概要信息：

新东方在线 [www.koolearn.com ]考研数学网络课堂电子教材系列                           高等数学 
考研数学高等数学强化讲义 
主讲：张宇 
张宇：新东方在线名师，博士，全国著名考研数学辅导专家，教育部“国家精品课程建设骨
干教师”，全国畅销书《高等数学 18 讲》、《考研数学题源探析经典 1000 题》作者，高等教
育出版社《全国硕士研究生入学统一考试数学考试参考书（大纲解析）》编者之一，2007 年
斯洛文尼亚全球可持续发展大会受邀专家（发表 15 分钟主旨演讲）．首创“题源教学法”，对
考研数学的知识结构和体系有全新的解读，对考研数学的命题与复习思路有极强的把握和预
测能力，让学生轻松高效夺取高分． 
 
 
欢迎使用新东方在线电子教材 
 
目   录 
第一讲  极限 ................................................................................................................................... 1 
第二讲  一元函数微积分学 ........................................................................................................... 8 
第三讲  多元函数微分学 ............................................................................................................. 24 
第四讲  二重积分 ......................................................................................................................... 31 
第五讲  微分方程 ......................................................................................................................... 35 
第六讲  无穷级数（数一、三） ................................................................................................. 39 
第七讲  多元函数积分学的预备知识（数一） ......................................................................... 50 
第八讲  多元函数积分学（数一） ............................................................................................. 56 
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1 
 
第一讲  极限 
综述 
1．定义与性质 
2．函数极限的计算 
3．数列极限的计算 
4．应用：无穷小比阶；连续与间断 
 
内容展开 
极限的定义与性质 
1．定义 
1）
0
lim ( )
x x
f x A

  0  ， 0  ，当 00 x x    时，恒有 ( )f x A   . 
（
0x x ， 0x x ， 0x x ， x ， x ， x  ） 
2） lim n
n
x a

  0  ， 0N  ，当n N 时，恒有 nx a   . 
考点有三： 
①极限运算的过程性    0x   
若
0
lim ( )
x
f x

，则 ( )f x 在 0x  中处处有定义； 
若 ( )f x 在 0x  中有无定义点，则
0
lim ( )
x
f x

不 . 
如
0
1
sin( cos )
lim
1
cos
x
x
x
x
x

 
 
 
 
 
②  ， N  的考法 
 
 
 
 
③取 ，证明 ( )f x ，
nx 的范围. 
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2 
 
 
 
 
2．性质 
①唯一性     若 lim ( )
x
f x A

 ，则 A唯一. 
【例】已知
2
1
0
ln(1 )
lim( [ ])
ln(1 )
x
x
x
e
I k x
e


 

存在，求 I ， k . 
 
 
 
 
 
 
 
②局部有界性 
若
0
lim ( )
x x
f x A

 ，则 0M  ， 0  ，使得当 00 x x    时， ( )f x M . 
 
 
 
【例】设
3
2
( 1)sin
( )
( 1)
x x
f x
x x



，讨论其在定义域上的有界性. 
 
 
 
 
 
 
 
③局部保号性 
若 lim ( ) 0
x
f x A

  （或），则在 x 中， ( ) 0f x  （或）.     脱帽 
推论：若 x 中， ( ) 0f x  （或），若 lim ( )
x
f x

，则 lim ( ) 0
x
f x

 （或）.    戴帽 
【例】设
0
0
2
0
( ) ( )
lim 1
( )x x
f x f x
x x

 

，则 ( )f x 在
0x x 处（  ） 
（A）取极大值      （B）取极小值      （C）不取极值      （D）不确定 
 
 
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函数极限的计算 
综述：（1）化简先行 
（2）判别类型（七种未定式） 
（3）使用工具（洛必达法则、泰勒公式） 
（4）注意事项 
【例】求下列极限 
（1）
20
1 cos cos 2 cos3
lim
x
x x x
x
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
（2）
2
1
1000
lim
x
x
e
x


 
 
 
 
 
 
 
（3）
1
2
1
2
[ ( 1) ]
lim
1
ln(1 )
x
t
x
t e t dt
x
x

 


 
 
 
 
 
 
 
（4）
1
lim ln ln(1 )
x
x x

   
 
 
 
 
 
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4 
 
【注】重要公式：
0
lim ln 0
x
x x 

 （ 0  ， 0  ） 
（5）
2 1
lim[ 4 ln(2 ) 2ln 2 ]
x
x x x
x
     
 
 
 
 
 
 
 
（6）
2 sin
0
lim (2 tan ) x
x
x x

  
 
 
 
 
 
 
 
（7）
sinlim ( sin ) x
x
x x



   
 
 
 
 
 
 
 
 
（8）
2
lim
1
(1 )
x
x x
e
x


 
 
 
 
 
 
 
 
（9）若
2
2 20
( )
lim 1
sinx
x f x
x x

 ，求
2
2 20
sin ( )
lim
sinx
x f x
x x

. 
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数列极限的计算 
1．通项已知且易于连续化，用归结原则 
【例】求下列极限： 
（1）
2
1 1
lim(1 ) n
n n n
   
 
 
 
 
 
 
（2）
1
sinlim(1 2 3 )n n n n
n


   
 
 
 
 
 
 
 
2．通项已知但不易连续化，用夹逼准则 
【例】（Ⅰ）证明：当 0x  时， ln(1 )
1
x
x x
x
  

. 
（Ⅱ）设
2 2 2
1 2
(1 )(1 ) (1 )n
n
x
n n n
    ，求 lim n
n
x

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3．对通项由递推公式给出的，用单调有界准则 
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6 
 
【例】（Ⅰ）设
1
( ) lnf x x
x
  ，求 ( )f x 的最小值； 
（Ⅱ）设 nx 满足
1
1
ln 1n
n
x
x 
  ，证明 lim n
n
x

存在，并求此极限. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
极限的应用：无穷小比阶，判别连续与间断 
【例 1】设 2 3( )p x a bx cx dx    ，当 0x  时，若 ( ) tanp x x 是比
3x 高阶的无穷小
量，求 ( )p x . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
【例 2】若
2
ln(1 )
0
sinx x t
dt
t
 
 与
kcx 为等价无穷小量，求c ， k . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7 
 
【例 3】
1
( )
( 1) ln
x
x
f x
x x x



的可去间断点有     个. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
【例 4】设
2
2
( 4)
, 0,
sin
( )
( 1)
, 0
1
x x
x
x
f x
x x
x
x

 

 
 
 
 
求其间断点并判别类型. 
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第二讲 一元函数微积分学 
综述 
1．概念 
2．计算 
3．应用 
4．证明 
 
一、概念 
综述：导数、微分、不定积分、定积分、变限积分、反常积分 
1．导数 
【注】 ( )f x 在
0x 点处可导 
 ( )f x 在
0x 点处导数存在 

0( )f x 存在 
命题角度： 
（1）具体型（易） 
（2）半抽象半具体型（中） 
（3）抽象型（难） 
【例 1】设
2 1
sin , 0,
( )
0, 0
x x
F x x
x


 
 
，求 ( )F x . 
 
 
 
 
 
 
【例 2】设 0  ， ( )f x 在[ , ]  上有定义， (0) 1f  ，且
20
ln(1 2 ) 2 ( )
lim 0
x
x xf x
x
 
 ，
证明： ( )f x 在 0x  处可导，并求 (0)f  . 
 
 
 
 
 
 
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9 
 
 
【例 3】设 ( )f x 在 0x  处连续，且
0
( ) ( )
lim
x
f x f x
x
 
，能否推出 (0)f  存在？ 
 
 
 
 
 
【例 4】设 ( )f x 在 0x  处连续，且
0
(2 ) ( )
lim
x
f x f x
x

，能否推出 (0)f  存在？ 
 
 
 
 
 
 
 
【例 5】设 ( )f x 在 0x  处连续，且
0
( ) ( )
lim
x
f ax f x
b
x

 ， a ，b 为常数， 1a  ， 
证明： (0)
1
b
f
a
 

. 
 
 
 
 
 
 
 
2．微分    ( )y f x  
①
0 0( ) ( )y f x x f x         真实增量 
② A x                        线性增量 
③
0
lim 0
x
y A x
x 
  


( )y f x  在
0x 处可微 
故一点可导一点可微 
考点： ( )y A x o x      
0( )dy A x y x x Adx      
【例】设 ( )f u 可导， 2( )y f x ，当 x 在 1x   处取 0.1x   时， y 的线性主部为0.1，
则 (1)f             . 
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3．不定积分 
①定义： x I  ，都有 ( ) ( )F x f x  ，则称 ( )F x 是 ( )f x 在 I 上的一个原函数. 
( ) ( )f x dx F x C   
否则：
0x I  ，使得
0 0( ) ( )F x f x  ，则 ( )F x 不是 ( )f x 在 I 上的原函数. 
②原函数存在定理 
1）连续；2）跳跃；3）可去；4）无穷；5）振荡. 
1）连续函数必有原函数（考过证明） 
设 ( )f x 在 I 上连续，证明 ( ) ( )
x
a
F x f t dt  ( , )a x I 必可导，且 ( ) ( )F x f x  ， x I  . 
 
 
 
 
 
2）含跳跃间断点的函数在此区间必没有原函数. 
 
