概要信息：

目　录
前　　言 （１）
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第一章　自动控制系统的基本概念 （３）
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第二章　控制系统的数学模型 （５）
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第三章　线性系统的时域分析法 （１０）
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第四章　线性系统的根轨迹法 （１８）
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第五章　线性系统的频域分析法 （２２）
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第六章　线性系统的校正 （２９）
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第七章　离散系统的分析和校正 （３５）
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第八章　非线性控制系统分析 （４１）
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第九章　线性系统的状态空间分析和综合 （４６）
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前　　言
作为高等院校自动化类专业教学中的一门重要的专业基础课，自动控制原理是该类专业硕士入
学考试的科目之一，对于考研总分的影响非常之大。纵观近些年来的考研试题，越来越侧重于考查考
生对知识的综合运用能力。这就要求考生不仅要掌握好各个知识点，而且需要考生能把各知识点结
合起来，具备较强的融会贯通能力。为使考生能够较好的掌握《自动控制原理》的解题思路和解题要
领，顺利通过研究生入学考试，并取得高分，讲者根据对这门课程多年的教学经验，围绕国家教委关于
自动控制原理教学大纲的要求，并结合近几年国内众多所重点院校的考研要求及考研真题展开讲解，
以满足考生系统复习的需要，主要目的在于使考生能够快速突破自动控制原理的解题方法和解题技
巧，提高应试能力。
本教程讲解的主要内容是针对经典控制理论，是以胡寿松编写的《自动控制原理》（第五版）教材
为依托的，这本教材是现在很多所院校的考研指定教材，当然现在还有些院校指定的教材是胡寿松编
写的第四版，但是作为经典控制理论而言，这两本教材在考点上并没有区别，主要的差异在于每一章
中有关ＭＡＴＬＡＢ的应用部分，因此不需要拘泥于那个版本。
当然还有些院校采用的教材不是胡寿松编写的，但是经典控制理论这部分的内容，不管采用的是
那本教材，主要的知识点及考点基本都没什么变化，所以，本教程可以这么理解，是针对经典控制理论
而不是针对那本具体的教材的。
—１—
胡寿松《自动控制原理》考点精讲
本课程的知识脉络：
分析的一般过程：
实际系统
解析法
→
实验法
数学模型 →
分析
系统的性能指标
系统综合的一般过程：
固有特性] →
希望指标
→ →校正方式 校正装置的数学模型 满足性能指标的系统
—２—
第一章　自动控制系统的基本概念
１．１　知识脉络图
１．２　重要知识回顾
１．自动控制系统的基本组成
反馈控制系统的一般组成如下图所示。
测量元件：测量被控量；
比较元件：产生被控量与控制连个偏差信号；
变换放大元件：由于偏差信号一般比较微弱，经过变换放大后产生足够大的幅值和功率；
执行元件：变换放大后的偏差信号经执行元件驱动被控对象；
—３—
胡寿松《自动控制原理》考点精讲
校正元件：为使系统能正常工作，在系统中设计能提高控制性能的元件。
２．对控制系统的基本要求
自动控制系统有不同的类型，但是对每一类系统的基本要求是一样的，可以归结为：稳、快、准。
稳定性是保证系统正常工作的先决条件；平稳性是对动态响应过程的评价，主要指标包括超调量
以及振荡次数等。
快速性也是对系统动态响应过程的评价，主要指标包括系统的过渡时间、上升时间、峰值时间等。
准确性是指在理想情况下，当过渡过程结束后，被控量达到的稳态值（即平衡状态）应与期望值一
致。主要指标是稳态误差。
３．自动控制系统的基本控制方式
自动控制系统的基本控制方式主要有三种：开环控制、闭环控制以及复合控制方式。
４．自动控制系统的分类
自动控制系统有多种分类方法。例如：按控制方式、按元件类型、按系统功用、按系统性能、按参
考量变化规律等。
１．３　考研要点
本章所涉及的自动控制方面的基本概念是以后课程学习的基础，有关内容在诸如问答、填空和选
择类型的考题中常会涉及。在掌握基本概念的基础上，还应熟悉线性定常系统微分方程的特点，并通
过练习掌握由系统工作原理图正确绘制框图的方法。
—４—
第二章　控制系统的数学模型
２．１知识脉络图
１．２　重要知识点回顾
１．传递函数
（１）传递函数的定义
对于线性定常系统，在零初始条件下，输出地拉氏变换和输入的拉氏变换的比值。
Ｇ（ｓ）＝Ｃ（ｓ）Ｒ（ｓ）
（２）传递函数与微分方程的关系
设ｎ阶线性定常系统由下述ｎ阶线性常微分方程描述：
ａ０
ｄｎ
ｄｔｎ
ｃ（ｔ）＋ａ１
ｄｎ－１
ｄｔｎ－１
ｃ（ｔ）＋…＋ａｎ－１
ｄ
ｄｔｃ（ｔ）＋ａｎｃ（ｔ）
＝ｂ０
ｄｍ
ｄｔｍ
ｒ（ｔ）＋ｂ１
ｄｍ－１
ｄｔｍ－１
ｒ（ｔ）＋…＋ｂｍ－１
ｄ
ｄｔｒ（ｔ）＋ｂｍｒ（ｔ）
—５—
胡寿松《自动控制原理》考点精讲
相应的传递函数为：
Ｇ（ｓ）＝Ｃ（ｓ）Ｒ（Ｓ）＝
ｂ０ｓ
ｍ＋ｂ１ｓ
ｍ－１＋…＋ｂｍ－１ｓ＋ｂｍ
ａ０ｓ
ｎ＋ａ１ｓ
ｎ－１＋…＋ａｎ－１ｓ＋ａｎ
传递函数与微分方程之间存在一一对应的关系，请观察并记住以下对应关系：传递函数分子与输
入信号、传递函数分母与输出信号相对应；传递函数中ｓ的幂次与微分方程中导数的阶次相对应。
（３）传递函数的性质
传递函数是复变量ｓ的有理真分式函数，即ｍ
!
ｎ，且所有系数为实数；
传递函数是系统输入输出关系的表达式，它只取决于系统的结构参数，而与系统的输入信号的形
式无关，当然也与初始条件无关；
传递函数与微分方程有相通性，是一一对应的，非常容易转换；
传递函数的拉氏变换是系统的单位脉冲响应；
传递函数只是对系统的数学描述，并不反映系统的物理构成。
２．用解析法建立系统数学模型的一般方法
解析法建立数学模型的一般过程如图２．１所示
对于控制类的考生，最为常见的实际系统有：无源网络、有源网络、简单的电气控制系统等。
由于微分方程与传递函数之间存在一一对应的关系，因此，根据系统的具体情况，可以先写出微
分方程或直接写出传递函数，电网络通常可直接写出传递函数。
３．结构图与信号流图的绘制
控制系统结构图与信号流图都是描述系统各元部件之间信号传递关系的图形。
（１）结构图的绘制
化整为零：在考虑负载效应的情况下，分别列些系统中各元部件的时域方程或复频域方程；代数
方程的时域形式与复频域形式相同，微分方程则必须写成复频域形式。
积零为整：根据信号流动的单向性，用信号线依次将各方框连接。
（２）信号流图的绘制
信号流图可依据微分方程绘制，也可由系统结构图按照对应关系得到。
４．结构图的变换与化简
结构图的基本连接方式有串联、并联和反馈三种。
结构图变换是一种手段，即通过结构图变换使系统中只出现３种基本形式，再进行处理。
—６—
在结构图变换和化简过程中，我们只能减少（或增加）一些中间变量，但各变量之间的数学关系不
