概要信息：

Ⅲ目
第 △章  行 列式
∷̄ 、知识结构网络昏∷,△|ⅡⅡ.ⅡⅡ扌·
'·
·。(1)
∶
=、
基本内容与重要罅论ⅡⅡⅡ⒎甘∵Ⅱ (3)
∷ 基本知识 ·⋯¨¨¨Ⅱ
'9i·
Ⅲ⋯⋯ (3)
∷∷ 重要定理 ⋯⋯⋯⋯ⅢⅡ∷j∶ ⋯⋯⋯·(4)
Ⅱ 主要公式 ·ⅢⅢ△△|i=Ⅱ Ⅱ△Ⅱ¨ (5)
∷ 方阵的行列式 :Ⅱ ∵∴ⅡⅢⅢ⋯⋯ (7)
∵ 克拉默法则 △:Ⅱ:Ⅱ △∵Ⅱ·∷:⋯ ⋯ (7)
∶三、典型例题分析选讲 ∵Ⅱ”∵∵⋯⋯ (9)
∶  数字型行歹刂式△∵Ⅱ∷
·∵∵∵⋯⋯ (9)
∶∶.特征多项式 Ⅱ:⋯ ∵∵∵∵Ⅱ∵∷(17)
∷ 抽象行列式 ,· :· ¨∵∵
。
∵∵∴¨ (18)
矩阵秩的概念 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (21)
史竽
∷
i丿i⊥ o∷ i∶ .∴ .∶ .∵ ∴∴.⋯¨ (22)
∷  代数余子式求和 ⋯∵·Ⅱ∷∵ ?·
·⋯ (23)
. 克拉默法则 ∷∵∵∵·∵∵⋯¨ (24)
∷四、练习题精选 ∷∵∵∷
·
∶;iⅡ∵∵
⋯ (26)
答案与提示 :̈· ·Ⅱ:∷ ∵∵¨¨⋯¨ (28)
第 二 章  矩 阵
一、知识结构网络图 ·∵¨⋯⋯⋯⋯¨
二、基本内容与重要结论 ⋯⋯⋯∵⋯·
基本知识 ⋯⋯⋯⋯¨¨⋯⋯⋯
重要定理 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
主要公式 ⋯⋯⋯⋯⋯¨⋯⋯⋯
(30)
(32)
(32)
(36)
(37)
∴    '   j∶ ∵|∶ iⅡ |∶ ∷∵∷|ⅡⅡ|∶∵ ∶∷
三、典型例题分析选讲 ⅢⅡ、-△ △·⋯·(40)
∵| 矩阵运算 ·灬̈ Ⅱ。ⅡⅡⅢⅡ⋯⋯ (40)
∷  伴随矩阵Ⅱ |·Ⅱ‘Ⅱ|Ⅲ Ⅱ·o0Ⅲ⋯¨ (44)
- ·可逆矩阵 ⋯⋯Ⅱ艹ⅡⅡ||·Ⅲ⋯·(47)
∶∴ 初等矩阵¨⋯⋯⋯艹Ⅱ△Ⅱ,艹 .i|∶ (50)
∷.∴  正交矩阵 ⋯⋯ⅡⅡⅡ|·△·∷|·
⋯·(54)
矩阵方程 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯∴ (56)
四、嚎与谥藉谥
I.I。∴I∴ .¨∴.|∴。̈(59)
∷ ⋯答案与提 示 ⅢⅡⅡⅡⅢ ⅢⅡ ¨ (60)
|-    ^ ∶∷∶∶∷∶∴∷Ⅱ∷∴Ⅱ Ⅱ
`|∷
∴
_茅≡荨 叩绰回军∴∷
∶
一 、知识结构 网络图 Ⅱ̈|ⅡⅡ |?Ⅲ ·⋯·(62)
∷二 、基本 内容与童窭结论Ⅱ ii∷△||∷ 9,Ⅲ (⒁ )
∴  基本知识 △
=·
●ⅢⅢ刂Ⅱ∴△·⋯·(64)
i∴  ⋯重要定理 i· ∴·ⅢⅢⅡ ⅡⅢ|·
·∵ (66)
Ⅱ三 “典型例题分析选讲 :亠 |Ⅲ|艹·Ⅱ⋯·(70)
-∴  ·线性相关 ⋯Ⅲ●·ⅡⅡ :Ⅱ ⅢⅢ⋯⋯ (70)
线性表 出 ⋯⋯⋯⋯∵⋯⋯⋯⋯ (78)
向量组的秩 ⋯⋯⋯∵⋯⋯⋯⋯ (85)
矩阵的秩  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (87)
Schmidt j三 彡辶化 ⋯·⋯·⋯·⋯·⋯·̈·⋯· (90)
向量空间 ⋯⋯⋯⋯¨⋯⋯⋯⋯ (91)
四、练习题精选 ⋯⋯⋯⋯⋯·⋯⋯⋯⋯ (95)
答案与提 示 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (96)
2016年考研线性代数辅导讲义
         主编：李永乐
第四章 线性方程组
一、知识结构网络图 ·⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (99)
二、基本内容与重要结论 ⋯⋯⋯
∷ 亟Ⅱ )
基本知识 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯∵⋯·(101)
主要定理 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯·(102)
三、典型例题分析选讲 ⋯⋯⋯⋯⋯ (104)
基础解系 ·J∵
|·0|.Ⅱ :Ⅱ Ⅲ∶·|Ⅱ∶··∶(104)
解方程组 Air=D¨ ⅡⅢⅢ .Ⅲ ⋯ (108)
有解判定“解的结构 1性质Ⅱ⋯·(117)
公共解、同解 ⋯⋯∴,Ⅲ Ⅲ。.⋯ (122)
四
`练
习题精选 ⋯⋯⋯ⅢⅡ△Ⅲ⋯ (127)
答案与提示⋯⋯⋯·ⅢⅢⅢⅢ⋯ (128)
茅
五
亨 节年倬 坷笮年 冖晕
一、知识结构网络图 ⋯ⅡⅡ·ⅢⅢ⋯
二、基本内容与重要结论 ⋯⋯⋯⋯
基本茹祆。·∴。∷i∴∷.。⋯⋯。
重要定理 ⋯ⅡⅡ|:Ⅱ ||||∵ ∶|J|ⅡⅢ
三、典型例题分析选讲∴ⅢⅡⅢⅢ∵
特征值、特征向量 ⅢⅢⅢ△⋯
相似、相似对角化 ·∷··△Ⅱ¨
求相似对角化时的可逆矩阵 P∶ Ⅱ·
求参数的问题 ⋯⋯ⅢⅡⅢⅢ⋯
l}:
(130)
(132)
(132)
(132)
(135)
(135)
(142)
(146)
(149)
· 2·
用相似求 A″  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (15D
反求矩阵 A·⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (152)
实对称矩阵 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯··:⋯·(154)
t四 、练习题精选 ¨⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (15ρ )
答案与提示 ··
'·
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (160)
第六章 ≡次型
一(知识结构网·络图
:∷ ∶ⅡⅡ·Ⅱ·Ⅲ0:Ⅱ ¨ (162)
二、基本内容与重要结论∷|ⅡⅡⅡ∵ (1o3)
.基本知识 ⋯̈⋯⋯···Ⅱ·∴·Ⅱ⋯ (163)
主要定理 ⋯⋯⋯⋯·Ⅱ⋯⋯Ⅱ··⋯ (165)
三、典型例题分析选讲 △·ⅡⅡ·∴·⋯ (166)
二次型基本概念∷∴Ⅱ‘Ⅱ.I.亠 |⋯ (166)
二次型的标准形 |J· ’,∴。∴.∴ .⋯ (167)
二次型的正定性∴·ⅡΙj∷.iiⅡ 〈173)
矩阵的等价 t相似(合 :向∷∶·∷。⋯ (177)
四t练 习题精选 ⋯⋯∴·∴,⋯ r.∶ 。∴。̈ (179)
答案与提示 ·̄⋯⋯∶。∷。∴∴.∴ ⋯ (180)
∷∷。|∶= 
∷∷∷∷
附录 45分钟水平测试
自测(亠 )· ∷̈·∴·∷。∶Ι。∴∴。∴.¨ (182)
自测(二 )∴∴·⋯⋯∴∴。Ι。∷。二。⋯ (182)
自测(=L) ∶
'∶
·∴∶.¨ ∷‘i∶ J∴ .∴。∴∵∷(183)
ˉ
参考答案与提示 ∴∴
=∶
∶∴.∴ ¨ (184)
第∵章 Ⅱ行Ill式
翳
}
翳
∷
第ˉ∷章i 行列式
△ (知识结构网络图
二免乞丨筑左∷专缡∴魇丫贾甏军)∷
一嘤涮
质
|直 |亠 Ⅱ凡,相似
=@1乙 2c3→ -勿 233c1+色 331c2— Ω̄332C】   @231c3-ˉ 勿1犭 3C2
4阶及 4阶以上行列式不适用。
·1·
丬H
国
图
对 于
恪::
注意这样的计算方法对
线性代数辅导讲义
常 屉 衤1●:
【评注】 (1)对行列式的性质 3要理解正确。例如
二
|∶ ∶;|十 |∶ ∶∶
对 于 彳阶矩 阵 A=E伤 月 ,B=ED妒 ],有 A+B=E‰ +鲂 彐,曲 于行 列式
|A+B|中 每一行都是 两个数 的和 ,所 以若 用性质 3把行 列式 A+B|拆
开 ,则 |A十 B}应 当是 2刀 个 ″阶行 列式之 和。因此一般 情 况下 A+B|≠
|A|+B卜
∷
特别地 ,
|Ξ丨
=0
〓
冖∷η∷△
ハ︱
+
汁
∷
∷
0
 