 
 
 
 
 
3）、4）同 2） 
5）只具体计算，不抽象证明 
【例 1】
2 1
sin , 0,
( )
0, 0
x x
F x x
x


 
 
 
【例 2】
1 1
sin , 0,
( )
0, 0
x
f x x x
x


 
 
是否有原函数？ 
4．定积分 
 
 
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11 
 
 
 
 
【例】在[ 1,2] 上，判断以下函数是否存在原函数和定积分？ 
①
2, 0
( ) 1, 0
1, 0
x
f x x
x


 
 
 
② 2 2
1 2 1
2 sin cos , 0
( )
0, 0
x x
f x x x x
x

 
 
 
 
③
1
, 0
( )
0, 0
x
f x x
x


 
 
 
④
1 1
2 cos sin , 0
( )
0, 0
x x
f x x x
x

 
 
 
 
【注】① ( )f x 连续 ( ) ( )
x
a
F x f t dt  可导； ( )f x 可积 ( ) ( )
x
a
F x f t dt  连续. 
( ) ( )
x
a
F x f t dt   “天生”就连续！ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
【例】设函数  y f x 在区间 1,3 上的图形为： 
 
1 
( )f x
 
-2 
0 
2 3 x
 
-1 
O 
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12 
 
则函数    
0
x
F x f t dt  的图形为（   ） 
（A）  （B）   
 
（C）  （D）  
②关于奇偶、周期、有界、单调 
（1）奇偶性 
1）若可导函数 ( )f x 是奇函数，则 ( )f x           . 
2）若可导函数 ( )f x 是偶函数，则 ( )f x           . 
3）若可积函数 ( )f x 是奇函数，则
0
( )
( )
( ) ( 0)
x
x
a
f t dt
F x
f t dt a


 
 



 
 
 
 
 
4）若可积函数 ( )f x 是偶函数，则
0
( )
( )
( ) ( 0)
x
x
a
f t dt
F x
f t dt a


 
 



 
 
 
 
( )F x  
0 
2 3 x
 
1 -2 
-1 
1 
( )F x  
0 
2 3 x
 
1 -1 
1 
( )F x  
0 
2 3 x
 
1 -2 
-1 
1 
( )F x  
0 
2 3 x
 
1 -2 
-1 
1 
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13 
 
【例 1】设 ( )f x 是奇函数，除 0x  外处处连续， 0x  为其第一类间断点，则
0
( ) ( )
x
F x f t dt  是（    ） 
（A）连续的奇函数                （B）连续的偶函数 
（C） 0x  为间断点的奇函数       （D） 0x  为间断点的偶函数 
 
 
 
 
【例 2】设 ( )f x 是连续的奇函数， 0a  ，则下列函数中一定是 y 的偶函数的个数为      . 
①
0
( )
y x
a
dx f u du  ；②
0
( )
y x
a
dx f u du  ；③
2
0
( )
y x
a
dx x f u du  ；④ ( )
y x
a a
dx xf u du   
 
 
 
（2）周期性 
1）若可导函数 ( )f x 以T 为周期，则其导数 ( )f x 也是以T 为周期的. 
2）若可积函数 ( )f x 以T 为周期，则 ( ) ( )
x
a
F x f t dt  以T 为周期的充要条件是 
0
( ) 0
T
f x dx  . 
 
 
 
 
 
 
【定理】若可积函数 ( )f x 以T 为周期，则
0
( ) ( )
T a T
a
f x dx f x dx

  ， a . 
（3）有界性 
 
 
 
【例】设 ( )f x 在 (0, ) 内可导，则（  ） 
（A） ( )f x 在 ( , )X  内有界，则 ( )f x 在 ( , )X  内有界 
（B） ( )f x 在 ( , )X  内有界，则 ( )f x 在 ( , )X  内有界 
（C） ( )f x 在 (0, ) 内有界，则 ( )f x 在 (0, ) 内有界 
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14 
 
（D） ( )f x 在 (0, ) 内有界，则 ( )f x 在 (0, ) 内有界 
 
 
 
 
 
 
③关于定积分的精确定义 
 
 
 
 
 
 
 
【例 1】
2 2 2 2 2
1 2 3
lim( )
1 4 9n
n n n n n
n n n n n
   
   
   
 
 
 
 
 
 
 
 
【例 2】求
1 2 11
2
0
lim( 1) sin
i in
n n n
n
i
b b b



  ， 1b  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
5．变限积分    ( )
x
a
f t dt ， ( )
b
x
f t dt ，
2
1
( )
( )
( )
x
x
f t dt

  
1）属于定积分 ( )
b
a
f x dx 范畴 
2）求导公式 
2
1
( )
2 2 1 1
( )
( ( ) ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( )
x
x
f t dt f x x f x x


          
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【例】设 ( )f x 是连续函数，则
2 2
0
( ( ) )
x
xtf x t dt          . 
 
 
 
6．反常积分 
①定义  ( )
a
f x dx

  
        ( )
b
a
f x dx ， a 为瑕点 
②判别依据 
1
11
1
p
p
dx
x p
  

 

收敛
发散
 
1
0
11
1
p
p
dx
x p
 

 

收敛
发散
 
【例 1】设 0  ，讨论
1
0
ln x
dx
x 的敛散性. 
 
 
 
 
【例 2】设 0k  ，讨论
2 (ln )k
dx
x x

 的敛散性. 
 
 
 
 
 
 
二、计算 
1．求导 
综述：一般题——求导规则、符号写法 
      高阶题——泰勒公式、莱布尼兹公式 
【例 1】设
1
sin , 0, 0,
( )
0, 0
x x
f x x
x




 
 
 
，讨论 ， 满足何种关系时， ( )f x 在 0x 
处连续. 
 
 
 
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16 
 
 
 
 
 
 
【例 2】设 ( )y f x 由 3 2 2 6 0y xy x y    确定，求 ( )f x 的极值. 
 
 
 
 
 
 
 
 
【例 3】设 3 siny x x ，求 (6) (0)y . 
 
 
 
 
 
 
 
 
【例 4】设
1
2 3
y
x


，求 ( ) (0)ny . 
 
 
 
 
 
 
【例 5】设
2cos
1
nx
y x x
x
 

，求 ( ) ( 2)ny n  . 
 
 
 
 
 
 
 
2．求积分 
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17 
 
综述：凑微分法、换元法、分部积分法、有理函数积分法 
【例 1】
2
2
ln( 1 )
1
x x
dx
x
 
  
 
 
 
 
 
 
【例 2】
2(2 1) 3 4 4
dx
x x x  
  
 
 
 
 
 
 
【例 3】
1
ln(1 )
x
I dx
x

  ( 0)x   
 
 
 
 
 
 
 
【例 4】
1
1
x
x
e
I dx
e


  
 
 
 
 
 
 
 
【例 5】
4 23 ( 1) 2
dx
I
x x x


 
  
 
 
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18 
 
 
 
三、应用 
1．几何应用（主体） 
（1）导数（极值点、最值点、拐点、单调性、凹凸性、渐近线——性态） 
1
0 极值点与单调性 
1）判别极值的“一阶”充分条件 
①
0 0( , )x x x  ， ( ) 0f x  ；
0 0( , )x x x   ， ( ) 0f x     
0x 为极小值点； 
②
0 0( , )x x x  ， ( ) 0f x  ；
0 0( , )x x x   ， ( ) 0f x     
0x 为极大值点. 
【例】已知 ( )y y x 满足 2 2 1x y y y    ， (2) 0y  ，求 ( )y x 的极值. 
 
 
 
 
 
 
 
2）判别极值的“高阶”充分条件 
设 ( )f x 在
0x 处 n 阶可导，且
( 1)
0 0 0
( )
0
( ) ( ) ( ) 0,
( ) 0
n
n
f x f x f x
f x
     


 
当 n 为偶数时，若
( )
0 0
( )
0 0
( ) 0
( ) 0
n
n
f x x
f x x
  

 
极小值点
极大值点
 
【例】设 ( )y y x 满足 (4) cos3 5 xy y y e   ，其中 (2) (2) (2) (2) 0y y y y      ，讨
论 y 在 2x  的性态. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
0 拐点与凹凸性 
1）判别拐点的“二阶”充分条件 
设 ( )f x 在
0x 点的左右邻域内 ( )f x 变号
0 0( , ( ))x f x 为曲线上的拐点. 
2）判别拐点的“更高阶”充分条件 
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19 
 
    设 ( )f x 在
0x 处 n 阶可导，且
( 1)
0 0 0
( )
0
( ) ( ) ( ) 0,
( ) 0
n
n
f x f x f x
f x
     


 
当 n 为奇数时，
0 0( , ( ))x f x 为拐点. 
【例 1】 2 3 4( 1)( 2) ( 3) ( 4)y x x x x     的一个拐点为（  ） 
（A） (1,0)       （B） (2,0)       （C） (3,0)       （D） (4,0)  
 
 
 
 
 
【例 2】设 ( )f x 二阶可导， ( ) (0)(1 ) (1)g x f x f x   ，则在[0,1]上，（  ） 
（A） ( ) 0f x  时， ( ) ( )f x g x  
（B） ( ) 0f x  时， ( ) ( )f x g x  
（C） ( ) 0f x  时， ( ) ( )f x g x  
（D） ( ) 0f x  时， ( ) ( )f x g x  
 
 
 
 
 
 
 
 
3
0 渐近线——求解程序 
1）找 ( )y x 的无定义点或定义区间的端点
0x . 
若
0
lim ( )
x x
y x

 （或 0x x 、 0x x ），则
0x x 为铅直渐近线；反之亦反. 
2）若 lim ( ) ( )
x
y x A

  ，则 y A 为水平渐近线； 
若 lim ( )
x
y x

 ，则转向 3） 
3）若
( )
lim
x
y x
a
x
 ( , 0)  ， lim[ ( ) ] ( )
x
y x ax b

   ，则 y ax b  为斜渐近线. 
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20 
 
【例】曲线
2 1
4 ln(2 )y x x
x
   的渐近线有      条. 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 最值点 
1）在[ , ]a b 上， 
①令 ( ) 0f x 
0x 为驻点； 
② ( )f x 不存在
1x 不可导点； 
③端点 a ，b . 
0 1( ) ( ) ( ) ( )f x f x f a f b 、 、 、 ，比较大小 
,M m  
2）在 ( , )a b 上，①②同上， 
③ lim ( )
x a
f x

，
_
lim ( )
x b
f x

 
【例】求
2 2( ) sinxf x e x 的值域. 
 