能改变。
最常见的变换方式有：
５．Ｍａｓｏｎ公式
应用Ｍａｓｏｎ公式可以直接求出系统的传递函数。
Ｍａｓｏｎ公式：Ｐ＝１
Δ∑
ｎ
ｋ＝１
ＰｋΔｋ
式中：ｎ———从输入节点到输出节点的前向通路的总条数。
Ｐｋ———从输入节点到输出节点的第ｋ条前向通路总增益。
Δ———为特征式，由系统信号流图中各回路增益确定：
Δ＝１－∑Ｌａ＋∑ＬｂＬｃ－∑ＬｄＬｅＬｆ＋…
式中：∑Ｌａ———所有单独回路增益之和；
∑ＬｂＬｃ———所有存在的两个互不接触的单独回路增益乘积之和；
∑ＬｄＬｅＬｆ———所有存在的三个互不接触的单独回路增益乘积之和。
Δｋ———为第ｋ条前向通路特征式的余因子式，即在信号流图中，除去与第ｋ条前向通路接触的回
路后的Δ值的剩余部分。
２．３　考研要点
本章涉及的内容是系统分析和设计的基础；主要考点有建立控制系统的微分方程、传递函数的概
—７—
胡寿松《自动控制原理》考点精讲
念、性质及表示形式，结构图等效变换及求复杂系统的传递函数是本章考试的重点内容。
２．４　典型例题解析
典型例题２．１：一有源网络如下图所示，
要求：（ⅰ）写出系统的微分方程；
（ⅱ）求系统的传递函数；
（ⅲ）说明此电网络在校正中的作用。
题型分析：本题旨在考查简历有源网络数学模型的基本方法。求解此类问题，一般有两种方法：
第一种是先写出时域微分方程组，再消去中间变量，整理出微分方程；第二种是由网络结构直接用复
阻抗表示图中的电阻、电容、电感等，用运算法写出复域方程组，再直接消元或者结合方框图求出传递
函数。一般来说，第二种方法比较简单。
典型例题２．２：系统的微分方程如下：
ｘ１（ｔ）＝ｒ（ｔ）－ｃ（ｔ）＋ｎ１（ｔ）
ｘ２（ｔ）＝Ｋ１ｘ１（ｔ）
ｘ３（ｔ）＝ｘ２（ｔ）－ｘ５（ｔ）
Ｔ
ｄｘ４（ｔ）
ｄｔ ＝ｘ３（ｔ）
ｘ５（ｔ）＝ｘ４（ｔ）－Ｋ２ｎ２（ｔ）
Ｋ０ｘ５（ｔ）＝
ｄ２ｃ（ｔ）
ｄｔ２
＋ｄｃ（ｔ）ｄｔ
其中Ｋ０，Ｋ１，Ｋ２，Ｔ均为正整数。
试建立系统动态结构图，并求传递函数
Ｃ（ｓ）
Ｒ（ｓ），
Ｃ（ｓ）
Ｎ１（ｓ）
，
Ｃ（ｓ）
Ｎ２（ｓ）
。
题型分析：本题重点考查由微分方程绘制系统的结构图，进而求传递函数的一般方法。
典型例题２．３：系统的方框图如下，试求系统的闭环传递函数。
题型分析：本题是从结构图求传递函数的一般题型，这种题型一般有三种方法可以解决：
即结构图变换、Ｍａｓｏｎ公式，以及变量代换的方法。
—８—
典型例题２．４：系统的结构图如下
（ⅰ）分别求系统的传递函数Ｃ（ｓ）Ｒ（ｓ），
Ｃ（ｓ）
Ｎ（ｓ）；
（ⅱ）求系统在Ｒ（ｓ）和Ｎ（ｓ）共同作用下的Ｃ（ｓ）的表达式。
题型分析：这是一道多个信号共同作用于线性系统的题型，要充分利用到线性系统的叠加特性，
也就是说多个信号共同作用下系统的输出，是每一个信号单独作用所产生输出的叠加。
—９—
胡寿松《自动控制原理》考点精讲
第三章　线性系统的时域分析法
３．１　知识结构图
３．２　重要知识点回顾
１．暂态性能分析的一般思路
在所有的自控原理教材中一般都会给出标准一阶和二阶系统的时域分析结果，除此之外的一般
系统我们需要按照一般的思路来分析。
时域分析的一般思路是先确定系统的数学模型，然后求出该系统在典型输入信号作用下的输出
响应，然后分析出系统的性能指标。
输出响应的求取实质上是求解微分方程，常用方法是拉氏变换法。
在计算性能指标时要搞清指标的定义、在阶跃响应曲线上的表示，并记住一些常用的公式（诸如
一阶和二阶的）。
２．标准一阶系统的时域分析
（１）标准一阶系统的数学模型
标准一阶系统的结构图如下：
—０１—
微分方程为：Ｔｃ
·
（ｔ）＋ｃ（ｔ）＝ｒ（ｔ）
闭环传递函数为：φ（ｓ）＝ １
Ｔｓ＋１
标准一阶系统只有一个参数：时间常数Ｔ。
（２）标准一阶系统的时域分析
单位阶跃响应ｃ（ｔ）＝Ｌ－１［Ｃ（ｓ）］＝１－ｅ－ｔ／Ｔ，（ｔ０），其响应曲线如下图所示。
常用公式：
调节时间：ｔｓ＝３Ｔ（ｓ），ε＝０．０５；
ｔｓ＝４Ｔ（ｓ），ε＝０．０２；
上升时间：ｔｒ＝２．２０Ｔ
单位脉冲响应：ｈ（ｔ）＝ｄｄｔｃ（ｔ）＝
１
Ｔｅ
－ｔ／Ｔ，其响应曲线如图所示。
单位斜坡响应：ｃ１（ｔ）＝∫
ｔ
０ｃ（τ）ｄτ＝ｔ－Ｔ＋Ｔｅ
－ｔ／Ｔ，其响应曲线如下图。
３．标准二阶系统的时域分析
（１）标准二阶系统的数学模型
标准二阶系统的结构图如下：
—１１—
胡寿松《自动控制原理》考点精讲
微分方程为Ｔ２ｃ
··
（ｔ）＋２ζＴｃ（ｔ）＋ｃ（ｔ）＝ｒ（ｔ）
闭环传递函数为φ（ｓ）＝ １
Ｔ２ｓ２＋２ζＴｓ＋１
＝
ω２ｎ
ｓ２＋２ζωｎｓ＋ω
２
ｎ
标准一阶系统有两个参数：阻尼比ζ和无阻尼自然振荡角频率ωｎ。
（２）标准二阶系统的时域分析
对于标准二阶系统，其特征方程为：ｓ２＋２ξωｎｓ＋ω
２
ｎ＝０
特征根为：－ｐ１，２＝－ξωｎ±ωｎ ξ２槡 －１
单位阶跃响应ｃ（ｔ）＝Ｌ－１［Ｃ（ｓ）］＝１－ｅ－ｔ／Ｔ，（ｔ０），其响应曲线如下图所示。
即闭环特征根与ξ和ωｎ有关。根据ξ值的不同，可分四种情况讨论其单位阶跃响应。
（３）标准二阶系统的性能指标
欠阻尼：峰值时间ｔｐ：ｔｐ＝
π
ωｎ １－ξ槡
２
＝π
ωｄ
调节时间ｔｓ：ｔｓ≈
４．５
ξωｎ
（ε取２％）
—２１—
ｔｓ≈
３．５
ξωｎ
（ε取５％）
上升时间ｔｒ：ｔｒ＝
π－φ
ωｄ
＝
π－ａｒｃｔａｎ １－ξ槡
２
ξ
ωｎ １－ξ槡
２
超调量σｐ％：σｐ％ ＝ｅ
－ ξπ
１－ξ槡 ２×１００％＝ｅｘｐ（ ξπ
１－ξ槡
２
）×１００％
临界阻尼：其单位阶跃响应单调收敛，无超调。
过阻尼：其单位阶跃响应单调收敛，无超调。
当 ｓ１ !
４ｓ２ 时，二阶系统可以看做一阶系统。
（４）改善二阶系统性能的措施
改善二阶系统性能常用的措施有比例微分控制和测速反馈控制。
采用比例微分控制时，系统同时受到误差比例信号和误差微分信号的共同作用，可在改善系统动
态性能的基础上，保持常值稳态误差及系统的自然频率不变。从传递函数的角度看，会增加一个附加
零点。
采用测速反馈时，将输出的速度信号反馈到输入端，并与误差信号相比较，可以增大系统的阻尼
比，改善系统的动态性能。
５．高阶系统的时域分析
从应试的角度来看，最常见的高阶系统的分析题型是利用主导极点和偶极子的概念对系统做降
阶处理。从近几年的考研试题来看，此类考题呈上升趋势。
闭环主导极点———在系统的时间响应过程中起主要作用的闭环极点。闭环主导极点可以是实数
极点，也可以是复数极点，或者是它们的组合。一般认为，如果某个（或某对）极点到虚轴的距离仅为
其它闭环极点到虚轴距离的
１
５或者更小，而且附近没有闭环零点，那么这个（或这对）极点就可以被看
做闭环主导极点。
偶极子———如果某对零、极点之间的距离比其自身的模值小一个数量级以上，则该极点和零点就
构成了一对偶极子。在高阶系统的近似计算中，偶极子若不十分靠近坐标原点，则偶极子的作用可以
被忽略。
闭环的极点和零点对系统的响应均有影响，但它们的影响效果是不同的。对系统响应影响最大
的是主导极点。如果高阶系统存在实数主导极点，则系统可近似为一阶系统；如果高阶系统存在共轭
复数主导极点，则系统可近似为欠阻尼二阶系统。
６．线性系统的稳定性分析
稳定是系统正常工作的首要条件，系统的动态性能分析及稳态性能分析都是以系统稳为前提的。
对于线性系统而言，系统稳定意味着：ｌｉｍ
ｔ→"
ｃｓｔ（ｔ）＝０，其中，ｃｓｔ（ｔ）表示系统的暂态分量。
（１）系统稳定的充要条件
—３１—
胡寿松《自动控制原理》考点精讲
系统的特征根全部分布在ｓ平面的左半平面，即全部特征根都具有负实部。
（２）系统稳定的必要条件
特征方程的所有系数全都大于零。
