概要信息：

目　　录
教材分析及考试说明 １
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第一章　晶体结构 ７
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第二章　固体的结合 ２３
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第三章　晶格振动与晶体的热学性质 ３６
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第四章　能带理论 ５３
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第五章　晶体中电子在电场和磁场中的运动 ７７
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第六章　金属电子论 ９４
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第七章　半导体电子论 １０５
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
复习及重点解析 １１４
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
黄昆《固体物理学》考点精讲及复习思路
１　
教材分析及考试说明
黄昆《固体物理学》考研辅导课程
１．黄昆《固体物理学》考点精讲及复习思路
２．黄昆《固体物理学》名校真题解析及典型题精讲精练
３．黄昆《固体物理学》冲刺串讲及模拟四套卷精讲
本课程使用的教材
高等教育出版社
黄昆 原著 韩汝琦 改编
《固体物理学》
上海科学技术出版社
陆栋　编著
《固体物理学》第二版
２　
本课程参考教材
１．《固体物理学》
　　　——— 方俊鑫 陆栋，上海科学技术出版社
２．《固体物理学》——— 顾秉林 王喜昆，清华大学出版社
３．《固体物理学》学习参考书
　　　——— 陈金富，高等教育出版社
４．《固体物理基础》——— 阎守胜，北京大学出版社
５．《固体物理学》———陈长乐，西北工业大学出版社
６．《ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｔｏＳｏｌｉｄＳｔａｔｅＰｈｙｓｉｃｓ》ＳｅｖｅｎｔｈＥｄｉｔｉｏｎ
　　　——— ＣＨＡＲＬＥＳＫＩＴＴＥＫＬ，ＪｏｈｎＷｉｌｅｙ
本课程总体要求
固体物理入学考试是为招收物理、电子、材料类硕士生而实施的选拔性考试，其指导思想一般为
有利于选拔具有扎实的固体基础理论知识的高素质人才。要求考生能够系统地掌握固体的基本结构
和固体宏观性质的微观本质；学习和掌握处理微观粒子运动的理论方法；学习和掌握运用能带理论分
析晶体中电子性质的处理方法以及具备运用所学知识分析问题和解决问题的能力。
一、教材基本内容
固体物理学
→第一章 晶格结构，倒易点阵，晶体散射
→第二章 晶体的结合类型及特点
→第三章 晶格振动与晶体的热学性质，晶格热容
→第四章 能带理论
→第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动
→第六章 金属电子论，费米统计，功函数与接触电势
→第七章 半导体电子论
第一章　 晶体结构
一 晶格结构的周期性和对称性：
晶胞、原胞，晶向与晶面指数
二 典型的晶体结构：
简单立方，体心立方，面心立方，六角密排，金刚石结构等。
三 倒易点阵，布里渊区
倒格矢的定义，求倒格矢
四 布喇格方程与劳厄条件，结构因子与原子形状因子。
黄昆《固体物理学》考点精讲及复习思路
３　
第二章　固体的结合
晶体的结合类型及基本特点
一 离子性结合
离子晶体内能，马德隆能与马德隆常数、离子半径
二 共价结合
三 金属性性结合
四 范德瓦耳斯结结合
有相互作用能表达形式求
　１．平衡间距ｒ０
　２．结合能Ｗ
　３．体弹性模量
第三章　晶格振动与晶体的热学性质
一　 一维单原子链
振动方程的推导、色散关系、声子、格波
二　一维双原子链
振动方程的推导、色散关系、声学波和光学波
三　 固体热容的量子力学处理方法
固体热容的爱因斯坦模型与德拜模型及其应用，成功之处与局限性
四　晶格振动的模式密度
　１．定义
　２．简单的几个例子　　　 一维单原子链　　　　　德拜模型
　３．范霍夫奇点
第四章　能带理论
一　布洛赫定理
二　一维周期场中电子运动的近自由电子近似　　 能带和带隙
三　一维周期场中电子运动的近自由电子近似
　布里渊区及其构造方法
　１．简单立方晶格Ｋ空间二维示意图
　２．体心立方晶格布里渊区
　３．面心立方晶格布里渊区
四　紧束缚近似及其能带表示公式
五　能态密度和费米面
４　
第五章　晶体中电子在电场和磁场中的运动
准经典运动
布洛赫电子在外场下的速度，加速度，
准动量，有效质量
恒定电场作用下电子的运动
导体、绝缘体、半导体的能带论解释
在恒定磁场作用下电子的运动
第六章　金属电子论
一　费米统计和电子热容量
费米分布函数，
费米能，费米温度，费米半径，费米动量
电子热容和晶格热容
二　功函数和接触电势
功函数概念
接触电势定义
第七章　半导体电子论
半导体的基本能带结构
半导体中的杂质
空穴
电子
ＰＮ结
异质结
霍尔效应名词解释
电导和霍尔效应
二、黄昆《固体物理学》考点精讲及复习思路课程安排
第一章　 晶体结构 ———２讲
第二章　 固体的结合 ———２讲
第三章　 晶格振动与晶体的热学性质 ———３讲
第四章　 能带理论 ———４讲
第五章　 晶体中电子在电场和磁场中的运动 ———３讲
第六章　 金属电子论———２讲
第七章　 半导体电子论 ———１讲
黄昆《固体物理学》考点精讲及复习思路
５　
三、考试题型
名词解释。
如：１．原胞；２．米勒指数；３．声子；４、费米面；５、空穴；
填空。
如：金刚石晶体的结合类型是典型的（　　 ）它有 （　　）支格波。
两种不同的金属接触时，费米能极高的带（　　）电，对导体有贡献的是（　　　　）的电子。
判断、改错题。
如：１．晶体对称素中不可能存在３．５、７重轴。
２．离子型晶体和共价晶体时刻以严格区分的。
３．费米能级随温度升高而降低。
简答题。
如：１．什么是声子？写出两个声子相互作用产生第三个声子满足的关系式（正常过程和反常过
程），并说明你对反常过程的理解。
２．说明导体、半导体和绝缘体的能带结构特点。
３．在固体能带论中经过三步近似，将多种的多粒子问题转化成周期场中的单电子问题。说明是
哪三步近似，并说明这三步近似的理由。
计算题。
假设某一维单原子链的晶格常数为ａ，每个原子质量为ｍ，只考虑最近邻原子之间的相互作用，
１）写出简谐近似下该原子链的晶格振动色散关系；
２）假设该原子链的晶格常数 ａ为１Ａ，在长波极限下声速为２×１０３ｍ·ｓ－１，请估算该原子链波格
的截止频率值。
发挥题。
简述一个影响固体物理学发展的重要实验［包括实验内容、结果，解决了什么问题、有何意义，谁
做的实验］
在近来的一些物理文献中，下列术语是常见的：石墨烯、黑硅、自旋电子学、陶材料的脆性、Ｓｉ基材
料中实现受激光发射。详细描述上述任一术语，并指出该术语涉及的材料、器件或物理原理在科学和
工业技术上的应用。
四、命题规律总结
考试的重点内容：
晶体结构：正格子和倒格子之间的相互关系；布里渊区的特点及边界方程；原胞和晶胞的区别；晶
面指数和晶向指数；面间距的计算
固体的结合：固体的几种结合方式及其特点。由相互作用能表达形式求平衡间距，结合能 Ｗ，体
６　
弹性模量。
晶格振动与晶体的热学性质：一维单原子链、一维双原子连色散关系的推导，晶格热容的爱因斯
坦模型和德拜模型，晶格振动模式密度。
能带理论：一维、三维周期场中电子运动的近自由电子近似，能带，布里渊区与带隙。能态密 和
费米面。紧束缚近似能带表达式及相关计算。
晶体中电子在电场和磁场中的运动：布洛赫电子在外场下的速度，加速度，准动量，有效质量；导
体半导体的能带论解释。
金属与半导体电子论：费米统计与费米能、费米半径，费米温度、费米速度，半导体能带结构，半导
体中的杂质，霍尔效应。
计算题常用的公式：复杂的推导式可以不记，简单的定义式（倒格矢，振动模式，能态密度，有效质
量等）和其它结论性的公式（色散关系，紧束缚近似能带表达式，费米能等）全部需要记忆。计算题一
般为８０分（总分１５０分）
这一部分占了大约８０％以上的考题。
五、备考与应试策略
作为一门专业课，固体物理学的考试内容与所报学校的学科发展有密切的关系，因此最好把所报
学校历年来的考试真题进行分析，依据考试大纲的内容，找出重点内容。
以能带理论为核心，对固体物理学所涉及的各知识点进行融会贯通。
→晶体结构
晶格振动与
→
晶体的热学性质
晶体中电子在电场
　基础 核心 应用
固体的结合 能带理论
金属与
半导体电子论
１．熟悉固体物理学的基本理论知识，多看看教材和历年试题，适当地参加辅导班。教材上的教学
内容并不是全部都作为考试内容的，但其中的一些重要的内容会在各校的考研题上几年都以不同的
形式出现，对这一部分内容要将其挖掘出来，
２．将上述的复习内容以自己的方式整理出来，形成精练的笔记。试题也可能出现一些超范围的
内容，因此要阅读与报考专业相关的一些专业书。
３．选择一本合适的习题集，结合历年来的考试题，有针对性地进行练习。
４．在考前，对课程的重点和基本概念、基本原理、常用的公式进行复习，加深记忆。
黄昆《固体物理学》考点精讲及复习思路
７　
第一章　晶体结构
本章复习思路
本章考情分析：
本章主要是简答题，证明题。
主要阐明晶格中原子排列的几何规则性。重点内容有：
晶格
倒格子
对称性和布拉菲格子的分类
晶体的Ｘ射线衍射
非晶态材料的结构
考点一、晶格
晶格：晶体中原子排列的具体形式一般称为晶体格子，简称晶格（ｃｒｙｓｔａｌｌａｔｉｃｅ）。
不同晶体原子规则排列的具体形式如果是不同的，则它们具有不同的晶体结构；若晶体的原子排
列形式相同，只是原子间的距离不同，则它们具有相同的晶体结构。
晶体结构：晶体最主要的特征是具有周期性重复的规则结构，可以看成是一个或一组原子（或离
子实）以某种方式在空间周期性重复平移的结果。因此，晶体结构包括两方面：
１．重复排列的具体单元，称为基元（ｂａｓｉｓ）．包括原子的种类、数量、相对取向及位置。
２．基元重复排列的形式，一般抽象为空间点阵，称为晶体格子（ｃｒｙｓｔａｌｌａｔｉｃｅ），或简称为晶格。
晶体结构＝点阵＋基元
一些晶格的实例
一、元素晶体的结构
８　
１．简单立方格子
　　原子球的正方排列　　　　　 简单立方晶格的典型单元
２．体心立方格子
　　体心立方晶格的堆积方式　　　体心立方晶格的典型单元
３．密堆积 （ｃｌｏｓｅｐａｃｋｉｎｇ）
六角密积（ｈｅｘａｇｏｎａｌｃｌｏｓｅｐａｃｋｉｎｇ（ＡＢＡＢ…）
立方密积 （ｃｕｂｉｃｃｌｏｓｅｐａｃｋｉｎｇ）（ＡＢＣＡＢＣ…）
六角密积晶格的典型单元　　　　　　　　密堆积　　　　　　
　　　　六角密排　　　　　　　面心立方晶格的典型单元
配位数———在布拉菲格子中，离某一格点最近的格点，称为该格点的最近邻（ｎｅａｒｅｓｔｎｅｉｇｈｂｏｕｒ）。
每一格点的最近邻数，称为该格子的配位数（ｃｏｏｒｄｉｎａｔｉｏｎｎｕｍｂｅｒ），用符号ｚ表示。用它可以描述晶体
中粒子排列的紧密程度。
黄昆《固体物理学》考点精讲及复习思路
９　
密堆积和最大配位数－－如果晶体是由同一种粒子组成，并且把这些粒子都看成小圆球，则这些
全同的小圆球最紧密的堆积称为密堆积；密堆积所对应的配位数，就是晶体结构中最大的配位数。
配位数的可能取值－－最大的配位数为１２，可能的取值分别为８、６、４、３．２，分别对应不同的晶体
结构。
４．金刚石结构：
由面心立方的单元的中心到顶点引８条对角线，在其中互不相邻的４条对角线的中点，各加一原
子就得到金刚石结构
金刚石晶格结构的典型单元
二、化合物晶体的结构
氯化钠型结构 ：
两个面心立方沿立方边位移１／２
ＮａＣｌ晶格结构的典型单元
氯化铯型结构
两个简立方沿体对角线位移１／２
ＣｓＣｌ晶格结构的典型单元
闪锌矿结构 ：
１０　
与金刚石结构相似，由两种原子构成
闪锌矿晶格结构的典型单元
晶格的周期性
１．原胞和基矢（ｐｒｉｍｉｔｉｖｅｃｅｌａｎｄｐｒｉｍｉｔｉｖｅｖｅｃｔｏｒ）
２．结晶学原胞（ｕｎｉｔｃｅｌ）
３．布拉菲格子 （Ｂｒａｖａｉｓｌａｔｉｃｅ）
４．简单晶格和复式晶格 （ｓｉｍｐｌｅｌａｔｉｃｅａｎｄｃｏｍｐｌｅｘｌａｔｉｃｅ）
５．威格纳－赛兹原胞（Ｗｉｇｎｅｒ－Ｓｅｉｔｚｃｅｌ）
复习思路：
从晶格的周期性出发，介绍布拉菲格子、原胞、晶胞、等概念。
１．原胞和基矢 （ｐｒｉｍｉｔｉｖｅｃｅｌａｎｄｐｒｉｍｉｔｉｖｅｖｅｃｔｏｒ）
１）　原胞 （ｐｒｉｍｉｔｉｖｅｃｅｌ）：
原胞也叫固体物理学原胞，是指一个晶格最小的周期性单元，只反映晶格的周期性。在三维情况
下它是一个平行六面体。对于布拉菲格子，原胞中只含一个阵点（格点、结点）（ｌａｔｉｃｅｓｉｔｅ）。
原胞的特点：结点只在平行六面体的顶点上，内部和面上皆不含任何结点。
注意：原胞的选取不是唯一的，原则上只要是晶格的最小周期性单元都可以。
原胞示意图
２）基矢（ｐｒｉｍｉｔｉｖｅｖｅｃｔｏｒ）：
晶格基矢是指原胞的边矢量，一般用 ａ