^
 
0
^
0
0
鲕
砀
劫
㈨
氵
o
⒈
〓
∷0
0
∵
卜
∷
0
~
纰
鲰
鲡
叫
引
T
∷
一 
~
 
M
日
引
︱
川
 
~
 
一 
~
 
∷
+
∷ 
+
 
 
0
 
汇
σ
^旬
i
^=￠
21
^¨￠
"
‘z12
‘z22
‘⒎32
廴
|
Q一 幻3
0— @幻
λ~@"
=负
3
^ 曰 23
^ 
仇 3
一 炳2  0
工
0”  0
亠 %2  ^
+
—
 负 1
∵ 幻 l
ˉ̄ˉ @31
λ  o
0  ^
0  0
^幻
2
_̄0”
~ 
幻 2
^ 
幻 3
^ 
勿 3
^ˉ 伤33
+|
==^°
(2015,2,3)设 3阶矩阵
E为 3阶单位矩阵 ,则行列式
— (c11-← @” +̄夕 ∶∶}+
@11    ‘z13
‘氵31    ‘z33 )^
T肛 Ξ套
(2)要会用行列式的性质及展 开定理计算数 字型行列式 .
(3)要 熟悉抽 象型行列式的计算∵
∷
艹年考氵
(⒛ 15,1) ″阶行列式
2   0  ⋯·  0   2
— 1  2  ·̈  0   2
0   0  ·̈  2   2
0  0  ⋯· -1  2
A的特征值为 2,-2,1,
1B|=   。
B=A2— A+E,其 中
· 2·
第△章△行列式
二、基本内容与重要:结论
:基 础知识 :
定义 1.1 ″阶行列式
是脐看敢自禾筒荇禾筒9lJ幽
∷
庞本芫素幽蒹祆
:Ⅱ ∷∴·∷∷∷
∷ ,∶ ∷·
∶̈ ∶̀                ∷甲l'1卩∷幻2∵
·
甲〃ヵ -
的代数和,这里
`1J2⋯
J饣 是 1,2,⋯ ,九 的一个排列。当∫1屁 ··
'饣
是偶排列时 ,
该项的前面带正号 ;当
`l”
∷J〃 是奇排列时,该项的煎面带负号 ,即
这里 )E表 示对所有 勿
= ∑
(-△ )※
Ⅱ
丿2¨ 丿饣)伤
玎1@J2⋯ a,Il″   (1。 D
J1∫2¨J,,       ∷  ∷
阶排列求和。式(1.1)称为″阶行列式的莞全宸卉
式。
例如 ,若 已知 臼查Ω2J夕 31a娴 暴四∴珍年烈苏 中的
一
项 ,那么揖据行列式的
定义 ,它应是不同行不同列元素的乘积。因此必有
`=3。由于 伤1四 23夕 31厶衽2列的逆序数
r(4312) ==3-← 2-← 0÷ ∶5
∴∶   |
是奇数 ,所 以该项所带符号为负号。
一
刀̄
 
 
‰
 
·
·
〓
 
 
m
∴
夕
 
 
@
 
 
 
 
 
Ω
〓
⒓
 
 
”
 
·
·
·
 
 
″
〓
a
 
 
@
 
 
 
 
 
 
@
Ω
 
 
曰
 
 
 
 
 
伤
在
 
^
定义 ⒈2 方阶行列式
· 3·
喾习扎亿 :
线性代数辅导讲义
营习扎亿 :
C11  ￠12  ¨·
∴卩扭̌ ∷四么⒉ ∴∵
`卢D亠
|@″ 1  @″ 2  ·̈  色″
中划去元素 cfJ所 在的第 j行 、第
`列
,由 剩下的元列 素按原来的排法构成一个
m— 1阶的行列式 ′
|∵∴ :F守∷ ∴
@11   ¨ ·  G⒈ 丿
~扌  ‘ 色 1,'← 1  Ⅱ¨   色 1″
Cj l,1⋯ 即l,,1饵△Ⅱ ∷∷丿j|讠
@a+l,1  ¨ ·  @f|1,丿 ~1  夕件 1,J+1  
¨ ·  曰H△ ,、
伤、1   ¨·  @刀 ,J~1   @饣 ,J+1  ∷
¨  曰狃
称其为cI,的余子式,记为M宀
殄。Tl}∴∵̌ !”即卢华髀拿⒎苓::刁 ÷∵
即
∶Ⅱ∷∷∷Ⅱ| ∶ |∶ △ ∷全Ⅱ=-TP∵Yt∶ r̄∷ⅡⅡ =|。 l∶ ?氵 Ⅱ|Ⅱ
品沁薮荼字妾AΙ 1讠钸芑痴
Ⅱ∴∷
@.,1  @,
流箬占茹
0饣
i。忄:∶ {
江1Ⅱ恬:
终叩甲丁卩:
:∴
.童∴妾定
Ⅱ瑾 :
;° s?ρ P,qⅡ 。?Ⅱ”。ρ̈Ⅱ叩;
定理 1.1 ″阶行列式
∶∶ △ ∷ △∶∷·
-· |   Ⅱ1∷∷∶i
∷∶:— ∷Ⅱ 芰息艹吾
i∶
|i|丨 ∷△|∷ ∶∵·'∷ ∵△
:∷ ∵|△
`=∶
_|∶  ∷∷∷
等手它拗喉薏△锄 有琬素鲫 邈胛∷伊数尔子式帮乘积之鄹?
且0∷
∷  ∷ ∷ ∷ ∷  ∷∴∷△∷|∴ ∵̈Ⅱ∷|∴=△Ⅱ∴|△ |∵ ∷Ⅲ∶Ⅱ
∷∵i∶ ∷△D|≡∶铴亻丸14悦jA击+艹乙驴魄
=t热
△△沱艹,窃钰i宙 9
∷馑奎空夕碣 簇挈螯苠裴罡孱琉缶甚森与1甘浇′
碰幽柢薮余子式的嵊积之和店「∶Ⅱ|∶ ∷∴ Ⅱ∶∴∷Ⅱ △亠△Ⅱj亠∷o∷ i
D=曰 i屁AⅡ +色 “ A⒛ +∵
· +色 汕 A碰 :∶ ∶(乃 ∷△ △ ”z,¨
·
,勿 )《 11∶ 9
=2
∫
 ∷|l| ∶
···    ￠1,l
∶△ |`Ⅱ饧动
`
·
、
· 4·
第—章 ∷行列式
媾 蹴甑戗 :公式 (1.4)称为行列式按第 尼列的展开公式。
鑫鹱 蕙予嚣 设 彳阶行列式
C1″
-乙 2昭
D=
‘乙11  ‘乙12
‘乙21  ‘乙22
艹系
 