（３）代数稳定判据
包括Ｒｏｕｔｈ和Ｈｕｒｗｉｔｚ判据。
Ｒｏｕｔｈ判据　首先根据特征方程的系数构造 Ｒｏｕｔｈ阵列，如果 Ｒｏｕｔｈ阵列的首列元素全都大于
零，则系统稳定，否则（若Ｒｏｕｔｈ阵列的首列元素出现零或者负数）系统不稳定。而且Ｒｏｕｔｈ阵列的首
列元素符号改变的次数等于ｓ右半平面特征根的个数。
在计算Ｒｏｕｔｈ阵列的的时候，有两种特殊情况：一是 Ｒｏｕｔｈ阵列的首列中出现零元素且该元素所
对应的行不全为零。此时，可用一小正数ε代替该零元素，继续算完Ｒｏｕｔｈ阵列后再取ε→０的极限。
二是Ｒｏｕｔｈ阵列中出现了全零行。这种情况说明系统中出现了关于 ｓ平面的坐标原点对称的特征根
（比如共轭纯虚根等）。此时，可用全零行的上一行元素作为系数构造辅助方程，对辅助方程关于ｓ求
导，用求导后方程所对应的系数代替全零行的各个元素，继续算完 Ｒｏｕｔｈ阵列，而那些对称根可由辅
助方程解出。
Ｈｕｒｗｉｔｚ判据　线性系统稳定的充要条件是由特征方程的各项系数所构成的Ｈｕｒｗｉｔｚ阵列的主子
式及顺序主子式全部为正。
（４）两个重要结论
对于线性定常二阶系统，设其特征方程为：ａ０ｓ
２＋ａ１ｓ＋ａ２＝０，系统稳定的充要条件是：ａ０＞０，ａ１＞
０，ａ２＞０。
对于线性定常三阶系统，设其特征方程为：ａ０ｓ
３＋ａ１ｓ
２＋ａ２ｓ＋ａ３＝０，系统稳定的充要条件是：ａｉ＞０
且ａ１ａ２＞ａ０ａ３。
７．线性系统的稳态误差分析
控制系统的典型结构如图所示。系统误差的定义有两种方式：
定义１．（输入端定义）ｅ（ｔ）＝ｒ（ｔ）－ｂ（ｔ）
定义２．（输出端定义）ε（ｓ）＝Ｃｒ（ｓ）－Ｃ（ｓ）
其中，Ｃｒ（ｓ）表示期望输出。
对于单位负反馈系统，两种定义方法是一致的。
考生在做题时，要注意审题，正确判断误差定义方式，尤其对于带有前馈校正的复合控制系统更
应该注意。
当输入信号和扰动信号同时作用于线性系统时，系统的总误差是两个信号分别作用下的误差
—４１—
之和。
（１）误差传递函数
输入信号ｒ（ｔ）作用下的误差传递函数：φｅｒ（ｓ）＝
Ｅ（ｓ）
Ｒ（ｓ）
扰动信号ｎ（ｔ）作用下的误差传递函数：φｅｎ（ｓ）＝
Ｅ（ｓ）
Ｎ（ｓ）
误差传递函数与误差的定义以及系统结构图有关，具体问题应该具体分析。
（２）静态误差系数
静态位置误差系数Ｋｐ＝ｌｉｍｓ→０Ｇ（ｓ）Ｈ（ｓ）
静态速度误差系数Ｋｖ＝ｌｉｍｓ→０ｓＧ（ｓ）Ｈ（ｓ）
静态加速度误差系数Ｋａ＝ｌｉｍｓ→０ｓ
２Ｇ（ｓ）Ｈ（ｓ）
（３）稳态误差终值ｅｓｓ的计算：ｅｓｓ＝ｅｓｓｒ＋ｅｓｓｎ
其中，ｅｓｓｒ和ｅｓｓｎ分别表示输入作用和扰动作用下的稳态误差的终值。
在终值定理应用条件满足的情况下，可以用终值定理分别计算 ｅｓｓｒ和 ｅｓｓｎ。这是计算稳态误差最
基本的方法。
ｅｓｓｒ＝ｌｉｍｔ→"
ｅｒ（ｔ）＝ｌｉｍｓ→０ｓＥｒ（ｓ）＝ｌｉｍｓ→０ｓφｅｒ（ｓ）Ｒ（ｓ）
ｅｓｓｎ＝ｌｉｍｔ→"
ｅｎ（ｔ）＝ｌｉｍｓ→０ｓＥｎ（ｓ）＝ｌｉｍｓ→０ｓφｅｎ（ｓ）Ｎ（ｓ）
（４）稳态误差ｅｓｓ的快速计算
应用系统“类型”的概念可以快速判断ｅｓｓｒ（或ｅｓｓｎ）是零，常数，还是无穷大。
上图所示的系统，误差从输入端定义的话，开环传递函数整理为：
Ｇ（ｓ）Ｈ（ｓ）＝
Ｋ∏
ｍ
ｉ＝１
（τｉｓ＋１）
ｓν∏
ｎ－ν
ｊ＝１
（Ｔｊｓ＋１）
在“尾１”型的表达形式中，Ｇ（ｓ）Ｈ（ｓ）分母中含有ｓγ因式。
Ｋ为系统的开环增益，ν为系统所对应的“类型”，即开环传递函数中所包含的积分环节的数目。
３．３　考研要点点击
系统的稳定性分析，稳态误差计算和动态性能指标计算时系统分析的基本任务，也是必考内容。
通常的考点有：Ｒｏｕｔｈ判据判定系统的稳定性或确定使系统稳定的参数范围；利用静态误差系数法或
一般方法求系统的稳态误差；计算一、二阶系统（特别是典型欠阻尼二阶系统）的动态性能指标；给定
系统的性能指标或典型响应特性，反过来确定系统参数。
３．４　典型例题解析
典型例题３．１：二阶反馈控制系统如下图所示
—５１—
胡寿松《自动控制原理》考点精讲
（ⅰ）将系统等效为一个单位反馈系统，求对应开环传递函数；
（ⅱ）若定义系统误差为ｅ＝ｒ－ｃ，问当Ｋ取何值时系统对单位阶跃输入无静差？计算这时系统的
上升时间ｔｒ、ｔｓ（Δ＝±５％）、σｐ％。
题型分析：此题考查了四个知识点，一是典型二阶系统的标准结构，二是误差的定义，三是什么样
的系统才能做到一阶无静差，四是二阶系统的时域性指标的计算。
典型例题３．２：单位反馈控制系统的单位阶跃响应如下图所示。试用典型二阶系统传递函数为系
统建模，并计算调节时间。
题型分析：在控制系统的时域分析中，这种题型经常会见到，给出的往往是一个欠二阶系统的单
位阶跃响应曲线（单调衰减振荡曲线），如何从曲线中，读出一些关键的时域性能指标从而计算出二阶
系统的关键参数ζ和ωｎ，并计算其余的性能指标。
典型例题３．３：已知下图所示系统σｐ％ ＝１６．３％，ｔｓ＝３．５ｓ（Δ＝±５％）。
（ⅰ）根据已知σｐ％和ｔｓ确定参数Ｋ、τ及峰值时间ｔｐ；
（ⅱ）求系统闭环传递函数；
（ⅲ）ｒ（ｔ）＝２ｔ时，计算系统ｅｓｓ。
题型分析：在这个系统中出现了测速微分负反馈的形式，测速微分的出现改善了系统的性能；同
时考查了系统参数之间的相互转换，这种题型在考研试卷中也经常会出现。
典型例题３．４：某控制系统如图所示，其中Ｋ１、Ｋ２为正常数，ｆ为非负常数。试分析ｆ的值
—６１—
（ⅰ）对系统稳定性的影响；
（ⅱ）求系统阶跃响应动态性能的影响；
（ⅲ）当系统输入为斜坡信号时，对系统ｅｓｓ的影响。
题型分析：这道例题没有具体的数据，只是定性的分析参数的改变会对系统各方面性能产生的影
响。在很多学校的考试题中，慢慢的像此类定性分析的题型会越来越多。
典型例题３．５：某控制系统如图所示
（ⅰ）对Ｒｏｕｔｈ判据判断闭环系统的稳定性；
（ⅱ）当系统的输入信号和扰动信号为单位冲激信号，试求系统输入稳态误差 ｅｓｓｒ和扰动稳态误
差ｅｓｓｎ。
题型分析：这是一个既有扰动输入又有给定输入的多输入单输出线性系统，在分析系统的稳态误
差时，要注意究竟需要求的是哪个信号作用后的结果，在分析此类问题时，可以先用 Ｍａｓｏｎ公式求出
单个信号作用下的误差传递函数，然后用拉氏终值定理求稳态误差。
—７１—
胡寿松《自动控制原理》考点精讲
第四章　线性系统的根轨迹法
４．１　知识结构图
４．２　重要知识点回顾
１．根轨迹的基本概念
根轨迹定义：当开环系统中某个参数（如开环增益Ｋ或根轨迹增益 Ｋ）由零变化到无穷时，闭环
特征根在ｓ平面上移动的轨迹。
根轨迹方程：对于开环传递函数为Ｇ（ｓ）Ｈ（ｓ）的系统，其闭环特征方程为１±Ｇ（ｓ）Ｈ（ｓ）＝０。式
中符号不完全取决于反馈的极性，应视具体问题做具体分析（例如负反馈系统未必是１８０°根轨迹）。
２．根轨迹类型的判断
不失一般性，系统的特征方程总可以整理为：
１±
Ａ∏
ｍ
ｊ＝１
（ｓ－ｚｊ）
∏
ｎ
ｉ＝１
（ｓ－ｐｉ）
＝０
其中，Ａ为参变量，Ａ从０→"
变化。这里 Ａ可以是根轨迹增益 Ｋ，也可以是开环传递函数中的
其他参变量（诸如参数根轨迹）。
当式中符号为“＋”时，相应根轨迹为１８０°根轨迹；当符号为“—”，为０°根轨迹。
—８１—
３．绘制根轨迹的两个基本条件
绘制根轨迹的两个基本条件是幅值条件和相角条件。其中相角条件是绘制根轨迹的充要条件，
幅值条件通常用来求给定点所对应的参数（Ｋ或其它参数）的值。
幅值条件：
Ａ∏
ｍ
ｊ＝１
ｓ－ｚｊ
∏
ｎ
ｉ＝１
ｓ－ｐｉ
＝１
相角条件：∑
ｍ
ｊ＝１
∠（ｓ－ｚｊ）－∑
ｎ
ｉ＝１
∠（ｓ－ｐｉ）＝（２ｋ＋１）π———１８０°根轨迹
∑
ｍ
ｊ＝１
∠（ｓ－ｚｊ）－∑
ｎ
