概要信息：

目　录
第一章　绪论 １
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第二章　结构的几何构造分析 ４
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第三章　静定结构的受力分析 １１
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　第１讲　 静定梁的受力分析 １１
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　第２讲　静定刚架的受力分析 １７
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　第３讲　静定桁架和组合结构 ２２
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　第４讲　三铰拱和刚体体系虚功原理 ２９
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第四章　影响线 ３４
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　第１讲　 影响线的绘制 ３４
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　第２讲　影响线的应用 ３９
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第五章　虚功原理与结构位移计算 ４４
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　第１讲　虚功原理与荷载作用下结构位移计算 ４４
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　第２讲　 图乘法与其它影响因素下的结构位移计算 ４７
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第六章　力法 ５２
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　第１讲　力法基本原理及计算 ５２
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　第２讲　其它影响因素下超静定结构计算及简化 ５７
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　第３讲　超静定拱及超静定结构位移计算 ６１
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第七章　位移法 ６６
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　第１讲　位移法基本原理及基本方程 ６６
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　第２讲　 有侧移刚架的计算及对称性的应用 ７２
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　第３讲　其它影响因素下的位移法计算及力法、位移法的联合应用 ７７
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第八章　渐进法及其他算法简述 ８１
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　第１讲　力矩分配法 ８１
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　第２讲　 无剪力分配法及超静定结构的影响线 ８５
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第九章　矩阵位移法 ９０
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　第１讲　矩阵位移法基本原理及概念 ９０
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　第２讲　整刚矩阵集成及等效结点荷载处理 ９４
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　第３讲　矩阵位移法 ９７
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第十章　结构的动力计算 １００
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　第１讲　单自由度体系的自由振动 １００
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　第２讲　单自由度体系的强迫振动和阻尼振动 １０５
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　第３讲　两个自由度体系的振动 １１０
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第一章　绪论
一、本章基本内容及考情分析
１．结构的定义
建筑物和工程设施中承受、传递荷载而起骨架作用的部分。
２．结构力学的任务
讨论结构的组成规律和合理形式，结构计算简图的合理选择；
讨论结构内力和变形的计算方法，进行结构的强度和刚度的验算；
讨论结构的稳定性以及在动力荷载作用下的结构反应。
３．结构力学的基本解法：
运用以下条件：
（１）力系的平衡条件或运动条件。
（２）变形的几何连续条件。
（３）应力与变形间的物理条件（或称为本构方程）
４．结构的计算简图
———能反映实际结构的主要力学特性；
———分析计算尽可能简便
（１）结构体系的简化
多数情况下可将实际结构分解为平面结构
（２）杆件的简化
杆件用其轴线表示，杆件间的连接区用结点表示。
（３）杆件间连接的简化（结点的简化）
铰结点：被连接的杆件在连接处不能相对移动，可相对转动，即可以传递力，不能传递力矩。
刚结点：被连接的杆件在连接处既不能相对移动，也不能相对转动，即可以传递力，也可以传递力
矩。
—１—
组合结点：被连接的杆件在连接处部分相互铰接，部分相互刚结。
（４）结构与基础间连接的简化———
结构与基础的连接区简化为支座。
ａ．滚轴支座：被支承的部分可以转动和水平移动，不能竖向移动，只有竖向反力。
ｂ．铰支座：被支承的部分可以转动，不能移动，提供两个方向的反力
ｃ．定向支座：被支承的部分不能转动，但可沿一个方向平行滑动，提供一个反力矩和一个反力。
ｄ．固定支座：被支承的部分完全被固定，提供三个反力固定支座：被支承的部分完全被固定，提供
三个反力。
（５）材料的简化
组成各构件的材料一般假设为：连续的、均匀的、各向同性的、完全弹性的或弹塑性的。
（６）荷载的简化
体积力（体力）、表面力（面力）
体力和面力通常简化为作用在轴线上的集中荷载和分布荷载。
５．结构的分类
（１）按杆件系统的轴线是否在同一平面内分：平面结构和空间结构；
（２）按几何特征分：杆件结构、薄壁结构、实体结构；
（３）按内力是否静定分：静定结构、超静定结构；
（４）按受力特性的不同分：梁、刚架、桁架、拱、组合结构。
６．荷载的分类
（１）根据荷载作用时间久暂分：恒载（如结构的自重或土压力）、活载（楼面荷载、屋面荷载、雪载
—２—
和风载等）
（２）根据荷载作用位置分：固定荷载（恒载和大部分活载，如雪载和风载）、移动荷载（如吊车荷载
等）
（３）根据荷载作用性质分：静力荷载、动力荷载
（４）荷载按作用范围大小分：集中荷载和分布荷载。
二、本章难点：
结构的计算简图
三、本章考点：结构的计算简图，荷载的分类，结构的分类。
四、典型题及真题：
例题１　 填空题
１．结构按照几何特征分为　　　　　　　、　　　　　　　和　　　　　　　 ；按照空间特征
分为　　　　　　　和　　　　　　 。
２．结构中常见的杆件有　　　　 　　 和　　　　　　。
３．恒载荷和活载荷是按　　　　　　 来区分的。
例题２　 判断题
１．板和壳都是厚度很薄的构件，它们是根据其为平面或是曲面来区分的。 （　）
２．任何情况下，体内任意两点的距离保持不变的物体叫刚体。 （　 ）
３．刚结点的特点是没有任何相对转角，也没有绝对转角。 （　）
４．四边支撑的正方形楼板可以简化为一根杆件计算。 （　）
５．结构计算简图只考虑荷载的简化。 （　 ）
６．荷载是指结构的自重。 （　 ）
７．结构力学研究的对象仍然是弹性小变形体。 （　 ）
例题３　 选择题
１．结构力学研究的任务是（　 ）
Ａ．结构中的每一根构件都应有足够的强度、
Ｂ．设计时要保证构件变得变形数值不超过它正常工作所容许的范围
Ｃ．构件和结构应保持原有的平衡状态
Ｄ．以上三种
２．载荷按作用范围可分为（　 ）
Ａ．经载荷和动载荷　　　　　　　　　 Ｂ．恒载荷和活载荷
Ｃ．分布载荷和集中载荷　　　　　　　 Ｄ．以上都是
３．作用在楼面上的人群的重力成为（　 ）
Ａ．恒载荷　　　　　　Ｂ．活载荷　　　　　　Ｃ．静载荷 　　　　　　Ｄ．动载荷
—３—
第二章　结构的几何构造分析
一、本章基本内容及考情分析
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二、本章重点
１．几何构造分析中的几个概念
（１）几何不变体系与几何可变体系；
几何不变体系———在不考虑材料微小应变的条件下，几何形状和位置不能改变的体系；
几何可变体系———在不考虑材料微小应变的条件下，几何形状和位置可以改变的体系；
一般结构必须是几何不变体系。
（２）体系自由度
体系的自由度等于体系运动时可以独立改变的坐标参数的数目，也就是完全确定体系位置所需
要的独立坐标数。
一个点在平面内的自由度等于２，在空间的自由度等于３；一个刚片在平面内的自由度等于３，在
空间自由度等于６。
（３）约束、必要约束和多余约束
限制体系运动的装置称为约束（或称联系）。能有效减少体系自由度的约束称为必要约束（或称
非多余约束）；不能减少体系自由度的约束称为多余约束。
连接两个刚片的一个单连杆（或支杆）相当于一个约束。
连接两个刚片的一个单铰相当于两个约束，连接ｎ个刚片的一个复铰相当于ｎ－１个单铰。
连接两个刚片的简单刚结点
连接两个刚片的简单刚结点相当于三个约束，连接ｎ个刚片的复杂刚结点相当于 ｎ－１个简单刚
结点。一个无铰闭合框内存在一个多余简单刚结点，即内部有三个多余约束。
—４—
（ａ）内部没有多余约束的刚片；
（ｂ）内部有一个多余约束的刚片；
（ｃ）内部有两个多余约束的刚片；
（ｄ）内部有三个多余约束的刚片。
（４）虚（瞬）铰
两刚片由两根链杆并联连接时，两根链杆所起的约束作用相当于在链杆交点处的一个铰所起的
约束作用，这个铰称为瞬铰，也称虚铰。
注意：
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（５）无穷远虚（瞬）铰
若连接两刚片的两根链杆互相平行，则两根链杆的交点在无穷远处。两根链杆所起的约束作用
相当于无穷远处的瞬铰所起的作用。
无穷远处的含义：
（１）每一个方向有一个∞点；
（２）不同方向有不同的∞点；
（３）各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线；
（４）各有限点都不在线∞上。
—５—
２．平面杆件体系的计算自由度
（１）体系的实际自由度Ｓ、计算自由度Ｗ与多余约束个数ｎ
体系是由部件加约束组成，设全部约束对象自由度总和为ａ，非多余约束数为ｃ，全部约束总数为
ｄ，则有：
实际自由度 ：Ｓ＝ａ－ｃ；
计算自由度 ：Ｗ ＝ａ－ｄ；
多余约束数 ：ｎ＝Ｓ－Ｗ ＝ｄ－ｃ；
所以 ：Ｓ≥Ｗ，ｎ≥－Ｗ。
（２）平面体系计算自由度的公式
刚片系　Ｗ ＝３ｍ－（３ｇ＋２ｈ＋ｂ）；　　　链杆系　Ｗ ＝２ｊ－ｂ；
其中，ｍ—体系中刚片的个数　　　ｇ—单刚结个数
ｈ—单铰结个数　　　　　　　　　ｂ—单链杆根数
ｊ—体系中结点的个数
（３）内部可变度（内部计算自由度）Ｖ，Ｖ＝Ｗ－３；
（４）计算结果分析
若Ｗ ＞０，则Ｓ＞０，体系是几何可变的；
若Ｗ ＝０，则Ｓ＝ｎ，如无多余约束则为几何不变，如有多余约束则为几何可变；
若Ｗ ＜０，则ｎ＞０，体系有多余约束。
３．平面几何不变体系的组成规律
（１）二元体规则———一个点与一个刚片之间的连接方式
一个刚片与一个点用不共线的两根链杆相连，则组成没有多余约束的几何不变的整体。
由两根链杆在一端铰接，另一端连接一刚片，这个“两杆一铰”体系，
称为二元体。在一个体系上增加或拆除二元体，不改变原体系的几何构造性质。
（２）两刚片规则———两个刚片之间的连接方式
两个刚片用一个铰和一个不通过该铰的链杆连接，组成没有多余约束的几何不变体系。（如左下
图）
两个刚片用三根链杆相连，且三链杆不交于同一点，则组成没有多余约束的几何不变体系。（如
右上图）
（３）三刚片规则———三个刚片之间的连接方式
三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相连，组成没有多余约束的几何不变体系。
—６—
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４．瞬变体系
原是一个可变体系，经微小位移后又成为几何不变体系，称为瞬变体系。
在任一瞬变体系中必然存在多余约束。
瞬变体系不能作为结构使用。
基本的瞬变体系有三铰共线、三链杆共点、不等长三链杆平行等。
５．瞬铰在无穷远时判断三铰共线的条件
（１）一铰无穷远：
（２）两铰无穷远
—７—
（３）三铰无穷远———三铰共线
三、本章难点
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四、本章考点
考点１：几何构造分析
１．寻找构造刚片对体系进行几何构造分析时，一般可以首先寻找体系中几何不变的局部———构
造刚片（如单个杆、两两铰接的三角形等），由构造刚片逐步扩展组装成整体。组装顺序可分为两种：
（１）从地基开始组成第一个构造刚片，在此基础上按照构造规律逐步组装成整体。
（２）从体系内部开始组成第一个或两个以上构造刚片，将它们看作大刚片，再利用构造规律组成
整体。
（３）当体系与地基的连接只有三根不共点支杆时，一般都可以先分析内部。内部的几何性质即为
整体的几何性质。
（４）当用以下方法都难以找到构造刚片时，就应该将地基也作为一个大刚片进行整体分析。
举例说明：
例题１
例题２
２．利用约束等效代换简化体系
（１）复杂形状（曲线、折线形）链杆的约束作用可用直杆代替，如下图所示。
（２）连接两刚片的两根链杆等效于它们交点处的瞬铰。
—８—
（３）用等效的多个单约束代替一个复约束，例如用单连杆代替复链杆。
例题３．试分析图示体系的几何构造。
３．排除二元体，简化体系
根据二元体规律，加减二元体不会改变原有体系的几何性质，故而可以通过去除二元体达到简化
体系的目的，只需对剩余部分进行几何构造分析即可。此类方法多用于桁架中。例如：
４．恰当选择约束对象
约束对象（刚片或结点）的选择至关重要，若选择不当将给构造分析带来很多困难，特别是在分析
比较复杂的三刚片体系时。这时应考虑改变约束对象的选择方案。对于较复杂体系，选择约束对象
时，一般尽可能使刚片之间“拉开距离”。另外，如约束对象为闭合环路的刚片，要注意其内部有多余
约束。
例题４：
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例题１：试计算图示体系的计算自由度
Ｗ＝８×３－１１×２－３＝－１
Ｗ＝１×３＋５×２－２×２－１０＝－１
例题２：２０１２年哈工大结构力学考研真题分析图示平面体系的几何性质
—９—
例题３：１９９９年大连理工大学结构力学考研真题（　）
Ａ．几何不变无多余约束； Ｂ．几何不变有多余约束；
Ｃ．几何常变； Ｄ．几何瞬变。
例题４：２００８年天津大学结构力学考研真题分析图示平面体系的几何性质
例题５：２０１１年南京理工大学结构力学考研真题
如图一（１）所示结构体系的几何组成为 体系。
—０１—
第三章　静定结构的受力分析
第１讲　 静定梁的受力分析
一、本章基本内容及考情分析
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二、本讲重点：
１．杆件的受力分析
（１）截面法求内力
将杆件在指定截面切开，取其中一部分为隔离体，利用平衡条件，确定此截面的三个内力分量。
（２）内力正负号规定
轴力ＦＮ—以拉力为正。
剪力ＦＱ—以绕微段隔离体顺时针转者为正。
弯矩Ｍ—弯矩图的纵坐标画在杆件受拉纤维一边，不标正负号。
（３）荷载与内力的微分关系
ｄＦＮ
ｄｘ ＝－ｑｘ
ｄＦＱ
ｄｘ ＝－ｑｙ
ｄＭ
ｄｘ＝Ｆ







