概要信息：

目　录
绪论 １
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第一部分　一元数学分析
第一篇　极限论 ３
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第１章　数列的极限 ３
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第２章　函数的极限 ８
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第３章　函数的连续性 １２
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第４章　实数的完备性 １４
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极限论的总结 １６
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第二篇　微分论 １７
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第１章　微分和导数 １７
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第２章　微分中值定理 １９
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第３章　函数的几何性质 ２３
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微分论的总结 ２６
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第三篇　积分论 ２７
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第１章　不定积分 ２７
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第２章　定积分 ３１
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第３章　可积性理论 ３５
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第４章　定积分的应用 ３７
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第５章　反常积分 ３９
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积分论的总结 ４０
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第四篇　级数论 ４１
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第１章　数项级数 ４１
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第２章　函数项级数 ４４
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第３章　幂级数 ４７
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第４章　傅里叶级数 ５０
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级数论的总结 ５３
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第二部分　多元数学分析
第五篇　多元函数极限论 ５４
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第１章　平面点集知识 ５４
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第２章　多元函数的极限 ５５
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第３章　多元函数的连续性 ５６
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多元函数极限论的总结 ５７
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第六篇　多元函数微分论 ５９
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第１章　多元函数可微性 ５９
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第２章　泰勒公式和极限问题 ６２
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第３章　可微性在几何方面的应用 ６４
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第４章　含参变量的积分 ６６
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多元函数微分论的总结 ７０
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第七篇　多元函数积分论 ７１
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第１章　二重积分 ７１
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第２章　三重积分 ７３
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第３章　曲线积分 ７６
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第４章　曲面积分 ７９
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多元函数积分论的总结 ８４
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绪　论
一、数学分析在数学系本科中的地位
１．数学分析、解析几何、高等代数俗称为数学系本科生的三高．拓扑学、泛函分析、抽象代数俗称
为数学系研究生的三高．数学分析学习得好与不好，不但决定了其它数学课学得好与不好，也确定了
你考上研究生后起跑线的前后．因此，同学们复习好数学分析，不仅仅是要考上研究生，更重要的是考
上研究生后，能够胜任研究生阶段的学习．
２．数学分析３００课时左右（三学期），解析几何１００课时左右（一学期），高等代数２００课时左右
（二学期），其它课程也就是一学期６０－８０个课时．这是权威的课时安排．不是一个院系或某个人的教
学安排．是长期教学实践的结果．从这个课时的分布也可以看出数学分析在整个数学系本科教育中的
地位和影响．
３．正因为以上所述，数学分析成为考研的两门基础课之一．换句话说，数学分析决定了你是否有
机会进一步深造的可能性．
二、数学分析的主要内容
数学分析＝
一元数学分析{多元数学分析
一元数学分析
极限论
微分论
积分论