 
 
 
 
 
 
（2）积分（测度） 
1
0 平面图形的面积 
①在直角坐标系下： 1 2( ) ( )
b
a
S y x y x dx   
②在极坐标系下：
2 2
1 2
1
( ) ( )
2
S r r d


     
2
0 旋转体的体积 
绕 x 轴旋转  
2 ( )
b
x
a
V f x dx   
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21 
 
绕 y 轴旋转  2 ( )
b
y
a
V x f x d x   
30 平均值    
( )
b
a
y x dx
y
b a



 
40 弧长     
2 2( ) ( )ds dx dy   
①直角坐标系下，
21 [ ( )]
b
a
S f x dx   
②极坐标系下，
2 2[ ( )] [ ( )]S r r d


     
③参数方程下，
2
1
2 2[ ( )] [ ( )]
t
t
S t t dt    ，其中
( )
( )
x t
y t





 
50 旋转体的侧面积   
22 ( ) 1 [ ( )]
b
a
S f x f x dx    
注：40、50 均为数一、二考查内容，数三不要求 
【例】设曲线
1
2 sin
x
y e x

 在 0x  部分与 x 轴所围平面区域记为 D，求D绕 x 轴旋转一
周所得旋转体体积V . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2．物理应用（数一、二） 
综述：①
0
lim
x
y
x 


；②静水压力；③抽水做功；④质点引力 
【例】一椭圆形钢板正好垂直浸没于水（相对密度 1  ）中，其短轴垂直于水面，长轴长
和短轴长分别为2a，2b .求钢板一侧所受的静水压力. 
 
 
 
 
 
 
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22 
 
 
 
2．经济应用（数三） 
综述：①边际；②弹性；③积分 
【例】设某产品的总成本函数为
21
( ) 100 3
2
C x x x   ，而需求函数为
100
p
x
 ， x 为产
量（假定等于需求量），p 为价格.求（Ⅰ）边际成本；（Ⅱ）边际收益；（Ⅲ）边际利润；（Ⅳ）
收益的价格弹性. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
四、逻辑（证明） 
中值定理“ ” 
不等式证明 
方程的根（等式证明） 
 
1．中值定理：研究对象的复杂化、区间的复杂化 
【例 1】设 ( )f x 在[ , ]( 0)a a a  上二阶导数连续， (0) 0f  . 
（Ⅰ）写出 ( )f x 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； 
（Ⅱ）证明：存在 [ , ]a a  ，使得
3
3 ( )
( )
a
a
f x dx
f
a
  

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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23 
 
【例 2】设 ( )f x 在[0,1]上连续， (0,1) 内可导， (0) 0f  ， (1) 1f  . 
证明：存在不同的
1 ，
2 ，
3 (0,1)  ，使得
1 2 3( ) ( ) ( ) 3f f f       . 
 
 
 
 
 
 
 
 
2．方程根 
1）存在性：零点定理  ( ) ( ) 0 ( ) 0f a f b f     
2）唯一性： 
单调性  ( ) 0 ( )f x f x   ； ( ) 0 ( )f x f x    
罗尔原话：若 ( ) ( ) 0nf x  至多有 k 个根，则 ( 1) ( ) 0nf x  至多有 1k  个根. 
【例】证明
0
ln 1 cos 2 0xx e xdx

    有且仅有两个根. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3．不等式 
【例 4】设 ( )f x 、 ( )g x 在[ , ]a b 上连续，且 ( )f x ，0 ( ) 1g x  . 
证明：（Ⅰ）0 ( )
x
a
g t dt x a   ， [ , ]x a b ； 
（Ⅱ）
( )
( ) ( ) ( )
b
a
a g t dt b
a a
f x dx f x g x dx

  . 
 
 
 
 
 
 
 
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24 
 
第三讲  多元函数微分学 
综述 
1．概念——5 个 
2．计算——微分法 
3．应用——极值与最值 
 
一、概念 
1．极限的存在性 
 
 
（1）二重极限
0 0 0
0
( , ) ( , )
lim ( , ) lim ( , )
x x x y x y
y y
f x y f x y
 

  
【关键】除了“穷举法”、“洛必达法则”与“单调有界准则”外，可照搬一元函数求极限的
方法，用于多元函数的二重极限，比如：等价无穷小替换，夹逼准则，无穷小×有界=无穷
小，等等. 
【例 1】设
2 2
2 2
( )sin , ( , ) (0,0)
( , )
0, ( , ) (0,0)
xy
x y x y
x yf x y
x y

 
 
 
，求
0
0
lim ( , )
x
y
f x y


. 
 
 
【例 2】求
2 2
1
2
1
2
tan( 2 1)
lim
1x
y
x xy y
x y

  
 
. 
 
 
 
 
【例 3】求
2 2 2 2
3
0
2 2 20
sin
lim
( )
x
y
x y x y
x y


  

 
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25 
 
 
 
 
 
【例 4】求
2 4
2 20
0
sin( )
lim
x
y
x y y
x y



 
 
 
 
【例 5】设
2 2
2 2
2 2
, 0
( , )
0, 0
xy
x y
x yf x y
x y

 
 
  
，求
0
0
lim ( , )
x
y
f x y


. 
 
 
 
 
 
 
（2）累次极限 
 
 
 
 
2．连续性 
若
0
0
0 0lim ( , ) ( , )
x x
y y
f x y f x y


 ，则称 ( , )f x y 在
0 0( , )x y 处连续. 
【例】
1 1
sin sin , ( , ) (0,0)
( , )
0, ( , ) (0,0)
x y x y
y xf x y
x y

 
 
 
 
 
 
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26 
 
【注】若
0
0
0 0lim ( , ) ( , )
x x
y y
f x y f x y


 ，称为间断，但多元时，不讨论间断类型. 
3．偏导数的存在性 
0 0 0 0
0 0 0 0
( , ) ( , )
( , ) ( , )x x
x y x y
z f
z x y f x y
x x
     
 
 
0
0 0 0
0 0
0
( , ) ( , )
( , ) limx
x x
f x y f x y
f x y
x x
 

 
0
0 0 0
0 0
0
( , ) ( , )
( , ) limy
y y
f x y f x y
f x y
y y
 

 
考法： 
①考单调 
( , )x y D  ，若 ( , ) 0x
z
f x y
x
   

( , )f x y 对 x 单增 
若
1 2x x ，则
1 0 2 0( , ) ( , )f x y f x y . 
【例】在全平面上，
( , )
0
f x y
x



，
( , )
0
f x y
y



，若
1 1 2 2( , ) ( , )f x y f x y ，则（  ） 
（A）
1 2x x ，
1 2y y        （B）
1 2x x ，
1 2y y  
（C）
1 2x x ，
1 2y y        （D）
1 2x x ，
1 2y y  
②考计算 
【例】设
2 6
( , )
x y
f x y e

 ，求 (0,0)xf
 ， (0,0)yf  . 
 
 
 
 
 
4．可微性 
①
0 0 0 0( , ) ( , )z f x x y y f x y       全增量 
② A x B y     线性增量  
0 0
0 0
( , )
( , )
x
y
A f x y
B f x y
 


 
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27 
 
③
2 20
0
( )
lim 0
( ) ( )x
y
z A x B y
x y 
 
    

  
( , )f x y 在
0 0( , )x y 处可微. 
于是，
2 2( ) ( ( ) ( ) )z A x B y o x y         ，即 
①
2 2
0 0 0 0( , ) ( , ) ( ( ) ( ) )f x x y y f x y A x B y o x y            
②
2 2
0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) )f x y f x y A x x B y y o x x y y          
全微分 
0 0
0 0 0 0( , )
( , ) ( , )x yx y
dz f x y dx f x y dy   ， 
( , ) ( , )x ydz f x y dx f x y dy   ，
z z
dz dx dy
x y
 
 
 
 
【例】设连续函数 ( , )z f x y 满足
2 20
1
( , ) 2 2
lim 0
( 1)x
y
f x y x y
x y

  

 
，求
(0,1)
dz . 
 
 
 
 
 
5．偏导数的连续性 
设 ( , )z f x y ， 
①用定义求 0 0( , )xf x y ， 0 0( , )yf x y  
②用公式求 ( , )xf x y ， ( , )yf x y  
③
0
0
0 0lim ( , ) ( , )x x
x x
y y
f x y f x y


  ，且
0
0
0 0lim ( , ) ( , )y y
x x
y y
f x y f x y


  . 
则称 ( , )f x y 在
0 0( , )x y 处的偏导数连续. 
逻辑关系： 
 
 
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28 
 
【例】设
2 2
2 2
( )
, ( , ) (0,0)
( , )
0, ( , ) (0,0)
xy x y
x y
f x y x y
x y
 

 
 
，求 (0,0)xyf  ， (0,0)yxf  . 
 
 
 
 
 
二、计算（多元微分法） 
①链式求导法则 
( , , )z f u v w ，
( )
( , )
( )
u u y
v v x y
w w x



 
 
z z v z dw
x v x w dx
   
   
   
 
②对于高阶导数 
无论 z 对谁求导，也无论 z 已经求了 n 阶导，求导之后的新函数仍具有与原来函数完全相同
的复合结构. 
③注意书写规范 
【例 1】设 2 2( cos , )xz f e y x y  ，其中 f 有二阶连续偏导数，求
2 z
x y

 
. 
 
 
 
 
 
 
【例 2】已知函数 ( , )f u v 具有二阶连续偏导数， (1,1) 2f  ，
1(1,1) 0f   ，
2(1,1) 0f   ， 
( , ( , ))z f x y f x y  ，求
2
(1,1)
z
x y

 
. 
 
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29 
 
 
 
 
 
 
 
三、应用——极值与最值（多元） 
1．理论依据 
（1）函数取极值的必要条件 
设 ( , )z f x y 在点
0 0( , )x y 


一阶偏导数存在
取极值
，则 0 0 0 0'( , ) 0, '( , ) 0x yf x y f x y  . 
【注】1）适用于三元及以上函数 
2）非充分条件 
极值点：①在驻点中找；②在不可偏导点找 
（2）函数取极值的充分条件 
记
0 0
0 0
0 0
''( , )
''( , )
''( , )
xx
xy
yy
f x y A
f x y B
f x y C
 




，则
2
0
0
0
0
0
A
A
B AC
  
  
 

    
 



极大值
极值
极小值
非极值
方法失效，另谋他法（定义法）
 
【注】不适用于三元及以上函数. 
（3）条件极值与拉格朗日乘数法 
问题提法：求目标函数 ( , , )u f x y z 在约束条件
( , , ) 0
( , , ) 0
x y z
x y z





下的极（最）值，则 
1）构造辅助函数 
( , , , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )F x y z f x y z x y z x y z       
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30 
 
2）
0
0
0
0
0
x
y
z
F
F
F
F
F


 
  


 
  

 
 
3）解上述方程组 ( , , )i i i iP x y z ( 1, 2, )i 
max
min
( )i
u
u P
u

 

 
根据实际问题，必存在最值，所得即所求. 
2．例题分析 
【例 1】设 2 2( , ) 2f x y kx kxy y   在点 (0,0) 处取得极小值，求 k 的取值范围. 
 