Ｑ
（４）分段叠加法作弯矩图
（５）斜梁的受力分析
—１１—
简支斜梁在竖向荷载作用下的约束力为 ＲＡ＝ＲＡ
０　　ＲＢ＝ＲＢ
０
任意截面Ｃ的内力为
Ｍ ＝Ｍ０
ＦＱ ＝ＦＱ
０ｃｏｓφ
ＦＮ ＝－ＦＮ
０ｓｉｎφ
式中：ＲＡ
０、ＲＢ
０、Ｍ０、ＦＱ
０、ＦＮ
０表示代梁（与斜梁同跨度同荷载的水平简支梁）的反力与内力。
２．静定多跨梁
（１）静定多跨梁包含基本部分和附属部分—如何区分？
（２）静定多跨梁的组成次序：先固定基本部分，后固定附属部分。
（３）静定多跨梁的计算原则：拆成单个杆计算，先计算附属部分，后计算基本部分。
（４）内力计算的关键在于：
正确区分基本部分和附属部分；
熟练掌握截面法求控制截面弯矩；
熟练掌握区段叠加法作单跨梁内力图。
（５）多跨静定梁的受力特点：
与简支梁相比：弯矩较小而且均匀；
从分析过程看：附属部分上若无外力，其上也无内力。
三、本讲难点：
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四、本讲考点：
考点１：支座反力和内力的计算
求解支座反力和内力仅是结构内力计算和画内力图所涉及的一部分内容，很少单独考试。
—２１—
求支座反力涉及到合理地选取研究对象，以及正确列平衡方程；计算指定截面内力，一般需要在
求得支座反力的前提下，由截面法根据平衡条件求得，对于悬臂结构一般不需要计算支座反力，可以
直接求得内力。
对于多跨连续静定梁选取研究对象的顺序一般与几何构造分析的顺序相反，即一般先附属后基
本。
考点２：利用微分关系做内力图
ｄＦＮ
ｄｘ ＝－ｑｘ
ｄＦＱ
ｄｘ ＝－ｑｙ
ｄＭ
ｄｘ＝Ｆ