１、ａ

２、ａ

３表示。
原胞的体积：Ω ＝ａ

１·（ａ

２×ａ

３）
黄昆《固体物理学》考点精讲及复习思路
１１　
常见晶格的原胞、晶胞和基矢
简单立方 （ｓｉｍｐｌｅｃｕｂｅ）
基矢
ａ
→
１ ＝ａｉ
→
ａ
→
２ ＝ａｊ
→
ａ
→
３ ＝ａｋ
→
原胞体积＝ａ３
简立方原胞（晶胞）
面心立方 （ｆａｃｅ－ｃｅｎｔｒｅｄｃｕｂｅ）
基矢
ａ
→
１ ＝
ａ
２（ｊ
→
＋ｋ
→
）
ａ
→
２ ＝
ａ
２（ｋ
→
＋ｉ
→
）
ａ
→
３ ＝
ａ
２（ｉ
→
＋ｊ
→
）
原胞体积＝（１／４）ａ３
１２　
面心立方原胞（晶胞）
体心立方 （ｂｏｄｙ－ｃｅｎｔｒｅｄｃｕｂｅ）
基矢
ａ
→
１ ＝
ａ
２（－ｉ
→
＋ｊ
→
＋ｋ
→
）
ａ
→
２ ＝
ａ
２（ｉ
→
－ｊ
→
＋ｋ
→
）
ａ
→
３ ＝
ａ
２（ｉ
→
＋ｊ
→
－ｋ
→
）
原胞体积＝（１／２）ａ３
体心立方原胞（晶胞）
３．布拉菲格子 （Ｂｒａｖａｉｓｌａｔｉｃｅ）
定义（ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ）：布拉菲格子是矢量Ｒ
→
ｌ＝ｌ１ａ
→
１＋ｌ２ａ
→
２＋ｌ３ａ
→
３
全部端点的集合，其中ｌ１，ｌ２，ｌ３取整数（零 和正负数），ａ
→
１，ａ
→
２，ａ
→
３是基矢，Ｒ
→
ｌ是布拉菲格子的格矢，
其端点称为格点（ｌａｔｉｃｅｓｉｔｅ）。
按此定义，所有格点的周围环境相同，在几何上是完全等价的。
黄昆《固体物理学》考点精讲及复习思路
１３　
经常以此来判断某一点阵是否为布拉菲格子。
４．威格纳－赛兹原胞　（Ｗｉｇｎｅｒ－Ｓｅｉｔｚｃｅｌ）
威格纳－赛兹原胞：这是一种特殊类型的晶胞，其作法是把某格点同它相同与它相邻的所有格点
连成直线，然后作这些连线的中垂面，这些面所围成的最小体积，就是威格纳 －赛兹原胞（Ｗｉｇｎｅｒ－
Ｓｅｉｔｚｃｅｌ）。
晶列和晶向指数
晶向指数（ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｉｎｄｉｃｅｓ）
一组能表示晶列方向的数称为晶向指数。
晶向指数可根据晶列上格点的周期性，用如下的方法来表标志：
取晶列直线上一格点为坐标原点，该晶列上另一格点相对该点的位矢为：
Ｒｌ＝ｌ１’ａ１＋ｌ２’ａ２＋ｌ３’ａ３
将ｌ’１，ｌ’２，ｌ’３化为互质的整数ｌ１，ｌ２，ｌ３，
记作［ｌ１ｌ２ｌ３］，即称为该晶向的指数，又称为晶列指数（ｃｒｙｓｔａｌａｒａｙｉｎｄｉｃｅｓ）。遇到负数，负号记
在数的上方。
不同的基矢坐标，其晶向指数的表示不同。
等价的方向用＜ｌ１ｌ２ｌ３＞表示。
如图所示为立方晶格的一些晶向：
ＡＢ［１００］　　 ＡＥ［００１］　　　ＡＦ［１０１］
ＢＡ［１
－
００］ ＦＢ［００１
－
］ ＢＨ［１
－
１１］
ＡＤ［０１０］ ＡＧ［１１１］ ＡＣ［１１０］
ＤＡ［０１
－
０］ ＥＡ［００１
－
］ ……
可以看出，ＡＢ，ＡＤ，ＡＥ，ＢＡ，ＤＡ，ＥＡ六个晶向，其晶向指数的差异
完全来自基矢方向的选择。由于对称性，它们在物理上是完全等价的，可以统一用＜１００＞表示。
类似地，用＜１１０＞表示与［１１０］等价的１２个面对角线晶向；用 ＜１１１＞表示与［１１１］等价的体对
角线晶向。
晶面指数和密勒指数 （ｉｎｄｉｃｅｓｏｆｃｒｙｓｔａｌｆａｃｅａｎｄＭｉｌｅｒｉｎｄｉｃｅｓ）
晶面和密勒指数（ｃｒｙｓｔａｌｐｌａｎｅａｎｄＭｉｌｅｒｉｎｄｉｃｅｓ）
▲ 晶面指数：
能够标志晶面取向的一组数，称为晶面指数
要描写一个平面的方位，就是要找出一个坐标系中表示该平面的法线方向，或给出该平面在三个
坐标轴上截距。显然，根据基矢取坐标系时，晶面指数也有两种标志方法。
　　　　　（１）固体物理学原胞
　　　　　（２）结晶学原胞
１４　
晶面指数的求法：
设ａ１，ａ２和ａ３的末端分别落在离原点距离为ｈ１ｄ、ｈ２ｄ、ｈ３ｄ的晶面上，ｈ１、ｈ２和 ｈ３为整数，ｄ为晶面
间距，晶面的单位法线矢量为ｎ，则有
ａ１·ｎ＝ａ１ｃｏｓ（ａ１，ｎ）＝ｈ１ｄ
ａ２·ｎ＝ａ２ｃｏｓ（ａ２，ｎ）＝ｈ２ｄ
ａ３·ｎ＝ａ３ｃｏｓ（ａ３，ｎ）＝ｈ３ｄ
由上式可得：
ｃｏｓ（ａ１，ｎ）∶ｃｏｓ（ａ２，ｎ）∶ａ３ｃｏｓ（ａ３，ｎ）＝
ｈ１
ａ１
∶
ｈ２
ａ２
∶
ｈ３
ａ３
　　（１）
晶体结构一定，ａ１，ａ２和ａ３为已知。若ｈ１、ｈ２和ｈ３已知，则晶面族的方向余弦，也即晶面在空间的
方位即可确定。因此，可用ｈ１、ｈ２、ｈ３来表征晶面方位，称ｈ１、ｈ２、ｈ３为晶面指数，并记为（ｈ１ｈ２ｈ３）。可
以证明ｈ１、ｈ２、ｈ３是互质的。由ｈ１、ｈ２和ｈ３的定义还可以知道，晶面族（ｈ１ｈ２ｈ３）将基矢 ａ１，ａ２和 ａ３分别
截成｜ｈ１｜、｜ｈ２｜、｜ｈ３｜等份。
ｈ１，ｈ２，ｈ３数值的求法：
ｈ１、ｈ２、ｈ３的数值可以由晶面族（ｈ１ｈ２ｈ３）中任一晶面在基矢坐标轴上的截距求出。设晶面族
（ｈ１ｈ２ｈ３）中离开原点的距离等于μｄ的晶面在三个基矢坐标轴上的截距分别为ｒａ１，ｓａ２和ｔａ３，则有
ｒａ１·ｎ＝ｒａ１ｃｏｓ（ａ１，ｎ）＝μｄ
ｓａ２·ｎ＝ｓａ２ｃｏｓ（ａ２，ｎ）＝μｄ
ｔａ３·ｎ＝ｔａ３ｃｏｓ（ａ３，ｎ）＝μｄ
由上式可得：
ｃｏｓ（ａ１，ｎ）∶ｃｏｓ（ａ２，ｎ）∶ａ３ｃｏｓ（ａ３，ｎ）＝
ｈ１
ｒａ１
∶
ｈ２
ｓａ２
∶
ｈ３
ｔａ３
　　（２）
比较（１）与（２）式，可得　ｈ１∶ｈ２∶ｈ３ ＝
１
ｒ∶
１
ｓ∶
１
ｔ
密勒指数（Ｍｉｌｅｒｉｎｄｉｃｅｓ）
用结晶学原胞基矢构成坐标系，得到的晶面指数，称之为密勒指数，用（ｈｋｌ）表示。
注意：
（１）面指数可正可负，当晶面在基矢坐标轴正方向相截时，截距系数为正，在负方向相截时，截距
系数为负。
（２）同一晶体中面间距相同的晶面族，由于在垂直于晶面的方向上，其宏观性质相同，所以称为同
族晶面族，并以大括号表示之。
如立方晶系晶体的晶面族｛１１１｝包括
（１１１）　（１
－
１
－
１
－
）　（１
－
１１）　　（１１
－
１）
（１１１
－
）　（１
－
１
－
１）　（１１
－
１
－
）　（１
－
１１
－
）
黄昆《固体物理学》考点精讲及复习思路
１５　
考点二、倒格子
一、倒矢量与倒格子的定义
对于一个特定晶格，根据原胞基矢ａ１，ａ２，ａ３，可以定义三个新的矢量
ｂ１ ＝
２π
Ω
（ａ２×ａ３）　　ｂ２ ＝
２π
Ω
（ａ３×ａ１）　　ｂ３ ＝
２π
Ω
（ａ１×ａ２）
其中Ω ＝ａ１·（ａ２×ａ３）　是原胞体积。
我们称ｂ１，ｂ２，ｂ３为倒矢量（ｒｅｃｉｐｒｏｃａｌｖｅｃｔｏｒ）．
以ｂ１，ｂ２，ｂ３为基矢进行平移可以得到一个周期点阵，称为倒易点阵，或倒格子（ｒｅｃｉｐｒｏｃａｌｌａｔｉｃｅ）。
因此，ｂ１，ｂ２，ｂ３也叫做倒格子基矢（ｒｅｃｉｐｒｏｃａｌｂａｓｉｃｖｅｃｔｏｒ）。
二、倒矢量与倒格矢的基本性质
１．正格子基矢与倒格子基矢之间满足ａｉ·ｂｊ＝｛
２π
０
即在ｉ＝ｊ时，它们的点乘等于２π，而当ｉ≠ｊ　时，它们的点乘等于０。
２．倒格子的原胞体积为Ω ＝ｂ１·（ｂ２×ｂ３）＝
（２π）３
Ω
即倒格子的原胞体积Ω＊与相应正格子（ｄｉｒｅｃｔｌａｔｉｃｅ）的原胞体积Ω成反比。
三、倒格矢与晶面族的关系
以晶面族晶面指数为系数构成的倒格矢恰为晶面族的公共法线方向，即
１６　
Ｇｈ⊥（ｈ１ｈ２ｈ３）
晶面族的面间距（ｃｒｙｓｔａｌｐｌａｎｅｓｐａｃｉｎｇ）为ｄｈ ＝
２π
Ｇｈ
表１－１七大晶系和十四种布拉菲格子
七个晶系 单胞基矢的特征 布拉菲格子 所属点群
三斜晶系 ａ≠ｂ≠ｃ　　α≠β≠γ 简单三斜 Ｃ１，Ｃｉ
单斜晶系
ａ≠ｂ≠ｃ
α＝γ＝９０°，β＞９０°
简单单斜
底心单斜
　Ｃ２，Ｃ３，Ｃ２ｈ
正交晶系
ａ≠ｂ≠ ｃ
α＝β＝γ＝９０°
简单＼底心＼体心＼
面心正交
　Ｄ２，Ｃ２ｖ，Ｄ２ｈ
三角晶系
ａ＝ｂ＝ｃ
α＝β＝γ＜１２０°，≠９０°
三角 Ｃ３　，Ｃ３ｉ　，Ｄ３，Ｃ３ｖ，Ｄ３ｄ
四方晶系
ａ＝ｂ≠ｃ
α＝β＝γ＝９０°
简单四方
体心四方
Ｃ４　，Ｃ４ｈ　，Ｄ４　，Ｃ４ｖ，Ｄ４ｈ　，
Ｓ４　，Ｄ２ｄ
六角晶系
ａ＝ｂ≠ｃ
α＝β＝９０°γ＝１２０°
六角
Ｃ６　，Ｃ６ｈ，Ｄ６，Ｃ６ｖ，Ｄ６ｈ，
Ｃ３ｈ，　Ｄ３ｈ
立方晶系
ａ＝ｂ＝ｃ
α＝β＝γ＝９０°
简单＼体心＼
面心立方
Ｔ，Ｔｈ，Ｔ４，Ｏ，Ｏｈ
　　
（１）简单三斜　　（２）简单单斜
（３）底心单斜 （４）简单正交
（５）底心正交 （６）体心正交
（７）面心正交 （８）六角
（９）三角 （１０）简单四角
（１１）体心四角 （１２）简单立方
（１３）体心立方 （１４）面心立方
其对称性由低级到高级，依次为：
低级：简单三斜，简单单斜，底心单斜，　简
单正交，底心正交，体心正交，面心正交
中级：六角，三角，简单四角，体心四角
高级：简单立方，体心立方，面心立方
黄昆《固体物理学》考点精讲及复习思路
１７　
考点三、晶体结构的实验确定
１．Ｘ射线衍射
２．电子衍射和中子衍射
