率流和概率流守恒定律，
定态薛定谔方程。
三、量子力学中的力学量
力学量的算符表示，
动量算符和角动量算符，
电子在库仑场中的运动，
氢原子，
厄米算符本征函数的正交性，
算符与力学量的关系，
算符的对易关系，
力学量平均值随时间的变化和守恒定律。
四、态和力学量的表象
态的表示，
算符的矩阵表示，
量子力学公式的矩阵表示，
幺正变换，
狄拉克符号。
五、微扰理论
非简并微扰，
简并微扰，
斯塔克效应，
含时微扰理论，
光的发生和吸收。
六、自旋与全同粒子
电子自旋，
自旋算符和波函数，
角动量的耦合，
光的精细结构，
全同粒子的特性，
全同粒子体系的波函数和泡利原理，
氦原子和氢分子。
七、散射
碰撞过程和碰撞截面，
分波法，
玻恩近似。
—３—
这部分内容，一般而言，出题概率较小，最多占到５％
周世勋《量子力学教程》考点精讲及复习思路课程安排
第一章　 绪论
第二章　 波函数和薛定谔方程
第三章　 量子力学中的力学量
第四章　 态和力学量表象
第五章　 微扰理论
第六章　 自旋与全同粒子
考试题型
第一类：简答题、证明题、填空题、选择题
（一）武汉大学２０１１年
（共四题，每题１０分，共４０分）
１．简述夫兰克－赫兹实验现象及所得结论。
２．简述史特恩－盖拉赫实验现象及所得结论。
３．简述普朗克能量量子化假说提出的实验背景。
４．简述波函数的物理意义，以及波函数的性质。
（二）华中师范大学２００７
１．回答下列问题（２５分）
（１）如何理解微观粒子的波粒二象性？
（２）波函数ψ（→ｒ，ｔ）是用来描述微观体系什么的？它应满足什么样的自然条件？ ψ（→ｒ，ｔ）２的物
理含义是什么？
（３）物理上可观测量应该对应什么样的算符？为什么？
（４）设体系在ψ１描述的状态下，测量Ａ所得到的结果是个确切值 ａ１，在ψ２描述的状态下，测量Ａ
所得到的结果是个确切值 ａ２，则在ψ＝ｃ１ψ１＋ｃ２ψ２状态（ｃ１，ｃ２为常数）下，测量Ａ所得到的结果是什
么？
（三）深圳大学２０１１
回答下列问题（每小题９分，共７２分）
１．利用电子干涉实验，可以证明微观粒子具有波动性还是粒子性？微观粒子的波动性是大量微
观粒子的的统计特性还是单个微观粒子的固有特性，在实验中是怎样验证的？
２．一维谐振子在ｔ＝０时处在归一化波函数为
ψ（ｘ，０）＝槡
１
５ψ０（ｘ）＋槡
１
２ψ２（ｘ）＋Ｃ３ψ３（ｘ）
所描写的态中，式中ψｎ（ｘ）是谐振子的能量本征函数，求（１）Ｃ１的数值（２）ｔ＞０时系统的波
函数。
３．一个自旋为／２的粒子处于Ｓｚ的本征态χ－１２ ＝( )０１ 上，证明：（ΔＳｚ）２ ＝Ｓ２ｚ－Ｓｚ２ ＝
２
４。
—４—
周世勋《量子力学教程》考点精讲及复习思路
４、一个量子系统在ｔ＝０时刻的波函数ψ→ｒ，( )０ 和在任意时刻的波函数ψ→ｒ，( )０ 可以通过一个幺正
变换Ｕ
＾
( )ｔ相连系，即 ψ→ｒ，( )ｔ＝Ｕ
＾
( )ｔψ→ｒ，( )０ 。利用薛定谔方程证明：满足如下方程：ｉ
Ｕ
＾
( )ｔ
ｔ
＝
Ｈ^Ｕ
＾
( )ｔ，其中 Ｈ^是系统的哈密顿。
５．对于全同粒子体系，由于交换任意两个粒子，体系的状态　　　　　，因此全同粒子体系的状
态只能用　　　　　 波函数和　　　　　　　波函数来描述。
６．对于一个量子力学系统，取两个不同的表象，则：
（１）两个不同的表象通过什么算符相联系？
（２）在不同的表象中，不变的量有：
（ａ）力学量的表示；
（ｂ）体系的状态；
（ｃ）力学量的本征值；
（ｄ）两个波函数的内积；
（ｅ）力学量的平均值。　　　　　　
７．证明：泡里算符满足 σ^ｘ^σｙσ^σｚ＝ｉ。
８．电子在均匀电场→Ｅ＝ ０，０，( )ε 中运动，哈密顿量为 Ｈ^＝
ｐ^２
２ｍ－ｅεｚ，分析动量的三个分量ｐｘ，ｐｙ，
ｐｚ哪些是守恒量。
第二类：计算题
杭州师范大学２０１２年
１．（１６分）设粒子在一维无限深势阱Ｖ（ｘ）＝
０ ０＜ｘ＜ａ
!
ｘ＜０，{ ｘ＞ａ
中运动，
求：（１）求解粒子能量本征值及对应的状态波函数。（６分）
（２）粒子在一维空间的几率分布函数。（５分）
（３）在第ｎ个能量激发态上，证明ｘ＝ａ２，ｐ＝０。（５分）
２．（１５分）设氢原子处于状态
ψ（ｒ，θ，φ）＝ｃ１Ｒ２１（ｒ）Ｙ００（θ，φ）＋ｃ２Ｒ３１（ｒ）Ｙ１０（θ，φ）＋ｃ３Ｒ２１（ｒ）Ｙ１－１（θ，φ）
式中ｃ１，ｃ２，ｃ３为已知常数，且 ｃ１
２＋ ｃ２
２＋ ｃ３
２ ＝１
求：（１）求科能测到氢原子能量值及其测量到的几率。（５分）
（２）轨道角动量平方Ｌ２的可能值，可能值出现的几率以及 Ｌ２的平均值。（５分）
（３）ｚ分量ＬＺ的可能值，可能值出现的几率以及 ＬＺ平均值。
第三类：拓展发挥题。
１）证明Ｈ－Ｆ定理：设体系的哈密顿量Ｈ中含有某参量λ，ψｎ，Ｅｎ是 Ｈ^的归一化的束缚态本征函
数和本征值（ｎ为一组量子数），则：
Ｅｎ
λ
＝〈^Ｈ
λ
〉。（式中 〈^Ａ〉表示 Ａ^在ψｎ下的平均值。
—５—
２）利用Ｈ－Ｆ定理证明，对类氢原子定态有：〈ｐ^
２
２μ
〉＝－１２〈^Ｖ〉
命题规律总结
考试的重点内容：
第一章德布罗意假设及其公式、波粒二象性
第二章波函数的统计解释；态叠加原理；薛定谔方程的建立过程；粒子流密度的概念及粒子数守
恒定律；定态的概念，定态薛定谔方程的解法；一维无限深势阱的求解过程；线性谐振子（考核概率
１００％）；波函数的标准条件
第三章表示力学量的算符；动量算符与角动量算符（重点）（考核概率５０％）；电子在库仑场中的
运动（掌握理解）（考核概率５０％）掌握理解：厄密算符的性质；厄密算符本征函数的正交性；算符与力
学量的关系；算符的对易关系，两力学量同时有确定值的条件，测不准关系；
第四章态的表象，坐标表象与动量表象之间的关系，希尔伯特空间；算符的矩阵表示（重点：考核
概率：３０％）
第四章量子力学公式的矩阵表示，久期方程（重点：考核概率：５０％）；幺正变换的本质（重点：考核
概率：５０％）；线性谐振子与占有数表象。（重点：考核概率：２０％）
第五章非简并定态微扰理论；简并情况下的微扰理论（重点：考核概率：５０％）
第六章电子自旋（考核概率３０％）；电子的自旋算符和自旋函数（重点：考核概率６０％）
计算题常用的公式：
１）一维无限深势阱、线性谐振子、中心力场及氢原子、自由粒子问题的本征态和本征函数；
２）递推公式
３）常见的对易关系式
４）微扰论的能量的一级修正、二级修正公式；波函数的一级修正公式
备考与应试策略
作为一门专业课，量子力学的考试内容与所报学校的学科发展有密切的关系，譬如，散射问题是
大多数专业不予涉及的，但是，核物理专业却作为重点之一。因此最好把所报学校历年来的考试真题
进行分析，依据考试大纲的内容，找出重点内容。
总之，量子力学以波函数及其满足的自然条件、薛定谔方程和力学量算符为核心，对量子力学所
涉及的各知识点进行融会贯通。
１．熟悉量子力学的基本理论知识，多看看教材和历年试题，适当地参加辅导班。教材上的教学内
容并不是全部都作为考试内容的，但其中的一些重要的内容会在各校的考研题上几年都以不同的形
式出现，对这一部分内容要将其挖掘出来，
２．将上述的复习内容以自己的方式整理出来，形成精练的笔记。试题也可能出现一些超范围的
内容，因此要阅读与报考专业相关的一些专业书。
３．选择一本合适的习题集，结合历年来的考试题，有针对性地进行练习。
４．在考前，对课程的重点和基本概念、基本原理、常用的公式进行复习，加深记忆。
—６—
周世勋《量子力学教程》考点精讲及复习思路
第一章　绪论
本章考研要求
１．经典物理学的困难（之一：黑体辐射问题和Ｐｌａｎｋ量子论）
理解黑体辐射问题中经典理论所遇到的困难和Ｐｌａｎｋ量子论。掌握Ｐｌａｎｋ量子论（重点）。
１）黑体辐射问题中经典理论所遇到的困难（维恩公式、瑞利－金斯公式）。
２）Ｐｌａｎｋ的电磁辐射能量量子化的思想，并推导Ｐｌａｎｋ的黑体辐射公式，理解并掌握Ｐｌａｎｋ的能量
量子化的假设。
２．经典物理学的困难（之二：光电效应与爱因斯坦的光量子论；之三：Ａ．Ｅｉｎｓｔｅｉｎ光量子论在
Ｃｏｍｐｔｏｎ效应的解释）
掌握光电效应概念（脱出功 Ａ的概念、光电流等）；爱因斯坦的光量子论解释光电效应；Ｃｏｍｐｔｏｎ
效应概念；Ａ．Ｅｉｎｓｔｅｉｎ光量子论在Ｃｏｍｐｔｏｎ效应的解释（重点）；理解：在微观单个碰撞事件中能量动量
守恒定律仍然成立。
１）光电效应概念（脱出功Ａ的概念、光电流等），光电效应实验中所得到的３个结论认识。
２）爱因斯坦的利用Ｐｌａｎｋ的能量量子论思想引入到电磁波上引入了光量子论思想，利用此思想如
何解释了光电效应现象。（重点）
３）Ａ．Ｅｉｎｓｔｅｉｎ光量子论在Ｃｏｍｐｔｏｎ效应的解释（重点，难点）；在微观单个碰撞事件中能量动量守
恒定律仍然成立。（理解）
３．经典物理学的困难（之四：原子的线状光谱及其规律；原子的稳定性）
掌握Ｂａｌｍｅｒ公式，Ｒｉｔｚ原则的内容，Ｒｕｔｈｅｒｆｏｒｄ模型的不足与玻尔角动量量子化条件，索末菲广义
量子化条件，氢原子能级的推导（重点，难点）；
理解：固体与分子的比热问题上经典物理所遇到的困难。
４．微粒的波粒二象性
掌握：ｄｅＢｒｏｇｌｉｅ的微观粒子波粒性公式，微观粒子ｄｅＢｒｏｇｌｉｅ波。
１）ｄｅＢｒｏｇｌｉｅ的微观粒子波粒性公式，微观粒子ｄｅＢｒｏｇｌｉｅ波（重点，难点）
２）理解：为什么微观粒子ｄｅＢｒｏｇｌｉｅ波写成复数域的指数形式。
考点一：黑体辐射问题和Ｐｌａｎｋ量子论
１．黑体与黑体辐射规律
什么是黑体？
若一物体对什么光都吸收而无反射，就称这种物体为“绝对黑体”，简称“黑体”。事实上，不存在
“绝对黑体”，不过有些物体可以近似地作为“黑体”来处理，例如
一束光一旦从狭缝射入空腔后，就很难再通过狭缝反射出来，这个空腔上的狭缝就可以看作
黑体。
—７—
黑体辐射规律：实验曲线为
基尔霍夫（Ｇ．Ｒ．Ｋｉｒｃｈｈｏｆ）证明：黑体与热辐射达到平衡时，辐射能量密度随频率变化曲线的形状
和位置只与黑体的热力学温度Ｔ有关，而与空腔的形状及组成的物质无关。这样利用黑体就可撇开
材料的具体性质普遍地研究。
２．经典理论的困难
维恩（Ｗｉｅｎ）假设气体分子辐射的频率只与其速度有关，给出了与麦克斯韦速度分布率形式很相
似的公式为
ｒλ，Ｔｄλ＝Ｃ１λ
－５ｅ－
Ｃ２
λＴｄλ
与实验结果相比，短波长部分与实验符合较好，长波长部分与实验相差较大。
瑞利—金斯（Ｒ－Ｊ）从能量按自由度均分定律出发给出的公式为
ｒλ，Ｔｄλ＝
２πｃ
λ４
ｋＴｄλ
—８—
周世勋《量子力学教程》考点精讲及复习思路
这个公式只有在波长相当长的部分与实验曲线相符合。随着波长减小，辐射度无限增大，隐含总
发射能量发散。这显然是不正确的，辐射理论出现这种荒唐的局面被称之为“紫外灾难”。可见，经
典物理对黑体辐射是无法解释的。
３．Ｐｌａｎｋ的能量子假设
正确的黑体辐射公式是普朗克给出的 ，与黑体辐射实验曲线很好地吻合。
ｒλ，Ｔｄλ＝Ｃλ
－５ ｄλ
ｅ
ｈν
ｋＴλ－１
ｈ＝６．６２６２×１０－３４Ｊ．Ｓ
当λ→０时，Ｐｌａｎｃｋ公式趋于Ｗｉｅｎ公式
当λ→ !
时，Ｐｌａｎｃｋ公式趋于Ｒ－Ｊ公式
黑体辐射能量分布曲线
普朗克是如何得到这个正确的公式呢？普朗克假设：可将黑体物质看作是由各种频率的简谐振子
组成的，频率为的谐振子能量值只取 的整数倍，在黑体与辐射场处于热平衡条件下，交换能量（吸收
和发射电磁辐射）是一份一份吸收和发射能量，每一份的能量为ｈν，其中ν为电磁辐射的频率。一份
能量ｈν称为一个能量子，ｈ称为Ｐｌａｎｃｋ常数。
ｈ的物理意义是：能量量子化的量度，即分立性的量度。
凡是与ｈ有关的物理现象就可视作量子现象。
考点二：光电效应，光量子－光子，光的波粒二象性
何为光电效应？
当光照射到金属电极上，就有电子从金属中逸出，这一现象称为光电效应（ｐｈｏｔｏｅｌｅｃｔｒｉｃｅｆｅｃｔ）。
从实验中总结出的光电效应规律是：（１）对于一定材料构成的阴极，只有光的频率大于一定值时，
才有电子发射出来；（２）光电子的能量只与光的频率有关，与光强无关；（３）对于一定材料的电极，当
照射光频率大于一定值时，几乎没有弛豫时间，立即就有光电子发射出来。这些实验事实是经典理论
无法解释的，因为根据光的电磁理论，光能量只决定于光强度，而与光频率无关。
Ｅｉｎｓｔｅｉｎ第一个认识到，电磁辐射不仅发射和吸收是以量子形式进行的，而且是以量子形式传播
的，辐射场本身就是由一个一个光量子———Ｅｉｎｓｔｅｉｎ称为光子（ｐｈｏｔｏｎ）———组成的。每个光子的
能量ε＝ｈν＝ω
动量
→ｐ＝ ｈ２π
→ｋ＝→ｋ
—９—
其中，＝ ｈ２π
是量子力学中常用的常数 ，ω＝２πν是光波圆频率，→ｋ是波矢量。
当光照射到金属阴极上时，能量为 ｈν的光子被电子吸收，电子把这份能量一部分用来克服金属
表面对它的吸引力做功，另一部分就转化为光电子携带的动能。能量转化的数学关系为
１
２ｍυ
２ ＝ｈν－Ｗ０
其中，ｍ是电子的质量，υ是逸出光电子的速度，Ｗ０是电子脱出金属表面所需要做的功，称为脱
出功 ，ν是照射金属阴极的光频率。
如果电子所吸收的光子能量小于，则电子不能脱出金属表面，因而没有光电子产生。光的频率决
定光子的能量，光的强度只决定光子的数目，光子多，产生的光电子也多。在金属阴极材料确定下（即
材料的Ｗ０一定时 ），其产生光电子的极限频率为νｍｉｎ ＝
Ｗ０
ｈ。
这样，经典理论所不能解释的光电效应就得到了说明。
进一步，爱因斯坦证明，光子不仅具有确定的能量，而且具有动量，由相对论公式
ｍ＝
ｍ０
１－ν
２
ｃ槡 ２
知由于光子的速度因而光子的质量只能取为ｍ０ ＝０，并由动量－能量关系
Ｅ２ ＝（ｍ０ｃ
２）２＋ｃ２ｐ２
得到光子能量Ｅ和动量ｐ之间的关系是Ｅ＝ｃｐ
所以光子的能量和动量是
Ｅ＝ｈν＝ω
→ｐ＝ｈνｃ
→ｎ＝ｈ
λ
→ｎ＝→ｋ
　　＝ ｈ２π
＝１．０５４５×１０－３４
上式把光的两重性质———波动性和粒子性联系了起来，等式左端是描写粒子的能量和动量，右端
是描写波动性的波长和频率。
其中ｎ表示沿光子运动方向的单位矢量，ω＝２πν表示角频率，λ是波长，→ｋ＝２πνｃ
→ｎ＝２π
λ
→ｎ称为
波矢，焦耳秒。
Ｃｏｍｐｔｏｎ效应是光具有粒子性的又一次实验证明
实验发现，高频Ｘ射线被自由电子或轻元素中的电子（弱束缚电子）散射后，波长要发生变化，并
随散射角增大波长增大。按照经典电动力学，电磁波被电子散射的过程是电子在入射场作用下，作受
迫振动而重新辐射电磁波的过程，散射波长不会发生变化。但是如果把电子散射电磁波的过程看成
是光子与电子的碰撞过程，就可导出和实验符合的Ｃｏｍｐｔｏｎ散射波长改变的公式。
Δλ＝λ′－λ＝ ４πｈ２πμ０ｃ
ｓｉｎ２ θ２
λ，λ′分别是光子碰撞前后的波长，μ０是电子的静止质量，θ是散射角。普朗克常数 ｈ在其中的
出现，说明康普顿效应也是量子现象。
—０１—
周世勋《量子力学教程》考点精讲及复习思路
现在新的实验事实，迫使我们不得不承认光除去具有波动性以外，还具有粒子性，光具有波粒二
象性。
相对论公式Ｅ＝ｍｃ２ ＝ｍ０ｃ
２／ １－ｖ
２
ｃ槡 ２　　　　Ｅ
２ ＝ｍ０
２ｃ４＋ｃ２ｐ２
对于光子　ｍｏ ＝０　　　Ｅ＝ｃｐ
（动能）能量守恒：ω＝ω′＋ｍｏｃ
２
１
１－ｖ
２
ｃ槡 ２
－





