概要信息：

目　录
绪　　论 １
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第一章　多项式 ４
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第二章　行列式 １３
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第三章　线性方程组 １９
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第四章　矩阵 ２５
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第五章　二次型 ３１
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第六章　线性空间 ３５
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第七章　线性变换 ４０
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第八章　λ－矩阵 ４３
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第九章　欧氏空间 ４４
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绪　论
一、高等代数在数学课程体系中的地位和作用
１．数学分析、高等代数、解析几何是数学类专业的三大基础课，而高等代数还是代数数论、代数几
何、抽象代数、实变函数、泛函分析、拓扑学及计算数学类课程的重要基础．
２．高等代数是数学相关类专业的研究生入学考试的必考课程，初步统计近三年全国数百所高校
的８８９个专业都将高等代数作为考研必考的专业基础课．
３．高等代数重点研究一般对象的结构，将诸多数学结构进行抽象，统一表达为线性空间、线性变
换、欧氏空间等抽象结构，从而使它成为数学中的语言．
４．高等代数的一般性、抽象性的特点，对培养学生的抽象思维能力，逻辑推理能力有重要作用．
二、研究内容
１．基本对象：线性空间；
２．主要手段：线性变换—矩阵；
３．基本方法：初等变换；
４．局限性：
（１）线性空间（线性变换）在域上定义，限制了它的应用范围．如果将域一般化为环，即研究环上
的线性空间理论，即为模论．
（２）线性空间缺乏度量性质，若考虑几何度量，即产生欧氏空间理论，考虑距离度量，即产生距离
空间，考虑几何度量，即产生拓扑空间等．
三、教材选用
主要参考教材：《高等代数》（第三版），高等教育出版社，２００３，北京大学数学系几何与代数教研
室代数小组编．
１．该教材的内容覆盖了《高等代数》考试大纲的所有内容和知识点．
２．全国采用该教材的学校所占比例非常大．
３．该教材荣获全国高等学校优秀教材．
４．该教材习题编排较好，有梯度．
四、考题综述及变化趋势
纵观近几年名校高代考研真题，有以下特点：
１．从题型看，以证明题和计算题为主，个别学校设有填空题．从分值看，每道题满分在１０至２０分
之间．这些特点表明，各校的考研题注重综合性和灵活性．
２．从内容看，考察的热点有：
（１）矩阵理论．
中山大学２０１２年考题中，１２道题中有８道题分别考察了矩阵的行列式、矩阵的特征值和特征向
—１—
北京大学数学系《高等代数》考点精讲及复习思路
量、矩阵的若当标准型、矩阵的方幂、矩阵的对角化、矩阵的秩、矩阵张成的线性空间、正定矩阵等概
念，分值占到１５０分中的１０５分．
厦门大学２０１２年考题中，１６道题中有１０道题考察了矩阵的相关概念和理论．
中科院研究生院２０１２年考题中，８道题中有５道题考察了矩阵的相关内容．
（２）线性空间和线性变换理论．
南开２０１２年试题中，９道题中有４道题考察了线性空间及线性变换的内容，占到 １５０分中的
７０分．
（３）多项式理论．
多项式理论在各校的考研题中所占的比例适中，一般占到１５０分的１５分至２５分，但这部分内容
是各校考试题中的必考内容．
３．从方法看，考察的热点有：
（１）矩阵的初等变换方法；
（２）特征值和特征向量方法；
（３）标准正交化方法；
（４）子空间直和的判定方法．
４．发展趋势
（１）题型仍会以证明题和计算题为主，因为研究生考试重点考察学生分析问题的能力及综合利用
知识解决问题的能力．
但随着数学在各个领域的应用逐渐扩大，计算题的比重有上升的趋势．
（２）考察内容仍将以矩阵理论、线性空间和线性变换理论、多项式理论和线性方程组为热点内容．
（３）注意新的概念和新的理论的出现．
中山大学２００１年考察了线性空间商空间的概念、对偶空间、子空间的零化子等概念．
（４）反问题的讨论．
（南京航天航空大学２０１１）（２０分）设二次型 ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ａ（ｘ
２
１＋ｘ
２
２＋ｘ
２
３）＋２ｂ（ｘ１ｘ２＋ｘ１ｘ３＋
ｘ２ｘ３）经过正交变换Ｘ＝ＣＹ化为二次型３ｙ
２
１＋３ｙ
２
２，求参数ａ，ｂ的值及正交矩阵．
五、辅导内容和形式
高等代数考研辅导第一阶段分为三部分：
《考点精讲及复习思路》、《名校真题过关精讲精练》、《冲刺串讲及模拟卷》．
１．《考点精讲及复习思路》（约４０讲）
《考点精讲及复习思路》以章为单位，围绕考研知识要点，精选各校考研真题，强化基本概念，注重
提炼数学思想和方法，利用典型例题来阐述如何运用基本理论和知识去分析问题、解决问题的方法．
每个章节具体辅导内容：
（１）本章考情分析：常考题型，分值分布，本章重点，本章难点．
（２）本章考点之间联系，复习思路．
（３）本章要点精讲．
—２—
（４）本章技巧点，方法点的总结，包括难题选讲．
２．《名校真题过关精讲精练》（约３０讲）
《名校真题过关精讲精练》按辅导内容分为五部分：多项式、线性方程组、矩阵理论、二次型、线性
空间理论（包括线性变换和欧氏空间）．
（１）精选习题：
ａ）选取名校近年的考研真题；ｂ）选取有一定难度的考研真题；ｃ）选取综合性强的真题；ｄ）选取的
真题要达到足够的量，以保证对重要知识点的覆盖面；
（２）注重总结方法；
（３）注意总结分类．
３．《冲刺串讲及模拟卷》（约１０讲）
通过前两轮的复习，在临近考试前期，对之前的考点进行系统的串讲．从而使考生查漏补缺，整体
把握．通过模拟试卷的练习，进行考前最后冲刺．
—３—
北京大学数学系《高等代数》考点精讲及复习思路
第一章　多项式
一、本章考情分析
本章是以多项式为重点展开的，多项式是高等代数的重要组成部分，它相对独立、自成体系，但为
高等代数的后续内容提供了理论依据．同时也是编码、密码等重要应用领域的数学工具．
常考题型：基本以证明题出现．
分值分布：分值不等，有１０分，１５分，甚至有２０分的综合题．
本章重点：本章对多项式理论进行了深入、系统、全面的论述，内容可分为一元多项式与多元多项
式两大部分，考研以一元多项式为主．一元多项式理论可归纳为四个方面：一般理论、整除理论、因式
分解理论、根理论．本章的重点是多项式的整除与因式分解理论．整除是本章的基础．在多项式理论
中，最基本的结论有：带余除法、最大公因式表示定理、两个多项式互素的充要条件、因式分解唯一性
定理．而贯穿本章的是将多项式分别在复数域，实数域及有理数域上分解成不可约多项式的乘积．至
今没有解决的问题是将整系数多项式能否分解成两个次数都比它低的整系数多项式的乘积．在复习
的过中，要重点把握这两个重点和四个结论．
本章难点：
１．关于两个多项式的最大公因式证明的习题有一定难度，可以利用习题中的第８题作为定理，它
在证明最大公因式的问题中会有很好的效果．
２．关于两个多项式互素的证明，也有较大的难度，可以充分利用定理３．
３．关于整除性的证明，既是重点，也是难点．要注意应用根理论、因式分解和相关性质来解决这一问题．
二、本章考点之间联系及复习思路
１．考点之间的联系
多项式
数域
定义{定理
一元多项式
定义{性质
多项式的整除性 性质
多项式的最大公因式
最大公因式定义，定理
互素定义，定理{
互素的性质
因式分解定理
不可约多项式的概念性质{因式分解唯一定理
重因式
多项式的导数及性质
多项式的重因式（重因式的判别定理{ ）
多项式函数
多项式定理
余式定理，{ 综合除法
有理系数多项式
本原多项式的概念和艾森斯坦因判别法{























有理系数多项式的有理根
—４—
２．复习思路
１）本章的解题思路可以概括为“概念＋性质＋技巧”，即：深刻理解概念，熟练掌握性质，灵活运用
技巧．
２）本章的特点之一是与中学教学联系比较密切，例如多项式的运算及运算律，多项式的求根，多
项式的因式分解．因而要熟悉中学教学中有关多项式的运算、技巧和结论．
３）特点之二习题难度较大，证明题较多，为突破这一难点，一方面多作些例题，另外讨论一些抽象
的问题时，先考虑具体的简单的情况．
三、本章要点精讲
要点３．１　 数域的概念及性质
【３－１】证明：有理数的全体构成数域，而且是最小的数域（或任何数域包含有理数域）．
【３－２】设Ｑ（槡２）＝｛ａ＋ｂ槡２ａ，ｂ∈Ｑ｝，则Ｑ（槡２）构成数域．
【３－３】设Ｐ是素数，Ｑ（Ｐ）＝｛
槡ａ＋ｂ Ｐａ，ｂ∈Ｑ｝构成数域，当Ｐ１≠Ｐ２时，Ｑ（Ｐ１）≠Ｑ（Ｐ２）．
由素数有无穷多个，所以数域有无穷多个．
【３－４】Ｈ＝ ａ０＋ａ１π＋… ＋ａｎπ
ｎ
ｂ０＋ｂ１π＋… ＋ｂｍπ
ｍ
ａｉ，ｂｊ∈Ｚ．ｍ，ｎ{ }非整 ，
则Ｈ构成数域．
【３－５】不构成数域的例子：
例如Ｚ，Ｈ＝｛ａ＋ｂｉａ，ｂ∈ｚ．ｉ２ ＝－１｝
要点３．２　多项式的一般理论：概念、运算、性质
【３－６】（河南大学研究生入学试题）设ｆ（ｘ）∈Ｒ［ｘ］，若ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）·ｆ（ｙ），则ｆ（ｘ）＝０或
ｆ（ｘ）＝１．
思路提示：多项式的定义、运算、次数等概念．
【３－７】设ｆ（ｘ）是一个多项式，证明ｆ（ｘ）＝ｋｘ（ｋ为常数）的充分必要条件是ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）＋
ｆ（ｙ）．
【３－８】设ｆ（ｘ），ｇ（ｘ），ｈ（ｘ）是实数域上多项式．
１）如果ｆ２（ｘ）＝ｘｇ２（ｘ）＋ｘｈ２（ｘ），证明ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）＝ｈ（ｘ）＝０；
２）在复数域上，上述命题是否成立？
要点３．３　 整除理论：带余除法、整除、最大公因式、互素
【３－９】（大连理工大学，２００４）设 Ｒ，Ｑ分别表示实数域和有理数域，ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）属于 Ｑ［ｘ］．
证明：
（１）若在Ｒ［ｘ］中有ｇ（ｘ）｜ｆ（ｘ），则在Ｑ［ｘ］中也有ｇ（ｘ）｜ｆ（ｘ）；
（２）ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）在Ｑ［ｘ］中互素，当且仅当ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）在Ｒ（ｘ）中互素；
思路提示：
（１）假定在Ｑ［ｘ］中ｇ（ｘ）不能整除ｆ（ｘ），
—５—
北京大学数学系《高等代数》考点精讲及复习思路
那么ｆ（ｘ）＝ｑ（ｘ）ｇ（ｇ）＋ｒ（ｘ），ｑ（ｘ），ｒ（ｘ）∈Ｑ［ｘ］，
且（ｒ（ｘ））＜（ｇ（ｘ））．以上等式在Ｒ［ｘ］中也成立，
所以在Ｒ［ｘ］中ｇ（ｘ）不能整除ｆ（ｘ）矛盾．因此，结论成立．
（２）如果ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）在Ｑ［ｘ］中互素，
那么存在ｕ（ｘ），ｖ（ｘ）∈Ｑ［ｘ］，使ｆ（ｘ）ｕ（ｘ）＋ｇ（ｘ）ｖ（ｘ）＝１．
以上等式在Ｒ［ｘ］中也成立，
所以，ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）在Ｒ［ｘ］中互素．
如果ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）在Ｑ［ｘ］中不互素，
那么存在ｄ（ｘ）∈Ｑ［ｘ］，（ｄ（ｘ））≥１，ｆ（ｘ）＝ｄ（ｘ）ｆ１（ｘ），
ｇ（ｘ）＝ｄ（ｘ）ｇ１（ｘ），ｆ１（ｘ），ｇ１（ｘ）∈Ｑ［ｘ］，
以上两个等式在Ｒ［ｘ］中成立，
因此，ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在Ｒ［ｘ］中不互素．
【３－１０】（上海大学，２００５）
设ｘｎ－１｜（ｘ－１）［ｆ１（ｘ
ｎ）＋ｘｆ２（ｘ
ｎ）＋ｘ２ｆ３（ｘ
ｎ）＋…＋ｘｎ－２ｆｎ－１（ｘ
ｎ）］（ｎ≥２），证明：ｘ－１｜ｆｉ（ｘ）（ｉ
＝１，２，…，ｎ－１）．
思路提示：整除、范德蒙行列式、ｎ次根、根与一次因式的关系．
ｘｎ－１＋ｘｎ－２＋… ＋ｘ＋１｜ｆ１（ｘ
ｎ）＋ｘｆ２（ｘ
ｎ）＋ｘ２ｆ３（ｘ
ｎ）＋… ＋ｘｎ－２ｆｎ－１（ｘ
ｎ）令ε是ｎ次本原单位根，
那么
ｆ１（１）＋εｆ２（１）＋ε
２ｆ３（１）＋…ε
ｎ－２ｆｎ－１（１）＝０
ｆ１（１）＋ε
２ｆ２（１）＋（ε
２）２ｆ３（１）＋… ＋（ε
２）ｎ－２ｆｎ－１（１）＝０
……………
ｆ１（１）＋ε
ｎ－１ｆ２（１）＋（ε
ｎ－１）２ｆ３（１）＋… ＋（ε
ｎ－１）ｎ－２ｆｎ－１（１）＝