Ｑ
梁上情况 无外力 均布力作用 （ｑ向下） 集中力作用处（ＦＰ向下） 集中力偶Ｍ作用处 铰处
剪力图 水平线 斜直线（＼） 为零处
有突变（突变
值＝ＦＰ）
如变号 无变化 无影响
弯矩图
一般
为斜
直线
抛物线（下凸） 有极值
有尖角
（向下）
有极值
有突变
（突变值＝Ｍ）
为零
试作图示简支梁的内力图。
ＦＱＡ＝ＦＲＡ＝１７ｋＮ
ＦＲＱＢ＝１７ｋＮ－８ｋＮ＝９ｋＮ
ＦＲＱＢ－Ｂ　右侧截面的剪力
ＦＱＥ＝１７ｋＮ－８ｋＮ－４×４ｋＮ＝－７ｋＮ
—３１—
ＭＡ ＝０　　　　　ＭＧ ＝０
ＭＢ ＝１７×１＝１７（ｋＮ·ｍ）
ＭＣ ＝１７×２－８＝２６（ｋＮ·ｍ）
ＭＥ ＝７×２＋１６＝３０（ｋＮ·ｍ）
ＭＬＦ ＝７×１＋１６＝２３（ｋＮ·ｍ）
ＭＲＦ ＝７×１＝７（ｋＮ·ｍ）
考点３：运用叠加原理做梁的弯矩图
注意：应熟记常用单跨梁的弯矩图；
掌握分段叠加法作弯矩图
（１）应熟记常用单跨梁的弯矩图
（２）分段叠加法作弯矩图
任意直段杆的弯矩图：
以（ａ）中的ＡＢ端为例，其隔离体如图（ｂ）。
与图（ｃ）中的简支梁相比，显然二者的弯矩图相同。
因此：作任意直杆段弯矩图就归结为作相应简支梁的弯矩图。ＡＢ段的弯矩图如图（ｄ）。
注意：弯矩图的叠加指纵坐标的叠加，不是图形的简单拼合。
—４１—
图例：做图示结构的弯矩图
（１）悬臂段分布荷载作用下
（２）跨中集中力偶作用下
（３）叠加得弯矩图
考点４：内力图校核
１．利用结点平衡条件校核弯矩图；
２．利用微分关系校核弯矩、剪力图与荷载的关系。
例题１：对弯矩图改错
—５１—
考点５：综合运用上述知识，绘制比较复杂的多跨静 定梁的内力图
熟记常用单跨梁的弯矩图；正确区分基本部分和附属部分，先附属后基本；掌握利用微分关系、分
段叠加法作弯矩图。
考点６：少求或不求反力绘制弯矩图
１．弯矩图的形状特征（微分关系）
２．刚结点力矩平衡
两杆刚结点无外力偶作用，则两个杆端弯矩等值反向，使同侧受拉；若有外力偶作用，则由结点力
矩平衡条件可由一个已知杆端弯矩导出另一杆端弯矩。同理，连接ｎ个杆件的刚结点，无论有无外力
偶作用，均可在求得ｎ－１个杆端弯矩时求出最后一个杆端弯矩。
３．外力与杆轴关系（平行，垂直，重合）
４．特殊部分（悬臂部分，简支部分）
５．区段叠加法作弯矩图
考点７：已知弯矩图求可能作用的荷载
其实，该考点是考察考生对微分关系的理解及掌握程度。
五、典型题及真题
例题１：大连理工大学２００９年结构力学考研真题
作图示结构Ｍ图并求二力杆轴力。
—６１—
例题２：做图示结构的内力图
内力计算的关键在于：正确区分基本部分和附属部分，熟练掌握单跨梁的计算。
例题３：利用微分关系等作弯矩图
第２讲　静定刚架的受力分析
一、本讲重点
１．刚架的特点
结点全部或部分是刚结点，结构内部有较大的空间。
２．静定平面刚架的支座反力
（１）悬臂刚架：此类刚架可以不求反力而直接画内力图。
（２）简支刚架：三个支座反力可以由整体平衡条件求出。
（３）三铰刚架：具有两个铰支座和一个顶铰，有四个支
座反力。需要取两次研究对象，即三个整体平衡条件，和从顶铰处截开后取局部为研究对象的适
当平衡条件，共四个平衡方程求出四个支座反力。
（４）复合型刚架：由上述三种类型刚架组合而成，具有
基本部分和附属部分的多跨或多层静定刚架。一般先计算附属部分，后计算基本部分。
—７１—
３．静定平面刚架的内力图
一般先求反力，然后求控制弯矩（截面法），用分段叠加法逐杆绘制，原则上与静定梁相同，画在杆
的受拉一侧。
对于不和支座相连的杆件，用下述方法求各杆剪力、轴力更方便：在画出弯矩图后，利用各杆的平
衡条件，可由杆端弯矩和杆上荷载求得杆端剪力，利用结点投影平衡条件可由剪力求得杆端轴力。
４．内力图的校核
（１）利用结点力矩平衡条件校核弯矩图；
（２）利用结点或刚架局部平衡条件校核剪力图、轴力图；
（３）利用微分关系校核弯矩图、剪力图与荷载的关系。
二、本讲难点
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三、本讲考点
考点１：支座反力和内力的计算
求解支座反力和内力仅是结构内力计算和画内力图所涉及的一部分内容，很少单独考试。
求支座反力涉及到合理地选取研究对象，以及正确列平衡方程。
计算指定截面内力，一般需要在求得支座反力的前提下，由截面法根据平衡条件求得，对于悬臂
结构一般不需要计算支座反力，可以直接求得内力。
对于复杂刚架选取研究对象的顺序一般与几何构造分析的顺序相反，即一般先附属后基本。
例题１：求图示刚架的支座反力和１、２截面的弯矩
考点２：利用微分关系做内力图
做法：（１）求出反力；
（２）拆成单个杆，求出杆两端的弯矩；
（３）按与单跨梁相同的方法画弯矩图。
分段　定点　连线
—８１—
例题１：做图示结构的弯矩图
ｄＦＮ
ｄｘ ＝－ｑｘ
ｄＦＱ
ｄｘ ＝－ｑｙ
ｄＭ
ｄｘ＝Ｆ







Ｑ

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例题１：做图示结构的弯矩图
考点４：内力图校核
１．利用结点平衡条件校核弯矩图；
２．利用微分关系校核弯矩、剪力图与荷载的关系。
例题１：对弯矩图改错
—９１—
考点５：综合运用上述知识，绘制比较复杂的平面刚架的内力图
１．熟记常用单跨梁的弯矩图；
２．正确区分基本部分和附属部分，先附属后基本；
３．掌握利用微分关系、分段叠加法作弯矩图；
４．对称性的运用：对称结构在对称荷载作用下，反力和内力都呈对称分布；对称结构在反对称荷
载作用下，反力和内力都呈反对称分布。
例题１：做图示结构的弯矩图
考点６：少求或不求反力绘制弯矩图
１．弯矩图的形状特征（微分关系）
２．刚结点力矩平衡
两杆刚结点无外力偶作用，则两个杆端弯矩等值反向，使同侧受拉；若有外力偶作用，则由结点力
矩平衡条件可由一个已知杆端弯矩导出另一杆端弯矩。同理，连接ｎ个杆件的刚结点，无论有无外力
偶作用，均可在求得ｎ－１个杆端弯矩时求出最后一个杆端弯矩。
３．外力与杆轴关系（平行，垂直，重合）
４．特殊部分（悬臂部分，简支部分）
５．区段叠加法作弯矩图（见下页图）
考点７：已知弯矩图求可能作用的荷载
其实，该考点是考察考生对微分关系的理解及掌握程度。
—０２—
四、典型题及真题
例题１：大连理工大学某年结构力学考研真题
绘图示结构的弯矩图，并求链杆轴力。
例题２：（对考点１的考查）求图示刚架支座反力及各结点约束力
例题３：（对考点２、３、６的考查）做图示刚架的弯矩图
例题４：作图示结构弯矩图（三铰刚架弯矩图）
例题５：绘制图示刚架的弯矩图
—１２—
例题６：作图示结构弯矩图，并由做出的弯矩图做其剪力图
例题７：作图示结构弯矩图，并由做出的弯矩图做其剪力图