１
动量守恒：水平
ω
ｃ ＝
ω′
ｃｃｏｓθ＋
ｍｏｖ
１－ｖ
２
ｃ槡 ２
ｃｏｓθ′
垂直０＝ω′ｃｓｉｎθ＋
ｍｏｖ
１－ｖ
２
ｃ槡 ２
ｓｉｎθ′
Δλ＝λ′－λ＝４πｍｏｃ
ｓｉｎ２ θ２
考点三：原子结构的玻尔理论—
Ｐｌａｎｃｋ－Ｅｉｎｓｔｅｉｎ光量子概念必然会促进物理学其他重大疑难问题的解决。１９１３年 Ｂｏｈｒ把这种
概念运用到原子结构问题上，提出了他的原子的量子论。该理论今天已为量子力学所代替，但是它在
历史上对量子理论的发展曾起过重大的推动作用，而且该理论的某些核心思想至今仍然是正确的，在
量子力学中保留了下来
（１）波尔假定
（２）氢原子线光谱的解释
（３）量子化条件的推广
（４）波尔量子论的局限性
·氢原子的线状光谱是如何产生的？
·核外电子如何运动？
·怎样排布？
·性质如何？
·微观世界遵守怎样运动规律？
·与宏观运动规律有何不同？
１）原子光谱：Ｆｅ在电弧中发光（可见光）
—１１—
原子光谱为什么是线状（不连续）光谱？为什么氢原子的线状光谱遵循巴尔末经验公式 ？
ν＝ＲＨｃ
１
ｎ′２
－１
ｎ( )２ ｎ′＝１，２，３，…
ｎ＝２，３，４[ ]
，…
（ｎ＞ｎ＇）
经典理论的困难
①原子稳定性的问题，根据经典电动力学，电子环绕原子核的运动是加速运动，因而不断以辐射
的方式发射出能量，电子运动轨道的曲率半径也就不断减小，电子最后终将落到原子核中去；②加速
电子所产生的辐射能量是连续的减少，其辐射频率是也应该是连续分布的，这显然与原子光谱是分立
的线状谱线不符；③按照经典理论，如果一个体系发射出频率为的波，则它也可能发射出各种频率是
的整数倍的谐波，这也不符合光谱实验结果，实验表明谱线的频率分布所遵从的是里茨的并合原则。
（如果光谱中有频率为ν１和ν２的两条谱线，则常常还有频率为ν１＋ν２或 ν１－ν２ 的谱线）。
１．波尔假定
１）原子具有能量不连续的定态的概念。
２）量子跃迁的概念．
原子的稳定状态只可能是某些具有一定分立值能量 Ｅ１，Ｅ２，．．．．．．，Ｅｎ的状态。而处于基态（能
量最低态）的原子，则不放出光子而稳定的存在着。
原子处于定态时不辐射，但是因某种原因，电子可以从一个能级 Ｅｎ跃迁到另一个较低（高）的能
级 Ｅｍ，同时将发射（吸收）一个光子。光子的频率为
νｍｎ ＝［Ｅｎ－Ｅｍ］／ｈ → 频率条件
为了具体确定这些能量数值，Ｂｏｈｒ提出了量子化条件：
电子的角动量Ｌ只能取的整数倍，即Ｌ＝ｎ
其中 ｎ＝１，２，３…
Ｌ＝ｎ 其中 ｎ＝１，２，３…
根据这两个概念，可以圆满地解释氢原子的线光谱。
假设氢原子中的电子绕核作圆周运动
—２１—
周世勋《量子力学教程》考点精讲及复习思路
Ｆｃ＝
μｖ２
ｒ ＝
ｅ２
ｒ２
　　　ｖ２ ＝ｅ
２
μｒ
（１）
ｒ２μ２ｅ
２
μｒ
＝ｎ２２
ｒ＝ｎ
２２
μｅ２
（２）
角动量　　 → →Ｌ＝｜ｒ×ｐ｜＝ｒμｖ＝ｎ　　　（ｒμｖ）２ ＝ｎ２２
ｎ＝１ ｒ０ ＝
２
μｅ２
第一Ｂｏｈｒ轨道半径
２．电子的能量
ｖ２ ＝ｅ
２
μｒ
（１）
Ｅ＝Ｔ＋Ｖ＝１２μｖ
２－ｅ
２
ｒ　　　　ｒ＝
ｎ２２
μｅ２
（２）
　 ＝１２μ
ｅ２
μｒ
－ｅ
２
ｒ＝－
ｅ２
２ｒ＝－
μｅ４
２ｎ２２
＝Ｅｎ　ｎ＝１，２，３，…
根据　Ｂｏｈｒ量子跃迁的概念
ν＝
［Ｅｎ－Ｅｍ］
ｈ ＝ １
２π
［－ μｅ
４
２ｎ２２
＋ μｅ４
２ｍ２２
］
＝ μｅ
４
４π３
１
ｍ２
－１
ｎ[ ]２
与氢原子线光谱的经验公式比较得 Ｒｙｄｂｅｒｇ常数
νｅｘｐ ＝ＲＨｃ
１
ｍ２
－１
ｎ[ ]２
与实验完全一致
３．量子化条件的推广
由理论力学知，若将角动量 Ｌ选为广义动量，则θ为广义坐标。考虑积分并利用 Ｂｏｈｒ提出的量
子化条件，有
∮Ｌｄθ＝ｎ∮ｄθ＝２πｎ＝ｎｈ
索末菲将 Ｂｏｈｒ量子化条件推广为推广后的量子化条件可用于多自由度情况，∮ｐｉｄｑｉ＝ｎｉｈ其中ｐｉ
是广义动量，ｑｉ是相应的广义坐标。
这样索末菲量子化条件不仅能解释氢原子光谱，而且对于只有一个电子（Ｌｉ，Ｎａ，Ｋ等）的一些原
子光谱也能很好的解释
４．波尔量子论的局限性
波尔量子论首次打开了认识原子结构的大门，取得了很大的成功。但是它的局限性和存在的问
题也逐渐为人们所认识：
１．不能证明较复杂的原子甚至比氢稍微复杂的氦原子的光谱；
—３１—
２．不能给出光谱的谱线强度（相对强度）；
３．Ｂｏｈｒ只能处理周期运动，不能处理非束缚态问题，如散射问题；
４．从理论上讲，能量量子化概念与经典力学不相容。多少带有人为的性质，其物理本质还不
清楚。
考点四：物质波、ｄｅＢｒｏｇｌｉｅ关系、微粒的波粒二象性
在经典物理中，像电子这样的实物粒子是作为点粒子描述的。１９２４年ｄｅＢｒｏｇｌｉｅ在光具有波动性
和粒子性启发下，首先提出波粒二象性不应当仅是光具有的性质，像电子以及其它实物粒子不仅具有
粒子性，可能也具有波动性的假设。他提出任何物体都伴随着波，而且不可能把物体运动和波传播分
割开来，并假设实物粒子的波动性与粒子性数量关系与光子相同
Ｅ＝ｈν＝ω
→ｐ＝ ｈ２π
→ｋ＝→ }ｋ
ω是伴随波的圆频率，→ｋ是波矢量，这组关系称为 ｄｅＢｒｏｇｌｉｅ关系，这种波就称为物质波 （ｍａｔｅｒ
ｗａｖｅ）。
物质波、ｄｅＢｒｏｇｌｉｅ关系的实验验证
ｄｅＢｒｏｇｌｉｅ的假说很快就得到了实验证实。１９２７年 Ｄａｖｉｓｓｏｎ和 Ｇｅｒｍｅｒ用加速电子束入射到金
属镍单晶上，观察到了和 Ｘ射线入射情况相同的衍射现象，这就证实了电子束和 Ｘ射线束（一种频
率不同于光的电磁波）具有相同的波动性质。同期 Ｔｈｏｍｓｏｎ做了电子被多晶体散射的实验，也得到
了类似于 Ｘ射线经多晶体衍射所产生的衍射图样。以后其他人又成功地进行了电子的单缝、双
缝、多缝衍射实验，都证实了电子的波动性。Ｆｅｒｍｉ还观察到了中子束的干涉和衍射现象，Ｓｔｅｒｎ等
人还完成了氩分子和氦原子在氟化锂晶体上衍射的定量实验等。总之实验证明，一切微观粒子都
具有波动性。
微观粒子波粒二象性理解
在经典物理中，波概念意味着可弥散于全空间，在空间和时间中作周期性的变化，可以在空间传
播和运动。特别是波可以叠加，并发生干涉和衍射。粒子概念则和这样的事实联系着，可定域在空间
一点（实际上是一个小区域中），一个粒子在空间一点的出现总是排斥其它粒子在这一点出现，粒子在
保持原特性条件下意味着不可分割。波动性和粒子性在经典物理中是互相排斥的，对立的、不相
容的。
—４１—
周世勋《量子力学教程》考点精讲及复习思路
如何理解在量子论中他们可统一地描述微观粒子呢？
首先，微观粒子不是宏观粒子，比如电子是分布在范围２．８２×１０－１５ｍ内，质量约为１０－３１ｋｇ的客
体。它的空间限度以及质量是如此之小，它具有不同于宏观粒子的特性，我们无法直接感知它，惟一
认识它的途径是用宏观仪器观测它们。测量它们就意味着对它们发生某种作用，这就会对它产生某
种干扰，它在某种条件下表现出的性质像宏观粒子，在另外一些条件下又表现出类似经典波的性质。
对它的这种奇怪的性质，从宏观世界中我们无法获得恰当的概念和语言描述它，只好用经典上看上去
矛盾的语言，类比地说它既像粒子又像波。
另外，我们说微观粒子具有波粒二象性，这里的粒子性并不完全是经典意义上的粒子，只是保留
了经典粒子最重要的集中而不可分割的颗粒特性，而摒弃了如运动轨道等概念。说它具有波动性，也
只是保留了经典波最重要的可叠加、干涉、衍射等特性，而摒弃了经典波代表真实物质场波动的含义。
ｄｅＢｒｏｇｌｉｅ波
因为自由粒子的能量 Ｅ和动量 ｐ都是常量，所以由ｄｅＢｒｏｇｌｉｅ关系可知，与自由粒 子联系的波的
频率ν和波矢ｋ（或波长λ）都不变，即是一个单色平面波。由力学可知，频率为ν，波长为λ，沿单位矢
量 ｎ方向传播的平面波可表为：
Ψ ＝Ａｃｏｓ［→ｋ·→ｒ－ωｔ］ 其中ω＝２πν，→ｋ＝２πλ
→ｎ。
Ψ ＝Ａｅｘｐ［ｉ（→ｋ·→ｒ－ωｔ）］
＝Ａｅｘｐ ｉ

（
→ｐ·→ｒ－Ｅｔ[ ]）
ｄｅＢｒｏｇｌｉｅ关系：
ν＝Ｅ／ｈ ω＝２
ν＝２πＥ／ｈ＝Ｅ／
λ＝ｈ／ｐ ｋ＝１／λ－＝２π／λ＝ｐ／
这种波就是与自由粒子相联系的单色平面波，或称为描写自由粒子的平面波，这种写成复数形式
的波称为ｄｅＢｒｏｇｌｉｅ波
驻波条件———纠正Ｂｏｈｒ量子论的人为缺陷
为了克服 Ｂｏｈｒ理论带有人为性质的缺陷，ｄｅＢｒｏｇｌｉｅ把原子定态与驻波联系起来，即把粒子能量
量子化问题和有限空间中驻波的波长（或频率）的分立性联系起来。
—５１—
例如：氢原子中作稳定圆周运动的电子相应的驻波示意图
要求圆周长是波长的整数倍
２πｒ＝ｎλ　　　ｎ＝１，２，３，…
上式代入
ｄｅＢｒｏｇｌｉｅ关系ｐ＝ｈ
λ
＝ ｈ
２πｒ
ｎ
＝ｎｈ２πｒ
＝ｎｒ
于是角动量：Ｌ＝ｒｐ＝ｎ ｎ＝１，２，３，…
电子或者实物粒子的波动性为什么长期未被发现？
德布罗意波长计算：通过比较，就可以回答该问题。
实物 质量／ｋｇ 速度／ｍ·ｓ－１ 波长／ｐｍ
１Ｖ加速电子 ９．１
"
１０－３１ ５．９
"
１０５ １２００
Ｈｅ原子 ６．６
"
１０－２７ １．４
"
１０３ ７２
枪弹 １．０
"
１０－２ １．０
"
１０３ ６．６
"
１０－２３
复习思路
第一章绪论引入了许多新的物理概念，支撑这些新概念和新理论的实验有
１．光的粒子性实验：
黑体辐射，光电效应，康普顿散射；
２．物质粒子波动性的实验：
戴维孙－革末所作的电子衍射实验，电子束在穿过细晶粉末或薄金属片的衍射，电子的单缝、双
缝及多缝衍射实验以及原子、分子、中子等微观粒子的衍射实验。
３．波尔量子论的实验：原子的线状光谱、弗兰克－赫兹实验等。
注意：以上这些新理论及其验证性的实验，虽然在国内各著名高校历届量子力学考研试题中所占
分值只有５～１０％左右，但出题频率却高达８０％以上，希望引起各位学子的警惕。
名校试题回顾
例１　２００７年武汉大学，１０分题
写出光波粒二象性的爱因斯坦关系式和实物粒子波粒二象性的德布罗意关系式，再求自由电子
当其能量Ｅ＝１ｅＶ时的德布罗意波长。
例２　２０１１年武汉大学，１０分题
简述普朗克能量量子化假说提出的实验背景。
—６１—
周世勋《量子力学教程》考点精讲及复习思路
例３　２００７年华中师范大学，５分题
如何理解微观粒子的波粒二象性？
例４　２０１１年深圳大学，９分题
利用电可以证明微观粒子具有波动性还是粒子性？微观粒子的波动性是大量微观粒子的统计特
性还是单个微观粒子的固有特性，在实验中是怎样验证的？
例５　２０１２年北京科技大学，１０分题
德布罗意的物质波假设用　　　　　　　 把粒子的波长和动量联系起来？
请列举两个支持光具有波动性的实验：　　　　　　　　。　　　　　　　　　　　　
请列举两个支持光具有粒子性的实验：　　　　　　　　。　　　　　 　　　　　
例６　２００３年南开大学，２０分题
求电子被３．２×１０－８伏特电压加速后的德布罗意波长，并讨论若此电子通过宽度为２０微米的狭
缝时，是否会发生明显衍射。（电子的静质量约为９×１０－３１千克，电量为１．６×１０－１９库仑，普朗克常数
ｈ＝６．６３×１０－３４焦秒）　
例７　 ２００８年，厦门大学，５分题
解释微观粒子的波粒二象性，并写出德布罗意关系式。
例８　２００９年，厦门大学，５分题
简要说明一下科学家对量子力学的主要贡献：普朗克（Ｐｌａｎｃｋ），爱因斯坦（Ｅｉｎｓｔｅｉｎ），波尔
（Ｂｏｈｌ），德布罗意（ｄｅＢｒｏｇｌｉｅ），薛定谔（Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ），海森堡（Ｈｅｉｓｅｎｂｅｒｇ）。
例９　２００５年复试题，５分
历史上，下列哪些实验验证了电子具有波动性（　）
Ａ．戴维孙－革末实验　　　　　　　　　　　　　Ｂ．施特恩－盖拉赫实验　
Ｃ．光电效应实验　　　　　　　　 Ｄ．黑体辐射实验　　　
Ｅ．散射实验　　　　　　　　　　 Ｆ．弗兰克－赫兹实验
例１０　２０１１年，南京航空航天大学，５分
描述一个验证微观体系中能量量子化的实验。
例１１　２０１１年，常州大学，１０分
黑体辐射、光电效应和康普顿散射这三个实验说明了什么问题？
例１２　２００５年复试题，５分
判别一个物理体系是经典体系还是量子体系的基本标准是（　 ）
Ａ．物理体系的作用量是否与ｈ相比拟
Ｂ．物理体系是否由微观粒子组成
Ｃ．物理体系是否作低速运动
Ｄ．物理体系是否处于极低温度
—７１—
第二章　波函数和薛定谔方程
本章考研要求
本章是量子力学的重点内容之一，有以下几个考点
１．波函数的统计解释；
２．态叠加原理；
３．薛定谔方程的建立过程；
４．粒子流密度的概念与粒子数守恒定律的推导；
５．波函数的标准条件；
６．定态的概念，束缚态的概念，定态薛定谔方程的解法；
７．一维无限深势阱的求解过程；
８．线性谐振子的求解过程；
９．势垒贯穿的求解。
考点一波函数的统计解释
（一）波函数
（二）波函数的解释
（三）波函数的性质
描写自由粒子的平面波
ｄｅＢｒｏｇｌｉｅ波　　Ψ ＝Ａｅｘｐ ｉ