０
以上关于ｆ１（１），ｆ２（１），…，ｆｎ－１（１）的齐次线性方程组的系数行列式为
１ ε ε２ … εｎ－２
１ ε２ （ε２）２ … （ε２）ｎ－２
… … … … …
１ εｎ－１ （εｎ－１）２ … （εｎ－１）ｎ－２
≠０
齐次线性方程组只有零解，于是ｆ１（１）＝ｆ２（１）＝… ＝ｆｎ－１（１）＝０，所以ｘ－１ｆｉ（ｘ），ｉ＝１，２，
…，ｎ－１
【３－１１】（云南大学研究生入学试题）
证明：设ｆ（ｘ），ｈ（ｘ），ｇ（ｘ）∈Ｒ［ｘ］，且（ｘ２＋１）ｈ（ｘ）＋（ｘ＋１）ｆ（ｘ）＋（ｘ－２）ｇ（ｘ）＝０，（ｘ２＋
１）ｈ（ｘ）＋（ｘ－１）ｆ（ｘ）＋（ｘ＋２）ｇ（ｘ）＝０，
则ｘ２＋１ｆ（ｘ），ｘ２＋１ｇ（ｘ）．
思路提示：整除、根与因式的关系、互素的性质．
【３－１２】（中国人民大学期末试题）若（ｘ－１）ｆ（ｘｎ），问是否必有（ｘｎ－１）ｆ（ｘｎ）？
—６—
思路提示：整除、根与因式的关系、变量代换．
【３－１３】（大连理工大学，２００２）设ｐ［ｘ］为数域ｐ上的多项式环，ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ）∈ｐ［ｘ］，且ｆ１（ｘ），
ｆ２（ｘ）互素．
证明：对于任意ｇ１（ｘ），ｇ２（ｘ）∈ｐ［ｘ］，存在ｇ（ｘ）∈ｐ［ｘ］，
使得ｆｉ（ｘ）ｇ（ｘ）－ｇｉ（ｘ），ｉ＝１，２．
思路提示：由ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ）互素，那么存在ｕ１（ｘ），ｕ２（ｘ）∈ｐ［ｘ］，使ｆ１（ｘ）ｕ１（ｘ）＋ｆ２（ｘ）ｕ２（ｘ）＝
１，于是
ｆ１（ｘ）ｕ１（ｘ）ｇ１（ｘ）＋ｆ２（ｘ）ｕ２（ｘ）ｇ１（ｘ）＝ｇ１（ｘ）
ｆ１（ｘ）ｕ１（ｘ）ｇ２（ｘ）＋ｆ２（Ｘ）ｕ２（ｘ）ｇ２（ｘ）＝ｇ２（ｘ）
令ｇ（ｘ）＝ｇ１（ｘ）＋ｇ２（ｘ）－ｆ１（ｘ）ｕ１（ｘ）ｇ１（ｘ）－ｆ２（ｘ）ｕ２（ｘ）ｇ２（ｘ），
于是ｇ（ｘ）－ｇ１（ｘ）＝ｆ１（ｘ）ｕ１（ｘ）ｇ２（ｘ）＋ｆ２（ｘ）ｕ２（ｘ）ｇ２（ｘ）－ｆ１（ｘ）ｕ１（ｘ）ｇ１（ｘ）
－ｆ２（ｘ）ｕ２（ｘ）ｇ２（ｘ）＝ｆ１（ｘ）（ｕ１（ｘ）ｇ２（ｘ）－ｕ１（ｘ）ｇ１（ｘ））
所以ｆ１（ｘ）｜ｇ（ｘ）－ｇ１（ｘ），同理ｆ２（ｘ）｜ｇ－ｇ２（ｘ）．
要点３．４　因式分解理论：不可约多项式、因式分解、重因式、实数域和复数域上的多项式的
因式分解、有理系数多项式的不可约判别．
【３－１４】（四川大学，２００１）ａ１，ａ２，…，ａｎ是不同的整数，证明ｆ（ｘ）＝（ｘ－ａ１）（ｘ－ａ２）…（ｘ－ａｎ）
＋１在有理数域上不可约或是某一有理系数多项式的平方．
思路提示：如果ｆ（ｘ）在有理数域上不可约，则结论成立．如果ｆ（ｘ）在有理数域上可约，则ｆ（ｘ）可
以写成两个次数比它低的整系数多项式的乘积．
令ｆ（ｘ）＝ｆ１（ｘ）ｆ２（ｘ），．（ｆ１（ｘ））＜ｎ．，（ｆ２（ｘ））＜ｎ，
由ｆ（ａｉ）＝１，ｉ＝１，…，ｎ，则ｆ１（ａｉ）ｆ２（ａｉ）＝１，
又ｆ１（ａｉ），ｆ２（ａｉ）∈Ｚ，于是ｆ１（ａｉ）＝ｆ２（ａｉ），ｉ＝１，…，ｎ，
那么ｆ１（ｘ）＝ｆ２（ｘ），所以．．．
思路拓展：设ａ１，ａ２，…，ａｎ是不同的整数，
证明ｆ（ｘ）＝（ｘ－ａ１）（ｘ－ａ２）…（ｘ－ａｎ）－１在有理数域上不可约．
【３－１５】（大连理工大学，２００４）设ｆ（ｘ）是Ｑ［ｘ］中不可约多项式，则ｆ（ｘ）的根都是单根．
思路提示：
ｆ（ｘ）是Ｑ［ｘ］中的不可约多项式，则（ｆ（ｘ），ｆ′（ｘ））＝１，否则（ｆ（ｘ），ｆ′（ｘ））＝ｄ（ｘ）≠１，则ｆ（ｘ）
有重因式，与ｆ（ｘ）不可约矛盾．于是ｆ（ｘ）没有重因式，所以ｆ（ｘ）的根都是单根．
【３－１６】（首都师大研究生入学试题）
设ｆ（ｘ）＝１＋ｘ＋ｘ
２
２！＋
ｘ３
３！＋… ＋
ｘｐ
ｐ！是有理系数多项式，其中ｐ是素数．证明：
（１）ｆ（ｘ）在复数域上没有重根；
（２）ｆ（ｘ）在有理数域中不可约．
思路提示：
（１）容易验证（ｆ（ｘ），ｆ′（ｘ））＝１，所以ｆ（ｘ）在复数域上没有重根．
—７—
北京大学数学系《高等代数》考点精讲及复习思路
（２）ｐ！ｆ（ｘ）＝ｐ！＋ｐ！ｘ＋３…（ｐ－１）ｐｘ２＋４…（ｐ－１）ｐｘ３＋… ＋ｐｘｐ－１＋ｘｐ存在素数ｐ：
（ｉ）ｐ不能整除１；
（ｉ）ｐ｜ｐ，…，３，…（ｐ－１）ｐ，ｐ！，ｐ！；
（ｉｉ）ｐ２不能整除ｐ！．
由Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ判别法，ｐ！ｆ（ｘ）在有理数域上不可约，于是ｆ（ｘ）在有理数域上不可约．
【３－１７】（南京大学，１９９７）Ｆ是任意一数域，ｆ（ｘ）是 Ｆ上的一元多项式，首项系数为 ａ，次数为
ｎ，证明ｆ′（ｘ）｜ｆ（ｘ）当且仅当存在ｂ∈Ｆ，使ｆ（ｘ）＝ａ（ｘ－ｂ）ｎ．
思路提示：如果ｆ（ｘ）＝ａ（ｘ－ｂ）ｎ，ｆ′（ｘ）｜ｆ（ｘ），
反之，令ｆ（ｘ）＝ａｐｋ１１（ｘ）ｐ
ｋ２
２…ｐ
ｋｔ
ｔ（ｘ），ｋ１＋ｋ２＋… ＋ｋｔ＝ｎ
那么ｆ′（ｘ）＝ｃｐｋ１－１１ （ｘ）ｐ
ｋ２－１
２ （ｘ）…ｐ
ｋｔ－１
ｔ （ｘ）ｇ（ｘ），
ｐｉ（ｘ）不能整除ｇ（ｘ），ｉ＝１，…，ｔ，（ｆ′（ｘ））＝ｎ－１
由ｆ′（ｘ）｜ｆ（ｘ），于是（ｆ（ｘ），ｆ′（ｘ））＝ｄｆ′（ｘ），其中ｄ是ｆ′（ｘ）首项系数的倒数，
而ｈ（ｘ）＝ ｆ（ｘ）
（ｆ（ｘ），ｆ′（ｘ））＝ａｐ１（ｘ）ｐ２（ｘ）…ｐｔ（ｘ）＝
ｆ（ｘ）
ｄｆ′（ｘ）是一次多项式，令ｈ（ｘ）＝ａ（ｘ－ｂ），
于是ｔ＝１，ｐ１（ｘ）＝ｘ－ｂ所以ｆ（ｘ）＝ａ（ｘ－ｂ）
ｎ
要点３．５　多项式的分析理论：多项式函数、多项式的根、代数基本定理、有理系数多项式的
有理根的求法、根与系数关系．
【３－１８】（西北大学研究生入学试题）设ｆ（ｘ）为满足下列条件的次数最大的整系数多项式．
①ｆ（ｘ）＝ｘｎ＋ａ１ｘ
ｎ－１＋… ＋ａｎ－１ｘ＋ｐ，ｐ为质数；
②ｆ（ｘ）恰有ｎ个不同的有理根；
试求ｆ（ｘ）的次数ｎ及所有根．
思路提示：由有理系数多项式有理根的求法知，可能的有理根只能是 ±１，±ｐ，由②ｆ（ｘ）＝（ｘ－
１）（ｘ＋１）（ｘ－ｐ）（ｘ＋ｐ）．从而ｆ（ｘ）的次数为４，有理根是 ±１，±ｐ．
【３－１９】（华东师大，１９９７）证明：一个非零复数α是某一有理系数非零多项式的根的充分必要条
件是存在有理系数多项式．．，使 １
α
＝ｆ（α）．
思路提示：先证必要性，设ｇ（α）＝０，ｇ（ｘ）＝ａｎｘ
ｎ＋ａｎ－１ｘ
ｎ－１＋… ＋ａ１ｘ＋ａ０，
ｇ（α）＝ａｎα
ｎ＋ａｎ－１α
ｎ－１＋… ＋ａ１α＋ａ０ ＝０．
那么ａｎα
ｎ＋ａｎ－１α
ｎ－１＋… ＋ａ１α＝－ａ０，
若ａ０≠０，则 －
ａｎ
ａ０
αｎ－１－… －
ａ２
ａ０
α－
ａ１
ａ( )
０
α＝１，
令ｆ（ｘ）＝－
ａｎ
ａ０
ｘｎ－１－… －
ａ２
ａ０
ｘ－
ａ１
ａ０
，则
１
α
＝ｆ（α）．
若ａ０ ＝０，依次查看ｇ（ｘ）的系数ａ０，ａ１，…，ａｎ，
令第一个不为零的是ａｋ，则ｇ（ｘ）＝ａｎｘ
ｎ＋ａｎ－１ｘ
ｎ－１＋… ＋ａｋｘ
ｋ，ｇ（α）＝ａｎα
ｎ＋ａｎ－１α
ｎ－１＋… ＋
ａｋ＋１α
ｋ＋１＋ａｋα
ｋ ＝０，
于是
—８—
αｋ（ａｎα
ｎ－ｋ＋ａｎ－１α
ｎ－ｋ－１＋… ＋ａｋ＋１α＋ａｋ）＝０，α≠０
从而ａｎα
ｎ－ｋ＋ａｎ－１α
ｎ－ｋ－１＋… ＋ａｋ＋１α＋ａｋ ＝０．
利用上述方法同样可以找出ｆ（ｘ），使 １
α
＝ｆ（α）．
再证充分性，ｆ（ｘ）∈Ｑ［ｘ］．使 １α
＝ｆ（α）．
那么有αｆ（α）－１＝０，令ｇ（ｘ）＝ｘｆ（ｘ）－１
显然ｇ（ｘ）是非零的有理系数多项式，使ｇ（α）＝αｆ（α）－１＝０．
【３－２０】求ｆ（ｘ）＝ｘ５－ｘ４－５２ｘ
３＋２ｘ２－１２ｘ－３的有理根．±３±１
思路提示：作φ（ｘ）＝２ｆ（ｘ）＝２ｘ５－２ｘ４－５ｘ３＋４ｘ２－ｘ－６，φ（ｘ）与ｆ（ｘ）有相同的根，φ（ｘ）可
能的有理根是，±２，，．±６．，±１２，±
３
２，检验可知 －１，２是ｆ（ｘ）的单根．
四、本章小结【主要总结本章的技巧点，方法点】
４．１　关于最大公因式的证明，一般有以下几种方法：
（１）利用定义；
（２）证明等式两边能互相整除；
（３）如果ｆ（ｘ）＝ｑ（ｘ）ｇ（ｘ）＋ｒ（ｘ），ｇ（ｘ）≠０，那么（ｆ（ｘ），ｇ（ｘ））＝（ｇ（ｘ），ｒ（ｘ））；
（４）如果ｄ（ｘ）ｆ（ｘ），ｄ（ｘ）ｇ（ｘ），且有ｕ（ｘ），ｖ（ｘ）∈Ｐ［ｘ］，
使ｄ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｕ（ｘ）＋ｇ（ｘ）ｖ（ｘ），则ｄ（ｘ）是ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）
的一个最大公因式．
【４－１】（上海交通大学，２００４）假设 ｆ１（ｘ）与 ｆ２（ｘ）为次数不超过３的首项系数为１的互异多项
式，假设ｘ４＋ｘ２＋１整除ｆ１（ｘ
３）＋ｘ４ｆ２（ｘ
３）试求ｆ１（ｘ）与ｆ２（ｘ）的最大公因式．
思路提示：ｘ４＋ｘ２＋１＝（ｘ２＋１）２－ｘ２ ＝（ｘ２＋ｘ＋１）（ｘ２－ｘ＋１），
它的４个根ω１，ω２，ε１，ε２，
其中ω１ ＝
－１＋）３ｉ
２ ，ω２ ＝
－１－槡３ｉ
２ ，ε１ ＝
１＋）３ｉ
２ ，ε２ ＝
１－）３ｉ
２ ，
ｆ１（ｘ
３）＋ｘ４ｆ２（ｘ
３）＝（ｘ４＋ｘ２＋１）ｇ（ｘ）．
于是有方程组
ｆ１（１）＋ω１ｆ２（１）＝０
ｆ１（１）＋ω２ｆ２（１）＝
{ ０
ｆ１（－１）－ε１ｆ２（－１）＝０
ｆ１（－１）－ε２ｆ２（－１）＝
{ ０
解方程组，ｆ１（１）＝ｆ２（１）＝０，ｆ１（－１）＝ｆ２（－１）＝０，
于是（ｘ＋１）（ｘ－１）ｆ１（ｘ），（ｘ＋１）（ｘ－１）ｆ２（ｘ）
而ｆ１（ｘ）与ｆ２（ｘ）是互异的次数不超过３的多项式，
—９—
北京大学数学系《高等代数》考点精讲及复习思路
所以（ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ））＝ｘ
２－１．
【４－２】（兰州大学，２００４）设ｆ１（ｘ）与ｆ２（ｘ）是数域Ｆ上的两个不完全为零的多项式，
令Ｉ＝｛ｕ（ｘ）ｆ（ｘ）＋ｖ（ｘ）ｇ（ｘ）｜ｕ（ｘ），ｖ（ｘ）∈Ｆ［ｘ］｝，
试证：
（１）Ｉ关于多项式的加法和乘法封闭，并且对任意的 ｈ（ｘ）∈ Ｉ和任意的 ｋ（ｘ）∈ Ｆ［ｘ］，有
ｈ（ｘ）ｋ（ｘ）∈Ｉ；
（２）Ｉ中存在次数最小的首项系数为１的多项式ｄ（ｘ），并且ｄ（ｘ）＝（ｆ（ｘ），ｇ（ｘ））．
思路提示：（１）容易证明，略；
（２）考虑Ｉ０ ＝｛（ｕ（ｘ）ｆ（ｘ）＋ｖ（ｘ）ｇ（ｘ））｜ｕ（ｘ），ｖ（ｘ）∈Ｆ［ｘ］，且ｕ（ｘ）ｆ（ｘ）＋ｖ（ｘ）ｇ（ｘ）≠０｝
，则Ｉ０是非负整数的一个子集，由最小数原理，Ｉ０中存在最小数，也就是说，Ｉ中存在次数最小的首项
系数为１的多项式ｄ（ｘ）＝ｕ１（ｘ）ｆ（ｘ）＋ｖ１（ｘ）ｇ（ｘ），令ｈ（ｘ）＝ｕ（ｘ）ｆ（ｘ）＋ｖ（ｘ）ｇ（ｘ）是Ｉ中任意多
项式，
令ｈ（ｘ）＝ｄ（ｘ）ｑ（ｘ）＋ｒ（ｘ），ｒ（ｘ）＝０，或者（ｒ（ｘ））＜（ｄ（ｘ）），
若（ｒ（ｘ））＜（ｄ（ｘ）），则ｒ（ｘ）＝ｈ（ｘ）－ｄ（ｘ）ｑ（ｘ）．
由（１）ｒ（ｘ）∈Ｉ，矛盾．于是ｒ（ｘ）＝０，所以ｄ（ｘ）｜ｈ（ｘ），
显然ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）∈Ｉ，那么ｄ（ｘ）｜ｆ（ｘ），ｄ（ｘ）｜ｇ（ｘ），
如果ｐ（ｘ）｜ｆ（ｘ），ｐ（ｘ）｜ｇ（ｘ），则ｐ（ｘ）｜ｕ１（ｘ）ｆ（ｘ）＋ｖ１（ｘ）ｇ（ｘ），即ｐ（ｘ）｜ｄ（ｘ），所以ｄ（ｘ）
＝（ｆ（ｘ），ｇ（ｘ））．
４．２　证明互素的方法有：
（１）利用定义；
（２）反证法；
（３）存在ｕ（ｘ），ｖ（ｘ）∈Ｐ［ｘ］，使ｆ（ｘ）ｕ（ｘ）＋ｇ（ｘ）ｖ（ｘ）＝１是ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）互素的充要条件．
【４－３】（北京大学，２００２）设ｆｎ（ｘ）＝ｘ
ｎ＋２－（ｘ＋１）２ｎ＋１，
证明：对任意的非负整数ｎ，（ｘ２＋ｘ＋１，ｆｎ（ｘ））＝１．
思路提示：反证法、不可约多项式的性质．
因为ｘ２＋ｘ＋１是有理数域上的不可约多项式，
于是ｘ２＋ｘ＋１｜ｆｎ（ｘ）或者（ｘ２＋ｘ＋１，ｆｎ（ｘ））＝１．
假定ｘ２＋ｘ＋１｜ｆｎ（ｘ），令ε是三次本原单位根，
则ε３ ＝１，ε２＋ε＋１＝０，且ｆｎ（ε）＝０．
而
ｆｎ（ε）＝ε
ｎ＋２－（ε＋１）２ｎ＋１＝εｎ＋２－（－ε２）２ｎ＋１＝εｎ＋２＋ε４ｎ＋２＝εｎ＋２（１＋ε３ｎ）＝２εｎ＋２≠０矛盾．
于是（ｘ２＋ｘ＋１，ｆ（ｘ））＝１．
【４－４】（首都师大研究生入学试题）设ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）∈Ｑ［ｘ］．
（１）证明：如果（ｆ（ｘ），ｇ（ｘ））＝１，则（ｆ（ｘ）ｇ（ｘ），ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ））＝１；
（２）一般情况下，（ｆ（ｘ）ｇ（ｘ），ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ））＝（ｆ（ｘ），ｇ（ｘ））是否成立？
—０１—
思路提示：互素的充要条件．
（１）设（ｆ（ｘ），ｇ（ｘ））＝１，则存在ｕ（ｘ），ｖ（ｘ）∈Ｐ［ｘ］，
使ｆ（ｘ）ｕ（ｘ）＋ｇ（ｘ）ｖ（ｘ）＝１．则
（ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ））ｕ（ｘ）＋ｇ（ｘ）（ｖ（ｘ）－ｕ（ｘ））＝１，
（ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ））ｕ（ｘ）＋ｆ（ｘ）（ｕ（ｘ）－ｖ（ｘ））＝１，
即（ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ））＝１，（ｇ（ｘ），ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ））＝１．
再由（ｆ（ｘ），ｇ（ｘ））＝１，我们有（ｆ（ｘ）ｇ（ｘ），ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ））＝１．
（２）不成立．令ｆ（ｘ）＝ｘ，ｇ（ｘ）＝－ｘ，则
（ｆ（ｘ）ｇ（ｘ），ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ））＝－ｘ２，（ｆ（ｘ），ｇ（ｘ））＝ｘ，
故（ｆ（ｘ）ｇ（ｘ），ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ））≠（ｆ（ｘ），ｇ（ｘ））．
４．３　证明整除性的方法有：
（１）利用定义；
（２）反证法；
（３）根方法；
（４）因式分解法．
【４－５】（华东师大，１９９６）已知ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）是数域Ｐ上的两个一元多项式，ｋ是给定的正整数，求
证：ｆｋ（ｘ）｜ｇｋ（ｘ）则ｆ（ｘ）｜ｇ（ｘ）．
思路提示：整除、多项式的因式分解．
令ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的标准分解式为
ｆ（ｘ）＝ａｐｒ１１（ｘ）ｐ
ｒ２
２（ｘ）…ｐ
ｒｔ
ｔ（ｘ）；
ｇ（ｘ）＝ｂｐｓ１１（ｘ）ｐ
ｓ２
２（ｘ）…ｐ
ｓｔ
ｔ（ｘ）．
其中ｐｉ（ｘ）是首项系数为１的互不相同的不可约多项式，
ｒｉ，ｓｉ是非负整数，ｉ＝１，…，ｔ．
ｆｋ（ｘ）＝ａｋｐｋｒ１１（ｘ）ｐ
ｋｒ２
２（ｘ）…ｐ
ｋｒｔ
ｔ（ｘ）；
ｇｋ（ｘ）＝ｂｋｐｋｓ１１（ｘ）ｐ
ｋｓ２
２（ｘ）…ｐ
ｋｓｔ
ｔ（ｘ）．
由ｆｋ（ｘ）｜ｇｋ（ｘ），那么ｋｒｉ≤ｋｓｉ，ｉ＝１，…，ｔ．
于是ｒｉ≤ｓｉ，ｉ＝１，…，ｔ，所以ｆ（ｘ）｜ｇ（ｘ）．
思路拓展：（首都师大研究生入学试题）设ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）∈Ｑ［ｘ］，ｍ是给定的正整数．
证明：ｆ（ｘ）ｍ ｇ（ｘ）ｍ当且仅当ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）．
４．４　有理系数多项式不可约的判定与证明的方法有：
（１）利用定义；
（２）艾森斯坦判别法；
（３）反证法；
（４）有理根方法．
—１１—
北京大学数学系《高等代数》考点精讲及复习思路
【４－６】证明下列多项式在Ｑ上不可约：
１）ｘ６＋ｘ３＋１；
２）ｘ４－１０ｘ２＋１．
解　
１）令ｘ＝ｙ＋１；则
ｆ（ｘ）＝ｘ６＋ｘ３＋１，
ｆ（ｙ＋１）＝（ｙ＋１）６＋（ｙ＋１）３＋１
＝ｙ６＋ｃ５６ｙ
５＋ｃ４６ｙ
４＋ｃ３６ｙ
３＋ｃ２６ｙ
２＋ｃ１６ｙ＋１
　 ＋ｙ３＋ｃ２３ｙ
２＋ｃ１３ｙ
１＋１
取ｐ＝３，应用艾森斯坦判别法即可．
２）反证法．设ｆ（ｘ）＝ｘ４－１０ｘ２＋１＝ｆ１（ｘ）ｆ２（ｘ），其中
ｆｉ（ｘ）∈Ｑ［ｘ］，（ｆ１（ｘ））＜（ｆ（ｘ）），（ｆ２（ｘ））＜（ｆ（ｘ））．
若ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ）中有一次多项式，则ｆ（ｘ）有有理根，矛盾．
故ｆ（ｘ）＝（ｘ２＋ａ１ｘ＋ｂ１）（ｘ
２＋ａ２ｘ＋ｂ２）＝ｘ
４－１０ｘ２＋１．
比较系数得
ａ１＋ａ２ ＝０
ｂ１＋ｂ２＋ａ１ａ２ ＝－１０
ａ１ｂ２＋ａ２ｂ１ ＝０
ｂ１ｂ２