 
 
〓J
 
 
 
∷
∷
∷
∷
∷
∷
∷
∷
∷
∷
〓
钉
∷
勿
∷
∷
细
∷
∵
细
∷
∷
锄
∷
〓细
勤
 
 ·∷
∷
∷
∷
∷
∷
∷〓
}
丫
ι
∷〓∷巾
}
∥
也
∷
∷
〓
一兀
 
 
当
 
 
∷
∴
△
≡
△
△
亻
刂
刂
刂
∶ 主 要 公 式 :
干四11勿 2。
·̈曰拥。 (1.7)
‰
 
‰
 ·
¨
 
‰
日II  g⒓   ¨·
C22  ¨·
∷
线性代数辅导讲义
媾 藏甑镢 : CΙ 亠
|J^
搀于勰毒盯榔饿蝇苫i侧式
Ω11  Ω12  ¨·  Ω1,″_l  Ω1″
浼21 Ω22 ¨· 饧 9犷△  0
c`21  0  ⋯·   0   0
=(~1)丁Γ Ω1mΩ 2,991⋯ Ωm1
淄个搀媾渐害;0菝 拧姘蜓盱武
ΩⅡ  ¨° ￠1″  Cn  ¨·  C1/9。
‰
 ‰
 ·:
 
‰
O
 
η
 
.
:
 
‰
0
1
0
骟
¨
骟
O
 
·:
 
0
 
1
 
·
:
 
钙
‰
 ·:
 
‰
 ‰
 ·:
 
‰
‰
 ·:
 
‰
 ‰
 ·:
 
‰
0
⒈
0
‰
¨
骟
≡
‰
¨
‰
0
¨
O
⋯0   0
¨ °  α2,9z 1
¨ °  Ω彳,9t l
Ω饣1  ¨ °  Ω昭   C饣 1
O   ⋯。  ∷0   乙1i
O   乙御1
∶|·
Ω9Fl
6111
‘乙″1
0,
0
=(丁 1)maPr
1
J:
J「 1
阶矩阵 ,则 A
=Rs— (c11
Ω11  Ω13
+
Ω31  Ω33
的特征多顼式
+Ω22+Ω33)^2+s2^亠 |A|
‘乙22  ‘乙2s
‘乙32  ‘乙33
≡
 
细
·:
骟
 
≡
·°·   CPP9m
·̈  乙1庞
沙御2
Ω1饲
‘乙p,r
Ωn  ¨ °
Ω叼1  ¨ ·
C11   ··°
C铭1   
·°·
(1.8)
(1。 9)
‰
·:
骟
乙11
骟 1
0  Ⅱ·
O  ¨·
莎11 ∶ 。⋯
Z9彷叼1   ?· ?
·⋯  乙1兢
⋯· ⅡD吻
Ω11  ∵
°
Ω″1  ¨·
C11  ·°·
C腕1  ··°
1
‰
硝
△
芽
÷ Ⅱ (岛
1≤丿(饣≤饱
一岛 ).
(1。 1O)
(1.11)
(1∶ 12)
+
0  ⋯
:
‘911   ···
C叼1   ···
311  ¨·
乙铭1   ··。
。 6·
第⊥章 行列式
睁方 阵 的 行 列 式 犟
(1)若 A是 彳阶矩阵,AT是 A的转置矩阵,则 |AT{丁 |4|;
(2)若 A是 彳阶矩阵,则 |触 |丁 尸|Ah
(3)若 A、B都是竹阶矩阵,则 |亻叨|丁 |AHBh
(4)若 A是 侈阶矩阵,则 |A※ |=|A|例 ;
(5)若 A是 m阶可逆矩阵,则 |A丬 |=|A|丬 ;
(7)若 m阶矩阵A和 B相似,则 |A|≡ |B卜
克 拉 默 法 则
若 侈个方程 彳
=饥
=D~9
=仉
的系数行列式
(6)若 A是 m阶矩阵,^j(j± 1,2,⋯ ,篦)是 A妁∷特征值,贝刂|A}=I^饣 ;
(1.13)
(1.14)
(1.15)
(1。 16)
(1。 17)
(1.18)
(1.19)
J
 
 
J
 
·
:
 
 
J
h
 
 
‰
 
 
 
 
 
 
彻
Ω
 
 
Ω
 
 
 
 
 
Ω
组
叶
叶
 
叶
程
 
〓
 
〓 
 
 
〓
方
+
+
 
+
性
 
砀
 
均
 
·
:
 
砀
¨
愀
撑灞巍锟髫
线性代数辅导讲义
∷∶∴Ⅱ∷∶∷∷
Ⅱ;
∷i:∷∷
∷∴∷.∶ ∶
亲|
1∴zO)
〓∷
∷一屮〓∷
〓 
 
 
 
 
 
行
论
 
 
 
 
 
 
解
艹 
 
 
 
 
 
数
推
 
〓
 
〓
 
一∵
 
零
〓
系
 
 
 