级数论
多元数学分析
多元极限论
多元微分论{
多元积分论
多元数学分析以一元数学分析为基础，一元数学分析以极限论为基础．七大块之间相互有关系，
形成一个有机的统一体．
三、数学分析考研辅导的指导思想
１．基础分占到６０％左右，技能分４０％左右．
２．在保证基础分的情况下，提高技能分．
３．辅导的指导思想：
对定义有感性的认识（即几何直观）；
深刻理解不同定义间的主要联系（即定理）；
掌握分析问题的方法（即解题思路）．
四、教材和课程设计
—１—
华东师范大学数学系《数学分析》考点精讲及复习思路
１．关于教材
教材：《数学分析》第四版
编者：华东师范大学数学系
出版：高等教育出版社
２．课程设计
整个课程由三个阶段组成：
第一阶段：《考点精讲及复习思路》（５０课时左右）
目标：力保百分之６０到７０的基本分．
方法：按考点之间的联系展开，以高频考点为精讲对象，通过典型例题深入提．
第二阶段：《名校真题解析及典型题精讲精练》（４０课时左右）
目标：百分之３０到４０的技能分．
方法：通过近几年名校经典试题的分析，加深对重要定理的理解，熟练地掌握典型问题中的一些
常规的技能和技巧．
第三阶段：《冲刺大串讲及模拟四套卷精讲》（２０课时左右）
目标：稳固第一阶段和第二阶段的成果，从整体上把握数学分析的基本思想和解题技能，力争在
考研中取得高分．
方法：以极限为主线，提炼数学分析七大部分的精华；通过四套模拟卷的精讲，再现典型问题中解
决问题的典型方法．
五、授课对象
１．准备报考数学专业研究生的同学
２．准备报考数学一类且想取得高分的同学
寄语　
数学分析，对老师和学生来说，都是数学系中最具挑战性的一门基础专业课．我将尽我最大的努
力，把近三十年对数学分析的理解贯穿在整个的教学之中．希望通过本课程三个阶段这个阶段学习，
让同学们从害怕数学分析到喜欢数学分析，从支离破碎的概念到从整体上把握数学分析的基本思想
和基本内容，从做题无处下手到遇题不慌，沉着迎战的良好心理状态．
我相信，在我们共同努力下，同学们一定会在数学分析方面取得长足的进步，在考研中取得理想
的成绩．
—２—
第一篇　极限论
第１章　数列的极限
第２章　函数的极限
第３章　函数的连续性
第４章　实数的完备性
极限论的总结
第１章　数列的极限
一、本章考情分析
极限分为数列极限和函数极限．数列极限从形式来看要比函数极限简单，便于掌握．它是学习函
数极限的基础．这章是历年考研的热点之一．从形式上看有选择题、填空题、计算题和证明题．分值从
几分（选择题和填空题）到１０多分（计算题和证明题）不等，题的难度从低到高都有．对极限思想的理
解和几何直观是本章的难点．
要求：
１．会应用本章的四种方法求极限或证明极限等式．
２．会应用数列极限的基本性质做证明题．
二、本章基本内容
１．数列的极限
２．上（下）确界
３．相关定理
三、本章要点精讲
（一）基本定义和概念：
要点１：数列及子列的概念；
要点２：数列极限的分析定义及几何定义；
—３—
华东师范大学数学系《数学分析》考点精讲及复习思路
要点３：数集的上（下）确界；
（１）上确界的定义
设Ｓ为一个非空数集．若数η满足条件：
（ⅰ）对一切ｘ∈Ｓ，有ｘ≤η，即η是Ｓ的一个上界；
（ⅱ）对任何α＜η，存在ｘ０∈Ｓ，使得ｘ０＞α，即η又是Ｓ的最小上界，则称η为数集的Ｓ上确界，记
作η＝ｓｕｐＳ
（２）下确界的定义
设Ｓ为一个非空数集．若数ξ满足条件：
（ⅰ）对一切ｘ∈Ｓ，有ｘ≥ξ，即ξ是Ｓ的一个下界；
（ⅱ）对任何β＞ξ，存在ｘ０∈Ｓ，使得ｘ０＜β，即ξ又是Ｓ的最大下界，则称ξ为数集的Ｓ下确界，记
作ξ＝ｉｎｆＳ
上确界和下确界统称为确界．
（３）确界的基本性质
①ｉｎｆＳ≤ｓｕｐＳ；
②确界是唯一的；
③最大（小）值是上（下）确界，反之不成立；
④η＝ｓｕｐＳ∈Ｓη＝ｍａｘＳ，ξ＝ｉｎｆＳ∈Ｓξ＝ｍｉｎＳ
（４）确界原理
设Ｓ是非空的数集，若Ｓ有上界，则Ｓ有上确界；若Ｓ有下界，则Ｓ有下确界．
确界原理是实数完备性七个等价定理之一．其他六个都可以由它直接或间接推出．因为确界原理
来源于分析学的基础，即实数理论．本教材是讲数学分析的，所以没有要求同学们知道它的证明过程．
故给它起名确界原理而没有用定理二字．定理是需要证明的，而原理是可以不给予证明的，只需要承
认它就可以了．
确界原理告诉我们：有上（下）界的非空数集不一定有最大（小）值，但一定有上（下）确界．确界实
质上是最（大，小）值的推广．
规定：若Ｓ没有上界，则ｓｕｐＳ＝＋∞；若Ｓ没有下界，则 ｉｎｆＳ＝－∞．在这样的规定下，我们可以
将确界原理推广为：
（５）广义确界原理
若Ｓ是非空的数集，则Ｓ有上、下确界．
要点４：唯一性定理
若数列｛ａｎ｝收敛，则它只有一个极限．
要点５：有界性定理
若数列｛ａｎ｝收敛，则它为有界数列．
要点６：保号性定理
若ｌｉｍ
ｎ→!
ａｎ ＝ａ（或＜０），则对任意的ａ′∈（０，ａ）（或ａ′∈（ａ，０）），存在正整数Ｎ，使得当ｎ＞Ｎ时，
—４—
有ａｎ＞ａ′（或ａｎ＜ａ′）．
要点７：保号性定理的推论
若ｌｉｍ
ｎ→!
ａｎ ＝ａ，ｌｉｍｎ→!
ｂｎ ＝ｂ，且ａ＜ｂ，则存在正整数Ｎ，使得当ｎ＞Ｎ时，有ａｎ＜ｂｎ．
要点８：保不等式性
设｛ａｎ｝和｛ｂｎ｝为收敛的数列．若存在正整数Ｎ０，使得当ｎ＞Ｎ０时，有ａｎ≤ｂｎ，则ｌｉｍｎ→!
ａｎ≤ｌｉｍｎ→!
ｂｎ．
要点９：迫敛性，又名夹击法
设数列｛ａｎ｝和数列｛ｂｎ｝均收敛于ａ，数列｛ｃｎ｝满足条件：存在正整数 Ｎ０，当 ｎ＞Ｎ０时，有 ａｎ≤ｃｎ≤
ｂｎ，且ｌｉｍｎ→!
ａｎ ＝ｌｉｍｎ→!
ｂｎ ＝ａ．则数列｛ｃｎ｝收敛，且ｌｉｍｎ→!
ｃｎ ＝ａ．
注：这是求极限的重要方法之一，是求极限的第三种方法（前两个分别是按极限的定义，按运算公
式）．重点是考生要对常见的数列极限（对应定理中的｛ａｎ｝和｛ｂｎ｝）熟悉．
要点１０：数列和子列收敛的关系
数列｛ａｎ｝收敛于ａ的充分必要条件是：它的任意子列｛ａｎｋ｝也收敛于ａ．
注：此定理经常用来证明数列的极限不存在．
上述定理的变形
数列｛ａｎ｝收敛的充分必要条件是：它的任意子列｛ａｎｋ｝也收敛．
分析：这只需要证明所有的子列均收敛于同一个值即可．
｛ａｎｋ｝和｛ａｎｌ｝是两个子列．我们可以将他们拼成一个新子列｛ａｎｍ｝．｛ａｎｋ｝和｛ａｎｌ｝是｛ａｎｍ｝的
子列，故｛ａｎｋ｝和｛ａｎｌ｝的极限相同．
要点１１：单调有界定理
单调有界的数列必有极限．
（１）作为应用，我们知道ｌｉｍ
ｎ→!
（１＋１ｎ）
ｎ
存在，将此极限记为 ｅ，以其为底的对数称作自然对数，记
作ｌｎｘ．
（２）反例
要点１２：致密性定理
有界的数列必有收敛的子列．
致密性定理是单调有界定理的弱化，即条件减弱，结论也减弱．
要点１３：柯西条件的定义
设｛ａｎ｝是一个数列．如果对任意的ε＞０，存在正整数Ｎ，使得当ｍ，ｎ＞Ｎ时，有 ａｍ －ａｎ ＜ε，
则称数列｛ａｎ｝满足柯西条件．
要点１４：柯西收敛准则
数列｛ａｎ｝收敛的充要条件是满足柯西条件．
注：单调有界定理和柯西收敛准则均是用来证明极限存在的定理，并没有告诉极限是什么．尽管
—５—
华东师范大学数学系《数学分析》考点精讲及复习思路
如此，它也蕴含着第四种求极限的方法：先证明极限的存在，再求极限．
（二）总结求极限的方法：
方法１：按定义证明极限等式
［１－１］已知极限ｌｉｍ
ｎ→!
ａｎ ＝ａ．证明ｌｉｍｎ→!
ａ１＋ａ２＋···＋ａｎ
ｎ ＝ａ
下面的５道题是书上Ｐ２４～Ｐ２６，Ｐ３１的例题．它们是这一类题的标准模式．希望同学们能认真研
读它们，并将结果当定理记下来．
ａ）证明ｌｉｍ
ｎ→!
１
ｎα
＝０，这里α是正数．
ｂ）证明ｌｉｍ
ｎ→!
ｑｎ ＝０，这里 ｑ＜１．
ｃ）证明ｌｉｍ
ｎ→!
ｎ
槡ａ＝１，其中ａ＞０．
ｄ）证明ｌｉｍ
ｎ→!
ａｎ
ｎ！＝０．
ｅ）证明ｌｉｍ
ｎ→!
ｎ
槡ｎ＝１．
［１－２］利用［１－１］证明下列等式：
ａ．ｌｉｍ
ｎ→!
１＋１２＋
１
３＋···＋
１
ｎ
ｎ ＝０；
ｂ．ｌｉｍ
ｎ→!
１＋槡２＋
３
槡３＋···＋
ｎ
槡ｎ
ｎ ＝１；
ｃ．若ｌｉｍ
ｎ→!
（ａｎ－ａｎ－１）＝ｄ，则ｌｉｍｎ→!
ａｎ
ｎ＝ｄ
利用［１－１］的思想，我们也可以证明：
［１－３］已知极限ｌｉｍ
ｎ→!
ａｎ ＝ａ且ａｎ ＞０（ｎ＝１，２，…）．
证明ｌｉｍ
ｎ→!
ｎａ１ａ２…ａ槡 ｎ ＝ａ
此题留给同学们做课后练习．我们会在后继课程中给予答案．
方法２：根据极限运算公式求极限
［１－４］求极限ｌｉｍ
ｎ→!
１
２＋
１
２２
＋···＋１
２ｎ
１
３＋
１
３２
＋… ＋１
３ｎ
［１－５］求极限ｌｉｍ
ｎ→!
槡２
４
槡２
８
槡２…
２ｎ
槡
( )２
方法３：利用夹击法求极限
［１－６］证明ｌｉｍ
ｎ→!
１
ｎ２
＋ １
（ｎ＋１）２
＋···＋ １
（２ｎ）( )２ ＝０
［１－７］证明ｌｉｍ
ｎ→!
１
ｎ２＋槡 １
＋ １
ｎ２＋槡 ２
＋···＋ １
ｎ２槡
( )＋ｎ
＝１
［１－８］设ａ１，ａ２，…，ａｍ为ｍ个正数，证明：
—６—
ｌｉｍ
ｎ→!
ｎ
ａ１
２＋ａ２
２＋… ＋ａｍ槡
２ ＝ｍａｘ｛ａ１，ａ２，…，ａｍ｝
留给同学做练习，将在后继课程中给予答案
方法４：先证明极限存在，再求极限
［１－９］设ａ１ ＝槡２，ａｎ＋１ ＝ ２ａ槡 ｎ，ｎ＝１，２，…，求极限ｌｉｍｎ→!
ａｎ
［１－１０］给定两正数ａ１和ｂ１（ａ１＜ｂ１），做出等差中项ａ２ ＝
ａ１＋ｂ１
２
与等比中项 ｂ２ ＝ ａ１ｂ槡 １．一般地令 ａｎ＋１ ＝
ａｎ＋ｂｎ
２ ，ｂｎ＋１ ＝ ａｎｂ槡 ｎ，ｎ＝１，２，…，证明：ｌｉｍｎ→!
ａｎ和
ｌｉｍ
ｎ→!
ｂｎ皆存在且相等．
与上道题类似的是下边的［１－１１］，留给同学们思考．我们将在以后的后继课程中给出答案．
［１－１１］设ａ１＞ｂ１＞０，记ａｎ＝
ａｎ－１＋ｂｎ－１
２ ，ｂｎ＝
２ａｎ－１ｂｎ－１
ａｎ－１＋ｂｎ－１
，ｎ＝２，３，…，证明｛ａｎ｝和｛ｂｎ｝的极限
都存在且等于 ａ１ｂ槡 １．
最后，我们讲一讲怎样证明数列极限不存在．这类题一般用（１）柯西收敛准则；或（２）数列收敛的
充分必要条件：每个子列都收敛（且收敛于同一个值）．
［１－１２］证明数列 （－１）ｎ ｎ
ｎ＋{ }１ 发散．
［１－１３］证明数列｛ａｎ｝发散，这里ａｎ ＝１＋
１
２＋
１
３＋… ＋
１
ｎ，ｎ＝１，２，…
四、本章名校经典试题回顾
［１－１４］（华东师范大学，２００３年，二，（１），５分）
判别题（正确的说明理由，错误的举出反例）
若ｌｉｍ
ｎ→!
ｘｎ ＝０，则ｌｉｍｎ→!
ｎｘ槡ｎ ＝０．
［１－１５］（华中师范大学，２０１１年，一，（１），８分）
设ｘ１∈（０，
π
２），ｘｎ＋１＝ｓｉｎｘｎ．证明ｌｉｍｎ→!
ｘｎ ＝０．
［１－１６］（首都师范大学，２００９年，一，（１），８分）
求极限ｌｉｍ
ｎ→!
（ 槡槡 槡ｎ＋ ｎ－ ｎ）．
［１－１７］（书本上的习题，首都师范大学，２００５年，四，１０分）
若ａｎ＞０且ｌｉｍｎ→!
ａｎ
ａｎ＋１
＝ｌ＞１．证明ｌｉｍ
ｎ→!
ａｎ ＝０．
［１－１８］（复旦大学，１９９９年，三，１０分）
求极限ｌｉｍ
ｎ→!
１·３·５…（２ｎ－１）
２·４·６…（２ｎ）
五、本章小结
１．截至目前，我们介绍了求极限的四种方法．随着课程的进行，还会有别的求极限的方法；
—７—
华东师范大学数学系《数学分析》考点精讲及复习思路
２．要记住一些常见的求和公式．这些公式在求极限时起着非常重要的作用．例如：
（ａ＋ｂ）ｎ ＝∑
ｎ
ｉ＝０
Ｃｉｎａ
ｉｂｎ－ｉ　　　　　　　　　　　　　　１＋２＋… ＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）２
１２＋２２＋… ＋ｎ２ ＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）６ 　　　１＋ｑ＋ｑ２＋… ＋ｑｎ－１ ＝１－ｑ
ｎ
１－ｑ
３．要记住一些常见的数列极限．这些极限在求别的极限时会用到的；
４．对极限的基本性质要几何直观，不能死记硬背．
５．在下一章中，我们会看到数列极限的性质在函数极限中都有对应的定理．因此对数列极限的理
解和掌握直接影响对函数极限的学习．
第２章　函数的极限
一、本章考情分析
我们可以把一个数列看成是一个定义域为全体正整数集合上的函数．因此数列极限可以看成是
特殊的函数极限．反之，通过海涅定理，函数的极限问题可以转换为数列的极限问题．从形式上看，函
数极限要比数列极限复杂．但本质是一样的：它们都是用来描述当自变量趋于某值（包含∞，＋∞和－
∞）时，函数随自变量的趋近状态．
求函数极限或证明函数极限存在是考研的热点之一．题型从填空题、选择题、计算题到证明题．考
分从几分到十几分都可能出现．
要求：
１．会用定义或公式求函数极限或证明函数极限存在；
２．根据极限（或左、右侧极限）存在求参数；
３．利用两个重要极限求函数极限（即求极限的第五种方法）；
４．利用等价无穷小量求极限（即求极限的第六种方法）；
５．掌握相关的基本定理，注意函数极限定理和和数列极限定理之间的对应关系．
二、本章基本内容
１．函数极限的六种形式；
２．函数极限的基本性质；
３．两个重要极限；
４．无穷小量和无穷大量；
三、本章要点精讲
要点１　函数极限的六种形式
ａ）自变量趋于某实数时
ｌｉｍ
ｘ→ｘ０
ｆ（ｘ）＝Ａ；ｌｉｍ
ｘ→ｘ＋０
ｆ（ｘ）＝Ａ，ｌｉｍ
ｘ→ｘ－０
ｆ（ｘ）＝Ａ
ｂ）自变量趋于无穷大时
ｌｉｍ
ｘ→!
ｆ（ｘ）＝Ａ；ｌｉｍ
ｘ→＋!
ｆ（ｘ）＝Ａ，ｌｉｍ
ｘ→－!
ｆ（ｘ）＝Ａ
—８—
注：能用ε－δ数学分析语言熟练地刻画上边六种极限是数学分析的基本功．同学们应该把它们
作为课后练习做一做．
六种极限间的关系：
ｌｉｍ
ｘ→ｘ０
ｆ（ｘ）存在的充要条件是 ｌｉｍ
ｘ→ｘ＋０
ｆ（ｘ）和 ｌｉｍ
ｘ→ｘ－０
ｆ（ｘ）存在且相等
ｌｉｍ
ｘ→!
ｆ（ｘ）存在的充要条件是 ｌｉｍ
ｘ→＋!
ｆ（ｘ）和 ｌｉｍ
ｘ→－!
ｆ（ｘ）存在且相等
［２－１］讨论函数ｆ（ｘ）＝ ｘ
ｘ在ｘ→０时，极限或左、右侧极限．
要点２　函数极限的基本性质
我们知道函数的极限有六种形式．因此每一个函数极限的性质或者定理都有六种形式．只要大家
掌握函数极限的几何直观，这些形式上的问题不会成为学习中的拦路虎．下边，我们将以ｘ→ｘ０为例，
阐述函数极限的基本性质和定理．
１）海涅定理
设ｆ在Ｕ０（ｘ０，ａ）内有定义．ｌｉｍｘ→ｘ０
ｆ（ｘ）存在的充分必要条件是：对任何含于 Ｕ０（ｘ０，ａ）且以 ｘ０
为极限的数列 ｘ{ }
ｎ ，极限ｌｉｍｎ→!
ｆ（ｘｎ）都存在（且相等）．
注１：海涅定理是数列极限和函数极限之间的桥梁．此定理蕴含着函数极限的问题均可转换为数
列极限的问题．这也是我们一再强调数列极限重要性的原因之一．
注２：海涅定理对应数列极限定理中的“数列和子列收敛的关系”定理．
注３：利用海涅定理可以证明函数极限不存在，见下边的例题．
［２－２］证明 ｌｉｍ
ｘ→＋!
ｃｏｓｘ不存在．
［２－３］证明：若ｆ为周期函数，且 ｌｉｍ
ｘ→＋!
ｆ（ｘ）＝ａ，则对任意的ｘ∈Ｒ，ｆ（ｘ）＝ａ，即ｆ为常值函数且
取值为ａ．
２）唯一性定理
若ｌｉｍ
ｘ→ｘ０
ｆ（ｘ）存在，则此极限是唯一的．
３）局部有界性
若ｌｉｍ
ｘ→ｘ０
ｆ（ｘ）存在，则ｆ在ｘ０的某空心领域Ｕ
０（ｘ０）内有界．
４）局部保号性
若ｌｉｍ
ｘ→ｘ０
ｆ（ｘ）＝Ａ＞０（＜０），则对任意的 ｒ∈ （０，Ａ）（或 ｒ∈ （Ａ，０）），存在 ｘ０的某空心领域
Ｕ０（ｘ０），使得对一切ｘ∈Ｕ
０（ｘ０），有ｆ（ｘ）＞ｒ＞０（或ｆ（ｘ）＜ｒ＜０）．
注：类似与数列极限，这里也有一个推论，书中没有提到。
５）保不等式性
设ｌｉｍ
ｘ→ｘ０
ｆ（ｘ）和ｌｉｍ
ｘ→ｘ０
ｇ（ｘ）都存在，且在ｘ０的某空心领域Ｕ
０（ｘ０）内有
ｆ（ｘ）
"
ｇ（ｘ），则ｌｉｍ
ｘ→ｘ０
ｆ（ｘ）
"
ｌｉｍ
ｘ→ｘ０
ｇ（ｘ）．
６）迫敛法，又名夹击法
设ｌｉｍ
ｘ→ｘ０
ｆ（ｘ）＝ｌｉｍ
ｘ→ｘ０
ｇ（ｘ）＝Ａ，且在ｘ０的某空心领域Ｕ
０（ｘ０）内有ｆ（ｘ）"ｈ（ｘ）"ｇ（ｘ），则ｌｉｍｘ→ｘ０
ｈ（ｘ）＝Ａ．
—９—
华东师范大学数学系《数学分析》考点精讲及复习思路
７）单调有界定理
若ｆ在Ｕ０＋（ｘ０）上单调有界，则 ｌｉｍ
ｘ→ｘ＋ｏ
ｆ（ｘ）存在．
８）柯西收敛准则
设ｆ在Ｕ０（ｘ０，ａ）上有界，则ｌｉｍｘ→ｘ０
ｆ（ｘ）存在的充分必要条件是：任给ε＞０，存在δ＜ａ，使得对任
意的ｘ′，ｘ″∈Ｕ０（ｘ０，δ），有 ｆ（ｘ′）－ｆ（ｘ″） ＜ε．
注：上述这些定理除过书上给出的证明外，还可以海涅定理给予证明．
数列极限性质和函数极限性质的对比图
数列极限 函数极限
数列和子列的收敛关系 海涅定理
唯一性 唯一性
有界性 局部有界性
保号性 局部保号性
保不等式性 保不等式性
夹击性 夹击法
四则运算 四则运算
数列的单调有界定理 单侧极限的单调有界定理
柯西收敛准则 柯西收敛准则
需要强调的是关于数列求极限的四种方法，即根据定义，根据公式，夹击法，已知极限存在求极限
同样也适用于求函数极限．
［２－４］求出满足下述条件的常数ａ与ｂ，ｌｉｍ
ｘ→＋!
ｘ２＋１
ｘ＋１( )－ａｘ－ｂ＝０．
要点３．两个重要的极限
ａ）．ｌｉｍ
ｘ→０
ｓｉｎｘ
ｘ ＝１．变形：ｌｉｍ
ｘ→０
ｔａｎｘ
ｘ ＝１
ｂ）．ｌｉｍ
ｘ→!
１＋１( )ｘ
ｘ
＝ｅ．变形：ｌｉｍ
ｘ→０
（１＋ｘ）
１
ｘ ＝ｅ
利用两个重要极限求极限是考研的热点之一．通常以选择题和填空题形式出现．只要大家掌握规
律，会转换形式，这种分是容易拿到手的．这也是我们求极限的第五种方式．
［２－５］求极限ｌｉｍ
ｘ→０
ａｒｃｔａｎｘ
ｘ ．
分析：只要是分式，有ｓｉｎｘ和ｘ出现，待定型，一般都可以使用重要极限方法．
［２－６］求极限ｌｉｍ
ｘ→０
１＋ｘ
１( )－ｘ
１
ｘ
．
分析：只要是形如的 １＋１( )
!
!
极限式，大部分情况下都可以使用两个重要极限中的第二个．
要点４．无穷大量和无穷小量
为说话方便，我们约定ｌｉｍｆ（ｘ）代表六种极限中的任意一种．
—０１—
当ｌｉｍｆ（ｘ）＝０时，我们就说ｆ是在自变量趋近某值时的无穷小量．
例如：如果 ｌｉｍ
ｘ→－!
ｆ（ｘ）＝０，我们就说ｆ是ｘ→－!时的无穷小量．注意无穷小量是一个变量，而非一
个非常小的值．
当ｌｉｍｆ（ｘ）＝
!
，（＋
!
，－
!
）时，我们就说ｆ是在自变量趋近某值时的（正，负）无穷大量．