＝１
解之，得ａ１
２ ＝１２或８，即ａ１
２Ｑ，矛盾．
—２１—
第二章　行列式
一、本章考情分析
本章主要讨论行列式的概念、计算和应用．行列式是高等代数的基本概念，也是讨论线性方程组、
矩阵、二次型和线性空间理论的重要工具．行列式是研究生考试的必考内容之一．
常考题型：主要以证明题或计算题的形式独立出现，也常常出现在其他部分的考查内容中．
分值分布：分值不等，有１０分，１５分，或２０分．
本章重点：
１．利用行列式性质计算行列式（行列式的初等变换）．
２．利用行列式按行（列）展开定理计算行列式（降阶法）．
本章难点：
本章的重点是行列式的计算，难点是观察、分析行列式的特点，探索、寻找最佳的解题思路．
二、本章基本内容及复习思路
１．基本内容
１）逆序、逆序数
在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就
称为一个逆序，一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数．
２）ｎ级行列式
ａ１１ ａ１２ … ａ１ｎ
ａ２１ ａ２２ … ａ２ｎ
… … … …
ａｎ１ ａｎ２ … ａｎｎ
＝∑
ｊ１ｊ２…ｊｎ
－( )１τ ｊ１ｊ２…ｊ( )ｎａ１ｊ１，ａ２ｊ２，…，ａｎｊｎ
３）行列式与其转置列式相等即Ｄ＝ＤＴ．
４）用一个数乘行列式等于用这个数乘行列式某一行（列）的所有元素，或行列式中某一行（列）的
所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面．
５）如果行列式中有两行相同，那么行列式为零．
６）如果行列式中两行成比例，那么行列式为零．
７）对换行列式中两行的位置，行列式反号．
８）把一行的倍数加到另一行，行列式不变．
９）
ａ１１ ａ１２ … ａ１ｎ
… … … …
ｂ１＋ｃ１ ｂ２＋ｃ２ … ｂｎ＋ｃｎ
… … … …
ａｎ１ ａｎ２ … ａｎｎ
＝
ａ１１ ａ１２ … ａ１ｎ
… … … …
ｂ１ ｂ２ … ｂｎ
… … … …
ａ
ｎ１
ａｎ２ … ａｎｎ
＋
ａ１１ ａ１２ … ａ１ｎ
… … … …
ｃ１ ｃ２ … ｃｎ
… … … …
ａｎ１ ａｎ２ … ａｎｎ
—３１—
北京大学数学系《高等代数》考点精讲及复习思路
１０）ａｋ１Ａｉ１＋ａｋ２Ａｉ２＋… ＋ａｋｎＡｉｎ ＝
Ａ，ｉ＝ｋ
０，ｉ≠
{ ｋ
ａ１ｋＡ１ｊ＋Ａ２ｋＡ２ｊ＋… ＋ａｎｋＡｎｊ＝
Ａ，ｊ＝ｋ
０，ｊ≠
{ ｋ
其中Ａｉｊ是元素ａｉｊ的代数余子式．
１１）（拉普拉斯定理）设在行列式Ｄ中任意取定了ｋ（１≤ｋ≤ｎ－１）个行，由这ｋ行元素所组成的
一切ｋ级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式Ｄ．
２．考点之间的联系
３．复习思路方法
１）熟练掌握初等变换和降阶法；
２）分析特点，总结方法；
３）掌握技巧，灵活应用．
三、本章要点精讲
要点３．１　逆序数与行列式定义
【３－１】（Ｐ９６习题５）设．｛ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ｝＝｛１，２，…，ｎ｝．，且τ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＝ｋ，求τ（ｘｎ，ｘｎ－１，
…，ｘ１）．
思路提示：τ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＋τ（ｘｎ，ｘｎ－１，…，ｘ１）＝？
【３－２】（Ｐ９７习题８，３）用定义计算ｎ阶行列式
Ｄｎ ＝
０ ０ … ０ １　０
０ ０ … ２ ０　０
   
０ ｎ－２ … ０ ０　０
ｎ－１
０
０
０
…
…
０
０
０　０
０　ｎ
【３－３】（Ｐ１０２补充题２）证明
ｄ
ｄｔ
ａ１１（ｔ） ａ１２（ｔ） … ａ１ｎ（ｔ）
ａ２１（ｔ） ａ２２（ｔ） … ａ２ｎ（ｔ）
… … … …
ａｎ１（ｔ） ａｎ２（ｔ） … ａｎｎ（ｔ）
＝∑
ｎ
ｉ＝１
ａ１１（ｔ）
…
ａ１２（ｔ）
…
…
…
ａ１ｎ（ｔ）
…
ｄ
ｄｔａｉ１（ｔ）
ｄ
ｄｔａｉ２（ｔ） …
ｄ
ｄｔａｉｎ（ｔ）
… … … …
ａｎ１（ｔ） ａｎ２（ｔ） 　…　 ａｎｎ（ｔ）
—４１—
【３－４】求极限
ｌｉｍ
ｘ→０
ｘ　ｘ２　ｘ３
１　２　３
ｓｉｎｘｘ　１
１ １ １
１＋ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ １
－１ ０ １
要点３．２　利用行列式性质计算行列式
【３－５】（华东师大，１９９１）计算ｎ阶行列式
Ｄｎ ＝
１ ２ ３ … ｎ－１ ｎ
１ １ １ … １ １－ｎ
１ １ １ … １－ｎ １
… … … … … …
１ １ １－ｎ … １ １
１ １－ｎ １ … １ １
【３－６】（华东师大，１９９４）计算ｎ阶行列式
Ｄｎ ＝
ａ１＋ｘ１ ａ２ ａ３ … ａｎ－１ ａｎ
－ｘ１ ｘ２ ０ … ０ ０
０ －ｘ２ ｘ３ … ０ ０
… … … … … …
０ ０ ０ … －ｘｎ－１ ｘｎ
，其中 Π
ｎ
ｉ＝１
ｘｉ≠０．
【３－７】（武汉大学，１９９８）设ｎ≥２，ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ），…，ｆｎ（ｘ）是关于ｘ的次数不超过ｎ－２的多项
式，ａ１，ａ２，…，ａｎ为任意数．证明：行列式
ｆ１（ａ１） ｆ２（ａ１） … ｆｎ（ａ１）
ｆ１（ａ２） ｆ２（ａ２） … ｆｎ（ａ２）
… … … …
ｆ１（ａｎ） ｆ２（ａｎ） … ｆｎ（ａｎ）
＝０
并举例说明条件“次数不超过ｎ－２”是不可缺少的．
【３－８】（云南大学，２００４）计算行列式
Δ＝
ａｎ （ａ－１）ｎ … （ａ－ｎ）ｎ
ａｎ－１ （ａ－１）ｎ－１ … （ａ－ｎ）ｎ
… … … …
ａ ａ－１ … ａ－ｎ
１ １ … １
—５１—
北京大学数学系《高等代数》考点精讲及复习思路
要点３．３　行列式按行（列）展开
【３－９】（华东师大，１９９５）计算ｎ阶行列式
Ｄｎ ＝
０ １
１ ０ １
１ ０ 
  