 
〓
∷
 
·
非
的
∷
 
∷ 
∷
 
∷
 
 
有
=Ⅱ
:∷艹∷△●|
∷∷亠
`←∶|∶|||||
擎蚤|疒攥
∷Ⅱ∶⒈∵
觯
驽运
∴
`
零:1|
亠
^∷
i
〓
〓
〓̀
 
氵
艹
∷∴
 
^
C̄l″εヵ=Q
Ⅱ@泛″2″ t〓 o
1 |℃  ·
￠̄仞=彳
==o
∶|∶∶Ⅱ|∶ ∷∶∵
',1∶
王,⊥纟o
岛i1∶
`⊥±。
手
l∴ |·
jⅠ
|
r么∴∶F⊥ B
。 8·
睁习扎亿 :
第△橥 △行列式
营习扎亿 :
I:∶      |       ∷∷∷   g
:黎 宁犁行列式
:
【申刂1· 1】  (2014∶
圹β
)行 9lJ式
“丫拦竺「‰晶互备彳弱ζ』昱诓徉廴尻ζ蓬开【痴蕊堇
一行展开
三、典型例题分析选讠
o@30
卩ρ∶ρ.Ⅱ
0 c d  o
c OⅡ  0 J
丬丨‖ |∷〗
o Ω 莎 o
伤 00犭
0 c d o
c O O d
同
∞
下
⒍
线性代数辅导讲义
扌习扎亿 : 1 -2  3  4
1   4   9  16
1  -ˉ 8  27  64
5   8   3   2
=6
￡-2 1
2￡ -2 1
1 -2  3
1  4   9
1  -ˉ 8  27
1    1     1
1    1     1    1
1 -2  3  4
1   4   9  16
1  —̄ 8  27  64
(拉普拉斯 (1j9))
4
16
64
1
=∵ 6
=-6(— 2— D(3-1)(4— D(3亠 (
【例 1.3, (1999,2)记 行列式
r(“)=
工 2))(4工 (-2))(4— 3)=3240
i— 2 △ 二△  ￡-2 ￡-3
2跖 ˉ 2  2多 -̄1  2Jˉ-2  2茁 ˉ 3
3ε -̄3  3劣 -̄2  4岔 -— 5  3∞ -̄5
4茁   4=ˉ-3  5￡ -̄7  4茁 -̄3
为
r(J),则 方程 r(多)=Q的 根的个数为
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 E     ]
【分析】 问方程 r(茁)=o有几个根 ,也就是问∫(多)是 岔的几次多项
式。将第 1列 的 -1倍依次加室其余客,lJ,有   
 ̄ Ⅱ Ⅱ∷
∶    ∷‘ |∶ ∷̄   ∷   ∷  :  ∵ ·∶ ∶ ,    ∷ ∴∶△∷∷∷∶
￡工 2  1   0  -1
2ε -2  1   0  -1
3跖 — 3  1 Jr T2 -2
4J  t3 Jr∵ 7 — 3
(2)-+(4)
J— 2  1   0   0
2劣 -2 1   0   0
3品 -3 1 ∞-2 ∷ 1
4茁   -3 茁— 7 -6
饪≡;〓 |
易见 r(劣)是二次多项式 ,故应选 (D.
【例 1。 刂∵̄ 计算
D=
【分析】 各列均
钉 十 ∞
—
￡
0
0
加至第
∶色z|∷ ∷ g3
￡ ∷   0
~J  
∞
0  -— σ
1列 ,并按第 展开有
引
^
︱川
o
︱L
引
硎
· 10 ·
第艹辇忠行列蔑
营习扎亿 :
‘14‘乙2茁+∑臼
o
o
0
0
 
ο
 
￡
钅
·〓〓∷
0
`
△
y
`
一
·
c
妒∽̌
夕氵〓̄∷
〓
+茁丁
0
茁
—
=
D≡ o
〓
ο 
茁
o
￡
〓
t
 勹∷^
υ
卜
r
Γ
⒈
即
〓
〓
〓
〓
〓
吲
Q
ˉ
τ·
︱
引
∷
o
厶
∵
o
叮
∷
 
 
 
 
.
 
 
1
 
丶
〓
)
 
V
 
D
忄
ο丶〓
_
〓̄
⒐
∷o〓
丬
一
∷
ο
0
)
(
~
.
 
〓
丨
I
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
'
`
 
 
色
~
~
 
 
 
 
 
 
一_
 
 
 
〓
 
一厂
σ
·
例
'
▲
由
后
1   1   1∶   1
1200D=|1o3o|了
△∴.∴∷亠:
1004Iˉ  ˇ  ˇ  ˉI       ,∵  ∷ } .∷ ∷
【分析, 对于爪型行列式,将其转化为上(或下)三角行列式。
。1】
j
线性代数辅导讲义
詈习扎亿 :
D=〓 2· 3· 4
=1· (-1)1+I
1   1   1
1  0  0
0  1  0
o  0  1
=· 24
。Ⅱ  o
●⋯  0
¨ ·  勿r△
●⋯  1
1  0  0
0  1  0
0  0  1
1
1
2
1
3
1
4
1一 告
一
告
一
÷ 0 ρ 0
1
_
⒉
 
1
_
⒊
 
1
~
⒕
=24× (1— )=24— 12-8△ 6∶ △△ 2。
【小结】 在计算行列式时。先把某行(舛 )的 屁倍分别加到其
:它
的每△行
(列×如E例 1.3]);或 者先把各行 (歹刂)均加到第一行 (列 ),(如 E例 1.4彐 ,E例
1.6]);或 者用逐行(列 )相加(如 E例 1.5])等 手法化简,然后再用展开公式 ,
这些构思是常见的 ,也是基本的。
【例 1.7】  计算 m阶行列式
D勿 =
1  @1  0
0   1  色2
o   0   0
‘1饣   0   0
列 展 开 ,有【分析】 按第 1
=c11A11+@、1A钔
1
~
4
~
1
~
3
~
1
_
2
D刀
1  色2
1
夕 1
1  ￠⒉
1
=1+(-1)杆 1色
1%¨ ·色″.
本题如果按第 1行展开 ,有
=色11A11+臼 2A⒓
1  夕2
1
·
。   @″ˉ∶
1
·
。   Ω饣̄ 1
1
+@刀 (ˉ 1)汁【
1 色r1
¨ ·  伤刀̄ 1
⋯·  1
0
 
·
·
·
奶
 
·:
 
o
 
0
0
 
·:
 
0
 
‰
D、
=1· (-1)l+1
q 12 ·
+c1(— 1)1彬
△筹平簿i猞到盛
扌习●L亿 : ∶iI:讠
氵
础
凵
川
川
.
矿
色|讪 Ⅱ γ 叫 1∷
=1+(-1)计 1@l厶
乒 c̈∵  ∷  △  ∶
那么你如何计算 ⒛12年的考题录 :
1` c|0 |0
o。  1~ @ jo
0  0  1  夕
c O01
∶∴∷阜i|i:
∷∶∴∶|∷ |∷∶∶∶
∶京:!∷ 1⒎ ÷ 0
∶ 鼍t∶△I
∫∶t0 ∶讠:∶
^∷
奎
∴:Ⅱ j|△
0∷
D,,=
行
{
 
 
吲
刂
丬
丬
△
J
丶玲
∷
△
∷
一 
 
 
⒈
一
第.
丬
∷
〓
良
≡∷冖
`
∷△
=
咖
飞
搦
μ
-  |∷
i∴   ∶∷
。 18 。
营习扎亿 :
线Ⅱ性代数辅导讲义
【例 1.9】  设 勿阶矩阵
A=
则
|告
扩1|⊥
Ⅱ分析】 由于 |触 |干 俨 |A},以及
F̌∶ !T|学圹::只零计箅t列式
|A|的值。为此可以把第 2,3,¨ ,彳 各行均加至第 1行 ,提取公因数 m-1后 ,
再把第 1行的 -1倍分别加至第 2,3,⋯ ,″ 各行 ,则有
1   1   1  ⋯·  1
0 — 1 0 ⋯  o
0  0  ∶-1 ⋯·  o
|A|=(饣 一D
0∵|∵i∵ ∷Ⅱ ∷
郝么|旁A丬 |=咭 |̌A∵ =蹒 ·
关于特殊的三对角线行列式如何计算9
通常可用三角化法t递推法、归纳法。
∴
1
 
1
 
0
 
·
●
·
 
1
 
1
1
 
o
 
1
 
·
·
·
 
1
 
1
0
 
1
 
1
 
·
·
·
 
1
 
1
△
1
△
〓
1
0
△
i
1
i
o
1
【例 1.· 10】  计算 4阶行列式
∶讠
— (— 1)刀
→(m-1).
|=△ ∷  
ˉ
∷
∶  ∷∴ |iⅡ ●∶∶∵ |
;∷∷∴∶∷ ∶
·
0卩
∷∷理
o    0    0
4  3·  0  0·
1 4← 3 o
0  1  4 ·
3|
0 0∶ 1 4
【分析】 三角化法用逐行相加的
2行 ,再把新第 2行的⊥
壳 倍加到
:第
3行
∵
·
技巧 ,例如把第 1行的⊥
÷
倍加到第
0   0
3   0
〓
3
 