（
→ｐ·→ｒ－Ｅｔ[ ]）
如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）
粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：
Ψ（→ｒ，ｔ）
描写粒子状态的波函数，它通常是一个复函数。
３个问题？
（１）
#
是怎样描述粒子的状态呢？
（２）
#
如何体现波粒二象性的？
（３）
#
的物理意义？
（一）两种错误的看法
１．波由粒子组成
如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。这种看法是与实验矛盾的，它不能解释
长时间单个电子衍射实验。
电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动
—８１—
周世勋《量子力学教程》考点精讲及复习思路
性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。事实上，正是由于单个
电子具有波动性，才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量
子现象。
结论：波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。
２．粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。
因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。
什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。
平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波
组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。
实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大
小 ≈１Ａ。
电子究竟是什么东西？是粒子？还是波？
“电子既不是粒子也不是波 ”，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们也可以说，“电子既
是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。”
这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。
经典概念中粒子意味着
１）有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性；
２）有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度。
经典概念中波意味着
１）实在的物理量的空间分布作周期性的变化；
２）干涉、衍射现象，即相干叠加性。
衍射实验所揭示的电子的波动性是：
许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。
波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，Ｂｏｒｎ提出了波函数意义的统计
解释。
假设衍射波波幅用 Ψ（ｒ）描述，与光学相似
衍射花纹的强度则用 Ψ（ｒ）２描述，但意义与经典波不同
Ψ（ｒ）２的意义是代表电子出现在 ｒ点附近几率的大小，确切的说，Ψ（ｒ）２ΔｘΔｙΔｚ表示在
ｒ点处，体积元ΔｘΔｙΔｚ中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这
点找到粒子的几率成比例，据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运动的一种统计规
律性，波函数Ψ（ｒ）有时也称为几率幅。这就是首先由 Ｂｏｒｎ提出的波函数的几率解释，它是量子力
—９１—
学的基本原理。
（１）几率和几率密度
根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：
在ｔ时刻，ｒ点，ｄτ＝ｄｘｄｙｄｚ体积内，找到由波函数Ψ（ｒ，ｔ）描写的粒子的几率是：
ｄＷ（ｒ，ｔ）＝Ｃ｜Ψ（ｒ，ｔ）｜２ｄτ，其中，Ｃ是比例系数。
在 ｔ时刻 ｒ点，单位体积内找到粒子的几率是：
ω（ｒ，ｔ）＝｛ｄＷ（ｒ，ｔ）／ｄτ｝＝Ｃ｜Ψ（ｒ，ｔ）｜２称为几率密度。
在体积 Ｖ内，ｔ　时刻找到粒子的几率为：
Ｗ（ｔ）＝∫ｖｄＷ ＝∫ｖω（ｒ，ｔ）ｄτ＝Ｃ∫ｖ Ψ（ｒ，ｔ）２ｄτ
（２）平方可积
由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），所以在全空间找到粒子的几率应为
一，即：
Ｃ∫∞ Ψ（ｒ，ｔ）２ｄτ＝１，
从而得常数 Ｃ之值为：Ｃ＝１／∫∞ Ψ（ｒ，ｔ）２ｄτ
这即是要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。
∫∞ Ψ（ｒ，ｔ）２ｄτ$∞，　则 Ｃ$
０，这是没有意义的。
注意：自由粒子波函数
Ψ（→ｒ，ｔ）＝Ａｅｘｐ ｉ

（
→ｐ·→ｒ－Ｅｔ[ ]）
不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问题，以后再予以讨论。
（３）归一化波函数
Ψ（ｒ，ｔ）和 ＣΨ（ｒ，ｔ）所描写状态的相对几率是相同的，这里的 Ｃ是常数。因为在 ｔ时刻，空
间任意两点 ｒ１和 ｒ２处找到粒子的相对几率之比是：
ＣΨ（→ｒ１，ｔ）
ＣΨ（→ｒ２，ｔ）
２
＝ Ψ（→ｒ１，ｔ）
Ψ（→ｒ２，ｔ）
２
可见，Ψ（ｒ，ｔ）和 ＣΨ（ｒ，ｔ）描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。
由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间
各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状
态不变，即Ψ（ｒ，ｔ）和 ＣΨ（ｒ，ｔ）描述同一状态。这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 ２
倍），则相应的波动能量将为原来的 ４倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。
归一化常数
若 Ψ （ｒ，ｔ）没有归一化∫∞ Ψ（ｒ，ｔ）２ ｄτ＝ Ａ（Ａ是大于零的常数），则有 ∫∞
（Ａ）－１／２Ψ（ｒ，ｔ）２ｄτ＝１
—０２—
周世勋《量子力学教程》考点精讲及复习思路
注意：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性。
若Ψ（ｒ，ｔ）是归一化波函数，那么，ｅｘｐ｛ｉα｝Ψ（ｒ，ｔ）也是归一化波函数（其中α是实数），与前
者描述同一几率波。
也就是说，（Ａ）－１／２Ψ（ｒ，ｔ）是归一化的波函数与Ψ（ｒ，ｔ）描写同一几率波，（Ａ）－１／２称为
归一化因子。
４）平面波归一化
Ⅰ　Ｄｉｒａｃδ—函数；定义：δ（ｘ－ｘ０）＝
０ ｘ≠ｘ０
!
ｘ＝ｘ{
０
∫
ｘ０＋ε
ｘ０－ε
δ（ｘ－ｘ０）ｄｘ＝∫
!
－
!
δ（ｘ－ｘ０）ｄｘ＝１（ε＞０）
或等价的表示为：对在ｘ＝ｘ０邻域连续的任何函数 ｆ（ｘ）有
∫
!
－
!
ｆ（ｘ）δ（ｘ－ｘ０）ｄｘ＝ｆ（ｘ０）
%
—函数 亦可写成 Ｆｏｕｒｉｅｒ积分形式：
δ（ｘ－ｘ０）＝
１
２π∫
!
－
!
ｄｋｅｉｋ（ｘ－ｘ０）
令 ｋ＝ｐｘ／
!
，ｄｋ＝ｄｐｘ／
!
，则δ（ｘ－ｘ０）＝
１
２π∫
!
－
!
ｅ
ｉ
ｐｘ（ｘ－ｘ０）ｄｐｘ
性质：δ（－ｘ）＝δ（ｘ）
δ（ａｘ）＝ １
ａδ（ｘ）
ｆ（ｘ）δ（ｘ－ｘ０）＝ｆ（ｘ０）δ（ｘ－ｘ０）
作代换：ｐｘｘ，ｐ′ｘｘ０，则
δ（ｐｘ－ｐ′ｘ）＝
１
２π∫
!
－
!
ｅ
ｉ
（ｐｘ－ｐ′ｘ）ｘｄｘ
Ⅱ平面波归一化
考虑一维积分Ψ→ｐ（
→ｒ，ｔ）＝Ａｅ
ｉ
［
→ｐ·→ｒ－Ｅｔ］ ＝Φ→ｐ（
→ｒ）ｅ－
ｉ
Ｅｔ
写成分量形式
Φ→ｐ（
→ｒ）＝Ａｅ
ｉ
［
→ｐ·→ｒ］ ＝Φｐｘ（ｘ）Φｐｙ（ｙ）Φｐｚ（ｚ）＝Ａ１ｅ
ｉ
［ｐｘｘ］Ａ２ｅ
ｉ
［ｐｙｙ］Ａ３ｅ
ｉ
［ｐｚ］
∫
!
－
!
Ψｐ′ｘ
（ｘ，ｔ）Ψｐｘ（ｘ，ｔ）ｄｘ＝ｅ
ｉ
［Ｅ′ｘ－Ｅｘ］ｔ∫
!
－
!
Φｐ′ｘ
（ｘ）Φｐｘ（ｘ）ｄｘ
＝ｅ
ｉ
［
ｐ′ｘ２
２μ－
ｐｘ２
２μ］ｔ∫
!
－
!
Φｐ′ｘ
（ｘ）Φｐｘ（ｘ）ｄｘ
—１２—
∫
!
－
!
Φｐ′ｘ
（ｘ）Φｐｘ（ｘ）ｄｘ＝Ａ
２
１∫
!
－
!
ｅ
ｉ
［ｐｘ－ｐ′ｘ］ｘｄｘ＝Ａ２１２πδ（ｐｘ－ｐ′ｘ）＝δ（ｐｘ－ｐ′ｘ）
若取 Ａ２１２&!
＝１，则　Ａ１＝［２
&!
］－１／２，于是Φｐｘ（ｘ）＝
１
２π槡 
ｅ
ｉ
ｐｘｘ
∫
!
－
!
Ψｐ′ｘ
（ｘ，ｔ）Ψｐｘ（ｘ，ｔ）ｄｘ＝ｅ
ｉ

ｐ′ｘ２
２μ－
ｐｘ２
２[ ]μ ｔδ（ｐｘ－ｐ′ｘ）＝δ（ｐｘ－ｐ′ｘ）
平面波可归一化为δ（ｐｘ－ｐ′ｘ）函数
三维情况：
∫
!
－
!
Φ→ｐ（
→ｒ）Φ→ｐ（
→ｒ）ｄτ＝δ（ｐｘ－ｐ′ｘ）δ（ｐｙ－ｐ′ｙ）δ（ｐｚ－ｐ′ｚ）＝δ（
→ →ｐ－ｐ′）
∫
!
－
!
Ψ→ｐ′（
→ｒ，ｔ）Ψ→ｐ（
→ｒ，ｔ）ｄτ＝ｅ
ｉ
［Ｅ′－Ｅ］ｔ∫
!
－
!
Φ→ｐ（
→ｒ）Φ→ｐ（
→ｒ）ｄτ＝ｅ
ｉ
［Ｅ′－Ｅ］ｔδ（→ →ｐ－ｐ′）＝δ（→ →ｐ－ｐ′）
Ａ＝Ａ１Ａ２Ａ３ ＝
１
［２π］３／２
Ψ→ｐ（
→ｒ，ｔ）＝ １
［２π］３／２
ｅ
ｉ
［
→ｐ·→ｒ－Ｅｔ］ ＝Φ→ｐ（
→ｒ）ｅ－
ｉ
Ｅｔ
其中Φ→ｐ（
→ｒ）＝ １
［２π］３／２
ｅ
ｉ
［
→ｐ·→ｒ］
注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，依然只是表示平面波所描写的状态
在空间各点找到粒子的几率相同。
例１　请问下列波函数中，哪些与ψ１描写同一状态？
ψ１ ＝ｅ
ｉ２ｘ／，　ψ２ ＝ｅ
－ｉ２ｘ／，　ψ３ ＝ｅ
ｉ３ｘ／，ψ４ ＝－ｅ
ｉ２ｘ／，　ψ５ ＝３ｅ
－ｉ（２ｘ＋π）／，　ψ６ ＝（４＋２ｉ）ｅ
ｉ２ｘ／．
例２　已知下列两个波函数：
ψ１（ｘ）＝
Ａｓｉｎｎπ２ａ（ｘ－ａ） ｜ｘ｜
'
ａ
０
{
｜ｘ｜＞ａ
　　　ｎ＝１，２，３，…
ψ２（ｘ）＝
Ａｓｉｎｎπ２ａ（ｘ＋ａ） ｜ｘ｜
'
ａ
０
{
｜ｘ｜＞ａ
　　　　ｎ＝１，２，３，…
请问：（１）波函数ψ１（ｘ）和ψ２（ｘ）是否等价？
（２）对ψ１（ｘ）取ｎ＝±２两种情况，得到的两个波函数是否等价？
考点二　态叠加原理
在经典物理中，波动的一个显著特点就是满足线性叠加原理。如果 描述一个波动过程ψ１，描述
另一个波动过程ψ２，那么ψ＝ａψ１＋ｂψ２也是一个波动过程，这里ａ和ｂ是两个常数。例如空间一点
光波振动就是以前时刻波振面上各点发射子波在该点叠加的结果。应用波叠加原理，可以很好地解
释光波、声波的干涉、衍射等现象。
物质波是否也满足叠加原理呢？
微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性，两
个相加波的干涉的结果产生衍射。因此，同光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在波叠加原
—２２—
周世勋《量子力学教程》考点精讲及复习思路
理。因为量子力学中的波，即波函数决定体系的状态，称波函数为状态波函数，简称为态函数，所以量
子力学的波叠加原理称为态叠加原理。
考虑电子双缝衍射
一个电子有 Ψ１和 Ψ２两种可能的状态，Ψ是这两种状态的叠加。
Ψ＝Ｃ１Ψ１＋Ｃ２Ψ２　也是电子的可能状态。
空间找到电子的几率则是：
｜Ψ｜２＝｜Ｃ１Ψ１＋Ｃ２Ψ２｜
２
＝（Ｃ１Ψ１＋Ｃ２Ψ２）（Ｃ１Ψ１＋Ｃ２Ψ２）
＝｜Ｃ１Ψ１｜
２＋｜Ｃ２Ψ２｜
２＋［Ｃ１Ｃ２Ψ１Ψ２＋Ｃ１Ｃ２Ψ１Ψ２］
一般情况下，如果Ψ１和Ψ２是体系的可能状态，那么它们的线性叠加Ψ＝Ｃ１Ψ１＋Ｃ２Ψ２也是该体
系的一个可能状态。
其中Ｃ１和 Ｃ２是复常数，这就是量子力学的态叠加原理。
态叠加原理一般表述：
若Ψ１，Ψ２，．．．，Ψｎ，．．．是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加Ψ＝Ｃ１Ψ１＋Ｃ２Ψ２＋
．．．＋ＣｎΨｎ＋．．．（其中 Ｃ１，Ｃ２，．．．，Ｃｎ，．．．为复常数。）也是体系的一个可能状态。处于 Ψ态的体
系，部分的处于 Ψ１态，部分的处于Ψ２态．．．，部分的处于Ψｎ，．．．
量子力学中的态叠加原理与经典物理中的波叠加原理虽然形式相同，但二者的意义有重要差别：
（１）两个相同态的叠加在经典物理中代表着一个新的态，而在量子力学中则表示同一个态。
（２）在经典物理中叠加中的Ψ１和Ψ２表示两列波叠加，在量子力学中，Ψ１和Ψ２是属于同一量子系
统的两个可能的状态。在叠加态中，体系将部分地处在各个叠加态中。
例：电子在晶体表面反射后，电子可能以各种不同的动量
→ｐ运动。具有确定动量的运动状态用ｄｅ
Ｂｒｏｇｌｉｅ平面波表示
Ψ→ｐ ＝Ａｅｘｐ
ｉ

（
→ｐ·→ｒ－Ｅｔ[ ]）
根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态 Ψ可表示成→ｐ取各种可能值的平面波的线性叠
加，即
Ψ（→ｒ，ｔ）＝∑→ｐ ｃ（
→ｐ）Ψ→ｐ（
→ｒ，ｔ） Ψ（→ｒ，ｔ）＝∫ｃ（→ｐ）Ψ→ｐ（→ｒ，ｔ）→ｄｐ，
其中ｄ→ｐ＝ｄｐｘｄｐｙｄｐｚ由于
→ｐ是连续变化的，所以后式应用积分代替了求和。
而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。
—３２—
———动量空间（表象）的波函数
波函数Ψ（ｒ，ｔ）可用各种不同动量的平面波表示，下面我们给出简单证明。
令Φ→ｐ（
→ｒ）＝ １
（２π）３／２
ｅｘｐ ｉ

→ｐ·→[ ]ｒ
则Ψ可按Фｐ展开
Ψ（→ｒ，ｔ）＝∫
!
－
!
ｃ（→ｐ，ｔ）Φ→ｐ（
→ｒ）ｄ→ｐ＝ １
（２π）３／２∫
!
－
!
ｃ（→ｐ，ｔ）ｅｘｐ［ｉ