 
 
 
 
 
【例 2】求 2 2 2u x y z   在约束条件
2 2
4
z x y
x y z
  

  
下的最大值与最小值. 
 
 
 
 
 
 
【例 3】求 2u xy yz  在约束条件 2 2 2 10x y z   下的最大值与最小值. 
 
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31 
 
第四讲  二重积分 
综述 
1．概念与性质（重点：对称性） 
2．计算结构 
基础题：直角坐标系，极坐标系 
技术题：换序、对称性、形心公式的逆用 
3．综合题 
 
一、概念与性质 
1．概念比较 
 
 
 
 
2．对称性 
1）普通 
设 D关于 y 轴对称， 1
2 ( , ) , ( , ) ( , )
( , )
0, ( , ) ( , )
D
D
f x y d f x y f x y
f x y d
f x y f x y


  

 
   

  
设 D关于 x 轴对称， 1
2 ( , ) , ( , ) ( , )
( , )
0, ( , ) ( , )
D
D
f x y d f x y f x y
f x y d
f x y f x y


  

 
   

  
设 D关于原点对称， 1
2 ( , ) , ( , ) ( , )
( , )
0, ( , ) ( , )
D
D
f x y d f x y f x y
f x y d
f x y f x y


   

 
    

  
【例】设 D由 3y x ， 1y  ， 1x   围成，则 ( cos sin )
D
I xy x y d   （  ） 
（A）0                        （B）
1
2
D
xyd  
（C）
1
2 cos sin
D
x yd          （D）
1
2 ( cos sin )
D
xy x y d  
其中，
1D 为 D在第一象限的部分. 
 
 
 
 
 
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32 
 
 
2）轮换 
 
 
 
如：设 ( )f x 在[ , ]a b 上连续恒正，证明：
21
( ) ( )
( )
b b
a a
f x dx dx b a
f x
   . 
 
 
 
 
 
若将 D中的 x 与 y 对调后，区域 D不变，则 ( , ) ( , )
D D
f x y d f y x d   .叫轮换对称性. 
【例 1】设区域  2 2( , ) 1, 0, 0D x y x y x y     ， ( )f x 为 D上的正值连续函数， ,a b
为常数，求
( ) ( )
( ) ( )D
a f x b f y
I d
f x f y




 . 
 
 
 
 
 
 
 
【自练】计算
3 3sin( )
D
I x y d  ，其中  ( , ) 1D x y x y   . 
 
 
 
 
 
二、计算 
1．基础题 
（1）直角坐标系下的计算法 
①   
b
a
x
x
D
dyyxfdxdyxf
)(
)(
2
1
),(),(


 其中 D为 X 型区域：
1 2( ) ( )x y x   ，
a x b  ； 
②   
d
c
y
y
D
dxyxfdydyxf
)(
)(
2
1
),(),(


 其中 D为Y 型区域：
1 2( ) ( )y x y   ，c y d  ．  
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33 
 
 
（2）极坐标系下的计算法 
①    
 
 
.sin,cos,
2
1
 





r
r
D
rdrrrfddyxf   （极点O 在区域 D外部） 
②    
 
.sin,cos,
0
2
0  


r
D
rdrrrfddyxf    （极点O 在区域D内部） 
③    
 
.sin,cos,
0 



r
D
rdrrrfddyxf    （极点O 在区域D边界上） 
 
2．技术题 
（3）换序 
【例 1】交换
0 1
1 2
( , )
y
dy f x y dx

  的积分次序. 
 
 
 
 
 
【例 2】交换
2
2
0 1 cos
( cos , sin )d f r r rdr


  
  的积分次序. 
 
 
 
 
 
 
（4）对称性 
（5）形心公式的逆用（仅数一） 
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34 
 
1
D
D
xd
x
d





，
1
D
D
yd
y
d





  
若 D为规则图形（即：形心、图形面积易知），则 D
D
xd x S   ， D
D
yd y S   . 
【例】计算 ( )
D
I x y d  ，  2 2( , ) 1D x y x y x y     . 
 
 
 
 
 
 
 
三、综合题分析 
【例 1】计算
2 2sin( )
D
x x y
I d
x y




 ，  2 2( , ) 1 4, 0, 0D x y x y x y      . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
【例 2】
2 2sin 1 cos 2
D
I r r drd    ， ( , ) 0 ,0 sec
4
D r r

  
 
     
 
. 
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35 
 
第五讲  微分方程 
综述 
1．概念及其应用 
2．一阶方程的求解 
3．高阶方程的求解 
 
一、概念及其应用 
1．微分方程： 0),,,,,( )(  nyyyyxF   
2．微分方程的阶数：方程中 y 的最高阶导数的次数 
3．通解：解中所含独立常数的个数等于方程的阶数 
【例 1】设 ( )y y x 为 2 4 0y y y    的满足
0( ) 0y x  ，
0( ) 0y x  的解，则 ( )f x 在
0x
处（  ） 
（A）取极大值        （B）取极小值 
（C）某邻域单增      （D）某邻域单减 
 
 
 
 
 
【例 2】设 ( )p x 与 ( )q x 在[ , ]a b 上连续， ( ) 0q x  ，且设 ( )y y x 为方程 
( ) ( ) 0y p x y q x y    满足 ( ) ( ) 0y a y b  的解，求 ( )y x 的表达式， [ , ]x a b  . 
 
 
 
 
 
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36 
 
二、一阶方程的求解 
1．变量可分离型 
形如： )()(),( yhxgyxf
dx
dy
  
  
 

dxxg
yh
dy
dxxg
yh
dy
)(
)(
)(
)(
 
【例】求 2 tan tany y x x   的通解. 
 
 
 
 
 
2．齐次型 
形如： )(
x
y
f
dx
dy
  
  令 u
x
y
 ，则 ux
dx
du
dx
dy
uxy  , ，代入得 
  
 






x
dx
uuf
du
x
dx
uuf
du
ufux
dx
du
)(
)(
)(
 
【例】求
2 2( ) 0ydx x x y dy    ( 0)y  的通解. 
 
 
 
 
 
3．一阶线性型 
形如： )()( xqyxpy   
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37 
 
两边同乘积分因子  dxxp
e
)(
得 
  )()(
)()(
xqeyxpye
dxxpdxxp   
两边积分得 









Cdxxqeey
Cdxxqeye
dxxpdxxp
dxxpdxxp
)(
)(
)()(
)()(
 
【例】求
2
2 2
y x
y
x y
   的通解. 
 
 
 
 
【注】尚有两种类型的方程，貌似二阶，实可降阶. 
（1） ),( yxfy  型——缺 y  
令 pypy  , ， ),( pxfp   
（2） ),( yyfy  ——缺 x  
令
dy
dp
p
dx
dy
dy
dp
dx
dp
ypy  , ， ),( pyf
dy
dp
p   
三、高阶方程的求解 
1． 0y py qy        二阶常系数线性齐次方程 
2 0p q    1 2,   
① 2 4 0p q    ， 1 2  ，通解 1 2
1 2
x x
y C e C e
 
   
② 2 4 0p q    ， 1 2    ，通解 1 2( ) xy C C x e   
③ 2 4 0p q    ，
2 2
1,2
4 4
2 2 2
p q p i q p ip
i  
   
      ，通解 
1 2[ cos sin ]xy e C x C x     
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38 
 
【例】设cos x与 xxe 为 4 阶常系数线性齐次微分方程的两个解，则首项系数为 1 的该方程
为        . 
 
 
 
 
 
2．1） )(xPeqyypy m
x    
设






是齐次特征方程的重根
是齐次特征方程的单根
不是齐次特征方程的根




2
1
0
,)(* kxxQey k
m
x
 
【例】 )32(4  xeyy x  
 
 
 
 
 
2） [ ( )cos ( )sin ]x
m ny py qy e P x x P x x        
设
* (1) (2)[ ( )cos sin ]x k
l ly e Q x x Q x x       ( m a x , )l m n  






是齐次特征方程的单根
不是齐次特征方程的根
i
i
k


1
0
 
【例】 4 2cos 2y y x    
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39 
 
第六讲  无穷级数（数一、三） 
综述 
1．数项级数的判敛 
2．幂级数的收敛域 
3．展开与求和 
 
引言 
1．概念（本质） 
（1）级数的定义  给定一个数列
1 2 3, , , , ,nu u u u ，则称
1 2 3 nu u u u     为(常
数项)无穷级数 简称(常数项)级数 记为

1n
nu  即         321
1



n
n
n uuuuu   
（2）级数的部分和  称
1 2 3
1
n
n i n
i
S u u u u u

       为级数

1n
nu 的部分和  
（3）级数的敛散性  若 lim n
n
S S

 （存在） 则称级数

1n
nu 收敛 极限 S 叫做该级数的和 
并写成
1
n
n
S u


  若 lim n
n
S

不存在 则称级数

1n
nu 发散  
（4）如果
1
limn n
n
n
u S



 收敛 则 lim 0n
n
u

  
2．分类 
1
1
1
1
0
( 0)
( 1) ( 0)
( )
n n
n
n
n n
n
n n
n
n
n
n
u u
u u
u u
a x









 
 
 
 
 
 




 







——正项级数
（常）数项级数 ——交错级数
级数
符号无限制 ——任意项级数
函数项级数——幂级数 
 
 
一、数项级数的判敛 
1．正项级数（
1
n
n
u


 ， 0nu  ）的判敛 
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40 
 
1）收敛原则 
1
n
n
u


 收敛  nS 有上界. 
 
 
【例】设 0na  ( 1, 2, )n  ，
1 2n nS a a a    ，则数列 nS 有界是数列 na 收敛 
的          条件. 
 
