概要信息：

新东方在线 [www.koolearn.com ]考研数学网络课堂电子教材系列                           线性代数 
0 
 
考研数学线性代数基础讲义 
主讲：张宇 
张宇：新东方在线名师，博士，全国著名考研数学辅导专家，教育部“国家精品课程建设骨
干教师”，全国畅销书《高等数学 18 讲》、《考研数学题源探析经典 1000 题》作者，高等教
育出版社《全国硕士研究生入学统一考试数学考试参考书（大纲解析）》编者之一，2007 年
斯洛文尼亚全球可持续发展大会受邀专家（发表 15 分钟主旨演讲）。首创“题源教学法”，对
考研数学的知识结构和体系有全新的解读，对考研数学的命题与复习思路有极强的把握和预
测能力，让学生轻松高效夺取高分。 
 
 
欢迎使用新东方在线电子教材 
 
目   录 
第一讲  基础篇 ............................................................................................................................... 1 
第二讲  核心篇 ............................................................................................................................... 4 
第三讲  应用篇 ............................................................................................................................... 9 
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1 
 
第一讲  基础篇 
行列式与矩阵 
一、从行列式讲起 
1. 行列式的本质定义 
11 12
11 22 12 21
21 22
a a
a a a a S
a a
    
二阶行列式
11 12
21 22
a a
a a
是由两个 2 维向量组成，其结果为以这两个向量为邻边的平行四边形
的面积. 
三阶行列式
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
是由三个 3 维向量
11 12 13( , , )a a a ，
21 22 23( , , )a a a ，
31 32 33( , , )a a a 组
成，其结果为以这三个向量为邻边的平行六面体的体积. 
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n n
n n nn
a a a
a a a
D A
a a a
  是由 n 个 n 维向量组成，其结果为以这n 个向量为邻边的
n 维图形的 n 维体积. 
2. 行列式的性质 
（1）如果行列式中某一行（列）元素全为零，则行列式等于零； 
（2）如果行列式中某两行（列）元素对应成比例，则行列式等于零； 
（3）（互换）互换行列式中某两行（列）元素的位置，行列式的值只改变正负号； 
（4）（倍乘）常数 k 乘以行列式，即行列式的某行（列）元素分别乘以 k ； 
（5）（倍加）将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数 k 后加到另一行(列)对应位置的元
素上, 行列式的值不变； 
（6）（单行可拆（加）性）如果行列式中某行（列）的每个元素都是两个数的和，则这个行
列式可以拆成两个行列式的和； 
（7）行列式与它的转置行列式相等, 即 .TDD   
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2 
 
3. ★重要观点：行列式由向量组成 
（1）如果行列式不等于零，那么组成行列式的向量全独立； 
（2）如果行列式等于零，那么组成行列式的向量中至少有一个多余. 
【注】二、三阶行列式的计算： 
11 12
11 22 12 21
21 22
a a
a a a a
a a
  ； 
11 12 13
21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13 13 22 31 12 21 33 23 32 11
31 32 33
a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a
      . 
二、矩阵的本质是什么？ 
1. 表面上，矩阵表达系统信息. 
2. 本质上，设矩阵
m nA 
，满足： ( )r A k   
①存在 k 阶子式不为 0 ， 
②任给 ( 1)k  阶子式全为 0，则秩 ( )r A k . 
①存在 k 阶子式不为 0 ，存在 k 个独立向量 
②任给 ( 1)k  阶子式全为 0，任给 ( 1)k  个向量中至少有一个多余 
有且仅有 k 个独立向量 ( )r A k . 
★重要观点： 
矩阵
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a

 
 
 
 
 
 
是由向量组成. 
从行上看：m个 n 维行向量；从列上看： n 个m维列向量. 
其本质为秩 ( )r A 组成 A的独立向量的个数. 
1）“台阶数=秩” 
2）化矩阵 A 为行（最简）阶梯形矩阵 
①若矩阵 A 满足：1）若有零行全在矩阵下方；2）从行上看，自左边起，出现连续零的个
数自上而下严格单增.称为行阶梯形矩阵. 
②若矩阵 A 还满足：3）台角位置元素为 1；4）台角正上方元素全为零.称为行最简阶梯形
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3 
 
矩阵. 
3）初等变换法——互换、倍乘、倍加 
 
 
 
 
 
【例 1】化矩阵
5 7 0
4 9 0
3 6 0
A
 
 
  
 
 
为行最简阶梯形矩阵. 
 