B
一
4
4
 
 
0
4300
1430
0143
o014
ο
 
0
 
 
3
 
4
o
 
3
 
4
 
1
3
Β
~
准
1
0
4
 
 
0
 
 
0
 
0
0锷 3
o   1   4
· 14 ·
翳△章辋 式
二孕Ι挈默窨||汀
⒐00景
用每行都加至第ˉ行的技巧,例如把第2行的—4倍加鹦第 1.行 ,再把第3行
的13倍加到笫1行 ,∴
·∷∵
o  0  0  -ˉ 121
1  4  3    0
o  1| 4 `t=3
0  0 ∷1   4
ο
}
〓
3
`
〓
∷
∷
3
●
"
_
⒋
仞
~
"
0o
4∷ ∶3 0 0
1· 43∷ 0
0143
o  0  1  4
⒋0  39
3   0
,送 ∷ 3
∵i“  4∷
叫
1;J丬 :⒈
3
∷∷ⅡⅡ‖
递推法按第 1行展开 ,有   ∷
〓
8
‘
 
4
 
1
4
 
△
 
ρ
`
4300
1430
o  1  4  3
0014
=4|∶∵∶ ∶  ∶
|
即有 D4=4D3△ 3D2i亦 即 D4、 -D3干 3(D3~D∶ )。
那么递推地,D3△ 凸|T“D2-D1)而 D2— D1÷ 13— 4=9
从 而 D4-D3=念 (D3← D2)≡ 32(D2— D1)二 3|
因此,D4=3衽 +pq=∴ Ⅱ∮
'∷
Ι∶∷∫⋯.|功 .∷ .i∵
再次递推有 D4=34+D3=34+33+∶ D2=j妊 +3a+32+D1亍 121。
拿芰∷|∶
}∶
|.∵
i∵ 诿 ∷
=|苜
Ⅱ|
藁0阶祜诼:
∶Ⅱ∴
=∴
证明 |^|≡ (″ +l)酽 :
【证法△1∶ 用归纳法设访阶行,】
j式1A}的值为 0.
当饣丁 1时 ,D1=2色 ,命题D饣 =(彳 +1)'正确 ,
|钿
⒈Ⅱ
ˉ
|00Ⅱ肀毅嚣毛驴罗:岁∴
=
· 15 。
寺叼扎亿 :
■罕呷 |扌F阝氵ⅡˉⅡ卞丫 ˇVⅡ
∷·。∷Ⅱ∵`∷
′0=Ⅰ f氵′
∷
=i=△
·∴̄ 咛
:':∷△
=∶
∴
Iˉ
Ⅱ ∵
=∵
ˉ
∵  ·
==∷
∴:==∷  ∵ ∷∷¨∷ ˉ ¨△△∷̄ ∷ ∷̄ ∷
ˉ
=:∷
” 、F∷∷
=∵
0∷ ∵∷ ∷̂∷ ∵∴「∴∵
=∷
:=FIrfo⒎ ΙⅡ
=∴
_==′ t¨
|    ∷            ∷ ∶ ∷ ∶   ∶ ∷ ∷                  ∷         ∷ ∷∷   ∷
。 ⋯   '
一
 ∷甑"
雀
 〓
⒋〓一〓冖一r
i
〓
〓
∷〓.
≡
‘〓∷
 ∷一≡·∷〓一
∷一
俨
Τ
△
一〓
〓i
〓
审︱
︱
︱
⒈
{
卜
 
 
 
 
 
_
 
 
≡ 
 
 
 
〓 
 
 
 
‰
〓
∵
匚r
 
 
 
 
 
 
∷ 
 
∷ 
 
·〓
〓
 一 
 
 
 
 
 
≡一∷
 
 
 
∷
 
 
 
_
_
 
一矿
Α
 
 
 
 
 
 
 
 
^
亠
 
‘!
 
 
 
 
 
∷〓
 
 
~
 
 
 
〓
‰
 
∷
σ
 
 
〓
冖〓 
\
 
∴
、
舌仓0L钇 :
←亠 △ 辛
第△章 Ⅱ行列式
∶ 特征多项式 :∶
俐⒈Ⅲ∴||丁 i∶ 5三
-∶ 且H了
′
^∶ ∶I∶
|
∶∷—
|∶ ∫∷i÷∶∵:4|
亠 0,则 R=  。
这是
^的
三次方程 ,对于三次方程尽力用因式分解法求其根。【分析】
|丁
i∶  ∶∶|∷  ∷∵
'∵
∶
.∶  Ⅱ  ∷
所以λ为 2,3和 6。
本题的解法很多 ,例如
|丁 ^∶
5if3H丁亻:⒈∶三:|
=(^-3)(^-6)o-2)。
_∷⒐T叫∷1.二‖-
=(^△ 2》 (^△ 8×
^=6)∷
∷
^—
3
1
— 1
^∶只 ^!2|
【例 1.13】 =0,贝刂
^=
【分析】 把第 3列加至第 1列 ,第 1列有公因式
^⊥
1.
λ— 3
屁
i∷丘|||丨i∶ ∷Ⅰ点
∶∷∷∶|i∶∷平∷丘
ˉ 4
· 17 ·
扌习扎亿 :
线惟佧数辅导潇义
〓叫
抖
i
∷¨
¨
!
^
〓 
 
 
由∷
∷卜.
.
≡
η
〓∷
 〓
 冲
·
 辟
 狄
以
 
 
 
 
∷ 
 
 
 
 
 
 
 
一灬
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
以
所
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
〓
 
 
 
 
 
 
 
 
 