ｉ＝１
∠（ｓ－ｐｉ）＝（２ｋ＋１）π———０°根轨迹
４．根轨迹的绘制
从概念上讲，可以用特征方程、相角条件以及绘制规则绘制根轨迹图。在分析某些概念问题是可
以采用两种方法，但是对于三阶以上的系统，一般要应用规则来绘图。１８０°根轨迹规则和０°根轨迹规
则大多相同，但是其中有三个不同点要特别注意：
实轴上存在根轨迹的区域不同；
渐近线的倾角公式不同；
出射角、入射角的计算公式不同。
为了正确绘制根轨迹，需要记住绘制规则，而且正确使用规则。同时，为了能够快速准确的绘制
出根轨迹，还应该记住某些典型的根轨迹图。例如，二阶系统当具有一个或者两个开环零点时，若复
数部分存在根轨迹，则负数部分的根轨迹是圆或一段圆弧。
绘制根轨迹的流程如下：
０°根轨迹与１８０°根轨迹的绘制流程相似，只要对上述规则修改即可。
—９１—
胡寿松《自动控制原理》考点精讲
５．系统性能的分析与估算
借助于根轨迹图，可以确定或近似估算系统在某一参数下的闭环极点位置，从而得到相应的传递
函数，进而确定系统的各项性能指标。
（１）定性分析
稳定性：当所有根轨迹分支（即闭环极点）都位于ｓ左半平面时，闭环系统稳定。
快速性：闭环极点距离虚轴越远，快速性越好。在设计系统时，如要使系统快速性越好，应尽量让
闭环极点之间距离加大，零点靠近极点，尤其是靠近离虚轴较近的极点。
平稳性：当闭环极点都是负实数时，除个别情况外，系统一般无超调。当主导极点是一对共轭负
数时，该极点与负实轴之间的夹角β越小，则平稳性越好（ｃｏｓβ＝ζ）。为了兼顾快速性和平稳性，常取
β＝４５°，即ζ≈０．７０７，相当于系统具有最佳阻尼比。
（２）定量计算
利用根轨迹的定量计算通常是高阶系统的指标估算，是与主导极点的概念密不可分的。最常见
的考查形式有两种：一是求ζ＝０．７０７所对应的闭环极点；二是求 ζ＝０．５或 σ％ ＝１６．３％所对应的闭
环极点。解决的办法都是根据ζ所对应的β角，过ｓ平面坐标原点作直线，再求该直线与根轨迹的交
点，该交点坐标即为所求的闭环极点。
４．３　考研要点
本章涉及根轨迹的绘制，包括１８０°根轨迹，０°根轨迹及参数根轨迹（要求会计算实轴上根轨迹区
域、渐近线、分离点、临界阻尼对应的Ｋ值，与虚轴交点及临界稳定的Ｋ）；利用根轨迹法确定使系统
稳定的Ｋ（或Ｋ）；确定某一Ｋ值对应的闭环极点及闭环传递函数。
４．４　典型例题解析
典型例题４．１：已知单位反馈系统的开环传递函数为
Ｇ（ｓ）＝ Ｋ
ｓ（ｓ＋１）（０．５ｓ＋１）
（ⅰ）绘制根轨迹；
（ⅱ）证明ｓ１＝－２．３４是非主导极点，并估算此时的超调量和过渡过程时间。
题型分析：１８０°根轨迹的绘制属于基本考查题型，考核要点在于主导极点的确定、高阶系统的降
阶处理及性能指标的计算。
典型例题４．２：已知单位反馈控制系统的开环传递函数为
Ｇ（ｓ）＝Ｋ（ｓ＋３）ｓ（ｓ＋２）
（ⅰ）绘制系统根轨迹；
—０２—
（ⅱ）求使系统取得最大振荡响应的阻尼比ζ和Ｋ值；
（ⅲ）求Ｋ＝２时系统的单位阶跃响应。
题型分析：本题要求绘制的仍然是１８０°根轨迹，但是此系统在复平面内的根轨迹是一个圆，，利用
幅值条件或者相角条件可以证明，同时借助于阻尼角β和二阶系统阻尼比ζ的关系，可以分析系统的
时域响应。
在这里，建议考生把常见的有可能是单位圆的系统开环零极点分布熟记，见到类似的零极点分
布，就要在头脑中反映出来有可能复平面内的根轨迹就是圆或者圆的一部分。（补充画图）
典型例题４．３：已知单位反馈控制系统的开环传递函数为
Ｇ（ｓ）＝ Ｋ（ｓ＋１）
ｓ（ｓ＋２）（ｓ＋３）
（ⅰ）绘制系统根轨迹；
（ⅱ）已知系统的一个闭环极点为－０．９，试求其它的闭环极点；
（ⅲ）该系统是否可以用低阶系统来近似？若能，则求出它的闭环传递函数；若否，则给出理由。
题型分析：此题重在分析第三问，在这里将会用到偶极子的概念，即系统中若存在一对闭环偶极
子，那么这对偶极子在系统中的影响可以近似认为相互抵消，因此可以对系统做降阶处理。
典型例题４．４：已知系统结构如图所示
（ⅰ）绘制Ｋ从－"→＋"变化时系统的闭环根轨迹；
（ⅱ）确定系统稳定时的最小阻尼比。
题型分析：此题重在分析零度根轨迹的绘制，需要重视零度根轨迹和１８０°根轨迹曲线绘制规则的
变化。
典型例题４．５：设某单位负反馈系统的开环传递函数为：
Ｇ（ｓ）＝ ４Ｋ（１－ｓ）
ｓ［（Ｋ＋１）ｓ＋４］
（ⅰ）绘制Ｋ从－"→＋"变化时系统的闭环根轨迹；
（ⅱ）求系统阶跃响应中含有分量ｅ－ａｔｃｏｓ（ωｔ＋β）时的Ｋ值范围，其中ａ＞０，ω＞０；
（ⅲ）求系统有一个闭环极点为－２时的闭环传递函数。
题型分析：此题考查的是参数根轨迹的绘制，在参数根轨迹绘制过程中最重要的是确定等效开环
传递函数，其后绘制的规则和１８０°根轨迹的规则完全相同。此外此题还考查了二阶系统性能指标和
系统状态之间的关系。
—１２—
胡寿松《自动控制原理》考点精讲
第五章　线性系统的频域分析法
５．１　知识结构图
５．２　重要知识点回顾
１．频率特性的相关概念
对于一个稳定的线性定常系统，当输入信号为ｘ（ｔ）＝Ｘｓｉｎωｔ时，其输出的稳态分量ｙｓｓ（ｔ）是同频
率的正弦信号，ｙｓｓ（ｔ）＝Ｙｓｉｎ（ωｔ＋φ），与输入信号ｘ（ｔ）相比，仅是幅值和相位的变化。
设系统的传递函数为Ｇ（ｓ），则频率特性为：
Ｇ（ｊω）＝Ｇ（ｓ）ｓ＝ｊω
系统的频率特性Ｇ（ｊω）是一个复数，记为：
Ｇ（ｊω）＝Ａ（ω）ｅｊφ（ω）
２．Ｂｏｄｅ图的绘制
系统的开环频率特性有三种图示方法：Ｂｏｄｅ图、Ｎｙｑｕｉｓｔ图和 Ｎｉｃｈｏｌｓ图。其中 Ｂｏｄｅ图是由开环
幅频特性曲线和开环相频特性曲线组成。从应试角度看，Ｂｏｄｅ图中的幅频特性曲线应该能准确绘制，
而其余图形只要大致绘制出即可。
（１）Ｌ（ω）的绘制方法
把所有的转折频率标注在频率轴上；
—２２—
绘制出低频渐近线，该直线斜率为－２０νｄＢ／ｄｅｃ（其中 ν为相应传递函数当中积分环节的个数），
点（ω＝１，Ｌ（ω）＝２０ｌｇＫ）在该段直线上，当最小的转折频率小于１时，该点在低频段的延长线上。
每经过一个转折频率斜率做相应的改变，斜率的改变取决于该转折频率所对应的典型环节的
类型。
修正。当开环传递函数中含有二阶环节（振荡或二阶微分）时，通常需要根据二阶环节的特征点
进行修正。
其一是：当ω＝ωｎ时，Ａ（ω）＝
１
２ζ
；
其二是：当ω＝ωｒ＝ωｎ １－２ζ槡
２时，Ａ（ω）＝ １
２ζ １－２ζ槡
２
，对应的是振荡环节。
（２）φ（ω）的绘制方法
先绘制出各环节的相频特性，然后再迭加。同时为了保证φ（ω）的绘制精度，通常要在变化剧烈
或者需要注意的地方取几个点进行修正。
３．由Ｌ（ω）反求最小相位系统的传递函数
最小相位系统的开环对数幅频特性与系统的开环传递函数是一一对应的，因此，可由 Ｌ（ω）求出
相应的传递函数并绘制出相应的相频特性曲线。
在近几年的考研题中，越来越多的出现了由非最小相位系统的Ｌ（ω）求相应的传递函数的题型。
由Ｌ（ω）求Ｇ（ｓ）的关键问题是比例系数 Ｋ的确定。对于一条给定的 Ｌ（ω）折线，除给出各段斜
率、转折频率外，还应有一个定位点，通常是给定某个ω所对应的Ｌ（ω）的值，而比例系数Ｋ就是由此
定位点计算而得到的。需要注意的是：当定位点在折线上时，应按照Ｌ（ω）的折线方程进行计算。
４．Ｎｙｑｕｉｓｔ曲线的绘制
在考研试题中，Ｎｙｑｕｉｓｔ曲线的绘制经常会遇到。在绘制过程中要把握好曲线的三个频段的绘制。
低频段：当ω→０＋时，Ｎｙｑｕｉｓｔ曲线位于起点
Ａ（ω）
等于常数，当ν＝０时
→"
，当ν１{ 时
对于最小相位系统
φ（ω）
→０°，ν＝０
→－９０°，ν＝１
→－１８０°，ν＝２
→－２７０°，ν







