概要信息：

新东方在线 [www.koolearn.com ]考研数学网络课堂电子教材系列                           线性代数 
考研数学线性代数强化讲义（数一） 
主讲：张宇 
张宇：新东方在线名师，博士，全国著名考研数学辅导专家，教育部“国家精品课程建设骨
干教师”，全国畅销书《高等数学 18 讲》、《考研数学题源探析经典 1000 题》作者，高等教
育出版社《全国硕士研究生入学统一考试数学考试参考书（大纲解析）》编者之一，2007 年
斯洛文尼亚全球可持续发展大会受邀专家（发表 15 分钟主旨演讲）．首创“题源教学法”，对
考研数学的知识结构和体系有全新的解读，对考研数学的命题与复习思路有极强的把握和预
测能力，让学生轻松高效夺取高分． 
 
 
欢迎使用新东方在线电子教材 
 
目   录 
第一讲  行列式 ............................................................................................................................... 1 
第二讲  矩阵 ................................................................................................................................... 8 
第三讲  向量组与方程组 ............................................................................................................. 17 
第四讲  特征值与二次型 ............................................................................................................. 26 
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1 
 
第一讲  行列式 
综述 
1．行列式的定义与性质：几何法、逆序法、展开法、性质 
2．行列式的计算：3、4 阶；n 阶（n>4） 
消 0 化三角形、消 0 降阶、拆项、加边、范氏、数归&递推 
 
一、行列式的三种定义与性质 
1．几何法定义 
重要结论： 
（1）n 阶行列式由 n 个 n 维向量拼成，其结果为以这 n 个向量为邻边的 n 维图形的体积. 
（2）行列式由向量组成！ 
（3） 0
n n
A

  n 个 n 维向量线性无关； 
0
n n
A

   n 个 n 维向量线性相关. 
（4）7 大性质（习惯上写列向量
1
2
n
a
a
a

 
 
 
 
 
 
） 
1）
1
2
1 2, , ,
T
T
n
T
n


  

  
2） 1 1 1, , ,0, , , 0i i n       
3） 1, , , , , , 0i i nk      
4） 1 1 1, , , , , , , , , , , ,i i n i n i n             
5）（互换） 1 1, , , , , , , , , , , ,i j n j i n          
6）（倍乘） 1 1, , , , , , , ,i n i nk k       
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2 
 
7）（倍加）
1 1, , , , , , , , , , , ,i j n i j i nk           
【例 1】设
1 2 3, , , ,     均为 4 维列向量，且
1 2 3, , , 2     ，
1 2 3, , , 3      ，
则
1 2 3, , ,5             . 
 
 
 
【例 2】任给 4 维列向量
1 2 3 4, , ,    ，则
1 2 2 3 3 4 4 1, , ,                    . 
 
【例 3】设 a ，b ， c 为已知常数，
n n
A a

 ， 0
T
A
b


 ， 为 n 维列向量，则 
T
A
c


         . 
 
 
 
2．逆序法定义 
1 2
1 2
1 2
11 12 1
21 22 2 ( )
1 2
1 2
( 1) n
n
n
n
n j j j
j j nj
j j j
n n nn
a a a
a a a
a a a
a a a

   
①展开后有 n！项；②每项是取自不同行，不同列的 n 个元素的乘积；③行下标顺排后，每
项前乘以 1 2( )
( 1) nj j j
  
注：
1 2( )nj j j ：
1 2 nj j j 的逆序数. 
【例 1】展开后， 
12 23 31 45 54 66a a a a a a 前添      号. 
45 16 53 22 64 31a a a a a a 前添      号. 
【例 2】 (1,2,3, , )n        ， ( , 1, ,3, 2,1)n n         . 
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3 
 
 
 
 
 
【例 3】求
2 1 0
1 2 3
( )
2 3 2
1 1 2
x x
x
f x
x
x
 的
4x 、
3x 的系数. 
 
 
 
 
3．展开式法定义  ij n n
A a

  
①余子式        ijM  
②代数余子式    ( 1)i j
ij ijA M   
③展开公式  
1 1 2 2
1 1 2 2
( )
( )
i i i i in in
j j j j nj nj
a A a A a A i
A
a A a A a A j
  
 
  
按第 行展开
按第 列展开
 
【例 1】 =
我 生
有
你 幸
      . 
【例 2】设 4
3 0 4 0
2 2 2 2
=
0 7 0 0
5 3 2 2
D



，则第 4 行各元素余子式之和为      . 
 
 
 
 
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4 
 
【例 3】设
4D 的某行元素全为 2，且
4 =3D ，则
4 4
1 1
ij
i j
A
 
       . 
 
 
 
二、行列式的计算 
关键——研究行列式中元素的分布规律 
1．3、4 阶——用好性质，出 0，展开式 
【例 1】设
3 1 1
1 5 1 0
1 1 3



 
   
 
，求 . 
 
 
 
 
2．n 阶的计算 
（1）消 0 化三角形法 
【例】
1 2
1 2
1 2
n
n
n
n
a x a a
a a x a
D
a a a x




 
 
 
 
 
 
【注】重要公式：
1[ ( 1) ]( )n
n
a b b b
b a b b
D a n b a bb b a b
b b b a
      
 
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5 
 
（2）消 0 展开降阶法 
【例】
1 2 3
2 1 2 1
3 2 1 2
1 2 1
n
n
n
D n
n n n

 
 
 
 
 
 
 
 
 
（3）拆项法 
【例】
1 1 1
2 2 2
1 2
1 2
1 2
n
n n n
x x x n
x x x n
D
x x x n
  
  

  
， 2n  . 
 
 
 
 
 
 
 
（4）加边法 
【例】设
1 2 0na a a  ，求
1
2
1 1 1
2 2 2
n
n
a
a
D
n n n a




. 
 
 
 
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（5）范德蒙行列式 
1 2 3
2 2 2 2
1 2 3
1
1 1 1 1
1 2 3
1 1 1 1
( )
n
n n j i
i j n
n n n n
n
x x x x
V x x x x x x
x x x x
  
   
    
0 ,n i jV x x i j     
【例 1】
2 2 2
b c a c a b
a b c
a b c
  
 
 
 
【例 2】设 a ，b ， c ，d 互不相等，证明： 4 2 2 2 2
4 4 4 4
1 1 1 1
0
a b c d
D
a b c d
a b c d
  的充要条件为 
0a b c d    . 
 
 
 
 
 
 
（6）数学归纳法&递推法 
综述： 
1）第一数学归纳法：①验 n=1 成立；②设 n=k 成立；③证 n=k+1 成立. 
2）第二数学归纳法：①验 n=1，2 成立；②设 n