 
 
 
 
 
 
2）比较判别法 
设

1n
nu 和

1n
nv 都是正项级数 且
n nu v ，则 1 1
1 1
n n
n n
n n
n n
v u
u v
 
 
 
 




 

 
 
收敛 收敛
发散 发散
 
3）比较判别法的极限形式 
设

1n
nu 和

1n
nv 都是正项级数 则 
1 1
1 1
0
0
1 1
1 1
1 1
0
lim =
0
n n
n n
n
n n
n n
n n
n nn
n
n
n
n n
n n
n n n n
n n
v u
u
u v
u v
u
v
v
v u
A u v u v
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
   
 
 

   





 
 
 
 
 
若 收敛，则 收敛
  是高阶无穷小
若 发散，则 发散
若 收敛，则 收敛
  是高阶无穷小
若 发散，则 发散
与 是同阶无穷小 与 同敛散
 
4）比值判别法（达朗贝尔判别法） 
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41 
 
设

1n
nu 为正项级数 则 
1
1
lim 1
1
n
n
n
u
u

 



 

  
  
          级数收敛
          级数发散
          该法失效，另谋他法（一般转而用比较判别法）
 
5）根值判别法（柯西判别法） 
设

1n
nu 为正项级数 则 
1
lim 1
1
n
n
n
u

 


 

  
  
          级数收敛
          级数发散
          该法失效，另谋他法（一般转而用比较判别法）
 
【例 1】判别下列级数的敛散性 
（1）
1
20
1 1
n
n
x
dx
x

 
  
 
 
 
（2）
1
1 1
[ ln(1 )]
n n n


   
 
 
 
 
【例 2】判别
1
! n
n
n
n
x
n


 在 2x  、3 处的敛散性. 
 
 
 
 
 
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42 
 
【例 3】设 na ， nb ，0
2
na

  ，0
2
nb

  ，cos cosn n na a b  ，且
1
n
n
b


 收敛. 
（Ⅰ）证明： lim 0n
n
a

 ； 
（Ⅱ）证明：
1
n
n n
a
b


 收敛. 
 
 
 
 
 
2．交错级数
1
1
( ( 1) , 0)n
n n
n
u u



  的判敛 
莱布尼茨判别法  若交错级数



1
1)1(
n
nun ( 0)nu  满足条件： 
(1)  0lim 

n
n
u ；     (2)  
1n nu u   (n = 1, 2, 3, „)； 
则级数收敛. 
【例 1】判别
1
1
1
( 1)n
n n



  的敛散性. 
 
 
【例 2】判别
2
( 1)
( 1)
n
n
n n



 
 的敛散性. 
 
 
 
 
 
3．任意项级数（
1
n
n
u


 ，
nu 符号无限制）的判敛 
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43 
 
1）思路上：一般都是先把一般项
nu 加上绝对值，变成正项级数后再去讨论问题，即
1 1
n n
n n
u u
 
 
  .于是，判别正项级数敛散性的种种方法均可能派上用场. 
2）理论上： 
若

1n
nu 收敛

1n
nu 绝对收敛. 
若

1n
nu 收敛,但

1n
nu 发散

1n
nu 条件收敛. 
【例 1】判别
1
1
1
( 1)n
n n



  的敛散性. 
 
【例 2】设
2
1
n
n
a


 收敛，则判别
2
1
( 1)
( 0)
n
n
n
a
n







 的敛散性. 
 
 
 
 
 
二、幂级数的收敛域 
1．幂级数 
若

1
)(
n
n xu 的一般项 ( )nu x 是幂函数，则称

1
)(
n
n xu 为幂级数 它是一种特殊且常用的函
数项级数，其一般形式为 
  2
0 1 00
0
2 0 0( ) ( ) ( )
n
n
n
n
na a a x x a x x a x xx x


          ； 
其标准形式为
0
2
0 1 2
n
n n
n
na a x a x a xa x


      ；其中
na 为幂级数的系数 
收敛点与发散点  若给定
0x I ，有

1
0)(
n
n xu 收敛 则称点 x0 为级数

1
)(
n
n xu 的收敛点；若
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44 
 
给定
0x I ，有

1
0)(
n
n xu 发散 则称点 x0为级数

1
)(
n
n xu 的发散点. 
收敛域  函数项级数

1
)(
n
n xu 的所有收敛点的集合称为它的收敛域. 
幂级数
0
n
n
n
a x


 的首要任务是判别敛散性，因为只有收敛了才有继续讨论它的意义，具
体说来，将某个
0x 代入级数
0
0
n
n
n
a x


 ，判别此数项级数是否收敛，我们的目标当然是：
找到所有收敛点的集合，即收敛域.  
2．阿贝尔定理 
当幂级数
0
n
n
n
a x


 在
1 1( 0)x x x  处收敛时 对于满足 1x x 的一切 x ，幂级数绝对收
敛；当幂级数
0
n
n
n
a x


 在
2 2( 0)x x x  处发散时 对于满足 2x x 的一切 x，幂级数发散. 
3．求收敛域的程序 
1）对级数加绝对值变为正项级数； 
2）用正项级数的判别法（比值法、根值法）计算； 
3）单独讨论级数在端点处的敛散性. 
综合 2、3得出收敛域. 
【例】
1
( 2)
3
n
n
n
x
n




 的收敛域为        . 
 
 
 
 
 
三、展开与求和 
1．展开 
如果函数 ( )f x 在 0xx  处存在任意阶导数，则称 
       n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxf )(
!
)(
)(
!2
)(
))(()( 0
0
)(
2
0
0
''
00
'
0     
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45 
 
为函数 ( )f x 在 0x 处的泰勒级数，记作
( )
0
0
0
( )
( ) ( )
!
n
n
n
f x
f x x x
n


 ，其中“ ”叫做“可
展开为” 
特别当
0 0x  ，则称  
       2
0 0 0
0
1! 2! !
n
n
f f f
f x x x
n
 
     为函数  f x 的麦克
劳林级数，记作
   
0
0
( )
!
n
n
h
f
f x x
n


 . 
【例 1】将
2
2 1
( )
2
x
f x
x x


 
展开成 ( 3)x  的幂级数. 
 
 
 
 
 
【例 2】将
2
1
( )
( 1)
f x
x


展开成 ( 3)x  的幂级数. 
 
 
 
 
 
注：几个重要函数的展开式 
（1）  
2
0
1 ,
! 2! !
n n
x
n
x x x
e x x
n n


            
（2）      
12
0
1
1 1 1 , 1 1
1
n nn n
n
x x x x x
x



           

  
（3）  2
0
1
1 , 1 1
1
n n
n
x x x x x
x


         

  
（4）      
2 3 4
1 1
1
ln 1 1 1 , ( 1 1)
2 3 4
n n
n n
n
x x x x x
x x x
n n

 

               
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46 
 
（5）  
 
 
 
2 1 3 5 7 2 1
0
sin 1 1
2 1 ! 3! 5! 7! 2 1 !
n n
n n
n
x x x x x
x x
n n
 

         
 
  x     
（6）  
 
 
 
2 2 4 6 2
0
cos 1 1 1
2 ! 2! 4! 6! 2 !
n n
n n
n
x x x x x
x
n n


           x     
（7）  
     2
1 1 1
1 1
2! !
n
n
x x x x
n
     

   
        
这里，（1）至（6）右端 x的取值范围是指收敛域，而对于（7），问题比较复杂，其收
敛区间的端点是否收敛与的取值有关，可以证明(这里不证)： 
当 1 时,收敛域为 )1,1( ；当 01   时,收敛域为 ]1,1( ；当 0 时,收敛域为
]1,1[ .  
2．求和   ( )n
na x y x  
【例 1】求
1
( ) n
n
S x n x


  ， 1x  . 
 
 
 
 
【例 2】求
1
( )
n
n
x
S x
n


 ， 1x  . 
 
 
 
 
 
 
注：几个重要级数的和函数 
(1) ( 1, ).
1
k
n
n k
cx
cx x k Z
x



  

  
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47 
 
1
2
1 1
1
(2) ( 1 1).
1 (1 )
n n
n n
x
nx x x
x x
 

 
   
       
   
   
1
2
1 1
1
(3) ( 1 1).
(1 )
n n
n n
nx x nx x
x
 

 
    

   
2
1 2 1 2
2 2
1 1
1
(4) ( 1).
(1 ) (1 )
n n
n n
x
nx x nx x x
x x
 
 
 
   
 
   
2
3
2 0
1 2
(5) ( 1) ( 1).
1 (1 )
n n
n n
n n x x x
x x
 

 
    
      
   
   
1 1
0 0 0
1 1 1
1
(6) ln(1 ) ( 1 1).
1
n
x x x
n n
n n n
x
t dt t dt dt x x
n t
  
 
  
 
         
 
      
四、傅里叶级数（仅数一） 
1．狄利克雷收敛定理 
设 )(xf 是以2l 为周期的可积函数，如果在[ , ]l l 上 )(xf 满足： 
（1）连续或只有有限个第一类间断点； 
（2）只有有限个极值点； 
则 )(xf 的傅里叶级数处处收敛，记其和函数为 ( )S x ，则 
0
1
( ) cos sin
2
n n
n
a n x n x
S x a b
l l
 

 
   
 
  
且    
( )
( 0) ( 0)
( )
2
( 0) ( 0)
2
f x x
f x f x
S x x
f l f l
x



  
 

   

                     为连续点
    为第一类间断点
           为端点
 
【例】设
1, 1 0,
( )
1, 0 1
x x
f x
x x
   
 
  
的周期为 2的傅里叶级数为 ( )S x ，则在
1
2
x   ，
0x  ， 1x  ，
3
2
x  处， ( )S x 分别收敛于        ，        ，        ，       . 
 