 
 
 
 
【例 2】化矩阵
4 3
1 2 3
2 5 4
0 1 1
3 0 2
A

 
 
 
 
 
 
为行最简阶梯形矩阵. 
 
 
 
 
 
 
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第二讲  核心篇 
向量组与方程组 
【综述】 
方程组求解一个向量与一组向量的关系 
11 1 12 2 1 1 11 12 1 1
21 1 22 2 2 2 21 22 2 2
1 2
1 21 1 2 2
,
,
n n n
n n n
n
m m mn mm m mn n m
a x a x a x b a a a b
a x a x a x b a a a b
x x x
a a a ba x a x a x b
           
       
               
       

       
            
 
1 1 2 2 n nx x x         
★重要观点： 
方程组的解就是描述一个向量与一组向量之间关系的表示系数. 
一、定性研究 
①相关性问题（有没有多余向量） 
②表示性问题（如何表示多余向量） 
③代表性问题（极大线性无关组） 
④等价性问题（两个向量组之间的关系） 
1. 相关性问题 
1 2, , , s   中有没有多余的向量



有
没有
 
第 1 章  行列式
1 2
1 2
, , , 0,
, , , 0
s
s
  
  
 
 

    （局限于方形） 
第 2 章  矩阵
1 2
1 2
( , , , ) ,
( , , , )
s
s
r s
r s
  
  

 

 
第 3 章  向量组 
如果存在一组不全为 0 的数
1 2, , , sx x x ，使得
1 1 2 2 0s sx x x      成立，称 
1 2, , , s   为线性相关.（多余） 
若
1 1 2 2 0s sx x x      成立，必须要求
1 2 0sx x x    ，称
1 2, , , s   为线
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5 
 
性无关.（独立） 
第 4 章  方程组 
  
1
2
1 2, , , 0s
s
x
x
x
  
 
 
  
 
 
 
有非零解.（齐次） 
 
1
2
1 2, , , 0s
s
x
x
x
  
 
 
  
 
 
 
只有零解. 
【注】学会挖掘各充要条件之间的关系. 
 
 
 
 
 
 
 
【应用】 
①第一组定理 
1）若向量组
1 2, , , s   线性相关，则向量组
1 2 1, , , ,s s    
线性相关； 
若向量组
1 2, , , s   线性相关，则向量组
1 2 1, , , s   
线性相关性不确定. 
2）若向量组
1 2, , , s   线性无关，则向量组
1 2 1, , , ,s s    
线性相关性不确定； 
若向量组
1 2, , , s   线性无关，则向量组
1 2 1, , , s   
线性无关. 
②第二组定理 
3）若向量组
1 2, , , s   线性相关，则向量组
1
1
1



 
  
 
，
2
2
2



 
  
 
， ，
s
s
s



 
  
 
线
性相关性不确定； 
若向量组
1 2, , , s   线性相关，则向量组
1 2, , , s   线性相关. 
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6 
 
4）若向量组
1 2, , , s   线性无关，则向量组
1 2, , , s   线性无关； 
若向量组
1 2, , , s   线性无关，则向量组
1 2, , , s   线性相关性不确定. 
【总结】部分相关整体相关；整体无关部分无关；原来相关缩短相关；原来无关
延长无关. 
2. 表示性问题 
 能否由
1 2, , , s   线性表示



能
不能
 
第 1 章  行列式
1 2
1 2
, , , , 0,
, , , 0
s
s
   
  
 

 
    （反推均不成立）   （局限于方形） 
第 2 章  矩阵
1 2 1 2
1 2 1 2
( , , , , )= ( , , , )
( , , , , ) ( , , , ) 1
s s
s s
r r
r r
      
      


  
 
第 3 章  向量组 
如果存在一组数
1 2, , , sx x x ，使得
1 1 2 2 s sx x x       成立，则称 可由 
1 2, , , s   线性表示. 
不存在任何一组数
1 2, , , sx x x ，使得
1 1 2 2 s sx x x       成立，则称 不可由 
1 2, , , s   线性表示. 
第 4 章  方程组 
  
1
2
1 2, , , s
s
x
x
x
   
 
 
  
 
 
 
有解.（非齐次） 
 
1
2
1 2, , , s
s
x
x
x
   
 
 
  
 
 
 
无解. 
 