所
=(^— D(^+D2=0。
∴i ii
ζ。°·。Ⅱ∞’°o.。品。。‘乩.。咕∴
:抽 象:行 |列 式 :∴
∴
〓⒒忄
∷一∷
【分析1 由 AA艹
㈩ =̄击∷
本题|A}t3。典:;ⅡⅡⅡ△∷∴∴∶●ⅡⅡ、∷亠; ∶_△∵
东。弘疒;I,∶ξ羝喜萝多z复芯Ⅰ象痴⒈i
∷「 ∶ ̄|   ∶、
ˇ
∷  , 
ˉ
 ∶、∷   |∷ ∶
别是 A和 B的伴随雉阵璎刂|扩tB艹 ∵4、卩
丬 |=
【分析】 由 AAI丁 且
艹
⒋—∷|艹 |刀 郯
^iJ=|A|厶
1,刀
阝么
|AT1B女 一
^艹
B1:j|_JA工 1|(2B1){_0A1)B^】
|=|-A1B1|
Q 18 ·
詈习0L亿 :
第△章·j行列式
∷ 亠 ← D叫 户 闸尸 |=±
飞|兰
.
| ∵| ∷I
豁 糊 也可用 Aˉ =击 A*把 A/JⅡ 换成 ALr,
再 用 |A关 |二 |直 l’
Pl来
处 理 ∷
∶ ∷ ∴ ∷ Ⅱ∷
·
· ∷∴1 | ⒈ ∴ ∷∷
俐 ⒈
`X狃
⒐
弘
菝 i,:克 3济娃滦启 山 |||i仁 2,
|A1+B|=2,则 卜
^+r1|=
【分析】 由于灿rF|A|E,易 知本题 |A
程右乘 A,得     ∷ ∴  ∷∴△∵ ∷
3AB-6B=A,
即有 3(A-2E)B=A。 两边取行列式 ,有
i  ∷∷ 
·
- ∷ 
∶Ⅰ∷
=Ⅱ∷∷ 
∷∷.|∷     ∷∷
27|A△ 2E卜
|∶ F|△ 3 又姓ˉ⒓E△
=3,那么 ,对 已知矩阵方
o 1∷  0
1 0∷ 0川 =1
变形是常用技巧.
l(B+A1)A|
●| ∷∵  ,∷    ∶
2· 3=3。
学做错了 !
足 ABA关 =2DΓ+E,
|∶  ∷  i   . ∴i
其 中
o 0∶ ∶-1
故B=÷    ¨  ∷ ∷∷
【例1,19】  已知cl,饧 ,σ3,F,γ 均为4维列冖量,果 4丁 (α1,o?∶ ,￠3,F)9
B=(σ 1,σ2,c3,γ ),若 |A丬 =3,卜 B|=2,则 |A+2B|=
. F兮珂△ 申玲十叩厂“即l,3α ~β。s,F十 ?t冫 ’熟:∷ ∴∷∶   ∷
|A+?B|=|3cl,3σ 2,3c3,月 +2γ |=27|妒
`辔
”σ屮卩十 ?γ ⅡⅡ∴ ∶
=27(|cl,饧 ,C3,卩 }+|cl,饧 ,σ3,2γ |)=27(丨 A|+2|BD
= 189.
【例 1.⒛】 已知 A是 3阶矩阵 ,cl,α2,α3是 3维线性无关 的列 向量 ,若
Ac1=饧 +%丿 h2=cl+σ 3,Ao3=臼 +3σ 2+2α 3,则 丨A兴 |=
【分析】 (方法ˉ)用行列式性质
由A(σl,σ2,σ3)=(α 2+α3,臼1+σ3,α1+3α2+2σ3)
有 |A|叫 cl,σ 2,α3|=|σ2+α 3,σ1+J3,σ 1+3σ2+2σ 3
=|σ2+σ3,α1+CB,~2α 3|
· 1∷9?
扌习扎亿 :
∷ 
 
 
 
 
 
 
 
 
∷
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∵
∷ 
 
 
圭
≡
线l±代数辅导讲义
·i]|||^|●
||i!●|∶|9J∶
j∶
|‘|f||。 |。
^|0:||I∶ ●∶∶|∶∶●|冖●‘0|||j● !i‘ 0|||∶
‘
^。
|||i||口 i|j|ji|o0‘ o。|口I1|00己 |0|00‘■苎Ⅱ·‘1|o臼■●0●01|II|ii|0Lj凵1●‘∶j· il||iL||●●00‘ 0|●
jo冖冖0iI■ |1000i● |已0●100||Ji亡 |苎1刂1|E汪己0E‘ 01■ 00lI●ji●●●●●●●∶●●|0‘●0‘10i已‘i0‘●●‘i●亠i●i1o0‘ 0】‘‘·●臼
【分析】|曲 A≈ B,按定义知存在可逆矩阵P,使 「】AP=B。 那么
∶ ∷「
1(A+扭 )p建 :F1犭PI+产l(疵 9P∴ ≡ B+腑 ∷∷ ∷
所 以 ^+扭 ∵廴 B+胡 ,
进而 |A+胚叫=|B+躬 |。       ∷ ∷÷ ∷
?叩|十屮咄ii卜∷∷∴
练习 (1)已知;盅<楚 o济蚯瘁:击芙3济革狂蕹砗,如臬
^汪
:Ⅰ|施
,3^
+2E均 衣寸逆、则
乐
F夕十为 i二
ˉ∷·∶∷
∶;,Ⅱ
∷·∷  o' Ⅱ ∷ ∷
∷Ⅱ ∵ ∴ ∷ ∷Ⅱ  iI 0∷ ∴ ∴
△′ Ⅱ  `i ∶Ⅱ| ∴  。
●;  i ' ∶I ∶∷∶  ∶: ∶ :Ⅱ
~ ∴  “  ∷  ∷∷ 百1Ⅱ ∷⋯ ∵∶  p
′ ?   △  ∶
d ⒉O d
营习扎亿 : Ⅱ |● |
第△章Ⅱ行列式
(2)已知A是:3|阶矩阵,特征值是 1,2” 3,若皮和B相似 ,则 |B+E|≡
【/Jl结彐∵.对于牡象型行歹刂式的计箅1i能会沙及矩:阵 的运算法则、单
位矩阵恒等变形等技圬 ;寸能考查行yll式 钠灌质 :也
:寸
能时特征值↓相似等
处理 ,这一类题 目计算量ˉ般不会很大 ,但 涉皮知识点多,公式法则多。
∶ ∵ ⅠⅡ∷∷∷ I  ∴∴∷ ∷∷1°Ⅱ。♀9PⅡⅡⅡⅡ△△ⅡⅡⅡⅡⅡⅡ咕∷ Ⅱ∷∷   ∶∶   _ ∷
l矩 珥 繁 典 搀∷釜 ∷∴∶Ⅱ∷ ∷ Ⅱ △̄ ¨ I∴
∷∵
∷
ⅡⅡ∶∶∷i ∷∴∷Ⅱf  |ⅡⅡ∷∵∷∷∴∶∷∶Ⅱ∷∶∷∷j∶Ⅱ ∶∷ i∷  
∷
∷∷|
∴Ⅱ萑卿丫叩:∶缉野
A,呷-1Ix汐
行→夕列“≤即孑≤ pP俾于淳些行与烈的交
叉点上的∥个元素按其在原来矩阵A中的次序可构菸一个尼阶行列式 ,称疼汐
矩阵A的一个屁阶子式 ∴ ∵ ∴  ∴ ∴ ˉ
矩阵 A的非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩,记为ˇ￠ ).零矩阵的
秩规定为 0.   ∷ ∷ .
例如 ,矩阵
0△ △
0
Ⅱ1
必全为
∶《4)∶《∶冫∵0∷ A∶中每△个
'阶
子式金为 0∶∵∷  ∵∷
'(A)≥
r∶0A冲有亻阶子式不为 Q|J△ ∶∴∷∵ ∶ Ⅱ
特别地,r(A)△⒚㈠ 4i△0 ∷ ∴ ∷∴∴∷△∷∷
A≠ o口 /【ω ≥⒈
= 
Ⅱ
-∷
i∶  ⒈ ∶
∶若咚是∴馆阶矩阵,r(^冫 |—∶功∴O∶{挂丰≠∷0∶ 钤:丌可逆.∷
、                       · 21 ·
|△   ∷|
△∷        ∷● ∷∷
∶
 ∷  | .△ ∴∴
申有爷阶子式
I
∷
I
〓〓Ⅰ〓∷
_
一 
〓
Α
 