例如：如果ｌｉｍ
ｘ→!
ｆ（ｘ）＝＋
!
，我们就说ｆ是ｘ→ !
时的正无穷大量．注意无穷大量是一个变量，而非
一个非常大的值．
为了比较同一状态下（即自变量趋近同一个值）两个无穷小量收敛于零的速度大小，我们引进下
列概念．为方便起见，我们以ｘ→ｘ０为例．
设ｌｉｍ
ｘ→ｘ０
ｆ（ｘ）＝０，ｌｉｍ
ｘ→ｘ０
ｇ（ｘ）＝０
ａ）如果ｌｉｍ
ｘ→ｘ０
ｆ（ｘ）
ｇ（ｘ）＝０，则称当ｘ→０时，ｆ为 ｇ的高阶无穷小量，或 ｇ为 ｆ的低阶无穷小量，记作
ｆ（ｘ）＝ｏ（ｇ（ｘ））（ｘ→ｘ０）；
ｂ）如果存在正数Ｋ和Ｌ，使得在Ｕ０（ｘ０）上有Ｋ"
ｆ（ｘ）
ｇ（ｘ）
"
Ｌ，则称ｆ和ｇ为当ｘ→０时的同阶无穷
小量．特别当ｌｉｍ
ｘ→ｘ０
ｆ（ｘ）
ｇ（ｘ）＝ｃ≠０时，ｆ和ｇ为当ｘ→０时的同阶无穷小量；
ｃ）如果ｌｉｍ
ｘ→ｘ０
ｆ（ｘ）
ｇ（ｘ）＝１，则称当ｘ→０时，ｆ为ｇ的等价无穷小量，记作ｆ（ｘ）～ｇ（ｘ）（ｘ→ｘ０）．
对等价无穷小量，我们可以用来替换求极限，即第六个求极限的方法．
乘除替换定理
设函数ｆ，ｇ，ｈ在Ｕ０（ｘ０）上有定义，且ｆ（ｘ）～ｇ（ｘ）（ｘ→ｘ０），则
ａ）若ｌｉｍ
ｘ→ｘ０
ｆ（ｘ）ｈ（ｘ）＝Ａ，则ｌｉｍ
ｘ→ｘ０
ｇ（ｘ）ｈ（ｘ）＝Ａ；
ｂ）若ｌｉｍ
ｘ→ｘ０
ｈ（ｘ）
ｆ（ｘ）＝Ａ，则ｌｉｍｘ→ｘ０
ｈ（ｘ）
ｇ（ｘ）＝Ａ；
注：此方法只对乘、除运算起作用，对加、减失效，希望同学们慎重使用．
［２－７］求极限ｌｉｍ
ｘ→!
ｘａｒｃｔａｎ１ｘ
ｘ－ｃｏｓｘ．
分析：ａｒｃｔａｎ１ｘ～
１
ｘ（ｘ→ !
）
四、名校经典试题回顾
［２－８］（课本上的习题，华东师大，２００９，一，（１））
判断下列说法是否正确：ｌｉｍ
ｘ→ａ
ｇ（ｘ）＝Ａ，ｌｉｍ
ｙ→Ａ
ｆ（ｙ）＝Ｂ，此处
ａ，Ａ，Ｂ均为实数，则ｌｉｍ
ｘ→ａ
ｆ（ｇ（ｘ））＝Ｂ．
分析：这道题是用来考察函数极限定义的．
［２－９］（课本上的习题，湖北大学２００１年，天津大学１９９８年）
设函数ｆ在（０，＋
!
）上满足条件ｆ（ｘ）＝ｆ（２ｘ），且ｌｉｍ
ｘ→!
ｆ（ｘ）＝Ａ，证明ｆ（ｘ）＝Ａ，ｘ∈（０，＋!）．
分析：考研的证明题不会简单到直接使用定理就可以得出证明．你一定要分析：目标，条件，目标
—１１—
华东师范大学数学系《数学分析》考点精讲及复习思路
和条件之间的联系（即定理）
［２－１０］（华东师大，２００４年，一，１，１０分）
求极限ｌｉｍ
ｘ→０
（ｃｏｓ）
１
ｓｉｎ２ｘ
五、本章小结
１．函数极限有六种形式，因此每一个定理也有六种变形；同理无穷大量有十八种形式，每一个定
理都有十八种变形．应用数学分析语言（即 ε－δ语言）描述上述定义和定理是学好数学分析的基
本功．
２．海涅定理是连接数列极限和函数极限的桥梁．它可以使数列极限的基本性质和定理很容易地
转换为函数极限的定理．正因为如此，数列极限性质和函数极限的性质有着天然的对应关系．
３．截止目前，我们已总结了六种求极限的方法：定义，公式，夹击法，极限方程，两个重要的极限，
等价无穷小量替换．随着课程的进行，还会有新的方法出现．
４．第一章和第二章重要概念和定义的联络图．
随着课程的进行，我们的联络图将会逐渐丰富起来．我们将同一章，同一篇，同一部分及整个数学
分析的重要概念最终要在同一个联络图中体现出来．一本书只有学到一页纸时，才是自家的学问！
第３章　函数的连续性
一、本章考情分析
连续函数是数学分析的主要研究对象．初等函数均为连续函数．本章的考点是判断连续点、间断
点及间断点的分类，证明函数的一致连续性．题型以证明题见多．
二、本章基本内容
１．连续点及连续函数；
２．间断点及其分类；
３．闭区间上连续函数的性质．
三、本章要点精讲
要点１．连续点
ａ）若ｌｉｍ
ｘ→ｘ０
ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ０）（即极限号和函数符号可以交换顺序），则称ｆ在ｘ０处连续．
ｂ）若 ｌｉｍ
ｘ→ｘ０＋
ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ０），则称ｆ在ｘ０处右连续．
ｃ）若 ｌｉｍ
ｘ→ｘ０－
ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ０），则称ｆ在ｘ０处左连续．
ｆ在ｘ０处连续当且仅当ｆ在ｘ０处左、右连续．
若ｆ在定义域中的每一点处连续，则称ｆ为连续函数．
初等函数为连续函数，所以让你证明一个函数是连续函数，这个函数绝对不会是初等函数，而是
一些很特殊的函数，例如分段函数（像狄利克莱函数，黎曼函数）等等．
［３－１］（教材Ｐ８５，４）
设ｆ为Ｒ上的连续函数，常数ｃ＞０．记
—２１—
Ｆ（ｘ）＝
－ｃ， 若 ｆ（ｘ）＜－ｃ
ｆ（ｘ）， 若 ｆ（ｘ）"
ｃ
ｃ， 若 ｆ（ｘ）
{
＞ｃ
证明Ｆ在Ｒ上连续．
要点２　间断点及其分类
ａ）非连续点称作间断点；
ｂ）若ｌｉｍ
ｘ→ｘ０
ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ０）存在，但ｆ（ｘ０）没有定义，或有定义，但与极限值不相等，则称ｘ０为ｆ的可去
间断点．
ｃ）若 ｌｉｍ
ｘ→ｘ０＋
ｆ（ｘ）≠ ｌｉｍ
ｘ→ｘ０－
ｆ（ｘ），则称ｘ０为ｆ的跳跃间断点．
ｄ）可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点，其他的间断点（即左、右侧极限至少有一个不
存在）统称为第二类间断点．
［３－２］（教材Ｐ７５，４）
指出下列函数的间断点并说明类型：
（１）ｆ（ｘ）＝ｘ＋１ｘ；
（２）ｆ（ｘ）＝ｓｇｎｘ；
（３）ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘｘ ．
要点３．闭区间上连续函数的基本性质
１）有界性定理
若函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续，则ｆ（ｘ）在闭区间上有界．
２）最大值和最小值定理
若函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续，则ｆ（ｘ）在闭区间上有最大值和最小值．
３）介值定理
若函数ｆ（ｘ）在闭区间 ａ，[ ]ｂ上连续，μ是ｆ（ａ）和ｆ（ｂ）之间的一个值（不包含ｆ（ａ）和ｆ（ｂ）），则
存在ｃ∈（ａ，ｂ），使得ｆ（ｃ）＝μ．
４）反函数的连续性
若函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上严格单调且连续，则反函数在［ｆ（ａ），ｆ（ｂ）］或［ｆ（ｂ），ｆ（ａ）］上连
续．
５）一致连续性
若函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续，则ｆ（ｘ）是一致连续函数．
关于闭区间上连续函数的基本性质的考点往往是去掉闭性，加上一些条件，证明上述定理仍然成
立．例如下边的例子：
［３－３］（教材Ｐ８５，６）
若ｆ（ｘ）在［ａ，＋
!
）上连续，且ｌｉｍ
ｎ→!
ｆ（ｘ）存在，证明ｆ（ｘ）在［ａ，＋
!
）上有界．能否取到最大值和
—３１—
华东师范大学数学系《数学分析》考点精讲及复习思路
最小值？是否是一致连续函数？
四、名校经典试题回顾
［３－４］（华中师大）
设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上有定义：
（１）用ε－δ的方法叙述ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上一致连续的概念；
（２）设０＜ａ＜１，证明ｙ＝ｓｉｎ１ｘ在（ａ，１）上一致连续；
（３）证明ｙ＝ｓｉｎ１ｘ在（０，１）上非一致连续．
［３－５］（南开大学，山东大学）
设ｆ（ｘ）在有限开区间（ａ，ｂ）上连续，证明ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上一致连续的充分必要条件是 ｌｉｍ
ｘ→ａ＋
ｆ（ｘ）
和 ｌｉｍ
ｘ→ｂ－
ｆ（ｘ）存在．
［３－６］（北师大）
设ｆ（ｘ）在（ａ，＋
!
）上连续，且 ｌｉｍ
ｘ→＋!
（ｆ（ｘ）－ｃｘ－ｄ）＝０．证明ｆ（ｘ）在（ａ，＋
!
）上一致连续．
五、本章小结
１．连续是局部性质，而一致连续是整体性质．
２．证明定义域为非有界闭区间上的连续函数是一致连续函数或有界函数是考研的重点．
３．基本概念联络图（极限，确界，连续，一致连续性）．
第４章　实数的完备性
一、本章考情分析
实数完备性的七个等价定理是数学分析的理论基础，也是整个数学分析的难点之一．因为这七个
等价定理与实数的完备性等价，故称作完备性的七个等价定理．证明七个定理之间的等价性及七个等
价定理的应用是历年考研的重点．题型以证明题的形式出现．
二、本章基本内容
１．完备性的七个等价定理及应用；
２．数列的上极限和下极限．
三、本章要点精讲
要点１　完备性的七个等价定理
１）确界原理
任意非空有上（下）界数集必有上（下）确界．
２）单调有界定理
单调有界数列必有极限．
３）致密性定理
—４１—
任意有界的数列必有收敛的子列．
４）柯西收敛准则
数列收敛当且仅当它满足柯西条件．
５）区间套定理
若｛［ａｎ，ｂｎ］｝是一个区间套，则其交 ∩
!
ｎ＝１
［ａｎ，ｂｎ］为单点集．
６）有限覆盖定理
若Ｈ是闭区间［ａ，ｂ］的一个开覆盖，则可以由Ｈ中选出有限个开区间覆盖［ａ，ｂ］．
７）聚点定理
实轴上任意有界的无限点集必有聚点．
［４－１］（Ｐ１７１，书上的例题）
试用有限覆盖定理证明聚点定理．
［４－２］（Ｐ１７１，书上的例题）
试用聚点定理证明柯西收敛准则．
要点２．数列的上、下极限
称ｌｉｍ
ｎ→!
ａｎ ＝ｌｉｍｎ→!
ｓｕｐ
ｋｎ
｛ａｎ｝为数列｛ａｎ｝的上极限．上极限永远存在．
称ｌｉｍ
ｎ→!
ａｎ ＝ｌｉｍｎ→!
ｉｎｆ
ｋｎ
｛ａｎ｝为数列｛ａｎ｝的下极限．下极限永远存在．
ａ）上下极限永远存在，正如上下确界永远存在．这是数学内部发展的动力之一．
ｂ）数列的极限存在当且仅当它的上下极限相等（求极限的第七个方法）．
ｃ）数列的上极限是所有收敛子列极限的最大者；数列的下极限是所有收敛子列极限的最小者．
ｄ）收敛子列的极限＝数列的聚点．
［４－３］（Ｐ１７５，书上的例题）
证明：若ａｎ ＞０（ｎ＝１，２，…），且 ｌｉｍ
ｎ→!〗
ａｎ ＞０，则ｌｉｍ
ｎ→! １
ａｎ
＝ １
ｌｉｍ
ｎ→!
ａｎ
．
［４－４］（Ｐ１７５，书上的例题）
证明：若ａｎ ＞０（ｎ＝１，２，…），且ｌｉｍ
ｎ→!
ａｎ·ｌｉｍ
ｎ→! １
ａｎ
＝１，则数列｛ａｎ｝收敛．
四、名校经典试题回顾
［４－５］（首都师大，２００４年，六，１２分）
利用实数完备性定理证明：闭区间上的连续函数有界．
［４－６］（华中师大，２０００）
利用闭区间套定理证明：闭区间上的连续函数有界．
［４－７］（北京科技大学）
证明：若一组开区间｛Ｉｎ｝覆盖闭区间［０，１］，则存在一个正数δ，使得对 ［０，１］中任意两点 ｘ′，
ｘ″，满足 ｘ′－ｘ″＜δ时，必属于某区间Ｉｎ．
—５１—
华东师范大学数学系《数学分析》考点精讲及复习思路
五、本章小结
１．完备性的七个等价定理之间的相互证明及其应用是考研的热点．
２．对书本中定理的证明要研读．这些定理完全可能以考研题的形式出现．
３．基本概念联络图（极限，确界，连续，一致连续性，上下极限，数列的聚点）．
极限论的总结
一元数学分析由四大部分构成：极限论，微分论，积分论和级数论．极限论是其它三部分的基础；
其它三部分可以看成特殊的极限论．因此掌握好一元函数的极限论，就等于打开了数学分析考研的
大门．
极限论由以下四节构成：
１．数列的极限；
２．函数的极限；
３．函数的连续性；
４．实数的完备性．
其基本定义有
１．数列的极限；
２．函数的极限；
３．上（下）确界；
４．数列（集合）的聚点；
５．函数的连续点和间断点；
６．一致连续性．
其高频考点为：
１．求极限，证明极限存在；
２．闭区间上连续函数基本性质及应用；
３．实数完备性七个等价定理的相互推导及应用．
—６１—
第二篇　微分论
第１章　微分和导数
第２章　微分中值定理
第３章　函数的几何性质
微分论的总结
第１章　微分和导数
一、本章考情分析
对一元函数而言，导数和微分是相互存在的．它们之间的关系为：ｄｆ＝ｄｆｄｘ·ｄｘ．导数是特殊的极
限．它反映了函数关于自变量平均变化率的极限．导数在几何上就是切线的斜率．在物理上就是速度．
求导数，证明导数存在或不存在，是历年考研的热点之一．题型多为选择题，填空题和计算题．
二、本章基本内容
１．导数及求导法则；
２．高阶导数及求导法则；
３．微分，一阶微分形式不变性；
４．高阶微分，高阶微分不具有形式不变性．
三、本章要点精讲
要点１：导数及求导法则
１．导数ｆ′（ｘ０）及几何意义；
２．单侧导数ｆ＋′（ｘ０）和ｆ－′（ｘ０）；
３．单侧可导与可导的关系；
４．可导和连续的关系．
［１－１］设
ｆ（ｘ）＝
ｘ２， ｘ３
ａｘ＋ｂ，ｘ＜{ ３
试确定ａ和ｂ的值，使ｆ在ｘ＝３处可导．
５．导函数；
６．求导法则；
—７１—
华东师范大学数学系《数学分析》考点精讲及复习思路
ａ．四则运算；
ｂ．链式法则；
ｃ．参变量函数的导数；
ｄ．导数和反函数导数的关系；
ｅ．基本初等函数导数表；
ｆ．对数求导法：例如ｙ＝（ｘ＋５）
２（ｘ－４）
１
４
（ｘ＋２）５（ｘ＋４）
１
２
；
ｇ．隐函数求导法：例如ｙ＝－ｙｅｘ＋２ｅｙｓｉｎｘ－７ｘ．
［１－２］已知ｇ为可导函数，求ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘｇ（ｘ））的导数．
要点２：高阶导数及求导法则
１）高阶导数；
２）莱布尼兹公式：（ｕｖ）（ｎ） ＝∑
ｎ
ｋ＝０
Ｃｋｎｕ
（ｎ－ｋ）ｖ（ｋ）；
３）参数函数的高阶导数．
［１－３］设
ｘ＝φ（ｔ）
ｙ＝ψ（ｔ{
）
则
ｄ２ｙ
ｄｘ２
＝ψ″（ｔ）φ′（ｔ）－ψ′（ｔ）φ″（ｔ）
［φ′（ｔ）］３
．
要点３：微分
１）微分及几何意义；
２）利用微分进行近似计算．
原理：因为Δｙ＝ｄｙ＋０（Δ），故Δｙ≈ｄｙ．
［１－４］计算 ３１．槡 ０２．
３）高阶微分；
４）一阶微分形式不变性；
５）高阶微分不具有形式不变性．
四、名校经典试题回顾
［１－５］（湖北大学）
设ｆ在为可导函数．证明：若ｘ＝１时，有ｄｆ（ｘ
２）
ｄｘ ＝ｄｆ
２（ｘ）
ｄｘ ，则必有ｆ′（１）＝０或ｆ（１）＝１．
［１－６］（复旦大学）
已知ｆ（ｘ）＝（ｘ－ａ）２φ（ｘ），其中φ′（ｘ）在点ｘ＝ａ的某邻域内连续，求ｆ″（ａ）．
［１－７］（厦门大学）
已知ｆ′（ｘ）＝ｋｅｘ，ｋ为常数．求ｆ（ｘ）的反函数的二阶导数．
—８１—
［１－８］（西北大学）
设ｙ＝ １
１－ｘ槡
２
ａｒｃｓｉｎｘ，求ｙ（ｎ）（０）．
五、本章小结
１．会通过各种方法求导数：按定义，按公式，链式法则，参变量函数求导法，对数求导法．
２．会利用微分进行近似计算．
３．几何直观上理解导数，微分的定义．
第２章　微分中值定理
一、本章考情分析
微分中值定理是微分部分的精华，是下一章利用导数和微分研究函数几何性质的基础，是历年考
研的热点．题型为证明题．
抓住几何本质，是学好和用好微分中值定理的关键．
二、本章基本内容
１．费马定理；
２．中值定理的三种形式；
３．应用：
ａ．洛必达法则（求极限的第八种方法，本论的第一种）；
ｂ．导数的极限定理（用于分段函数求导数）；
ｃ．导数的介值定理（达布定理）；
ｄ．利用中值定理证明不等式；
ｅ．泰勒公式（求极限的第九种方法，本论的第二种）．
三、本章要点精讲
要点１：费马定理
设函数ｆ在ｘ０的某邻域上有定义，且在ｘ０可导．若点ｘ０为ｆ的极值点，则必有ｆ′（ｘ０）＝０．
要点２：中值定理
罗尔中值定理
若函数ｆ满足如下条件：
（ⅰ）ｆ在闭区间［ａ，ｂ］上连续；
（ⅱ）ｆ在（ａ，ｂ）上可导；
（ⅲ）ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）；
则在（ａ，ｂ）上至少存在一点ξ，使得ｆ′（ξ）＝０．
拉格朗日中值定理
若函数ｆ满足如下条件：
—９１—
华东师范大学数学系《数学分析》考点精讲及复习思路
（ⅰ）ｆ在闭区间［ａ，ｂ］上连续；
（ⅱ）ｆ在（ａ，ｂ）上可导；
则在（ａ，ｂ）上至少存在一点ξ，使得ｆ′（ξ）＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ ．
［２－１］（教材Ｐ１２８，９）
设ｆ为［ａ，ｂ］上的二阶可导函数，ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）＝０，并存在一点ｃ∈（ａ，ｂ）使得ｆ（ｃ）＞０．证明
至少存在一点ξ∈（ａ，ｂ），使得ｆ″（ξ）＜０．
［２－２］（教材Ｐ１６３，１４）
设ｆ在［０，＋
!
）上可导，且０
"
ｆ′（ｘ）
"
ｆ（ｘ），ｆ（０）＝０．证明：在［０，＋
!
）上ｆ（ｘ）＝０．
柯西中值定理
若函数ｆ和ｇ满足如下条件：
（ⅰ）在闭区间［ａ，ｂ］上都连续；
（ⅱ）在（ａ，ｂ）上都可导；
（ⅲ）ｆ′（ｘ）和ｇ′（ｘ）不同时为零；
（ｉｉ）ｇ（ａ）≠ｇ（ｂ）；
则在（ａ，ｂ）上至少存在一点ξ，使得 ｆ′（ξ）ｇ′（ξ）
＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）．
［２－３］（教材Ｐ１３６，２）
设函数ｆ在［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）上可导．证明：存在ξ∈（ａ，ｂ），使得２ξ［ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）］＝（ｂ２
－ａ２）ｆ′（ξ）．
［２－４］（教材Ｐ１３６，３）
设函数在点ａ处具有连续的二阶导数，证明：
ｌｉｍ
ｈ→０
ｆ（ａ＋ｈ）＋ｆ（ａ－ｈ）－２ｆ（ａ）
ｈ２
＝ｆ″（ａ）．
要点３：中值定理的应用
ａ．洛必达法则：００型
若函数ｆ和ｇ满足
（ⅰ）ｌｉｍ
ｘ→ｘ０
ｆ（ｘ）＝ｌｉｍ
ｘ→ｘ０
ｇ（ｘ）；
（ⅱ）在ｘ０的某空心邻域内可导且ｇ′（ｘ）≠０；
（ⅲ）ｌｉｍ
ｘ→ｘ０
ｆ′（ｘ）
ｇ′（ｘ）＝Ａ（Ａ可以是实数，＋!
，－
!
，
!
）；．
则ｌｉｍ
ｘ→ｘ０
ｆ（ｘ）