３．扫描遂穿显微镜
复习思路：着重介绍晶体Ｘ射线衍射的实验方法以及原子散射因子、几何结构因子等概念。
１．Ｘ射线衍射
晶体衍射（ｃｒｙｓｔａｌｄｉｆｒａｃｔｉｏｎ）———在一定的条件下，射入晶体的波（电磁波或表现为波动的电子、
中子）与晶体中的原子发生相互作用，会得到一定的衍射图样，称为晶体衍射。利用晶体衍射，人们可
以研究晶体的微观结构。
Ｘ射线光子能量与波长λ的关系为ε＝ｈｃ／λ
其中ｈ为普朗克常数（Ｐｌａｎｋｃｏｎｓｔａｎｔ），ｃ为光速 。这相当于　ε（ｋｅＶ）＝ １．２４
λ（ｎｍ）
为探测晶体结构，波长尺度应与原子间距（～０．１ｎｍ）相当，要求光子能量约为１０４ｅＶ。此时，Ｘ射
线对材料的穿透深度为几个μｍ左右，从而可提供材料体的结构的信息。
１）劳厄条件和布拉格条件
（１）劳厄条件（Ｌａｕｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎ）　　　　　　
如图，Ｏ格点取作原点，Ｐ点是任一格点，其位置矢量Ｒｌ＝ｌ１ａ１＋ｌ２ａ２＋ｌ３ａ３　
Ｓ０和Ｓ是入射线和衍射线的单位矢量。经过格点Ｏ和Ｐ的Ｘ光，衍射前后的光程差为
ＯＡ＋ＯＢ＝－Ｒｌ·Ｓｏ＋Ｒｌ·Ｓ＝Ｒｌ·（Ｓ－Ｓｏ）
Ｘ射线衍射
设Ｘ光为单色光，衍射加强的条件为
Ｒｌ·（Ｓ－Ｓｏ）＝μλ　 （１）
式中λ为波长，μ为整数。
由波矢的定义，有ｋ－ｋ０ ＝
２π
λ
（Ｓ－Ｓｏ）
则衍射极大的条件变成Ｒｌ·（ｋ－ｋｏ）＝２πμ
可见矢量ｋ－ｋｏ　相当于倒格矢。
令ｋ－ｋｏ ＝ｎＧｈ　 　 （１’）
１８　
（１）式和（１’）就是有关Ｘ射线衍射的劳厄条件。
（２）布拉格条件
劳厄条件的几何表示如图所示，由图可得
｜ｋ－ｋｏ｜＝ｎ｜Ｇｈ｜＝２｜ｋ｜ｓｉｎθ＝
４π
λ
ｓｉｎθ
再由倒格矢与晶面族之间的关系即有
　　　２ｄｓｉｎθ＝ｎλ　 （２）
　 ｄ为面间距，ｎ为衍射级数。（２）式即为布拉格条件。
可见劳厄条件和布拉格条件是等价的。
２）原子散射因子和几何结构因子
（１）原子散射因子：
原子对Ｘ光的散射，是原子内每一个电子对Ｘ光的散射。原子内不同部位的电子云对Ｘ光的散
射波存在一定的位相差。原子总的散射波强度与各散射波的相位差有关。
定义：原子内所有电子在某一方向引起的散射波的振幅的几何和，与某一电子在该方向上引起的
散射波的振幅之比成为该原子的散射因子。
如图所示，ｒ是原子中Ｐ点的位矢，则Ｐ点散射波与原子中心散射波的位相差是
φ＝２πλ
（Ｓ－Ｓ０）·ｒ＝
２π
λ
ｓ·ｒ
式中，Ｓ０和Ｓ分别是Ｘ射线在入射方向和散射方向的单位矢量。
Ｘ射线在原子中的散射
假设原子中心处一个电子在Ｓ方向引起的散射波在观察点的振幅为 Ａ，则 Ｐ点一个电子在该方
向上引起的散射波在观察点的振幅为Ａｅｉ
２π
λｓ·ｒ
黄昆《固体物理学》考点精讲及复习思路
１９　
设ρ（ｒ）是电子在 Ｐ点的几率密度，则 Ｐ点 ｄτ内 ρｄτ个电子的散射波在观察点的振幅为
Ａρ（ｒ）ｅｉ
２π
λｓ·ｒ
原子中所有电子引起的散射波在观察点的总振幅为Ａ
～
＝Ａ∫ｅｉ２πλｓ·ｒρ（ｒ）ｄτ
根据定义，该原子的散射因子为ｆ（ｓ）＝Ａ
～
Ａ ＝∫ｅｉ
２π
λｓ·ｒρ（ｒ）ｄτ
由上式可得出两点：１．散射因子是散射方向的函数。２．不同原子具有不同的散射因子。
（２）几何结构因子：
对复式格子，总的衍射强度取决于原胞中原子的相对位置和原子散射因子。因此，几何结构因子
定义为：原胞内所有原子的散射波在所考虑的方向上的振幅与一个电子的散射波的振幅之比。据此，
在所考虑的方向上，几何结构因子可表示为
Ｆ（ｓ）＝∑ｆｊｅｉ
２π
λＳ·Ｒｊ
式中 ｆｊ表示原胞中第 ｊ个原子的散射因子，Ｒｊ为第 ｊ个原子的位矢．
二、电子衍射和中子衍射
低能电子衍射：
电子的德布罗意波长λ＝ｈ／ｐ，ｐ是它的动量，与能量的关系为ε＝ｐ２／２ｍ，因而
λ（ｎｍ）≈ １．２
［ε（ｅＶ）］１／２
波长与晶格常数可比时，如波长λ≈０．１ｎｍ相应的能量ε≈１５０ｅＶ，因此适合于晶体结构研究的是
能量在２０～２５０ｅＶ范围的低能电子束。和Ｘ射线不同的是，由于电子带电，和固体中的原子有很强的
相互作用，穿透深度很短，约几个原子层间距的量级。因此，低能电子衍射主要用于晶体表面结构的
研究。
中子衍射：
中子德布罗意波长与其能量的关系为λ（ｎｍ）≈ ０．０２８
［ε（ｅＶ）］１／２
λ≈０．１ｎｍ相应的能量为 ε≈０．０８ｅＶ，与室温下的 ｋＢＴ值（≈０．０２５ｅＶ）同数量级，通常称为热
中子。
中子与固体中的原子核通过强的短程核力相互作用。对不同原子序数的原子，其散射强度大体
相近，因此，中子衍射对轻原子（从Ｈ到Ｃ）的分辨率远高于 Ｘ射线，可弥补 Ｘ射线在这方面的不足。
另外，中子的独特之处在与它有磁矩，和固体中的原子磁矩有强的相互作用，在搞清磁性材料的磁结
构，即原子磁矩的相互取向、排列等，以及磁相变等方面，中子衍射是很重要的工具。热中子的能量特
别适合于对固体中晶格振动的研究。
要点精讲
一晶格的周期性：
２０　
几种常见晶格结构原子球排布，致密度，最近邻原子数和次近邻原子数。
实际晶体：把全同的基元放在空间点阵的晶格上即构成实际晶体。
晶格平移矢量：格点的位置可由晶格平移矢量Ｒｎ ＝ｎ１ａ１＋ｎ２ａ２＋ｎ３ａ３描述ａ１，ａ２，ａ３称为固体物
理学基矢。它们分别表示３个不共面方向上的最短周期，它们的选取具有任意性。
布拉维格子：每个格点周围情况完全相同的格子称为布拉维格子，基元代表点（格点）形成的格子
都是布拉维格子。
复式格子：由两个以上布拉维格套合而成的格子称为复式格子，若以原子为组成单位，多原子基
元组成的晶体为复式格子结构。
典型例题
１．如果将等体积球分别排列下列结构，设ｘ表示刚球所占体积与总体积 之比，证明
结构 Ｘ
简单立方 π／６≈０．５２
体心立方 槡３π／６≈０．６８
面心立方 槡２π／６≈０．７４
六方密排 槡２π／６≈０．７４
金刚石 槡３π／１６≈０．３４
　　【答】详见考试点视频
２．写出简单立方、体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和此近邻的原子数。若立方边
长为ａ，写出最近邻和此近邻的原子间距
二 晶向指数，米勒指数
晶体中的不同晶面系可用晶面指数（ｌｍｎ）来描述，它是晶面系中任一晶面在以原胞基矢为ａ１，ａ２，
ａ３单位长度的坐标上截距的互质的倒数比。若选取晶胞基矢ａ，ｂ，ｃ作为坐标轴，晶面指数称为米勒指
数，用（ｈｋｌ）表示。
晶面指数与晶面法线方向ｎ余弦之间的关系为
ｃｏｓ（ａ１，ｎ）∶ｃｏｓ（ａ２，ｎ）∶ ｃｏｓ（ａ３，ｎ）＝ｌ∶ｍ∶ｎ
对正交晶系，晶面系中两相邻晶面的面间距为
ｄｈｋｌ＝
１
( )ｈａ
２
＋( )ｋｂ
２
＋ ｌ( )ｃ槡
２
晶面上的格点密度σ与面间距ｄ满足
三　倒格子
１．定义
若ａｉ表示正格子，则倒格子ｂｉ定义为ａｉ·ｂｊ＝２πδｉｊ，由定义可得
黄昆《固体物理学》考点精讲及复习思路
２１　
ｂｊ＝
２π
Ωｄ
（ａｊ×ａｋ）
式中，Ω ＝ａ１·（ａ２×ａ３）为正格子原胞体积。
２．倒格失
Ｇ＝ｈ１ｂ１＋ｈ２ｂ２＋ｈ３ｂ３
正倒格子的关系如下：
（１）Ωｒ＝（２π）
３／Ωｄ，Ωｒ＝ｂ１·（ｂ２×ｂ３）为倒格子原胞体积。
（２）ｄｈ１ｈ２ｈ３ ＝２π／Ｇｈ１ｈ２ｈ３。
（３）正格子空间的周期函数Ｖ（ｒ＋Ｒ）＝Ｖ（ｒ）可展开为
Ｖ（ｒ）＝∑
Ｇ
Ｖ（Ｇ）ｅｉＧ·ｒ
典型例题
证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
【证】详见考试点视频
四、　晶体的对称性
对称操作：能使晶体自身重合的操作称为对称操作，晶体只有 Ｃ１，Ｃ２，Ｃ３，Ｃ４，Ｃ６，σ，ｉ，Ｓ４等８种独
立的对称操作，称为基本对称操作。
晶体的宏观对称性：晶体的宏观对称性共有３２种。它们由８种基本对称操作组合而成的，每种
组合称为一个点群。
晶体的对称性描述：考虑到晶体微结构的平移对称性（周期性），晶体的对称性类型可由２３０种空
间群描述。
晶系：满足３２种宏观对称类型的晶胞，其基矢ａ，ｂ，ｃ的组合只有７种，每一种组合称为一个晶系。
１４种布拉维晶胞：按照格点在晶系中的分布情况，以上７种晶系又可分为１４种布拉维晶胞。
五 晶体的Ｘ射线衍射
１）劳厄方程
若分别以ｋ０和Ｋ分别表示入射光和散射光的波矢量，Ｇ表示倒格失，则满足
ｋ０－Ｋ＝Ｇ
或
ｋ０·Ｇ＝
Ｇ２
２
时，出现晶体对该光的衍射加强———劳厄斑。
由劳厄方程可推导出布拉格定理
２ｄｈｋｌｓｉｎθ＝ｎλ
２）原子散射因子
２２　
ｆ（ｓ）＝∑
ｉ
ｅｉＧ·ｒｉ ＝∫ｅｉＧ·ｒρ（ｒ）ｄτ
描述原子对Ｘ射线的散射能力，ρ（ｒ）为电子云密度。
３）几何结构因子
Ｆ（Ｇ）＝∑
ｊ＝１
ｅｉＧ·ｒｊｆｊ（ｓ）
描述原胞中原子分布和原子种类对散射强度的影响。Ｆ（Ｇ）＝０时，出现消光现象，既满足劳厄方
程斑，此时并不出现。
名校经典试题
中国科学院研究生院２０１２　一、１，（１０分）
１．已知布拉菲格子的三个基矢分别为ａ