＝３
当系统中含有纯微分环节时，只要取ν为负的微分环节的个数即可。
对于非最小相位系统，具体分析。
高频段：当ω→"
时，Ｎｙｑｕｉｓｔ曲线位于终点。
当传递函数分子的阶次ｍ小于分母的阶次ｎ时，Ａ（ω）→０，终点位于坐标原点。
—３２—
胡寿松《自动控制原理》考点精讲
当ｎ＝ｍ时，Ａ（ω）→常数。
中频段：
拐点：含有零点的个数就是系统凸凹变化的次数。
与实轴交点：使虚频Ｖ（ω）＝０的频率ω，代入实频Ｕ（ω），即可得与实轴交点的横坐标。
与虚轴交点：使实频Ｕ（ω）＝０的频率ω，代入虚频Ｖ（ω），即可得与虚轴交点的纵坐标。
５．关于闭环频率特性的相关问题
闭环频率特性曲线的绘制通常比较麻烦。对应单位反馈情况可由 Ｎｉｃｈｏｌｓ标准曲线或由标准的
等Ｍ圆、等Ｎ圆绘出。在最新版的教材中，已经极少提及后一种方法。考生在复习中，只需要掌握概
念即可。
６．Ｎｙｑｕｉｓｔ稳定判据
Ｎｙｑｕｉｓｔ稳定判据是应用开环频率特性判断闭环稳定性的有效方法。
Ｎｙｑｕｉｓｔ稳定判据有两种形式。
形式１：系统稳定的充要条件是ΓＧＨ绕（－１，ｊ０）点逆时针方向旋转Ｐ圈。
当闭环系统不稳定时，闭环正实部特征根的个数Ｚ可按下式确定
Ｚ＝Ｐ－Ｒ
其中，Ｐ为开环传递函数中右半ｓ平面的极点个数；Ｒ为ΓＧＨ绕（－１，ｊ０）转的圈数。规定：逆时针
为正，顺时针为负；ΓＧＨ是当 ω从 －"～＋"变化时完整的 Ｎｙｑｕｉｓｔ曲线。是由三段或者两段曲线构成
的完整曲线。
第１段：ω从０＋～＋"变化时，对应的Ｎｙｑｕｉｓｔ曲线；
第２段：ω从－"～０－变化时，与Ｎｙｑｕｉｓｔ曲线关于实轴对称，方向相反的曲线。
第３段：ω从０－～０＋变化时，半径无限大，顺时针转过的ν·１８０°的大圆弧。
形式２：考虑到ΓＧＨ的对称性，通常也可只绘出ω从０
＋→０－→ ＋"段的映射曲线
１
２ΓＧＨ，相应的判
—４２—
据变为：系统稳定的充要条件是
１
２ΓＧＨ绕（－１，ｊ０）点逆时针旋转
Ｐ
２圈。
当系统不稳定时，右半平面根的个数Ｚ＝Ｐ－２Ｎ。
其中
１
２ΓＧＨ由一段或两段曲线构成：
第１段：ω从０＋～＋"变化时，对应的Ｎｙｑｕｉｓｔ曲线；
第２段：ω从０～０＋变化时，半径无限大，顺时针转过的ν·９０°的大圆弧。
７．对数稳定判据
一个反馈控制系统，其闭环特征方程正实部根的个数可以根据开环传递函数右半ｓ平面极点数Ｐ
和Ｌ（ω）＞０在所有频段内，φ（ω）对（２ｋ＋１）１８０°线的正负穿越次数之差Ｎ＝Ｎ＋－Ｎ－确定：
Ｚ＝Ｐ－２Ｎ
Ｚ为零时，闭环系统稳定；否则，系统不稳定。
Ｚ为系统不稳定根的个数，即右半平面的闭环极点数。
如果闭环传递函数含有ν个积分环节，则绘制开环对数频率曲线后，应从对数相频特性曲线ω→
０＋的地方向上补画ν×９０°的虚线。
８．稳定裕度的定义及计算
当开环系统稳定时，稳定裕度是衡量闭环系统相对稳定系的指标，包括相角裕度和幅值稳定
裕度。
相角稳定裕度γ：γ＝１８０°＋φ（ωｃ）
其中φ（ω）是系统的开环相频特性，ωｃ满足方程：Ａ（ωｃ）＝１，即 Ｌ（ωｃ）＝０，称 ωｃ为系统的开环
截止频率。
幅值稳定裕度ｈ：ｈ＝ １
Ｇ（ωｘ）Ｈ（ωｘ）
或ｈ＝－２０ｌｇＧ（ωｘ）Ｈ（ωｘ）（ｄＢ）
其中，ωｘ满足方程φ（ωｘ）＝－１８０°。
计算γ和ｈ的关键是ωｃ和ωｘ的计算，当中有些技巧，在后面的典型例题中详细解析。
相角裕度和幅值裕度在频率特性曲线上的表示如下。
—５２—
胡寿松《自动控制原理》考点精讲
９．频域指标和时域指标的关系
熟练掌握系统的各项性能项指标的定义公式是正确分析控制系统的基础。常见性能指标如
下表：
性能指标
暂态指标
平稳性 快速性
稳态指标
时域指标 σ％，ζ ｔｓ，ｔｒ，ｔｐ ｅｓｓ
开环频域指标 γ，ｈ ωｃ，ωｘ Ｌ（ω）的低频段
闭环频域指标 闭环谐振峰值Ｍｒ
带宽频率ωｂ
谐振频率ωｒ
闭环零频值
这些指标之间的定性关系：
σ％，γ，Ｍｒ决定了系统的平稳性，提高γ或降低σ％，Ｍｒ，对平稳性有利。
ｔｒ，ｔｐ，ｔｓ，ωｃ，ωｂ，ωｒ决定了系统的快速性。减小ｔｒ，ｔｐ，ｔｓ或提高ωｃ，ωｂ，ωｒ对快速性有利。
开环频率特性的“三频段”与系统性能之间的关系。
典型的开环对数幅频特性图如下：
定义：Ｈ＝
ω３
ω２
为中频宽。
可以推出：
１
ｓｉｎγ
＝Ｍｒ＝
Ｈ＋１
Ｈ－１，Ｈ＝
Ｍｒ＋１
Ｍｒ－１
“三频段”与系统性能之间的关系：
低频段决定了系统的稳态精度，从提高稳态精度的角度，低频段越高（Ｋ越大）越陡（ν越大）
越好。
中频段决定了系统的动态性能，为获得良好的动态性能，应使γ在３０°～７０°之间，Ｌ（ω）应以 －２０
的斜率穿过ω轴，而且中频段应有足够的宽度。
高频段决定了系统抗高频干扰的能力。从提高抗干扰性能的角度，高频段越低、越陡，抑制噪声
的能力越强。
５．３　考研要点
本章考点：应用频率特性计算系统的稳态响应；绘制开环系统的 Ｎｙｑｕｉｓｔ曲线和 Ｂｏｄｅ图，并由此
—６２—
判断闭环系统的稳定性；计算系统的相角裕度和幅值裕度；根据最小相位系统的对数幅频特性曲线，
确定系统的传递函数；根据系统的频域指标估算时域动态性能。
５．４　典型例题分析
典型例题５．１：设系统的结构图如下，其中Ｇ（ｓ）＝ １０
ｓ２（２ｓ＋１）
（ⅰ）试绘制ａ＝０时系统的Ｎｙｑｕｉｓｔ曲线，并用Ｎｙｑｕｉｓｔ稳定判据判断系统的闭环稳定性；
（ⅱ）ａ＞０，若系统开环截止频率ωｃ＝４，问能否满足γ＞４５°的要求？
（ⅲ）讨论参数ａ对系统稳定性的影响。
题型分析：此题是频域分析法的典型考查题型，需要会熟练绘制 Ｎｙｑｕｉｓｔ曲线，这只需要掌握三个
频段内曲线的特征即可，此外Ｎｙｑｕｉｓｔ稳定判据的使用，以及频域内一些重要性能指标的计算也需要
熟练掌握，这是这一章最基本的考查类型。