ｇ（ｘ）＝ｌｉｍｘ→ｘ０
ｆ′（ｘ）
ｇ′（ｘ）＝Ａ．
注：
ａ．还有 !
!
型，０·
!
型，１! 型，００型，
!
０型，
!
－
!
型．
ｂ．上式中的ｘ０可以换成ｘ
＋
０，ｘ０
－，＋
!
，－
!
，
!
．
—０２—
［２－５］（书上的习题Ｐ１３７，７．１）
求极限ｌｉｍ
ｘ→π４
（ｔａｎｘ）ｔａｎ２ｘ．（答案：ｅ－１）
［２－６］（教材Ｐ１３７，１０）
证明：ｆ（ｘ）＝ｘ３ｅ－ｘ２为有界的函数．
ｂ．导数的极限定理（用于分段函数求导数）
设函数ｆ在点ｘ０的某邻域Ｕ（ｘ０）上连续，在相应的空心邻域Ｕ
０（ｘ０）内可导，且极限 ｌｉｍｘ→ｘ０
ｆ′（ｘ）存
在，则ｆ在ｘ０可导，且ｆ′（ｘ０）＝ｌｉｍｘ→ｘ０
ｆ′（ｘ）．
［２－７］设
ｆ（ｘ）＝
３ｘ－ｘ
２
２－２， ０"ｘ"４
６－ｘ， ｘ＞
{
４
试问ｆ在ｘ＝４处可导吗？若可导，求其导数．
ｃ．导数的介值定理（达布定理）
若函数ｆ在［ａ，ｂ］上可导，且ｆ′＋（ａ）≠ｆ′－（ｂ），ｋ为介于ｆ′＋（ａ）和
ｆ′－（ｂ）之间任意实数，则存在一点ξ∈（ａ，ｂ），使得ｆ′（ξ）＝ｋ．
［２－８］（教材Ｐ１２８，１０）
设ｆ在（ａ，ｂ）上可导，且ｆ′单调，证明ｆ′在（ａ，ｂ）上连续．
ｄ．利用中值定理证明不等式
［２－９］（教材Ｐ１２８，１５）
证明：若函数ｆ，ｇ在区间［ａ，ｂ］上可导，且ｆ′（ｘ）＞ｇ′（ｘ），ｆ（ａ）＝ｇ（ａ），则在（ａ，ｂ］内有ｆ（ｘ）
＞ｇ（ｘ）．
［２－１０］（教材Ｐ１６３，５）
证明：对ｘ＞０有
０＜ １
ｌｎ（１＋ｘ）－
１
ｘ＜１．
ｅ．泰勒公式
称Ｔｎ（ｘ）＝ｆ（ｘ０）＋
１
１！ｆ′（ｘ０）（ｘ－ｘ０）＋
１
２！ｆ″（ｘ０）（ｘ－ｘ０）
２＋…
＋１ｎ！ｆ
ｎ（ｘ０）（ｘ－ｘ０）
ｎ为ｆ在ｘ０处的泰勒多项式．
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
若ｆ在ｘ０处有直至ｎ阶导数，则在ｘ０的附近有ｆ（ｘ）＝Ｔｎ（ｘ）＋ｏ（（ｘ－ｘ０）
ｎ）．
特别当ｘ０ ＝０时，上述泰勒公式就是带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，即
ｆ（ｘ）＝ｆ（０）＋１１！ｆ′（０）ｘ＋
１
２！ｆ″（０）ｘ
２＋… ＋１ｎ！ｆ
ｎ( )０ｘｎ＋ｏ（ｘｎ）
常用的麦克劳林公式，这对后边级数的学习是很有好处的．
—１２—
华东师范大学数学系《数学分析》考点精讲及复习思路
ｅｘ ＝１＋１１！ｘ＋
１
２！ｘ
２＋… ＋１ｎ！ｘ
ｎ＋ｏ（ｘｎ）
ｓｉｎｘ＝ｘ－１３！ｘ
３＋１５！ｘ
５＋… ＋（－１）ｍ－１ １
（２ｍ－１）！ｘ
２ｍ－１＋ｏ（ｘ２ｍ）
ｃｏｓｘ＝１－１２！ｘ
２＋１４！ｘ
４＋… ＋（－１）ｍ １
（２ｍ）！ｘ
２ｍ ＋ｏ（ｘ２ｍ＋１）
ｌｎ（１＋ｘ）＝ｘ－１２ｘ
２＋１３ｘ
３＋… ＋（－１）ｎ－１ １ｎｘ
ｎ＋ｏ（ｘｎ）
（１＋ｘ）α ＝１＋α１！ｘ＋
α（α－１）
２！ ｘ２＋… ＋α（α－１）…（α－ｎ＋１）ｎ！ ｘｎ＋ｏ（ｘｎ） １
１－ｘ＝１＋ｘ＋ｘ
２
＋… ＋ｘｎ＋ｏ（ｘｎ）
带有拉格朗日型余项的泰勒公式
若ｆ在［ａ，ｂ］上有直至ｎ阶的连续导函数，在（ａ，ｂ）上存在ｎ＋１阶导函数，则对任意的ｘ，ｘ０∈
［ａ，ｂ］，则存在ξ∈（ａ，ｂ），使得
ｆ（ｘ）＝Ｔｎ（ｘ）＋
１
（ｎ＋１）！ｆ
（ｎ＋１）（ξ）（ｘ－ｘ０）
ｎ＋１
特别当ｘ０ ＝０时，上述泰勒公式就是带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式，即
ｆ（ｘ）＝ｆ（０）＋１１！ｆ′（０）ｘ＋… ＋
１
ｎ！ｆ
ｎ（０）ｘｎ＋ １
（ｎ＋１）！ｆ
（ｎ＋１）（θｘ）ｘｎ＋１
其中０＜θ＜１．
第九种求极限的方法：利用泰勒公式．例如
［２－１１］
ｌｉｍ
ｘ→０
ｃｏｓｘ－ｅ－
ｘ２
２
ｘ４
＝ｌｉｍ
ｘ→０
－１１２ｘ
４＋ｏ（ｘ４）
ｘ４
＝－１１２
其原因　　　　ｃｏｓｘ＝１－１２！ｘ
２＋１４！ｘ
４＋ｏ（ｘ５）
ｅ－
ｘ２
２ ＝１＋１１！－
ｘ２( )２ ＋
１
２！ －ｘ
２( )２
２
＋ｏ －ｘ
２( )２( )２
＝１－ｘ
２
２＋
ｘ４
８＋ｏ（ｘ
４）
四、名校经典试题回顾
［２－１２］（华中师大）
设ｆ在［ａ，ｂ］上三阶可导，ｆ′（ａ）＝ｆ′（ｂ）＝０，并且存在点ｃ∈（ａ，ｂ），有ｆ（ｃ）＝ｍａｘ
ａ
"
ｘ
"
ｂ
ｆ（ｘ）．证明
ｆ（ｘ）＝０在（ａ，ｂ）内至少有一个根．
［２－１３］（四川大学）
设ｆ为［ａ，ｂ］上的二阶可导函数，ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）＝０，并且存在一点ｃ∈（ａ，ｂ）使得ｆ（ｃ）＞０．证
明至少存在一点ξ∈（ａ，ｂ），使得ｆ″（ξ）＜０．
［２－１４］（厦门大学）
—２２—
设 ｆ（ｘ）在 ［０，＋
!
）上具有连续二阶导数，又 ｆ（０）＞０，ｆ′（０）＜０，ｆ″（ｘ）＜０，则在区间
０，－ｆ（０）ｆ′（０( )） 内至少有一个点ξ，使得ｆ（ξ）＝０．
［２－１５］（华中师大）
设 ｆ在［ａ，ｂ］上三阶可导，ｆ′（ａ）＝ｆ′（ｂ）＝０，并在ｃ∈（ａ，ｂ）点有ｆ（ｃ）＝ｍａｘ
ａ
"
ｘ
"
ｂ
ｆ（ｘ）．证明ｆ（ｘ）
＝０在（ａ，ｂ）内至少有一个根．
［２－１６］（南京航空学院）
设函数ｆ在区间［０，１］上有二阶导数，且当０
"
ｘ
"
１时恒有 ｆ（ｘ）"
１，ｆ″（ｘ）
"
２．证明当０
"
ｘ
"
１
时，有ｆ′（ｘ）
"
３．
五、本章小结
１．费马定理和中值定理是微分学最主要的理论，也是整个数学分析最精华之一．这部分是考研的
热点，多以证明题的形式出现．抓住几何直观是做题的关键．
２．洛必达法则（第八种求极限方法）和泰勒公式（第九种求极限的方法）是求极限的主要方法．极
限论中我们总结了七种方法：根据定义，根据公式，夹击法，极限方程（先证明极限存在，再求极限），两
个重要极限，等价无穷小量的替换，上下极限．
第３章　函数的几何性质
一、本章考情分析
利用微分研究函数的几何性质，是微分学的一个主要应用．这部分考题多以选择，填空形式出现，
但不排除证明题和作图题．
二、本章基本内容
１．单调性；
２．极值和最值；
３．凸性和拐点；
４．渐近线；
５．函数图象的讨论．
三、本章要点精讲
要点１：单调性
ｆ单调增ｆ′（ｘ）０；
ｆ单调减ｆ′（ｘ）"０；
ｆ严格单调增ｆ′（ｘ）＞０；
ｆ严格单调减ｆ′（ｘ）＜０；
ｆ严格单调ｆ′（ｘ）≠０（来自于导数的介值定理）．
［３－１］（书上的例题，Ｐ１２８，１３）
证明ｆ（ｘ）＝ｘ３＋ａｘ＋ｂ存在唯一的零点．
—３２—
华东师范大学数学系《数学分析》考点精讲及复习思路
要点２：极值和最值
极值是局部概念，最值是整体概念．
ｘ０为极值点的必要条件：ｆ′（ｘ０）＝０或ｆ′（ｘ０）不存在．
为了寻求极值点，先找出满足 ｆ′（ｘ）＝０或 ｆ′（ｘ）不存在的点，再根据下边的充分条件找出极
值点．
ｘ０为极值点的第一充分条件：
若ｆ在点ｘ０连续，在某Ｕ
０（ｘ０，δ）内可导，
（ⅰ）若当ｘ∈（ｘ０－δ，ｘ０）时，ｆ′（ｘ）"０，若当ｘ∈（ｘ０，ｘ０＋δ）时，ｆ′（ｘ）０，则ｘ０是极小值点．
（ⅱ）若当ｘ∈（ｘ０－δ，ｘ０）时，ｆ′（ｘ）０，若当ｘ∈（ｘ０，ｘ０＋δ）时，ｆ′（ｘ）"０，则ｘ０是极大值点．
ｘ０为极值点的第二充分条件：
若ｆ在点ｘ０的某Ｕ（ｘ０，δ）内一阶可导，在ｘ０处二阶可导，且ｆ′（ｘ０）＝０，ｆ″（ｘ０）≠０，
（ⅰ）若ｆ″（ｘ０）＜０，则ｘ０是极大值点．
（ⅱ）若ｆ″（ｘ０）＞０，则ｘ０是极小值点．
ｘ０为极值点的第三充分条件：
若ｆ在点ｘ０的某Ｕ（ｘ０，δ）内有直到ｎ－１阶导函数，在ｘ０处ｎ阶可导，且ｆ
（ｋ）（ｘ０）＝０（ｋ＝１，２，
…，ｎ－１），ｆｎ（ｘ０）≠０，
当ｎ为偶数时，
（ⅰ）若ｆｎ（ｘ０）＜０，则ｘ０是极大值点．
（ⅱ）若ｆｎ（ｘ０）＞０，则ｘ０是极小值点．
当ｎ为奇数时，ｘ０为非极值点．
寻求最值点的方法：
求出极值点，不可导点，端点，比较其值．
［３－２］（书上的习题，Ｐ１５０，１）
求函数ｆ（ｘ）＝２ｘ３－ｘ４的极值．
要点３：凸性与拐点
凹凸性的定义
设ｆ为定义在区间Ｉ上的函数．若对Ｉ上任意两点ｘ１和ｘ２及任意的λ∈（０，１），有
ｆ（λｘ１＋（λ－１）ｘ２）"λｆ（ｘ１）＋（λ－１）ｆ（ｘ２）
则称ｆ为区间Ｉ上的凸函数；
若对Ｉ上任意两点ｘ１和ｘ２及任意的λ∈（０，１），有
ｆ（λｘ１＋（λ－１）ｘ２）λｆ（ｘ１）＋（λ－１）ｆ（ｘ２）
则称ｆ为区间Ｉ上的凹函数．
如果上述的不等号改为严格的不等号，则称为严格的凸函数和严格的凹函数．
拐点的定义
如果在ｘ０的附近，一边是凸函数，另一边是凹函数，则称（ｘ０，ｆ（ｘ０））为函数图象的拐点．
—４２—
注意：
１．ｆ是凸函数当且仅当 －ｆ为凹函数．因此在讨论中我们只讨论凸函数．
２．上述定义中并未使用数学分析中的概念，例如连续，可导等．正如单调性，这些是中学数学都可
以研究的对象．在这里我们将使用微分学的知识去研究它们，即老问题，新方法．
凸性的等价定义
设ｆ为定义在区间Ｉ上的函数．若对Ｉ上任意三点ｘ１ ＜ｘ２ ＜ｘ３有
ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）
ｘ２－ｘ１
"
ｆ（ｘ３）－ｆ（ｘ２）
ｘ３－ｘ２
则称ｆ为区间Ｉ上的凸函数；
如果上述的不等号改为严格的不等号，则称为严格的凸函数．
用一阶导数刻画凸函数
设ｆ为Ｉ上的可导函数，则下列条件等价：
（ⅰ）ｆ为Ｉ上的凸函数；
（ⅱ）ｆ′为Ｉ上的增函数；
（ⅲ）对Ｉ上任意两点ｘ１和ｘ２，有
ｆ（ｘ２）ｆ（ｘ１）＋ｆ′（ｘ１）（ｘ２－ｘ１）
用二阶导数刻画凸函数
设ｆ为Ｉ上的二阶可导函数，则ｆ为Ｉ上的凸函数当且仅当ｆ″（ｘ）＞０．
［３－３］（书上的习题，Ｐ１５７，１）
求函数ｙ＝ｘ２＋１ｘ的凸性区间及拐点．
要点４：渐近线
水平渐近线，垂直渐近线，斜渐近线的概念．
要点５：函数图象
做函数图象的一般步骤：
１．求函数的定义域；
２．考察函数的奇偶性、周期性；
３．求函数的某些特殊点，如和坐标轴的交点，不连续点；不可导点；
４．确定函数的单调区间，极值点，凸性区间及拐点；
５．考察渐近线；
６．综合以上讨论结果画出函数图象．
四、名校经典试题回顾
［３－４］（南京邮电学院）
证明：若ｐ＞１，则对于［０，１］内任意的ｘ，有ｘｐ＋（１－ｘ）ｐ １
２（ｐ－１）
．
［３－５］（中国科学院）
—５２—
华东师范大学数学系《数学分析》考点精讲及复习思路
设ｆ在［０，＋
!
）上可导，且ｆ（０）＝０，ｆ′（ｘ）在（０，＋
!
）上单调递减，试证
ｆ（ｘ）
ｘ 也在（０，＋!）
上单调递减．
［３－６］（长沙铁道学院）
证明：当ｅ＜ｘ１ ＜ｘ２时，
ｘ１
ｘ２
＜
ｌｎｘ１
ｌｎｘ２
＜
ｘ２
ｘ１
．
五、本章小结
这一章我们给出了利用微分学定理讨论函数单调性，极值，凸性的方法．老问题，新方法．最后给
出了函数图象作图的一般步骤．希望大家在书上找一道函数图象作图题，仿照书上的格式做一下．
微分论的总结
导数是特殊的极限，是函数增量平均值的极限．导数的几何意义是切线的斜率，物理意义是速度
（严格来说是速率）．费马定理和中值定理（三种形式）是微分学的精华，有着广泛的应用，是每年考研
的要点．
微分论由以下三章构成：
１．导数和微分；
２．中值定理及应用；
３．函数的几何性质．
其基本定义：
（高阶，左右）导数，（高阶）微分，泰勒多项式及两种余项，不定式（待定性），极值，凸性．
其高频考点为：
１．求导数；
２．中值定理的应用；
３．用导数研究函数的性质及函数图象作图．
—６２—
第三篇　积分论
第１章　不定积分
第２章　定积分
第３章　可积性理论
第４章　定积分的应用
第５章　反常积分
积分论的总结
第１章　不定积分
一、本章考情分析
从运算的角度来看，不定积分是求导数的逆运算．从作用来看，它是下章定积分计算的基础．这部
分以计算题和填空题的形式出现，是考研的热点．
求不定积分要比求导数难，但还是有方法可寻的．同学们应掌握常见的几种求不定积分方法．
二、本章基本内容
１．不定积分的概念；
２．几种必须会的求不定积分的方法．
三、本章要点精讲
要点１：不定积分的概念
若Ｆ′（ｘ）＝ｆ（ｘ），则称ｆ是Ｆ的导函数，Ｆ是ｆ的一个原函数．
ｆ的原函数的全体，称作ｆ的不定积分，记作∫ｆ（ｘ）ｄｘ．
若Ｆ是ｆ的一个原函数，则∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ，其中Ｃ为任意常数．
导数、微分和不定积分的关系：
［∫ｆ（ｘ）ｄｘ］′＝ｆ（ｘ　ｄ∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｘ）ｄｘ
［１－１］据理说明每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数，即不可积．
［１－２］举例说明每一个含有第二类间断点的函数可能有原函数，也可能没有原函数，即可积 ＋
性不定．
—７２—
华东师范大学数学系《数学分析》考点精讲及复习思路
要点２：求不定积分的方法
１．积分表
注：积分表必须记住，因为其它求不定积分的方法最后都归结到积分表上．
２．运算公式
在ｆ和ｇ可积，ａ和ｂ不同时为零的情况下
∫（ａｆ（ｘ）＋ｂｇ（ｘ））ｄｘ＝ａ∫ｆ（ｘ）ｄｘ＋ｂ∫ｇ（ｘ）ｄｘ
［１－３］∫（２ｘ＋３ｘ）２ｄｘ．
３．换元积分法
设函数ｆ在区间Ｉ上有定义，φ在区间Ｊ上可导，且φ（Ｊ）Ｉ．
（ⅰ）第一换元积分法：如果∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ，则
∫ｆ（φ（ｔ））φ′（ｔ）ｄｔ＝Ｆ（φ（ｔ））＋Ｃ
（ⅱ）第二换元积分法：如果 ｘ＝φ（ｔ）在 Ｊ上存在反函数 ｔ＝φ－１（ｘ）且∫ｆ（ｘ）ｄｘ存在，则当
∫ｆ（φ（ｔ））φ′（ｔ）ｄｔ＝Ｇ（ｔ）＋Ｃ时，
∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｇ（φ－１（ｘ））＋Ｃ
注：上式中的条件可以用更强的条件替换：φ′（ｔ）≠０，ｔ∈Ｊ，φ（Ｊ）＝Ｉ．
［１－４］第一换元积分法
∫ｃｏｓ（３ｘ＋４）ｄｘ＝１３∫ｃｏｓ（３ｘ＋４）ｄ（３ｘ＋４）
注：关键在于变不定积分为∫ｆ（φ（ｘ））φ′（ｘ）ｄｘ，做代换ｕ＝φ（ｘ），而∫ｆ（ｕ）ｄｕ可以积出来．
［１－５］第二换元积分法
∫槡ｘ１－３槡ｘｄｘ
分析：令ｘ＝ｔ６，原式变形为６∫ｔ
８
１－ｔ２
ｄｔ
注：做代换ｘ＝φ（ｔ），关键在于∫ｆ（φ（ｔ））φ′（ｔ）ｄｔ可以积出来．
４．分部积分法
若ｕ（ｘ）和ｖ（ｘ）都可导且∫ｕ′（ｘ）ｖ（ｘ）ｄｘ存在，则
∫ｕ（ｘ）ｖ′（ｘ）ｄｘ＝ｕ（ｘ）ｖ（ｘ）－∫ｕ′（ｘ）ｖ（ｘ）ｄｘ
或
∫ｕ（ｘ）ｄｖ（ｘ）＝ｕ（ｘ）ｖ（ｘ）－∫ｖ（ｘ）ｄｕ（ｘ）
—８２—
［１－６］∫ｘ２ｃｏｓｘｄｘ．
５．建立递推式或方程
［１－７］计算Ｉｎ ＝∫ｘｎｅｋｘｄｘ．
分析：
Ｉｎ ＝∫ｘｎｅｋｘｄｘ＝１ｋ∫ｘｎｄｅｋｘ ＝１ｋｘｎｅｋｘ－ｎｋ∫ｘｎ－１ｅｋｘｄｘ
Ｉｎ ＝
１
ｋｘ
ｎｅｋｘ－ｎｋＩｎ－１
［１－８］求不定积分∫ｅｘｓｉｎｘｄｘ．
６．有理函数的不定积分
Ｒ（ｘ）＝Ｐ（ｘ）Ｑ（ｘ）称作有理式，其中Ｐ（ｘ）和Ｑ（ｘ）为多项式．
第一步：分解有理式为∫ｄｘ
（ｘ－ａ）ｋ
和∫ Ｌｘ＋Ｍ
（ｘ２＋ｐｘ＋ｑ）ｋ
ｄｘ（ｐ２－４ｑ＜０）．
第二步：分别计算∫ｄｘ
（ｘ－ａ）ｋ
和∫ Ｌｘ＋Ｍ
（ｘ２＋ｐｘ＋ｑ）ｋ
ｄｘ（ｐ２－４ｑ＜０）
∫ｄｘ
（ｘ－ａ）ｋ
＝
ｌｎｘ－ａ＋Ｃ， ｋ＝１
１
（１－ｋ）（ｘ－ａ）ｋ－１
， ｋ＞{ １
∫ Ｌｘ＋Ｍ
（ｘ２＋ｐｘ＋ｑ）ｋ
ｄｘ＝∫Ｌｔ＋Ｎ（ｔ２＋ｒ２）ｋ
ｄｔ
＝Ｌ∫ ｔ
（ｔ２＋ｒ２）ｋ
ｄｔ＋Ｎ∫ １
（ｔ２＋ｒ２）ｋ
ｄｔ
对∫ ｔ
（ｔ２＋ｒ２）ｋ
ｄｔ而言：
当ｋ＝１时，∫ｔ
ｔ２＋ｒ２
ｄｔ＝１２ｌｎ（ｔ
２＋ｒ２）＋Ｃ
当ｋ＞１时，∫ ｔ
（ｔ２＋ｒ２）ｋ
ｄｔ＝ １
２（１－ｋ）（ｔ２＋ｒ２）ｋ－１
＋Ｃ
对∫ １
（ｔ２＋ｒ２）ｋ
ｄｔ而言：
当ｋ＝１时，∫１
ｔ２＋ｒ２
［ｄ］ｔ＝１ｒａｒｃｔａｎ
ｔ
ｒ＋Ｃ
当ｋ＞１时，Ｉｋ ＝∫ １
（ｔ２＋ｒ２）ｋ
ｄｔ＝１
ｒ２∫
（ｔ２＋ｒ２）－ｔ２
（ｔ２＋ｒ２）ｋ
ｄｔ
＝１
ｒ２
Ｉｋ－１－
１
ｒ２∫
ｔ２
（ｔ２＋ｒ２）ｋ
ｄｔ
＝１
ｒ２
Ｉｋ－１－
１
２ｒ２（ｋ－１）∫ｔｄ １
（ｔ２＋ｒ２）ｋ－( )１
—９２—
华东师范大学数学系《数学分析》考点精讲及复习思路
７．三角函数有理式的不定积分∫Ｒ（ｓｉｎｘ，ｃｏｓｘ）ｄｘ
由ｕ（ｘ）和ｖ（ｘ）及常数经过有限次四则运算所得到的函数称为关于ｕ（ｘ）和ｖ（ｘ）的有理式，记
作Ｒ（ｕ（ｘ），ｖ（ｘ））．
Ｒ（ｓｉｎｘ，ｃｏｓｘ）称作三角函数的有理式．
令ｔ＝ｔａｎｘ２，则
ｓｉｎｘ＝ ２ｔ
１＋ｔ２
　　ｃｏｓｘ＝１－ｔ
２
１＋ｔ２
　　ｄｘ＝ ２
１＋ｔ２
ｄｔ
经过如此变换，三角函数的有理式就变为关于ｔ的有理式．这只是一般的方法，有时要灵活应用．
［１－９］求不定积分∫ｄｘ
２＋ｓｉｎ２ｘ
．
８．某些无理式的不定积分
ａ）∫Ｒ（ｘ，
ｎａｘ＋ｂ
ｃｘ＋槡 ｄ）ｄｘ型不定积分（ａｄ－ｂｃ≠０）
做代换ｔ＝
ｎａｘ＋ｂ
ｃｘ＋槡 ｄ，则ｘ＝
ｄｔｎ－ｂ
ｃｔｎ－ａ
，ｄｘ＝（ｂｃ－ａｄ）ｔ
ｎ－１
（ｃｔｎ－ａ）２
ｄｔ．这样关于ｘ的无理式积分就变为关
于ｔ的有理式积分．
ｂ）∫Ｒ（ｘ， ａｘ２槡 ＋ｂｘ＋ｃ）ｄｘ型不定积分
（ａ＞０时，ｂ２－４ａｃ≠０；ａ＜０时，ｂ２－４ａｃ＞０）
分析：
ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝ａ（ｘ＋ｂ２ａ）
２
＋４ａｃ－ｂ
２
４ａ[ ]２
若记ｕ＝ｘ＋ｂ２ａ，ｋ
２ ＝ ４ａｃ－ｂ２
４ａ２
则此二次三项式必属于以下三种情形之一：
ａ（ｕ２＋ｋ２）， ａ（ｕ２－ｋ２）， ａ（ｋ２－ｕ２）
因此上述无理式的不定积分也就转换为以下三种类型之一：
∫Ｒ（ｕ， ｕ２＋ｋ槡
２）ｄｕ，∫Ｒ（ｕ， ｕ２－ｋ槡
２）ｄｕ，∫Ｒ（ｕ， ｋ２－ｕ槡
２）ｄｕ
分别做以下代换，则可以将它们化成三角函数的有理式的不定积分
（ⅰ）ｕ＝ｋｔａｎｔ，则 ｕ２＋ｋ槡
２ ＝ｋｓｅｃｔ，ｄｕ＝ｓｅｃ２ｔｄｔ；