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例题８：作图示结构的Ｍ，ＦＳ，ＦＮ图

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第３讲　静定桁架和组合结构
一、本讲重点
１．平面静定桁架
（１）桁架的特点和组成
直杆铰接体系．荷载只在结点作用，所有杆均为只有轴力的二力杆。与实际的偏差：并非理想铰
接；并非理想直杆；并非只有结点荷载。
（２）平面桁架的分类（按几何构成方式）
—２２—
简单桁架—在基础或一个铰结三角形上依次加二元体构成的；宜用结点法求解；
联合桁架—由简单桁架按基本组成规则构成；先用截面法连接杆内力，再求其它杆内力；
复杂桁架—非上述两种方式组成的静定桁架；用通路法或杆件代替法求解。
（３）结点法
取隔离体时，每个隔离体只包含一个结点的方法。
隔离体上的力是平面汇交力系，只有两个独立的平衡方程可以利用，故一般应先截取只包含两个
未知轴力杆件的结点。
对于简单桁架，采取与组成顺序相反的次序依次截取结点，可保证求解过程中一个方程中只含一
个未知数。
结点单杆：
结点只包含两个不共线的未知力杆，则每杆都是单杆；结点只包含三个未知力杆，其中有两杆共
线，则第三杆是单杆。
结点单杆的内力可由该结点的平衡条件直接求出；当结点无荷载作用时，结点单杆的内力必为零
（称为零杆）；可以依靠拆除单杆的方法将整个桁架拆完，则此桁架即可应用结点法将各杆内力求出。
计算顺序按拆除单杆的顺序进行。
结点法的计算步骤：
去掉零杆；逐个截取具有单杆的结点，由结点平衡方程求轴力。
（４）截面法
用截面切断拟求内力的杆件，从桁架中截出一部分为隔离体，利用平面力系的三个平衡方程，计
算所切各杆的未知轴力。用截面切断拟求内力的杆件，从桁架中截出一部分为隔离体，利用平面力系
的三个平衡方程，计算所切各杆的未知轴力。
（５）结点法和截面法的联合应用。
２．组合结构
组合结构由链杆和梁式杆组成。链杆中只有轴力，梁式杆截面上同时有轴力、弯矩、剪力作用。
一般情况下，可以先用截面法和结点法求出链杆轴力，再取梁式杆为隔离体，求出其内力。
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—３２—
二、本讲难点
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三、本讲考点
考点１：平面桁架零杆的判断
结点单杆：结点只包含两个不共线的未知力杆，则每杆都是单杆；结点只包含三个未知力杆，其中
有两杆共线，则第三杆是单杆。利用这个概念，根据荷载状况可判断此杆内力是否为零。
例题１：判断图示结构中的零杆
考点２：结点法计算平面桁架的内力
取结点为隔离体时，隔离体上的力是平面汇交力系，只有两个独立的平衡方程可以利用，故一般
应先截取只包含两个未知轴力杆件的结点。
对于简单桁架，采取与组成顺序相反的次序依次截取结点，可保证求解过程中一个方程中只含一
个未知数。
在用结点法进行计算时，注意以下三点，可使计算过程得到简化。
（１）对称性的利用
如果结构的杆件轴线对某轴（空间桁架为某面）对称，结构的支座、
材料性能也对同一条轴对称的静定结构，则该结构称为对称结构。对称结构在对称或反对称的
荷载作用下，结构的内力和变形（也称为反应）必然对称或反对称。
（２）结点单杆以结点为平衡对象能仅用一个方程求出内力的杆件。
（３）零杆判断，简化结构。
例题１：图示一施工托架的计算简图，在所示荷载作用下，试求各杆的轴力。
—４２—
解：（１）求支反力，如图
（２）作结点Ａ的隔离体图
ＦＮＡＤ ＝３４．８ｋＮ（拉力）
ＦＮＡＣ ＝－３３ｋＮ（拉力）
（３）作结点Ｃ的隔离体图
ＦＮＣＥ ＝－３３ｋＮ（拉力）
ＦＮＣＤ ＝－８ｋＮ（拉力）
（４）作结点Ｄ的隔离体图
ＦＮＤＥ ＝－５．４ｋＮ（拉力）
ＦＮＤＦ ＝３７．５ｋＮ（拉力）
（５）利用对称性 桁架和荷载都是对称的，桁架中的内力也是对称的。各杆的轴力如图
（６）校核：取结点Ｅ
讨论：如果结点Ｅ处无外荷载作用的情况。
—５２—
考点３：截面法计算桁架内力
截取桁架的某一局部作为隔离体，由平面任意力系的平衡方程即可求得未知的轴力。对于平面
桁架，由于平面任意力系的独立平衡方程数为３，因此所截断的杆件数一般不宜超过３。
截面单杆 ：截面法取出的隔离体，不管其上有几个轴力，如果某杆的轴力可以通过列一个平衡方
程求得，则此杆称为截面单杆。
可能的截面单杆通常有相交型和平行型两种形式。
（１）截面只截断三个杆，且此三个杆不交于一点（或不彼此平行），则其中每一个杆都是截面单
杆。
（２）截面所截杆数大于三，但除一根杆外，其余各杆都交于一点或都彼此平行，则此杆是截面单
杆。
例题１：试求图示桁架中１、２、３三杆的轴力。
解：
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考点４：结点法、截面法联合应用求解桁架内力
例题１：试求图示桁架中１、２、３三杆的轴力。
解：
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考点５：组合结构的内力计算
组合结构由链杆和梁式杆组成。链杆中只有轴力，梁式杆截面上同时有轴力、弯矩、剪力作用。
—６２—
一般情况下，可以先用截面法和结点法求出链杆轴力，再取梁式杆为隔离体，求出其内力。
注意：应尽可能避免截断梁式杆。
考点６：组合结构的内力图绘制
需要注意组合结构中链杆的内力只有轴力，即这部分对应的内力图只有轴力图；梁式杆部分则以
弯曲变形为主，这部分对应的内力图则应该主要为弯矩图和剪力图。不要不加区分盲目画图。
组合结构各部分内力图绘制的原理同第一讲，一般需要先求出约束反力，再利用微分关系和叠加
原理分段逐段画出。
例题１：作图示结构内力图
—７２—
四、典型题及真题
例题１：大连理工大学２００３年结构力学考研真题
图示桁架ｂ杆的内力是（　）
Ａ．ｈＰ／２ｄ Ｂ．ｈＰ／３ｄ Ｃ．０ Ｄ．Ｐ／２
例题２：大连理工大学２００３年结构力学考研真题
图示桁架支座Ａ的反力（向上为正）是（Ｂ）
Ａ．ＦＰ Ｂ．２ＦＰ Ｃ．ＦＰ／２ Ｄ．０
例题３：大连理工大学２００５年结构力学考研真题
作图示结构的Ｍ图，并求二力杆轴力。
例题４：天津大学２０００年结构力学考研真题
如图所示，求指定杆ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ的内力。
—８２—
例题５：试作图示结构Ｍ图，并求二力杆的轴力
例题６：图示结构中，ＮＦＥ＝４Ｆ，ＮＦＤ＝０．
例题７：试作图示结构的Ｍ图
第４讲　三铰拱和刚体体系虚功原理
一、本讲重点
１．三铰拱
（１）拱的受力特点：
在竖向荷载作用下有水平反力或称推力。竖向荷载作用下，梁没有水平反力，而拱则有推力。由
于有推力，三铰拱截面上的弯矩比简支梁的弯矩小。竖向荷载作用下，梁截面没有轴力，而拱截面有
较大的轴向压力。
（２）三铰拱的支座反力计算
水平推力的求解需要对拱顶的铰链取矩来求得，即求全部支座反力的求出需
要取两次研究对象。
—９２—
图（ｂ）为跨度和荷载都与三铰拱相同的简支梁
ＦＶＡ ＝Ｆ
０
ＶＡ
ＦＶＢ ＝Ｆ
０
ＶＢ
ＦＨ ＝
Ｍ０Ｃ
ｆ
三铰拱的竖向反力与其等代梁的反力相等；水平反力与拱轴线形状无关。荷载与跨度一定时，水
平推力与矢高成反比。
（３）三铰拱的内力计算：试求指定截面Ｄ的内力
图（ｃ）为简支梁相应截面Ｄ左边的隔离体，
图（ｄ）为三铰拱截面Ｄ左边的隔离体，可得：Ｍ ＝Ｍ０－ＦＨｙ
由图（ｅ）得Ｄ截面剪力和轴力为：
ＦＱ ＝Ｆ
０
Ｑｃｏｓφ－ＦＨｓｉｎφ
ＦＮ ＝－Ｆ
０
Ｑｓｉｎφ－ＦＨｃｏｓφ
三铰拱的内力不但与荷载及三个铰的位置有关，而且与拱轴线的形状有关。
（４）三铰拱的合理轴线：固定荷载作用下使拱处于无弯矩状态的轴。
竖向荷载作用下，三铰拱合理轴线的纵坐标与简支梁弯矩图的纵坐标成正
比。（只限于三铰平拱受竖向荷载作用）
Ｍ ＝Ｍ０－ＦＨｙ
ｙ（ｘ）＝Ｍ
０（ｘ）
ＦＨ
２．静定结构总论
（１）支座微小位移、温度改变不产生反力和内力。
（２）若取出的结构部分（不管其可变性）能够平衡外荷载，则其他部分将不受力。
（３）在结构某几何不变部分上荷载做等效变换时，荷载变化部分之外的反力、内力不变。
（４）结构某几何不变部分，在保持与结构其他部分连接方式不变的前提下，用另一方式组成的不
变体代替，其他部分的受力情况不变。
—０３—
３．刚体体系虚功原理
设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束条件的无限小刚体体系位移，则主动力在
位移上所作的虚功总和恒等于零。
二、本讲考点
考点１：三铰拱的受力分析及计算
（１）三铰拱竖向支座反力等于同等跨度、同等荷载下简支梁的竖向支座反力。
（２）三铰拱的水平推力等于相应简支梁截面Ｃ处的弯矩除以拱高ｆ。
（３）影响三铰拱内力的主要因素是荷载、三个铰的位置和铰间拱轴线的形状。
（４）在拱的左半跨φ取正值，右半跨取负值。
（５）由于水平推力的关系，拱内弯矩、剪力较之相应的简支梁要小，且拱内以轴力（压力）为主要
内力。
（６）以上公式只适用于两底铰在同一水平线上仅承受竖向荷载的三铰拱。
ＦＶＡ ＝Ｆ
０
ＶＡ Ｍ ＝Ｍ０－ＦＨｙ
ＦＶＢ ＝Ｆ
０
ＶＢ ＦＱ ＝Ｆ
０
Ｑｃｏｓφ－ＦＨｓｉｎφ
ＦＨ ＝
Ｍ０Ｃ
ｆ ＦＮ ＝－Ｆ
０
Ｑｓｉｎφ－ＦＨｃｏｓφ
例题１：图示三铰拱的轴线为抛物线：ｙ＝４ｆ
ｌ２
ｘ（ｌ－ｘ）试求支座反力，并绘制内力图。
解：
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考点２：三铰拱的合理拱轴线
竖向荷载作用下，三铰拱合理轴线的纵坐标与简支梁弯矩图的纵坐标成正比。（只限于三铰平拱
受竖向荷载作用）
Ｍ ＝Ｍ０－ＦＨｙ　　　　　　ｙ（ｘ）＝
Ｍ０（ｘ）
ＦＨ
例题１：试求图示三铰拱的合理拱轴线。
—１３—
解：
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考点３：零载法分析体系的几何构造特性
依据：由解答的唯一性，无荷载作用的静定结构反力和内力应等于零。
前提：体系的计算自由度等于零
结论：无荷载作用不可能有非零反力和内力体系静定，否则体系可变（一般为瞬变）。
分析步骤：
求体系的计算自由度Ｗ，应等于零；
去掉不可能非零的杆简化体系；
设某内力为非零值ｘ，分析是否可能在满足全部平衡条件时存在非零值ｘ，以便确定体系可变性。
考点４：虚功原理求解静定结构
设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束条件的无限小刚体体系位移，则主动力在
位移上所作的虚功总和恒等于零。
例题１：试求图示静定多跨梁在Ｃ点的支座反力 ＦＸ。设荷载ＦＰ１和ＦＰ２等于常数ＦＰ。
解：
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三、典型题及真题
例题１：图示桁架中，已知 ＡＤ＝ＤＢ＝６ｍ，ＣＤ＝３ｍ，节点 Ｄ处载荷为 。试用虚位移原理求杆３
的内力。
例题２：设在三铰拱的上面填土，填土表面为一水平面，试求在填土重量下三铰拱的合理轴线。设
填土的重力密度为γ，拱受竖向分布荷载ｑ。
—２３—
解：