→ｐ·→ｒ］ｄｐｘｄｐｙｄｐｚ
＝ １
（２π）３／２∫
!
－
!
Ψ（→ｒ，ｔ）ｅｘｐ［－ｉ
→ｐ·→ｒ］ｄｘｄｙｄｚ
展开系数ｃ（→ｐ，ｔ）＝∫
!
－
!
Φ→ｐ（
→ｒ）Ψ（→ｒ，ｔ）→ｄｒ
显然，二式互为Ｆｏｕｒｉｅｒ变换式，故而总是成立的。所以 Ψ（→ｒ，ｔ）与 ｃ（→ｐ，ｔ）一一对应，是同一量子
态的两种不同描述方式。
Ψ（ｒ，ｔ）是以坐标 ｒ为自变量的波函数，坐标空间波函数，坐标表象波函数；
Ｃ（ｐ，ｔ）是以动量 ｐ为自变量的波函数，动量空间波函数，动量表象波函数；
二者描写同一量子状态。
若Ψ（ｒ，ｔ）已归一化，则 Ｃ（ｐ，ｔ）也是归一化的
ｃ（→ｐ，ｔ）＝∫
!
－
!
Φ→ｐ（
→ｒ）Ψ（→ｒ，ｔ）ｄ→ｒ
证明：∫
∝
－∝
ｃ（→ｐ，ｔ）｜２ｄ→ｐ＝∫ｃ（→ｐ，ｔ）ｃ（→ｐ，ｔ）ｄ→ｐ
＝∫［∫Ψ（→ｒ，ｔ）Φ→ｐ（→ｒ）→ｄｒ］［∫Ψ（→ｒ＇，ｔ）Φ→ｐ（→ｒ＇）→ｄｒ＇］→ｄｐ
＝Ψ（→ｒ，ｔ）Ψ（→ｒ＇，ｔ）→→ｄｒｄｒ＇∫Φ→ｐ（→ｒ）Φ→ｐ（→ｒ＇）→ｄｐ
＝Ψ（→ｒ，ｔ）Ψ（→ｒ＇，ｔ）→→ｄｒｄｒ＇δ（→ →ｒ－ｒ＇）
＝∫Ψ（→ｒ，ｔ）Ψ（→ｒ，ｔ）→ｄｒ＝１
其中使用了∫Φ→ｐ（→ｒ）Φ→ｐ（→ｒ＇）ｄ→ｐ＝δ（→ →ｒ－ｒ＇）关系式，由此我们也可以看出把平面波归一化为δ—函
数的目的。
ｃ（→ｒ，ｔ）与Ψ（→ｒ，ｔ）具有类似的物理意义
ｄＷ（→ｒ，ｔ）＝｜Ψ（→ｒ，ｔ）｜２ｄ→ｒ
→　
ｔ时刻粒子出现在→ｒ点附近
ｄ→ｒ体积元内的几率；
—４２—
周世勋《量子力学教程》考点精讲及复习思路
ｄＷ（→ｐ，ｔ）＝｜ｃ（→ｐ，ｔ）｜２ｄ→ｐ
→　
ｔ时刻粒子出现在动量→ｐ点附近
ｄ→ｐ体积元内的几率。
例　一个量子位是一个双态量子系统，或者说是一个二维 Ｈｉｌｂｅｒｔ空间。记它的两个互相独立的
态分别为｜０〉和｜１〉。根据态叠加原理，这个量子位可以处在叠加态｜ψ〉＝ａ｜０〉＋ｂ｜１〉中。这
里 ａ和ｂ是满足 ａ２＋ ｂ２＝１的复数。于是在原则上通过适当地确定ａ和ｂ，可以在一个量子位中
编码无穷多的信息。特别可以同时编码为｜０〉和｜１〉，因为在态｜ψ〉＝１
槡２
（｜０〉＋｜１〉）中，｜０〉和
｜１〉以等概率出现。如果一个量子系统由这样的两个量子位组成，这两个量子位可以处在四个不同
的态｜００〉，｜０１〉，｜１０〉，｜１１〉中，因而也可以处在他们的叠加态中。以此类推，一个有Ｌ个量子位的
系统，可以制备出２Ｌ个不同态的叠加态，量子系统可以以这种方式指数地增加着存储能力。
考点三　 薛定谔方程的建立过程
（一）引
（二）引进方程的基本考虑
（三）自由粒子满足的方程
（四）势场 Ｖ（ｒ）中运动的粒子
（五）多粒子体系的Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程
（一）引
微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测
量的可能值和相应的几率分布也都被完全确定，波函数完全描写微观粒子的状态。因此量子力学最
核心的问题就是要解决以下两个问题：
１．在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数
２．波函数如何随时间演化。
这些问题在１９２６年Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ提出了波动方程之后得到了圆满解决。
（二）引进方程的基本考虑
让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。
１．经典情况
ｔ＝ｔ０时刻，已知初态是：ｒ０，
→ｐ０ ＝ｍ
→ｄｒ
ｄｔｔ＝ｔ０
粒子满足的方程是牛顿方程：
→Ｆ＝ｍｄ
２→ｒ
ｄｔ２
从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 ｔ粒子的状态 ｒ和ｐ。因为初条件知道的是坐标及其对
时间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。
２．量子情况
（１）因为，ｔ＝ｔ０时刻，已知的初态是ψ（ｒ，ｔ０）且只知道这样一个初条件，所以，描写粒子状态的
波函数所满足的方程只能含ψ对时间 的一阶导数。
—５２—
（２）另一方面，ψ要满足态叠加原理，即，若ψ１（ｒ，ｔ）和ψ２（ｒ，ｔ）是方程的解，那么，ψ（ｒ，ｔ）＝
Ｃ１ψ１（ｒ，ｔ）＋Ｃ２ψ２（ｒ，ｔ）也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中只能包含
ψ，ψ对时间的一阶导数和对坐标各阶导数的一次项，不能含它们的平方或开方项。
（３）第三方面，方程不能包含状态参量，如ｐ，Ｅ等，否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而不
能为各种可能的状态所满足。
（三）自由粒子满足的方程
描写自由粒子波函数：Ψ ＝Ａｅｘｐ ｉ

（
→ｐ·→ｒ－Ｅｔ[ ]） 应是所要建立的方程的解。
Ψ
ｔ
＝－ｉ

ＥΨ → ｉｔΨ
＝ＥΨ （１）
这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量 Ｅ。将Ψ对坐标二次微商，得：
Ψ
ｘ
＝
ｘ
Ａｅ
ｉ
（ｐｘｘ＋ｐｙｙ＋ｐｚ－Ｅｔ） ＝ ｉ

ｐｘΨ
２Ψ
ｘ２
＝－
ｐ２ｘ
２
Ψ
同理有
２Ψ
ｙ２
＝－
ｐｙ
２
２
Ψ
２Ψ
ｚ２
＝－
ｐｚ
２
２
Ψ
２Ψ
ｘ２
＋
２Ψ
ｙ２
＋
２Ψ
ｚ２
＝－１
２
［ｐ２ｘ＋ｐ
２
ｙ＋ｐ
２
ｚ］Ψ
(
２Ψ ＝－１
２
ｐ２Ψ 或 －
２
２μ(
２Ψ ＝ｐ
２
２μΨ
（２）
（１）
"
（２）式　 ｉｔ
＋
２
２μ(( )２ Ψ ＝ Ｅ－ｐ
２
２( )μΨ
所以 ｉｔΨ
＝－
２
２μ(
２Ψ （３）
讨论：通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果能量关系式Ｅ＝ｐ２／２μ写成如下方程形
式：
（Ｅ－ｐ
２
２μ
）Ψ ＝０
Ｅ→ｉｔ
→ｐ→
→ｐ
＾
＝－ｉ(
→ｐ２→
→ｐ
＾
２ ＝－２(







２
（４）
做算符替换（４）即得自由粒子满足的方程（３）。
（四）势场 Ｖ（ｒ）中运动的粒子
若粒子处于势场 Ｖ（ｒ）中运动，则能动量关系变为：
Ｅ＝ｐ
２
２μ
＋Ｖ（→ｒ）＝Ｈ　　 将其作用于波函数得
—６２—
周世勋《量子力学教程》考点精讲及复习思路
做（４）式的算符替换得：
ＥΨ ＝ ｐ２
２μ
＋Ｖ（→ｒ[ ]）Ψ
ｉｔΨ
（
→ｒ，ｔ）＝［－
２
２μ(
２＋Ｖ（→ｒ）］Ψ（→ｒ，ｔ）＝Ｈ^Ψ（→ｒ，ｔ）
式中 Ｈ^是体系的Ｈａｍｉｌｔｏｎ算符，亦常称为Ｈａｍｉｌｔｏｎ量。
该方程称为 Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程，也常称为波动方程。
（五）多粒子体系的 Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程
设体系由 Ｎ个粒子组成，
质量分别为μｉ（ｉ＝１，２，．．．，Ｎ）
体系波函数记为　　ψ（ｒ１，ｒ２，…，ｒＮ；ｔ）
第ｉ个粒子所受到的外场　　 Ｕｉ（ｒｉ）
粒子间的相互作用　　　 Ｖ（ｒ１，ｒ２，．．．，ｒＮ）
则多粒子体系的 Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程可表示为：
ｉｔΨ
（
→ｒ１，
→ｒ２，…，
→ｒＮ；ｔ）＝ ∑
Ｎ
ｉ＝１
－
２
２μｉ
(ｉ
２＋Ｕｉ（
→ｒｉ[ ]）＋Ｖ（→ｒ１，→ｒ２，…，→ｒＮ[ ]）Ψ（→ｒ１，→ｒ２，…，→ｒＮ；ｔ）
多粒子体系 Ｈａｍｉｌｔｏｎ量
Ｈ^＝∑
Ｎ
ｉ＝１
－
２
２μｉ
(ｉ
２＋Ｕｉ（
→ｒｉ[ ]）＋Ｖ（→ｒ１，→ｒ２，…，→ｒＮ）
例　对有 Ｚ个电子的原子，电子间相互作用为 Ｃｏｕｌｏｍｂ排斥作用：
Ｖ（→ｒ１，
→ｒ２，…，
→ｒＺ）＝∑
Ｚ
ｉ＜ｊ
ｅ２
→｜ｒｉ
→－ｒｊ｜
而原子核对第 ｉ个电子的 Ｃｏｕｌｏｍｂ吸引能为：
Ｕｉ（
→ｒｉ）＝－
Ｚｅ２
ｒｉ
假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点。
注意：非相对论量子力学中的薛定谔方程仅仅对于静止质量不为零的物质粒子是成立的。而对
于静止质量为零的微观粒子是不成立的，例如光子，因为光子的静止质量为零，在薛定谔方程中，质量
是处于分母上，若质量为零，方程是没有意义的。
考点五　粒子流密度和粒子数守恒定律
（一）定域几率守恒
粒子在一定空间区域内出现的几率将是怎样随时间变化的？
粒子在 ｔ时刻 ｒ点周围单位体积内粒子出现的几率即几率密度是：
ω（→ｒ，ｔ）＝Ψ（→ｒ，ｔ）Ψ（→ｒ，ｔ）＝｜Ψ（→ｒ，ｔ）｜２
考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生和湮灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子
而言，在全空间找到它的几率总和应不随时间改变，即
—７２—
ｄ
ｄｔ∫
!
－
!
ω（→ｒ，ｔ）ｄτ＝０
证明：考虑 Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程及其共轭式：
ｉｔΨ
＝［－
２
２μ(
２＋Ｖ］Ψ （５）　　　取共轭
－ｉｔΨ
 ＝［－
２
２μ(
２＋Ｖ］Ψ （６）
将Ψ ×（５）－Ψ×（６）式得：
ｉΨ ｔΨ
＋ｉΨ ｔΨ
 ＝－
２
２μ
［Ψ (
２Ψ－Ψ(
２Ψ］
ｉｔ
（ΨΨ）＝
２
２μ(
·［Ψ(Ψ －Ψ (Ψ］
在空间闭区域τ中将上式积分，则有：
ｉｄｄｔ∫τ（ΨΨ）ｄτ＝
２
２μ∫τ(·［Ψ(Ψ －Ψ (Ψ］ｄτ
ｄ
ｄｔ∫τ（ΨΨ）ｄτ＝－ｉ２μ∫τ(·［Ψ(Ψ －Ψ (Ψ］ｄτ
ｄ
ｄｔ∫τω（→ｒ，ｔ）ｄτ＝－∫τ(·→Ｊｄτ →　 　 
ｔω
＋
(
·
→Ｊ＝０
　　　　　↓
→Ｊ＝ｉ２μ
［Ψ(Ψ －Ψ (Ψ］
ｄ
ｄｔ∫τω（→ｒ，ｔ）ｄτ＝－∮Ｓ→Ｊ·ｄ→Ｓ （７）
ω（→ｒ，ｔ）＝ΨΨ　　Ｓ是体积τ的表面。
ｄ
ｄｔ∫τω（→ｒ，ｔ）ｄτ———闭区域τ上找到粒子的总几率在单位时间内的增量
→Ｊ——— Ｊ是几率流密度，是一矢量。
→ｄＳ———单位时间内通过τ的封闭表面 Ｓ流入（面积分前面的负号）τ内的几率
所以（７）式是几率（粒子数）守恒的积分表示式。
令 Ｅｑ．（７）τ趋于 ∞，即让积分对全空间进行，考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函
数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零，于是 Ｅｑ．（７）变为：
ｄ
ｄｔ∫!ω（→ｒ，ｔ）ｄτ＝０
讨论：
ｄ
ｄｔ∫!ω（→ｒ，ｔ）ｄτ＝０
表明，波函数归一化不随时间改变，其物理意义是粒子既未产生也未消灭。
（１）这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总
几率不变，并伴随着某种流来实现这种变化。
（２）以μ乘连续性方程等号两边，得到：
—８２—
周世勋《量子力学教程》考点精讲及复习思路

ｔωμ
＋
(
·
→Ｊμ ＝０　　　 量子力学的质量守恒定律
ωμ≡μω＝μ｜Ψ（
→ｒ，ｔ）｜２
→Ｊμ≡μ
→Ｊ＝ｉ２（Ψ(Ψ －Ψ (Ψ{ ）
　　　　质量密度 和 质量流密度矢量
同理可得量子力学的电荷守恒定律：

ｔωｅ
＋
(
·
→Ｊｅ＝０　　　　　　 表明电荷总量不随时间改变
ωｅ≡ｅω＝ｅ｜Ψ（
→ｒ，ｔ）｜２
→Ｊｅ≡
→ｅＪ＝ｅｉ２μ
（Ψ(Ψ －Ψ (Ψ{ ）
　　　电荷密度 和 电流密度矢量
（二）再论波函数的性质
１．波函数完全描述粒子的状态
（１）由 Ｂｏｒｎ的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就知道了粒子在空间的几率分布，即
ｄω（ｒ，ｔ）＝ ψ（ｒ，ｔ）２ｄτ
（２）已知 ψ（ｒ，ｔ），则任意力学量的平均值、可能值及相应的几率就都知道了，也就是说，描写粒
子状态的一切力学量就都知道了。所以波函数又称为状态波函数或态函数。
（３）知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后，由Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程即可确定以后时
刻的状态。
２．波函数标准条件
（１）根据Ｂｏｒｎ统计解释 ω（ｒ，ｔ）＝ψ（ｒ，ｔ）ψ（ｒ，ｔ）是粒子在ｔ时刻出现在 ｒ点的几率，这是一
个确定的数，所以要求ψ（ｒ，ｔ）应是 ｒ，ｔ的单值函数且有限。
（２）根据粒子数守恒定律 ：
ｄ
ｄｔ∫τω（→ｒ，ｔ）ｄτ＝－∮Ｓ→Ｊ·ｄ→Ｓ＝－ｉ２μ∮Ｓ［Ψ(Ψ －Ψ (Ψ］·ｄ→Ｓ
式右含有ψ及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域τ
是任意选取的，所以Ｓ是任意闭合面。要是积分有意义，ψ必须在变数的全部范围，即空间任何
一点都应是有限、连续且其一阶导数亦连续。
概括之，波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准
条件。
３．量子力学基本假定Ⅰ、Ⅱ
上述讨论可以总结为
量子力学基本假定Ⅰ　波函数完全描述粒子的状态
量子力学基本假定 Ⅱ　波函数随时间的演化遵从 Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程
考点六　定态Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程
（一）定态Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程
（二）Ｈａｍｉｌｔｏｎ算符和能量本征值方程
—９２—
（三）求解定态问题的步骤
（四）定态的性质
（一）定态Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程
在有外场情况下的定态 Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程应该是什么样的？
ｉｔΨ
（
→ｒ，ｔ）＝［－
２
２μ(
２＋Ｖ（→ｒ）］Ψ（→ｒ，ｔ）
令Ψ（→ｒ，ｔ）＝ψ（→ｒ）ｆ（ｔ）代入上式
ｉψ（→ｒ）ｄｄｔｆ（ｔ）＝ｆ（ｔ）［－
２
２μ(
２＋Ｖ］ψ（→ｒ）
两边同除 ψ（→ｒ）ｆ（ｔ），得
ｉ １ｆ（ｔ）
ｄ
ｄｔｆ（ｔ）＝
１
ψ（→ｒ）
［－
２
２μ(
２＋Ｖ］ψ（→ｒ）＝Ｅ
ｉｄｄｔｆ（ｔ）＝Ｅｆ（ｔ）
－
２
２μ(
２[ ]＋Ｖψ（→ｒ）＝Ｅψ（→ｒ{ ）
→　 　ｆ（ｔ）～ｅ－ｉＥｔ／
Ψ（→ｒ，ｔ）＝ψ（→ｒ）ｅ－
ｉ
Ｅｔ
此波函数与时间ｔ的关系是正弦型的，其角频率ω＝２πＥ／ｈ。由ｄｅＢｒｏｇｌｉｅ关系可知：Ｅ就是体系
处于波函数Ψ（ｒ，ｔ）所描写的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这种状态称
为定态，波函数Ψ（ｒ，ｔ）称为定态波函数。
空间波函数ψ（ｒ）可由方程 －
２
２μ(
２[ ]＋Ｖψ（→ｒ）＝Ｅψ（→ｒ）
和具体问题ψ（ｒ）应满足的边界条件得出。
该方程称为定态 Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程，ψ（ｒ）也可称为定态波函数，或可看作是ｔ＝０时刻ψ（ｒ，０）的定
态波函数。
（二）Ｈａｍｉｌｔｏｎ算符和能量本征值方程
１．Ｈａｍｉｌｔｏｎ算符
ｉｄｄｔｆ（ｔ）＝Ｅｆ（ｔ） ←×ψ（
→ｒ）
－
２
２μ(
２[ ]＋Ｖψ（→ｒ）＝Ｅψ（→ｒ） ←×ｅｘｐ［－ｉＥｔ／{ ］
注意到Ψ ＝ψｅｘｐ［－ｉＥｔ／］，得：
ｉｔΨ
＝ＥΨ
－２μ(
２[ ]＋ＶΨ ＝Ｅ{ Ψ
二方程的特点：都是以一个算符作用于Ψ（ｒ，ｔ）等于 ＥΨ（ｒ，ｔ）。所以这两个算符是完全相当的
（作用于波函数上的效果一样）。
—０３—
周世勋《量子力学教程》考点精讲及复习思路
再由 Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程：ｉｔΨ
（
→ｒ，ｔ）＝［－
２
２μ(
２＋Ｖ（→ｒ）］Ψ（→ｒ，ｔ）
ｉｔ
－
２
２μ(
２＋Ｖ＝Ｈ{ ＾
与经典力学相同，Ｈ^称为Ｈａｍｉｌｔｏｎ量，亦称Ｈａｍｉｌｔｏｎ算符。
２．能量本征值方程
－２μ(
２[ ]＋ＶΨ ＝ＥΨ　　 Ｈ^Ψ ＝ＥΨ
（１）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数这与数学物理方法中的本征值方程相
似。数学物理方法中：微分方程 ＋边界条件构成本征值问题；
（２）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物理方法中的边界条件，称为波函数的自
然边界条件。因此在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。常量 Ｅ称为算符 Ｈ的本
征值；Ψ称为算符 Ｈ的本征函数。
（３）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写的状态（简称能量本征态）时，粒子能
量有确定的数值，这个数值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。
（三）求解定态问题的步骤
讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数
Ψ（ｒ，ｔ）和在这些态中的能量 Ｅ。其具体步骤如下：
［－
２
２μ(
２＋Ｖ］ψ（→ｒ）＝Ｅψ（→ｒ）
根据波函数三个标准条件求解能量 Ｅ的本征值问题，得：
Ψｎ（
→ｒ，ｔ）＝ψｎ（
→ｒ）ｅｘｐ［－ｉＥｎｔ／］
本征值： Ｅ１，Ｅ２，…，Ｅｎ，…
本征函数 ψ１，ψ２，…，ψｎ，…
通过归一化确定归一化系数 Ｃｎ
∫
!
－
!
Ｃｎψｎ（
→ｒ）２ｄτ＝１
（四）定态的性质
１．粒子在空间几率密度与时间无关
ωｎ（
→ｒ，ｔ）＝ΨｎΨｎ ＝［ψｎｅｘｐ（－ｉＥｎｔ／）］［ψｎｅｘｐ（－ｉＥｎｔ／）］
＝ψｎｅｘｐ（ｉＥｎｔ／）ψｎｅｘｐ（－ｉＥｎｔ／）＝ψｎ（
→ｒ）ψｎ（
→ｒ）
２．几率密度与时间无关
→Ｊｎ（
→ｒ，ｔ）＝ｉ２μ
［Ψｎ(Ψｎ －Ψｎ (Ψｎ］
＝ｉ２μ
［ψｎｅｘｐ（－ｉＥｎｔ／）(ψｎｅｘｐ（ｉＥｎｔ／）－ψｎｅｘｐ（ｉＥｎｔ／）(ψｎｅｘｐ（－ｉＥｎｔ／）］
＝ｉ２μ
［ψｎ（
→ｒ）
(ψｎ（
→ｒ）－ψｎ（
→ｒ）
(ψｎ（
→ｒ）］ →＝Ｊｎ（
→ｒ）
—１３—
３．任何不显含 ｔ的力学量平均值与 ｔ无关
Ｆ＝∫Ψｎ（→ｒ，ｔ）Ｆ＾Ψｎ（→ｒ，ｔ）ｄτ
＝∫ψｎ（→ｒ）ｅｘｐ（ｉＥｎｔ／）Ｆ＾ψｎ（→ｒ）ｅｘｐ（－ｉＥｎｔ／）ｄτ
＝∫ψｎ（→ｒ）Ｆ＾ψｎ（→ｒ）ｄτ
综上所述，当Ψ满足下列三个等价条件中的任何一个时，Ψ就是定态波函数：
（１）Ψ描述的状态其能量有确定的值；
（２）Ψ满足定态Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程；
（３） Ψ ２与ｔ无关。
考点七　 波函数的标准条件
一、波函数应满足的条件
１．波函数应该是平方可积的函数
２．自然条件
波函数还应该是单值、有限和连续的函数。
∫
!
－
!
ψ（→ｒ，ｔ）
２
ｄτ＝有限
３．边界条件
ψ１（ａ）＝ψ２（ａ）　　
ψ′１（ｘ）ａ
ｍ１
＝
ψ２（ｘ）ａ
ｍ２
（１）在位势的间断点ａ处，波函数及其一阶导数连续。式中 ｍ１，ｍ２ 分别为粒子在第一和第二区
域中的有效质量。当一个区域中的位势为无穷大时，只要求波函数连续。
（２）δ位势Ｖ（ｘ）＝±Ｖ０ａδ（ｘ）要求波函数连续，而波函数的一阶导数应满足
ψ′（０＋）－ψ′（０－）＝±２ｍ
２
Ｖ０ａψ（０）
其中，ａ具有长度量纲 ，Ｖ０具有能量量纲。
二、具有特殊性质的波函数
１．本征态
定义　　满足本征方程 Ｆ^｜ｎ〉＝ｆｎ｜ｎ〉的状态｜ｎ〉称为 Ｆ^的本征态。
正交归一化条件 〈ｍ｜ｎ〉＝δｍｎ
封闭性关系 ∑
ｎ
｜ｎ〉〈ｎ｜＝１
测量 Ｆ^在｜ｎ〉的本征态Ｆ上，测量力学量得其本征值ｆｎ。
２．定态
定义　定态是能量取确定值的状态。
性质　定态之下不显含时间力学量的取值概率与平均值不随时间变化。
—２３—
周世勋《量子力学教程》考点精讲及复习思路
条件　哈密顿算符不显含时间；初始时刻的波函数为定态。
３．束缚态与非束缚态
束缚态　在无穷远处为零的状态为束缚态，束缚态相应的本征态是断续的
非束缚态　在无穷远处不为零的状态为非束缚态，非束缚态相应的本征态是连续的。
４．简并态与非简并态
简并态　 一个本征值对应一个以上线性独立的本征态时，称该本征值简并，所对应本征态称为简
并态，简并态的个数为简并度。
非简并态　一个本征值对应一个本征值时，称为简并态，非简并态的简并度为１．
５．正宇称态与负宇称态
正宇称态　 将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新波函数与原来的波函数相同，则称该波函
数描述的状态为正宇称态。
负宇称态　 将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新波函数与原来的波函数相差一个负号，则
称该波函数描述的状态为负宇称态。
６．耦合波函数与非耦合波函数
以两个自旋为