 ０ １
１ ０
【３－１０】计算２ｎ阶行列式
Ｄ２ｎ ＝
ａｎ ｂｎ
ａｎ－１ ｂｎ－１
 
ａ１ ｂ１
ｃ１ ｄ１
 
ｃｎ－１ ｄｎ－１
ｃｎ ｄｎ
要点３．４　乘法规则及应用
【３－１１】（厦门大学）设
ｆ（ｘ）＝ａ０ｘ
ｎ＋ａ１ｘ
ｎ－１＋… ＋ａｎ－１ｘ＋ａｎ（ａ０≠０）
的ｎ个根为α１，α２，…，αｎ．又记Ｄ（ｆ）＝ａ
２ｎ－２
０ ∏
ｎ≥ｉ＞ｊ≥１
（αｉ－αｊ）
２
．
证明：ｆ（ｘ）有重根的充要条件是Δ＝
ｓ０ ｓ１ … ｓｎ－１
ｓ１ ｓ２ … ｓｎ
… … … …
ｓｎ－１ ｓｎ … ｓ２ｎ－２
＝０，
其中ｓｋ＝α
ｋ
１＋α
ｋ
２＋… ＋α
ｋ
ｎ（ｋ＝０，１，…）．
要点３．５　克拉默法则
【３－１２】设ｂ，ｃ，ｄ是不全为零的实数，证明线性方程组
ｂｘ２＋ｃｘ３＋ｄｘ４ ＝０
－ｂｘ１　 －ｄｘ３＋ｃｘ４ ＝０
－ｃｘ１＋ｄｘ２　 －ｂｘ４ ＝０
－ｄｘ１－ｃｘ２＋ｂｘ３







　 ＝０
仅有零解．
—６１—
四、本章小结【主要总结本章的技巧点，方法点】
几种常见的行列式计算方法：
１．化三角形法：利用行列式的性质，将行列式化成上（下）三角行列式．
【４－１】（华东师大，２００２）计算ｎ阶行列式
Ｄｎ ＝
ｘ ４ ４ ４ … ４
１ ｘ ２ ２ … ２
１ ２ ｘ ２ … ２
１ ２ ２ ｘ … ２
… … … … … …
１ ２ ２ ２ … ｘ
２．降阶法：将行列式Ｄ按某一行展开或将Ｄ按某ｋ行展开，将较高阶的行列式化成较低阶的行列式
【４－２】（南京大学，２００１）求ｎ阶行列式．
Ｄｎ ＝
２ －１ ０ … ０ ０
－１ ２ －１ … ０ ０
０ －１ ２ … ０ ０
… … … … … …
０ ０ ０ … ２ －１
０ ０ ０ … －１ ２
３．升阶法：将ｎ阶行列式Ｄ增加一行一列变成ｎ＋１阶行列式，使它更容易计算．
【４－３】（南京师大，１９９５）计算ｎ阶行列式
Ｄｎ ＝
ｘ＋１ ｘ ｘ … ｘ
ｘ ｘ＋２ ｘ … ｘ
ｘ ｘ ｘ＋３ … ｘ
… … … … …
ｘ ｘ ｘ … ｘ＋ｎ
４．拆项法：将行列式Ｄ的某一行都写成两个元素和的形式，将Ｄ表成两个行列式的和．
【４－４】（中南大学，２００１）求证：
Ｄｎ ＝
ｘ１ ａ ａ … ａ
ｂ ｘ２ ａ … ａ
ｂ ｂ ｘ３ … ａ
… … … … …
ｂ ｂ ｂ … ｘｎ
＝ａｆ（ｂ）－ｂｆ（ａ）ａ－ｂ
其中ｆ（ｘ）＝（ｘ１－ｘ）…（ｘｎ－ｘ），ａ≠ｂ．
５．递推法：利用行列式的性质将 ｎ阶行列式 Ｄｎ用较低阶的形状与 Ｄｎ完全一样的行列式 Ｄｎ－１，２
—７１—
北京大学数学系《高等代数》考点精讲及复习思路
６．数学归纳法：先观察Ｄ１，Ｄ２，Ｄ３，…，得出猜想，然后用数学归纳法证明．
【４－５】（华东师大，１９９６）计算ｎ阶行列式．
Ｄｎ＝
１＋ｘ ｙ ０ … ０ ０
ｚ １＋ｘ ｙ … ０ ０
０ ｚ １＋ｘ … ０ ０
… … … … … …
０ ０ ０ … １＋ｘ ｙ
０ ０ ０ … ｚ １＋ｘ
，其中ｘ＝ｙｚ．
７．范德蒙型行列式的计算．
【４－６】（四川大学，２００１）计算行列式
Ｄ＝
１ １ １ … １
ｘ１ ｘ２ ｘ３ … ｘｎ
… … … … …
ｘｎ－３１ ｘｎ－３２ ｘｎ－３３ … ｘｎ－３ｎ
ｘｎ－１１ ｘｎ－１２ ｘｎ－１３ … ｘｎ－１ｎ
ｘｎ１ ｘｎ２ ｘｎ３ … ｘｎｎ
—８１—
第三章 　 线性方程组
一、本章考情分析
线性方程组理论是数学各分支的重要基础，在许多领域有广泛的应用．本章主要讨论线性方程组
有解的判别条件、解的个数、求解方法以及解的结构等内容．线性方程组理论是研究生考试的主要内
容之一．
常考题型：主要以计算题形式出现，也有部分证明．
分值分布：分值不等，有１０分，１５分，或２０分．
本章重点：三个中心问题，如何求解？如何判定有解？解的结构如何？三种解决方法．
１．求解线性方程组的基本方法———消元法（矩阵的初等变换法），即对线性方程组的增广矩阵施
行初等变换化为阶梯形矩阵求解．
２．线性方程组有解的判定方法：通过引入向量的线性相关、秩与极大线性无关组、矩阵的秩等概
念，给出了线性方程组有解的充要条件．
３．利用向量空间的概念研究了线性方程组解的结构．
本章难点：
１．本章的难点之一是线性相关性的概念，它相对抽象，对逻辑推理要求较高．
２．本章的难点之二是含参数的线性方程组的求解，因为它综合考查矩阵的秩的确定，线性方程组
解的情况的判定，求解方法及解的结构．
二、本章基本内容及复习思路
１．基本内容
１）向量的线性关系———ｎ维向量，向量的线性运算，线性组合，线性表出，线性相关，线性无关，极
大线性无关组，向量组等价，向量组的秩．
２）矩阵的秩———矩阵的秩 ＝矩阵行（列）向量组的秩，即矩阵的行（列）秩 ＝不为零的子式的最
大级数，初等变换不改变矩阵的秩，用初等变换计算矩阵的秩．
３）线性方程组的解的情形
①线性方程组有解的判定：有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵的秩相等．
②线性方程组解的个数：当秩（Ａ）＝秩（Ａ）＝ｎ，方程组有唯一解；
当秩（Ａ）＝秩（Ａ）＝ｒ＜ｎ，方程组有无穷多解．
③齐次线性方程组解的情形：当秩（Ａ）＝ｎ，方程组只有零解；当秩（Ａ）＝ｒ＜ｎ，方程组有非
零解．
４）线性方程组解的结构
①齐次线性方程组的基础解系．
②当秩（Ａ）＝ｒ＜ｎ，齐次线性方程组全部解可表示为ｋ１η１＋ｋ２η２＋…＋ｋｎ－ｒηｎ－ｒ，其中η１，η２，
—９１—
北京大学数学系《高等代数》考点精讲及复习思路
…，ηｎ－ｒ是基础解系．
③当秩（Ａ）＝秩（Ａ）＝ｒ＜ｎ时，非齐次线性方程组的任一个解γ都可以表成
γ＝γ０＋ｋ１η１＋ｋ２η２＋…＋ｋｎ－ｒηｎ－ｒ．
２．考点之间的联系
３．复习思路
１）总体思路：以线性方程组的消元法（矩阵的初等变换法）为基本方法，围绕如何求解、如何判定
有解和如何把握解的结构等中心问题，以向量、向量空间、秩与极大线性无关等概念为工具，解决线性
方程组相关问题．
２）向量组线性无关判定思路：
向量组ａｊ＝（ａ１ｊ，ａ２ｊ，…，ａｎｊ）′，ｊ＝１，２，…，ｓ．那么α１，α２，…，αｓ线性无关齐次性方程组ｘ１α１＋
ｘ２α２＋…＋ｘｓαｓ＝０只有零解
Ａ的秩＝ｓ．
３）将线性方程组用矩阵表成ＡＸ＝ｂ，或用向量表成ｘ１α１＋ｘ２α２＋… ＋ｘｎαｎ ＝β，将线性方程组
有解与向量的线性表示互相转化，会给解题带来一些方便．
三、本章要点精讲
要点３．１　消元法
【３－１】求下列齐次线性方程组的一个基础解系及一般解：
ｘ１－ｘ２＋５ｘ３－ｘ４ ＝０
ｘ１＋ｘ２－２ｘ３＋３ｘ４ ＝０
３ｘ１－ｘ２＋８ｘ３＋ｘ４ ＝０
ｘ１＋３ｘ２－９ｘ３＋７ｘ４ ＝







０
要点３．２　 矩阵的秩
【３－２】设Ａ是ｎ（ｎ≥２）阶方阵，证明：
—０２—
Ｒ（Ａ）＝
ｎ，Ｒ（Ａ）＝ｎ
１，Ｒ（Ａ）＝ｎ－１
０，Ｒ（Ａ）＜ｎ
{
－１
．
【３－３】设Ａ是数域Ｐ上的ｎ阶方阵，证明：
秩Ａｎ ＝秩Ａｎ＋１ ＝秩Ａｎ＋２ ＝……．
【３－４】设Ａ为ｍ×ｎ阶矩阵，Ｂ为ｎ×ｓ阶矩阵．证明Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ不等式：Ｒ（ＡＢ）≥Ｒ（Ａ）＋Ｒ（Ｂ）－ｎ．
【３－５】（首都师范大学）设Ａ为ｎ阶矩阵，证明：
Ｒ（ＡＡ′）〗≥２Ｒ（Ａ）－ｎ，并给出等号成立的一个充分条件．
思路提示：等号成立的一个充分条件为：Ａ满秩．
要点３．３　 向量组的线性相关、向量的线性表示
【３－６】（西北大学，２００７）设Ａ为ｓ×ｎ矩阵，秩为ｒ，线性方程组ＡＸ＝ｂ（ｂ≠０）有特解ξ０，其导
出组ＡＸ＝０的一个基础解系为η１，η２，…，ηｎ－ｒ．
证明：
（１）ξ０，η１，η２，…，ηｎ－ｒ线性无关．
（２）ξ０，ξ０＋η１，ξ０＋η２，…，ξ０＋ηｎ－ｒ为ＡＸ＝ｂ的ｎ－ｒ＋１个线性无关的解向量．
（３）方程组ＡＸ＝ｂ的任一个解γ，都可表成
γ＝ｋ０ξ０＋ｋ１（ξ０＋η１）＋ｋ２（ξ０＋η２）＋… ＋ｋｎ－ｒ（ξ０＋ηｎ－ｒ），
其中ｋ０＋ｋ１＋… ＋ｋｎ－ｒ＝１．
【３－７】（南开大学２０１２）设向量组α１，α２，…，αｍ（ｍ＞２）线性无关．
（１）讨论向量组α１＋α２，α２＋α３，…，αｍ－１＋αｍ，αｍ ＋α１的线性相关性；
（２）若向量组α２，α３，…，αｍ＋１线性相关，证明α１不能由
α２，α３，…，αｍ＋１线性表示．
【３－８】（中山大学，２００３）设向量组α１，α２，…，αｍ线性无关，向量β１可由它线性表示，而向量β２不
能由它线性表示，证明：向量组α１，α２，…，αｍ，β１＋β２线性无关．
要点３．４　向量组的秩与极大线性无关组
【３－９】（武汉大学，１９９６）求向量组
α１ ＝（４，－５，２，６），α２＝（２，－２，１，３），α３＝（４，－１，５，６），α４＝（６，－３，３，９）的一个极大无关
组，并用极大无关组中的向量表示其余向量．
要点３．５　线性方程组求解（齐次、非齐次、含参数线性方程组）
【３－１０】（２０００，南京大学）线性方程组
λｘ＋９ｙ＋３ｚ＝２
－ｘ＋（λ－１）ｙ＝λ
３ｘ－ｙ＋ｚ＝－
{
４
当λ为何值时方程组有：
（１）唯一解，并求其解；
—１２—
北京大学数学系《高等代数》考点精讲及复习思路
（２）无穷多解，此时请用对应的齐次线性方程组的基础解系表示所得到的一般解；（３）无解．
【３－１１】（东南大学，２０００）讨论ａ，ｂ为何值时，如下方程组有唯一解；无解；无穷多解．当有无穷
多解时，求出结构式通解．
ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４ ＝０
ｘ２＋２ｘ３＋２ｘ４ ＝１
－ｘ２＋（ａ－３）ｘ３－２ｘ４ ＝ｂ
３ｘ１＋２ｘ２＋ｘ３＋ａｘ４ ＝－