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例题３：大连理工大学某年结构力学考研真题图示半圆拱结构Ｋ截面的弯矩ＭＫ＝ ，
侧受拉。
—３３—
第四章　影响线
第１讲　 影响线的绘制
一、本章基本内容及考情分析
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二、本讲重点
１．影响线的概念：当单位集中荷载ＦＰ＝１沿结构移动时，表示结构某量Ｚ变化规律的曲线称为 Ｚ
的影响线。
注意：必须弄清它的含义、它与内力图的区别。
２．静力法作单跨静定梁和刚架的影响线
（１）做法：首先以单位荷载的作用位置ｘ为自变量，建立关于结构某量ｚ的静力平衡方程，确定所
求量值ｚ的影响线方程，然后由函数作图的方法作出影响线。
（２）悬臂梁、简支梁支座反力和弯矩、剪力影响线是最基本的影响线，都由直线组成。由简支梁影
响线向两端延长，即得到外伸梁的支座反力和支座间截面内力的影响线；两边伸臂上各截面内力影响
线则与对应的悬臂梁内力影响线相同。
３．静定多跨梁、静定多跨刚架的影响线
首先分清基本部分和附属部分以及它们之间的传力关系，再利用单跨静定梁的已知影响线即可
求出多跨静定梁任一量值（反力或内力）的影响线。
无论对基本部分还是附属部分的某量值，只要是单位移动荷载在量值本身所在的梁段上移动时，
该量值的影响线与相应的单跨静定梁影响线相同。
当某量值为附属部分的反力或内力，而单位移动荷载在基本部分移动时，
该量值影响线在基本部分区段的竖标必等于零。当某量值为基本部分的反力或内力，而单位移
动荷载在附属部分移动时，该量值影响线在附属部分为直线；在连接铰链处影响线的竖标为已知值，
在支座处的竖标为０。对于多跨静定刚架，其反力、内力影响线做法原则上与静定多跨梁相同。此外，
机动法做多跨静定梁的影响线比较简单。
４．间接（结点）荷载作用下的影响线
（１）在间接荷载作用下，主结构的任何影响线在相邻两点间为一直线。
（２）做法：先画出直接荷载作用下的影响线，用直线连接所有相邻两节点间的影响线竖标，即得到
间接荷载作用下的影响线。
５．静力法做静定桁架的影响线
（１）桁架承受结点荷载。单位移动荷载在桁架上弦（或下弦）移动时，必通过短梁传递到桁架的
—４３—
结点上。
（２）做法：以单位荷载的作用位置ｘ为自变量，用结点法或截面法列平衡方程，求出桁架轴力的影
响线方程，据此画出影响线。影响线在相邻两节点间为一直线。桁架的支座反力影响线与同跨度静
定梁对应的反力影响线相同。
６．机动法做影响线步骤：
（１）解除与量值ｚ相应的约束，代之以未知力ｚ。
（２）使体系沿ｚ的正方向发生虚位移，求出荷载作用点的虚位移图δｐ
图。
（３）在δｐ图中令δｚ＝１，确定影响线竖标。
（４）基线以上取正号，基线以下取负号。
优点：不需计算就能快速画出影响线的形状，可以迅速判断作用于结构上的活荷载的最不利位
置，有利于进行荷载组合。
三、本讲难点：

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四、本讲考点：
考点１：静力法做静定梁的影响线
（１）注意影响线方程的适用范围；
（２）悬臂梁、简支梁支座反力和弯矩、剪力影响线是最基本的影响线，应当熟记，并可以在计算中
直接应用。由它们可以推广到外伸梁和多跨静定梁影响线。
—５３—
例题１：作ＹＢ，ＭＡ，ＭＫ，ＱＫ，Ｍｉ，Ｑｉ影响线。
考点２：静力法做静定刚架的影响线
做法及注意事项同前；
例题１：求ＱＣ，ＭＥ，ＮＥ，ＭＤ，ＱＤ影响线。
考点３：间接荷载的影响线
注意：机动法做间接荷载作用下的影响线时，如果荷载作用于纵梁并通过结点（横梁）传到主梁
时，δＰ图不是主梁虚位移图，而应是纵梁（即荷载作用点）的虚位移图。
例题１：做ＭＤ，ＱＤ影响线。
考点４：静定桁架的影响线
—６３—
１．Ｎ１影响线力在Ｇ点右侧：∑ｍＦ ＝０　Ｎ１ ＝ＹＡ
力在Ｆ点左侧：∑ｍＦ ＝０　Ｎ１ ＝２ＹＢ
２．Ｎ２影响线　力在Ｇ点右侧：∑ＦＹ ＝０　　Ｎ２ ＝槡２ＹＡ
力在Ｆ点左侧：∑ＦＹ ＝０　　Ｎ２ ＝－槡２ＹＢ
３．Ｎ３影响线
４．Ｎ４影响线　力在Ｇ左：Ｎ４＝０；力在Ｇ点：Ｎ４＝－１。
考点５：多跨静定梁的影响线
（１）机动法做影响线时，注意δＰ图是沿单位移动荷载方向的虚位移分量图。遇到斜梁或间接荷载
作用时要特别注意。如果荷载作用于纵梁并通过结点（横梁）传到主梁时，δＰ图不是主梁虚位移图，而
应是纵梁（即荷载作用点）的虚位移图。
（２）联合运用静力法和机动法求影响线可使计算得到简化。例如对多跨静定梁，用机动法容易画
出反力、内力影响线的形状，再根据简支梁、悬臂梁的基本影响线来确定竖标，可收到事半功倍的效
果。
例题１：作ＹＡ、Ｍ１、Ｍ２、Ｑ２、ＭＢ、Ｑ３、ＹＣ、Ｑ４、ＱＣ左、ＱＣ右 影响线。
—７３—
五、典型题及真题
例题１：哈尔滨工业大学２０１２年结构力学考研真题
作图示结构Ａ、Ｂ截面的弯矩影响线。（ＭＡ以反时针方向为正）
例题２：大连理工大学２００５年结构力学考研真题
图示结构ＭＣ，ＱＣ影响线形状如下图示，Ａ处竖标分别为 ， 。
—８３—
第十章　结构的动力计算
一、本章基本内容及考情分析
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二、本章课程设置

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第１讲　单自由度体系的自由振动
一、本讲重点
１．结构动力计算的特点：
在动荷载作用下，研究结构内力、位移等量值随时间变化的规律称为结构的动力计算。
动力荷载的主要特点是：它的大小、方向、作用位置随时间变化；动力荷载的作用使结构得到加速
度，由此产生不可忽略的惯性力。
动力计算，利用动静法，建立了形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷
载、内力都是时间的函数。建立的平衡方程是微分方程。
２．体系的动力自由度
在动力计算中，因为要考虑结构质量的惯性力，所以必须明确结构的质量分布情况，即选择适当
的动力计算简图。确定运动过程中任一时刻全部质量的位置所需确定的独立几何参数的数目称为结
构体系的动力自由度。
实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。计算困难，常作简化如
下：
（１）集中质量法
把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。注意：自
由度的个数与集中质量的个数不一定相等；一个集中质量，两个自由度。
（２）广义座标法
（３）有限元法
３．单自由度体系的无阻尼自由振动———是简谐振动
体系在没有外部动荷载作用，而由初始位移和初始速度引起的振动，称为自由振动。分析自由振
动的目的是研究体系振动运动的基本规律，确定其固有振动特性。
（１）自由振动的微分方程
刚度法　 体系在惯性力作用下处于动态平衡，
—００１—
ｍｙ