典型例题５．２：设某系统的单位负反馈开环传递函数如下式所示，试绘制其 Ｂｏｄｅ图，计算相角裕
度γ和幅值裕度ｈ，简单分析系统稳定性。
Ｇ（ｓ）Ｈ（ｓ）＝ ３．１６（ｓ＋１）
ｓ２（０．１ｓ＋１）（０．０５ｓ＋１）
题型分析：此题也属于频域分析法的典型考查题型，要求考生熟练掌握 Ｂｏｄｅ图的绘制技巧，以及
在对数频率特性中如何确定频域性能指标。
典型例题５．３：单位反馈系统的Ｎｙｑｕｉｓｔ曲线如图所示，当ｒ（ｔ）＝２ｔ时，系统的稳态误差ｅｓｓ＝０．２，
试求：
（ⅰ）系统的截止频率ωｃ，相角裕度γ和幅值裕度ｈ；
（ⅱ）系统的闭环传递函数φ（ｓ）；
（ⅲ）在ｒ（ｔ）＝２ｓｉｎωｔ作用下，系统稳态输出的最大幅值和对应频率。
题型分析：此题是一道综合性比较强的题，考生遇到的问题有这样几个：首先，大家已经习惯了如
—７２—
胡寿松《自动控制原理》考点精讲
何从给定的开环频率特性来绘制 Ｎｙｑｕｉｓｔ曲线，但实际上频域分析法是一种实验分析法，也就是说这
种方法更多针对的内部结构不明确的系统，如何从测定的频率特性曲线中反推系统的结构，也就是系
统的传递函数，这道题正是考查了这样一个问题；其次，在系统参数的计算中，又需要考生应用到时域
分析法法中稳态精度（ｅｓｓ＝０．２）；最后，第三问在考查了系统稳定性的判定后，还考察了频率特性的
概念。
典型例题５．４：已知单位负反馈系统的开环传递函数为Ｇ（ｓ）＝２（ｓ＋１）ｓ（ｓ－１），试绘制系统的Ｎｙｑｕｉｓｔ曲
线，并用Ｎｙｑｕｉｓｔ稳定判据判断系统的闭环稳定性。
题型分析：此题系统是一个非最小相位系统，非最小相位系统在绘制系统 Ｎｙｑｕｉｓｔ曲线时，其低频
段的特性是和最小相位系统不同的，这一点要给外关注。此类题型在近几年考试中越来越频繁出现。
—８２—
第九章　线性系统的状态空间分析和综合
９．１　知识结构图
—６４—
９．２　重要知识点回顾
１．线性系统的状态空间描述
（ⅰ）基本概念
状态：系统在时域中的行为或运动信息的集合。
状态变量：确定系统状态的一组独立（数目最小）的变量。
状态向量：以系统ｎ个状态变量作为基底所组成的ｎ维空间。
状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分（差分）方程组。
输出方程：描述系统输出变量和输入变量之间函数关系的代数方程组。
状态空间表达式（动态方程）：状态方程和输出方程的组合。
线性系统：状态空间表达式为线性函数的关系；即
ｘ
·
（ｔ）＝Ａ（ｔ）ｘ（ｔ）＋Ｂ（ｔ）ｕ（ｔ）
ｙ（ｔ）＝Ｃ（ｔ）ｘ（ｔ）＋Ｄ（ｔ）ｕ（ｔ{ ）
线性定常系统：状态空间表达式中的系数矩阵都是常数的线性系统。
状态变量图：按状态空间表达式绘制的系统结构图。
（ⅱ）线性定常连续系统状态空间表达式的建立
描述系统所用的状态变量必须是独立变量，系统状态变量的个数是唯一的。ｎ阶系统的状态变量
数只能是 ｎ个，状态变量的选取不具备唯一性，因此系统状态空间表达式也不具有唯一性，选取不同
的状态变量，便会有不同的状态空间表达式。
系统的状态空间表达式可以根据系统机理、物理定律、微分（差分）方程、传递函数、方框图、信号
流图建立。常选电容电压、电感电流、位移、速度、积分量、微分量作为状态变量，并注意
１
ｓ∫ｄｔ，ｓ
ｄｄｔ。
根据状态矩阵的形式或特点，单输入 －单输出系统的状态方程有可控标准型、可观测标准型、约
当标准型（含对角标准型）三种基本的规范形式。
（ⅲ）状态转移矩阵Φ（ｔ）的求法及其性质
幂级数法：ｅＡｔ＝Ｉ＋Ａｔ＋１２Ａ
２ｔ２＋…＋１ｋ！Ａ
ｋｔｋ＋…＝∑
"
ｋ＝０
１
ｋ！Ａ
ｋｔｋ
拉氏变换法：Φ（ｔ）＝ｅＡｔ＝Ｌ［（ｓＩ－Ａ）－１］
凯莱－哈密顿定理：ｅＡｔ＝∑
ｎ－１
ｍ＝０
ａｍ（ｔ）Ａ
ｍ
Φ（ｔ）的性质：
Φ（０）＝Ｉ
Φ（ｔ）＝ＡΦ（ｔ）＝Φ（ｔ）Ａ
—７４—
胡寿松《自动控制原理》考点精讲
Φ－１（ｔ）＝Φ（－ｔ），Φ－１（－ｔ）＝Φ（ｔ）
ｘ（ｔ２）＝Φ（ｔ２－ｔ１）ｘ（ｔ１）
Φ（ｔ２－ｔ０）＝Φ（ｔ２－ｔ１）Φ（ｔ１－ｔ０）
［Φ（ｔ）］ｋ＝Φ（ｋｔ）
若ＡＢ＝ＢＡ，ｅ（Ａ＋Ｂ）ｔ＝ｅＡｔｅＢｔ＝ｅＢｔｅＡｔ
（ⅳ）线性连续定常系统动态方程的求解
齐次状态方程的解：
ｘ（ｔ）＝Φ（ｔ）ｘ（０）
非齐次状态方程的解：
积分法
ｘ（ｔ）＝Φ（ｔ）ｘ（０）＋∫ｔ０Φ（ｔ－τ）Ｂｕ（τ）ｄτ＝Φ（ｔ）ｘ（０）＋∫
ｔ
０Φ（τ）Ｂｕ（ｔ－τ）ｄτ
拉氏变换法　ｘ（ｔ）＝Ｌ－１［（ｓＩ－Ａ）－１ｘ（０）］＋Ｌ－１［（ｓＩ－Ａ）－１ＢＵ（ｓ）］
（ⅴ）线性离散系统状态空间表达式的求解
递推公式
ｘ（ｋ）＝Ｇｘ（ｋ－１）＋Ｈｕ（ｋ－１）＝Ｇｋｘ（０）＋∑
ｋ－１
ｉ＝０
Ｇｋ－ｉ－１Ｈｕ（ｉ）ｋ＝１，２，···
ｚ变换法
ｘ（ｔ）＝Ｚ－１［（ｚＩ－Ｇ）－１ｘ（０）］＋Ｚ－１［（ｓＩ－Ｇ）－１ＨＵ（ｚ）］
（ⅵ）系统的传递函数矩阵及实现
传递函数矩阵Ｇ（ｓ），初始条件为零时，输出向量拉氏变换式与输入向量拉氏变换式之间的传递
关系，简称传递矩阵，即
Ｇ（ｓ）＝Ｃ（ｓＩ－Ａ）－１Ｂ＋Ｄ
由给定的Ｇ（ｓ），若找到一系统Ｓ（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）能满足上式，则称该系统是 Ｇ（ｓ）的一个实现，实现
并不唯一，常用标准形式来实现。若阶数相等则称Ｇ（ｓ）的最小实现。
传递函数的规范型实现主要有可控标准型、可观测标准型和约当标准型三类。
Ｇ（ｓ）＝
βｎ－１ｓ
ｎ－１＋βｎ－２ｓ
ｎ－２＋…＋β１ｓ＋β０
ｓｎ＋αｎ－１ｓ
ｎ－１＋αｎ－２ｓ
ｎ－２＋…＋α１ｓ＋α０
＋ｂｎ
可控标准型（能控Ⅰ型）
Ａ＝
０ １ ０ … ０
０ ０ １ … ０
   … 
０ ０ ０ … １
－ａ０ －ａ１ －ａ２ … －ａ

