 
 
 
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3. 代表性问题——极大线性无关组 
①定义：从向量组
1 2, , , s   中取出向量组
1 2, , , ( )i i ir r s    ，若其满足 
1）线性无关；2）向量组
1 2, , , s   中任一向量
i 均可由其表示. 
则称向量组
1 2, , ,i i ir   为向量组
1 2, , , s   的一个极大线性无关组. 
②应用——若 0Ax 有无穷多个解向量，一般用基础解析来表示. 
★重要观点： 0Ax 的无穷多解的极大无关组 0 Ax 的基础解析. 
注：基础解析的定义： 
设
s 21, ，若其满足： 
1）是 0 xA nm
的解； 
2）线性无关； 
3） 0Ax 的任一解均可由其表示； 
则称
s 21, 为 0Ax 的一个基础解系，其中 )(Arns  . 
4.等价性问题——研究一组向量与一组向量之间的关系（在定量描述中讲解） 
设（I） s ,,, 21  （II） t ,,, 21   
若①













stsss
t
tt
kkk
kkk
kkk




2211
22221212
12121111
，则称（I）可由（II）线性表示. 
若②










Ststtt
Ss
Ss
lll
lll
lll







2211
22221212
12121111
，则称（II）可由（I）线性表示. 
二、定量描述 
1.解 0Ax （齐次方程组） 
当 0)(  AxnAr 只有 0 解； 
当 0)(  AxnAr 有非 0 解（无穷多解） 
则其求解步骤为： 
①写出系数矩阵 A，化 A为行（最简）阶梯形矩阵，求出 )(Ar ； 
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②按列找出一个秩为 )(Ar 的子矩阵，则剩余位置的变量即为自由变量； 
③按照基础解系的定义反着走③②① 
④全部解（通解）
sskkk   2211
 
【例】求











07653
023
05532
034
54321
54321
54321
54321
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
的全部解 
 
 
 
 
 
 
 
2.解 Ax （非齐次） 
若 为 0Ax 的任一解， * 为 Ax 的某一特解，则   )(,0 ** AAA ； 
故 Ax 的全部解 0 Ax 的全部解  Ax 的一个特解； 
即全部解（通解）
*
2211   sskkk  . 
【例】











23345
0323
622
54321
54321
5432
54321
xxxxx
xxxxx
bxxxx
axxxxx
，当 ba, 为何值时，方程组有解，并求出全部解. 
 
 
 
 
 
 
（等价性问题的内容见前面） 
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第三讲  应用篇 
特征值与二次型 
引例 
（1）给出 122  yxyx ，通过某正交变换，变成：
 
1
3
22
2
2
2
2











 yx
 
（2）二次型 
322331132112
2
333
2
222
2
111321 222),,( xxaxxaxxaxaxaxaxxxf   
矩阵形式： Axxxxxf T),,( 321 ，其中： 






















332313
232212
131211
3
2
1
,
aaa
aaa
aaa
A
x
x
x
x ;其中，只含平方项的二次型，称为二次型的标准形. 
化二次型为标准形，也就是“化 A ”成为关键： 
①若存在可逆矩阵C ，使得 BACC 1
，则称 A与B 相似. 
②若存在可逆矩阵 D，使得  ADD 1
，则称 A相似于 . 
注：若存在非零向量 i ，使得 iiiA   ，则称 i 为矩阵 A的特征值， i 为 i 对应的特征
向量. 
【练习】若











311
221
001
A ，求 A的特征值 i 与对应的特征向量
i . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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10 
 
③若存在正交矩阵 P ，使得  APP 1 ，则称 A相似于 . 
注：若矩阵 P 满足 EPPT  ，则称矩阵 P 为正交矩阵，且有 TPP 1
. 
则： yyAPyPyPyAPyAxxxxxf TTTTT  )()(),,( 321  
【总结】正交变换法： 
1°把二次型表示为矩阵形式 Tx Ax ； 
2°求出 A的全部互异特征值
i ，设
i 是
in 重根； 
3°对每个特征值
i ，解齐次线性方程组 ( ) 0iE A x   ，求得基础解系，即属于
i 的特征向
量； 
4°将 A的属于同一个特征值的特征向量正交化； 
5°将全部向量单位化； 
6°将正交单位化后向量为列,且按
i 在对角矩阵的主对角线上的位置构成正交矩阵 P ； 
7°令 x Py ，得
2 2 2
1 1 2 2
T
n nx Ax y y y      .