（ｔ）＋ｋｙ（ｔ）＝０　　或　　ｙ

＋ω２ｙ＝０
ω＝ ｋ
槡ｍ
＝ １
ｍ槡δ
＝ ｇ
Ｗ槡δ
＝ ｇ
Δ槡ｓｔ
式中：ｙ（ｔ）———表示在ｔ时刻质量为ｍ的质点离开其静平衡位置的位移；
———圆频率或自振频率；
ｋ———体系的刚度系数。
柔度法　 质体的动位移等于质体在惯性力作用下的静位移。
ｍｙ

（ｔ）δ＋ｙ＝０　　∵δ＝１ｋ　　ｍｙ

（ｔ）＋ｋｙ（ｔ）＝０
刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。
（２）自由振动微分方程的解
ｙ（ｔ）＝ｙ０ｃｏｓωｔ＋
ν０
ω
ｓｉｎωｔ
或
ｙ（ｔ）＝ａｓｉｎ（ωｔ＋α）
式中：
ｙ（０）＝ｙ０　　　ｙ
·
（０）＝ν０ａ＝ ｙ２０＋
ｖ０( )ω槡
２
———振幅
ａ＝ｔｇ－１
ｙ０ω
ｖ０
———初始相位角
（３）结构的自振周期
自由振动的动位移为一个周期函数，其周期（完成一次振动需要的时间）为
Ｔ＝２π
ω
频率（工程频率）：单位时间内完成振动的次数。
ｆ＝ω２π
＝１Ｔ
圆频率：２π个单位时间内完成振动的次数
ω＝２πＴ＝２πｆ
频率和周期的讨论
只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关，是体系本身固有的特性；
Ｔ与ｍ的平方根成正比，与ｋ成反比，据此可改变周期；
自振周期相近的体系，动力性能基本一致。
二、本讲难点
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—１０１—
三、考点
考点１：动力自由度的确定
实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难，而且从工程角度也没必要。常用简化方法
有：
（１）集中质量法，即将实际结构的质量看成（按一定规则）集中在某些几何点上，除这些点之外物
体是无质量的。这样就将无限自由度系统变成一有限自由度系统。
（２）广义坐标法
ｙ（ｘ）＝∑
∞
ｉ＝１
αｉｉ（ｘ）
———广义坐标
φｉ（ｘ）———基函数
ｙ（ｘ）＝∑
ｎ
ｉ＝１
αｉｉ（ｘ）
ｉ（０）＝ｉ（ｌ）＝０
（３）有限元法，和静力问题一样，可通过将实际结构离散化为有限个单元的集合，将无限自由度问
题化为有限自由度来解决 。
例１：　　　　　平面上的一个质点　　　　弹性支座不减少动力自由度
为减少动力自由度，梁与刚架不计轴向变形。
自由度数与质点个数无关，但不大于质点个数的２倍。
例２：平面上的一个刚体
—２０１—
弹性地面上的平面刚体
自由度为１的体系称作单自由度体系；自由度大于１的体系称作多（有限）自
由度体系；自由度无限多的体系为无限自由度体系。
考点２：体系的运动方程
要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先建立描述结构运动的（微分）方程。建立运动方程
的方法很多，常用的有虚功法、变分法等。这里主要介绍建立在达朗泊尔原理基础上的“动静法”。具
体又分为刚度法和柔度法两种方法。
１．刚度法步骤：
（１）在质量上沿位移正向加惯性力；
（２）求发生位移ｙ所需之力；
（３）令该力等于体系外力和惯性力。
２．柔度法步骤：
（１）在质量上沿位移正向加惯性力；
（２）求外力和惯性力引起的位移；
（３）令该位移等于体系位移。
例：列出图示体系的运动方程（柔度法）
δ１１ ＝
２ｌ３
３ＥＩ
ｍｙ

（ｔ）＋３ＥＩ
２ｌ３
ｙ（ｔ）＝Ｐ（ｔ）
ｋ１１ｙ（ｔ）＝Ｐ（ｔ）－ｍｙ

（ｔ）
ｋ１１ ＝２４ＥＩ／ｌ
３
ｍｙ

（ｔ）＋２４ＥＩ
ｌ３
ｙ（ｔ）＝Ｐ（ｔ）
—３０１—
考点３：单自由度体系自振频率和周期的计算
计算方法
１．利用计算公式
ω２ ＝
ｋ１１
ｍ ＝
１
ｍδ１１
Ｗ ＝ｍｇ，Δｓｔ＝Ｗδ１１
ω２ ＝ ｇΔｓｔ
２．利用机械能守恒
Ｔ（ｔ）＋Ｕ（ｔ）＝常数
Ｔ（ｔ）＝１２ｍｙ
·
２（ｔ）＝１２ｍＡ
２ω２ｃｏｓ２（ωｔ＋φ）
Ｕ（ｔ）＝１２ｋ１１ｙ
２（ｔ）＝１２ｋ１１Ａ
２ｓｉｎ２（ωｔ＋φ）
Ｔｍａｘ＝Ｕｍａｘ
３．利用振动规律
ｙ（ｔ）＝Ａｓｉｎ（ωｔ＋φ）
ｙ̈（ｔ）＝－Ａω２ｓｉｎ（ωｔ＋φ）
Ｉ（ｔ）＝－ｍｙ̈（ｔ）＝ｍＡω２ｓｉｎ（ωｔ＋φ）
位移与惯性力同频同步．
幅值方程
Ａｋ１１ ＝ｍＡω
２
ω２ ＝
ｋ１１
ｍ
例：求图示体系的自振频率和周期。
解：

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—４０１—
四、典型题及真题：
例题１：湖南大学２０１０年结构力学考研真题
图示结构，忽略其杆件轴向变形，体系振动自由度为　　　　 。
例题２：湖南大学２０１０年结构力学考研真题
求图示体系的自振频率。质量为ｍ，各杆ＥＩ＝常数，弹性支承的刚度系数ｋ＝ＥＩ／Ｌ３。（２０分）
第２讲　单自由度体系的强迫振动和阻尼振动
一、本讲重点
１．单自由度体系的无阻尼强迫振动
受迫振动（强迫振动）：结构在动力荷载作用下的振动。
（１）强迫振动的微分方程
ｍｙ̈（ｔ）＋ｋｙ（ｔ）＝ＦＰ（ｔ）
或
ｙ̈＋ω２ｙ＝
ＦＰ（ｔ）
ｍ
（２）强迫振动的微分方程的解
ＦＰ（ｔ）＝Ｆｓｉｎθｔ
ｙ̈（ｔ）＋ω２ｙ（ｔ）＝Ｆｍｓｉｎθｔ———二阶常系数非齐次方程
ｙ（ｔ）＝ｙ（ｔ）＋ｙ（ｔ）
＝Ｃ１ｓｉｎωｔ＋Ｃ２ｃｏｓωｔ＋
Ｆ
ｍ（ω２－θ２）
ｓｉｎθｔ
代入初始条件
ｙ（０）＝０　　　Ｃ２ ＝０；　　　ｙ
·
（０）＝０　　Ｃ１ ＝－
Ｆ
ｍ（ω２－θ２）
θ
ω
ｙ（ｔ）＝－ Ｆ
ｍ（ω２－θ２）
θ
ω
ｓｉｎωｔ＋ Ｆ
ｍ（ω２－θ２）
ｓｉｎθｔ
—５０１—
由于阻尼的存在很快消失
考虑稳态振动
ｙ（ｔ）＝Ａｓｉｎθｔ＝ Ｆ
ｍ（ω２－θ２）
ｓｉｎθｔ
＝ Ｆ
ｍω２ １－θ
２
ω( )２
ｓｉｎθｔ
＝Ｆｋ·
１
１－θ
２
ω２
＝ｙｓｔ·βｓｉｎθｔ
Ａ＝ｙｓｔβ
ｙｓｔ＝
Ｆ
ｍω２
＝Ｆｋ＝Ｆδ
动荷载幅值当作静载作用时质体的位移———最大静位移
β＝ １
１－θ
２
ω２
＝Ａｙｓｔ
动力系数
动力系数的讨论
θ／ω→０，β→１
荷载变化比较慢，可按静载处理。
０＜θ
ω
＜１，β＞１
动力系数随频率比增加而增加。
θ
ω→
１，β→ !
产生共振。但振幅不会一下增加到很大。
θ
ω
＞１
动力系数的绝对值随频率比增大而减小。
一般动荷载：将动荷载分成一系列瞬时冲量
ｙ（ｔ）＝ １ｍω∫
ｔ
０
ＦＰ（τ）ｓｉｎω（ｔ－τ）ｄ →τ 杜哈梅积分（Ｄｕｈａｍｅｌ）
　　　↓
零初始条件下，单自由度
体系在任意荷载下的动位移公式
若ｙ０≠０　　　ｖ０≠０
则ｙ＝ｙ０ｃｏｓωｔ＋
ｖ０
ω
ｓｉｎωｔ＋ １ｍω∫
ｔ
０
ＦＰ（τ）ｓｉｎω（ｔ－τ）ｄτ
—６０１—
（３）几种常见荷载作用下动位移公式
ａ．突加荷载
ＦＰ（ｔ）＝
０， 当ｔ＜０
ＦＰ０， 当ｔ≥{ ０
位移公式为：
ｙ＝
ＦＰ０
ｍω２
（１－ｃｏｓωｔ）
＝ｙｓｔ（１－ｃｏｓωｔ）
ｙｓｔ＝ＦＰ０δ＝ＦＰ０／ｍω
２
质点围绕静力平衡位置作简谐振动
动力系数为：
β＝
［ｙ（ｔ）］ｍａｘ
ｙｓｔ
＝２
突加荷载引起的最大位移是静位移的２倍。
ｂ．短时荷载
ＦＰ（ｔ）＝
０， ｔ＜０
ＦＰ０ ０＜ｔ＜ｕ
０，
{
ｔ＞ｕ
位移公式为：
阶段Ⅰ（０＜ｔ＜ｕ）：与突加荷载相同
阶段Ⅱ（ｔ＞ｕ）：无荷载，体系以ｔ＝ｕ时刻的位移和速度为初始条件作自由振动。
ｙ（ｔ）＝
ｙｓｔ（１－ｃｏｓωｔ） ０≤ｔ≤ｕ
ｙｓｔ·２ｓｉｎ
ωｕ
２ｓｉｎωｔ－
ｕ( )２{ ｔ＞ｕ
动力系数为：
β＝
２ｓｉｎ（πｕ／Ｔ） ｕ／Ｔ＜１／２
２ ｕ／Ｔ＞１／{ ２
ｃ．线性渐增荷载
Ｐ（ｔ）＝
ＦＰ０ｔ
ｔｒ
， 当０≤ｔ≤ｔｒ
ＦＰ０， 当ｔ＞ｔ
{
ｒ
这种荷载引起的动力反应同样可由Ｄｕｈａｍｅｌ积分来求解，故其位移公式为：
ｙ（ｔ）＝
ｙｓｔ
ｔｒ
ｔ－ｓｉｎωｔ( )ω
， 当ｔ≤ｔｒ
ｙｓｔ１－
１
ωｔｒ
｛ｓｉｎωｔ－ｓｉｎω（ｔ－ｔｒ[ ]）｝， 当ｔ＞ｔ