１
要点３．６　线性方程组有解的判定
【３－１２】（华中师范大学）设Ａ为ｓ×ｎ阶实矩阵，证明：线性方程组ＡＸ＝０与Ａ′ＡＸ＝０同解．
【３－１３】（厦门大学）设．．为ｓ×ｎ阶实矩阵，ｂ为ｓ元实向量．
证明：Ａ′ＡＸ＝Ａ′ｂ一定有解．
【３－１４】（东南大学，１９９８）对非齐次线性方程组ＡＸ＝ｂ，下面的结论 是正确的．
（１）若ＡＸ＝０只有零解，则ＡＸ＝ｂ有唯一解．
（２）若ＡＸ＝０有非零解，则ＡＸ＝ｂ有无穷多解．
（３）若ＡＸ＝ｂ有无穷多解，则ＡＸ＝０只有零解．
（４）若ＡＸ＝ｂ有无穷多解，则ＡＸ＝０有非零解．
【３－１５】（四川大学，２０００）设Ａ是一个ｎ阶方阵，Ａ 是Ａ的伴随矩阵，如果存在ｎ维非零列向量
α，满足：Ａα＝０．
证明：非齐次线性方程组ＡＸ＝α有解ｒａｎｋＡ＝ｎ－１．
四、本章小结【主要总结本章的技巧点，方法点】
本章主要方法：
１．用消元法解线性方程组，利用方程组的增广矩阵的初等变换解方程组的方法．
【４－１】（武汉大学，２００２）线性方程组
２ｘ１＋ｘ２－ｘ３ ＝１
ｘ１－ｘ２＋ｘ３ ＝２
４ｘ１＋５ｘ２－５ｘ３ ＝－
{
１
　与
ａｘ１＋ｂｘ２－ｘ３ ＝０
２ｘ１－ｘ２＋ａｘ３ ＝
{ ３
同解，求通解及ａ，ｂ．
２．向量组线性相关性的判定法．
ａｊ＝（ａ１ｊ，ａ２ｊ，…，ａｎｊ）′，ｊ＝１，２，…，ｓ．那么α１，α２，…，αｓ线性相关齐次性方程组ｘ１α１＋ｘ２α２＋
… ＋ｘｓαｓ＝０有非零解Ａ的秩 ＜ｓ．
【４－２】问下列向量组是否线性相关？
（１）（３，１，４），（２，５，－１），（４，－３，７）；
（２）（２，０，１），（３，１，－２），（１，－１，１）．
—２２—
３．向量组极大线性无关组的求法．
（一般用消元法：将向量按行构成矩阵，对矩阵用初等列变换化为阶梯形矩阵）
４．向量组秩的求法．
（将向量按列构成矩阵，对矩阵用初等变换化为阶梯形矩阵）
【４－３】求向量组
α１ ＝（１，－１，２，４），α２＝（０，３，１，２），α３＝（３，０，７，１４），α４＝（１，－１，２，０），α５＝（２，１，５，６）的
秩和一个极大无关组．
５．矩阵秩的若干求法：①子式法：找出矩阵Ａ中不为零的最高级子式．②初等变换法：用初等变换将
【４－４】讨论ｎ阶方阵Ａ的秩．
Ａ＝
ａ ｂ … ｂ
ｂ ａ … ｂ
   
ｂ ｂ …











ｂ
（ｎ≥２）
６．齐次线性方程组（导出组）基础解系的求法．
（先求系数矩阵秩判断基础解系含解的个数，再解同解方程组，求出基础解系）
【４－５】（武汉大学，１９９３）求ａ与ｂ，使齐次线性方程组
ａｘ＋ｙ＋ｚ＝０
ｘ＋２ｂｙ＋ｚ＝０
ｘ＋３ｂｙ＋ｚ＝
{
０
有非零解，并求相应的基础解系．
７．非齐次线性方程组解的公式求法．
（先求特解，再求导出组的一般解）
【４－６】求下列方程组的通解
ｘ１－ｘ２＋ｘ３＋２ｘ４－ｘ５ ＝－１
２ｘ１＋ｘ２＋２ｘ３－ｘ４＋ｘ５ ＝２
４ｘ１－ｘ２＋４ｘ３＋３ｘ４－ｘ５ ＝
{
０
８．线性方程组有解（即相容）的判别法．
（利用系数矩阵与增广矩阵的秩进行判别）
【４－７】判别下列方程组是否有解
２ｘ１＋ｘ２－ｘ３＋ｘ４ ＝１
３ｘ１－２ｘ２＋２ｘ３－３ｘ４ ＝２
５ｘ１＋ｘ２－ｘ３＋２ｘ４ ＝－１
２ｘ１－ｘ２＋ｘ３－３ｘ４ ＝







４
—３２—
北京大学数学系《高等代数》考点精讲及复习思路
９．用线性方程组理论计算行列式．
【４－８】（Ｐ１６０补充题１０）设
Ａ＝
ａ１１ ａ１２ … ａ１ｎ
ａ２１ ａ２２ … ａ２ｎ
… … … …
ａｎ１ ａｎ２ … ａ












ｎｎ
为一实数域上的矩阵．
证明：
１）如果 ａｉ ＞∑
ｊ≠ｉ
ａｉｊ ，ｉ＝１，２，…，ｎ，那么 Ａ≠０；
２）如果ａｉ ＞∑
ｊ≠ｉ
ａｉｊ ，ｉ＝１，２，…，ｎ，那么 Ａ ＞０．
—４２—
第四章　矩阵
一、本章考情分析
矩阵理论是高等代数的主要内容之一，也是数学及许多其它科学领域的重要工具，它有着广泛的
应用．矩阵理论是研究生考试的主要内容之一．
常考题型：主要以证明和计算题的形式出现．
分值分布：分值在整套题中比例较重，如：南开２０１２年试题中，和矩阵相关的题９题中有４题，占
到６５分，直接考查本章内容的题有２道，占２５分．２００６年，中科院占到三分之一．
本章重点：
１．本章的重点是掌握矩阵的运算以及它们的运算规律．由于矩阵的运算和熟知的数的运算规律
有些是相同的，但也有许多不同之处，这些不同之处正是易犯错误的地方．
２．伴随矩阵是为计算逆矩阵而引入的，但在具体求逆矩阵时，伴随矩阵法只对２阶矩阵较方便，
对２阶以上的矩阵利用初等变换法求逆矩阵更方便．在涉及伴随矩阵的有关计算和证明时，往往利用
伴随矩阵的基本公式ＡＡ ＝ＡＡ＝ ＡＥ来推证及化简．
３．利用初等矩阵及分块初等矩阵可以将对矩阵和分块矩阵的初等变换转换为矩阵的乘法运算，
这对于解决一些涉及矩阵的理论和计算题很有用，但推理过程有一定的技巧．
本章难点：
本章的难点之一是有关矩阵的秩的等式或不等式的证明，它常常和向量组的秩、线性方程组的解
和矩阵的运算等相联系，推证有一定的难度．熟记关于矩阵的秩的一些结论，对有关问题的论证会有
很大的帮助．
二、本章考点之间的联系
—５２—
北京大学数学系《高等代数》考点精讲及复习思路
三、本章要点精讲
要点３．１　矩阵及其运算
【３－１】设α为３维列向量，若
αα′＝
１ －１－１
－１ １－１
－１ －







１１
，
则α′α＝？
【３－２】设Ａ，Ｂ为ｎ阶方阵，且ＡＢ＝Ａ＋Ｂ，证明：ＡＢ＝ＢＡ．
要点３．２求抽象矩阵的行列式
ＡＢ ＝ Ａ· Ｂ ； ｋＢ ＝ｋｎ Ａ ； ＡＴ ＝ Ａ ；
Ａ－１ ＝ Ａ－１； Ａ ＝λ１λ２…λｎ
ｆ( )Ｂ ＝ Ｐ－１ｆ( )ＡＰ ＝ ｆ( )Ａ
【３－３】设Ａ是ｎ阶矩阵，满足ＡＡＴ ＝Ｅ，且 Ａ ＜０．求 Ａ＋Ｅ ．
要点３．３　求方阵的幂
求ｎ阶方阵Ａ的ｋ次幂常采用如下一些方法：
１．数学归纳法；
２．利用二项展开公式Ａ＝Ｆ＋Ｇ；
３．利用矩阵乘法结合律：若矩阵 Ａ可分解为 αβＴ，其中 α，β是列向量，则有 Ａｋ ＝（αβＴ）ｋ ＝α
（βＴα）ｋ－１βＴ ＝（βＴα）ｋ－１Ａ；
注：当Ａ可分解为Ａ＝αβＴ时，可知ｒ（Ａ）≤１．
４．分块对角矩阵求方幂；
５．利用相似对角化：若Ｐ－１ＡＰ＝ｄｉａｇ（λ１，λ２，…，λｎ），则
Ａｋ ＝Ｐｄｉａｇ（λｋ１，λ
ｋ
２，…，λ
ｋ
ｎ）Ｐ
－１．
【３－４】已知矩阵Ａ＝
λ １ ０
０ λ １
０ ０







λ
，求Ａｋ．
【３－５】已知Ａ＝
１ ０ １
０ ２ ０







１ ０ １
，求Ａｎ．
【３－６】已知Ａ＝
２ ４ ０ ０
１ ２ ０ ０
０ ０ ２ ０











０ ０ ４ ２
，求Ａｎ．
要点３．４　矩阵可逆性的判别及逆矩阵的求法
可逆矩阵的性质（设Ａ，Ｂ是ｎ阶可逆矩阵）
—６２—
１．（Ａ－１）－１ ＝Ａ；
２．（ｋＡ）－１ ＝１ｋＡ
－１；
３．（ＡＢ）－１ ＝Ｂ－１Ａ－１；
４．（ＡＴ）－１ ＝（Ａ－１）Ｔ；
５．（Ａｋ）－１ ＝（Ａ－１）ｋ；
６． Ａ－１ ＝ Ａ－１；
７．如果Ａ是ｍ×ｎ矩阵，Ｐ是ｍ阶可逆矩阵，Ｑ是ｎ阶可逆矩阵，则ｒ（Ａ）＝ｒ（ＰＡ）＝ｒ（ＡＱ）＝
ｒ（ＰＡＱ）．
矩阵可逆的条件
Ａ可逆
Ａ非退化
有ｎ阶方阵Ｂ，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ
Ａ－１ ＝Ａ

Ａ
Ａ是满秩阵
Ａ可表示成若干个可逆阵的乘积
Ａ可表示成若干个初等阵的积
存在若干个初等阵Ｐｎ，Ｐｎ－１，…，Ｐ１，使得ＰｎＰｎ－１…Ｐ１Ａ＝Ｅ．
（ＡＥ）→（ＥＡ－１）
Ａ的列向量组线性无关（列满秩）
任何ｎ维列向量ｂ均可由Ａ的列向量线性表出（且表出法唯一）
对任意的列向量ｂ，方程组ＡＸ＝ｂ有唯一解，且唯一解为Ａ－１ｂ
Ａ没有零特征值
求逆矩阵的方法
方法１　伴随矩阵法：Ａ－１ ＝ １
ＡＡ

方法２　初等变换法：（ＡＥ）→…→（ＥＡ－１）（初等行变换）
( )ＡＥ →
初等列 Ｅ
Ａ－( )１
方法３分块对角矩阵求逆
Ａ１
Ａ２

Ａ












ｎ
－１
＝
Ａ－１１
Ａ－１２

Ａ－１













ｎ
【３－７】设Ａ为主对角线元素为零的４阶实对称可逆矩阵，Ｅ为４阶单位阵，
—７２—
北京大学数学系《高等代数》考点精讲及复习思路
Ｂ＝
０ ０ ０ ０
０ ０ ０ ０
０ ０ ｋ ０
０ ０ ０











ｌ
　 ｋ＞０，ｌ＞( )０ ．
（１）试计算Ｅ＋ＡＢ，并指出Ａ中元素满足什么条件时，　　Ｅ＋ＡＢ为可逆矩阵．
（２）当Ｅ＋ＡＢ可逆时，试证明（Ｅ＋ＡＢ）－１Ａ为对称矩阵．
【３－８】已知Ａ ＝
４ ３ ０ ０
－１ ０ ０ ０
０ ０ ３ －６
０ ０ －











３ ３
，试求Ａ－１和Ａ．
【３－９】设方阵Ａ满足Ａ３－Ａ２＋２Ａ－Ｅ＝Ｏ，证明Ａ及Ｅ－Ａ
均可逆，并求Ａ－１和（Ｅ－Ａ）－１．
【３－１０】设Ａ为复数域上的ｎ阶矩阵．如果存在某一正整数ｋ≥２使得Ａ＝Ａｋ，则对任意非零复
数λ，证明矩阵λＥ－Ａ与Ｅ－λＡ同时可逆或同时不可逆，这里Ｅ为ｎ阶单位阵．
要点３．５　求解矩阵方程
矩阵方程是含未知矩阵的等式，求解矩阵方程时，往往先做恒等变形，再代入已知条件求解．不要
一步就代入已知数据，那样会使运算复杂化，费时易错．化简时要正确把握矩阵的有关重要公式和性
质，将所给的关系式变为ＡＸＢ＝Ｃ，从而当Ａ，Ｂ可逆时，解为Ｘ＝Ａ－１ＣＢ－１．
【３－１１】设矩阵Ａ＝
１ １ －１
－１ １ １
１ －







１ １
，矩阵Ｘ满足ＡＸ＝Ａ－１＋２Ｘ，求矩阵Ｘ．
要点３．６　涉及伴随矩阵的计算与证明
对于二阶方阵Ａ＝
ａ１１ ａ１２
ａ２１ ａ( )
２２
，可求得Ａ ＝
ａ２２ －ａ１２
－ａ２１ ａ( )
１１
，
但对于ｎ≥３的情形，直接用定义求伴随矩阵是比较麻烦的．涉及伴随矩阵的计算与证明一般都
是从公式ＡＡ ＝ＡＡ＝ ＡＥ及伴随矩阵的有关结论着手分析．
【３－１２】设Ａ为ｎ阶非零实方阵，Ａ 是Ａ的伴随矩阵，ＡＴ是Ａ的转置矩阵，当Ａ ＝ＡＴ时，证明
Ａ≠０．
【３－１３】已知三阶矩阵Ａ的逆矩阵为Ａ－１ ＝
１ １ １
１ ２ １