 
 
 
 
2．周期为 l2 的周期函数的傅里叶级数 
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48 
 
设周期为 l2 的周期函数 )(xf 满足狄利克雷收敛定理的条件，则它的傅里叶级数为 
0
1
( ) ( ) cos sin
2
n n
n
a n x n x
f x S x a b
l l
 

 
   
 
                     
其中系数
na 和
nb 分别为 











),3,2,1(sin)(
1
),2,1,0(cos)(
1


ndx
l
xn
xf
l
b
ndx
l
xn
xf
l
a
l
l
n
l
l
n


                    
考研的实际考题分为以下三种情况： 
1、将普通周期函数 )(xf 在[ , ]l l 上展开为傅里叶级数 
展开系数为
0
1
( )
1
( )cos ( 1,2,3, )
1
( )sin ( 1,2,3, )
l
l
l
n
l
l
n
l
a f x dx
l
n x
a f x dx n
l l
n x
b f x dx n
l l









 


 




 
2、将奇偶周期函数 )(xf 在[ , ]l l 上展开为傅里叶级数 
当 )(xf 为奇函数时，展开系数为
0
0
0
0
2
( )sin ( 1,2,3, )
n
l
n
a
a
n x
b f x dx n
l l





  
 
 
此时的傅里叶展开式由于只含正弦函数表达式，故也称为正弦级数. 
当 )(xf 为偶函数时，展开系数为
0
0
0
2
( )
2
( )cos ( 1,2,3, )
0
l
l
n
n
a f x dx
l
n x
a f x dx n
l l
b





 





 
此时的傅里叶展开式由于只含余弦函数表达式，故也称为余弦级数. 
3、将非对称区间[0, ]l 上的函数 )(xf 展开为正弦级数或者余弦级数 
   
[ , ] ( )
[0, ] ( )
[ , ] ( )
l l f x
l f x
l l f x
 

 
若要求展开成正弦级数
需作奇延拓
若要求展开成余弦级数
需作偶延拓
得到 上的奇函数
上的
得到 上的偶函数
 
当 )(xf 为奇函数时，展开系数为
0
0
0
0
2
( )sin ( 1,2,3, )
n
l
n
a
a
n x
b f x dx n
l l





  
 
 
此时的傅里叶展开式由于只含正弦函数表达式，即展开为了正弦级数. 
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49 
 
当 )(xf 为偶函数时，展开系数为
0
0
0
2
( )
2
( )cos ( 1,2,3, )
0
l
l
n
n
a f x dx
l
n x
a f x dx n
l l
b





 





 
此时的傅里叶展开式由于只含余弦函数表达式，即展开为了余弦级数. 
【例 1】设
1
( )
2
f x x  ，
1
0
2 ( )sinnb f x n xdx  ， 1,2,n  ，令
1
( ) sinn
n
S x b n x


 ，
则求
9
( )
4
S  . 
 
 
 
 
 
【例 2】将 2( ) 1 (0 )f x x x     展开成余弦级数，并求
1
2
1
( 1)n
n n



 .  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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50 
 
第七讲 多元函数积分学的预备知识（数一） 
综述 
1．向量代数与空间解析几何 
2．多元微分学的几何应用 
3．场论初步 
 
一、向量代数与空间解析几何 
1．向量运算及其应用 
设  , ,x y za a a a ，  , ,x y zb b b b ，  , ,x y zc c c c  
① 0 0x x y y z za b a b a b a b a b         
② 0 / /
yx z
x y z
aa a
a b a b
b b b
       
③ ( ) [ , , ] 0a b c a b c     a 、b 、 c共面 
 0
x y z
x y z
x y z
a a a
b b b
c c c
  
2．空间平面与空间直线 
①空间平面    平面的法线向量  , ,n A B C  
一般式  0A x B y C z D     
点法式  
0 0 0( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z      
②空间直线    直线的方向向量  , ,l m n   
点向式   0 0 0x x y y z z
l m n
  
   
3．空间曲线与空间曲面 
①曲线在坐标面上的投影曲线 
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51 
 
以投至 xoy面为例. 
（1）将：
( , , ) 0
( , , ) 0
F x y z
G x y z



中的 z 消去 ( , ) 0x y   
（2）则投影曲线包含于曲线
( , ) 0
0
x y
z
 


中，其他投影类推. 
【例 1】将空间曲线
2 2 3
2 0
1
z y
x y z yz
 

   
投影至 xoy面，求其投影曲线及所围区域. 
 
 
 
 
②旋转曲面方程 
1）问题提法：曲线：
( , , ) 0
( , , ) 0
F x y z
G x y z



绕直线 L： 0 0 0x x y y z z
l m n
  
  旋转一周所得
曲面 . 
2）求法 
设
0 0 0 0( , , )M x y z ， ( , , )s m n p .在母线上任取一点
1 1 1 1( , , )M x y z ，则过
1M 的纬圆
上任何一点 ( , , )P x y z 满足条件
1M P s 和
0 0 1M P M M ，即 
1 1 1
2 2 2 2 2 2
0 0 0 1 0 1 0 1 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m x x n y y p z z
x x y y z z x x y y z z
     

          
 
这两个方程与方程 ( , , ) 0F x y z  和 ( , , ) 0G x y z  一起消去
1x ，
1y ，
1z 便得到旋转曲面的
方程. 
【例 1】求：
2 1 0
3 2 1 0
x y z
x y z
   

   
绕 y 轴旋转一周所得曲面的方程. 
 
 
 
 
 
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52 
 
 
 
【例 2】设直线L过 (1,0,0)A ， (0,1,1)B ，将L绕 z 轴旋转一周得曲面，求的方程. 
 
 
 
 
 
 
二、多元微分学的几何应用 
1．空间曲面的切平面 
（1）设空间曲面由方程 0),,( zyxF 给出，
00 0 0( , , )x y zP 是上的点，则 
曲面在点
00 0 0( , , )x y zP 处的法向量（垂直于该点切平面的向量）为 
0 0 0 0 0 0 0 0 0{ ( , , ), ( , , ), ( , , )}x y zn F x y z F x y z F x y z    
且法线方程为  0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , ) ( , , )x y z
x x y y z z
F x y z F x y z F x y z
  
 
  
 
曲面在点
00 0 0( , , )x y zP 处的切平面方程为 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , )( ) ( , , )( ) ( , , )( ) 0x y zF x y z x x F x y z y y F x y z z z         
（2）设空间曲面由方程 ),( yxfz  给出，令 ,),(),,( zyxfzyxF  则 
曲面在点
00 0 0( , , )x y zP 处的法向量（垂直于该点切平面的向量）为 
0 0 0 0{ ( , ), ( , ), 1}x yn f x y f x y   
且法线方程为  0 0 0
0 0 0 0
.
1( , ) ( , )x y
x x y y z z
f x y f x y
  
 
 
 
曲面在点
00 0 0( , , )x y zP 处的切平面方程为 
0 0 0 0 0 0 0( , )( ) ( , )( ) ( ) 0x yf x y x x f x y y y z z        
 
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53 
 
【例】曲面 2 cos( ) 0x xy yz x    在点 (0,1, 1) 处的切平面方程为        . 
 
 
 
 
 
2．空间曲线的切线 
①空间曲线由参数方程
( )
( )
( )
x x t
y y t
z z t



 
给出，t 为参数，曲线上一点
0 0 0 0( , , )P x y z ，当
0t t 时， 
曲线在点
0 0 0 0( , , )P x y z 的切向量  
0 0 0
( ) , ( ) , ( )
t t t
x t y t z t    . 
②空间曲线由交面式方程组
( , , ) 0
( , , ) 0
F x y z
G x y z



给出， 
取切向量  
0 0 0
0 0 0
1 2 , ,x y z
P P P
x y z
P P P
i j k
n n F F F l m n
G G G
      
  
 
【例】设点P 为椭球面 S ： 2 2 2 1x y z yz    上的动点，若 S 在点P 处的切平面与 xoy
面垂直，求点 P 的轨迹C . 
 
 
 
 
 
 
三、场论初步 
1．方向导数 
（1）定义法   
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54 
 
设函数 ( , )u u x y 在点
0 0 0( , )P x y 的某空间邻域
2U R 内有定义， l 为从点 0P 出发的
射线， ( , )P x y 为 l 上且在U 内的任一点，且令 
0
0
cos
sin
x x x t
y y y t


   
   



 
以
2 2( ) ( )t x y    表示P 与 0P 之间的距离，若极限 
0 0 0 0 0
0 0
( ) ( ) ( cos , sin ) ( , )
lim lim
t t
u P u P u x t y t u x y
t t
 
  
   
  
存在，则称此极限为函数 ( , )u u x y 在点 0P 沿方向 l 的方向导数，记作
0P
u
l


. 
（2）公式法 
设函数 ( , )u u x y 在点
0 0 0( , )P x y 可微，则 ( , )u u x y 在点 0P 处沿任一方向 l 的方向导
数都存在，且 
0
0 0( )cos ( )sinx y
P
u
u P u P
l
 

  

. 
【例】设
2 2( , )f x y x y  ，求 (0,0)xf  ， (0,0)yf  ，
(0,0)
f
l


（任给 l ）. 
 
 
 
 
 
2．梯度 
设二元函数 ( , )u u x y 在点
0 0 0( , )P x y 具有一阶偏导数，则定义 
 
0
0 0( ), ( )x yP
u u P u P grad  
为函数 ( , )u u x y 在点 0P 处的梯度.  
3．两者关系 
由方向导数的计算公式
0
0 0( )cos ( )sinx y
P
u
u P u P
l
 

  

与梯度的定义
 
0
0 0( ), ( )x yP
u u P u P grad ，可得到 
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55 
 
   
0
0
0 0( ), ( ) cos ,sin o
x y P
P
u
u P u P u l
l
 

  

grad   
0 0
cos coso
P P
u l u  grad grad  
其中为
0P
ugrad 与
ol 的夹角，当cos 1  时，
0P
u
l


有最大值. 
于是我们可以得出结论：函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得方向导数最大
值的方向一致,而它的模为方向导数的最大值． 
4．散度divU  
( , , ) ( , , ) ( , , )U P x y z i Q x y z j R x y z k    
P Q R
divU
x y z
  
  
  
 
5．旋度 rotU  
i j k
rotU
x y z
P Q R
  

  
 
 
 
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56 
 
第八讲 多元函数积分学（数一） 
三重积分 
综述 
1．概念与性质 
2．计算 
 
一、概念 
设三元函数 ( , , )f x y z 定义在三维有界空间区域上，则三重积分 
0
1
( , , ) lim ( , , )
n
i i i i
i
f x y z dv f v

  


  . 
注  （1）将无限分割的 0iv  ， 为所有
iv 的直径的最大值，强调该极限与对区域
的分割方式无关； 
（2）从几何上来说很抽象了，是四维空间的图形体积，无法画出图形；但是其物理背景仍
然可以被我们所理解，就是以 ( , , )f x y z 为点密度的空间物体的质量： 
( , , )M f x y z dv