 ｒ
对于这种线性渐增荷载，其动力反应与升载时间的长短有很大关系。
—７０１—
２．单自由度体系的有阻尼自由振动
无阻尼结构体系振动是一个理想情况，实际上在体系的振动中要伴随着能量的耗散，称为阻尼。
阻尼是结构的一个重要的动力特性。在动力计算中，当需要考虑阻尼对结构体系振动的影响时，引入
一个较为符合实际的且能反映能量消耗的力称为阻尼力。关于阻尼力，有几种不同的阻尼理论，其
中，应用最为广泛的是粘滞阻尼力，即阻尼力与质点速度成正比，阻尼力为－ｃｙ·（ｔ）。ｃ为阻尼常数。
（１）有阻尼自由振动的微分方程
ｍｙ··＋ｃｙ· ＋ｋｙ＝０
ω 槡＝ ｋ／ｍ
ξ＝ ｃ
２ｍω
——— 阻尼比
ｙ··＋２ξωｙ· ＋ω２ｙ＝０
（２）有阻尼自由振动的微分方程的解
ｙ（ｔ）＝Ｃｅλｔ
λ２＋２ξωλ＋ω２ ＝０
λ＝ω（－ξ± ξ２－槡 １）
ξ＞１　高阻尼
λ１，２ ＝ω（－ξ± ξ２－槡 １）＜０
ｙ（ｔ）＝Ｃ１ｅλ１
ｔ＋Ｃ２ｅλ２
ｔ
ξ＝１　　临界阻尼
λ＝－ω　　ｃ＝ｃｒ＝２ｍω　　ｙ（ｔ）＝（Ｃ１＋Ｃ２ｔ）ｅ
－ωｔ
　　　　　　　　↓
　　　　　　临界阻尼
★这两种情况下的动位移具有衰减的性质，不具有波动的性质。
阻尼过大，由于外界干扰积聚的能量均用于消耗阻尼，没有多余的能量再引起的振动。
ξ＜１　　低阻尼
λ＝－ωξ±ｉωｒ　　ωｒ＝ω １－ξ槡
２　　ｙ＝ｅ－ξωｔａｓｉｎ（ωｒｔ＋α）
　　　　　　　｜
　　　低阻尼体系的自振圆频
①尼对自振频率的影响。
ｙ＝ｅ－ξωｔａｓｉｎ（ωｒｔ＋α）影响小，可以忽略。
②尼对振幅的影响　 阻尼越大，衰减速度越快
设ｙｋ和ｙｋ＋ｎ是相隔ｎ个周期的两个振幅则：ξ＝
１
２πｎ
ｌｎ
ｙｋ
ｙｋ＋ｎ
工程中常用此方法测定阻尼
３．单自由度体系的有阻尼强迫振动
（１）强迫振动时的微分方程
—８０１—
ｙ̈（ｔ）＋２ξωｙ
·
（ｔ）＋ω２ｙ（ｔ）＝
ＦＰ（ｔ）
ｍ
（２）强迫振动微分方程的解
Ａ．简谐荷载ＦＰ（ｔ）＝Ｆｓｉｎθｔ作用下的位移动力系数
β＝ １
１－θ
ω( )２ ２
＋４ξ２ θω槡
２
ｂ．突加荷载ＦＰ（ｔ）＝ＦＰ０作用时，动位移公式。
ｙ＝
ＦＰ０
ｍω２
［１－ｅ－ξωｔ（ｃｏｓωｒｔ－
ξω
ωｒ
ｓｉｎωｒｔ）
＝ｙｓｔ［１－ｅ
－ξωｔ（ｃｏｓωｒｔ－
ξω
ωｒ
ｓｉｎωｒｔ）
二、本讲难点

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三、考点
考点１：强迫振动时动力系数、动位移、动内力幅值等的计算
计算步骤：
１．计算荷载幅值作为静荷载所引起的位移、内力 ；
ｙｓｔ＝
Ｆ
ｍω２
＝Ｆｋ＝Ｆδ
２．计算动力系数β；
β＝ １
１－θ
２
ω２
＝Ａｙｓｔ
３．将得到的位移、内力乘以动力系数即得动位移幅值、动内力幅值Ａ＝ｙｓｔβ。
例１　求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知θ＝０．５ω
解：

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例２：求图示体系振幅、动弯矩幅值图．已知
解：

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—９０１—
考点２：有阻尼振动的阻尼比、阻尼系数、振动幅值等参数的计算
ｙ（ｔ）＝Ａｅ－ξωｔｓｉｎ（ωＤｔ＋φＤ）
ξ＝ ｃ
２ｍω
ωＤ ＝ω １－ξ槡
２
ＴＤ ＝
２π
ωＤ
　　　周期延长
Ｔ＝ＴＤ １－ξ槡
２
ξ＝ １
２πｎ
ｌｎ
Ａｉ
Ａｉ＋ｎ
利用此式，通过实验可确定体系的阻尼比。
例：对图示体系作自由振动试验。用钢丝绳将上端拉离平衡位置２ｃｍ，用力１６．４ｋＮ，将绳突然切
断，开始作自由振动。经４周期，用时２秒，振幅降为１ｃｍ。
求１．阻尼比，
２．刚度系数，
３．无阻尼周期，
４．重量，
５．阻尼系数。
解：