△
3∶ ∷ 6
2  4
o∶ o
o∶
营习扎亿 :
线性代数辅导讲义
营习扎亿 : ∶∷∵∷∷|∷ Ⅱ ∴※直)∷《 ∵九0丬 A|=0∷ θ∷A∷不可∷逆、
若 A是 御 ×勿矩阵 ,则 r(A)≤ min(勿 ,刀 ).
∶关于 A=0∶
= ∶【例 ⒈a2】 ∷设∷⒋是″阶反∷对称矩阵 |若
^可
逆|,则 ″必是偶数∴
∴∷【证】∶∴因为4是反对称矩阵卢卩
^「
_÷ 4.那么I|∶
=△
∵∵△ |Ⅱ Ⅱ
∷Ⅱ∷∶ ∷∷∷卜A丬 F⒈才F|苄⒈ ∷AJ÷ 《△△)″ 丬A|∷∴Ⅱ∶∷  ̈|∷ ∷ⅡⅡ
如果 刀是奇数 ,必有 |A|=— |A|。 即 |A|=0。 与 A可逆相矛盾 .
所以″必是偶数。
【注】 饣阶反对称矩阵可逆的必要条件 :刀 是偶数.请举一个简单例子 :
4阶反对称矩阵可以不可逆讠饭卩荇疣贰ll拿矿o。
Ⅱ
【例1.23】  设 A是 ″阶非零矩阵,满足A2=A,且 A≠ E,证明行列式
|A|=0.
∵∵t症珐二Ⅰ
∷
t反证法)砉1^|辛猊船扫 订笾:府 A-⒈左蒹
'≡
直的两
端:僖∷·△||∶ ∵Ⅱ ∷∷∶|∶
ⅡⅡ∷r∶ ,|-∷ △Ⅱ△0∷|=∷ Ⅱ∷Ⅱ∷
A=A1A2=A1A=E  ∷∷ .∷  ∴∴△Ⅱ
Ⅱ与讧≠J力 矛盾:故∷
|A|亠 0
【证法
=】
 (用秩)据已知有 A(A— E)=0,那么    ⅡⅡ∵∷Ⅱ
'(A)+'(A—
E)≤ 刀    Ⅱ∴∷△∴
因为A≠ E,即 A— E≠ 0,那么秩∷议直
一
③ ≥ 1从而秩 r(A)(九 ,故
|A|=0。       Ⅱ f j ∷ ∶
∷ ∷
【证法三】 (用 AF=0有菲零解)据已知有A(A— E)=0,即 A— E的
列向量是齐次方程组拙 =0的解,又因A— E≠ o,所以拙 =0有菲零解,从
而|A|=0。        ∷  ∷ |∷
【例 1.24】  (1996,1改写)∷ 设
`∴
=t_ζ
T,其中E为 ⒊阶单位矩阵,ζ
为3维非零列向量亻 是ζ的转置,眷 F于△:1,证
呷{^}ˉ °∶∷~∶ ∶
【证法一】 (用特征值)由于「ζ=b沮‘￥ θ-有∷∷∷∷∶—Ⅱ
吖 =(E一 箔
T)ζ =ζ ~“fΩ △ζ一
:ζ 吐 0ζ ˉ
按定义知
^=0∵
是矩眸A的特征值《ζ是属子去̄ 0钩特征掏量儿所以
。 22 ·
第△辇 △行列式
|A|=0。 ∷∶ ∷  .  ∴
阶矩苔蘑亏:12;∴亳
笮罕罕∴甲
汐阝是∵.终F:翠犁甲旱:攀 ζI是咚汐l的
3
∷    ∴|屈 一髫T|=R3— 尸=0
即矩阵 ζ
T的
特征值是 1,0,0,那么炬砗′⊥七△
留Ⅱ莳恃硭宿是 “t
⒈所苡|￡⒈±。∵Ⅱ∷∶ⅡⅡ ∷1∵ △∷∴∴ ∷∷∷|0∵ △∷ ∷ ∷∷
∶.代∵数余:子 式求和 :
◆0⋯ 00⋯⋯∞⋯¨∞∞o,T◆ °
叩?℃ 叩r° ?
【例 1.25】 设|A|干
|限
)舍
12-丁 t卩4:⒊∷|∵卩孕吱丁-毕
。z丁
一
氵∷
`I∷
|∷
∷
=i∷
 丘|f∶ ∶
∴ |I∷ Ⅱ.|∴ i∵Ⅱj冫 ∵艹,△ ∷∶
△ 3,c妞 =T4,据 (l。 6)立 即
Ⅱ∷∷∷∴-△ |∴ |∷ ∷∶⒈
=’  △̈̀ 
·  ⅡⅡ ∶̄∶ ∵| △ △Ⅱ  ∷  Ⅰ
-:冫艹⒈r←
`宀
之丿1/今塾∷∶亍i: Ⅱ
′̂ _-f△
'∷  1· =△ ∶∵∷
·f=|J— . ●·∷∶
=Ⅱ
【分析】 (D由 于 色置1=△饧1=— 2丿Ω:1
412:T zA饣 十卩4△ 丁∴+4-℃ 丁 qⅡ
^Ⅱ
+∷ %lA” +幻 1^扬 +%1^矽 =0。
∶
(2)因为 Aj与元素 c=J的大小无关 ,可构造一个行列式 (用 Aj丿 的系数置
1  1 2 -1
-2 3 4  1
0夸 ∴P∷卩  △
-4 2 0  6
则行列式|A|与 |B|第三行元素的代数余子式是一样的,一方面,对 |B|按第
三行展开(用 (1.3))有  |B|=1·
^31+zA02十
0· 43o十 1|434 -∵
另一方面 ,对行列式 |B|恒等变形。有  :
1
-2
3
一 4
-1
1
2
6
,贝刂
.
 
3
∷
奎
 
2
 
一
2
荃
1
o
有
换|A|第 3行的元素),即  |B|=
∶:i∶ I `∶
|B|_
1 1 2 =1
— 234i1
1   2  0   1
一 4 2 0  6
=-ˉ 40           
·
所 以:,姓
31j+∶ 2A。
^∶
+|成 o∶△△ 40∶
γ民1、忄
-1
3
1
6
· 23 ·
菅习扎亿 :
线性代数辅导讲义
营习扎亿 :
【例 1∶ z6】
∷(2001,4)设行列式  D=
3   0
2   2∶
0 -7
5   3
则第4行各元素余子式之和的值为
主:扣 l:扣 |圭 扣
=-7· 8+0+3Ⅱ“+(△ 7)-(T1)∵?(∵ 2)
或者 ,转换为代数余子式来求解 ,即
M41+Ⅳ‰+M43+M44=— A41+A42一 A4:+A遮 4
3    0    4   0
2     2     2    2
0  — 7  0  0
-1  1  — 1 1
;克 拉̄默法则 :
0
 
⒓
·
o
 
2
2
4
 
2
〓
 
∷
o
 
一
【分析】 本题主要考查余子式的概念及三阶行列式的计算,所谓 cI,
黔三栋褙碾愿臀挛鞯韩等F甲 F∶ F∶:『IFl
∶J∶ ∶
∷
|
=-ˉ 28
Ⅱ|叫 1∶圭|
=-ˉ 28.
一眦
 〓
∵啉
⑼
獭
一 
 
 
 
 
 
 
解
∷ 
 
 
 
 
 
 
的
蒙行列式 ,由 (1.11)有
●籍肀隶艹行斜黄
?丁
 |∶  -∶
1  ∶|孓∮
=。
.悍丫:FT:∴∵。^∷ (-1∶ )∶=⊥
12:
根据苒拉默法则 ,砀 =钅
午 其中
玎际.折
于是 砀 —
÷
∶勇汗以应谌:(p)。
【例 1.28】  设 A=
【分析】 由AB=0,对 B按列分块肴
1,Fz,F:)-(却 1∷加2,珀3)二 (j∶ 0∶ o)¨ ∷∵` AB=A(卩:               ,
即 Fl,屁 ,厶 是齐次方程组AF=0的解|      ∷ i
因B≠ o,即齐次方程组 Ar=o宥菲零廨:郝么由竞拉歆法nlJ,有
l  伤   0
|^丨 = @1 1|='+厶 ~2⊥。
1 1 — 1
故 色=1或 -2。
练习
1
曰 2
ā:
1 @歹· ·̈ a「 1
免 ≠ %(犭 ≠ 丿,J,'=1 Ⅱ,刀 ),则 线性方程组A△
∵ ∷吒
· zs∷ ·
色
贝
∷
∷
o
~
 