   
（3）要了解三重积分的存在性. 设空间有界闭区域的边界是分片光滑曲面，当 ( , , )f x y z
在上连续，或者当 ( , , )f x y z 在上有界 且在上除了有限个点、有限条光滑曲线和有
限块光滑曲面外都是连续的，则它在上可积也就是三重积分存在 在考研数学中，一般
总假设 ( , , )f x y z 在上连续，也就是三重积分总是存在的. 
二、计算结构 
1．基础题 
①坐标系 
1
0 直角坐标系：dV dxdydz  
2
0 柱面坐标系：dV d rdrdz   
3
0 球面坐标系： 2 sindv r drd d   ，
sin cos
sin sin
cos
x r
y r
z r
 
 




 
 
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57 
 
2( , , ) ( sin cos , sin sin , cos ) sinf x y z dv f r r r r drd d       
 
   
2 2 2
1 1 1
,
2
,
( sin cos , sin sin , cos ) sin
r
r
d d f r r r r dr
    
    
          
（ ） （ ）
（ ） （ ）
 
 
 
 
 
 
②计算的三个方面 
1
0
先一后二法（投影法） 
先做关于某个变量（如 z ）的定积分，然后做关于另外两个变量（如 ,x y）的二重积分，
具体说来，如果先对 z 积分，则要将投影到 xoy面上，得到投影区域 xyD ，过 xyD 内任
意一点  ,x y 作平行于 z 轴的直线，使之穿过，先碰到的记为
1( , )z z x y ，后离开
的记为
2( , )z z x y ， 则 
2
1
( , )
( , )
( , . ) ( , . )
xy
z x y
z x y
D
f x y z dv d f x y z dz

    
2
0
先二后一法（截面法） 
先做关于某两个变量（如 ,x y）的二重积分，然后做关于另一变量（如 z ）的定积分，
具体说来，如果先对x，y积分，则要将投影到z轴得坐标 [ , ]z e f ，然后对任给 [ , ]z e f ，
用 z h 的平面（平行于 xoy平面）去截，得到一个平面闭区域
zD ，则 
( , , ) ( , , )
z
d
c
D
f x y z dv dz f x y z dxdy

    
【注】以下情况优先考虑先二后一法：（1）被积函数仅是 z 的函数，（2）用垂直于 z 的平面
去截所得  D z 是圆域或其部分（比如旋转体）. 
30 柱面坐标系就是“直角坐标系+极坐标系”，是我们都学过且熟悉的知识. 联系直角坐标系
与柱坐标系的桥梁为： 
cos
sin
x r
y r
z z





 
 
其中，0 0 2r z         ， ，   
于是，柱面坐标系中的体积元素 dv rdrd dz ，且积分写为 
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58 
 
( , , ) ( cos , sin , )f x y z dxdydz f r r z rdrd dz  
 
   
4
0
球面坐标系： r     
【例 1】计算 I zdv

  ，其中是由
2 2
1
2
z x y
z
z
  


 

围成的. 
 
 
 
 
 
【例 2】计算 I zdv

  ，其中  2 2( , , ) 3 ,0 4x y z z x y z z        
 
 
 
 
 
 
 
2．技术题 
①换序 
【例】计算
1 1 1
0 0
sinx
x y
z
I dx dy dz
z


    . 
 
 
 
 
 
 
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59 
 
②形心公式 
xdv
x xdv x V
dv



   



 
【例】计算 (2 )I x y z dv

   ，  2 2 2 2( , , ) ( 1) ( 2) , 0x y z x y z a a        . 
 
 
 
 
 
 
③对称性 
1
0
普通对称性 
假设关于 xoz 面对称，则 
1
2 ( , , ) ,    ( , , ) ( , , )
( , , )
0,                           ( , , ) ( , , )
f x y z dv f x y z f x y z
f x y z dv
f x y z f x y z


  

 
   

  
其中
1是在 xoz 面前面的部分. 
关于其他坐标面对称的情况类似，请大家自己独立作出. 
2
0
轮换对称性 
若把 x与 y 对调后，不变，则 
( , , ) ( , , )f x y z dv f y x z dv
 
   
这就是轮换对称性. 
【例】计算
2 2( )I y z dv

  ，  2 2 2 2( , , ) , 0x y z x y z a a      . 
 
 
 
 
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60 
 
第一型曲线积分 
一、概念 
设数量函数 ( , )f x y 定义在空间光滑曲线 L 上，则 ( , )f x y 沿曲线 L 的第一型曲线积分
为 
0
1
( , ) = lim ( , )
n
i i i
L
i
f x y ds f l

 


  
注（1）将 L 无限分割的 0il  ，  max il   ，强调该极限与对曲线 L 的分割方式无关； 
（2）其物理背景是以 ( , )f x y 为线密度的空间物质曲线的质量： ( , )
L
M f x y ds   
（3）定积分定义在“直线段”上，而第一型曲线积分是定义在“曲线段”上，第一型曲
线积分是定积分的推广，这样就不难理解为什么后面要把第一型曲线积分化为定积分计算
了. 
（4）了解两个可积条件即可：设空间曲线 L 是分段光滑曲线，当 ( , )f x y 在 L 上连续 或
者当 ( , )f x y 在 L 上有界 且在 L 上除了有限个点外都是连续的，则它在 L 上的第一型曲线
积分存在 在考研数学中，一般总假设 ( , )f x y 在 L 上连续，也就是第一型曲线积分总是存
在的. 
二、计算结构 
1．基础题——化为定积分 
① 若平面曲线 L 由参数式
( )
( )
x x t
y y t



（   t ）给出，则
2 2[ '( )] [ '( )]ds x t y t dt  ， 
且                
2 2
( , ) ( ( ), ( )) ( ) ( )
L
f x y ds f x t y t x t y t dt


     
② 若平面曲线 L 由  
( )y y x
a x b
x x

 

给出，则
21 ( )ds y x dx     ， 
且               
2( , ) ( , ( )) 1 ( )
b
L a
f x y ds f x y x y x dx       
③ 若平面曲线 L 由    :L r r       给出，则    
2 2
( ) ( )ds r r d    , 
且      
2 2
( , ) ( ( )cos , ( )sin ) ( ) ( )
b
L a
f x y ds f r r r r d          
2．技术题 
① 边界方程带入被积函数（由于被积函数就定义在边界方程上，故应将边界方程的表达式
带入到被积函数中，从而简化计算，这一点要切记.） 
② 形心公式的逆用（由 L
L
L
L
xds
x xds x l
ds
   



，其中
Ll 为 L 的长度.） 
③ 对称性 
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61 
 
10 普通对称性 
假设 L 关于 y 轴对称，则 
1
2 ( , ) ,    ( , ) ( , )
( , )
0,                       ( , ) ( , )
L
L
f x y ds f x y f x y
f x y ds
f x y f x y
  
 
  

  
其中
1L 是 L 的右半平面. 
关于 x 轴对称的情况与此类似. 
2
0
轮换对称性 
若把 x与 y 对调后， L 不变，则 
( , ) ( , )
L L
f x y ds f y x ds   
这就是轮换对称性. 
【例】计算 2 2 2 2( sin 3 5 )
L
I x x y x y y ds     ，其中
2
2: ( 1) 1
3
x
L y   ，其周长
为a . 
 
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62 
 
第一型曲面积分 
一、概念 
设数量函数 ( , , )f x y z 定义在空间有界光滑曲面上，则 ( , , )f x y z 沿曲面的第一型
曲面积分为 
0
1
( , , ) lim ( , , )
n
i i i i
i
f x y z dS f S

  


   
注  （1）将无限分割的 0iS  ， 为所有
iS 的直径的最大值，强调该极限与对曲面
的分割方式无关； 
（2）其物理背景是以 ( , , )f x y z 为面密度的空间物质曲面的质量： ( , , )M f x y z dS

   
（3）二重积分定义在“二维平面”上，第一型曲面积分定义在“空间曲面”上，第一
型曲面积分是二重积分的推广，这样就不难理解为什么后面要把第一型曲面积分化为二重积
分计算了. 
（4）了解两个可积条件即可：设空间曲面是分段光滑曲面，当 ( , , )f x y z 在上连
续 或者当 ( , , )f x y z 在  上有界 且在 上除了有限个点和有限条光滑曲线外都是连续
的，则它在上的第一型曲面积分存在 在考研数学中，一般总假设 ( , , )f x y z 在上连续，
也就是第一型曲面积分总是存在的. 
 
 
 
 
 
二、计算结构 
1．基础题——化为二重积分 
（1）将投影到某一平面（比如 xoy面）上投影区域 D（比如 xyD ） 
（2）将
( , )
( , , ) 0
z z x y
F x y z



代入 ( , , )f x y z  
（3）计算
xz z ， 2 21 ( ) ( )x ydS z z dxdy      
这就把第一型曲面积分化为了二重积分（如化成关于 ,x y的二重积分），得到 
2 2( , , ) ( , ( , )) 1
xy
x y
D
f x y z dS f x y z x y z z dxdy

     ，  
化成关于其他变量的二重积分与此类似. 
【注】一个隐蔽的计算陷阱 
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63 
 
投影至某坐标面时，上任何两点的投影点不能重合（ ( , )z z x y 为单值函数） 
若重合，则 1）转投其他面；2）分成若干投影不会重合的面. 
2．技术题 
（1）边界方程带入被积函数（由于被积函数定义在边界方程上，故应将边界方程的表达式
带入被积函数，从而简化计算，这一点要切记.） 
（2）形心公式的逆用（由
xdS
x xdS x S
dS



   



，其中 S 为的面积.） 
（3）对称性 
1
0
普通对称性 
假设关于 xoz 面对称，则 
1
2 ( , , ) ,    ( , , ) ( , , )
( , , )
0,                          ( , , ) ( , , )
f x y z dS f x y z f x y z
f x y z dS
f x y z f x y z


  

 
   

  
其中
1 是在 xoz 面前面的部分. 
关于其他坐标面对称的情况与此类似. 
2
0
轮换对称性 
若把 x与 y 对调后，不变，则 
( , , ) ( , , )f x y z dS f y x z dS
 
   
这就是轮换对称性.  
【例】设为椭球面
2 2
2 1
2 2
x y
z   的上半部分，点 ( , , )P x y z ，π 为在点 P处的切
平面. ( , , )x y z 是点 (0,0,0)O 到平面π 的距离，求
( , , )
z
I dS
x y z

  . 
 