（ⅱ）ｕ＝ｋｓｅｃｔ，则 ｕ２－ｋ槡
２ ＝ｋｔａｎｔ，ｄｕ＝ｋｔａｎｔｓｅｃｔ；
（ⅲ）ｕ＝ｋｓｉｎｔ，则 ｋ２－ｕ槡
２ ＝ｋｃｏｓｔ，ｄｕ＝ｋｃｏｓｔ．
注：欧拉公式
若ａ＞０，则可令
ａｘ２槡 槡＋ｂｘ＋ｃ＝ ａｘ＋ｔ
—０３—
或 ａｘ２槡 槡＋ｂｘ＋ｃ＝ ａｘ－ｔ
若ａ＞０，ｃ＞０，则还可以令
ａｘ２槡 槡＋ｂｘ＋ｃ＝ｘｔ＋ ｃ
或 ａｘ２槡 槡＋ｂｘ＋ｃ＝ｘｔ－ ｃ
此时ｘ是ｔ的有理式，ｄｘ也是ｔ的有理式．这样不定积分就转换为关于ｔ的有理式不定积分．
［１－１０］求不定积分∫ ｄｘ
ｘ＋ ｘ２－ｘ＋槡 １
四、名校经典试题回顾
［１－１１］（北京大学）
试求不定积分∫（ｃｏｓ４ｘ－ｓｉｎ４ｘ）ｄｘ与∫（ｃｏｓ４ｘ＋ｓｉｎ４ｘ）ｄｘ，进而求不定积分∫ｃｏｓ４ｘｄｘ与∫ｓｉｎ４ｘｄｘ．
［１－１２］（华东师大）
试求不定积分∫ｃｏｓｘｓｉｎ
３ｘ
１＋ｃｏｓ２ｘ
ｄｘ．
［１－１３］（上海交通大学）
试求不定积分∫ｘ＋ｓｉｎｘ１＋ｃｏｓｘｄｘ．
五、本章小结
本章我们给出了不定积分的概念，介绍了八种求不定积分的方法．
１．根据积分表；
２．根据公式；
３．换元积分法（第一换元积分法，第二换元积分法）；
４．分部积分法；
５．建立递推式或方程；
６．有理函数的不定积分；
７．三角函数有理式的不定积分；
８．某些无理式的不定积分．
求不定积分尽管是求可导的逆运算，但是难度却大得多，同学们在掌握好基本方法的同时，还应
具体问题具体分析，采取灵活的方法．
第２章　定积分
一、本章考情分析
本章是考研的热点．题型有选择，填空，计算和证明．内容除过积分论的自身问题外，还牵扯到与
极限论，微分论的联系．考试的内容可以归结为证明积分等式或不等式，求极限等．
二、本章基本内容
１．定积分的定义和几何意义；
—１３—
华东师范大学数学系《数学分析》考点精讲及复习思路
２．定积分的基本性质；
３．变限积分；
４．牛顿—莱布尼兹公式；
５．积分第一中值定理和第二中值定理．
三、本章要点精讲
要点１：定积分的定义和几何意义
ａ．闭区间的分割
在闭区间［ａ，ｂ］中插入ｎ－１个点，ａ＝ｘ０＜ｘ１＜ｘ２＜···＜ｘｎ＝ｂ，这些点将［ａ，ｂ］分成ｎ个
闭区间Δｉ＝［ｘｉ－１，ｘｉ］，ｉ＝１，２，…，ｎ．这些点或闭区间构成对［ａ，ｂ］的一个分割，记作Ｔ＝｛ｘ０，ｘ１，
…，ｘｎ｝．
记Δｉ＝ｘｉ－ｘｉ－１，并记‖Ｔ‖ ＝ｍａｘ
１
"
ｉ
"
ｎ
｛Δｉ｝，‖Ｔ‖称作分割Ｔ的模．
ｂ．黎曼和
设ｆ是闭区间［ａ，ｂ］上的一个函数．对［ａ，ｂ］进行一个分割Ｔ＝｛ｘ０，ｘ１，…，ｘｎ｝，任意取点ξｉ∈
Δｉ，和式∑
ｎ
ｉ＝１
ｆ（ξｉ）Δｉ称作ｆ
在闭区间［ａ，ｂ］上的一个黎曼和．
ｃ．定积分的定义
设ｆ是定义在闭区间［ａ，ｂ］上的一个函数，Ｊ是一个确定的实数．若对任意的ε＞０，总存在一个
正数δ＞０，使得对任意的分割 Ｔ＝｛ｘ０，ｘ１，…，ｘｎ｝，任意的取点 ξｉ∈ Δｉ，只要 ‖Ｔ‖ ＜δ，总有
∑
ｎ
ｉ＝１
ｆ（ξｉ）Δｉ－Ｊ＜ε，则称ｆ在闭区间［ａ，ｂ］上（黎曼）可积，数Ｊ称作ｆ在闭区间［ａ，ｂ］上的定积分
或黎曼积分，记作Ｊ＝∫
ｂ
ａ
ｆ（ｘ）ｄｘ．
［ａ，ｂ］称作积分区间，ａ和ｂ分别称作定积分的下限和上限．
ｄ．定积分的几何意义：面积的概念
要点２：定积分的基本性质
ａ．若ｆ在［ａ，ｂ］上可积，ｋ为常数，则ｋｆ在［ａ，ｂ］上也可积，且∫
ｂ
ａ
ｋｆ（ｘ）ｄｘ＝ｋ∫
ｂ
ａ
ｆ（ｘ）ｄｘ．
ｂ．若ｆ和ｇ在［ａ，ｂ］上可积，则ｆ＋ｇ和ｆ－ｇ在［ａ，ｂ］上也可积，且
∫
ｂ
ａ
（ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ））ｄｘ＝∫
ｂ
ａ
ｆ（ｘ）ｄｘ＋∫
ｂ
ａ
ｇ（ｘ）ｄｘ
∫
ｂ
ａ
（ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ））ｄｘ＝∫
ｂ
ａ
ｆ（ｘ）ｄｘ－∫
ｂ
ａ
ｇ（ｘ）ｄｘ
ｃ．若ｆ和ｇ在［ａ，ｂ］上可积，则ｆ·ｇ在［ａ，ｂ］上也可积．
ｄ．ｆ在［ａ，ｂ］上可积当且仅当对任意的ｃ∈（ａ，ｂ），ｆ在［ａ，ｃ］和［ｃ，ｂ］上可积，且下列等式成立
∫
ｂ
ａ
ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫
ｃ
ａ
ｆ（ｘ）ｄｘ＋∫
ｂ
ｃ
ｆ（ｘ）ｄｘ
ｅ．若ｆ在［ａ，ｂ］上可积且ｆ（ｘ）０，ｘ∈［ａ，ｂ］，则
—２３—
∫
ｂ
ａ
ｆ（ｘ）ｄｘ０
推论：
若ｆ和ｇ在［ａ，ｂ］上可积且ｆ（ｘ）
"
ｇ（ｘ），ｘ∈［ａ，ｂ］，则
∫
ｂ
ａ
ｆ（ｘ）ｄｘ
"∫
ｂ
ａ
ｇ（ｘ）ｄｘ
ｆ．若ｆ在［ａ，ｂ］上可积，则 ｆ在［ａ，ｂ］上也可积，且
∫
ｂ
ａ
ｆ（ｘ）ｄｘ"∫
ｂ
ａ
ｆ（ｘ）ｄｘ
ｇ．定积分的换元积分法和分部积分法
定积分的换元积分法：若函数ｆ在［ａ，ｂ］上连续，φ′在［α，β］上可积，且满足φ（α）＝ａ，φ（β）
＝ｂ，φ（α，β）［ａ，ｂ］，则
∫
ｂ
ａ
ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫
β
α
ｆ（φ（ｔ））φ′（ｔ）ｄｔ
注：可以用牛顿—莱布尼兹公式，但需要做变量还原．
定积分的分部积分法：若ｕ和ｖ为［ａ，ｂ］上的可微函数，且ｕ′和ｖ′在［ａ，ｂ］上可积，则
∫
ｂ
ａ
ｕ（ｘ）ｖ′（ｘ）ｄｘ＝ｕ（ｘ）ｖ（ｘ）ｂ
ａ－∫
ｂ
ａ
ｕ′（ｘ）ｖ（ｘ）ｄｘ
或方便起见，记为
∫
ｂ
ａ
ｕ（ｘ）ｄｖ（ｘ）＝ｕ（ｘ）ｖ（ｘ）ｂ
ａ－∫
ｂ
ａ
ｖ（ｘ）ｄｕ（ｘ）
［２－１］（书上的习题）设 ｆ为 ［０，２π］上的单调下降函数，证明：对任意的正整数 ｎ恒有
∫
２π
０
ｆ（ｘ）ｓｉｎｎｘｄｘ０．
要点３：变限积分
若ｆ在［ａ，ｂ］上可积，称
Φ（ｘ）＝∫
ｘ
ａ
ｆ（ｔ）ｄｔ，ｘ∈［ａ，ｂ］
和
Ψ（ｘ）＝∫
ｂ
ｘ
ｆ（ｔ）ｄｔ，ｘ∈［ａ，ｂ］
分别为变上限的定积分和变下限的定积分．
由于∫
ｘ
ａ
ｆ（ｔ）ｄｔ＝－∫
ａ
ｘ
ｆ（ｔ）ｄｔ，因此我们只需要研究变上限的定积分．
变上限定积分的连续性：变上限定积分
Φ ＝∫
ｘ
ａ
ｆ（ｔ）ｄｔ，ｘ∈［ａ，ｂ］
在［ａ，ｂ］上连续．
原函数存在定理：若ｆ在［ａ，ｂ］上连续，则变上限定积分
Φ ＝∫
ｘ
ａ
ｆ（ｔ）ｄｔ，ｘ∈［ａ，ｂ］
—３３—
华东师范大学数学系《数学分析》考点精讲及复习思路
在［ａ，ｂ］上可导，且Φ′（ｘ）＝ｆ（ｘ），ｘ∈［ａ，ｂ］．
注：此定理是微分学和积分学的桥梁，因此被誉为微积分学的基本定理．
［２－２］（书上的习题）设ｆ为连续函数，ｕ和ｖ均为可导函数，且可实行复合ｆ°ｕ和ｆ°ｖ．证明：
ｄ
ｄｘ∫
ｖ（ｘ）
ｕ（ｘ）
ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（ｖ（ｘ））ｖ′（ｘ）－ｆ（ｕ（ｘ））ｕ′（ｘ）
分析：首先证明
ｄ
ｄｘ∫
ｖ（ｘ）
ａ
ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（ｖ（ｘ））ｖ′（ｘ）
ｄ
ｄｘ∫
ｂ
ｕ（ｘ）
ｆ（ｔ）ｄｔ＝－ｆ（ｕ（ｘ））ｕ′（ｘ）
要点４．牛顿—莱布尼兹定理
牛顿—莱布尼兹定理：若ｆ在［ａ，ｂ］上连续，Ｆ是ｆ的一个原函数，则∫
ｂ
ａ
ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｂ）－Ｆ（ａ）．
［２－３］利用定积分求极限ｌｉｍ
ｎ→!
１
ｎ４
（１＋２３＋３３＋… ＋ｎ３）（求极限的第十种方法，本论中第一种）．
分析：因为∫
１
０
ｘ３ｄｘ存在，故可以任意分割，任意取点．
∫
１
０
ｘ３ｄｘ＝ｌｉｍ
ｎ→!
１
ｎ４
（１＋２３＋３３＋… ＋ｎ３）
５．积分中值定理
积分第一中值定理：若 ｆ在 ［ａ，ｂ］上连续，则至少存在一个点 ξ∈ （ａ，ｂ），使得∫
ｂ
ａ
ｆ（ｘ）ｄｘ＝
ｆ（ξ）（ｂ－ａ）．
推广的积分第一中值定理：若ｆ和ｇ在［ａ，ｂ］上连续，且ｇ（ｘ）
在［ａ，ｂ］上不变号，则至少存在一个点ξ∈（ａ，ｂ），使得∫
ｂ
ａ
ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）∫
ｂ
ａ
ｇ（ｘ）ｄｘ．
［２－４］（湖北大学，书上的习题）证明：若ｆ在［ａ，ｂ］上连续，且∫
ｂ
ａ
ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫
ｂ
ａ
ｘｆ（ｘ）ｄｘ＝０，则在
（ａ，ｂ）上至少存在两个点ｘ１，ｘ２，使得ｆ（ｘ１）＝ｆ（ｘ２）＝０．
积分第二中值定理：设函数ｆ在［ａ，ｂ］上可积．
（ⅰ）若函数ｇ在 ［ａ，ｂ］上单调下降，且 ｇ（ｘ）０，则存在 ξ∈ ［ａ，ｂ］，使得∫
ｂ
ａ
ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝
ｇ（ａ）∫
ξ
ａ
ｆ（ｘ）ｄｘ．
（ⅱ）若函数 ｇ在 ［ａ，ｂ］上单调上升，且 ｇ（ｘ）０，则存在 η∈ ［ａ，ｂ］，使得∫
ｂ
ａ
ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝
ｇ（ｂ）∫
ｂ
η
ｆ（ｘ）ｄｘ．
（ⅲ）若函数ｇ在［ａ，ｂ］上单调，则存在θ∈［ａ，ｂ］，使得∫
ｂ
ａ
ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｇ（ａ）∫
θ
ａ
ｆ（ｘ）ｄｘ＋ｇ（ｂ）
∫
ｂ
θ
ｆ（ｘ）ｄｘ
—４３—
［２－５］（清华大学）设 ｆ（ｘ）的一阶导数在 ［０，１］上连续，且 ｆ（０） ＝ｆ（１） ＝０．求证：
∫
１
０
ｆ（ｘ）ｄｘ"
１
４ｍａｘ０
"
ｘ
"
１
ｆ′（ｘ） ．
四、名校经典试题回顾
［２－６］（书上的习题，大连理工学院）
证明：若ｆ在［ａ，ｂ］上连续且恒大于零，则
ｌｎ １
ｂ－ａ∫
ｂ
ａ
ｆ（ｘ）ｄ( )ｘ １
ｂ－ａ∫
ｂ
ａ
ｌｎｆ（ｘ）ｄｘ．
［２－７］（西北大学）
求证ｆ（ｘ）＝∫
１
０
（ｔ－ｔ２）（ｓｉｎｔ）２ｎｄｔ（ｎ为正整数）在ｘ０上的最大值不超过 １
（２ｎ＋２）（２ｎ＋３）．
［２－８］（上海交通大学）
若函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，则
２∫
ｂ
ａ
ｆ（ｘ）［∫
ｂ
ｘ
ｆ（ｔ）ｄｔ］ｄｘ＝［∫
ｂ
ａ
ｆ（ｘ）ｄｘ］
２
．
五、本章小结
本章我们给出了定积分的定义，复习了一些最基本，也是在考研中经常要用到的定理，特别是牛
顿—莱布尼兹公式，定积分的中值定理．总结了求极限的第十种方法：利用定积分求极限．
关系图：极限，不定积分，定积分．
第３章　可积性理论
一、本章考情分析
可积性理论是定积分的重要部分．这部分的考题以证明题见多．尽管这部分不是高频考点，但是
要想考入国内知名大学，这部分无论如何是不能忽略的．
二、本章基本内容
１．可积的必要条件；
２．达布上和和达布下和；
３．可积的第一充要条件；
４．可积的第二充要条件；
５．可积的第三充要条件；
６．可积函数类．
三、本章要点精讲
要点１：可积的必要条件
可积的必要条件：
若函数ｆ在［ａ，ｂ］上可积，则ｆ在［ａ，ｂ］上有界．
—５３—
华东师范大学数学系《数学分析》考点精讲及复习思路
要点２：达布上和和达布下和
设ｆ在［ａ，ｂ］上有定义且有界．
给［ａ，ｂ］一个分割Ｔ＝｛Δｉ：ｉ＝１，２，…，ｎ｝．
记Ｍｉ＝ｓｕｐｘ∈Δｉ
ｆ（ｘ）， ｍｉ＝ｉｎｆｘ∈Δｉ
ｆ（ｘ）．
Ｓ（Ｔ）＝∑
ｎ
ｉ＝１
ＭｉΔｘｉ，ｓ（Ｔ）＝∑
ｎ
ｉ＝１
ｍｉΔｘｉ分别被称为（达布）上和和（达布）下和．
ωｉ＝Ｍｉ－ｍｉ被称为Δｉ上的振幅．
达布上和和达布下和的基本性质
ａ．对任意的分割Ｔ＝ Δｉ：ｉ＝１，２，···，{ }ｎ，任意的取点ξｉ∈Δｉ，有
ｓ（Ｔ）
"∑
ｎ
ｉ＝１
ｆ（ξｉ）Δｘｉ"Ｓ（Ｔ）
ｂ．对同一分割Ｔ＝ Δｉ：ｉ＝１，２，…，{ }ｎ，任意的取点ξｉ∈Δｉ，有
Ｓ（Ｔ）＝ｓｕｐ
ξｉ∈Δｉ
∑
ｎ
ｉ＝１
ｆ（ξｉ）Δｘｉ；ｓ（Ｔ）＝ｉｎｆ
ξｉ∈Δｉ
∑
ｎ
ｉ＝１
ｆ（ξｉ）Δｘｉ
ｃ．对任意的两个分割Ｔ′和Ｔ″，有
ｓ（Ｔ′）
"
Ｓ（Ｔ″）
如此，我们可以分别定义上积分和下积分如下，
Ｓ＝ｉｎｆ
Ｔ
Ｓ（Ｔ）；ｓ＝ｓｕｐ
Ｔ
ｓ（Ｔ）
达布定理：
Ｓ＝ ｌｉｍ
‖Ｔ‖→０
Ｓ（Ｔ）；ｓ＝ ｌｉｍ
‖Ｔ‖→０
ｓ（Ｔ）
要点３：可积的第一充要条件：
函数ｆ在［ａ，ｂ］上可积的充要条件是上下积分相等，即Ｓ＝ｓ
［３－１］（书上的习题）设ｆ和ｇ是［ａ，ｂ］上的有界函数，仅在有限个点处ｆ（ｘ）≠ｇ（ｘ）．证明：若ｆ
在［ａ，ｂ］上可积，则ｇ也在［ａ，ｂ］上可积．
分析：不妨设ｐ∈［ａ，ｂ］是唯一的使ｆ（ｘ）≠ｇ（ｘ）的点，
只需证明Ｓｆ＝Ｓｇ，ｓｆ＝ｓｇ即可．
要点４：可积的第二充要条件：
函数ｆ在［ａ，ｂ］上可积的充要条件是：对任意的ε＞０，都存在一个分割Ｔ，使得
Ｓ（Ｔ）－ｓ（Ｔ）＜ε，即∑
ｎ
ｉ＝１
ωｉΔｘｉ＜ε
［３－２］（书上的习题）设函数ｆ在［ａ，ｂ］上有定义，且对任意的ε＞０，存在［ａ，ｂ］上的可积函数
ｇ，使得
ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ） ＜ε，ｘ∈［ａ，ｂ］
证明：ｆ在［ａ，ｂ］上可积．
要点５．可积的第三充要条件：
函数ｆ在［ａ，ｂ］上可积的充要条件是：对任意的ε＞０，η＞０，都存在一个分割Ｔ，使得
—６３—
∑
ωｉ′ε
Δｘｉ′＜η
要点６．可积函数类：
ａ．连续函数；
ｂ．只有有限个间断点的有界函数；
ｃ．单调函数．
四、名校经典试题回顾
［３－３］（华东师大，２００９）
设ｆ（ｘ）是闭区间［ａ，ｂ］上不恒为零的连续函数，Ｄ（ｘ）为 Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ函数，则 ｆ（ｘ）Ｄ（ｘ）在 ［ａ，ｂ］
上不可积．
［３－４］（华中师大，２００４）
设ｆ（ｘ）是闭区间［ａ，ｂ］上的可积函数．证明：ｅｆ（ｘ）在 ［ａ，ｂ］上也可积．
［３－５］（复旦大学，２００３）
１．设ｆ在［０，１］上有界，则绝对可积一定可积．
２．设ｆ在［０，１］上有界且有无穷个不连续点，则ｆ在［０，１］上不可积．
五、本章小结
我们以达布上和和达布下和为工具，给出了三个可积的充分必要条件．通过这三个充分必要条
件，我们知道以下的函数类是可积的：连续函数，单调函数，间断点有有限个的有界函数．
第４章　定积分的应用
一、本章考情分析
这部分内容比较简单，不是高频考点，国内水平中下等的学校经常出这方面的考题．考题以填空
或计算题的形式出现．
二、本章基本内容
１．平面图形的面积；
２．由平行截面面积求体积；
３．平面曲线的弧长；
４．旋转曲面的面积．
充分体会在定积分应用中，“分割，近似求和，求极限”的思想．
三、本章要点精讲
要点１：平面图形的面积
ａ．直角坐标系：
曲线ｙ＝ｆ（ｘ），ｘ轴，直线ｘ＝ａ和ｘ＝ｂ所围成的图形面积
Ａ＝∫
ｂ
ａ
ｆ（ｘ）ｄｘ
—７３—
华东师范大学数学系《数学分析》考点精讲及复习思路
曲线ｙ＝ｆ（ｘ）和ｙ＝ｇ（ｘ），直线ｘ＝ａ和ｘ＝ｂ所围成的图形面积Ａ＝∫
ｂ
ａ
ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）ｄｘ
ｂ．曲线Ｃ由参数方程ｘ＝ｘ（ｔ），ｙ＝ｙ（ｔ），ｔ∈［α，β］给出
当ｙ＝ｙ（ｔ）连续，ｘ＝ｘ（ｔ）连续可微且ｘ′（ｔ）≠０，
则曲线Ｃ和ｘ＝ａ＝ｘ（α），ｘ＝ｂ＝ｘ（β）及ｘ轴所围成的图形面积
Ａ＝∫
β
α
ｙ（ｔ）ｘ′（ｔ）ｄｔ
当Ｃ为封闭曲线且在（α，β）上不相交时，Ｃ所围成的图形面积为
Ａ＝ ∫
β
α
ｙ（ｔ）ｘ′（ｔ）ｄｔ
ｃ．当曲线Ｃ由极坐标方程ｒ＝ｒ（θ），θ∈［α，β］给出，其中ｒ（θ）连续且β－α"２π．则Ｃ和两条
射线θ＝α，θ＝β所围成的曲边扇形的面积为
Ａ＝１２∫
β
α
ｒ２（θ）ｄθ
要点２：由平行截面面积求体积
ａ．设Ω是闭区间 ［ａ，ｂ］上的立体，它的截面面积函数为 Ａ＝Ａ（ｘ），ｘ∈ ［ａ，ｂ］．如果 Ｖ＝
∫
ｂ
ａ
Ａ（ｘ）ｄｘ存在，则称Ｖ为Ω的体积．
ｂ．旋转体的体积．
设ｙ＝ｆ（ｘ），ｘ∈［ａ，ｂ］是连续函数，Ω是由平面图形
０
"
ｙ
" ｆ（ｘ） ，ｘ∈［ａ，ｂ］
绕ｘ轴旋转的体积．则Ω的体积为
Ｖ＝π∫
ｂ
ａ
［ｆ（ｘ）］２ｄｘ
要点３：平面曲线的弧长
ａ．设曲线Ｃ是一条没有自交点的非闭的平面曲线，由参数方程ｘ＝ｘ（ｔ），ｙ＝ｙ（ｔ），ｔ∈［α，β］
给出．
若ｘ（ｔ）和ｙ（ｔ）在［α，β］上连续可微，则Ｃ是可求长的，且弧长为
ｓ＝∫
β
α
［ｘ′（ｔ）］２＋［ｙ′（ｔ）］槡
２ｄｔ
ｂ．直角坐标下的弧长公式：设Ｃ的方程由光滑函数ｙ＝ｆ（ｘ）给出．则弧长公式为
ｓ＝∫
ｂ
ａ
１＋［ｆ′（ｘ）］槡
２ｄｘ
ｃ．设曲线Ｃ的极坐标方程为ｒ＝ｒ（θ），θ∈［α，β］
则弧长公式为
Ｓ＝∫
β
α
［ｒ（θ）］２＋［ｒ′（θ）］槡
２ｄθ
要点４：旋转曲面的面积
ａ．设平面光滑曲线Ｃ的方程为ｙ＝ｆ（ｘ）０，ｘ∈［ａ，ｂ］．
—８３—
则Ｃ绕ｘ轴旋转一周得到的旋转曲面的面积为
Ｓ＝２π∫
ｂ
ａ
ｆ（ｘ） １＋［ｆ′（ｘ）］槡
２ｄｘ
ｂ．如果光滑曲线Ｃ的参数方程为ｘ＝ｘ（ｔ），ｙ＝ｙ（ｔ），ｔ∈［α，β］
则旋转曲面的面积为
Ｓ＝２π∫
β
α
ｙ（ｔ） ［ｘ′（ｔ）］２＋［ｙ′（ｔ）］槡
２ｄｔ
四、名校经典试题回顾
［４－１］（湖南农业大学，２００９年，２０分）
过坐标原点作曲线ｙ＝ｌｎｘ的切线，该切线与曲线ｙ＝ｌｎｘ及ｘ轴所围成的平面图形为Ｄ．
（１）求Ｄ的面积Ａ；
（２）求Ｄ绕直线ｘ＝ｅ旋转一圈所得到的旋转体的体积．
［４－２］（燕山大学，２０１０年，１２分）
求摆线
ｘ＝ｔ－ｓｉｎｔ
ｙ＝１－ｃｏｓ{ ｔ
ｔ∈［０，２π］与ｘ轴所围图形的面积．
五、本章小结
这章本着“分割，近似求和，取极限”的思想，阐述了面积，体积，长度的概念，给出了相应的公式．
第５章　反常积分
要点２：瑕积分
（注意：瑕积分的性质在形式上和无穷积分的几乎一模一样．瑕点类似于无穷远点．大家在复习的
时候可以做一个比较）
ａ．设函数ｆ在（ａ，ｂ］上有定义，在点的右侧ａ无界，但在任意内闭区间［ｕ，ｂ］（ａ，ｂ］上有界且
可积，如果存在极限 ｌｉｍ
ｕ→ａ＋∫
ｂ
ｕ
ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｊ，则称此极限为无界函数ｆ在（ａ，ｂ］上的反常积分或瑕积分，记
作Ｊ＝∫
ｂ
ａ
ｆ（ｘ）ｄｘ．
并称瑕积分∫
ｂ
ａ
ｆ（ｘ）ｄｘ是收敛的，否则称为发散．
同理，可以定义瑕点为ｂ的瑕积分，瑕点为ｃ∈（ａ，ｂ）的瑕积分．
【５－５】（书上的习题）讨论瑕积分∫
ｂ
ａ
１
（ｘ－ａ）ｐ
ｄｘ的收敛性．
这道题非常重要，正如无穷积分中的∫
＋
!
ａ
１
ｘｐ
ｄｘ．
ｂ．瑕积分的基本性质
（１）柯西收敛判断准则；
—９３—
华东师范大学数学系《数学分析》考点精讲及复习思路
（２）线性性质；
（３）区间和公式；
（４）绝对收敛和条件收敛．
ｃ．非负函数瑕积分收敛的判断法
（１）比较判别法；
（２）比较判别法的极限形式；
（３）和 １
（ｘ－ａ）ｐ
的比较；
（４）和 １
（ｘ－ａ）ｐ
的比较的极限形式．
ｄ．一般瑕积分收敛的判别法
（１）狄利克雷判别法；
（２）阿贝尔判别法．
四、名校经典试题回顾
［５－６］（北京大学）讨论瑕积分∫
１
０
ｌｎｘ
１－ｘｄｘ的收敛性．
［５－７］（北京航空学院）证明∫
＋
!
０
ｄｘ
１＋ｘ４
＝∫
＋
!
０
ｘ２ｄｘ
１＋ｘ４
＝ π
槡２２
．
［５－８］（上海师范学院）设Ｆ（ｘ）＝ｅ
ｘ２
２∫
＋
!
ｘ
ｅ－
ｔ２
２ｄｔ，ｘ∈［０，＋!
）
试证：
１．ｌｉｍ
ｘ→＋!
Ｆ（ｘ）＝０；
２．Ｆ（ｘ）在［０，＋
!
）内单调递减．
五、本章小结
这章我们定义了反常积分：无穷积分和瑕积分，给出了它们的基本性质，讨论了收敛的判别法．这
节的本质是极限．只要记住反常积分的定义，充分利用极限的性质，就能掌握好这节的内容．
积分论的总结
积分论是数学分析的主要内容之一．不定积分和定积分从定义上来看没有任何关联：一个是求导
的逆运算（即不定积分），一个是分割，取点，作和，求极限（即定积分）．两者被牛顿—莱布尼兹定理有
机的结合起来．反常积分将定积分从被积函数有界（对应瑕积分），积分区间为有界的闭区间（对应无
穷积分）中解放出来．其本质是定积分形式下的极限．
本论证明题的特点是极限论，微分论和积分论的有机结合，计算题在掌握一般方法后还需要一定
的技巧．
重要概念之间的联络图．
—０４—
第四篇　级数论
第１章　数项级数
第２章　函数项级数
第３章　幂级数
第４章　傅里叶级数
级数论的总结
第１章　数项级数
一、本章考情分析
数项级数是实数加法的推广．其本质是数列极限问题．本章是考研的热点．题型为选择，填空，计
算和证明．考试主要内容是计算数项级数和及证明数项级数的敛散性．
二、本章基本内容
１．数项级数的定义及基本性质；
２．正项级数收敛判别法；
３．一般项级数收敛判别法；
４．绝对收敛级数的性质．
三、本章要点精讲
要点１：数项级数的定义及基本性质
１）数项级数的定义，部分和，敛散性．
【１－１】（书上的习题）证明级数
１
１·６＋
１
６·１１＋
１
１１·１６＋… ＋
１
（５ｎ－４）·（５ｎ＋１）＋…
收敛，并求其值．
２）运算性质
（ⅱ）加法和数乘运算；
（ⅱ）加减有限项不改变敛散性；
（ⅲ）加括号不影响级数的收敛性及级数和．
３）柯西收敛准则及收敛的必要条件；
４）绝对收敛和条件收敛．
—１４—
华东师范大学数学系《数学分析》考点精讲及复习思路
要点２：正项级数收敛判别法
（注意和非负函数的反常积分的收敛判别法在形式上作比较）
１）正项级数收敛的充分必要条件是部分和数列有界．
２）比较原理：设∑ｕｎ和∑ｖｎ是两个正项级数．如果存在某正整数Ｎ，对一切ｎ＞Ｎ都有ｕｎ"ｖｎ
，则
Ａ．若正项级数∑ｖｎ收敛，则正项级数∑ｕｎ收敛；
Ｂ．若正项级数∑ｕｎ发散，则正项级数∑ｖｎ发散．
比较原理的极限形式：设∑ｕｎ和∑ｖｎ是两个正项级数．
若ｌｉｍ
ｎ→!
ｕｎ
ｖｎ
＝ｌ，则
Ａ．当０＜ｌ＜＋
!
时，则∑ｕｎ和∑ｖｎ有相同的敛散性；
Ｂ．当ｌ＝０时，则∑ｖｎ收敛蕴含∑ｕｎ收敛；
Ｃ．当ｌ＝＋
!
时，则∑ｕｎ发散蕴含∑ｖｎ发散．
【１－２】（书上的习题）设ａｎ０，ｎ＝１，２，…，且数列｛ｎａｎ｝有界，证明∑ａｎ２收敛．
３）比式判别法：设∑ｕｎ为正项级数，且存在某正整数Ｎ及常数ｑ（０＜ｑ＜１）．
Ａ．若对一切ｎ＞Ｎ，成立不等式
ｕｎ＋１
ｕｎ
"
ｑ，则级数∑ｕｎ收敛；
Ｂ．若对一切ｎ＞Ｎ，成立不等式
ｕｎ＋１
ｕｎ
１，则级数∑ｕｎ发散．
比式判别法的极限形式：
设∑ｕｎ为正项级数，若ｌｉｍｎ→!
ｕｎ＋１
ｕｎ
＝ｑ．则
Ａ．ｑ＜１时，级数∑ｕｎ收敛；
Ｂ．ｑ＞１时，级数∑ｕｎ发散；
Ｃ．ｑ＝１时，方法失败．
４）根式判别法：设∑ｕｎ为正项级数，且存在某正整数Ｎ及常数ｑ（０＜ｑ＜１）
Ａ．若对一切ｎ＞Ｎ，成立不等式 ｎｕ槡 ｎ"ｑ，则级数∑ｕｎ收敛；
Ｂ．若对一切ｎ＞Ｎ，成立不等式 ｎｕ槡 ｎ１，则级数∑ｕｎ发散．
根式判别法的极限形式：
设∑ｕｎ为正项级数，若ｌｉｍｎ→!
ｎｕ槡 ｎ ＝ｑ．则
Ａ．ｑ＜１时，级数∑ｕｎ收敛；
—２４—
Ｂ．ｑ＞１时，级数∑ｕｎ发散；
Ｃ．ｑ＝１时，方法失败．
４）积分判别法：设 ｆ是 ［１，＋
!
）上的非负递减函数，那么正项级数∑ｆ（ｎ）和无穷积分
∫
＋
!
１
ｆ（ｘ）ｄｘ具有相同的敛散性．
【１－３】（书上的习题）证明∑ １
１＋ｎ２
收敛，∑ ｎ
１＋ｎ２
发散．
要点３：一般项级数收敛判别法
（１）柯西收敛判别法；
（２）莱布尼兹判别法：若正项级数∑ｕｎ单调递减且收敛于零，则交错级数∑ （－１）ｎ＋１ｕｎ收敛．
为了给出阿贝尔判别法和狄利克雷判别法；我们需要下边的一个公式和一个引理．
阿贝尔变换（分部求和公式）：设εｉ，ｖｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）为两组实数，σｋ ＝ｖ１＋… ＋ｖｋ（ｋ＝１，
２，…，ｎ），则
∑
ｋ
ｉ＝１
εｉｖｉ＝（ε１－ε２）σ１＋（ε２－ε３）σ２＋… ＋（εｋ－１－εｋ）σｋ－１＋εｋσｋ
阿贝尔引理：若
（ⅰ）ε１，…，εｎ是单调数组；
（ⅱ） σｋ "
Ａ（ｋ＝１，２，···，ｎ）则
∑
ｋ
ｉ＝１
εｉｖｉ ＜３εＡ
其中ε＝ｍａｘ
ｋ
｛εｋ｝．
【１－４】（书上的习题）证明：若级数∑ａｎ收敛，∑（ｂｎ＋１－ｂｎ）绝对收敛，则级数∑ａｎｂｎ也收敛．
（３）狄利克雷判别法：若数列｛ａｎ｝单调递减，且ｌｉｍｎ→!
ａｎ＝０，又级数∑ｂｎ的部分和数列有界，则级
数∑ａｎｂｎ收敛．
（４）阿贝尔判别法：若数列｛ａｎ｝单调递减且有界，级数∑ｂｎ收敛，则级数∑ａｎｂｎ收敛．
【１－５】注意到｛∑
ｎ
ｋ＝１
ｓｉｎｋｘ｝和｛∑
ｎ
ｋ＝１
ｃｏｓｋｘ｝为有界数列．故对任意单调递减收敛于零的数列｛ａｎ｝，
级数∑ａｎｓｉｎｎｘ和∑ａｎｃｏｓｎｘ收敛．
要点４：绝对收敛级数的性质
（１）绝对收敛和条件收敛的本质；
（２）级数重排定理；
（３）级数的乘积．
四、名校经典试题回顾
［１－６］（华中师大）设∑ａｎ收敛，ｌｉｍｎ→!
ｎａｎ ＝０．
—３４—
华东师范大学数学系《数学分析》考点精讲及复习思路
证明：∑ｎ（ａｎ－ａｎ＋１）＝∑ａｎ．
［１－７］（武汉大学）设∑ａｎ２收敛，证明：∑ ａｎ
槡ｎｌｎｎ
（ａｎ ＞０）也收敛．
［１－８］（北京大学）证明级数∑ （－１）ｎａｒｃｔａｎｎ
槡ｎ
收敛．
五、本章小结
本章我们给出了数项级数的一些基本概念，讨论了一些最基本的收敛判别法．数项级数的收敛问
题，实质上是特殊形式的数列收敛问题．反之，一个数列的收敛问题也可以看成级数的收敛问题．
抓住级数的定义，利用已学到的极限理论，是学好这的关键．
第２章　函数项级数
一、本章考情分析
这章是考研的高频考点．题型以证明题为主．考题内容为判断函数列或函数项级数是否一致收
敛，及一致收敛性在极限论，微分论，积分论和级数论中的应用．
可以这样讲，这章的一道考题就可以涉及到一元数学分析的四论．这章的学习是对整个一元数学
分析的融会贯通．同学们可以用这章的内容来检查对前边所学内容的掌握程度．
二、本章基本内容
１．函数列的一致收敛；
２．函数项级数的一致收敛；
３．一致收敛函数列的性质；
４．一致收敛函数项级数的性质．
注意：正如数项级数的收敛等价于一个数列的收敛，同样一个函数列的（一致）收敛对应一个函数
项级数的（一致）收敛．同学们在复习的时候应特别注意这种对应关系．
三、本章要点精讲
要点１：函数列的一致收敛
（１）函数列收敛及一致收敛的概念
【２－１】设ｆｎ（ｘ）＝ｘ
ｎ，ｎ＝１，２，…为定义在（－
!
，＋
!
）上的函数列．
ａ）证明它的收敛域是（－１，１］，且有极限函数ｆ（ｘ）＝
０， ｘ＜１
１， ｘ＝{ １
ｂ）｛ｆｎ｝在（－１，１）非一致连续；
ｃ）｛ｆｎ｝在（－１，１）内闭一致收敛．
（２）函数列一致收敛的判别法
ａ）柯西一致收敛判断准则
ｂ）函数列｛ｆｎ｝在区间Ｄ上一致收敛于ｆ的充分必要条件是
—４４—
ｌｉｍ
ｎ→!
ｓｕｐ
ｘ∈Ｄ
ｆｎ（ｘ）－ｆ（ｘ） ＝０
ｃ）函数列｛ｆｎ｝在区间Ｄ上非一致收敛于ｆ的充分必要条件是：存在Ｄ中的数列｛ｘｎ｝，使得数列
｛ｆｎ（ｘｎ）－ｆ（ｘｎ）｝不收敛于零．
要点２：函数项级数的一致收敛
（１）函数项级数的收敛及一致收敛的概念
【２－２】对定义在（－
!
，＋
!
）上的函数项级数（几何级数）
１＋ｘ＋ｘ２＋… ＋ｘｎ＋…
证明：
ａ）几何级数在（－１，１）内收敛于和函数Ｓ（ｘ）＝ １
１－ｘ；
当 ｘ１时，几何级数是发散的．
ｂ）几何级数在收敛域Ｄ＝（－１，１）上不一致收敛．
ｃ）几何级数在收敛域Ｄ＝（－１，１）上内闭一致收敛．
（２）函数项级数一致收敛判别法
ａ）柯西一致收敛判断准则
推论：函数项级数∑ｕｎ（ｘ）在 Ｄ上一致收敛的必要条件是函数列 ｛ｕｎ（ｘ）｝在 Ｄ上一致收敛
于零．
ｂ）函数项级数∑ｕｎ（ｘ）在Ｄ上一致收敛于Ｓ（ｘ）的充分必要条件是
ｌｉｍ
ｎ→!
ｓｕｐ
ｘ∈Ｄ
Ｓｎ（ｘ）－Ｓ（ｘ） ＝０
ｃ）魏尔斯特拉斯判别法
ｄ）阿贝尔判别法：设
（１）∑ｕｎ（ｘ）在区间Ｉ上一致收敛；
（２）对于每个ｘ∈Ｉ，｛ｖｎ（ｘ）｝是单调的；
（３）｛ｖｎ（ｘ）｝在Ｉ上一致有界．
则级数∑ｕｎ（ｘ）ｖｎ（ｘ）在Ｉ上一致收敛．
ｅ）狄利克雷判别法：设
（１）∑ｕｎ（ｘ）的部分和函数列在区间Ｉ上一致有界；
（２）对于每个ｘ∈Ｉ，｛ｖｎ（ｘ）｝是单调的；
（３）在Ｉ上ｖｎ（ｘ）０（ｎ→ !
）．
则级数∑ｕｎ（ｘ）ｖｎ（ｘ）在Ｉ上一致收敛．
阿贝尔判别法和狄利克雷判别法成立的原因：
在两个判别法的条件中，都有条件：对于每个ｘ∈Ｉ，｛ｖｎ（ｘ）｝是单调的．故阿贝尔引理成立，即
∑
Ｎ＋ｐ
ｉ＝Ｎ＋１
ｕｉ（ｘ）ｖｉ（ｘ）"
３ＡＢ
—５４—
华东师范大学数学系《数学分析》考点精讲及复习思路
其中
ｖｉ（ｘ）"
Ａ（ｉ＝Ｎ＋１，…，Ｎ＋ｐ；ｘ∈Ｉ）
∑
Ｎ＋ｉ
ｊ＝Ｎ＋１
ｕｊ（ｘ）"
Ｂ（ｉ＝１，…，ｐ；ｘ∈Ｉ）
要点３：一致收敛函数列的性质
（１）关于极限的定理：设函数列｛ｆｎ｝在（ａ，ｘ０）∪（ｘ０，ｂ）上一致收敛于ｆ，且对每个ｎ，ｌｉｍｘ→ｘ０
ｆｎ（ｘ）
＝ａｎ，则ｌｉｍｎ→!
ａｎ和ｌｉｍｘ→ｘ０
ｆ（ｘ）均存在且相等．从运算的角度来看，就是两种运算可以交换顺序，即
ｌｉｍ
ｘ→ｘ０
ｌｉｍ
ｎ→!
ｆｎ（ｘ）＝ｌｉｍｎ→!
ｌｉｍ
ｘ→ｘ０
ｆｎ（ｘ）
（２）关于连续性的定理：若连续函数列｛ｆｎ｝在区间Ｉ上一致收敛于ｆ，则ｆ是Ｉ上的连续函数．
推论：若连续函数列｛ｆｎ｝在区间Ｉ上内闭一致收敛于ｆ，则ｆ是Ｉ上的连续函数．
（３）关于积分的定理：若连续函数列｛ｆｎ｝在区间［ａ，ｂ］上一致收敛，则
∫
ｂ
ａ
ｌｉｍ
ｎ→!
ｆｎ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍｎ→!
∫
ｂ
ａ
ｆｎ（ｘ）ｄｘ
（４）关于可微性的定理：设｛ｆｎ｝是［ａ，ｂ］上的具有连续导函数的函数列．若｛ｆｎ′｝在［ａ，ｂ］上一
致收敛，且存在ｘ０∈［ａ，ｂ］使得｛ｆｎ（ｘ０）｝收敛，则
ｄ
ｄｘ（ｌｉｍｎ→!
ｆｎ（ｘ））＝ｌｉｍｎ→!
ｄ
ｄｘｆｎ（ｘ）
推论：上述定理中，“［ａ，ｂ］上一致收敛”可以减弱为“在区间Ｉ上内闭一致收敛”．
【２－３】（书上的习题）在上述定理中ｆｎｆ（ｎ→ !
）．
要点４：一致收敛函数项级数的性质
（１）关于连续性的定理：若函数项级数∑ｕｎ（ｘ）在［ａ，ｂ］上一致收敛，且每一项都连续，则其和
函数也在［ａ，ｂ］上连续，即ｌｉｍ
ｘ→ｘ０
∑ｕｎ（ｘ）＝∑ ｌｉｍ
ｘ→ｘ０
ｕｎ（ｘ）．
（２）逐项求积定理：若函数项级数∑ｕｎ（ｘ）在［ａ，ｂ］上一致收敛，且每一项都连续，则
∑∫
ｂ
ａ
ｕｎ（ｘ）ｄｘ＝∫
ｂ
ａ
∑ｕｎ（ｘ）ｄｘ
【２－４】（书上的习题）设Ｓ（ｘ）＝∑ ｘｎ－１
ｎ２
，ｘ∈［－１，１］，计算积分∫
ｘ
０
Ｓ（ｔ）ｄｔ．
（３）逐项求导定理：若函数项级数∑ｕｎ′（ｘ）在［ａ，ｂ］上一致收敛，且每一项都连续，同时存在ｘ０
∈［ａ，ｂ］使得∑ｕｎ（ｘ０）收敛，则
∑ ｄ
ｄｘｕｎ（ｘ）＝
ｄ
ｄｘ∑ｕｎ（ｘ）
【２－５】（书上的习题，北京大学考研题）设ｆ在（－
!
，＋
!
）上有任意阶的导数，且在任意有限区
间上ｆ（ｎ）φ（ｎ→ !
）．试证φ（ｘ）＝ｃｅｘ（ｃ为常数）．
四、名校经典试题回顾
［２－６］（书上的习题，陕西师范大学的考研题）若级数∑ａｎ收敛，则Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ级数∑ ａｎ
ｎｘ
在［０，
—６４—
＋
!
）上一致收敛．
［２－７］（华中科技大学）证明∑ （－１）ｎｘ
２＋ｎ
ｎ２
在任意有穷区间上一致收敛，但在任意一点非绝
对收敛．
五、本章小结
本章我们引入了函数列（一致）收敛和函数项级数（一致）收敛的概念．这两种收敛类似与数列收
敛和数项级数的收敛．
引入一致收敛概念的目的是为了求极限，求积分，求导数，求级数，这四种运算可以交换顺序．
第３章　幂级数
一、本章考情分析
幂级数是特殊的函数项级数，具有一般函数项级数不具有的特性．这是这章要学的重点．
这章也是高频考点．考题的内容为求幂级数的收敛域、收敛半径，幂级数的和及幂级数的展开式．
二、本章基本内容
１．幂级数；
２．幂级数的性质；
３．函数的幂级数的展开式．
三、本章要点精讲
要点１：幂级数
（１）形如∑
!
ｎ＝０
ａｎ（ｘ－ｘ０）
ｎ ＝ａ０＋ａ１（ｘ－ｘ０）＋ａ２（ｘ－ｘ０）
２＋…的级数称为幂级数．
我们主要研究ｘ０ ＝０的情形，即
∑
!
ｎ＝０
ａｎｘ
ｎ ＝ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ
２＋…
（２）阿贝尔定理：
ⅰ）若幂级数∑
!
ｎ＝０
ａｎｘ
ｎ在ｘ处收敛，则对满足 ｘ＜ｘ的任意ｘ，幂级数∑
!
ｎ＝０
ａｎｘ
ｎ在ｘ处绝对收敛．
ⅱ）若幂级数∑
!
ｎ＝０
ａｎｘ
ｎ在ｘ处发散，则对满足 ｘ＞ｘ的任意ｘ，幂级数∑
!
ｎ＝０
ａｎｘ
ｎ在ｘ处发散．
由阿贝尔定理，引出幂级数的收敛半径，收敛区间的概念．
（３）求幂级数∑
!
ｎ＝０
ａｎｘ
ｎ的收敛半径的方法
方法１：
若ｌｉｍ
ｎ→!
ａ槡 ｎ ＝ρ，则Ｒ＝１ρ
方法２：
—７４—
华东师范大学数学系《数学分析》考点精讲及复习思路
【３－３】应用格林公式计算曲线积分
∮
Ｌ
（ｘ＋ｙ）２ｄｘ－（ｘ２＋ｙ２）ｄｙ
其中Ｌ是以Ａ（１，１），Ｂ（３，２），Ｃ（２，５）为顶点的三角形，方向取正向．
要点５：曲线积分和积分路径的无关性
定理：设Ｄ是单连通的闭区域，若函数Ｐ（ｘ，ｙ）和Ｑ（ｘ，ｙ）在Ｄ上连续，且有连续的一阶偏导数，
则以下四个条件等价
１）对Ｄ内任意的分段光滑闭曲线Ｌ，有∮
Ｌ
Ｐｄｘ＋Ｑｄｙ＝０．　
２）对Ｄ内任意的分段光滑闭曲线Ｌ，∮
Ｌ
Ｐｄｘ＋Ｑｄｙ与积分的路径无关，只与起点和终点有关．
３）Ｐｄｘ＋Ｑｄｙ是Ｄ内某一个函数ｕ（ｘ，ｙ）的全微分，即
ｄｕ＝Ｐｄｘ＋Ｑｄｙ
４）在Ｄ内处处成立Ｑ
ｘ
＝Ｐ
ｙ
【３－４】求下列全微分的原函数
（ｘ２＋２ｘｙ－ｙ２）ｄｘ＋（ｘ２－２ｘｙ－ｙ２）ｄｙ
四、名校经典试题回顾
［３－５］（西安交通大学）计算∫
Ｌ
ｙｄｓ，其中Ｌ是摆线
ｘ＝ａ（ｔ－ｓｉｎｔ）
ｙ＝ａ（１－ｃｏｓｔ{
）
的一摆．
［３－６］（山东大学）计算
Ｉ＝∮
Ｌ
（ｙｘ３＋ｅｙ）ｄｘ＋（ｘｙ３＋ｘｅｙ－ｙ２）ｄｙ
其中Ｌ是对称于坐标轴的任一封闭曲线，其方向为正向．
［３－７］（湖南大学）设ｆ（ｕ）连续，Ｃ为平面上分段光滑的闭曲线，证明∮
Ｃ
ｆ（ｘ２＋ｙ２）（ｘｄｘ＋ｙｄｙ）＝
０．
五、本章小结
本章我们复习了两类曲线积分，给出了两类曲线积分的关系，通过格林公式给出了二重积分和边
界上第二类曲线积分的关系，最后讨论了第二类曲线积分与路径没有关系的四个等价条件．
第４章　 曲面积分
一、本章考情分析
本章是历届考研的热点．考题以计算题形式出现．考题内容为计算第一型曲面积分和第二型曲面
积分．在有些情况下或许可以通过高斯公式或斯托克斯公式进行计算．
二、本章基本内容
１．第一型曲面积分；
—９７—
华东师范大学数学系《数学分析》考点精讲及复习思路
２．第二型曲面积分；
３．两类曲面积分的关系；
４．高斯公式；
５．斯托克斯公式；
６．空间曲线积分与路径无关的条件．
三、本章要点精讲
要点１：第一型曲面积分
１）第一型曲面积分
Ｓ
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ的定义及物理意义；
２）第一型曲面积分的性质：
ａ．线性性；
ｂ．积分域的可加性；
ｃ．单调性；
ｄ．绝对值性；
ｅ．均值性．
３）第一型曲面积分的计算
ａ．光滑曲面面积的计算
当曲面以显函数的形式出现：
Ｓ：ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ），（ｘ，ｙ）∈Ｄ
则Ｓ的面积
ΔＳ＝
Ｄ
１＋ｆ２ｘ（ｘ，ｙ）＋ｆ
２
ｙ（ｘ，ｙ槡 ）ｄｘｄｙ
当光滑曲面以参数的形式出现
ｘ＝ｘ（ｕ，ｖ），ｙ＝ｙ（ｕ，ｖ），ｚ＝ｚ（ｕ，ｖ），（ｕ，ｖ）∈Ｄ
则Ｓ的面积
ΔＳ＝
Ｄ
ＥＧ－Ｆ槡
２ｄｕｄｖ
其中
Ｅ＝ｘ２ｕ＋ｙ
２
ｕ＋ｚ
２
ｕ
Ｆ＝ｘｕｘｖ＋ｙｕｙｖ＋ｚｕｚｖ
Ｇ＝ｘ２ｖ＋ｙ
２
ｖ＋ｚ
２
ｖ
ｂ．第一类曲面积分的计算
当光滑曲面Ｓ为
Ｓ：ｚ＝ｚ（ｘ，ｙ），（ｘ，ｙ）∈Ｄ
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）为Ｓ上的连续函数时