ｎ－１
，ｂ＝
０













０
１
—８４—
ｃ＝［β０　β１　…　βｎ＝１］，ｄ＝ｂｎ
可观标准型（能控Ⅱ型）
Ａ＝
０ ０ … ０ －ａ０
１ ０ … ０ －ａ１
０ １ … ０ －ａ２
  …  
０ ０ … １ －ａ

















ｎ－１
，ｂ＝
β０
β１

β













ｎ－１
ｃ＝［０　…　０　１］，ｄ＝ｂｎ
约当标准型（含对角标准型）
设Ｇ（ｓ）＝Ｎ（ｓ）Ｄ（ｓ）＝
ｃ１１
（ｓ－λ１）
３＋
ｃ１２
（ｓ－λ１）
２＋
ｃ１３
（ｓ－λ１）
＋∑
ｎ
ｉ＝１
ｃｉ
ｓ－λｉ
式中，λ１为三重实极点；λ４，···，λｎ为单实极点，约当标准型为
ｘ
·
１１
ｘ
·
１２
ｘ
·
１３
ｘ
·
４

ｘ
·



























ｎ
＝
λ １
λ １
λ
λ
…



















λ
ｘ１１
ｘ１２
ｘ１３
ｘ４

ｘ





















ｎ
＋
０
０
１
１




















１
ｕ
ｙ＝［ｃ１１　ｃ１２　ｃ１３　ｃ４　…　ｃｎ］ｘ
可控标准型和可观测标准型互为对偶关系。
２．线性系统的可控性与可观测性
（ⅰ）系统状态可控性及其判据
对于 ｘ
·
（ｔ）＝Ａｘ（ｔ）＋Ｂｕ（ｔ）形式的线性系统，如果状态空间中的所有非零状态 ｘ（ｔ）≠０都可在 ｕ
（ｔ）作用下在有限时间Ｔ内转移到ｘ（Ｔ）＝０，则称系统状态完全可控，简称系统可控。可控性是系统
状态运动的一个定性特征，表征控制作用ｕ（ｔ）对状态变量ｘ（ｔ）的影响程度。
线性定常系统可控性常用判据：
秩判据：连续ｒａｎｋ［Ｂ　ＡＢ…Ａｎ－１Ｂ］＝ｎ
离散ｒａｎｋ［Ｈ　ＧＨ…Ｇｎ－１Ｈ］＝ｎ
（ｓＩ－Ａ）－１Ｂ的行向量线性无关；
状态矩阵Ａ为对角阵且对角元素互异时，输入矩阵Ｂ无全零行；
当Ａ阵为约当阵且重特征值只对应一个约当块时，Ｂ阵中对应互异特征值的行元素不全为零，与
—９４—
胡寿松《自动控制原理》考点精讲
约当块最后 行所对应行的元素不 为零（相同特征值分布在不同约当块时不适用）；
单输入系统为可控标准型或可化为可控标准型。
（ⅱ）系统输出可控性
若在有限时间间隔［ｔ０，ｔ１］内，存在无约束分段连续控制函数ｕ（ｔ），使任意初始输出ｙ（ｔ０）转移到
任意最终输出ｙ（ｔ１），则称系统是输出完全可控的，简称为输出可控。它与状态可控性没有必然的联
系。其可控性判据为
ｒａｎｋ［ＣＢ　ＣＡＢ…ＣＡｎ－１ＢＤ］＝ｑ
（ⅲ）系统可观测性及其判据
对系统 ｘ
·
（ｔ）＝Ａ（ｔ）ｘ（ｔ），ｙ（ｔ）＝Ｃ（ｔ）ｘ（ｔ）存在一个有限时间 ｔ，对于所有 ｔ∈［ｔ０，ｔ１］，在给定 ｔ０
下，可由输出ｙ（ｔ）唯一确定状态向量的初值ｘ（ｔ０），则称系统是完全可观测的，简称系统可观。它表征
状态可由输出量ｙ（ｔ）反映的能力。
线性定常连续系统可观测性常用判据
秩判据：连续ｒａｎｋ
Ｃ
ＣＡ