１、ａ

２、ａ

３，请写出其对应的倒格子的基矢（用ａ

１、ａ

２、ａ

３
表达）。请问体心立方格子的倒格子是什么？
中国科学院研究生院２０１２　二，（２０分）
二、（２０分）在一个具有立方结构的晶体上做Ｘ射线衍射实验，
１）请写出Ｘ射线波长与布喇格角之间需要满足的关系式；
２）假设布拉喇格角很小且Ｘ射线波长不变，请问当晶体的晶格常数变化率为１％时，布喇格角的
变化率为多少？
北京科技大学２０１２三、１，２（各２０分）
１．设晶体基矢为 ａ
→
，
→ｂ，→ｃ，晶格常数记为 ａ，ｂ，ｃ，试证明只有立方系中，［ｈｋｌ］晶向与（ｈｋｌ）晶面恒
垂直。
２．利用钢球密堆模型，求证球可能占据的最大体积与总体积之比为（１）简立方 π６；（２）体心立方
槡３π
８ ；（３）面心立方
槡２π
６ ；（４）金刚石
槡３π
１６；（５）六角密积
槡２π
６ 。
河南师范大学２０１２二（３５分）
１．证明立方晶系的晶列［ｈｋｌ］与晶面族（ｈｋｌ）正交。
２．设晶格常数为ａ，求立方晶系密勒指数为（ｈｋｌ）的晶面族的面间距。
青岛大学大学２０１１二（１５分）
晶体衍射的几何结构因子公式Ｆｈｋｌ＝∑
ｊ
ｆｊｅ
ｉ２πｎ（ｈｕｊ＋ｋｖｊ＋ｌｗｊ），其中（ｕｊｖｊｗｊ）为晶胞中原子的坐标。试
问金刚石结构晶胞中有几个原子？写出晶胞中原子的坐标，计算其几何机构因子。并结合计算结果
说明你对晶体结构的理解。
黄昆《固体物理学》考点精讲及复习思路
２３　
第二章　固体的结合
本章复习思路
１．晶体的结合能
２．晶体的结合类型
３．元素和化合物晶体结合的规律
考点一　晶体结合能
１．结合能的定义
２．互作用势能的一般性质
３．结合能的一般形式
４．由Ｕ（ｒ）可求出晶体的某些物理常数
复习思路：首先给出晶体结合能的定义；介绍互作用势的一般性质以及结合能的一般形式；最后
由互作用势求出晶体的一些物理常数。
１．结合能的定义
▲ 分散的原子（离子或分子）构成晶体的原因：
１）原子之间存在着结合力。
２）晶体的总能量Ｅ０比构成晶体的Ｎ个原子处于自由状态的总能量要低。
▲ 晶体的结合能（ｃｒｙｓｔａｌｂｉｎｄｉｎｇｅｎｅｒｇｙ）：分散的原子（离子或分子）在结合成稳定晶体的过程
中，所释放出来的能量，称为晶体的结合能 （ｂｉｎｄｉｎｇｅｎｅｒｇｙ）或内聚能（ｃｏｈｅｓｉｖｅｅｎｅｒｇｙ）。
如以ＥＮ表示组成晶体的Ｎ个原子在自由时的总能量，Ｅ０为晶体的总能量，则结合能 Ｅｂ可以表
示为
Ｅｂ＝ＥＮ－Ｅ０
▲ 晶体的内能（ｃｒｙｓｔａｌｉｎｔｅｒｎａｌｅｎｅｒｇｙ）：
如果以组成晶体的Ｎ个原子处于自由状态的能量作为能量的零点，则 －Ｅｂ就是晶体的内能（ｉｎ
ｔｅｒｎａｌｅｎｅｒｇｙ）。
▲ 内能与体积关系：
由于原子间的力与距离有关，所以当晶体的体积变化时，晶体的内能也要发生变化，即晶体的内
能是体积的函数，用Ｕ（Ｖ）表示。
所以 Ｕ（Ｖ０）＝－Ｅｂ，Ｖ０是晶体平衡时的体积。
２．互作用势能的一般性质
◆ 互作用的分类
２４　
晶体中原子（粒子）之间的相互作用可分为两大类型
吸引作用（ａｔｒａｃｔｆｕｎｃｔｉｏｎ）——— 在远距离是主要的
排斥作用（ｒｅｐｕｌｓｉｖｅｆｕｎｃｔｉｏｎ）——— 在近距离是主要的
在某一适当的距离，两种作用相互抵消，使晶格处于稳定状态。
◆ 互作用的原因
吸引作用是由于电荷之间的库仑引力；
排斥作用的来源有两个方面：一方面是同性电荷之间的库仑力斥力，另一方面是泡利原理所引起
的排斥力。
两个原子的互作用势能ｕ（ｒ）的曲线如图（１）所示。
◆ 由势能ｕ（ｒ）可以计算原子之间的互作用力
ｆ（ｒ）＝－ｄｕ（ｒ）ｄｒ
由图（２）可以看出：当两原子之间的距离无穷远时，能量为零，作用力为零；
当两原子逐渐靠近时，能量为负且绝对值逐渐增大，原子间产生吸引力；
当原子间距很小时，作用力成为排斥力。并且力的大小及能量 ｕ都随着 ｒ的进一步减小而急剧
上升。
在中间某个距离 ｒ＝ｒｍ，吸引力最大；
黄昆《固体物理学》考点精讲及复习思路
２５　
ｒ＝ｒ０时，ｕ（ｒ）达到最低点而相互作用力为零（吸引与排斥力平衡），ｒ０为二原子处于平衡位置时
的间距。即有
ｆ（ｒ０）＝－
ｄｕ（ｒ）
ｄｒ ｜ｒ０ ＝０
由此可以确定原子间的平衡距离。
而当 ｒ＝ｒｍ时，有（
ｄｆ（ｒ）
ｄｒ）ｒｍ
＝－（ｄ
２ｕ（ｒ）
ｄｒ２
）｜ｒｍ ＝ｏ
即能量曲线的拐点对应着作用力曲线的最低点。
３．结合能的一般形式
◆ 两个原子之间的互作用势（ｍｕｔｕａｌｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｐｏｔｅｎｔｉａｌｂｅｔｗｅｅｎｔｗｏａｔｏｍｓ）：
两个原子之间的互作用势能常可用幂函数来表示：ｕ（ｒ）＝－Ａ
ｒｍ
＋Ｂ
ｒｎ
此处ｒ为两原子间距，Ａ，Ｂ，ｍ，ｎ皆为大于零的常数。
上式中第一项表示吸引能，第二项表示排斥能。不同类型的结合这些参数不尽相同。
４．由Ｕ（ｒ）可求出晶体的某些物理常数（ｓｏｍｅｐｈｙｓｉｃｓｃｏｎｓｔａｎｔｓｏｆｃｒｙｓｔａｌｄｅｒｉｖａｔｉｏｎｆｒｏｍＵ（ｒ））
１）晶格常数 （ｌａｔｉｃｅｃｏｎｓｔａｎｔ）
当粒子结合成稳定的晶体时，势能 Ｕ（ｒ）应处于极小值。因而由 Ｕ（ｒ）的极小值的条件
Ｕ（ｒ）
ｒ
｜ｒ＝ｒ０ ＝０
可求出晶格常数ｒ０，即晶体中粒子之间的最小距离。
或者，由（
Ｕ（ｒ）
Ｖ
）
Ｖ＝Ｖ０
＝０
求出晶体平衡时的体积Ｖ０。
２）体弹性模量 （ｂｕｌｋｍｏｄｕｌｕｓ）
当对晶体施加一定压强时，晶体体积将有所改变。这种性质可用压缩系数（ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎｃｏｅｆｉ
ｃｉｅｎｔ）κ或弹性模量（ｅｌａｓｔｉｃｍｏｄｕｌｕｓ）Κ描述，二者互为倒数。
κ的定义为κ＝－１Ｖ（
Ｖ
Ｐ
）
Ｔ
其中 Ｖ为晶体体积，Ｐ为压强。
压缩系数就定义为在一定温度下体积随压强的变化与晶体体积比值，“－”负号表示随压强的增
大体积是减小的。
设在压强Ｐ作用下，晶体的体积增加△Ｖ，则晶体对外做功ＰΔＶ＝－ΔＵ，△Ｕ是总能量的增加。
∴　Ｐ＝－Ｕ
Ｖ
于是，晶体的弹性模量：Ｋ＝１
κ
＝Ｖ（
２Ｕ
Ｖ２
）
２６　
在Ｔ＝０时，晶体的平衡体积为Ｖ０，则　　Ｋ０ ＝Ｖ０（
２Ｕ
Ｖ２
）
Ｖ０
晶体总势能 Ｕ（ｒ）的函数形式，与二原子间的势能ｕ（ｒ）类似，也可以用幂函数形式描述
Ｕ（ｒ）＝－Ｃ
ｒｍ
＋Ｄ
ｒｎ
其中的参量 ｍ，ｎ与二原子势能的表示式中的相同。
知道了参量值，容易求出晶格常数ｒ０，晶格平衡体积Ｖ０，体弹性模量Ｋ和抗张强度｜Ｐｍ｜。
实际上，常根据这些物理量的实测值去反推Ｕ（ｒ）式中的参量值，以确定势能函数。
注意：上面的讨论是Ｔ＝０Ｋ的情况。当Ｔ≠０时，还须考虑晶体中原子的热运动。
考点二　固体结合的基本类型
（一）离子性结合（ｉｏｎｉｃｂｉｎｄｉｎｇ）
（二）共价结合（ｃｏｖａｌｅｎｔｂｉｎｄｉｎｇ）
（三）金属性结合（ｍｅｔａｌｉｃｂｉｎｄｉｎｇ）
（四）范德瓦耳斯结合（ｍｏｌｅｃｕｌａｒｂｉｎｄｉｎｇ）
复习思路：掌握晶体结合的基本类型、各种晶体的特性以及它们的结合力。
（一）离子性结合（ｉｏｎｉｃｂｉｎｄｉｎｇ）
１．离子晶体（Ｉｏｎｉｃｃｒｙｓｔａｌ）：
靠离子性结合的晶体称为离子晶体（Ｉｏｎｉｃｃｒｙｓｔａｌ）或极性晶体。２．离子性结合（ｉｏｎｉｃｂｉｎｄｉｎｇ）
当电离能（ｉｏｎｉｚａｔｉｏｎｅｎｅｒｇｙ）较小的金属原子与电子亲合能（Ｅｌｅｃｔｒｏｎａｆｉｎｉｔｙ）较大的非金属原子
相互接近时，前者容易放出最外层的电子而成正离子，后者容易接受前者放出的电子而变成负离子，
出现正、负离子间的库仑作用，从而结合在一起。另一方面，由于异性离子相互接近，其满壳层的电子
云交迭而出现斥力（泡利原理所致），当两种作用相抵时，达到平衡。
３．离子性结合的特点（ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆＩｏｎｉｃｂｉｎｄｉｎｇ）
１）离子性结合的特点是以离子为结合单元，靠正负离子之间的库仑引力作用结合成晶体。最典
型的离子晶体是碱金属元素Ｌｉ，Ｎａ，Ｋ，Ｒｂ，Ｃｓ和卤族元素Ｆ，Ｃｌ，Ｂｒ，Ｉ之间形成的化合物，如ＮａＣｌ，ＣｓＣｌ
等等。
２）离子晶体中正、负离子是相间排列的，这样可以使异号离子之间的吸引作用强于同号离子之间
的排斥作用，库仑作用的总效果是吸引的，晶体势能可达到最低值而使晶体稳定。
３）由于正、负离子的相对大小的差异，其结构形式和配位数也有所差异。如氯化钠晶体为套构的
面心立方格子，配位数为６，氯化铯为套构的简立方格子，配位数为８。
４．离子晶体的特点（ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｉｏｎｉｃｃｒｙｓｔａｌ）
１）离子晶体主要依靠较强的库仑引力而结合，故结构很稳定，结合能很大，约为８００千焦耳／摩尔
左右，这导致了离子晶体熔点高、硬度大、膨胀系数小。
２）由于离子的满壳层结构，使得这种晶体的电子导电性差，但在高温下可发生离子导电，电导率
黄昆《固体物理学》考点精讲及复习思路
２７　
随温度升高而加大。
３）离子晶体的构成粒子是带电的离子，这种特点使该种晶体易于产生宏观极化，与电磁波作用强
烈。大多数离子晶体对可见光是透明的，在远红外区有一特征吸收峰。
５．离子晶体的结合能（ｂｉｎｄｉｎｇｅｎｅｒｇｙｏｆｉｏｎｉｃｃｒｙｓｔａｌ）
１）库仑能与马德龙常数　（ＣｏｎｌｏｍｂｅｎｅｒｇｙａｎｄＭａｄｅｌｕｎｇｃｏｎｓｔａｎｔ）
以 ＮａＣｌ　晶体为例。钠离子和氯离子都是满壳层结构，具有球对称性，考虑库仑作用时，可看作
点电荷。
令ｒ表示相邻离子的距离，则一个离子的平均库仑能为
１
２∑ｎ１ｎ２ｎ３
ｑ２（－１）ｎ１＋ｎ２＋ｎ３
４πε０（ｎ１
２ｒ２＋ｎ２
２ｒ２＋ｎ３
２ｒ２）１／２
　　（１）
（ｎ１
２ｒ２＋ｎ２
２ｒ２＋ｎ３
２ｒ２）１／２
如果以所考虑的正离子为原点，可以表示其它各离子所占格点的距离。
一对离子或一个原胞的能量为（１）式的两倍（一个原胞中包含两个离子，一个钠离子、一个氯离子）
ｑ２
４πε０ｒ∑ｎ１ｎ２ｎ３
＇ （－１）ｎ１＋ｎ２＋ｎ３
（ｎ１
２ ＋ｎ２
２ ＋ｎ３
２）１／２
＝－ αｑ
２
４πε０ｒ
　　　（２）
其中求和号中是一无量纲的纯数值，完全决定于晶体的结构；它是一个负值，写为 －α，α称为马
德龙常数（Ｍａｄｅｌｕｎｇｃｏｎｓｔａｎｔ）。
常见离子晶格的马德龙常数如下：
ＮａＣｌ结构α＝１．７４８；ＺｎＳ结构 α＝１．６３８；
ＣｓＣｌ结构α＝１．７６３；ＣａＦ２结构 α＝５．０３９．
２）排斥能（ｒｅｐｕｌｓｉｖｅｅｎｅｒｇｙ）
当近邻离子的电子云有明显的重叠时，两离子之间会有排斥作用，称为重叠排斥能。
其表述形式：ｂｅ－ｒ／ｒ°　　 或　　　 ｂ／ｒｎ　　　　（３）
指数表示更为精确地描述排斥力的特点，而幂函数的形式则更为简单。
在ＮａＣｌ晶格中，只考虑近邻间的排斥作用，每对离子的平均排斥能为
６ｂ／ｒｎ　　　　　　 （４）每个离子有６个相距为ｒ的离子
３）系统的内能 （ｓｙｓｔｅｍｉｃｉｎｔｅｒｎａｌｅｎｅｒｇｙ）
对包含Ｎ个原胞的晶体，综合考虑到库仑吸引能和重叠排斥能，系统的内能可以表示为
Ｕ＝Ｎ［－ αｑ
２
４πε０ｒ
＋６ｂ
ｒｎ
］＝Ｎ［－Ａｒ＋
Ｂ
ｒｎ
］　 （５）
其中Ａ＝ αｑ
２
４πε０
，Ｂ＝６ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　 （６）
ＮａＣｌ每个原胞的体积为２ｒ３，所以
Ｖ＝２Ｎｒ３　　　　　　　　（７）
２８　
４）由内能函数可以确定晶体的某些物理常数（ｓｏｍｅｐｈｙｓｉｃｓｃｏｎｓｔａｎｔｓｏｆｃｒｙｓｔａｌｄｅｖｉａｔｉｎｇｆｒｏｍｔｈｅ
ｉｎｔｅｒｎａｌｅｎｅｒｇｙ）
①确定晶格常数　　　　　 由极值条件可以确定
②体弹性模量
对于平衡晶体，Ｋ０ ＝Ｖ０（
２Ｕ
Ｖ２
）
Ｖ０
由离子晶体的内能的表达式及极值条件，得离子晶体的平衡条件为
Ｂ
Ａ ＝
１
ｎｒ０
ｎ－１
其中 ｒ０　为平衡时的近邻距离
由上面的平衡条件，体弹性模量可化简为
Ｋ＝ （ｎ－１）αｑ
２
４πε０×１８ｒ０
４
利用平衡条件和系统的内能公式，结合能可以写成
Ｗ ＝－Ｕ（ｒ０）＝
ＮＡ
４πε０ｒ０
（１－１ｎ）＝
Ｎαｑ２
４πε０ｒ０
（１－１ｎ）
所以，根据已确定的ｎ可以计算结合能。
（二）共价结合
１．共价晶体及其特点（ｃｏｖａｌｅｎｔｃｒｙｓｔａｌａｎｄｉｔｓｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ）