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四、典型题及真题：
例题１：湖南大学２０１２年结构力学考研真题
八、图示结构承受简谐荷载的作用，设各柱ＥＩ相同，不计柱的质量，不计阻尼。试求质量 ｍ的最
大动位移设θ＝ ５ＥＩ
ｍｈ槡 ３。（２３分）
第３讲　两个自由度体系的振动
一、本讲重点
１．两个自由度体系的无阻尼自由振动之刚度法（适用于横梁刚度无穷大的超静定刚架）
（１）振动方程：在惯性力和质点位移的作用下，附加约束上的反力为零。
ｍ１ｙ̈１＋ｋ１１ｙ１＋ｋ１２ｙ２ ＝０
—０１１—
ｍ２ｙ̈２＋ｋ２１ｙ１＋ｋ２２ｙ２ ＝０
或
［ｍ］｛ｙ̈｝＋［ｋ］｛ｙ｝＝｛０｝
（２）振动方程的解
设方程的特解为
ｙ１ ＝Ｙ１ｓｉｎ（ωｔ＋α）
ｙ２ ＝Ｙ２ｓｉｎ（ωｔ＋α
{
）
代入方程，得
（［ｋ］－ω２［ｍ］）｛Ｙ｝＝｛０｝———振型方程
［ｋ］－ω２［ｍ］ ＝０———频率方程
解频率方程得ω２的两个根
把解得的ω从小到大排列，ω１为第一频率或基本频率；ω２为第二频率；然后把 ω代入振型方程，
解得
ｙ１
ｙ{ }
２ １
＝
Ｙ１１
Ｙ{ }
２１
ｓｉｎ（ω１ｔ＋α１）
ｙ１
ｙ{ }
２ ２
＝
Ｙ１２
Ｙ{ }
２２
ｓｉｎ（ω２ｔ＋α２）
通解为
ｙ１
ｙ{ }
２
＝
Ｙ１１
Ｙ{ }
２１
ｓｉｎ（ω１ｔ＋α１）＋
Ｙ１２
Ｙ{ }
２２
ｓｉｎ（ω２ｔ＋α２）
（３）自振频率与主振型
ω２１，２ ＝
１
２
ｋ１１
ｍ１
＋
ｋ２２
ｍ( )
２
± １
２
ｋ１１
ｍ１
＋
ｋ２２
ｍ( )[ ]
２
２
－
ｋ１１ｋ２２－ｋ１２ｋ２１
ｍ１ｍ槡 ２
主振型１
Ｙ１１
Ｙ２１
＝－
ｋ１２
ｋ１１－ω
２
１ｍ１
　　第一振型
此时，位移为
ｙ１１ ＝Ｙ１１ｓｉｎ（ω１ｔ＋α１）
ｙ２１ ＝Ｙ２１ｓｉｎ（ω１ｔ＋α１）
位移　　　　　　速度　　　　　初位移　　 　 初速度
ｙ１１
ｙ２１
＝
Ｙ１１
Ｙ２１
　　　
ｙ
·
１１
ｙ
·
２１
＝
Ｙ１１
Ｙ２１
　　　
ｙ１０
ｙ２０
＝
Ｙ１１
Ｙ２１
　　　
ｙ
·
１０
ｙ
·
２０
＝
Ｙ１１
Ｙ２１
主振型２
Ｙ１２
Ｙ２２
＝－
ｋ１２
ｋ１１－ω
２
２ｍ１
　　第二振型
—１１１—
此时位移为
ｙ１２ ＝Ｙ１２ｓｉｎ（ω２ｔ＋α２）
ｙ２２ ＝Ｙ２２ｓｉｎ（ω２ｔ＋α２）
一般情况下，振动是两种振型的组合
ｙ１（ｔ）
ｙ２（ｔ
( )
）
＝Ａ１
Ｙ１１
Ｙ( )
２１
ｓｉｎ（ω１ｔ＋α１）＋Ａ２
Ｙ１２
Ｙ( )
２２
ｓｉｎ（ω２ｔ＋α２）
２．两个自由度体系的无阻尼自由振动之柔度法（适用于梁式结构、静定刚架、桁架结构等）
（１）振动方程：在惯性力的作用下，质体的位移等于实际动位移．
ｙ１ ＝δ１１（－ｍ１ｙ̈１）＋δ１２（－ｍ２ｙ̈２）
ｙ２ ＝δ２１（－ｍ１ｙ̈１）＋δ２２（－ｍ２ｙ̈２）
（２）振型方程和频率方程
令
ｙ１ ＝Ｙ１ｓｉｎ（ωｔ＋α）
ｙ２ ＝Ｙ２ｓｉｎ（ωｔ＋α
{
）
将位移表达式代入振动方程得振型方程
（ｋ１１－ω
２ｍ１）Ｙ１＋ｋ１２Ｙ２ ＝０
ｋ２１Ｙ１＋（ｋ２２－ω
２ｍ２）Ｙ２ ＝０
振型方程
Ｄ＝
δ１１ｍ１－
１
ω２
δ１２ｍ２
δ２１ｍ１ δ２２ｍ２－
１
ω２
＝０
频率方程或特征方程
λ１，２ ＝
（δ１１ｍ１＋δ２２ｍ２）± （δ１１ｍ１＋δ２２ｍ２）
２－４（δ１１δ２２－δ１２δ２１）ｍ１ｍ槡 ２
２
Ｙ１１
Ｙ２１
＝－
δ１２ｍ２
δ１１ｍ１－
１
ω２１
　　　
Ｙ１２
Ｙ２２
＝－
δ１２ｍ２
δ１１ｍ１－
１
ω２２
　　第一振型　　　　　　　　第二振型
３．两个自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动之刚度法
（１）强迫振动时的微分方程
在荷载、惯性力和质点位移的作用下，附加约束上的反力为零
ｍ１ｙ̈１＋ｋ１１ｙ１＋ｋ１２ｙ２ ＝ＦＰ１
ｍ２ｙ̈２＋ｋ２１ｙ１＋ｋ２２ｙ２ ＝ＦＰ２
（２）强迫振动微分方程的解
若荷载为简谐荷载，即
ＦＰ１ ＝Ｆ１ｓｉｎθｔ
—２１１—
ＦＰ２ ＝Ｆ２ｓｉｎθｔ
则稳态振动的解为
ｙ１ ＝Ｙ１ｓｉｎθｔ
ｙ２ ＝Ｙ２ｓｉｎθｔ
代入振动方程，得
（ｋ１１－θ
２ｍ１）Ｙ１＋ｋ１２Ｙ２ ＝Ｆ１
ｋ２１Ｙ１＋（ｋ２２－θ
２ｍ２）Ｙ２ ＝Ｆ２
位移幅值为
Ｙ１ ＝
Ｄ１
Ｄ０
　　　　Ｙ２ ＝
Ｄ２
Ｄ０
Ｄ１ ＝
Ｆ１ ｋ１２
Ｆ２ ｋ２２－θ
２ｍ２
Ｄ２ ＝
ｋ１１－θ
２ｍ１ Ｆ１
ｋ２１ Ｆ２
Ｄ０ ＝
ｋ１１－θ
２ｍ１ ｋ１２
ｋ２１ ｋ２２－θ
２ｍ２
若θ＝ω
则Ｄ０ ＝
ｋ１１－ω
２ｍ１ ｋ１２
ｋ２１ ｋ２２－ω
２ｍ２
＝０
ｋ１２———频率方程★ｎ个自由度体系有ｎ个共振区
荷载　　　　　　　　　位移　　　　　　　 惯性力
ＦＰ１ ＝Ｆ１ｓｉｎθｔ
ＦＰ２ ＝Ｆ２ｓｉｎθｔ
　　
ｙ１( )ｔ＝Ｙ１ｓｉｎθｔ
ｙ２( )ｔ＝Ｙ２ｓｉｎθｔ
　　
－ｍ１ｙ̈１ ＝ｍ１Ｙ１θ
２ｓｉｎθｔ
－ｍ２ｙ̈２ ＝ｍ２Ｙ２θ
２ｓｉｎθｔ
★荷载、位移、惯性力同时达到幅值。
★可以直接列幅值方程，求动位移和动内力幅值。
４．两个自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动之柔度法
（１）振动方程
质体在惯性力和荷载的作用的静位移等于动位移。
ｙ１ ＝δ１１（－ｍ１ｙ̈１）＋δ１２（－ｍ２ｙ̈２）＋Δ１ｐ
—３１１—
ｙ２ ＝δ２１（－ｍ１ｙ̈１）＋δ２２（－ｍ２ｙ̈２）＋Δ２ｐ
令
ｙ１ ＝Ｙ１ｓｉｎθｔ
ｙ２ ＝Ｙ２ｓｉｎθｔ
代入振动方程
（ｍ１θ
２δ１１－１）Ｙ１＋ｍ２θ
２δ１２Ｙ２＋Δ１Ｐ ＝０
ｍ１θ
２δ２１Ｙ１＋（ｍ２θ
２δ２２－１）Ｙ２＋Δ２Ｐ ＝０
Ｙ１ ＝
Ｄ１
Ｄ０
　　　　Ｙ２ ＝
Ｄ２
Ｄ０
Ｄ０ ＝
ｍ１θ
２δ１１－１ ｍ２θ
２δ２１
ｍ１θ
２δ２１ ｍ２θ
２δ２２－１
Ｄ１ ＝
－Δ１Ｐ ｍ２θ
２δ２１
－Δ２Ｐ ｍ２θ
２δ２２－１
Ｄ２ ＝
ｍ１θ
２δ１１－１ －Δ１Ｐ
ｍ１θ
２δ２１ －Δ２Ｐ
二、本讲难点

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三、考点
考点１：柔度法计算两个自由度体系的无阻尼自由振动的振型和频率
例：试求结构的自振频率和振型．ＥＩ＝常数，ｍ１＝ｍ２＝ｍ
解：

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考点２：刚度法计算两个自由度体系的无阻尼自由振动的振型和频率
例：试求图示体系的频率和振型
解：

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—４１１—
考点３：计算两个自由度体系的无阻尼强迫振动的动力系数、振幅等参数
例：已知：ＥＩ＝常数，θ＝０．６ω１ ＝３．４１５ ＥＩ／ｍｌ槡
３，ｍ１ ＝ｍ２ ＝ｍ．
求振幅和动弯矩图。
解：

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三、典型题及真题
例题１：长安大学２００８年结构力学考研真题
计算图示体系的自振频率和振型，并绘制振型图。已知：ｍ１＝２ｍ，ｍ２＝ｍ。
—５１１—