２的粒子为例，ｓ１ ＝ｓ２ ＝
１
２，总自旋量子数Ｓ＝０，１
非耦合波函数为　｜＋＋〉，｜－－〉，｜＋－〉，｜－＋〉
耦合波函数为　｜００〉，｜１０〉，｜０１〉，｜１－１〉
耦合波函数与非耦合波函数的关系为
｜１１〉＝｜＋＋〉
｜１－１〉＝｜－－〉
｜１０〉＝１
槡２
［｜＋－〉＋｜－＋〉］
｜００〉＝１
槡２
［｜＋－〉－｜－＋〉］
７．对称波函数与反对称波函数
反对称波函数　 全同费米子（Ｆｅｒｍｉｎｏｓ）体系的状态用反对称波函数描述，对二体问题而言，有
ψａ ＝
１
槡２
φ１（ｘ１） φ１（ｘ２）
φ２（ｘ１） φ２（ｘ２）
＝１
槡２
［φ１（ｘ１）φ２（ｘ２）－φ１（ｘ２）φ２（ｘ１）］
对称波函数　 全同玻色子（Ｂｏｓｅｎｏｓ）体系的状态用对称波函数描述，对二体问题而言，有
ψｓ＝
１
槡２
［φ１（ｘ１）φ２（ｘ２）＋φ１（ｘ２）φ２（ｘ１）］
考点八　一维无限深势阱的求解过程
（一）一维运动
（二）一维无限深势阱
（三）宇称
—３３—
（四）讨论
当粒子在势场 Ｖ（ｘ，ｙ，ｚ）中运动时，其 Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程为：
Ｈ^ψ＝ －
２
２μ(
２＋Ｖ（ｘ，ｙ，ｚ[ ]）ψ（ｘ，ｙ，ｚ）＝Ｅψ（ｘ，ｙ，ｚ）
此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成：Ｖ（ｘ，ｙ，ｚ）＝Ｖ１（ｘ）＋Ｖ２（ｙ）＋Ｖ３（ｚ）形式，则
Ｓ－方程可在直角坐标系中分离变量。
令ψ（ｘ，ｙ，ｚ）＝Ｘ（ｘ）Ｙ（ｙ）Ｚ（ｚ）
Ｅ＝Ｅｘ＋Ｅｙ＋Ｅｚ
于是Ｓ－方程化为三个常微分方程：
［－
２
２μ
ｄ２
ｄｘ２
＋Ｖ１（ｘ）］Ｘ（ｘ）＝ＥｘＸ（ｘ）
－
２
２μ
ｄ２
ｄｙ２
＋Ｖ２（ｙ[ ]）Ｙ（ｙ）＝ＥｙＹ（ｙ）
－
２
２μ
ｄ２
ｄｚ２
＋Ｖ３（ｚ[ ]）Ｚ（ｚ）＝ＥｚＺ（ｚ








）
所谓一维运动就是指在某一方向上的运动。
设：Ｖ（ｘ，ｙ，ｚ）＝Ｖ１（ｘ）＋Ｖ２（ｙ）＋Ｖ３（ｚ）
令：ψ（ｘ，ｙ，ｚ）＝Ｘ（ｘ）Ｙ（ｙ）Ｚ（ｚ）
－
２
２μ
ｄ２
ｄｘ２
＋ｄ
２
ｄｙ２
＋ｄ
２
ｄｚ[ ]２ Ｘ（ｘ）Ｙ（ｙ）Ｚ（ｚ）＋ Ｖ１（ｘ）＋Ｖ２（ｙ）＋Ｖ３（ｚ[ ]）ψ（ｘ，ｙ，ｚ）＝Ｅψ（ｘ，ｙ，ｚ）
ＹＺ －
２
２μ
ｄ２
ｄｘ２[ ]Ｘ＋Ｖ１（ｘ）ψ＋ＸＺ －２２μｄ
２
ｄｙ２[ ]Ｙ＋Ｖ２（ｙ）ψ＋ＸＹ －２２μｄ
２
ｄｚ２[ ]Ｚ＋Ｖ３（ｚ）ψ＝Ｅψ（ｘ，ｙ，ｚ）
等式两边除以ψ（ｘ，ｙ，ｚ）＝Ｘ（ｘ）Ｙ（ｙ）Ｚ（ｚ）
１
Ｘ －
２
２μ
ｄ２
ｄｘ２[ ]Ｘ＋Ｖ１（ｘ{ }）＋ １
Ｙ －
２
２μ
ｄ２
ｄｙ２[ ]Ｙ＋Ｖ２（ｙ{ }）＋ １
Ｚ －
２
２μ
ｄ２
ｄｚ２[ ]Ｚ＋Ｖ３（ｚ{ }） ＝Ｅ
－
２
２μ
ｄ２
ｄｘ２
＋Ｖ１（ｘ[ ]）Ｘ（ｘ）＝ＥｘＸ（ｘ）
－
２
２μ
ｄ２
ｄｙ２
＋Ｖ２（ｙ[ ]）Ｙ（ｙ）＝ＥｙＹ（ｙ）
－
２
２μ
ｄ２
ｄｚ２
＋Ｖ３（ｚ[ ]）Ｚ（ｚ）＝ＥｚＺ（ｚ）
其中Ｅ＝Ｅｘ＋Ｅｙ＋Ｅｚ
—４３—
周世勋《量子力学教程》考点精讲及复习思路
（二）一维无限深势阱
Ｖ（ｘ）＝
０， ｘ＜ａ
! ｘ{ ａ
求解 Ｓ— 方程 分四步：
（１）列出各势域的一维Ｓ—方程
（２）解方程
（３）使用波函数标准条件定解
（４）定归一化系数
（１）列出各势域的 Ｓ— 方程
－
２
２μ
ｄ２
ｄｘ２
ψ（ｘ）＋Ｖ（ｘ）ψ（ｘ）＝Ｅψ（ｘ）
ｄ２
ｄｘ２
ψ（ｘ）－２μ
２
［Ｖ（ｘ）－Ｅ］ψ（ｘ）＝０
势Ｖ（ｘ）分为三个区域，用 Ⅰ 、Ⅱ 和Ⅲ 表示，其上的波函数分别为 ψⅠ（ｘ），ψⅡ（ｘ）和 ψⅢ（ｘ）。
则方程为：
ｄ２
ｄｘ２
ψⅠ（ｘ）－２μ
２
（Ｖ－Ｅ）ψＩ（ｘ）＝０　　　　ｘ'－ａ
ｄ２
ｄｘ２
ψⅡ（ｘ）＋２μ
２
ＥψⅡ（ｘ）＝０　　　　 －ａ＜ｘ＜ａ
ｄ２
ｄｘ２
ψⅢ（ｘ）－２μ
２
（Ｖ－Ｅ）ψⅢ（ｘ）＝０　　　　ｘａ
方程可 简化为：
ｄ２
ｄｘ２
ψＩ－β２ψＩ＝０
ｄ２
ｄｘ２
ψⅡ ＋α２ψⅡ ＝０
ｄ２
ｄｘ２
ψⅢ －β２ψⅢ ＝








 ０
ψⅠ ＝Ｃ１ｅβ
ｘ＋Ｃ２ｅ
－βｘ
ψⅡ ＝Ａｓｉｎ（αｘ＋δ）
ψⅢ ＝Ｂ１ｅβ
ｘ＋Ｂ２ｅ
－β
{
ｘ
１．单值，成立；
２．有限：当ｘ
$
－∞ ，ψ有限条件要求 Ｃ２＝０。
ψⅠ ＝Ｃ１ｅβ
ｘ
β２ ＝２μ
２
（Ｖ－Ｅ）
ψⅠ（－ａ）＝ｌｉｍ
β→!
Ｃ１ｅ
－βａ ＝０　所以　　ψＩ＝０
同理：ψⅢ ＝０
—５３—
则解为：
ψⅠ ＝０，
ψⅡ ＝Ａｓｉｎ（αｘ＋δ），
ψⅢ ＝０
{
．
从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁外波函
数为零，特别是ψ（－ａ）＝ψ（ａ）＝０。
使用标准条件 ３。连续：
ψⅠ ＝０，
ψⅡ ＝Ａｓｉｎ（αｘ＋δ），
ψⅢ ＝０
{
．
１）波函数连续：
ψⅠ（－ａ）＝ψⅡ（－ａ） →　　 　　Ａｓｉｎ（－αａ＋δ）＝０，
ψⅡ（ａ）＝ψⅢ（ａ） →　　 　　Ａｓｉｎ（αａ＋δ）＝０．
２）波函数导数连续：
在边界 ｘ＝ －ａ，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是因为：
若ψⅠ（－ａ）′＝ψⅡ（－ａ）′，则有，０＝Ａαｃｏｓ（－αａ＋δ）
与上面波函数连续条件导出的结果 Ａｓｉｎ（－αａ＋δ）＝０矛盾，二者不能同时成立。所以波函数
导数在有无穷跳跃处不连续。
Ａｓｉｎ（－αａ＋δ）＝０
Ａｓｉｎ（αａ＋δ）＝{ ０
　　
Ａｓｉｎ（－αａ）ｃｏｓδ＋Ａｃｏｓ（αａ）ｓｉｎδ＝０ （１）
Ａｓｉｎ（αａ）ｃｏｓδ＋Ａｃｏｓ（αａ）ｓｉｎδ＝０ （２{
）
（１）＋（２）ｓｉｎ（αａ）ｃｏｓδ＝０ （４）　　
ｓｉｎδ＝０
ｃｏｓαａ＝ }０
（２）－（１）ｃｏｓ（αａ）ｓｉｎδ＝０ （３）　　
ｃｏｓδ＝０
ｓｉｎαａ＝ }０
两种情况：
Ⅰ．ｓｉｎδ＝０δ＝０则ｃｏｓδ＝１
由（４）式ｓｉｎαａ＝０
αａ＝ｎπ　　　　α＝ｎπａ　　　（ｎ＝０，±１，±２，…）
因 α２ ＝２μ
２
Ｅ
所以Ｅ＝
２
２μα
２ ＝
２
２μ
（
ｎπ
ａ）
２
＝ｎ
２π２２
２μａ２
＝Ｅｎ
ψⅡｎ ＝Ａｓｉｎαｘ＝Ａｓｉｎ
ｎπ
ａｘ
Ｅｎ ＝
ｎ２π２２
２μａ２
　ψⅡｎ ＝Ａｓｉｎ
ｎπ
ａｘ　　（ｎ＝０，±１，±２，…）
讨论
—６３—
周世勋《量子力学教程》考点精讲及复习思路
当ｎ＝０时：α＝０，
Ｅ０ ＝０
ψⅡ０ ＝Ａｓｉｎ０ｘ＝
{ ０
ψⅡ０ ＝Ａｓｉｎ０ｘ＝０　 状态不存在
当ｎ＝±ｋ时：ψ±ｋⅡ ＝Ａｓｉｎ
±ｋπ
ａ ｘ＝±Ａｓｉｎ
ｋπ
ａｘ　　描述同一状态
所以 ｎ只取正整数，即（ｎ＝１，２，…）
于是：
ψｎ ＝
ψＩ＝ψⅢ ＝０
ψｎⅡ ＝Ａｓｉｎ
ｎπ
ａｘ ｎ＝１，２{ ，…
＝Ａｓｉｎ２ｎπ２ａｘ
Ｅｎ ＝
（２ｎ）２π２２
８μａ２
ｃｏｓδ＝０
ｓｉｎαａ＝ }０ 　Ⅱ． ｃｏｓδ＝０δ＝π２ 则 ｓｉｎδ＝１
由ｃｏｓ（αａ）ｓｉｎδ＝０式，得　ｃｏｓαａ＝０
αａ＝（ｎ＋１２）π α＝
（ｎ＋１２）π
ａ （ｎ＝０，±１，±２，…）
所以 Ｅｎ ＝
２
２μα
２ ＝
２
２μ
（ｎ＋１２）π





ａ
２
＝（２ｎ＋１）
２π２２
８μａ２
于是波函数：
ψｎ ＝
ψⅠ ＝ψⅢ ＝０
ψｎⅡ ＝Ａｓｉｎ（αｘ＋
π
２）＝Ａｃｏｓαｘ＝Ａｃｏｓ
ｎ＋１２
ａ πｘ＝Ａｃｏｓ２ｎ＋１２ａ π
{
ｘ
类似 Ⅰ 中关于 ｎ＝)
ｍ的讨论可知：（ｎ＝０，１，２，…）
综合Ⅰ 、Ⅱ结果，最后得：
Ｅｍ ＝
ｍ２π２２
８μａ２
ψｍ ＝
ψⅠ ＝ψⅢ ＝０
ψⅡ ＝Ａｓｉｎｍπ２ａｘ ｍ≠０的偶数　　（对应ｍ＝２ｎ{ ）
ψⅠ ＝ψⅢ ＝０
ψⅡ ＝Ａｃｏｓｍπ２ａｘ ｍ奇数。　　（对应ｍ＝２ｎ＋１{