共价结合的晶体称为共价晶体（Ｃｏｖａｌｅｎｔｃｒｙｓｔａｌ）或同极晶体，有时也称为原子晶体。共价晶体的
特点是：熔点高，硬度高，低温导电性差。
２．共价结合和共价键（ｃｏｖａｌｅｎｔｂｉｎｄｉｎｇａｎｄｃｏｖａｌｅｎｔｂｏｎｄ）
对电子束缚能力相同或相近的两个原子，彼此靠近时，各自贡献一个电子，为两个原子共有，从而
使其结合在一起，这种结合称为共价结合（Ｃｏｖａｌｅｎｔｂｉｎｄｉｎｇ）。
能把两个原子结合在一起的一对为两个原子共有的自旋相反配对的电子结构，称为共价键（Ｃｏ
ｖａｌｅｎｔｂｏｎｄ）。
成键态：电子云密集在两个原子核之间，同时受到两个原子核的库仑吸引作用，使成键态能量低
于原子能级。成键态上可以填充正、反自旋的两个电子，这两个电子形成所谓的共价键（ｃｏｖａｌｅｎｔ
ｂｏｎｄ）。
反键态：能量高于原子能级。
黄昆《固体物理学》考点精讲及复习思路
２９　
氢分子的能量与氢原子间距的关系
上图中，Ｅ１随ｒⅠⅡ的减小单调地增加，是排斥势。这说明，电子自旋平行的两个氢原子是相互排
斥的，不能结合成氢分子。
Ｅ２在ｒⅠⅡ ＝１．５１８ａ０处有一极小值，原子的间距大于此值时两原子互相吸引，小于此值时两原子
排斥．这正是两原子构成稳定结构的条件．Ｅ２是电子自旋反平行的两个氢原子的相互作用能．
３．共价结合的特征（ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｃｏｖａｌｅｎｔｂｉｎｄｉｎｇ）
共价结合有两个基本特征：饱和性和方向性。
▲ 饱和性（ｓａｔｕｒａｔｉｏｎｃｈａｒａｃｔｅｒ）：
指一个原子只能形成一定数目的共价键。
按照泡利不相容原理，当原子中的电子一旦配对后，便不能再与第三个电子配对。因此当一个原
子与其它原子结合时，能够结合成共价键的数目有一个最大值，这个最大值取决于它所含的未配对的
电子数。这个特性称为共价键的饱和性。
共价键的数目符合所谓的８－Ｎ定则，Ｎ指价电子数。（用轨道杂化可以说明）
８－Ｎ定则：
共价结合时，原子的价电子的壳层是由一个ｎｓ轨道和３个ｎｐ轨道组成，考虑到电子的两种自旋，
共包含８个量子态，价电子壳层为半满或超过半满时，未配对的电子数实际上确定于未填充的量子
态，因此等于８－Ｎ。
▲ 方向性（ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｃｈａｒａｃｔｅｒ）：
指原子只在特定的方向上形成共价键。
当两原子未配对的自旋相反的电子结合成共价键后，电子云就会发生交叠，而且共价键结合得越
紧密，相应的电子云交叠的也越厉害。因此，两原子在以共价键结合时，必定选取尽可能使其电子云
密度为最大的方位，也就是电子的波函数为最大的方向。这就是共价键具有方向性的物理本质。
碳原子的杂化轨道
３０　
４个电子分别占据一个新轨道，在四面体顶角方向形成四个共价键，这就是所谓的轨道杂化，也称
为ｓｐ３杂化（ｓｐ３ｈｙｂｒｉｄ）。
（三）金属性结合
１．金属性结合与金属键（ｍｅｔａｌｉｃｂｉｎｄｉｎｇａｎｄｍｅｔａｌｂｏｎｄ）
金属性结合的基本特点是电子的“共有化”，原子在结合成晶体时，原来分属各自原子的价电子不
再束缚于其本身，而为所有“原子实”所共有。于是，共有化电子形成的电子云和浸在这个负电子云中
的带正电的原子实之间出现库仑作用，原子越紧密，势能越低，从而把原子聚合在一起。这样的结合
称为金属性结合。
容易失去外层价电子的Ⅰ、Ⅱ族元素及过渡族元素形成的晶体都是典型的金属晶体。
原子实和电子云之间的库仑力，是这种结合的主要结合力，称为金属键（ｍｅｔａｌｂｏｎｄ）。
２．金属晶体的形成过程（ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓｏｆｍｅｔａｌｃｒｙｓｔａｌ）
在金属性结合时，一方面有负电子云和带正电的原子实之间的库仑作用，使其排列紧密；
另一方面，由于距离的不断减小，还会出现排斥作用，其来源有二：一是共有化电子云密度增加的
同时，动能也将增加（动能正比于电子云密度的三分之二次方），二是当原子实相互靠近到它们的电子
云发生显著交叠时，也将产生强烈的排斥作用。
当原子间距达到某一值时，排斥力等于库仑引力，达到平衡，形成晶体，即金属晶体（ｍｅｔａｌｃｒｙｓｔａｌ）。
３．金属晶体的性质（ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｍｅｔａｌｃｒｙｓｔａｌ）
（１）金属性结合是一种较强的结合，结合能约为１０５～１０６焦耳／摩尔，并且由于配位数较高，所以
金属一般具有稳定、密度大、熔点高的特点。
（２）由于金属中价电子的共有化，所以金属的导电、导热性能好；金属具有光泽也和价电子的共有
化有关。
（３）金属结合是一种体积效应，对原子排列没有特殊要求，故在外力作用下容易造成原子排列的
不规则性及重新排列，从而表现出很大的范性及延展性，容易进行机械加工。
（四）范德瓦尔斯结合（分子性结合）
１．分子性结合与分子键（ｍｏｌｅｃｕｌａｒｂｉｎｄｉｎｇ　ａｎｄｍｏｌｅｃｕｌａｒｂｏｎｄ）
对原来就具有稳定电子结构的分子，例如，具有满壳层结构的惰性气体分子，或价电子已用于形
成共价键的饱和分子，它们在结合时，基本上保持原来的电子结构。它们的结合，是由于分子间的范
德瓦尔斯力的作用，称为范德瓦尔斯结合，也称为分子性结合（ｍｏｌｅｃｕｌａｒｂｉｎｄｉｎｇ）。
这种结合的单元是分子，它们之间的范德瓦尔斯力，即分子力，称为范德瓦尔斯键，或分子键（ｍｏ
ｌｅｃｕｌａｒｂｏｎｄ）。
２．分子力的来源（ｓｏｕｒｃｅｏｆｍｏｌｅｃｕｌａｒｆｏｒｃｅ）
分子力来源于分子的电偶极矩（ｅｌｅｃｔｒｉｃｄｉｐｏｌｅｍｏｍｅｎｔ）。对于电子云是球对称分布的惰性气体原
子，原子的平均电偶极矩为零，但在某一瞬时，由于核周围电子运动的涨落，可以有瞬时电偶极矩。设
黄昆《固体物理学》考点精讲及复习思路
３１　
原子１的瞬时电偶极矩为ｐ１，在距离 ｒ处产生的电场 Ｅ正比于 ｐ１／ｒ
３。在这个电场作用下，另一原子
（原子２）被极化，感生电偶极矩为
ｐ２ ＝αＥ＝
αｐ１
ｒ３
其中α是原子的极化率。两个偶极矩之间的作用能为　　
ｐ１ｐ２
ｒ３
＝
αｐ１
２
ｒ６
这就是范德瓦耳斯力的来源，是原子中电荷涨落产生的瞬时电偶极矩所导致的吸引相互作用。
３．雷纳德－琼斯势（Ｌｅｎｎａｒｄ－Ｊｏｎｅｓｐｏｔｅｎｔｉａｌ）
靠范德瓦耳斯相互作用结合的两个原子的相互作用能，可以写成
ｕ（ｒ）＝－Ａ
ｒ６
＋Ｂ
ｒ１２
其中Ｂ／ｒ１２表示重叠排斥作用，这种形式可以满意地解释有关惰性气体的实验数据。Ａ、Ｂ　是经
验参数，都是正数。原子间的相互作用势，通常采用的形式是
ｕ（ｒ）＝４ε［（σｒ）
１２
－（σｒ）
６
］
称为雷纳德－琼斯势（Ｌｅｎｎａｒｄ－Ｊｏｎｅｓｐｏｔｅｎｔｉａｌ）。其中ε和σ是新的参数，是令４εσ６＝Ａ，４εσ１２
＝Ｂ而引入的。
雷纳德－－琼斯势
惰性气体晶体的结合能就是晶体内所有原子对之间雷纳德－琼斯势之和。如果晶体内含有Ｎ个
原子，总的势能就是
Ｕ＝１２Ｎ（４ε）［Ａ１２（
σ
ｒ）
１２
－Ａ６（
σ
ｒ）
６
］
１／２　因子是考虑到互作用为两原子共有，ｒ表示最近邻原子之间的距离，Ａ１２与 Ａ６　是与晶格结
构有关的晶格求和常数。
一些晶体的Ａ６和Ａ１２
结构 简立方 体心立方 面心立方
Ａ８ ８．４０ １２．２５ １４．４５
Ａ１２ ６．２０ ９．１１ １２．１３
　　由晶格的势能函数可以确定晶格常数、结合能以及体变模量。
３２　
４．分子晶体的性质 （ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｍｏｌｅｃｕｌａｒｃｒｙｓｔａｌ）
由于分子力而使原来具有稳定电子结构的分子而结合成的晶体，称为分子晶体（ｍｏｌｅｃｕｌａｒｃｒｙｓ
ｔａｌ）。典型的分子晶体有：Ⅷ族元素在低温下形成的晶体，大部分有机化合物晶体，以及ＣＯ２，ＳＯ２，ＨＣｌ
等晶体。
分子晶体的结合很弱，导致熔点低，硬度低，多为透明的绝缘体。
要点一　晶体结合能及其计算
晶体结合能
如以ＥＮ表示组成晶体的 Ｎ个原子在自由时的总能量，Ｅ０为晶体的总能量，则结合能 Ｅｂ可以表
示为
Ｅｂ＝ＥＮ－Ｅ０
晶体的内能
如果以组成晶体的Ｎ个原子处于自由状态的能量作为能量的零点，则－Ｅｂ就是晶体的内能
结合能的一般形式
◆ 两个原子之间的互作用势：
两个原子之间的互作用势能常可用幂函数来表示：
ｕ（ｒ）＝－Ａ
ｒｍ
＋Ｂ
ｒｎ
此处ｒ为两原子间距，Ａ，Ｂ，ｍ，ｎ皆为大于零的常数。
上式中第一项表示吸引能，第二项表示排斥能。不同类型的结合这些参数不尽相同。
由Ｕ（ｒ）可求出晶体的某些物理常数
１晶格常数 （ｌａｔｉｃｅｃｏｎｓｔａｎｔ）
当粒子结合成稳定的晶体时，势能 Ｕ（ｒ）应处于极小值。因而由 Ｕ（ｒ）的极小值的条件
Ｕ（ｒ）
ｒ
｜ｒ＝ｒ０ ＝０
可求出晶格常数ｒ０，即晶体中粒子之间的最小距离。
或者，由（
Ｕ（ｒ）
Ｖ
）
Ｖ＝Ｖ０
＝０
求出晶体平衡时的体积Ｖ０。
２．体弹性模量 （ｂｕｌｋｍｏｄｕｌｕｓ）
当对晶体施加一定压强时，晶体体积将有所改变。这种性质可用压缩系数（ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎｃｏｅｆｉ
ｃｉｅｎｔ）κ或弹性模量（ｅｌａｓｔｉｃｍｏｄｕｌｕｓ）Κ描述，二者互为倒数。
κ的定义为κ＝－１Ｖ（
Ｖ
Ｐ
）
Ｔ
其中 Ｖ为晶体体积，Ｐ为压强。
压缩系数就定义为在一定温度下体积随压强的变化与晶体体积比值，“－”负号表示随压强的增
大体积是减小的。
黄昆《固体物理学》考点精讲及复习思路
３３　
设在压强Ｐ作用下，晶体的体积增加△Ｖ，则晶体对外做功ＰΔＶ＝－ΔＵ，△Ｕ是总能量的增加。
∴　Ｐ＝－Ｕ
Ｖ
于是，晶体的弹性模量：Ｋ＝１
κ
＝Ｖ（
２Ｕ
Ｖ２
）
在Ｔ＝０时，晶体的平衡体积为Ｖ０，则Ｋ０ ＝Ｖ０（
２Ｕ
Ｖ２
）
Ｖ０
例：设两原子间的互作用能可表示为ｕ（ｒ）＝－α
ｒｍ
＋β
ｒｎ
，式中，第一项为引力能；第二项为斥力能；
α、β均为正的常数。证明，要使这两原子系统处于平衡，必须 ｎ＞ｍ。
【证】详见考试点视频
要点二　固体结合的基本形式和特点
离子性结合
共价结合
金属性结合
范德瓦耳斯结合
类型 结合力 特点 形成 代表 结合能
离子
晶体
稳定的正、负离子
相间排列通过库仑
静电力相互吸引。
熔点高：硬度大，膨胀系数
小，易沿解理面劈裂，高温
下有良好的离子导电性。
周期表左右两边负电
性差异大的原子之间
形成结合。
ＮａＣｌ
ＣｓＣｌ
ＬｉＦ
强数ｅｖ／键
共价
晶体
共价键：两原子共
有的自旋相反配对
的电子结构
完整晶体硬度大，熔点一
般较高，低温下导电性能
较差，为绝缘体或半导体。
化学惰性大，由于饱和性、
方向性，决定了原子排列
只能取有限的几种形式。
负电性接近且较大的
原子或同种原子相互
结合
金刚石
ＳｉＧｅ
ＩｎＳｂ
强数ｅｖ／键
金属
晶体
金属键：价电子离
化形成的共有化负
电子云与处在其中
的正离子实通过库
仑力而键合。
电导率热导率高、密度大、
延展性好，对原子排列无
特殊要求，故原子尽可能
密集排列（能量低）
电负性小的原子形成
Ｎａ，
ＣｕＡｇ，
ＡｕＦｅ
较强～
１ｅｖ／键
分子
晶体
范德瓦尔斯键：由
偶极矩的作用聚合
低熔点、低沸点、易压缩、
电绝缘，对原子排列无特
殊要求，故一般取密堆积
排列。
惰性原子，周期表右下
方负电性大的原子之
间结合。
惰性（气体）
晶体，Ａｒ，
有机化合物
晶体
弱～
０．１ｅｖ／键
氢键
晶体
氢键：氢原子的电
子参与形成共价键
后，裸露的氢核与
另一负电性较大的
原子通过静电作用
相互结合
熔点和沸点介于离子晶体
和分子晶体之间，密度小，
有许多分子聚合的趋势，
介电系数大。
氢原子和负电性很大
的原子（Ｏ、Ｆ、Ｎ、Ｃｌ）结
合形成一个构造基元。
冰
Ｈ２Ｆ
Ｈ２Ｎ
弱～
０．１ｅｖ／键
３４　
　　石墨及其纳米材料结构
近年来，对低维系统的研究越来越引起人们的注意，层状材料正是以典型的二维体系。
石墨及其纳米材料是目前研究最多的层状结构之一。
名校经典试题
青岛大学　２０１０年 （１０分）
说明晶体有哪几种基本的结合类型，并说明其特点
青岛大学　２０１０年（１０分）
已知某晶体中相邻原子的相互作用势可表示为：ｕ＝－α
ｒｍ
＋β
ｒｎ
其中ｍ，ｎ，α，β都是大于零的常数。
（１）说明右式两项的物理意义并求出处于平衡态是的原子间距ｒ０；
（２）证明此系统可以处于稳定平衡态的条件是ｎ＞ｍ。
北京科技大学　２０１２　年（１０分）
试分析离子晶体与金属晶体的配位数高于共价晶体配位数的原因。
北京科技大学　２０１２年 （２０分）
对含Ｎ个基元的晶体，基元的相互作用能表示为φ( )ｒ＝－αｒｍ