ＣＡ













ｎ－１
＝ｎ，
离散ｒａｎｋ［ＣＴ　ＧＴＣＴ…（ＧＴ）ｎ－１ＣＴ］＝ｎ
系统Ｃ（ｓＩ－Ａ）－１的列向量线性无关；
状态矩阵Ａ为对角阵且对角元素互异时，输出矩阵Ｃ无全零行；
当Ａ阵为约当阵且重特征值只对应一个约当块时，Ｃ阵中对应互异特征值的列元素不全为零，与
约当块最前一列所对应的元素不全为零（相同特征值分布在不同约当块时不适用）；
单输出系统为可观测标准型或可化为可观测标准型。
（ⅳ）连续时间系统离散化后的可控性和可观测性与原系统之间的关系
若连续系统不可控（不可观测），离散化后的系统一定不可控（不可观测）；若连续系统可控（可观
测），离散化后的系统不一定可控（可观测），与采样周期的选择有关。
３．线性定常系统的线性变换
（ⅰ）状态空间表达式的线性变换
非奇异线性变换的目的通常是将系统变成某种规范形式，如可控标准型、可观测标准型、对角型、
约当型，以便于分析和综合设计。非奇异线性变换是等价变换，系统原有的特性。
变换前
ｘ
·
＝Ａｘ＋Ｂｕ{ｙ＝Ｃｘ＋Ｄｕ，变换后，
ｘ
－
·
＝Ａ
－
ｘ
－
＋Ｂ
－
ｕ
ｙ＝Ｃ
－
ｘ
－
＋Ｄ
－{ ｕ
其中，ｘ＝Ｐｘ
－
，ｘ
－
＝Ｐ－１ｘ，Ａ
－
＝Ｐ－１ＡＰ，Ｂ
－
＝Ｐ－１Ｂ，Ｃ
－
＝ＣＰ，Ｄ
－
＝Ｄ。
—０５—
（ⅱ）非奇异线性变换的不变性
非奇异线性变换不改变系统的固有特性（即特征值、传递函数矩阵、可控性、可观测性均不变）。
（ⅲ）对偶原理
系统Ｓ１（Ａ，Ｂ，Ｃ）和系统Ｓ２（Ａ
Ｔ，ＢＴ，ＣＴ）互为对偶系统，则若系统Ｓ１可控，则Ｓ２可观测；若Ｓ１可观
测，则Ｓ２可控。
（ⅳ）线性定常系统的结构分解
系统的结构分解有可控性标准分解和可观测性标准分解两种形式。从可控性，可观测性出发，状
态变量可分解为可控可观测ｘｃｏ，可控不可观测ｘｃｏ－，不可控可观测 ｘｃ－ｏ，不可控不可观测 ｘｃ－ｏ－四类。与
此对应，状态空间可划分为４个子空间，系统也可分解为４个子系统，这称为系统的规范分解。规范
分解更能明显的揭示系统的结构特征和传递特征。分解途径：从可控性矩阵或可观性矩阵中，选出线
性无关的列或行向量，经扩充后构成非奇异矩阵，然后实施线性变换。
４．线性定常系统的反馈结构及状态观测器
（ⅰ）常用反馈结构及其对系统特性的影响
状态反馈：两种形式：反馈至参考输入（重点），反馈至状态微分。
状态反馈至参考输入的闭环动态方程 ｘ
·
＝（Ａ－ＢＫ）ｘ＋Ｂｖ，ｙ＝Ｃｘ
用状态反馈任意配置单输入系统闭环极点的充要条件是：系统可控。
状态反馈不改变系统可控性，但可能会改变可观测性；状态反馈不改变闭环传递函数的零点。
输出反馈：两种形式：反馈至状态微分（重点），反馈至参考输入。
输出反馈至状态微分的闭环动态方程 ｘ
·
＝（Ａ－ＢＦＣ）ｘ＋Ｂｖ，ｙ＝Ｃｘ
用输出至状态微分的反馈任意配置单输出闭环极点的充要条件是：系统可观测。
输出至状态微分的反馈不改变系统可观测性，但可能改变可控性。
输出至参考输入的反馈不改变系统可观测性和可控性。
（ⅱ）状态观测器及其设计
可以通过用被控对象的输出量和输入量建立状态观测器来重构状态。状态观测器分全维状态观
测器和降维状态观测器。全维状态观测器状态向量的维数与被控对象状态向量的维数相同；降维状
态观测器状态向量的维数小于被控对象状态向量的维数。
全维状态观测器动态方程ｘ
·
∧
（ｔ）＝（Ａ－ＨＣ）ｘ
∧
（ｔ）＋Ｂｖ＋Ｈｙ，ｙ
∧
＝Ｃｘ
∧
。Ｈ阵按极点配置的需要来选
择，以决定状态估计误差衰减的速率，通常希望观测器的响应速度比状态反馈的响应速度快 ２～
１０倍。
（ⅲ）分离定理
若被控系统可控可观测，用状态观测器估值形成状态反馈时，其系统的极点配置和观测器设计可
分别独立进行，即Ｋ和Ｈ阵的设计可分别独立进行。
—１５—
胡寿松《自动控制原理》考点精讲
５．李雅普诺夫稳定性分析
（ⅰ）李雅普诺夫意义下的稳定性
平衡状态：满足ｘｅ
·
＝ｆ（ｘｅ，ｔ）＝０的ｘｅ称为平衡状态。
设系统初始状态ｘ０位于平衡状态ｘｅ为球心，δ为半径的闭环域Ｓ（δ）内，即
‖ｘ０－ｘｅ‖!δ，ｔ＝ｔ０
若能使系统方程的解ｘ（ｔ；ｘ０，ｔ０）在ｔ→"
的过程中，都位于以ｘｅ为球心，任意规定的半径为ε的闭
环域Ｓ（ε）内，即
‖ｘ（ｔ；ｘ０，ｔ０）－ｘｅ‖!ε，ｔｔ０
则称系统的平衡状态ｘｅ在李雅普诺夫意义下是稳定的。
一致稳定：稳定性与起始时间无关；大范围稳定：系统稳定性与初始状态无关；渐进稳定：状态随
时间逐渐收敛于平衡状态；不稳定：无论δ和ε多么小，只要存在一个初始状态，使得‖ｘ（ｔ；ｘ０，ｔ０）－ｘｅ
‖＞ε，ｔｔ０。
系统稳定性与输入无关；若线性定常系统是渐进稳定的，则一定是大范围内一致渐近稳定的。
（ⅱ）李雅普诺夫第一法（间接法）
对于线性定常 ｘ
·
＝Ａｘ，ｘ（０）＝ｘ０，ｒ０有
系统的每一个平衡状态是在李雅普诺夫意义下稳定的充要条件是：Ａ的所有特征值均具有非正
（负或零）实部，且具有零实部的特征值为Ａ的最小多项式的单根。
系统的唯一平衡状态ｘｅ＝０是渐进稳定的充要条件是Ａ的所有特征值均有负实部。
（ⅲ）李雅普诺夫第二法
标量函数的定号性，李雅普诺夫函数是能量函数，是正定的标量函数。
对于定常系统ｘ＝ｆ（ｘ，ｔ），ｔ０，ｆ（０，ｔ）＝０，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数Ｖ（ｘ），若
满足：（ａ）Ｖ（ｘ）为正定；（ｂ）Ｖ
·
（ｘ）为负定；（ｃ）当‖ｘ‖→"
时 Ｖ（ｘ）→"
。则系统在原点是大范围
渐进稳定的。
满足：（ａ）Ｖ（ｘ）为正定；（ｂ）Ｖ
·
（ｘ）为负半定；（ｃ）Ｖ
·
［ｘ（ｔ；ｘ０，ｔ０），ｔ］为正定在非零状态不恒为零；
（ｄ）当‖ｘ‖→"
时Ｖ（ｘ）→"
。则系统在原点是大范围渐进稳定的。
满足：（ａ）Ｖ（ｘ）为正定；（ｂ）Ｖ
·
（ｘ）为负半定；（ｃ）Ｖ
·
［ｘ（ｔ；ｘ０，ｔ０），ｔ］为正定在非零状态存在恒为零。
则系统在原点是李雅普诺夫稳定的，但不是渐进稳定的。
满足：（ａ）Ｖ（ｘ）为正定；（ｂ）Ｖ
·
（ｘ）为正定（有界）。则系统不稳定。
（ⅳ）李雅普诺夫第二法在线性定常系统稳定性分析中的应用
对于线性定常连续系统 ｘ
·
＝Ａｘ，Ａ为非奇异矩阵，原点是系统唯一的平衡状态。取二次型函数作
为可能的李雅普诺夫函数Ｖ（ｘ）＝ｘＴＰｘ，则 Ｖ
·
（ｘ）＝ｘＴ（ＡＴＰ＋ＰＡ）ｘ＝－ｘＱＴｘ，系统渐进稳定的充要条
—２５—
件是：给定一个正定对称矩阵Ｑ，存在正定对称矩阵Ｐ，使ＡＴＰ＋ＰＡ＝－Ｑ成立。
线性离散系统ｘ（ｋ＋１）＝Ｇｘ（ｋ）在平衡状态ｘｅ＝０渐进稳定的充要条件是：任意给定的一个正定
对称矩阵Ｑ，存在正定对称矩阵Ｐ，使ＧＴＰＧ－Ｐ＝－Ｑ成立。
（若标量函数Ｖ［ｘ（ｋ）］＝－ｘＴ（ｋ）Ｑｘ（ｋ）不恒为零，则Ｑ可取正半定矩阵。）
分析方法：给定Ｐ验Ｑ；给定Ｑ验Ｐ。
ＢＩＢＳ，ＢＩＢＯ稳定性及判别：
ＢＩＢＳ稳定（有界输入－有界状态稳定），定义为：对任意有界的 ｘ（０），若在任意有界输入 ｕ（ｔ）作
用下，均有ｘ（ｔ）有界，则称系统ＢＩＢＳ稳定。
ＢＩＢＯ稳定（有界输入－有界输出稳定），定义为：对任意有界的ｘ（０），若在任意有界输入 ｕ（ｔ）作
用下，均有ｙ（ｔ）有界，则称系统ＢＩＢＯ稳定。
如果线性定常系统是渐进稳定的，则系统一定是ＢＩＢＳ稳定的和ＢＩＢＯ稳定的。
一个ＢＩＢＯ稳定的系统不一定是ＢＩＢＳ稳定的。线性定常系统ＢＩＢＯ稳定性判别方法主要依据传
递函数矩阵进行，如果其极点全部位于左半复平面（不含虚轴）上，则系统是ＢＩＢＯ稳定的。
９．３　考研要点点击
本章的主要考点有：
１．状态变量及状态空间的有关概念：由系统机理、框图、微分方程（差分方程）、传递函数（脉冲传
递函数）建立状态空间表达式，画状态变量图；传递函数（矩阵）的实现：可控标准型、可观测标准型、对
角型、约当型；由状态空间表达式求传递函数矩阵；系统转移矩阵性质的证明与应用；由状态矩阵Ａ求
状态转移矩阵Φ（ｔ）；线性定常连续系统状态方程的求解；离散动态方程求解。
２．系统可控性，可观测性的概念；电路网络可控、可观测的直观判别；线性定常系统可控、可观测
性秩判据及应用；约当（对角）规范型系统的可控、可观测性判据；系统可控性、可观测性与传递函数的
关系。
３．非奇异线性变换的不变特性及证明；状态空间表达式向可控标准型、可观测标准型、对角型、约
当型的变换；对偶原理及应用；对线性定常系统按可控、可观进行规范分解。
４．状态反馈任意配置系统极点的有关概念，单输入 －单输出系统状态反馈矩阵 Ｋ的确定与极点
配置；输出反馈任意配置系统极点的有关概念，单输入－单输出系统输出反馈矩阵Ｈ的确定与极点配
置；分离定理；状态观测器概念与全维状态观测器设计。
５．李雅普诺夫稳定性的有关概念；标量函数的定号性概念及判别；平衡状态求解；用李雅普诺夫
函数及直接法４个定理判定系统稳定性；线性定常系统由Ｐ验Ｑ和由Ｑ验Ｐ的稳定性判定；ＢＩＢＳ，ＢＩ
ＢＯ稳定性判定。
９．４　型例题分析
典型例题９．１　已知某单位负反馈系统的状态空间描述为：
—３５—
胡寿松《自动控制原理》考点精讲
ｘ
·
＝
２ ４ ５
０ １ １







０ １ １
ｘ＋








０
０
１
ｕ， [ ]ｙ＝ １ ０ ０ｘ
（１）求该系统的传递函数；
（２）判断该系统的状态可控性、输出可控性、可观测性；
（３）试求系统的可控标准型。
典型例题９．２：设系统的状态空间表达式为
ｘ
·
＝
０ １[ ]－２ －３
ｘ＋[ ]０１ｕ， [ ]ｙ＝ １ ａｘ
（１）试求状态转移矩阵；
（２）为保证系统状态的能观性，ａ应取何值？
（３）试求状态空间表达式的能观规范型；
（４）用李雅普诺夫第二法判断系统的稳定性。
典型例题９．３：设系统状态空间表达式为
ｘ
·
＝
１ １ ０
０ －１ ０







１ ２ ０
ｘ＋








１
０
１
ｕ， [ ]ｙ＝ １ １ １ｘ
（１）判定系统的状态可控性和可观测性；
（２）采用状态正反馈，使系统极点为{ }－１ －２ －２，
试确定状态反馈阵Ｋ＝ ｋ１ ｋ２ ｋ[ ]３ 。
—４５—