Ｓ
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝
Ｄ
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ（ｘ，ｙ）） １＋ｚ２ｘ＋ｚ
２
槡 ｙｄｘｄｙ
—０８—
当光滑曲面Ｓ为
ｘ＝ｘ（ｕ，ｖ），ｙ＝ｙ（ｕ，ｖ），ｚ＝ｚ（ｕ，ｖ），（ｕ，ｖ）∈Ｄ
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）为Ｓ上的连续函数时

Ｓ
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝
Ｄ
ｆ（ｘ（ｕ，ｖ），ｙ（ｕ，ｖ），ｚ（ｕ，ｖ）） ＥＧ－Ｆ槡
２ｄｕｄｖ
其中
Ｅ＝ｘ２ｕ＋ｙ
２
ｕ＋ｚ
２
ｕ
Ｆ＝ｘｕｘｖ＋ｙｕｙｖ＋ｚｕｚｖ
Ｇ＝ｘ２ｖ＋ｙ
２
ｖ＋ｚ
２
ｖ
【４－１】计算第一型曲面积分
Ｓ
（ｘ＋ｙ＋ｚ）ｄＳ，其中Ｓ为上半球而ｘ２＋ｙ２＋ｚ２ ＝ａ２，ｚ０．
（答案：πａ３）
要点２：第二型曲线积分
１）第二型曲面积分的定义及物理意义
设Ｐ，Ｑ，Ｒ是定义在双侧曲面Ｓ上的函数，在Ｓ所指定的一侧做分割
Ｔ：Ｓ１，Ｓ２，…，Ｓｎ
以ΔＳｉｙｚ，ΔＳｉｚｘ，ΔＳｉｘｙ分别表示Ｓｉ在三个坐标面上的投影区域的面积，它们的符号由Ｓｉ的方向来
确定．
在每一个Ｓｉ上任取一个点（ξｉ，ηｉ，ζｉ），若
ｌｉｍ
‖Ｔ‖→０
∑
ｎ
ｉ＝１
Ｐ（ξｉ，ηｉ，ζｉ）ΔＳｉｙｚ＋Ｑ（ξｉ，ηｉ，ζｉ）ΔＳｉｚｘ＋Ｒ（ξｉ，ηｉ，ζｉ）ΔＳｉｘｙ
存在，则称此极限Ｐ，Ｑ，Ｒ在曲面Ｓ所指定的一侧上的第二型曲面积分．
记作