＋β
ｒｎ
黄昆《固体物理学》考点精讲及复习思路
３５　
配位数为ｋ，在第一近邻近似下，求：
（１）晶体平衡间距ｒ０；
（２）单个基元的结合能ε０；
（３）体弹性模量Ｂ（体弹性模量Ｂ的定义为Ｂ＝Ｖ０
２Ｕ
２( )ＶＶ０
　，其中Ｖ０是晶体平衡体积，Ｕ是晶体
的总内能）。
３６　
第三章　 晶格振动与晶体的热学性质
第一章中我们假定晶体中所有原子都处于平衡位置静止不动，然后研究其结构及描述方法，它给
我们提供了一个基本的晶体微观结构图景。然而，晶体中的原子并非静止不动，它们时刻都在运动
着。当温度不很高时，所有原子（或离子）都在其平衡位置附近振动。因此，晶体中的格点表示原子的
平衡位置，晶格振动则是指原子在格点附近的振动。
本章主要内容：
１．晶格振动的状态及能量；
　　　（ｓｔａｔｅａｎｄｅｎｅｒｇｙｏｆｌａｔｉｃｅｖｉｂｒａｔｉｏｎ）
２．晶格振动的热容量；
　　　 （ｈｅａｔｃａｐａｃｉｔｙｏｆｌａｔｉｃｅｖｉｂｒａｔｉｏｎ）
３．非简谐效应（ａｎ－ｈａｒｍｏｎｉｃｅｆｅｃｔ）。
考点一　 一维单原子链
１．格波：
晶格振动是晶体中诸原子（离子）集体地在作振动，由于晶体内原子间有相互作用，存在相互联
系，各个原子的振动间都存在着固定的位相关系，从而形成各种模式的波，即各晶格原子在平衡位置
附近作振动时，将以前进波的形式在晶体中传播，这种波称为格波。
简单地说，由于晶格具有周期性，晶格的振动模具有波的形式，称为格波。
格波和一般连续介质波有共同的波的特性，但也有不同的特点。
２．相邻原子之间的相互作用
假设一维单原子链包含有Ｎ个原胞，在平衡时相邻原子距离为ａ，每个原胞内含一个原子，质量为
ｍ，原子只能沿链的方向运动，偏离格点的位移用…μｎ－１，μｎ，μｎ＋１，…表示，并且假定只有近邻原
子存在相互作用
一维简单晶格的振动
３．第ｎ个原子的运动方程及其解
考虑第ｎ个原子，它受到左右两个原子对它的作用力
黄昆《固体物理学》考点精讲及复习思路
３７　
ｆｎ ＝－β（μｎ－μｎ－１）＋β（μｎ＋１－μｎ）
则得到第ｎ个原子的运动方程为
ｍμ
··
ｎ ＝β（μｎ＋１＋μｎ－１－２μｎ）　　（３）
每个原子对应有一个方程，对有Ｎ个原子的原子链，则有 Ｎ个方程，所以，上式实际上是 Ｎ个联
立的线性齐次方程。
第ｎ方程的解为：μｎｑ ＝Ａｅ
ｉ（ωｔ－ｎａｑ）　　　　（４）
其中ω、Ａ为常数。
４．色散关系
将（４）式代入（３）式，有
ｍ（ｉω）２Ａｅｉ（ωｔ－ｎａｑ） ＝β［Ａｅｉ（ωｔ－（ｎ＋１）ａｑ）＋Ａｅｉ（ωｔ－（ｎ－１）ｎｑ）－２Ａｅｉ（ωｔ－ｎａｑ）］
－ｍω２ ＝β［ｅ－ｉａｑ＋ｅｉｑａ－２］＝２β［ｃｏｓａｑ－１］
ω２ ＝２βｍ［１－ｃｏｓａｑ］＝
４β
ｍｓｉｎ
２（
１
２ａｑ）　　　（５）
观察（５）式，可以看到，此式与ｎ无关，表明Ｎ个联立方程都归结于同一个方程。也就是说，只要
ω与ｑ之间满足（５）式的关系，（４）式就表示了联立方程的解，称为格波。并且把 ω与 ｑ之间的关系
称为色散关系，也称为振动频谱或振动谱。
５．“格波”解的物理意义
（１）解的物理意义
比较（４）式与一般连续介质波
Ａｅｉ（ｗｔ－２π
ｘ
λ） ＝Ａｅｉ（ｗｔ－ｑｘ）　　　　 （６）　　　　　　　　　　　　　　　　　
可见两者有完全类似的形式，其中ω是波的圆频率，λ是波长，ｑ是波数。
３８　
但是，在连续介质波中，ｘ表示空间任意一点，而在格波中只能取ｎａ格点的位置，这是一系列呈周
期性的排列的点。
由此可知，一个格波解表示所有原子同时做频率为ω的振动，不同原子之间有位相差。相邻原子
之间的位相差为ａｑ。
（２）ｑ的取值范围
由（４）式可知，如果把ａｑ改变２π的整数倍，所有原子的振动将没有任何变化。由此可见，ａｑ的
取值范围为
－π＜ａｑ≤π　　　　　　　 （７）
或　　 －（π／ａ）＜ｑ≤（π／ａ）　　　　　　（８）
这个范围以外的值，不能提供其它不同的波。
ｑ的取值及范围常称为布里渊区。
（３）Ｂｏｒｎ－ＶｏｎＫａｒｍａｎ边界条件
对于有限长的链，两端的原子与内部的原子有所不同。如果只考虑邻近作用时，其运动方程则不
同。为了避免这种情况，玻恩－卡曼提出了包含Ｎ个原胞的环状链作为有限链的模型，即将有限的原
子首尾连接起来，这样所有的原胞完全等价，都遵从类似的方程。
Ｎ个原子所处的位置完全相同
一维原子链的波恩－卡曼边界条件
对于（４）式解的形式，应用玻恩－卡曼所提出的边界条件，应有μｎ＋Ｎ ＝μｎ　　　　　　　　　　
　　　　　
即ｅ－ｉ（Ｎａｑ） ＝１　　 （９）
或ｑ＝２πＮａ×ｈ　　 （ｈ为整数）　　 （１０）
称（９）式为玻恩－卡曼条件。对照（８）式，可知 ｈ只能取 －Ｎ／２到 ＋Ｎ／２，共有 Ｎ个不同的值。
　所以，由Ｎ个原胞组成的原子链，ｑ可以取Ｎ个不同的值，每个ｑ对应着一个格波。即 格波数 Ｎ＝
一维单原子链的自由度数。
考点二　 一维双原子链
１．两种原子的运动方程及其解
（１）运动方程
（２）方程的解
黄昆《固体物理学》考点精讲及复习思路
３９　
２．声学波和光学波
（１）声学波和光学波
（２）两种格波的振幅比
（３）ω＋与ω－都是ｑ的周期函数
３．对色散关系的讨论
（１）一维单原子链与一维双原子链的格波解的差异
（２）声学波的物理本质
（３）光学波是复式格子特有的
（４）ｑ的取值
１．两种原子的运动方程及其解
（１）运动方程
假设一维双原子链是由质量为 Ｍ和 ｍ的两种原子相间排列而成（Ｍ＞ｍ），原子间距为ａ。
显然晶格的周期是２ａ，每个原胞含有２个不同原子。
设这个复式格子的原胞数为Ｎ，则其链长为２Ｎａ。将这些原子按顺序编号，双号是质量为ｍ的原
子，单号是质量为Ｍ的原子。
仍采用周期性边界条件，只考虑近邻原子间的相互作用，并采用简谐近似。设原子间的恢复力系
数为β，原子Ｉ对平衡位置的偏离为μｉ（向右为正）。
于是，对两种原子分别写出运动方程
ｍμ
··
２ｎ ＝－β（２μ２ｎ－μ２ｎ＋１－μ２ｎ－１）
Ｍμ
··
２ｎ＋１ ＝－β（２μ２ｎ＋１－μ２ｎ＋２－μ２ｎ
}
）
　　（１）
（２）方程的解
由于我们采用了周期性的边界条件，所有质量为ｍ的原子相互等价，所有质量为 Ｍ的原子也相
互等价，它们分别满足（１）式中的两个方程。并且由于原子链包含 Ｎ个原胞，上式实际上是 ２Ｎ个方
程的联立方程组。这个方程组有下列形式的格波解：
μ２ｎ ＝Ａｅ
ｉ［ωｔ－（２ｎａ）ｑ］
μ２ｎ＋１ ＝Ｂｅ
ｉ［ωｔ－（２ｎ＋１）ａｑ }］ 　（２）
２．声学波和光学波
４０　
（１）声学波和光学波
将（２）代入（１）式，并简化之有
－ｍω２Ａ＝β（ｅ－ｉａｑ＋ｅｉａｑ）Ｂ－２βＡ
－Ｍω２Ｂ＝β（ｅ－ｉａｑ＋ｅｉａｑＡ－２β
}Ｂ 　　（３）　　　　　　　
方程与ｎ无关，表明所有联立方程对于格波形式的解都归结于同一对方程。（３）式可以看作是以
Ａ、Ｂ为未知数的线性齐次方程
（ｍω２－２β）Ａ＋２βｃｏｓａｑＢ＝０
２βｃｏｓａｑＡ＋（Ｍω２－２β）Ｂ＝
}０　　（４）
上式有解的条件是
ｍω２－２β ２βｃｏｓａｑ
２βｃｏｓａｑ Ｍω２－２β
＝０
即ｍＭω４－２β（ｍ＋Ｍ）ω２＋４β２ｓｉｎ２ａｑ＝０　　（５）
从而得到ω２ ＝βｍ＋ＭｍＭ １± １－ ４ｍＭ
（ｍ＋Ｍ）２
ｓｉｎ２[ ]ａｑ１／{ }２
从上式可以看出，ω与ｑ之间存在两种不同的色散关系，即对一维复式格子，可以存在两种独立
的格波，各有自己的色散关系
ω２＋＝β
ｍ＋Ｍ
ｍＭ ｛１＋［
１－ｓｉｎ２ａｑ］１／２｝
ω２－＝β
ｍ＋Ｍ
ｍＭ ｛１－［
１－ｓｉｎ２ａｑ］１／２ }
｝
　（６）
把ω＋对应的格波称为光学波或光学支；ω－对应的格波称为声学波或声学支，每一组（ω，ｑ）所对
应的振动模也相应地称为声学模．
一维双原子链的振动频谱
（２）两种格波的振幅比
把（６）式代回到（４）式，可以求出相邻原子的振幅之比为
Ｂ( )Ａ ＋
＝－
ｍω＋
２－２β
２βｃｏｓａｑ
　　　 Ｂ( )Ａ －
＝－
ｍω－
２－２β
２βｃｏｓａｑ
　（７）
所以，我们可以将ｑ限制在一个周期（一个倒格子原胞）之内，通常选第一布里渊区
黄昆《固体物理学》考点精讲及复习思路
４１　
－π２ａ＜ｑ≤
π
２ａ　　（８）
这个区域之外的ｑ给不出新的格波。
上图是一维复式格子的色散关系曲线
３．对色散关系的讨论
（１）一维单原子链与一维双原子链的格波解的差异
一维单原子链只有一支格波（一个波矢对应一个格波）——— 声学波；而一维双原子链则有两支格
波（一个波矢对应两个格波）———声学波和光学波，两支格波的频率各有一定的范围：
（ω－）ｍｉｎ ＝ω－（０）＝０　　　　　　　　　　（ω－）ｍａｘ＝ω－（
π
２ａ）＝
２β
槡Ｍ
（ω＋）ｍｉｎ ＝ω＋（
π
２ａ）＝
２β
槡ｍ
（ω＋）ｍａｘ＝ω＋（０）＝
２β（ｍ＋Ｍ）
槡 ｍＭ
在ω－ｍａｘ与ω＋ｍｉｎ之间有一频率间隙，说明这种频率的格波不能被激发。
（２）声学波的物理本质
声学波的色散关系曲线与一维单原子链的色散关系很相似，并且在 ｑ很小时（长波极限）ω与 ｑ
近似成线性关系，可以看作是连续介质弹性波。这是这支格波被称作为声学波的原因。
由于　 ４ｍＭ
（ｍ＋Ｍ）２
ｓｉｎ２ａｑ≈ ４ｍＭ
（ｍ＋Ｍ）２
（ａｑ）２ ＜＜１
所以　　ω－≈ａ
２β
槡ｍ＋Ｍ
ｑ
当ｑ→０时，ω－→０，因此
Ｂ( )Ａ －
→１
这说明声学格波情况下，相邻的原子倾向于沿同一方向振动；特别是长波极限下的声学波，相邻
两种原子不仅振动方向相同，位相相同，而且振动幅度也相同，因而反映的是原胞的整体振动，或者说
是原胞质心的振动。
（３）光学波是复式格子特有的
对于长光学波，当ｑ→０时，频率趋于ω＋→
２β
ｍＭ( )槡ｍ＋Ｍ
４２　
代入（６），并且ｃｏｓａｑ→１，所以 Ｂ( )Ａ ＋
→－ｍＭ
因此，在光学格波的情况下，相邻的两种原子倾向于沿相反方向运动；特别是在长波极限下的光
学波，有ｍＡ＋ＭＢ＝０，说明原胞质心将保持不动，而原胞内的不同原子作相对运动。ｑ＝０时，实际上
波长变为无穷大，所有的 ｍ原子同步振动，所有的 Ｍ原子也同步振动，但两种原子的振动方向相反。
也就是说，两种原子构成的两种格子在保持质心不动的情况下作刚性的相对振动。
一维双原子链长波时原子的位移
（４）ｑ的取值（ｔｈｅｖａｌｕｅｏｆｑ）
根据周期性边界条件有：μ２（ｎ＋Ｎ） ＝μ２ｎ
即ｅｉｑ２Ｎａ ＝１　　　 因此ｑ＝ ｈ
２Ｎａ２π　　　　（ｈ为整数）
与一维单原子链相似，这里ｑ也只能取一些分立值，取值间隔为２π／２Ｎａ，再考虑ｑ的取值范围是
（－π／２ａ，π／２ａ），可知ｈ只能取 －Ｎ／２到Ｎ／２，总共可取Ｎ个不同的值。也就是说，ｑ可以取Ｎ个独立
的值，而且对于一维双原子链，一个ｑ对应两个格波，故格波总数为２Ｎ，等于晶格的自由度数。
综合以上的讨论有：
晶格振动的波矢数＝晶体原胞数
晶格振动频率的数目＝晶格的自由度数
这些结论对三维晶格振动也适用。
考点三　三维晶格的振动
１．三维晶格中的格波
对于原胞含有ｎ个原子的复式晶格，与一维单原子链和一维双原子链的情形对比，可以得到ｎ个
格波解
μ
ｌ( )ｋ＝Ａｋｅｉ［ωｔ－Ｒ
ｌ( )
ｋ
·ｑ］　　 （１）
其中，ｋ代表原胞中的各原子，取值为１，２，…，ｎ；　　　　　　　　　　　　　
黄昆《固体物理学》考点精讲及复习思路
４３　
Ｒ（ｌ）＝ｌ１ａ１＋ｌ２ａ２＋ｌ３ａ３
Ｒ
ｌ( )ｋ表示原胞中各原子的位置。
由格波的解以及运动方程，可以给出３ｎ种色散关系，即３ｎ支格波。当ｑ→０时，ω有３个解，这３
个频率较低的格波，描述不同原胞之间的相对运动，称为声学波；其余
３（ｎ－１）支，描述同一原胞内各原子之间的相对运动，称为光学波。
这就是说，在三维晶格中，对于一定的波矢ｑ，有３个声学波，（３ｎ－３）个光学波。
２．“ｑ空间”及ｑ在其中的分布密度
（１）ｑ空间
“ｑ空间”亦称为波矢空间或倒格子空间。
在三维晶格中，ｑ的取值同样受到边界条件的限制，为此引入“ｑ空间”，将 ｑ看做空间的矢量，而
边界条件允许的ｑ值则表示这个空间中的点子。
在波矢空间是以倒矢量为基矢的，所以，ｑ写成
ｑ＝ｘ１ｂ１＋ｘ２ｂ２＋ｘ３ｂ３　 （２）　
周期性边界条件（玻恩－卡曼条件），在三维情形　　　　　
μ（Ｒｌ＋Ｎ１ａ１）＝μ（Ｒｌ）
μ（Ｒｌ＋Ｎ２ａ２）＝μ（Ｒｌ）
μ（Ｒｌ＋Ｎ３ａ３）＝μ（Ｒｌ
}
）
　　（３）
其中，ａ１，ａ２，ａ３为晶格基矢，Ｎ１，Ｎ２，Ｎ３为沿三个基矢
方向的原胞数；晶体总的原胞数为Ｎ＝Ｎ１Ｎ２Ｎ３，μ（Ｒｌ）代表Ｒｌ格点上原胞的位移。
边界条件要求
ｑ·Ｎ１ａ１ ＝ｈ１２π　　ｘ１ ＝
ｈ１
Ｎ１
ｑ·Ｎ２ａ２ ＝ｈ２２π　　ｘ２ ＝
ｈ２
Ｎ２
ｑ·Ｎ３ａ３ ＝ｈ３２π　ｘ３ ＝
ｈ３
Ｎ