 
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64 
 
第二型曲线积分 
一、概念 
预备知识 
（1）场 
从数学上说，场就是空间区域上的一种对应法则. 
（1）如果上的每一点 ( , , )P x y z 都对应着一个数量u ，则在上就确定了一个数量函数 
( , , )u u x y z  
它表示一个数量场，比如温度场就是一个数量场. 
（2）如果上的每一点 ( , , )P x y z 都对应着一个向量F，则在上就确定了一个向量函数 
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )x y z P x y z Q x y z R x y zi j k F  
它表示一个向量场，比如引力场就是一个向量场. 
（2）变力做功 
问题可以这样来描述：在一个向量场—变力场中，设某质点在变力 ( , , )x y zF 作用下，
沿着有向曲线从起点 A 移动到终点 B，问总共做了多少功？分析如下. 
设沿着有向曲线在 ( , , )P x y z 点移动了一个微位移 dr dx di j dzky  ，并在这种
情形下将变力 ( , , )x y zF 近似看做常力，则该力在此微位移上的微功 ( , , )dW x y z dr F ，
于是变力 ( , , )x y zF 沿着有向曲线从起点 A移动到终点 B所做的总功为 
   ( , , ) ( , , ) ,, ( , , ) , ) ,, ,(W dW x y z dr P x y z Q x y z R x y z dx dy dz
  
    F  
( , , ) ( , , ) ( , , )P x y z dx Q x y z dy R x y z dz

    
    于是就引出了第二型曲线积分的概念. 
概念 
第二型曲线积分的被积函数 ( , ) ( , ) ( , )i jx y P x y Q x yF （或
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )x y z P x y z Q x y z R x y zi j k F ）定义在平面曲线 L（或空间曲线）上，
其物理背景是变力 ( , )x yF （或 ( , , )x y zF ）在平面曲线 L （或空间曲线）上从起点移动
到终点所做的总功： 
( , ) ( , )
L
P x y dx Q x y dy   
或                    ( , , ) ( , , ) ( , , )P x y z dx Q x y z dy R x y z dz

   
【注】（1）定积分、二重积分、三重积分、第一型曲线积分、第一型曲面积分有着完全一致
的背景描述，都是一个数量函数在定义区域上计算几何量（面积，体积等）； 
（2）第二型曲线积分是一个向量函数沿有向曲线的积分，无几何量可言，于是，有些性质
和计算方法都不一样了，一定要加以对比，理解它们的区别和联系，不要用错或者用混了. 
（3）设空间曲线是分段光滑曲线，在考研数学中，一般总假设 ( , , )x y zF 在上连续，也
就是第二型曲线积分总是存在的. 
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二、计算结构 
1．基础题——化为定积分 
如果平面曲线 L 由参数方程
( )
:
( )
x x t
t
y y t
 



 （ ）给出，其中 t  对应着起点 A，
t  对应着终点 B，则可以将平面第二型曲线积分化为定积分： 
 ( , ) ( , ) ( ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( )) ( )
L
P x y dx Q x y dy P x t y t x t Q x t y t y t dt


   =  
这里的 ， 谁大谁小无关紧要，关键是分别和起点与终点对应. 
2．技术题 
1）边界方程代入被积函数 
2）对称性（与前有别） 
假设L关于 y 轴对称，则 
1
0, ( , ) ( , )
2 , ( , ) ( , )
L
Q x y Q x y
I
Q x y Q x y
 
 
  
 
 
其中
1L 是 y 轴右侧部分. 
其他情况类似. 
3）格林公式 
设平面有界闭区域 D由分段光滑闭曲线 L 围成，    , , ,P x y Q x y 在 D上连续且具有
一阶连续偏导数，L取正向，则 
   , ,
L D
Q P
P x y dx Q x y dy d
x y

  
   
  
   
其中，所谓L取正向，是指当一个人沿着L的正向前进时，左手始终在L所围成的D内. 
成立要求：①L封闭且取正向；②P ，Q ，
Q
x


，
P
y


在 D中连续. 
注  一般来说，考试题目不可能直接满足能够使用格林公式的条件，命题人可以破坏两种条
件： 
（1）L不是封闭曲线，也就是没有围成一个平面有界闭区域 D； 
（2）即使L围成了一个平面有界闭区域 D，但是    , , ,
P Q
P x y Q x y
y x
 
 
， ， 在D上不连续； 
这两种情况下，不可以直接使用格林公式. 
针对（1），我们可以采取“补线法”，补上一条或者若干条线，封闭出一个平面有界闭区
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域 D，就可以用格林公式了. 
针对（2），我们可以采取“挖去法”，把不连续点（可称为“奇点”）挖去，使得条件得
以满足，从而使用格林公式. 
【例 1】已知L是第一象限中从点 (0,0)沿圆周 2 2 2x y x  到点 (2,0)，再沿圆周
2 2 4x y  到点 (0, 2)的曲线段，计算曲线积分
2 33 ( 2 )
L
I x ydx x x y dy    . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
【例 2】求 ,
22 



L yx
ydxxdy
I 其中 1: 3
2
3
2
 yxL . 
 
 
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第二型曲面积分 
一、概念 
在一个向量场（比如电场，磁场或者某种不可压缩流体的速度场）中，为该场中的
某一有向分片光滑曲面，并指定了曲面的外侧，则向量函数 ( , , )x y zF 通过曲面的通量（比
如电场中的电通量，磁场中的磁通量，或者某流体的流量）为 
0dS dSn
 
 F F  
其中  0 cos ,cos ,cosn    是有向曲面在指定侧的单位法向量. 
且由  , ,dydz dzdxdS dxdy ，得 
( , , ) ( , , ) ( , , )P x y z Q x y z RdS dydz dzd dyyx dxx z
 
   F  
    于是就引出了第二型曲面积分的概念. 
第二型曲面积分的被积函数 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )x y z P x y z Q x y z R x y zi j k F 定义在空
间曲面上，其物理背景是向量函数 ( , , )x y zF 通过曲面的通量： 
( , , ) ( , , ) ( , , )dydz dzdxP x y z Q x y z R x y dxdyz

   
【注】（1）第二型曲面积分是一个向量函数通过某有向曲面的通量（无几何量可言），要加
强和前面所学积分的横向对比，理解它们的区别和联系，不要用错或者用混了. 
（2）设空间曲面是一有向分片光滑曲面，在考研数学中，一般总假设 ( , , )x y zF 在上
连续，也就是第二型曲面积分总是存在的. 
二、计算结构 
1．基础题——化为二重积分 
对于第二型曲面积分 ( , , ) ( , , ) ( , , )dydz dzdxP x y z Q x y z R x y dxdyz

  ，可以将其拆
成三个积分： ( , , )dydP x y z z

 ， ( , , )dzdQ x y z x

 ， ( , , )dxdR x y z y

 ，分别投影到相应
的坐标面上，化为二重积分计算，然后再加回去. 直观上，我们比较习惯投影到 xoy面上去，
所以以 ( , , )dxdR x y z y

 为例. 
无论空间曲面是由显式 ( , )z z x y 还是隐式 ( , , ) 0F x y z  给出的，我们都需要做三
件事（无逻辑上的先后顺序，哪件事情最利于解题就先做哪件）： 
（1）将投影到某一平面（比如 xoy面）上投影区域 D（比如 xyD ） 
（2）将 ( , )z z x y 或 ( , , ) 0F x y z  代入 ( , , )f x y z  
（3）将dxdy 写成 dxdy“ ” 
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其中为上侧、右侧、前侧时取“+”，否则取“-” 
这就把第二型曲面积分化为了二重积分，得到 
( , , ) ( , , )( , )
xyD
R x y z R xdxdy z x y dxdyy

    
同样需要指出的是，投影时上的任何两点的投影点不能重合，请回看上一讲的相关内
容. 
2．技术题 
（1）边界方程代入被积函数 
（2）对称性 
假设关于 xoz 面对称，则 
1
2 ( , , ) ( , , )
0          
( ,
  
, )
                  ( ,
(
, ) ( , )
, , )
,
dxdz Q x yQ x z Q x y z
dxdz
Q x
y z
y z Q
Q x y
y
z
x z


   

 
  


  
 
其中
1 是在 xoz 面右半部分. 
其他情况类似. 
（3）高斯公式 
设空间有界闭区域由有向分片光滑闭曲面围成， ),,( zyxP 、 ),,( zyxQ 、 ),,( zyxR 在
上具有一阶连续偏导数，则有公式 
P Q R
Pdydz Qdzdx Rdxdy dv
x y z
 
   
     
   
   
此外，根据两类曲面积分之间的关系，高斯公式也可表为 
( cos cos cos )
P Q R
P Q R dS dv
x y z
  
 
   
     
   
   
其中，是的整个边界曲面的外侧,  cos,cos,cos 是上点 ),,( zyx 处的法向量的
方向余弦.  
成立要求：①封闭且取外侧；② P ，Q ， R ，
P
x


，
Q
y


，
R
z


在中连续. 
注 一般来说，考试题目不可能直接满足能够使用高斯公式的条件，命题人可以破坏两种条
件： 
（1）不是封闭曲面，也就是没有围成一个空间有界闭区域； 
（2）即使围成了一个空间有界闭区域，但是 ,
P
Q
z
P
Q R
x y
  
  
， ，， 在上不连续； 
这两种情况下，不可以直接使用高斯公式. 
针对（1），我们可以采取“补面法”，补上一片或者若干片曲面，封闭出一个空间有界闭
区域，就可以用高斯公式了. 
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针对（2），我们可以采取“挖去法”，把不连续点（可称为“奇点”）挖去，使得条件得
以满足，从而使用高斯公式. 
【例】求 




外
222
2
zyx
dxdyzxdydz
I ，其中









Rz
Rz
Ryx 222
: 所围表面取外侧.