１ １ ３
，试求伴随矩阵Ａ 的逆矩阵．
【３－１４】设Ａ，Ｂ均为ｎ阶方阵，求证（ＡＢ） ＝ＢＡ ．
要点３．７　有关矩阵秩的计算与证明
对于抽象矩阵求秩，常利用矩阵秩的如下结果：
（１）若Ａ≠Ｏ，则ｒ（Ａ）≥１；
—８２—
（２）ｒ（Ａ）＝ｒ（ＡＴ）；
（３）ｒ（ＡＢ）≤ｍｉｎ｛ｒ（Ａ），ｒ（Ｂ）｝；
（４）Ａ可逆时，ｒ（ＡＢ）＝ｒ（Ｂ）；
（５）Ａ，Ｂ为ｎ阶方阵且ＡＢ＝Ｏ时，ｒ（Ａ）＋ｒ（Ｂ）≤ｎ；
（６）ｒ（Ａ＋Ｂ）≤ｒ（Ａ）＋ｒ（Ｂ）；
（７）ｒ（Ａ）＝
ｎ， ｒ（Ａ）＝ｎ
１， ｒ（Ａ）＝ｎ－１
０， ｒ（Ａ）＜ｎ－
{
１
．
【３－１５】设Ａ，Ｂ均是ｍ×ｎ矩阵，
证明：ｒ（Ａ＋Ｂ）≤ｒ（Ａ）＋ｒ（Ｂ）．
【３－１６】设Ａ，Ｂ均为ｎ阶方阵且ＡＢ＝Ｏ，
证明：ｒ（Ａ）＋ｒ（Ｂ）≤ｎ．
要点３．８　 初等变换与初等矩阵
【３－１７】设Ａ是ｎ阶可逆方阵，将Ａ的第ｉ行和第ｊ行对换后得到的矩阵记为Ｂ．
（１）证明Ｂ可逆；
（２）求ＡＢ－１．
四、本章小结【主要总结本章的方法和复习思路】
本章的复习思路：注重矩阵和其它章知识的联系．
１．特殊矩阵
【４－１】（西北大学）设Ａ，Ｂ是两个ｎ阶正交矩阵，且 ＡＢ ＝－１．证明：
（１） Ａ′Ｂ ＝－１；
（２）Ａ′Ｂ有特征值 －１；
（３） Ａ＋Ｂ ＝０．
【４－２】（西北大学）设Ａ＝（ａｉｊ）ｎ×ｎ，Ｂ＝（ｂｉｊ）ｎ×ｎ，Ｃ＝（ｃｉｊ）ｎ×ｎ，ｃｉｊ＝ａｉｊｂｉｊ．若Ａ，Ｂ均为正定矩阵，
求证Ｃ也是正定矩阵．
２．关于矩阵的秩的等式或不等式
【４－３】设Ａ为ｎ×ｎ矩阵，证明：如果Ａ２ ＝Ｅ，那么秩（Ａ＋Ｅ）＋秩（Ａ－Ｅ）＝ｎ．
【４－４】设Ａ是ｎ阶方阵，Ｅ是ｎ阶单位矩阵．证明：
Ａ２＋Ａ＝０Ｒ（Ａ）＋Ｒ（Ａ＋Ｅ）＝ｎ，
其中Ｒ（Ｘ）表示矩阵Ｘ的秩．
３．矩阵与线性方程组
【４－５】（苏州大学）设Ａ是一个ｎ×ｎ矩阵，证明：如果Ａ秩等于Ａ２的秩，则齐次线性方程组ＡＸ＝
０与齐次线性方程组Ａ２Ｘ＝０同解．
【４－６】（苏州大学）设Ａ，Ｂ是 ｎ×ｎ实对称矩阵，且 Ａ＋Ｂ＝Ｅ，Ｅ为单位矩阵．证明下列结论
—９２—
北京大学数学系《高等代数》考点精讲及复习思路
等价：
（１）ＡＢ＝０；
（２）秩（Ａ）＋秩（Ｂ）＝ｎ．
—０３—
第五章　二次型
一、本章考情分析
二次型理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准型的问题．目前二次型理论不
仅在几何中而且在数学的其它分支及物理、力学、工程技术中也经常用到．二次型理论是研究生考试
的主要内容之一．
常考题型：主要以证明和计算题的形式出现．
分值分布：分值在整套题中分量适中，有１０分、１５分和２０分．
本章重点：
１．化二次型成标准型，或对称矩阵合同于对角阵．主要方法为：配方法、成套初等变换法、用正交
线性替换化二次型成标准型的方法．
２．正定二次型与正定矩阵的判定与证明．具体二次型或实对称矩阵，一般采用各阶顺序主子式大
于零的充要条件来判定，而对于抽象的实二次型或实对称矩阵，往往采用定义或特征值等来判定其正
定性．
本章难点：本章的难点是抽象的实二次型或实对称矩阵的正定性的判定．
二、本章考点之间的联系
三、本章要点精讲
要点３．１　 二次型的基本概念及化标准型
１．基本概念
二次型：ｆ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＝∑
ｎ
ｉ＝１
∑
ｎ
ｊ＝１
ａｉｊｘｉｘｊ　（ａｉｊ＝ａｊｉ，ｉ，ｊ＝１，２，…，ｎ）
标准型：ｆ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＝ｄ１ｘ
２
１＋ｄ２ｘ
２
２＋… ＋ｄｎｘ
２
ｎ
规范形：ｆ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＝ｘ
２
１＋… ＋ｘ
２
ｐ－ｘ
２
ｐ＋１－… －ｘ
２
ｒ
—１３—
北京大学数学系《高等代数》考点精讲及复习思路
二次型的矩阵：ｆ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＝Ｘ
′ＡＸ
非退化线性替换
ｘ１ ＝ｃ１１ｙ１＋ｃ１２ｙ２＋… ＋ｃ１ｎｙｎ
ｘ２ ＝ｃ２１ｙ１＋ｃ２２ｙ２＋… ＋ｃ２ｎｙｎ
… … …
ｘｎ ＝ｃｎ１ｙ１＋ｃｎ２ｙ２＋… ＋ｃｎｎｙ







ｎ
２．二次型化标准型的方法
方法１　配方法
用配方法化二次型为标准形的关键是消去交叉项，其要点
是利用两数和的平方公式与两数平方差公式逐步消去非
平方项，并构造新平方项．
方法２　初等变换法
用初等变换法化二次型为标准形的步骤如下：
第一步：写出二次型的矩阵Ａ，并构造２ｎ×ｎ矩阵 ( )ＡＥ ；
第二步：进行初等变换；
( )ＡＥ
Ａ行同的初等行和初等列
Ｅ →
只行其中的初等列 ( )ＤＰ
第三步：可逆线性变换ｘ＝Ｐｙ化二次型为标准形
ｆ＝ｙＴＤｙ＝ｄ１ｙ
２
１＋ｄ２ｙ
２
２＋… ＋ｄｎｙ
２
ｎ
方法３正交变换法
第一步：写出二次型ｆ的矩阵Ａ（实对称矩阵）
第二步：求ｎ阶正交矩阵Ｑ，使得Ｑ－１ＡＱ＝ＱＴＡＱ＝ｄｉａｇ（λ１，λ２，…，λｎ）
第三步：用正交变换ｘ＝Ｑｙ化二次型为
ｆ＝λ１ｙ
２
１＋λ２ｙ
２
２＋… ＋λｎｙ
２
ｎ
【３－１】化下列二次型为标准形，并写出所用的可逆线性变换：ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ｘ
２
１＋３ｘ
２
３＋２ｘ１ｘ２＋
４ｘ１ｘ３＋２ｘ２ｘ３．
【３－２】（昆明理工，２００７）设
ｆ＝ｘ２１＋ｘ
２
２＋ｘ
２
３＋ｘ
２
４－２ｘ１ｘ２＋６ｘ１ｘ３－４ｘ１ｘ４－４ｘ２ｘ３＋６ｘ２ｘ４－２ｘ３ｘ４，
用正交线性变换把ｆ化为标准形．
【３－３】（华东师大，２００５）求实二次型
ｆ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＝２Σ
ｎ
ｉ＝１
ｘ２ｉ－２（ｘ１ｘ２＋ｘ２ｘ３＋… ＋ｘｎ－１ｘｎ＋ｘｎｘ１）
的正惯性指数、负惯性指数、符号差以及秩．
【３－４】设矩阵
—２３—
Ａ＝
０ １ ０ ０
１ ０ ０ ０
０ ０ ｙ １











０ ０ １ ２
有一个特征值为３，求ｙ，并求正交矩阵Ｐ，使（ＡＰ）Ｔ（ＡＰ）为对角矩阵．
要点３．２　正定二次型和正定矩阵
实二次型ｆ（ｘ１，…，ｘｎ）称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数ｃ１，ｃ２，…，ｃｎ都有ｆ（ｃ１，…，
ｃｎ）＞０．
实二次型ｆ（ｘ１，…，ｘｎ）＝Ｘ′ＡＸ正定
正惯性指数为ｎ
存在ｎ阶可逆矩阵Ｐ，使Ｐ′ＡＰ＝Ｅ
Ａ＝Ｔ′Ｔ（Ｔ可逆）
 Ａ 的顺序主子式全大于零
Ａ的特征值全大于零
Ａ正定
【３－５】（厦门大学，１９９９）
Ａ为正定矩阵，证明：Ａ 也是正定矩阵．
四、本章小结【主要总结本章的方法和复习思路】
本章的复习思路：
本章复习注意两个特点：
一是二次型化标准型方法的规范性，即采用初等变换法和正交变换法；
二是正定矩阵判别和论证的灵活性，注意正定矩阵与其它知识点的结合．
１．二次型的矩阵
【４－１】（浙江大学，２００３）设Ａ＝（ａｉｊ）ｎ×ｎ是可逆的对称实矩阵，证明：二次型
ｆ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＝
０ ｘ１ … ｘｎ
－ｘ１ ａ１１ … ａ１ｎ
… … … …
－ｘｎ ａｎ１ … ａｎｍ
的矩阵是Ａ的伴随矩阵Ａ ．
２．正定矩阵与行列式
【４－２】（武汉大学）Ａ，Ｂ是正定矩阵，证明：
Ａ＋Ｂ ＞ Ａ＋ Ｂ
【４－３】（南京大学，１９９８）Ｂ为ｎ阶可逆实反对称矩阵，
证明：
—３３—
北京大学数学系《高等代数》考点精讲及复习思路
（１） Ｂ ＞０；
（２）φ（λ）＝ λＥ－Ｂ ，证明对任意实数ｂ，φ（ｂ）＞０．
【４－４】（华中科大，１９９８）Ａ为ｎ×ｎ正定实对称矩阵．Ｓ为实反对称矩阵，试证：ｄｅｔ（Ａ＋Ｓ）＞０．
【４－５】（华中科大，２００１）Ａ为ｎ阶非零半正定矩阵，证明 Ａ＋Ｅ ＞１．
３．正定矩阵与特征值
【４－６】（上海交大，２００３）Ａ，Ｂ是ｎ阶正定矩阵，证明：ＡＢ的特征值为实数．
【４－７】（华东师大，２００５）设ｆ（λ）＝λｎ＋ａ１λ
ｎ－１＋… ＋ａｎ－１λ＋ａｎ是实对称矩阵Ａ的特征多项式，
证明：Ａ是负定矩阵的充要条件是ａ１，ａ２，…，ａｎ均大于０．
４．正定矩阵与矩阵方程
【４－８】（武汉大学，２００２）
Ａ，Ｃ为ｎ阶实正定矩阵，Ｂ是矩阵方程ＡＸ＋ＸＡ＝Ｃ的唯一解．
证明：
（１）Ｂ是对称矩阵；
（２）Ｂ是正定矩阵．
—４３—
第六章　线性空间
一、本章考情分析
线性空间是ｎ维向量空间的推广．线性空间是在不考虑集合的对象，抽去它们的具体内容来研究
规定了加法和数乘的集合的公共性质，因此，线性空间具有高度的抽象性和应用的广泛性，学习时要
深入理解各个基本概念及其相互之间的联系，养成从定义出发进行严格推理的习惯．
常考题型：主要以证明的形式出现．
分值分布：分值在整套题中比例重，如：南开２０１２年试题中，线性空间及线性变换的题９题中有４
题，占到１５０分中的７０分．
本章重点和难点：
１．本章的重点之一是线性空间的基与维数．因为在确定了有限维线性空间的基之后，一方面明晰
了线性空间的结构（由基生成整个线性空间），另一方面将线性空间中抽象的元素及规定的运算与 Ｐｎ
中具体的向量及向量的运算相对应，因此可归结为对Ｐｎ中向量的讨论，即它们具有相同的代数结构．
２．本章的另一个重点与难点是子空间的和与直和．能够将一个线性空间分解为若干个子空间的
直和，则这个线性空间的研究就归结为若干个较简单的子空间的研究．应掌握直和的概念和等价
条件．
二、本章考点之间的联系
三、本章要点精讲
要点３．１　 线性空间的概念、基与维数
【３－１】已知向量空间
Ｖ＝｛（ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｘ４）ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４ ＝０，ｘ２＋ｘ３＋ｘ４ ＝０，ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｘ４∈Ｒ｝（１）求 Ｖ的基和
维数；
—５３—
北京大学数学系《高等代数》考点精讲及复习思路
（２）求Ｖ的一组标准正交基．
【３－２】设线性空间Ｖ中的元素组α１，α２，α３，α４线性无关．
求元素组生成的线性空间Ｗ的一组基以及Ｗ的维数．
【３－３】若以ｆ（ｘ）表示实系数多项式，试证：　
Ｗ ＝｛ｆ（ｘ）ｆ（１）＝０，（ｆ（ｘ））≤ｎ｝
是实数域上的线性空间，并求出它的一组基．
要点３．２　 线性子空间的判定
１．设Ｖ是数域Ｐ上的线性空间，Ｗ是Ｖ的一个非空子集合，如果Ｗ对于Ｖ的两种运算也构成Ｐ
上的线性空间，则称Ｗ为Ｖ的一个线性子空间．
２．生成子空间
Ｌ（α１，α２，…，αｓ）＝｛ｋ１α１＋ｋ２α２＋… ＋ｋｓαｓ ｋ１，ｋ２，…，ｋｓ∈Ｐ｝
３．验证线性空间Ｖ的非空子集 Ｗ是否构成子空间，只要验证 Ｗ对于 Ｖ的两种线性运算的封
闭性．
４．设Ｗ１和Ｗ２是线性空间Ｖ的两个子空间，则它们的交Ｗ１∩Ｗ２也是Ｖ的子空间．但两个子空间
的并一般未必是子空间．
５．子空间的和
Ｗ１＋Ｗ２ ＝｛α１＋α２ α１∈Ｗ１，α２∈Ｗ２｝
６．维数公式
ｄｉｍＷ１＋ｄｉｍＷ２ ＝ｄｉｍ（Ｗ１＋Ｗ２）＋ｄｉｍ（Ｗ１∩Ｗ２）
７．求子空间的交与和的基与维数的方法
Ｗ１ ＝Ｌ（α１，α２，…，αｓ），Ｗ２ ＝Ｌ（β１，β２，…，βｔ）
Ｗ１＋Ｗ２ ＝Ｌ（α１，α２，…，αｓ，β１，β２，…，βｔ）
为求Ｗ１∩Ｗ２的基与维数，可设α∈Ｗ１∩Ｗ２，
于是α＝ｋ１α１＋ｋ２α２＋… ＋ｋｓαｓ＝ｌ１β１＋ｌ２β２＋… ＋ｌｔβｔ
从而ｋ１α１＋ｋ２α２＋… ＋ｋｓαｓ－ｌ１β１－ｌ２β２－… －ｌｔβｔ＝０
可见问题转化为确定满足上述条件的ｋ１，ｋ２，…，ｋｓ
和ｌ１，ｌ２，…，ｌｔ．
【３－４】设Ｐｎ是数域Ｐ上全体ｎ维向量组成的线性空间，证明：Ｐｎ的任意子空间 Ｗ，必至少是一
个ｎ元齐次线性方程组的解空间．
【３－５】（北京大学，２００２）设Ｖ１，Ｖ２，…，Ｖｍ是ｎ维线性空间Ｖ的非平凡子空间．
（１）存在α∈Ｖ，使得α∈Ｖ１∪Ｖ２∪…∪Ｖｍ；
（２）存在Ｖ中的一组基ε１，ε２，…，εｎ，使得
｛ε１，ε２，…，εｎ｝∩（Ｖ１∪Ｖ２∪…∪Ｖｍ）＝φ．
【３－６】α１ ＝（１，２，１，－２），α２ ＝（２，３，１，０），α３ ＝（１，２，２，－３），
β１ ＝（１，１，１，１），β１ ＝（１，０，１，－１），β３ ＝（１，３，０，－４）
—６３—
Ｗ１ ＝Ｌ（α１，α２，α３），Ｗ２ ＝Ｌ（β１，β２，β３）
求Ｗ１＋Ｗ２和Ｗ１∩Ｗ２的维数和基．
要点３．３　过渡矩阵及坐标
１．过渡矩阵
设Ｖ是数域Ｐ上的ｎ维线性空间，α１，α２，…，αｎ和
β１，β２，…，βｎ是Ｖ的两组基，它们之间的关系式
β１ ＝ｃ１１α１＋ｃ２１α２＋… ＋ｃｎ１αｎ
β２ ＝ｃ１２α１＋ｃ２２α２＋… ＋ｃｎ２αｎ
　……
βｎ ＝ｃ１ｎα１＋ｃ２ｎα２＋… ＋ｃｎｎα