３
　　（４）
ｈ１，ｈ２，ｈ３为整数。
（２）ｑ在波矢空间的密度
将（４）式代入（２）式，有
ｑ＝
ｈ１
Ｎ１
ｂ１＋
ｈ２
Ｎ２
ｂ２＋
ｈ３
Ｎ３
ｂ３　（５）
这代表在波矢空间均匀分布的点子，每个点子占据的体积为
１２０　
［声学波和光学波］
ω２＋＝β
ｍ＋Ｍ
ｍＭ ｛１＋［１－
４ｍＭ
（ｍ＋Ｍ）２
ｓｉｎ２ａｑ］
１／２
｝
ω２－＝β
ｍ＋Ｍ
ｍＭ ｛１－［１－
４ｍＭ
（ｍ＋Ｍ）２
ｓｉｎ２ａｑ］
１／２




｝
ω＋对应的格波称为光学波或光学支 ；ω－对应的格波称为声学波或声学支。
晶格振动与晶体的热学性———晶格热容的量子理论
１．杜隆－珀替定律
定律的叙述：
热容是一个与温度和材料性质无关的常数，具有Ｎ个原子的固体，其热容为ＣＶ＝３ＮｋＢ。
其中Ｎ为原子数，ｋＢ为玻尔兹曼常数。
根据经典统计理论的能量均分定理，每个简谐振子的平均能量为ｋＢＴ。若固体中有Ｎ个原子，则
有３Ｎ个简谐振动模，其总的平均能量为
Ｅ
－
＝３ＮｋＢＴ
热容为：Ｃｖ＝ Ｅ
－
( )ＴＶ
＝３ＮｋＢ
２．爱因斯坦模型
（１）模型的特点
认为晶格中各原子在振动时相互独立的，所有原子都以相同的频率振动。
（２）晶格的热容
Ｃｖ＝３ＮｋＢ
（ω０／ｋＢＴ）
２ｅｈω０／ｋＢＴ
（ｅｈω０／ｋＢＴ－１）２
ＣＶ ＝３ＮｋＢｆＥ（
ω
ｋＢＴ
）
ＣＶ ＝３ＮｋＢ（
θＥ
Ｔ）
２ ｅθＥ／Ｔ
（ｅθＥ／Ｔ－１）２
（３）爱因斯坦模型与实验符合的程度
①温度较高时：ｅθＥ／Ｔ ＜１
则　　 ｅθＥ／Ｔ
（ｅθＥ／Ｔ－１）２
＝ １
（ｅθＥ／２Ｔ－ｅ－θＥ／２Ｔ）２
≈ １
（
θＥ
２Ｔ＋
θＥ
２Ｔ）
２ ＝（
Ｔ
θＥ
）
２
黄昆《固体物理学》考点精讲及复习思路
１２１　
所以，ＣＶ≈３ＮｋＢ（
θＥ
Ｔ）
２
（
Ｔ
θＥ
）
２
＝３ＮｋＢ
与杜隆－珀替定律一致。
晶格振动与晶体的热学性———晶格热容的量子理论
②低温时：ｅθＥ／Ｔ ＞＞１
ＣＶ ＝３ＮｋＢ（
ω
ｋＢＴ
）
２
ｅ－ω／ｋＢＴａ
按温度的指数形式降低
爱因斯坦模型只适合于近似描述声子谱中的光学支对热容的贡献
３．德拜模型
（１）模型特点
把晶格看作是各向同性的连续弹性介质，格波为弹性波，并且假定横波和纵波的波速相等。
（２）能量和热容的表达式
Ｅ
－
＝ ３
２π２
Ｖ
Ｃ３∫
ωｍ
０
ω３ｄω
ｅω／ｋＢＴ－１
ＣＶ ＝
３
２π２
Ｖ
Ｃ３∫
ωｍ
０
ｋＢ（
ω
ｋＢＴ
）
２ ｅω／ｋＢＴ
（ｅω／ｋＢＴ－１）２
ω２ｄω
（３）讨论
当温度Ｔ＞＞ΘＤ时，热容趋于经典极限。
在极低温度下，热容和 Ｔ３成正比，称为德拜 Ｔ３定律（Ｄｅｂｙｅ’ｓＴ３－ｌａｗ）。温度越低，德拜近似
越好．
ＣＶ（Ｔ／ΘＤ）＝
１２π４
１５Ｒ（
Ｔ
ΘＤ
）
３
能带理论———能带和带隙
能带和带隙（禁带）
Ｅ±＝
Ｖ
－
＋Ｔｎ＋ Ｖｎ ＋Δ
２Ｔｎ（
２Ｔｎ
Ｖｎ
＋１）
Ｖ
－
＋Ｔｎ－ Ｖｎ －Δ
２Ｔｎ（
２Ｔｎ
Ｖｎ
－１