Ｓ
Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｙｄｚ＋Ｑ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｚｄｘ＋Ｒ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｘｄｙ
或

Ｓ
Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｙｄｚ＋
Ｓ
Ｑ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｚｄｘ＋
Ｓ
Ｒ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｘｄｙ
物理意义：某流体以速度 ｖ
→
＝（Ｐ，Ｑ，Ｒ）在单位时间内从曲面Ｓ的负侧流向正侧的总流量为

Ｓ
Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｙｄｚ＋Ｑ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｚｄｘ＋Ｒ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｘｄｙ
２）第二型曲面积分的性质：
ａ．线性性质；
ｂ．积分区域的可加性．
３）第二型曲面积分的计算
当曲面以显函数形式给出时，我们有定理
定理：设Ｒ是定义在光滑曲面
—１８—
华东师范大学数学系《数学分析》考点精讲及复习思路
Ｓ：ｚ＝ｚ（ｘ，ｙ），（ｘ，ｙ）∈Ｄｘｙ
上的连续函数，以Ｓ的上侧为正向，则

Ｓ
Ｒ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｘｄｙ＝
Ｄｘｙ
Ｒ（ｘ，ｙ，ｚ（ｘ，ｙ））ｄｘｄｙ
类似的有

Ｓ
Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｙｄｚ＝
Ｄｙｚ
Ｒ（ｘ（ｙ，ｚ），ｙ，ｚ）ｄｙｄｚ

Ｓ
Ｑ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｘｄｚ＝
Ｄｚｘ
Ｒ（ｘ，ｙ（ｘ，ｚ），ｚ）ｄｘｄｚ
【４－２】计算第二型曲面积分

Ｓ
（ｘ＋ｙ）ｄｙｄｚ＋（ｙ＋ｚ）ｄｚｄｘ＋（ｚ＋ｘ）ｄｘｄｙ
其中Ｓ是以原点为中心，边长为２的立方体．
（答案：２４）
当曲面以参数形式给出时，我们有定理
定理：设光滑曲面Ｓ为
ｘ＝ｘ（ｕ，ｖ）
ｙ＝ｙ（ｕ，ｖ）
ｚ＝ｚ（ｕ，ｖ
{
）
，（ｕ，ｖ）∈Ｄ
且
（ｙ，ｚ）
（ｕ，ｖ）
，
（ｚ，ｘ）
（ｕ，ｖ）
，
（ｘ，ｙ）
（ｕ，ｖ）
不同时为零，则

Ｓ
Ｐｄｙｄｚ＝＋（－）
Ｄ
Ｐ（ｘ（ｕ，ｖ），ｙ（ｕ，ｖ），ｚ（ｕ，ｖ））（ｙ，ｚ）
（ｕ，ｖ）
ｄｕｄｖ

Ｓ
Ｑｄｚｄｘ＝＋（－）
Ｄ
Ｑ（ｘ（ｕ，ｖ），ｙ（ｕ，ｖ），ｚ（ｕ，ｖ））（ｚ，ｘ）
（ｕ，ｖ）
ｄｕｄｖ
Ｓ
Ｒｄｘｄｙ
＝＋（－）
Ｄ
Ｒ（ｘ（ｕ，ｖ），ｙ（ｕ，ｖ），ｚ（ｕ，ｖ））（ｘ，ｙ）
（ｕ，ｖ）
ｄｕｄｖ
【４－３】计算第二型曲面积分（书上的习题，武汉大学，南开大学的考研题）

Ｓ
ｘ２ｄｙｄｚ＋ｙ２ｄｚｄｘ＋ｚ２ｄｘｄｙ
其中Ｓ是（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２＋（ｚ－ｃ）２ ＝Ｒ２且取外侧为正向．
（答案：
８
３πＲ
３（ａ＋ｂ＋ｃ））
要点３：两类曲面积分的关系
定理：
设Ｓ为光滑的曲面，正侧的法方向为（ｃｏｓα，ｃｏｓβ，ｃｏｓθ），
Ｐ，Ｑ，Ｒ为其上的连续函数，则
—２８—

Ｓ
Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｙｄｚ＋Ｑ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｚｄｘ＋Ｒ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｘｄｙ＝

Ｓ
（Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）ｃｏｓα＋Ｑ（ｘ，ｙ，ｚ）ｃｏｓβ＋Ｒ（ｘ，ｙ，ｚ）ｃｏｓθ）ｄＳ
要点４：高斯公式
定理：设空间区域Ｖ由分片光滑的双侧曲面Ｓ围成，若函数Ｐ，Ｑ，Ｒ在Ｖ上连续，且有一阶连续
偏导数，则

Ｖ
（
Ｐ
ｘ
＋Ｑ
ｙ
＋Ｒ
ｚ
）＝
Ｓ
Ｐｄｙｄｚ＋Ｑｄｚｄｘ＋Ｒｄｘｄｙ
其中Ｓ取外侧．上式称作高斯公式．
证明：只需证明

Ｖ
Ｒ
ｚ
＝
Ｓ
Ｒｄｘｄｙ
推论：在上述条件下，Ｖ的体积
ΔＶ＝１３
Ｓ
ｘｄｙｄｚ＋ｙｄｚｄｘ＋ｚｄｘｄｙ
【４－４】利用高斯公式计算曲面积分

Ｓ
ｙｚｄｙｄｚ＋ｚｘｄｚｄｘ＋ｘｙｄｘｄｙ
其中Ｓ是单位球ｘ２＋ｙ２＋ｚ２ ＝１的外侧．
（答案：０）
要点５：斯托克斯公式
定理：设光滑曲面Ｓ的边界Ｌ是按段光滑的连续曲线．若函数Ｐ，Ｑ，Ｒ在Ｓ上连续，且有一阶连
续偏导数，则
∮
Ｌ
Ｐｄｘ＋Ｑｄｙ＋Ｒｄｚ＝
Ｓ
ｄｙｄｚ ｄｚｄｘ ｄｘｄｙ

ｘ

ｙ

ｚ
Ｐ Ｑ Ｒ
证明：只需证明
∮
Ｌ
Ｐｄｘ＝
Ｓ
Ｐ
ｚ
ｄｚｄｘ－Ｐ
ｙ
ｄｘｄｙ
【４－５】应用斯托克斯公式计算
∮
Ｌ
（ｙ２＋ｚ２）ｄｘ＋（ｘ２＋ｚ２）ｄｙ＋（ｘ２＋ｙ２）ｄｚ
其中Ｌ为ｘ＋ｙ＋ｚ＝１与三个坐标面的交线，它的走向使所围成的平面图形上侧在曲线的左侧．
（答案：０）
要点６：空间曲线积分与路径无关的条件
类似于平面曲线积分与路径无关的等价条件，我们有下边的定理
—３８—
华东师范大学数学系《数学分析》考点精讲及复习思路
定理：设ΩＲ３为空间单连通区域．若函数Ｐ，Ｑ，Ｒ在Ω上连续且有连续的偏导数，则以下条件
等价
ⅰ）对于Ω内任意按段光滑的封闭曲线Ｌ，有
∫
Ｌ
Ｐｄｘ＋Ｑｄｙ＋Ｒｄｚ＝０
ⅱ）对于Ω内任意按段光滑曲线Ｌ，曲线积分
∫
Ｌ
Ｐｄｘ＋Ｑｄｙ＋Ｒｄｚ
与路径无关．
ⅲ）Ｐｄｘ＋Ｑｄｙ＋Ｒｄｚ是Ω内某函数ｕ的全微分，即
ｄｕ＝Ｐｄｘ＋Ｑｄｙ＋Ｒｄｚ
ⅳ）在Ω上处处有
Ｐ
ｙ
＝Ｑ
ｘ
；
Ｑ
ｚ
＝Ｒ
ｙ
；
Ｒ
ｘ
＝Ｐ
ｚ
四、名校经典试题回顾
［４－６］（华中科技大学）设Σ是球面ｘ２＋ｙ２＋ｚ２ ＝２５的内侧，ｆ，ｇ，ｈ是连续的可微函数，求
Ｉ＝
∑
ｆ（ｙｚ）－ ｘｙ２
２５００[ ]πｄｙｄｚ＋ ｇ（ｚｘ）－ ｙｚ２
２５００[ ]πｄｚｄｘ＋ ｈ（ｘｙ）－ ｚｘ２
２５００[ ]πｄｘｄｙ（答案：１）
［４－７］（南京航空学院）设有力场
Ｆ
→
＝（ｘ＋２ｙ＋４，４ｘ－２ｙ，３ｘ＋ｚ）
试求单位质量Ｍ沿椭圆
Ｃ：
（３ｘ＋２ｙ－５）２＋（ｘ－ｙ＋１）２ ＝ａ２
　　　　　ｚ＝{ ４
移动一圈（从ｚ轴正向看去为逆时针方向）力Ｆ
→
所做的功．
（答案：
２
５πａ
２）
五、本章小结
本章我们复习了第一型曲面积分和第二型曲面积分．侧重点在于计算．同时我们也复习了高斯公
式（面积分和三重积分的关系）和斯托克斯公式（空间封闭曲线和面积分的关系）．最后利用斯托克斯
公式给出了空间曲线积分与路径无关的条件．
多元函数积分论的总结
１．积分的本质：划分，取点，作和，取极限．
２．从形式上可以分为：正常积分和反常积分．
反常积分：积分区域无限，被积函数无界；
正常积分又可以分为：定积分，二重积分，三重积分，第一型曲线积分和第二型曲线积分，第一型
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曲面积分和第二型曲面积分．认识各种积分符号对同学们来说是重要的．
３．从计算的角度来看，最后都要归结到定积分进行计算．
４．从相互关系来看
第一型曲线积分和第二型曲线积分可以互换
第一型曲面积分和第二型曲面积分可以互换
格林公式：平面封闭曲线和二重积分的关系
高斯公式：封闭曲面和三重积分的关系
斯托克斯公式：空间封闭曲线和面积分的关系
５．掌握各种积分的几何意义或物理意义对理解各种积分的含义是至关重要的．
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华东师范大学数学系《数学分析》考点精讲及复习思路