）
能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。
由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处，ψ＝０。这样的状
—７３—
态，称为束缚态。一维有限运动能量本征值是分立能级，组成分立谱。
（４）由归一化条件定系数 Ａ
∫
!
－
!
｜ψｍ｜
２ｄｘ＝∫
－ａ
－
!
｜ψⅠ ｜２ｄｘ＋∫
ａ
－ａ
｜ψⅡｍ ｜
２ｄｘ＋∫
!
ａ
｜ψⅢ ｜２ｄｘ
＝∫
ａ
－ａ
｜ψⅡｍ ｜
２ｄｘ
＝
∫
ａ
－ａ
｜Ａ｜２ｓｉｎ２ｍπ２ａｘｄｘ＝１ ｍ＝ｅｖｅｎ
∫
ａ
－ａ
｜Ａ｜２ｃｏｓ２ｍπ２ａｘｄｘ＝１ ｍ＝ｏ{ ｄｄ
得：｜Ａ｜２ ＝１ａ Ａ＝１
槡ａ
（取实数）
［小结］　由无穷深方势阱问题的求解可以看 出，解Ｓ—方程的一般步骤如下：
１．列出各势域上的Ｓ—方程；
２．求解Ｓ—方程；
３．利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未知数和能量本征值；
４．由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）。
（三）宇称
１．空间反射：空间矢量反向的操作。
→ｒ →－ｒ　　　ψ（→ｒ，ｔ）ψ（→－ｒ，ｔ）
２．此时如果有：ψ（→－ｒ，ｔ）＝±ψ（→ｒ，ｔ）
ψ（→－ｒ，ｔ）＝＋ψ（→ｒ，ｔ）　 称波函数具有正宇称（或偶宇称）；
ψ（→－ｒ，ｔ）＝－ψ（→ｒ，ｔ）　 称波函数具有负宇称（或奇宇称）；
３．如果在空间反射下，ψ（→－ｒ，ｔ）≠±ψ（→ｒ，ｔ）则波函数没有确定的宇称。
（四）讨论
一维无限深 势阱中粒子的状态
ψｎ ＝
０ ｜ｘ｜＞ａ；
１
槡ａ
ｓｉｎｎπ２ａｘ　　ｎ＝ｅｖｅｎ， ｜ｘ｜
'
ａ；
１
槡ａ
ｃｏｓｎπ２ａｘ　　ｎ＝ｏｄｄ， ｜ｘ｜
'






 ａ．
其能量本征值为：
Ｅｎ ＝
ｎ２π２２
８μａ
　　　ｎ＝１，２，３，…
１．ｎ＝１，基态
Ｅｎ ＝
π２２
８μａ
与经典最低能量为零不同，这是微观原子波动性的表现，因为“静止的波”是没有意义的。
—８３—
周世勋《量子力学教程》考点精讲及复习思路
２．ｎ＝０，Ｅ＝０，ψ＝０，态不存在，无意义。而ｎ＝ ±ｋ，ｋ＝１，２，．．．
ψｎ ＝ψ±ｋ ＝Ａｓｉｎ
±ｋπ
２ａｘ＝±Ａｓｉｎ
ｋπ
２ａｘ
ψｎ ＝ψ±ｋ ＝Ａｃｏｓ
±ｋπ
２ａｘ＝Ａｃｏｓ
ｋπ
２ａ
{ ｘ
可见，ｎ取负整数与正整数描写同一状态
３．波函数宇称
ψｎ（－ｘ）＝－ψｎ（ｘ） （当ｎ＝ｅｖｅｎ） 奇宇称
ψｎ（－ｘ）＝＋ψｎ（ｘ） （当ｎ＝ｏｄｄ）{ 偶宇称
４．ψｎ（ｘ）＝ψｎ（ｘ）即波函数是实函数。
５．定态波函数
Ψｎ（ｘ，ｔ）＝ψｎ（ｘ）ｅ
－ｉＥｎｔ／ ＝
０ ｜ｘ｜＞ａ；
１
槡ａ
ｓｉｎｎπ２ａｘｅ
－ｉＥｎｔ／ ｎ＝ｅｖｅｎ，｜ｘ｜
'
ａ；
１
槡ａ
ｃｏｓｎπ２ａｘｅ
－ｉＥｎｔ／ ｎ＝ｏｄｄ，｜ｘ｜
'






 ａ．
亦可合并写成：＝
０ ｜ｘ｜＞ａ
１
槡ａ
ｓｉｎｎπ２ａ（ｘ＋ａ）ｅ
－ｉＥｎｔ／ ｜ｘ｜
'
ａ
ｎ＝１，２，３





，…
考点九　线性谐振子的求解过程
（一）引言
（１）何谓谐振子
（２）为什么研究线性谐振子
（二）线性谐振子
（１）方程的建立
（２）求解
（３）应用标准条件
（４）厄密多项式
（５）求归一化系数
（６）讨论
（三）实例
（一）引言
（１）何谓谐振子
在经典力学中，当质量为
*
的粒子，受弹性力 Ｆ＝ －ｋｘ作用，由牛顿第二定律可以写出运动方
程为
—９３—
μｄ
２ｘ
ｄｔ２
＝－ｋｘ　　　→ｘ″＋ω２ｘ＝０　　　其中　　　ω＝ ｋ
槡μ
其解为ｘ＝Ａｓｉｎ（ωｔ＋δ）。这种运动称为简谐振动，作这种运动的粒子叫谐振子。
因为 Ｆ＝－ｄＶｄｘ所以 Ｖ＝∫ｋｘｄｘ＝１２ｋｘ２＋Ｖ０ ＝１２μω２ｘ２＋Ｖ０
若取Ｖ０＝０，即平衡位置处于势 Ｖ＝０点，则
Ｖ＝１２μω
２ｘ２
量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运动的粒子。
（２）为什么研究线性谐振子
自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核
表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作
为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。例如双原
子分子，两原子间的势Ｖ是二者相对距离 ｘ的函数，如图所示。在 ｘ＝ａ处，Ｖ有一极小值 Ｖ０。在
ｘ＝ａ附近势可以展开成泰勒级数：
Ｖ（ｘ）＝Ｖ（ａ）＋１
１！
Ｖ
ｘｘ＝ａ
（ｘ－ａ）＋１
２！
２Ｖ
ｘ２ ｘ＝ａ
（ｘ－ａ）２＋…
Ｖ（ａ）＝Ｖ０ Ｖ
ｘｘ＝ａ
＝０≈Ｖ０＋
１
２！
２Ｖ
ｘ２ ｘ＝ａ
（ｘ－ａ）２ ＝Ｖ０＋
１
２ｋ（ｘ－ａ）
２
其中：ｋ＝
２Ｖ
ｘ２ ｘ＝ａ
取新坐标原点为（ａ，Ｖ０），则势可表示为标准谐振子势的形式：
Ｖ（ｘ）＝１２ｋｘ
２
可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述。
（二）线性谐振子
（１）方程的建立
（２）求解
（３）应用标准条件
（４）厄密多项式
（５）求归一化系数
（６）讨论
（１）方程的建立
—０４—
周世勋《量子力学教程》考点精讲及复习思路
线性谐振子的 Ｈａｍｉｌｔｏｎ量：
Ｈ^＝ｐ^
２
２μ
＋１２μω
２ｘ２ ＝－
２
２μ
ｄ２
ｄｘ２
＋１２μω
２ｘ２
则　 Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ　　方程可写为 ：
２
２μ
ｄ２
ｄｘ２
＋［Ｅ－１２μω
２ｘ２ }{ ］ψ（ｘ）＝０　或：　 ｄ２
ｄｘ２
＋２μ
２
［Ｅ－１２μω
２ｘ２ }{ ］ψ（ｘ）＝０
为简单计，引入无量纲变量ξ代替ｘ，
令：ξ＝αｘ　　其中　　α＝ μω
槡
，　　则方程可改写为：
ｄ２ψ
ｄξ２
＋［λ－ξ２］ψ（ｘ）＝０　　　其中　　　λ＝２Ｅω
此式是一变系数二阶常微分方程
（２）求解
ｄ２ψ
ｄξ２
＋［λ－ξ２］ψ（ｘ）＝０
１．渐近解
为求解方程，我们先看一下它的渐 近解，即当ξ→±∞时波函数 ψ的行为。在此情况下，λ ξ２，
于是方程变为：
ｄ２ψ
!
ｄξ２
－ξ２ψ
!
＝０
其解为：ψ∞ ＝ｅｘｐ［±ξ
２／２］，
欲验证解的正确性，可将其代回方程，
ｄψ
!
ｄξ
＝ｄｄξ
ｅ±ξ２／２ ＝±ξｅ±ξ２／２ ＝±ξψ
!
ｄ２ψ
!
ｄξ２
＝ｄｄξ
［±ξψ
!
］＝±ψ
!
±ξ
ｄψ
!
ｄξ
＝［ξ２±１］ψ
!
≈ξ２ψ
!
其中ξ２ １
所以 ψ
!
＝ｃ１ｅ
－ξ２／２＋ｃ２ｅξ
２／２
波函数有限性条件
当ξ→±∞ 时，应有 ｃ２＝０，
因整个波函数尚未归一化，所以ｃ１可以令其等于１。最后渐近波函数为
ψ
!
＝ｅ－ξ２／２
为了使方程
ｄ２ψ
ｄξ２
＋［λ－ξ２］ψ（ｘ）＝０的波函数ψ
在无穷远处有ψ
!
＝ｅ－ξ２／２渐近形式，我们自然会令：
ψ（ξ）＝Ｈ（ξ）ｅ－ξ２／２
其中 Ｈ（ξ）必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。即：
—１４—
① 当ξ有限时，Ｈ（ξ）有限；
② 当ξ→∞时，Ｈ（ξ）的行为要保证ψ（ξ）→ ０。
２．Ｈ（ξ）满足的方程
将ψ（ξ）表达式代入方程得关于待求函数 Ｈ（ξ）所满足的方程：
Ｈ″－２ξＨ′＋（λ－１）Ｈ＝０
３．级数解
我们以级数形式来求解。为此令：Ｈ＝∑
ｋ＝０
ｂｋξ
ｋ
Ｈ′＝∑
ｋ＝０
ｂｋｋξ
ｋ－１　　　２ξＨ′＝∑
ｋ＝０
２ｂｋｋξ
ｋ
Ｈ″＝∑
ｋ＝０
ｂｋｋ（ｋ－１）ξ
ｋ－２ ＝∑
ｋ＝２
ｂｋｋ（ｋ－１）ξ
ｋ－２
令　　　　　　ｋ′＝ｋ－２　　则：
Ｈ″＝∑
ｋ′＝０
ｂｋ′＋２（ｋ′＋１）（ｋ′＋２）ξ
ｋ′
＝∑
ｋ＝０
ｂｋ＋２（ｋ＋１）（ｋ＋２）ξ
ｋ　　　　　用ｋ代替ｋ′
∑
ｋ
［ｂｋ＋２（ｋ＋１）（ｋ＋２）－ｂｋ２ｋ＋ｂｋ（λ－１）］ξ
ｋ ＝０
则方程 Ｈ″－２ξＨ′＋（λ－１）Ｈ＝０变成：
∑
ｋ
［ｂｋ＋２（ｋ＋１）（ｋ＋２）－ｂｋ２ｋ＋ｂｋ（λ－１）］ξ
ｋ ＝０
该式对任意ξ都成立，故ξ同次幂前的系数均应为零，即：　
ｂｋ＋２（ｋ＋２）（ｋ＋１）－ｂｋ２ｋ＋ｂｋ（λ－１）＝０
从而导出系数 ｂｋ的递推公式：
ｂｋ＋２ ＝
２ｋ＋１－λ
（ｋ＋１）（ｋ＋２）ｂｋ
由上式可以看出：
ｂ０　 决定所有角标ｋ为偶数的系数；
ｂ１　 决定所有角标ｋ为奇数的系数。
因为方程是二阶微分方程，应有两个 线性独立解。可分别令：
ｂ０≠ ０，ｂ１＝０．→ Ｈ
ｅｖｅｎ（ξ）；只含偶次幂项
ｂ１≠ ０，ｂ０＝０．→ Ｈ
ｏｄｄ（ξ）．含奇次幂项
则通解可记为：Ｈ＝ｃｏＨｏｄｄ＋ｃｅＨｅｖｅｎ
ψ＝（ｃｏＨｏｄｄ＋ｃｅＨｅｖｅｎｅ）ｅｘｐ［－ξ２／２］
（３）应用标准条件
单值性和连续性二条件自然满足，只剩下第三个有限性条件需要进行讨论。
因为Ｈ（ξ）是一个幂级数，故应考虑他的收敛性。考虑一些特殊点，
即势场有跳跃的地方以及ｘ＝０，ｘ→ ±∞或ξ＝０，ξ→±∞。
（Ⅰ）ξ＝０
ｅｘｐ［－ξ２／２］｜ξ＝０＝１
—２４—
周世勋《量子力学教程》考点精讲及复习思路
Ｈｅｖｅｎ（ξ）｜ξ＝０＝ｂ０
Ｈｏｄｄ（ξ）｜ξ＝０＝０
皆有限
（Ⅱ）ξ→±∞ 需要考虑无穷级数Ｈ（ξ）的收敛性
为此考察相邻两项之比：
ｂｋ＋２ξ
ｋ＋２
ｂｋξ
ｋ ＝ ２ｋ＋１－λ
（ｋ＋１）（ｋ＋２）ξ
２ →
ｋ→!
２
ｋξ
２
考察幂级数ｅｘｐ［ξ２｝的 展开式的收敛性
ｅｘｐ［ξ２］＝１＋ξ
２
１！＋
ξ４
２！＋… ＋
ξｋ
（
ｋ
２）！
＋ ξｋ＋２
（
ｋ
２＋１）！
＋…
比较二级数可知：
当ξ→±∞时，Ｈ（ξ）的渐近 行为与ｅｘｐ［ξ２］相同。
相继两项之比：
ξｋ＋２
（
ｋ
２＋１）！
ξｋ
（
ｋ
２）！
＝
（
ｋ
２）！
（
ｋ
２＋１）！
ξ２ ＝ １
（
ｋ
２＋１）
ξ２→
ｋ→!
２
ｋξ
２
考察幂级数ｅｘｐ［ξ２｝的 展开式的收敛性比较二级数可知：
当ξ→±∞时，Ｈ（ξ）的渐近 行为与ｅｘｐ［ξ２］相同。
所以总波函数有如下发散行为：
ψ（ξ）＝Ｈ（ξ）ｅｘｐ［－１２ξ
２］→
ξ→!
ｅｘｐ［ξ２］ｅｘｐ［－１２ξ
２］＝ｅｘｐ［１２ξ
２］→
ξ→!
!
为了满足波函数有限性要求，幂级数 Ｈ（ξ）必须从某一项截断变成一个多项式。换言之，要求 Ｈ
（ξ）从某一项（比如第 ｎ项）起 以后各项的系数均为零，即ｂｎ≠ ０，　ｂｎ＋２＝０．
代入递推关系得： ｂｎ＋２ ＝
２ｎ＋１－λ
（ｎ＋１）（ｎ＋２）ｂｎ ＝０
因为　　　　ｂｎ≠０，　　　　所以有：　２ｎ＋１－λ＝０
因为　　　　　λ＝２Ｅω → Ｅ＝１２λω
于是最后得：Ｅ＝（ｎ＋１２）ω ｎ＝０，１，２，…
结论　基于波函数在无穷远处的 有限性条件导致了 能量必须取分立值。
（４）厄密多项式
附加有限性条件得到了 Ｈ（ξ）的 一个多项式，该多项式称为厄密 多项式，记为 Ｈｎ（ξ），于是总波
函数可表示为：
ψｎ ＝Ｎｎｅｘｐ－
１
２ξ[ ]２ Ｈｎ（ξ）
—３４—
考点七　全同粒子体系波函数Ｐａｕｌｉ原理
（一）２个全同粒子波函数
（二）Ｎ个全同粒子体系波函数
（三）Ｐａｕｌｉ原理
（一）２个全同粒子波函数
１．对称和反对称波函数的构成
Ⅰ　２个全同粒子Ｈａｍｉｌｔｏｎ量
Ｈ^＝－
２
２μ(
２
１－
２
２μ(
２
２＋Ｖ（ｑ１）＋Ｖ（ｑ２）
＝Ｈ^０（ｑ１）＋Ｈ^０（ｑ２）
Ⅱ单粒子波函数
Ｈ^０对全同粒子是一样的，设其不显含时间，则
Ｈ^０（ｑ１）φｉ（ｑ１）＝εｉφｉ（ｑ１）
Ｈ^０（ｑ２）φｉ（ｑ２）＝εｉφｉ（ｑ２
{
）
φｉ（ｑｎ）（ｎ＝１，２．）称为单粒子波函数。
Ⅲ交换简并
粒子１在 ｉ态，粒子２在 ｊ态，则体系能量和波函数为
Ｅ＝εｉ＋εｊ
Φ（ｑ１，ｑ２）＝φｉ（ｑ１）φｊ（ｑ２
{ ）
验证：Ｈ^Φ（ｑ１，ｑ２）＝ＥΦ（ｑ１，ｑ２）
［Ｈ^０（ｑ１）＋Ｈ^０（ｑ２）］Φ（ｑ１，ｑ２）＝［Ｈ^０（ｑ１）＋Ｈ^０（ｑ２）］φｉ（ｑ１）φｊ（ｑ２）
＝［Ｈ^０（ｑ１）φｉ（ｑ１）］φｊ（ｑ２）＋φｉ（ｑ１）［Ｈ^０（ｑ２）φｊ（ｑ２）］
＝εｉφｉ（ｑ１）φｊ（ｑ２）＋εｊφｉ（ｑ１）φｊ（ｑ２）
＝（εｉ＋εｊ）φｉ（ｑ１）φｊ（ｑ２）＝ＥΦ（ｑ１，ｑ２）
粒子２在 ｉ态，粒子１在 ｊ态，则体系能量和波函数为：
Ｅ＝εｉ＋εｊ
Φ（ｑ２，ｑ１）＝φｉ（ｑ２）φｊ（ｑ１
{ ）
状态Φ（ｑ１，ｑ２）和Φ（ｑ２，ｑ１）能量是简并的，由于这两种
状态可通过ｑ１ｑ２互换得到，故称该简并为交换简并。
ＩＶ满足对称条件波函数的构成
全同粒子体系要满足对称性条件，而
>
（ｑ１，ｑ２）和 >
（ｑ２，ｑ１）仅当 ｉ＝ｊ二态相同时，才是一个对
称波函数；当ｉ
A
ｊ二态不同时，既不是对称波函数，也不是反对称波函数。所以
>
（ｑ１，ｑ２）和 >
（ｑ２，
—０８１—
周世勋《量子力学教程》考点精讲及复习思路
ｑ１）不能用来描写全同粒子体系。
构造具有对称性的波函数
ΦＳ（ｑ１，ｑ２）＝Ｃ［Φ（ｑ１，ｑ２）＋Φ（ｑ２，ｑ１）］
ΦＡ（ｑ１，ｑ２）＝Ｃ［Φ（ｑ１，ｑ２）－Φ（ｑ２，ｑ１）］
Ｃ为归一化系数
显然
>Ｓ（ｑ１，ｑ２）和 >Ａ（ｑ１，ｑ２）都是 Ｈ的本征函数，本征值皆为 ：
Ｅ＝εｉ＋εｊ
Ｖ
>
Ｓ和
>
Ａ　的归一化
首先证明
若单粒子波函数是正交归一化的，则
>
（ｑ１，ｑ２）和 >
（ｑ２，ｑ１）也是正交归一化的
证：
Φ（ｑ１，ｑ２）Φ（ｑ１，ｑ２）ｄｑ１ｄｑ２ ＝φｉ（ｑ１）φｊ（ｑ２）φｉ（ｑ１）φｊ（ｑ２）ｄｑ１ｄｑ２
＝∫φｉ（ｑ１）φｉ（ｑ１）ｄｑ１∫φｊ（ｑ２）φｊ（ｑ２）ｄｑ２ ＝１
同理：Φ（ｑ２，ｑ１）Φ（ｑ２，ｑ１）ｄｑ１ｄｑ２ ＝１
而
Φ（ｑ２，ｑ１）Φ（ｑ１，ｑ２）ｄｑ１ｄｑ２ ＝φｉ（ｑ２）φｊ（ｑ１）φｉ（ｑ１）φｊ（ｑ２）ｄｑ１ｄｑ２
＝∫φｊ（ｑ１）φｉ（ｑ１）ｄｑ１∫φｉ（ｑ２）φｊ（ｑ２）ｄｑ２ ＝０
同理：Φ（ｑ１，ｑ２）Φ（ｑ２，ｑ１）ｄｑ１ｄｑ２ ＝０
证毕
然后考虑
>Ｓ和 >Ａ归一化
１＝ΦＳΦＳｄｑ１ｄｑ２
＝Ｃ２［Φ（ｑ１，ｑ２）＋Φ（ｑ２，ｑ１）］［Φ（ｑ１，ｑ２）＋Φ（ｑ２，ｑ１）］ｄｑ１ｄｑ２
＝Ｃ２［Φ（ｑ１，ｑ２）Φ（ｑ１，ｑ２）＋Φ（ｑ２，ｑ１）Φ（ｑ１，ｑ２）
　 ＋Φ（ｑ１，ｑ２）Φ（ｑ２，ｑ１）＋Φ（ｑ２，ｑ１）Φ（ｑ２，ｑ１）］ｄｑ１ｄｑ２
＝Ｃ２［１＋０＋＋０＋１］＝２Ｃ２Ｃ＝１
槡２
则归一化的
>Ｓ　ΦＳ（ｑ１，ｑ２）＝
１
槡２
［Φ（ｑ１，ｑ２）＋Φ（ｑ２，ｑ１）］
同理对
>Ａ有：ΦＡ（ｑ１，ｑ２）＝
１
槡２
［Φ（ｑ１，ｑ２）－Φ（ｑ２，ｑ１）］
上述讨论是适用于二粒子间无相互作用的情况，当粒子间有互作用时，
—１８１—
Φ（ｑ１，ｑ２）≠φｉ（ｑ１）φｊ（ｑ２）
Φ（ｑ２，ｑ１）≠φｉ（ｑ２）φｊ（ｑ１
{ ）
但是下式仍然成立
Ｈ^（ｑ１，ｑ２）Φ（ｑ１，ｑ２）＝ＥΦ（ｑ１，ｑ２）
Ｈ^（ｑ１，ｑ２）Φ（ｑ２，ｑ１）＝ＥΦ（ｑ２，ｑ１
{
）
归一化的
>Ｓ　>Ａ依旧
ΦＳ
Ａ
（ｑ１，ｑ２）＝
１
槡２
［Φ（ｑ１，ｑ２）±Φ（ｑ２，ｑ１）］
（二）Ｎ个全同粒子体系波函数
（１）Ｓｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程的解
上述对２个全同粒子的讨论可以推广到 Ｎ个全同粒子体系，设粒子间无互作用，单粒子 Ｈ０不显
含时间，则体系
Ｈ^＝Ｈ^０（ｑ１）＋Ｈ^０（ｑ２）＋… ＋Ｈ^０（ｑＮ）＝∑
Ｎ
ｎ＝１
Ｈ^０（ｑｎ）
单粒子本征方程：
Ｈ^０（ｑ１）φｉ（ｑ１）＝εｉφｉ（ｑ１）
Ｈ^０（ｑ２）φｊ（ｑ２）＝εｊφｊ（ｑ２）
…………………………
Ｈ^０（ｑＮ）φｋ（ｑＮ）＝εｋφｋ（ｑＮ