ｎ
称为基变换公式．基变换公式可形式地写为
（β，β２，…，βｎ）＝（α１，α２，…，αｎ）Ｃ
其中Ｃ＝（ｃｉｊ）ｎ×ｎ称为由基α１，α２，…，αｎ到β１，β２，…，βｎ的过渡矩阵．
２．坐标变换公式：
ｘ１
ｘ２

ｘ












ｎ
＝Ｃ
ｙ１
ｙ２

ｙ












ｎ
【３－７】（武汉大学，２０００）α１，α２，…，αｎ与 β１，β２，…，βｎ为空间 Ｒ
ｎ的两组基，（α１，α２，…，αｎ）＝
（β，β２，…，βｎ）Ａ，α∈Ｒ
ｎ，α＝ｘ１α１＋ｘ２α２＋… ＋ｘｎαｎ ＝ｙ１β１＋ｙ２β２＋… ＋ｙｎβｎ，
（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＝（ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ）Ｂ．
则
Ａ．Ｂ＝Ａ′　　　Ｂ．Ｂ＝Ａ
Ｃ．Ｂ＝（Ａ′）－１　　Ｄ．Ｂ＝Ａ
要点３．４子空间直和的判定与证明
１．直和的概念
设Ｗ１与Ｗ２是线性空间Ｖ的两个子空间，如果
Ｗ１＋Ｗ２ ＝｛αα＝α１＋α２，α１∈Ｗ１，α２∈Ｗ２｝
满足条件Ｖ＝Ｗ＋１Ｗ２，Ｗ１∩Ｗ２ ＝｛０｝
则称这个和为直和，记为Ｖ＝Ｗ１Ｗ２．
Ｖ＝Ｗ１Ｗ２Ｗ１∩Ｗ２ ＝｛０｝
ｄｉｍ（Ｗ１＋Ｗ２）＝ｄｉｍ（Ｗ１）＋ｄｉｍ（Ｗ２）
零向量的分解是唯一的
【３－８】（东南大学，２００３）设Ｖ是数域Ｐ上的ｎ维线性空间，α１，α２，…，αｎ是Ｖ的一个基，用Ｖ１表
示由α１＋α２＋… ＋αｎ生成的线性子空间，令Ｖ２ ＝｛Σ
ｎ
ｉ＝１
ｋｉαｉ Σ
ｎ
ｉ＝１
ｋｉ＝０，ｋｉ∈Ｐ｝．
—７３—
北京大学数学系《高等代数》考点精讲及复习思路
（１）证明Ｖ２是Ｖ的子空间；
（２）证明Ｖ＝Ｖ１Ｖ２．
【３－９】（厦门大学，１９９９）设Ｖ是数域Ｆ上所有ｎ阶对称矩阵关于矩阵的加法与数乘构成的线性
空间，令
Ｕ＝｛Ａ∈ＶＴｒ（Ａ）＝０｝，Ｗ ＝｛λＥλ∈Ｆ｝，
这里Ｅ为单位矩阵，Ｔｒ（Ａ）为Ａ的对角线元素之和．
（１）求证Ｕ，Ｗ为Ｖ的子空间；
（２）分别求Ｕ，Ｗ的一组基与维数；
（３）求证Ｖ＝ＵＷ．
要点３．５线性空间同构的判断与证明
１．同构的概念
设Ｖ与Ｖ′是数域Ｐ上的两个线性空间，如果可以建立Ｖ到Ｖ′的一个双射σ，且对任意α，β∈Ｖ，
ｋ∈Ｐ有
σ（α＋β）＝σ（α）＋σ（β），σ（ｋα）＝ｋσ（α）
则称σ为同构映射，而称线性空间Ｖ与Ｖ′同构．
同构线性空间的有关结论
数域Ｐ上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们具有相同的维数．
【３－１０】证明：线性空间Ｐ［ｘ］可以与它的一个真子空间同构．
四、本章小结【主要总结本章的方法和复习思路】
本章的复习思路：
１．抓住线性空间的基与维数的论证与计算问题；
２．子空间的直和是出题的热点内容．
４．１　矩阵和线性空间
【４－１】（北京大学，２００５）用Ｍｎ（ｋ）表示数域 Ｋ上所有 ｎ级矩阵组成的集合，它对于矩阵的加法
和数量乘法成为Ｋ上的线性空间，数域Ｋ上ｎ级矩阵Ａ称为循环矩阵，
Ａ＝
ａ１ ａ２ ａ３ … ａｎ
ａｎ ａ１ ａ２ … ａｎ－１
… … …
ａ２ ａ３ ａ４ … ａ












１
用Ｕ表示Ｋ上所有ｎ级循环矩阵组成的集合，
证明：Ｕ是Ｍｎ（Ｋ）的一个子空间，并求Ｕ的一个基和维数．
４．２　二次型和线性空间
【４－２】（东南大学，１９９９）设Ａ是４阶实对称矩阵，其正、负惯性指数依次为２，１，证明：
（１）Ｒ４中存在一个２维子空间Ｗ２，使Ｘ
ＴＡＸ＝０，Ｘ∈Ｗ２；
—８３—
（２）Ｗ ＝｛ＸＸＴＡＸ＝０｝不是Ｒ４的子空间；
（３）Ｖ＝｛ＸＸＴＡ２Ｘ＝０｝是Ｒ４的子空间并求维（Ｖ）．
４．３　 直和与线性方程组
【４－３】（上海交大，２００２）设Ａ为数域Ｐ上ｎ阶可逆矩阵，任意将Ａ分为两个子块Ａ＝
Ａ１
Ａ( )
２
，证明
ｎ维线性空间Ｐｎ是齐次线性方程组Ａ１Ｘ＝０的解空间Ｖ１与Ａ２Ｘ＝０的解空间Ｖ２的直和．
【４－４】（华中科大，２００５）设Ｍ∈ｐｎ×ｎ，ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）∈ｐ［ｘ］，且（ｆ（ｘ），ｇ（ｘ））＝１．令Ａ＝ｆ（Ｍ），
Ｂ＝ｇ（Ｍ），Ｗ，Ｗ１，Ｗ２分别为线性方程组ＡＢＸ＝０，ＡＸ＝０，ＢＸ＝０的解空间，证明
Ｗ ＝Ｗ１Ｗ２．
【４－５】设Ｖ１，Ｖ２分别是齐次线性方程组ｘ１＋ｘ２＋… ＋ｘｎ ＝０与ｘ１＝ｘ２＝… ＝ｘｎ的解空间，证
明ｎ维实向量空间Ｒｎ是Ｖ１与Ｖ２的直和．
４．４　线性映射与直和
【４－６】设Ｖ和Ｖ′都是数域Ｐ上的有限维线性空间，σ是Ｖ到Ｖ′的线性映射，即σ满足σ（α＋β）
＝σ（α）＋σ（β），α，β∈Ｖ；
σ（ｋα）＝ｋσ（α），ｋ∈Ｐ，α∈Ｖ．
证明：
存在直和分解Ｖ＝ＵＷ，Ｖ′＝ＭＮ
使得ｋｅｒσ＝Ｕ，ＷＭ
—９３—
北京大学数学系《高等代数》考点精讲及复习思路
第七章　线性变换
一、本章考情分析
线性变换是线性空间到自身的一种特殊映射，它反映了线性空间元素之间的一种最基本的联系，
通过它可以研究线性空间的一些内在性质，线性变换理论是高等代数的主要内容之一，也是研究生考
试的主要内容之一．
常考题型：题型以证明题为主，也有一些计算题．
分值分布：分值在整套题中比例重，如：南开２０１２年试题中，线性空间及线性变换的题９题中有４
题，占到１５０分中的７０分．
本章重点和难点：
１．通过特征值和特征向量的概念，讨论一个线性变换能否在某组基下的矩阵是对角阵问题．
２．特征值和特征向量的概念及计算是本章的重点和难点之一，其计算问题涉及到行列式计算，多
项式求根，解齐次线性方程组等，综合性很强．
二、本章考点之间的联系
三、本章要点精讲
要点３．１　 线性变换及其矩阵
【３－１】（浙江大学，２００４）设Ｖ＝Ｐｎ×ｎ，看成Ｐ上的线性空间，取定Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ∈Ｐｎ×ｎ，对任意Ｘ∈
Ｐｎ×ｎ，令
σ（Ｘ）＝ＡＸＢ＋ＣＸ＋ＸＤ．
求证：（１）σ是Ｖ的线性变换．
—０４—
（２）当Ｃ＝Ｄ＝０时，σ可逆的充要条件是 ＡＢ≠０．
【３－２】（武汉大学）以Ｒｎ［ｘ］表示次数不超过ｎ的实系数多项式构成的实向量空间，其加法是多
项式加法，数乘运算是实数乘多项式，以Ｄ＝ｄｄｘ表示求多项式导数的求导算子，则Ｄ为Ｒｎ［ｘ］上的线
性变换．
（１）试证｛１，ｘ，…，ｘｎ｝是Ｒｎ［ｘ］的一组基；
（２）求Ｄ在上述基下的矩阵；
（３）试证：ｎ≥１时Ｄ不能对角化（即Ｒｎ［ｘ］没有基使Ｄ相应矩阵为对角矩阵）．
要点３．２　 线性变换的特征值，特征向量
【３－３】（武汉大学，２００３）设Ａ，Ｂ是ｎ阶非零矩阵，且有Ａ２ ＝Ａ，Ｂ２ ＝Ｂ，ＡＢ＝ＢＡ＝０．证明：
（１）０，１必然是Ａ，Ｂ的特征值，
（２）若Ｘ是Ａ的属于特征值１的特征向量，则Ｘ也是Ｂ的属于特征值０的特征向量．
【３－４】（武汉大学，２００２）设Ａ是ｎ阶矩阵
Ａ＝
１ １ … １
１ １ … １
… …
１ １ …











１
（１）求Ａ的特征值和特征向量；
（２）求可逆矩阵Ｐ，使Ｐ－１ＡＰ为对角矩阵．
要点３．３　矩阵相似于对角阵
复数域上ｎ阶矩阵Ａ与对角阵相似
Ａ有ｎ个线性无关的特征向量
对Ａ的每个特征值λｉ，λｉ的代数重数＝λｉ的几何重数
Ａ的最小多项式没有重根
Ａ的初等因子都是一次的
【３－５】（浙江大学，２００４）
设Ａ是ｎ阶复矩阵，且存在正整数ｍ，使得Ａｍ ＝Ｅ．
证明：Ａ与对角矩阵相似．
【３－６】（西北大学）设Ａ，Ｂ均为ｎ阶复矩阵，Ａ的特征值互异，且ＡＢ＝ＢＡ．试证：
（１）Ａ的特征向量也是Ｂ的特征向量；
（２）存在可逆矩阵Ｃ，使Ｃ－１ＡＣ，Ｃ－１ＢＣ均为对角形；
（３）ＡＢ可对角化．
【３－７】（武汉大学，２００３）设α＝（ａ１，…，ａｎ）是ｎ（ｎ≥２）维非零向量，证明：α′α可相似于一对
角矩阵，并求此对角矩阵．
要点３．４　 线性变换的值域和与核
【３－８】（武汉大学，２００２）设ｆ是向量空间Ｖ的线性变换，且ｆ２ ＝ｆ，证明：Ｖ＝ＩｍｆＫｅｒｆ．
—１４—
北京大学数学系《高等代数》考点精讲及复习思路
其中Ｋｅｒｆ＝｛α∈Ｖｆ（α）＝０｝，
Ｉｍｆ＝｛α∈Ｖ存在β∈Ｖ，使ｆ（β）＝α｝
【３－９】（北京大学，２００１）设σ是数域Ｋ上ｎ维线性空间Ｖ上的一个线性变换，在Ｋ［ｘ］中，ｆ（ｘ）
＝ｆ１（ｘ）ｆ２（ｘ），且ｆ１（ｘ）与ｆ２（ｘ）互素．用Ｋｅｒσ表示线性变换σ的核．
证明：Ｋｅｒｆ（σ）＝Ｋｅｒｆ１（σ）Ｋｅｒｆ２（σ）．
要点３．５　不变子空间
【３－１０】（武汉大学，２００４）设Ｖ是复数域上的ｎ维线性空间，ｆ，ｇ是Ｖ的线性变换，且ｆｇ＝ｇｆ．
证明：
（１）如果λ是ｆ的特征值，那么Ｖλ（λ的特征子空间）是ｇ的不变子空间；
（２）ｆ，ｇ至少有一个公共的特征向量．
【３－１１】（兰州大学，２００２）设σ是属于Ｐ上线性空间Ｖ上的线性变换，ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）ｈ（ｘ）∈Ｐ［ｘ］
是使ｆ（σ）＝０的多项式，并且ｇ（ｘ）与ｈ（ｘ）互素，令Ｖ１ ＝（ｇ（σ））
－１（０），Ｖ２ ＝（ｈ（σ））
－１（０）．
证明：
（１）Ｖ１与Ｖ２都是σ－子空间；
（２）Ｖ＝Ｖ１Ｖ２．
四、本章小结【主要总结本章的方法和复习思路】
本章的复习思路：把握线性变换与矩阵的转化；注意特征值，特征向量与其它知识点的联系．
１．将线性变换的问题与矩阵的问题互相转化，同时注意到线性变换与矩阵有完全相同的运算性质．
【４－１】（北京大学，２００５）设σ是数域Ｒ上ｎ维线性空间Ｖ的一个线性变换，用ι表示Ｖ上的恒等
变换，证明：
σ３ ＝ιｒａｎｋ（ι－σ）＋ｒａｎｋ（ι＋σ＋σ２）＝ｎ．
【４－２】（华东师大，２００２）设σ为数域Ｋ上ｎ维线性空间Ｖ的一个线性变换，满足σ２＝σ，Ａ为σ
在Ｖ的某组基下的矩阵，ｒａｎｋＡ＝ｒ．
（１）证明：（ｉ）σ＋ι为Ｖ的可逆线性变换；
（ｉ）ｒａｎｋＡ＝ＴｒＡ．
（２）试求｜２Ｅ－Ａ｜．
２．特征值，特征向量是一个重要工具，它和许多问题密切相关．
【４－３】（南京大学，２００２）三阶方阵Ａ的特征值为λ１＝１，λ２＝２，λ３＝３，对应的特征向量依次
为
ξ１ ＝