 ）
能量本征值在ｋ＝±πａｎ断开
两个态的能量间隔
———　 禁带宽度Ｅｇ ＝２Ｖｎ
Ｖｎ ＝
１
ａ∫
ａ／２
－ａ／２
Ｖ（Ｘ）ｅ－ｉ
２π
ａｎｘｄｘ
１２２　
一维布喇菲格子，能带序号、能带所涉及波矢ｋ的范围和布里渊区的对应关系　———
计入自旋，每个能带中包含２Ｎ个量子态
能带序号 ｋ的范围 ｋ的长度 布里渊区
Ｅ１（ｋ） －πａ～
π
ａ
２π
ａ 第一布里渊区
Ｅ２（ｋ） －２πａ ～－
π
ａ　　
π
ａ～
２π
ａ
２π
ａ 第二布里渊区
Ｅ３（ｋ） －３πａ ～－
２π
ａ　　
２π
ａ ～
３π
ａ
２π
ａ 第三布里渊区
　　电子波矢和量子数－简约波矢的关系
平移算符本征值量子数ｋ（简约波矢，计为ｋ
－
）和电子波矢ｋ之间的关系
简约波矢ｋ
－
的取值范围
－πａ～
π
ａ　 ———　第一布里渊区
近自由电子中电子的波矢
ｋ＝ｌ２πＮａ　 ———　ｌ为整数
在一维情形中　　ｋ＝２πａｍ＋ｋ
－
　　　　　———　ｍ为整数
电子波矢ｋ和简约波矢ｋ
－
的关系
黄昆《固体物理学》考点精讲及复习思路
１２３　
能带理论———紧束缚近似
紧束缚近似
在紧束缚近似下，电子能带的表示
只考虑最近邻的作用时的Ｅ（ｋ）为
Ｅ（ｋ）＝εｉ＋Ｊ（０）－∑
ｎ．ｎ．
Ｊ（Ｒｍ）ｅ
ｉｋ·Ｒｍ　　　　　　　　　　　　　
求和只涉及最近邻。
其中Ｊ（０）＝∫ΔＶ（ｒ，０）｜φｉ（ｒ）｜２ｄｒ
Ｊ（０）一般小于零且数值不大，这是因为ΔＶ（ｒ，０）一般为负，让Ｊ（０）＝－Ｊ０　而
－Ｊ（Ｒｍ）＝∫φｉ（ｒ）ΔＶ（ｒ，Ｒｍ）φｉ（ｒ－Ｒｍ）ｄｒ
Ｅ（ｋ）＝εｉ－Ｊ０－ ∑
Ｒｓ＝ｎｅｒａｅｓｔ．
Ｊ（Ｒｓ）ｅｉｋ·Ｒｓ
能带理论———能态密度和费米面
１．能态密度函数和费米面
（１）能态密度函数的定义
考虑能量在　Ｅ—Ｅ＋ΔＥ间的能态数目，假定ΔＺ表示 能态数目，则能态密度函数定义为
Ｎ（Ｅ）＝ｌｉｍΔＺ
ΔＥ
能态密度的一般表达式　Ｎ（Ｅ）＝ Ｖ
（２π）３∫
ｄＳ
｜
!ｋＥ｜
１２４　
（２）费米面
若把电子看成自由电子
Ｅ（ｋ）＝
２ｋ２
２ｍ
则Ｎ个电子在ｋ空间填充半径为ｋＦ的球，球内包含的状态数刚好是Ｎ，即
２× Ｖ
（２π）３
·
４π
３ｋＦ
３ ＝Ｎ
ｋＦ ＝２π
３
８( )π
１／３ Ｎ( )Ｖ
１／３
＝２π ３
８( )π
１／３
ｎ１／３
费米波矢、费米动量、费米速度和费米温度
费米球半径　 ｋＦ ＝
）２ｍＥＦ

费米能量 ＥＦ ＝
２ｋ２Ｆ
２ｍ
费米动量 ｐＦ ＝）２ｍＥＦ　　　　　　　 ｐ

Ｆ ＝ｋ

Ｆ
费米速度 ｖ

Ｆ ＝
ｐ

Ｆ
ｍ
费米温度 ＴＦ ＝
ＥＦ
ｋＢ
晶体中电子在电场和磁场中的运动———准经典运动
１．波包和电子速度
（１）波包的定义
波包是指某一粒子（比如电子）空间分布在 ｒ０附近的△ｒ范围内，动量取值为 ｋ０附近 Δｋ范围
内，△ｒ与△ｋ满足测不准关系。
波包中心ｒ０称为该粒子的位置，ｋ０称为该粒子的动量。
晶体中电子在电场和磁场中的运动———准经典运动
（２）电子看成准经典粒子的条件
黄昆《固体物理学》考点精讲及复习思路
１２５　
当波包远远大于原胞时，电子才可以看作是准经典粒子。
准粒子的速度为 　ｖｋ０ ＝
１

（
!ｋＥ）ｋ０　　　 （１）
而且这一速度严格等于电子速度在ｋ０态的平均值。
晶体中电子在电场和磁场中的运动———准经典运动
２．在外力作用下状态的变化和准动量
（１）外力作用下运动状态变化的基本公式
ｄ
ｄｔ（ｋ）＝Ｆ　 （２）
这就是外力作用下运动状态变化的基本公式。
（２）准动量
（２）式与经典力学的牛顿运动定律具有相似的形式，而ｋ取代了动量的位置。另一方，在准经典
运动中以及在其他一些方面，ｋ具有类似于动量的性质，因此将它称为准动量。
注意：布洛赫波并不对应确定的动量，所以ｋ也不等于动量算符的平均值。
晶体中电子准经典运动的两个基本公式
ｖｋ０ ＝
１

（
!ｋＥ）ｋ０
ｄ
ｄｔ（ｋ）
{ ＝Ｆ
加速度：晶体中的电子在外力作用下的加速度为
ｄｖ
ｄｔ＝
１
２
（Ｆ·
!ｋ）!ｋＥ（ｋ）
其分量形式为
ｄｖα
ｄｔ＝
ｄ
ｄｔ
１

Ｅ（ｋ）
ｋ( )
α
＝１
∑β
ｄｋβ
ｔ

ｋβ
（
Ｅ（ｋ）
ｋα
）
有效质量：将晶体中电子加速度的表达式与牛顿运动定律进行比较，发现代替１／ｍ的是一个二阶
张量，称为倒易有效质量张量。如果坐标轴沿张量的主轴方向，可化为对角张量
ｍｘｘ ０ ０
０ ｍｙｙ ０
０ ０ ｍｚｚ










＝
２／
２Ｅ
ｋｘ
２ ０ ０
０ ２／
２Ｅ
ｋｙ
２ ０
０ ０ ２／
２Ｅ
ｋｚ

















２
有效质量不是常数，而是ｋ的函数；可以是张量也可以是标量；可正可负。
特别注意：
１．能带底部附近，有效质量总是正的；而能带顶部附近，有效质量总是负的。
１２６　
２．有效质量与电子质量之间有重要的差别，有效质量中包含了周期场的作用。
导体、绝缘体和半导体的能带论解释
满带电子不导电
我们已经知道，Ｅｎ（ｋ）＝Ｅｎ（－ｋ）
由此可以得到同一能带中ｋ和－ｋ具有相反的速度
ｖ（ｋ）＝－ｖ（－ｋ）
这是因为在ｋ和－ｋ处Ｅｎ（ｋ）函数具有大小相等而方向相反的斜率。
ｋ和－ｋ态的电子电流正好抵消，总电流为零。加上外电 场和磁场，情况也相同。
非满带电子导电
部分填充的能带，在外场作用下，可以产生电流。
部分填充电子的能带，在没有外场存在时，由于ｋ和－ｋ态对称地被电子填充，总电流抵消，无电
流产生。但在外场施力时，整个电子分布将向一方移动，破坏了原来的对称分布，电流只是部分地抵
消，因而将产生一定的电流。
绝缘体 ——— 原子中的电子是满壳层分布的，价电子刚好填满了许可的能带，形成满带，导带和价
带之间存在一个很宽的禁带，在一般情况下，价带之上的能带没有电子———　在电场的作用下没有电
流产生
导体 ——— 在一系列能带中除了电子填充满的能带以外，还有部分被电子填充的能带 — 导带，后
者起着导电作用
———　Ｎ个原胞构成的晶体，每一条能带能容纳的电子数为２Ｎ
———　 为原胞数目的二倍半导体（Ｓｉ：１４、Ｇｅ：３２）：禁带宽度较窄，约～２ｅＶ以下
——— 依靠热激发即可以将满带中的电子激发到导带中，因而具有导电能力
——— 热激发到导带中的电子数目随温度按指数规律变化，半导体的电导率随温度的升高按指数
形式增大
半金属
黄昆《固体物理学》考点精讲及复习思路
１２７　
Ｖ族元素Ｂｉ、Ｓｂ、Ａｓ：三角晶格结构，原胞有偶数个电子
———　金属的导电性，能带的交叠
——— 导电能力远小于金属，能带交叠较小，对导电有贡献的载流子数远远小于普通的金属
典型例题
例题：设有一二维矩形晶体，其ｘ方向晶格常数为ａ，ｙ方向的晶格常数为ｂ，且ａ≠ｂ。
（１）在最近邻近似下，由紧束缚方法求出晶体ｓ态电子能量的表达式；
（２）求晶体ｓ态电子能带宽度；
（３）求能带底电子与能带顶空穴的有效质量张量。