）
体系Ｓｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程：Ｈ^Φ ＝ＥΦ
其解为：
Ｅ＝εｉ＋εｊ＋… ＋εｋ
Φ（ｑ１，ｑ２，…ｑＮ）＝φｉ（ｑ１）φｊ（ｑ２）…φｋ（ｑＮ
{
）
（２）Ｂｏｓｅ子体系和波函数对称化
２个Ｂｏｓｅ子体系，其对称化波函数是：
ΦＳ（ｑ１，ｑ２）＝
１
槡２
［Φ（ｑ１，ｑ２）＋Φ（ｑ２，ｑ１）］
＝１
槡２
［φｉ（ｑ１）φｊ（ｑ２）＋φｉ（ｑ２）φｊ（ｑ１）］
１，２粒子在 ｉ，ｊ态中的一种排列
Ｎ个Ｂｏｓｅ子体系，其对称化波函数可类推是：
ΦＳ（ｑ１，ｑ２…ｑＮ）＝Ｃ∑
ｐ
ｐ［φｉ（ｑ１）φｊ（ｑ２）…φｋ（ｑＮ）］
归一化系数：Ｃ＝
∏
ｋ＝１
ｎｋ！
Ｎ槡 ！
—２８１—
周世勋《量子力学教程》考点精讲及复习思路
ｎｋ是单粒子态/ｋ上的粒子数
例　Ｎ＝３Ｂｏｓｅ子体系，，设有三个单粒子态分别记为
/１、/２、/３。
求：该体系对称化的波函数。
附注：关于重复组合问题
从ｍ个不同元素中每次取 ｎ个元素（元素可重复选取）不管排列顺序构成一组称为重复组合，记
为：Ｃｎ
～
ｍ（ｍ可大于、等于或小于ｎ）
重复组合与通常组合不同，其计算公式为：
Ｃｎ
～
ｍ ＝Ｃ
ｎ
ｍ＋ｎ－１ ＝
（ｍ＋ｎ－１）！
ｎ！（ｍ－１）！
通常组合计算公式：Ｃｎｍ ＝
ｍ！
ｎ！（ｍ－ｎ）！
重复组合计算公式表明：
从ｍ个不同元素中每次取ｎ个元素的重复组合的种数等于从（ｍ＋ｎ－１）个不同元素中每次取 ｎ
个元素的普通组合的种数。
应用重复组合，计算全同Ｂｏｓｅ子体系可能状态总数是很方便的。
如上例，求体系可能状态总数的问题实质上就是一个从 ３个状态中每次取３个状态的重复组合
问题。
Ｃ３
～
３ ＝Ｃ
３
３＋３－１ ＝Ｃ
３
５ ＝
５！
３！（５－３）！＝１０
（３）Ｆｅｒｍｉ子体系和波函数反对称化
２个Ｆｅｒｍｉ子体系，其反对称化波函数是：
ΦＡ（ｑ１，ｑ２）＝
１
槡２
［Φ（ｑ１，ｑ２）－Φ（ｑ２，ｑ１）］＝
１
槡２
φｉ（ｑ１） φｉ（ｑ２）
φｊ（ｑ１） φｊ（ｑ２）
行列式的性质保证了波函数反对称化
推广到Ｎ个Ｆｅｒｍｉ子体系：
ΦＡ（ｑ１，ｑ２…ｑＮ）＝
１
Ｎ槡 ！
φｉ（ｑ１） φｉ（ｑ２） … φｉ（ｑＮ）
φｊ（ｑ１） φｊ（ｑ２） … φｊ（ｑＮ）
… … … …
φｋ（ｑ１） φｋ（ｑ２） … φｋ（ｑＮ）
两点讨论
Ⅰ、行列式展开后，每一项都是单粒子波函数乘积形式，因而>Ａ是本征方程Ｈ>
＝Ｅ
>
的解．
Ⅱ、交换任意两个粒子，等价于行列式中相应两列对调，由行列式性质可知，行列式要变号，故是
反对称化波函数。此行列式称为 Ｓｌａｔｅｒ行列式。
（三）Ｐａｕｌｉ原理
（１）二 Ｆｅｒｍｉ子体系
其反对称化波函数为：
—３８１—
ΦＡ（ｑ１，ｑ２）＝
１
槡２
［φｉ（ｑ１）φｊ（ｑ２）－φｉ（ｑ２）φｊ（ｑ１）］＝
１
槡２
φｉ（ｑ１） φｉ（ｑ２）
φｊ（ｑ１） φｊ（ｑ２）
若二粒子处于相同态，例如都处于 ｉ态，则
ΦＡ（ｑ１，ｑ２）＝
１
槡２
［φｉ（ｑ１）φｉ（ｑ２）－φｉ（ｑ２）φｉ（ｑ１）］＝０
＝１
槡２
φｉ（ｑ１） φｉ（ｑ２）
φｉ（ｑ１） φｉ（ｑ２）
两行相同，行列式为 ０
（２）ＮＦｅｒｍｉ子体系
ΦＡ（ｑ１，ｑ２…ｑＮ）＝
１
Ｎ槡 ！
φｉ（ｑ１） φｉ（ｑ２） … φｉ（ｑＮ）
φｊ（ｑ１） φｊ（ｑ２） … φｊ（ｑＮ）
… … … …
φｋ（ｑ１） φｋ（ｑ２） … φｋ（ｑＮ）
如果 Ｎ个单粒子态态
/ｉ　/ｊ…… /ｋ中有两个相同，则行列式中有两行相同，于是行列式为０，即
ΦＡ（ｑ１，ｑ２…ｑＮ）＝
１
Ｎ槡 ！
φｉ（ｑ１） φｉ（ｑ２） … φｉ（ｑＮ）
φｉ（ｑ１） φｉ（ｑ２） … φｉ（ｑＮ）
… … … …
φｋ（ｑ１） φｋ（ｑ２） … φｋ（ｑＮ）
＝０
上述讨论表明，ＮＦｅｒｍｉ子体系中，不能有２个或２个以上Ｆｅｒｍｉ子处于同一状态，这一结论称为
Ｐａｕｌｉ不相容原理。波函数的反对称化保证了全同Ｆｅｒｍｉ子体系的这一重要性质。
（３）无自旋———轨道相互作用情况
在无自旋———轨道相互作用情况，或该作用很弱，从而可略时，体系总波函数可写成空间波函数
与自旋波函数乘积形式：
Φ（→ｒ１，ｓ１；
→ｒ２，ｓ２…
→ｒＮ，ｓＮ）＝φ（
→ｒ１，
→ｒ２，…
→ｒＮ）χ（ｓ１，ｓ２…ｓＮ）
若是Ｆｅｒｍｉ子体系，则Φ应是反对称化的。
对２粒子情况，反对称化可分别由
/B
的对称性保证。
Ⅰ　/
对称，
B
反对称；
Ⅱ　/
反对称，
B
对称。
考点八　 两电子自旋波函数
（一）二电子波函数的构成
（二）总自旋 Ｓ２，ＳＺ算符的本征函数
（三）二电子波函数的再解释
（一）二电子波函数的构成
当体系 Ｈａｍｉｌｔｏｎ量不含二电子自旋相互作用项时，
二电子自旋波函数
—４８１—
周世勋《量子力学教程》考点精讲及复习思路
χ（ｓ１ｚ，ｓ２ｚ）＝χα１（ｓ１ｚ）χα２（ｓ２ｚ）（α１，α２ ＝±
１
２）
可构成４种相互独立二电子自旋波函数：
χ１
２
（ｓ１ｚ）χ１２（ｓ２ｚ）　χ１２（ｓ１ｚ）χ－１２（ｓ２ｚ）
χ－１２（ｓ１ｚ）χ１２（ｓ２ｚ）　χ－１２（ｓ１ｚ）χ－１２（ｓ２ｚ）
由此又可构成４组具有一定对称性的二电子自旋波函数：
对称波函数
χⅠｓ ＝χ１２（ｓ１ｚ）χ１２（ｓ２ｚ）
χⅡｓ ＝χ－１２（ｓ１ｚ）χ－１２（ｓ２ｚ）
χⅢｓ ＝槡
１
２［χ
１
２
（ｓ１ｚ）χ－１２（ｓ２ｚ）＋χ１２（ｓ２ｚ）χ－１２（ｓ１ｚ