１
１
１
，ξ２ ＝








１
２
４
，ξ３ ＝








１
３
９
，设向量β＝








１
１
３
．
（１）将β用ξ１，ξ２，ξ３表示；
（２）求．．（ｎ为自然数）
—２４—
【４－４】（四川大学，１９９６）设Ａ，Ｂ∈Ｐｎ×ｎ，Ａ在数域Ｐ中有ｎ个不同特征值．
证明：Ａ的特征向量都是Ｂ的特征向量ＡＢ＝ＢＡ．
【４－５】（浙江大学，２００３）设Ａ为ｎ阶复矩阵，若存在正整数ｍ使得Ａｍ ＝０．则称Ａ为幂零矩阵．
求证：
（１）Ａ为幂零矩阵的充要条件是Ａ的特征值全为零．
（２）设Ａ不可逆，也不是幂零矩阵，那么存在ｎ阶可逆矩阵 Ｐ，使 Ｐ－１ＡＰ＝
Ｂ ０
０( )Ｃ ．其中 Ｂ是幂
零矩阵，Ｃ是可逆矩阵．
【４－６】（武汉大学，１９９５）设Ａ，Ｂ是ｎ阶矩阵，ＡＢ＝Ａ＋Ｂ．
（１）证明Ａ，Ｂ的特征根≠１．
（２）设λ１，λ２，…，λｎ是Ａ的特征根，求Ｂ的特征根．
【４－７】（中国科技大学，１９９８）设Ａ，Ｂ是ｎ阶复矩阵，且ＡＢ＝ＢＡ．证明：
（１）Ａ，Ｂ有公共的特征向量；
（２）如果Ａ，Ｂ都相似于对角阵，则存在同一可逆复方阵Ｔ，使Ｔ－１ＡＴ与Ｔ－１ＢＴ同时为对角阵．
第八章　λ－矩阵
【根据辛老师多年考研辅导经验以及对往年考研试题的研究，本章内容在考研试题中很少涉及，
请考生根据所报考院校及自身情况，对本章进行选择性复习。】
—３４—
北京大学数学系《高等代数》考点精讲及复习思路
第九章　欧氏空间
一、本章考情分析
线性空间中，向量之间的基本运算只有加法与数量乘法．作为几何空间的推广，可以发现几何向
量的度量性质，如长度、夹角等，在线性空间的理论中没有得到反映．但是向量的度量性质在许多问题
（包括几何问题）有特殊的地位．因此有必要在线性空间中引入度量的概念，使其更接近于几何空间，
并有更丰富的内容与方法．这就是本章要研究的对象：欧氏空间．
常考题型：以证明题或计算题的形式出现．
分值分布：分值在整套题中比例适中，如：南开 ２０１２年试题中，欧氏空间的题占到 １５０分中的
１５分．
本章重点和难点：
１．本章通过在实数域上的线性空间中引入内积的概念得到欧氏空间，进而讨论了长度、夹角及正
交等度量概念，特别是引入了欧氏空间的标准正交基这一结构特征．利用标准正交基的特性，可以使
许多问题变得非常简单，这是引入标准正交基的好处．要求准确理解和掌握标准正交基的概念及基本
性质，能熟练运用施密特正交化方法由一组基求出标准正交基．
２．欧氏空间中与内积有关的正交变换与对称变换在现实生活中有着广泛而重要的应用，这两种
变换在标准正交基下分别对应着正交矩阵及实对称矩阵这两种具有特殊性质的矩阵．要求掌握正交
变换与对称变换的概念及性质，能够运用它们与对应特殊矩阵之间的关系解题对实对称矩阵 Ａ，要求
能熟练地找到正交矩阵Ｑ，使ＱＴＡＱ为对角阵，以及以另一种形式出现的同一个问题，即用正交变换化
实二次型为标准形．
３．将线性空间关于某个子空间进行直和分解是不唯一的，但是欧氏空间关于某个子空间及其正
交补空间的直和分解是唯一的．欧氏空间的这种分解是很重要的，要求掌握子空间的正交补的概念及
基本性质，会求某些子空间的正交补．
二、本章考点之间的联系
—４４—
三、本章要点精讲
要点３．１　 欧氏空间的基本概念
定义１：Ｖ是Ｒ上的线性空间，Ｖ上定义二元实值函数，称为内积，是指对任意的α，β，γ∈Ｖ，对任
意的ｋ∈Ｒ，存在唯一的（α，β）∈Ｒ，使得
１）（α，β）＝（β，α）；
２）（ｋα，β）＝ｋ（α，β）
３）（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）
４）（α，α）≥ ０，并且α＝０当且仅当（α，α）＝０
这时，称Ｖ是欧几里德空间．
【３－１】（武汉大学，１９９６）证明ｎ维欧氏空间中至多有ｎ＋１个向量，其两两之间的夹角都大于９０°
．
【３－２】
（天津大学，２００２）设α１，α２，…，αｎ－１是欧氏空间Ｒ
ｎ的一个正交向量组，β１，β２∈Ｒ
ｎ，且（β１，αｉ）＝
０，（β２，αｉ）＝０，ｉ＝１，２，…，ｎ－１．
证明：β１，β２线性相关．
要点３．２标准正交基
【３－３】（北京大学，２００１）在实数域上的ｎ维列向量空间Ｒｎ中，定义内积为（α，β）＝α′β，从而Ｒｎ
成为欧几里得空间．
（１）域上的矩阵Ａ＝
１ －３ ５ －２
－２ １ －３ １
－１ －７ ９ －







４
，求齐次线性方程组
ＡＸ＝０的解空间的一个正交基．
（２）设Ａ是实数域Ｒ上的ｓ×ｎ矩阵，以Ｗ表示齐次线性方程组ＡＸ＝０的解空间，用Ｕ表示Ａ′的
列空间（即Ａ′的列向量组生成的子空间）．证明：Ｕ＝Ｗ⊥ ．
【３－４】（厦门大学，２００２）设ｗ是欧氏空间 Ｖ的一个子空间，α１，α２，…，αｎ是 ｗ的一个标准正交
基，求证下列条件是等价的．
（１）α∈Ｗ；
（２）α＝（α，α１）α１＋（α，α２）α２＋… ＋（α，αｎ）αｎ；
（３）对任意的β∈Ｖ，都有（α，β）＝（α，α１）（β，α１）＋（α，α２）（β，α２）＋… ＋（α，αｎ）（β，αｎ）要点
３．３正交补空间的计算与证明
【３－５】设Ｗ＝Ｌ（β１，β２，β３），其中β１＝（１，２，２，１），β２＝（２，１，－２，－２），β３＝（１，－１，－４ｖ，
３），求Ｗ⊥ ．
【３－６】（北京交通大学，２００４）设σ是欧式空间Ｖ的线性变换，τ是同一空间Ｖ的一个变换，且对
α，β∈Ｖ，有（σ（α），β）＝（α，τ（β））．
证明：
—５４—
北京大学数学系《高等代数》考点精讲及复习思路
（１）τ是Ｖ的线性变换；
（２）σ的核等于τ的值域的正交补．
【３－７】（北京大学）用Ｒ［ｘ］４表示实数域Ｒ上次数小于４的一元多项式组成的集合，它是一个欧
几里得空间，其上的内积为（ｆ，ｇ）＝∫
１
０
ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ，设Ｗ是由零次多项式及零多项式组成的子空间，
求Ｗ⊥ 以及它的一个基．
要点３．４正交变换与对称变换
【３－８】（武汉大学，２００３）设ｆ是ｎ维欧式空间Ｖ的对称变换（即ｆ是Ｖ的线性变换，且对任意α，β
∈Ｖ，（ｆ（α），β）＝（α，ｆ（β）））．
证明：ｆ的像子空间Ｉｍｆ是ｆ的核子空间ｋｅｒｆ的正交补子空间．
【３－９】（大连理工，２０００）设α１，…，αｍ与β１，…，βｍ是 ｎ维欧氏空间中两个向量组，证明：存在一
个正交变换σ，使σ（αｉ）＝βｉ，ｉ＝１，２，…，ｍ的充分必要条件为
（αｉ，αｊ）＝（βｉ，βｊ），ｉ，ｊ＝１，２，…，ｍ．
要点３．５　用正交矩阵化实对称矩阵为对角阵
【３－１０】（北京大学，１９９７）设σ是ｎ维欧式空间Ｖ内的一个线性变换，满足 （σ（α），β）＝－（α，
σ（β）），α，β∈Ｖ．
（１）若λ是σ的特征值，证明λ＝０；
（２）证明Ｖ内存在一组标准正交基，使σ２在此组基下的矩阵为对角矩阵；
（３）设σ在Ｖ的某组基下的矩阵为Ａ，证明：把Ａ看作复数域Ｃ上的ｎ级方阵，其特征值必为零或
纯虚数．
四、本章小结【主要总结本章的思路与方法】
４．１　正交变换与子空间．
【４－１】（浙江大学，２００３）设Ｖ是ｎ维欧氏空间，内积记为（α，β），又设Ｔ是Ｖ的一个正交变换，
记Ｖ１ ＝｛α∈Ｖ｜Ｔα＝α｝，Ｖ２ ＝｛α－Ｔα｜α∈Ｖ｝．试证明：
（１）Ｖ１，Ｖ２都是Ｖ的子空间；
（２）Ｖ＝Ｖ１Ｖ２．
４．２　标准正交基与特征值、特征向量．
【４－２】（东南大学，２００４）已知Ａ是ｎ阶实对称阵，λ１，…，λｎ是Ａ的特征值，相对应的标准正交特
征向量为ξ１，…，ξｎ．
求证：Ａ＝λ１ξ１ξ
Ｔ
１＋… ＋λｎξｎξ
Ｔ
ｎ，这里“Ｔ”表示转置．
４．３　标准正交基与线性相关．
【４－３】（四川大学，１９９７）设σ是欧氏空间Ｖ的一个线性变换，且σ在一标准正交基下的矩阵为
Ａ＝
２ １ １ －１
１ ２ －１ １
１ －１ ２ １
－











１ １ １ ２
—６４—
（１）证明：ε（恒等变换），σ，σ２线性相关；
（２）求Ｖ的一标准正交基，使σ在该基下的矩阵为对角矩阵．
４．４　正交变换、对称变换与特征值、特征向量．
【４－４】（东南大学，２００６）设ｆ是有限维Ｅｎｃｌｉｄ空间Ｖ上的正交变换．
（１）证明：ｆ的特征值只能是１或
"
１；
（２）证明：ｆ的属于不同特征值的特征向量相互正交；
（３）如果１和
"
１都是ｆ的特征值，并且Ｖ１和Ｖ－１分别表示ｆ的属于特征值１和"
１的特征子空
间，若ｆ２ ＝Ｉ，Ｉ表示Ｖ上的恒等变换证明：Ｖ－１ ＝Ｖ⊥１ ．
【４－５】（东南大学，２００５）设Ｖ是ｎ维Ｅｕｃｌｉｄ空间，ｆ是Ｖ上的线性变换，并且满足条件：对任意α，
β∈Ｖ，有（ｆ（α），β）＝（α，ｆ（β））（其中（ξ，η）表示向量ξ，η的内积）
（１）证明：ｆ的属于不同特征值的特征向量是相互正交的．
（２）证明：如ｆ２ ＝ｆ，则Ｖ０ ＝Ｖ１⊥，其中Ｖ１，Ｖ０分别表示ｆ的关于特征值１和０的特征子空间．
【４－６】（大连理工，２００３）设Ｖ是一个ｎ维欧氏空间，σ是正交变换，σ在Ｖ的标准正交基底下的
矩阵是Ａ．证明：
（１）若ｕ＋Ｖｉ是σ的一个虚特征值，则有α，β∈Ｖ，使
σ（α）＝ｕα＋ｖβ，σ（β）＝－ｖα＋ｕβ；
（２）若σ的特征值皆为实数，则Ｖ可分解为一些两两正交的一维不变子空间的直和；
（３）若σ的特征值皆为实数，则Ａ是对称阵．
【４－７】（北京交通大学，２００５）设α是ｎ维欧氏空间Ｖ中的非零向量，定义变换如下：
槇Ａ（ｘ）＝ｘ＋ｋ（ｘ，α）α　（ｘ∈Ｖ）
（１）证明 槇Ａ是线性变换；
（２）设α在Ｖ的一组标准正交基ε１，ε２，…，εｎ下的坐标为（ａ１，ａ２，…，ａｎ）
Ｔ，求 槇Ａ在这组基下的矩
阵；
（３）证明 槇Ａ是对称变换；
（４）证明 槇Ａ是正交变换的充分必要条件是ｋ＝－ ２
（ａ，ａ）．
【４－８】（北京工业大学，２０００）设Ａ是正交矩阵，证明：
（１）Ａ的行列式等于１或
"
１；
（２）Ａ的特征值的模等于１；
（３）如果λ是Ａ的一个特征值，则值 １λ
也是Ａ的一个特征值；
（４）Ａ的伴随矩阵也是正交矩阵；
（５）如果Ａ的行列式等于
"
１，则
"
１是Ａ的一个特征值；
（６）设Ｂ是正交矩阵且 Ａ ＝－ Ｂ ，则 Ａ＋Ｂ ＝０．
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北京大学数学系《高等代数》考点精讲及复习思路