）］
反对称波函数
χＡ ＝槡
１
２［χ
１
２
（ｓ１ｚ）χ－１２（ｓ２ｚ）－χ１２（ｓ２ｚ）χ－１２（ｓ１ｚ）］
（二）总自旋 Ｓ２，ＳＺ算符的本征函数
（１）总自旋算符：
→Ｓ^ →＝ｓ^１
→＋ｓ^２　　　 Ｓ^ｚ＝ｓ１ｚ＋ｓ２ｚ
Ｓ^２ ＝（→ｓ^１
→＋ｓ^２）
２ ＝ｓ^２１＋ｓ^
２
２＋２（
→ｓ^１·
→ｓ^２）
→ｓ^１·
→ｓ^２ ＝ｓ１ｘｓ２ｘ＋ｓ１ｙｓ２ｙ＋ｓ１ｚｓ２ｚ
＝１２（ｓ１＋ ＋ｓ１－）
１
２（ｓ２＋ ＋ｓ２－）＋
１
２ｉ（ｓ１＋ －ｓ１－）
１
２ｉ（ｓ２＋ －ｓ２－）＋ｓ１ｚｓ２ｚ
＝１４［ｓ１＋ｓ２＋ ＋ｓ１－ｓ２－ ＋ｓ１＋ｓ２－ ＋ｓ１－ｓ２＋］－
１
４［ｓ１＋ｓ２＋ ＋ｓ１－ｓ２－ －ｓ１＋ｓ２－ －ｓ１－ｓ２＋］＋ｓ１ｚｓ２ｚ
＝１２［ｓ１＋ｓ２－ ＋ｓ１－ｓ２＋］＋ｓ１ｚｓ２ｚ
Ｓ^２ ＝３４
２＋３４
２＋２｛１２［ｓ１＋ｓ２－ ＋ｓ１－ｓ２＋］＋ｓ１ｚｓ２ｚ｝
＝３２
２＋［ｓ１＋ｓ２－ ＋ｓ１－ｓ２＋］＋２ｓ１ｚｓ２ｚ
（２）
BＳ　BＡ是 Ｓ
２　 ＳＺ的本征函数：
证：Ｓ^２χＩＳ ＝
３
２
２χＩＳ＋［ｓ１＋ｓ２－ ＋ｓ１－ｓ２＋］χ
Ｉ
Ｓ＋２ｓ１ｚｓ２ｚχ
Ｉ
Ｓ
２ｓ１ｚｓ２ｚχ
Ｉ
Ｓ ＝２ｓ１ｚｓ２ｚχ１２（ｓ１ｚ）χ１２（ｓ２ｚ）＝２（
１
２）
２
χ１
２
（ｓ１ｚ）χ１２（ｓ２ｚ）＝
１
２
２χＩＳ
［ｓ１＋ｓ２－ ＋ｓ１－ｓ２＋］χ
Ｉ
Ｓ ＝ｓ１＋ｓ２－χ１２（ｓ１ｚ）χ１２（ｓ２ｚ）＋ｓ１－ｓ２＋χ１２（ｓ１ｚ）χ１２（ｓ２ｚ）＝０
Ｓ^２χＩＳ ＝
３
２
２χＩＳ＋［ｓ１＋ｓ２－ ＋ｓ１－ｓ２＋］χ
Ｉ
Ｓ＋２ｓ１ｚｓ２ｚχ
Ｉ
Ｓ
—５８１—
＝３２
２χＩＳ＋０＋
１
２
２χＩＳ ＝２
２χＩＳ ＝１（１＋１）
２χＩＳ
Ｓ^ｚχ
Ｉ
Ｓ ＝（ｓ１ｚ＋ｓ２ｚ）χ１２（ｓ１ｚ）χ１２（ｓ２ｚ）＝ｓ１ｚχ１２（ｓ１ｚ）χ１２（ｓ２ｚ）＋χ１２（ｓ１ｚ）ｓ２ｚχ１２（ｓ２ｚ）
＝１２χ
１
２
（ｓ１ｚ）χ１２（ｓ２ｚ）＋
１
２χ
１
２
（ｓ１ｚ）χ１２（ｓ２ｚ）＝χ１２（ｓ１ｚ）χ１２（ｓ２ｚ）
计算表明，
Bｓ
Ｉ是 Ｓ２和ＳＺ的本征函数，其本征值分别为２!
２和
!
。相应的自旋角动量量子数 Ｓ＝
１，磁量子数 ｍＺ＝１
同理可求得：
Ｓ^２χⅡＳ ＝２
２χⅡＳ
Ｓ^ｚχⅡＳ ＝－χⅡ
{
Ｓ
Ｓ^２χⅢＳ ＝２
２χⅢＳ
Ｓ^ｚχⅢＳ ＝０χⅢ
{
Ｓ
以及
Ｓ^２χＡ ＝０
Ｓ^ｚχＡ ＝
{
０
上述结果表明：
Ｓ^２ Ｓ Ｓ^ｚ ｍＳ
２Ｓ＋１χｍＳ
χⅠＳ
χⅡＳ
χⅢ
{
Ｓ
２２ １  １
２２ １ － －１
２２ １ ０ ０
３χ１
３χ－１
３χ
}
０
三重态
χＡ ０ ０ ０ ０ １χ０ 单态
（三）二电子波函数的在解释
下面从两个角动量耦合的观点对二电子波函数作一解释，以加深对此问题的理解。
单电子自旋波函数　χｍ１ｓ（ｓ１ｚ）＝｜ｓ１ｍ１ｓ＞ χｍ２ｓ（ｓ２ｚ）＝｜ｓ２ｍ２ｓ＞
（１）无耦合表象　｜ｓ１ｍ１ｓ２ｍ２ｓ＞＝｜ｓ１ｍ１ｓ＞｜ｓ２ｍ２ｓ＞
（２）耦合表象　→Ｓ^ →＝ｓ^１
→＋ｓ^２　　　Ｓ^ｚ＝ｓ^１ｚ＋ｓ^２ｚ
耦合表象基矢　｜ｓ１ ｓ２ Ｓ ｍｓ＞
（３）二表象基矢间的关系
耦合表象基矢按无耦合表象基矢展开
｜ｓ１ ｓ２ Ｓ ｍｓ＞＝∑
ｍ１ｓｍ２ｓ
｜ｓ１ｍ１ｓ２ｍ２ｓ＞＜ｓ１ｍ１ｓ２ｍ２ｓ｜ｓ１ ｓ２ Ｓ ｍｓ＞
＝∑
１
２
ｍ２ｓ＝－
１
２
｜ｓ１ ｍｓ－ｍ２ｓ ｓ２ ｍ２ｓ＞＜ｓ１ ｍｓ－ｍ２ｓ ｓ２ ｍ２ｓ｜ｓ１ ｓ２ Ｓ ｍｓ＞
＝｜ｓ１ ｍｓ＋
１
２
１
２ －１２ ＞＜ｓ１ ｍｓ＋
１
２
１
２ －１２｜ｓ１
１
２ Ｓ ｍｓ＞
＋｜ｓ１ ｍｓ－
１
２
１
２
１
２ ＞＜ｓ１ ｍｓ－
１
２
１
２
１
２｜ｓ１
１
２ Ｓ ｍｓ＞
—６８１—
周世勋《量子力学教程》考点精讲及复习思路
｜ｓ１ ｓ２ Ｓ ｍｓ＞＝｜ｓ１ ｍｓ＋
１
２
１
２ －１２ ＞＜ｓ１ ｍｓ＋
１
２
１
２ －１２｜ｓ１
１
２ Ｓ ｍｓ＞
＋｜ｓ１ ｍｓ－
１
２
１
２
１
２ ＞＜ｓ１ ｍｓ－
１
２
１
２
１
２｜ｓ１
１
２ Ｓ ｍｓ＞
Ｉ． Ｓ＝ｓ１＋
１
２
｜ｓ１
１
２　ｓ１＋
１
２　ｍｓ＞＝
ｓ１＋ｍｓ＋
１
２
２ｓ１＋槡 １ ｜ｓ１　ｍｓ－
１
２
１
２
１
２ ＞＋
ｓ１－ｍｓ＋
１
２
２ｓ１＋槡 １ ｜ｓ１　ｍｓ＋
１
２
１
２
－１２ ＞对于ｓ１ ＝
１
２
｜１２　
１
２　１　ｍｓ＞＝
１＋ｍｓ
槡２ ｜１２　ｍｓ－
１
２　
１
２　
１
２＞＋
１－ｍｓ
槡２ ｜１２　ｍｓ＋
１
２　
１
２　 －
１
２＞
Ｓ＝１，ｍｓ＝１，０，－１
ｍｓ＝１
１
２
１
２ １ １＞＝｜１２
１
２
１
２
１
２ ＞＝｜
１
２
１
２ ＞１｜
１
２
１
２ ＞２ ＝χ
１
２
（ｓ１ｚ）χ１２（ｓ２ｚ）
ｍｓ＝０
１
２　
１
２　１　０＞
＝
槡
１
２｜
１
２　 －
１
２　
１
２　
１
２ ＞＋槡
１
２｜
１
２　
１
２　
１
２　 －
１
２ ＞
＝
槡
１
２　
１
２　 －
１
２ ＞１｜
１
２　
１
２ ＞２＋槡
１
２｜
１
２　
１
２ ＞１｜
１
２　 －
１
２ ＞２
＝
槡
１
２［χ－
１
２
（ｓ１ｚ）χ１２（ｓ２ｚ）＋χ１２（ｓ１ｚ）χ－１２（ｓ２ｚ）］
ｍｓ＝－１
１
２
１
２ １ －１＞＝｜１２ －１２
１
２ －１２ ＞＝｜
１
２ －１２ ＞１｜
１
２ －１２ ＞２
＝χ－１２（ｓ１ｚ）χ－１２（ｓ２ｚ）
Ｓ^２３χｍｓ ＝Ｓ^
２｜１２
１
２ １ ｍｓ＞＝１（１＋１）２｜
１
２
１
２ １ ｍｓ＞＝２２３χｍｓ
Ｓ^ｚ
３χｍｓ ＝Ｓ^ｚ｜
１
２
１
２ １ ｍｓ＞＝ｍｓ｜
１
２
１
２ １ ｍｓ＞＝ｍｓ
３χｍｓ
Ⅱ． Ｓ＝ｓ１－
１
２
｜ｓ１
１
２ ｓ１－
１
２ ｍｓ ＞＝－
ｓ１－ｍｓ＋
１
２
２ｓ１＋槡 １ ｜ｓ１ ｍｓ－
１
２
１
２
１
２ ＞＋
ｓ１＋ｍｓ＋
１
２
２ｓ１＋槡 １ ｜
ｓ１ ｍｓ＋
１
２
１
２ －１２ ＞∑
ｎ
ｉ＝１
（Ｘｉ－Ｘ）
２　对于 ｓ１ ＝
１
２　 Ｓ＝０，　 ｍｓ＝０
１
２
１
２ ０ ０＞＝－
槡
１
２｜
１
２ －１２
１
２
１
２ ＞＋槡
１
２｜
１
２
１
２
１
２ －１２ ＞
—７８１—
＝－
槡
１
２｜
１
２ －１２ ＞１｜
１
２
１
２ ＞２＋槡
１
２｜
１
２
１
２ ＞１｜
１
２ －１２ ＞２
＝
槡
１
２［χ
１
２
（ｓ１ｚ）χ－１２（ｓ２ｚ）－χ－１２（ｓ１ｚ）χ１２（ｓ２ｚ）］
Ｓ^２１χ０ ＝Ｓ^
２｜１２
１
２ ０ ０＞＝０（０＋１）２｜１２
１
２ ０ ０＞＝０
Ｓ^ｚ
１χ０ ＝Ｓ^ｚ｜
１
２
１
２ ０ ０＞＝０｜１２
１
２ ０ ０＞＝０
考点九　氦原子（微扰法）
尽管氦原子在结构上的简单程度仅次于氢原子，但是对氦原子能级的解释，Ｂｏｈｒ理论遇到了严重
的困难。其根本原因是在二电子情况下，必须考虑电子的自旋和 Ｐａｕｌｉ不相容原理。
（一）氦原子 Ｈａｍｉｌｔｏｎ量
（二）微扰法下氦原子的能级和波函数
（三）讨论
（一）氦原子 Ｈａｍｉｌｔｏｎ量
Ｈ^＝－
２
２μ(
２
１－
２
２μ(
２
２－
２ｅ２
ｒ１
－２ｅ
２
ｒ２
＋ｅ
２
ｒ１２
由于 Ｈ中不含自旋变量，所以氦原子定态波函数可写成空间坐标波函数和自旋波函数乘积
形式：
Φ（→ｒ１，
→ｒ２，ｓ１ｚ，ｓ２ｚ）＝ψ（
→ｒ１，
→ｒ２）χ（ｓ１ｚ，ｓ２ｚ）
空间坐标波函数满足定态 Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程
Ｈ^ψ（→ｒ１，
→ｒ２）＝Ｅψ（
→ｒ１，
→ｒ２）
（二）微扰法下氦原子的能级和波函数
（１）零级和微扰 Ｈａｍｉｌｔｏｎ量
Ｈ^＝Ｈ^（０）＋Ｈ^′
Ｈ^（０） ＝－
２
２μ(
２
１－
２
２μ(
２
２－
２ｅ２
ｒ１
－２ｅ
２
ｒ２
＝Ｈ^（０）１ ＋Ｈ^（０）２
Ｈ^′＝ｅ
２
ｒ１２
Ｈ（０）是２个类氢原子Ｈａｍｉｌｔｏｎ量之和，有本征方程：
－
２
２μ(
２
α－
２ｅ２
ｒ[ ]
α
ψｎ（
→ｒα）＝εｎψｎ（
→ｒα） （α＝１，２．）
有解：
εｎ ＝－
μＺ２ｅ４
２２ｎ２
（ｎ＝１，２…）
ψｎ（
→ｒα）＝ψｎｌｍ（
→ｒα） （α＝１，２．）
—８８１—
周世勋《量子力学教程》考点精讲及复习思路
（２）对称和反对称的零级本征函数
对称本征函数
ψ（０）Ｓ （
→ｒ１，
→ｒ２）＝ψｎ（
→ｒ１）ψｎ（
→ｒ２）
ψ（０）Ｓ （
→ｒ１，
→ｒ２）＝槡
１
２［ψｎ（
→ｒ１）ψｍ（
→ｒ２）＋ψｎ（
→ｒ２）ψｍ（
→ｒ１）］ ｍ≠ｎ
反对称本征函数
ψ（０）Ａ （
→ｒ１，
→ｒ２）＝槡
１
２［ψｎ（
→ｒ１）ψｍ（
→ｒ２）－ψｎ（
→ｒ２）ψｍ（
→ｒ１）］ ｍ≠ｎ
（３）基态能量的修正
零级近似能量　Ｅ（０）ｎｍ ＝εｎ＋εｍ
基态０级近似能量：Ｅ（０）１１ ＝ε１＋ε１ ＝－
４μｅ４
２
基态０级近似波函数　
ψ（０）Ｓ （
→ｒ１，
→ｒ２）＝ψ１００（
→ｒ１）ψ１００（
→ｒ２）＝
８
πａ３０
ｅ－２（ｒ１＋ｒ２）／ａ０
基态能量一级修正
Ｅ（１）１１ ＝ψ（０）Ｓ （
→ｒ１，
→ｒ２）
ｅ２
ｒ１２
ψ（０）Ｓ （
→ｒ１，
→ｒ２）ｄτ１ｄτ２
＝５Ｚｅ
２
８ａ０ Ｚ＝２
＝５ｅ
２
４ａ０
＝５μｅ
４
４２
　　　ａ０ ＝
２
μｅ２
氦原子基态能量
Ｅ０≈Ｅ
（０）
１１ ＋Ｅ
（１）
１１ ＝ε１＋ε１＋Ｅ
（１）
１１
＝－４μｅ
４
２
＋５μｅ
４
４２
＝－１１μｅ
４
４２
＝－２．７５ｅ
２
ａ０
＝－７４．８３ｅＶ
计算结果不好的原因是微扰项与其他势相比并不算小。
Ｅ０（实验值）＝－２．９０４
ｅ２
ａ０
＝－７８．９８ｅＶ　　　误差为　　 ５．３　％
（４）激发态能量一级修正
对激发态，设二电子处于不同能级（ｍ
A
ｎ）。
Ｅ（１）ｎｍ ＝ψ（０）ＳＡ （→ｒ１，→ｒ２）ｅ
２
ｒ１２
ψ（０）ＳＡ（
→ｒ１，
→ｒ２）ｄτ１ｄτ２
＝１２［ψｎ（→ｒ１）ψｍ（→ｒ２）±ψｎ（→ｒ２）ψｍ（→ｒ１）］ｅ
２
ｒ１２
［ψｎ（
→ｒ１）ψｍ（
→ｒ２）±ψｎ（
→ｒ２）ψｍ（
→ｒ１）］ｄτ１ｄτ２
＝１２ｅ
２
ｒ１２
｜ψｎ（
→ｒ１）｜
２ψｍ（
→ｒ２）｜
２ｄτ１ｄτ２＋
１
２ｅ
２
ｒ１２
｜ψｎ（
→ｒ２）｜
２ψｍ（
→ｒ１）｜
２ｄτ１ｄτ２
　 ±１２ｅ
２
ｒ１２
ψｎ（
→ｒ１）ψｍ（
→ｒ２）ψｎ（
→ｒ２）ψｍ（
→ｒ１）ｄτ１ｄτ２±
１
２ｅ
２
ｒ１２
ψｎ（
→ｒ２）ψｍ（
→ｒ１）ψｎ（
→ｒ１）ψｍ（
→ｒ２）ｄτ１ｄτ２
＝Ｋ±Ｊ
所以，近似到一级 修正本征能量
—９８１—
ＥＳ ＝εｎ＋εｍ ＋Ｋ＋Ｊ
ＥＡ ＝εｎ＋εｍ
{ ＋Ｋ－Ｊ
（ｍ≠ｎ）
（５）氦原子波函数
由于电子是Ｆｅｒｍｉ子，所以氦原子波函数必为反对称波函数：
ΦⅠ ＝ψ
（０）
Ｓ （
→ｒ１，
→ｒ２）χＡ（ｓ１ｚ，ｓ２ｚ）＝ψ
（０）
Ｓ
１χ０
ΦⅡ ＝ψ
（０）
Ａ （
→ｒ１，
→ｒ２）χＳ（ｓ１ｚ，ｓ２ｚ）＝ψ
（０）
Ａ
３χｍｓ （ｍｓ＝０，±１．）
>Ⅰ———单态，称为仲氦，基态是仲氦。
>Ⅱ———三态，称为正氦。
（６）Ｋ、Ｊ的物理意义
第一个电子处于
#ｎ（ｒ１）态的电荷密度
ρｎｎ（
→ｒ１）＝－ｅψｎ（
→ｒ１）ψｎ（
→ｒ１）
第二个电子处于
#ｍ（ｒ２）态的电荷密度
ρｍｍ（
→ｒ２）＝－ｅψｍ（
→ｒ２）ψｍ（
→ｒ２）
直接能
Ｋ＝１ｒ１２ρｎｎ（
→ｒ１）ρｍｍ（
→ｒ２）ｄτ１ｄτ２
交换电荷密度
ρｍｎ（
→ｒ１）＝－ｅψｍ（
→ｒ１）ψｎ（
→ｒ１）
ρｍｎ（
→ｒ２）＝－ｅψｍ（
→ｒ２）ψｎ（
→ｒ２
{
）
交换能
Ｊ＝１ｒ１２ρｍｎ（
→ｒ１）ρｍｎ（
→ｒ２）ｄτ１ｄτ２
（三）讨论
（１）交换能是量子力学效应
Ｋ、Ｊ都是由电子的库仑作用而来，微扰能分为２部分，交换能的出现，本质上讲是由于描写全同粒
子体系的波函数必须具有某种对称性的缘故。正是波函数的对称化和反对称化产生了交换能，所以，
交换能的出现是量子力学中特有的结果。
（２）交换能（交换势）
Ｊ＝１ｒ１２ρｍｎ（
→ｒ１）ρｍｎ（
→ｒ２）ｄτ１ｄτ２ 其中
ρｍｎ（
→ｒ１）＝－ｅψｍ（
→ｒ１）ψｎ（
→ｒ１）
ρｍｎ（
→ｒ２）＝－ｅψｍ（
→ｒ２）ψｎ（
→ｒ２
{
）
Ｊ与交换密度
.ｍｎ有关，所以交换势的大小取决于 ｍ态和 ｎ态 波函数#ｍ、#ｎ重叠程度。如果
｜
#ｍ｜
２、｜
#ｎ｜
２分别集中在空间不同区域，则交换势就很小，交换效应就不明显。
（３）Ｈ与自旋无关，总自旋 Ｓ是守恒量
即使氦原子受到扰动，Ｈａｍｉｌｔｏｎ量有所改变，但是只要没有显著的自旋———轨道耦合作用，总自
旋 Ｓ就是守恒量，因此，虽然正氦基态能量比仲氦基态（氦原子真正基态）高得多，但是正氦放出能量
—０９１—
周世勋《量子力学教程》考点精讲及复习思路
跃迁到仲氦基态上去的几率却很小，这种状态称为亚稳态。一般来讲，正氦、仲氦相互转化的几率很
小，因此正、仲二氦有时俨如两种不同气体。
（４）全同性要求电子波函数反对称化决定了氦的特殊性质
尽管氦原子 Ｈ与自旋无关，然而氦原子的性质却与自旋有很大关系。例如：总自旋不同的正、仲
二氦性质上的明显差异就是电子的全同性引起的，全同性要求电子波函数反对称使得它们的自旋波
函数与空间波函数关联起来，自旋通过这种关联影响空间波函数从而影响氦的性质。
（５）当ｍ
A
ｎ时，氦激发态 ４度简并，应该使用简并微扰论。
ΦⅠ ＝ψ
（０）
Ｓ （
→ｒ１，
→ｒ２）χＡ（ｓ１ｚ，ｓ２ｚ）＝ψ
（０）
Ｓ
１χ０
ΦⅡ ＝ψ
（０）
Ａ （
→ｒ１，
→ｒ２）χＳ（ｓ１ｚ，ｓ２ｚ）＝ψ
（０）
Ａ
３χｍｓ （ｍｓ＝０，±１．）
其中：
ψ（０）Ｓ （
→ｒ１，
→ｒ２）＝槡
１
２［ψｎ（
→ｒ１）ψｍ（
→ｒ２）＋ψｎ（
→ｒ２）ψｍ（
→ｒ１）］
ψ（０）Ａ （
→ｒ１，
→ｒ２）＝槡
１
２［ψｎ（
→ｒ１）ψｍ（
→ｒ２）－ψｎ（
→ｒ２）ψｍ（
→ｒ１




 ）］
ｍ≠ｎ
由于总自旋波函数１
B０、
３
B１、
３
B０、
３
B－１是彼此正交归一化波函数，所以，非对角矩阵元Ｈｉｊ′＝０，而
三重态的对角矩阵元相等，即：Ｈ２２′＝Ｈ３３′＝Ｈ４４′，因此解久期方程可得两个根：
Ｅ（１）１ ＝Ｈ′１１ ＝Ｋ＋Ｊ
Ｅ（１）２ ＝Ｈ′２２ ＝Ｈ′３３ ＝Ｈ′４４
{ ＝Ｋ－Ｊ
练习题
（１）质量为ｍ自旋为１／２的二全同粒子，同处于宽为 ａ的无限深势阱中。略去二粒子间相互作
用，求体系能量本征值和本征函数，并指出最低两个能级的简并度。
（２）上题势阱中的粒子若改为三个中子，求体系最低三个能级的能量值和波函数。
—１９１—