一
∷ 
〓朋
∷
且
∷ 
〓
阵
〓
~
~
 
矩∷零
·
 
∷非
∷
∷阶为
.
B
·
I
I
P
I
」
o
·
1
 
_
c
〓
1
 
1
卩
h
卩
h
三j∶
|∶ ,
(4-2)(3∵ 2)(β -∶遮)=-2
∷∷i’∴ ●∶ ∶  ∶ ∷∷∵∵△∶∷ ∶
,Jˉ(1996.3)设
^=
≡ 〓 〓一 
 ∷ 〓肛〓 ∷〓 ∷晔
∷〓
日
与
门
ˉ
阳
ι
卩h
r
防
≡ 
,
2
’
中其
l
︱
⒈
⒈
丨
丨
丨
L
营习札亿: Ⅱ 1△ 、
髁 数鞴导爨义 ~    ~ ∴ ∴ ~̈∴∴ ‘̈⊥ ~⊥ “~
】
ti∶ |
凼:纟
^,∶
玎题睛遥Ⅰ
,扌 ∷;
1.填空题
^
吐
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
r
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
l
l
〓旮
∷
 
 
 
 
〓~
 
 
 
 
 
→ 
 
 
 
 
 
 
Β
〓 
~
∷
·
 
 
 
·
 
 
 
 
i
〓
 
 
 
 
 
 
 
 
≡〓 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
〓狃
一
;
L
〓
〓 
 
 
 
 
 
 
〓
∷ 
 
 
 
 
∵
 
ˉ
 
 
`
 
查
;
 
卜
 
 
 
 
 
 
 
 
 
;
贝刂
一门田凵艹 
 
 
 
 
〓≡ 
 
 
 汕〓 黢 亠≡〓 〓∷ 
“〓 ∷ 
〓一
 
 
 
 
 
 
 
以 
 
 
 
 
∷ 
 
.
~
 
 
 
 
洌
 
∴
∷
缺
一
〓讠 
 
 
∫ 
 
一
.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
〓
←
〓
 
〓
 
 
 
〓
 
︱
△
o
.
:
一
.
〓
、
、
、
∷
亻
∴∷ 
3
 
 
∷
阵,
〓
 
 
 
 
≡ 
o
∷
ο 
∷ο〓
d
≡
 卜〓∷幻〓幻 讲〓 .
.
 
幻 帏≡
〓
 
 
〓
 
 
〓
· 
 
 
〓
 
 
∷
● 
 
● 
 
●
一∷ 
 
 
●
 
 
 
⒈
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
m
α
 
 
 
 
⑿
郑
 
 
 
 
⒀
 
 
〓卜
 
 
α
 
 
 
 
 
∷
6
〓
 
,
c
 
 
一
 
∞
 
 
 
σ
孙
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
琪
 
 
 
 
 
〓
〓
冖 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
·女
丨 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
〓
(8)设 cl,σ 2,σ3均为 3
A=(σ1,σ2,臼3),B=(
如果 |A|=1,那 么 |B|=
维列向量 ,记矩阵
cl+σ2+α:,臼i+2臼2+4臼3,o1+3σ 2+9σ3)
j 岔⒍ c
营习札亿 : ;》 .i虍
第△薰 ∷行列式
(2)σ ,卩 ,/l,9/z,9/3均 为4维列向量,已 知|A|=
|B十 =|″ /l,饧 :9/a⒈ =△ 1,贝叫A+B{亠 ∷ `·
(A)4 (B)6 (C)3z
的值等于
(B)￠ 1c2鲂 Ω衽+013233犭 4
(D)(饧 曰 3-32犭 3× 伤 1夕 4亠 a1乙 4)
.∴
E
|σ 〃1,γ2″∶|⊥ 5,
∴∷   ∶| ∷  ∶
(D{)48     E
2.选择题
(D四阶行列式
(^)日
1伤2a3G4一 洗
(C)(曰1%△ 洗饧)
@1 0∷ 0∷钙
o  曰2  32  0
0  33  a3  0
J9江  0  0 Ω4
02333改
(@3@4ˉ-33犭 4)
(3)已 知 cl,σ 2,臼 3,卩 ,9均为 4维列向量 ,若 4阶行列式
|σ1,cz,σ3,州 =勿 ,|卩 +γ ,cl,σ2,α3|=瓦 ∷ ∴∷
那么 4阶行列式 |2卩 ,σ3,σ2,臼d=   ∷∵  ∵∷
=∶  ∵∷
(A)2@-3  (B)23一 四  (C)-2@△ .20∷ Ⅱ〈D)△ 2j+2⒊
∷∷∶   ∷̈∷△∷ ∶|∷  ∷∷∷∵ ∷∶ ∶∷∷
∷
∵ ∷ ∶ 匚
(4)设 A为 m阶矩阵,则行列式 |A|=0的 必要条件是 ∷∷Ⅱ ∷
∷∶ (A)A∴ 的两行元素对应成比例 :∶   ∷ ∶ ∷     ∷ ∷
(ωA中必有一行为其余各行的线性组合
(C)A中有一列元素全为 o
(D)A中任一列均为其余各列的线性组合|
3.解答题 ∷ ∷∴
(D求 ￡的值
吨∷÷孟
1
 
∷1
 
6
 
∞
1
 
8
 
￡
 
6
1
 
茁
 
3
 
奎
⒈
一 
2
 
3
⒋
平 0   ∵ 、(B) =0
o.
行列式艹蛳∷〓 
 ∷
 〓
碴
跏
 
 沌 
 ≡∷
 ∷
知
Α
 
 
知
已
设
ο
已
 
∷
⑵
⑶
卜
⑷
一.
昭
只有零解:
· 27 ·
寺刁扎亿 :
线性代数辅导讲义
曹习扎亿 :
∶答案与I提 示 :
1. (1)18          (2)1 (3)匆
!
(4冫
:九
(庞 艹 i)(5)a衤 +← 1)杆
13″ (6)3「1(∑
a氵 +协
(7)-3· 22r1  (8)2
【提示】      ∷   ∵    ∷ ∶ ∴    =
(D不必去求伴随矩阵A· ,根据丨肚 |=俨 {A|,|A广 |丁∷|^|∵ ,有
|号Γ|T巾 :"叫 =告 ||Ⅱ ∶
(2)逐行相加    ∴         ∷   ∶
(3)把第一行分别加至其它各行。  ∵  ∷ ∶∷
∷   ∷
(4》 把每列均加至第 1列。∷        Ⅱ     ∷ .
(5)本题已有大量的 0,可立即用展开公式来计算 ,建议按第 1行展开 ,
比按第 1列展开要简洁。    -    Ⅱ ∷ Ⅱ   ∷
(6)把各列均加至第1列 ,提取公因式犭+∑九,然后把第△行的⊥1倍
分别加至其余各行 ,可得上三角行9lj式∷  ∷        ˉ
(7)你会的。
∷         ∷  ‘     ∴   ∶
(8)参考例 1。 zO。   ∫
2.(1)(D)     (2)(C)     (3)(C)     (4)(B)
【提示】
(D和 2014考 题一样吧?
(2)|A十 B|=|￠ +卩 ,2h,2γ2,2/:|=8|σ +卩 ,/l〃2,%|
=β t|访 ,γ1〃2,γ3|+∶ |卩 ,/l,γ2,/BD·
∶   ∷ ∷
(3)|卩 +γ ,εl,口 2∷ 蹈3|=|卩 ,cl,α 2,σ3|+|9/,cl,σ 2,α3|  ∷
∷ ∶  | ÷
=l卩
,臼3,α2,o廴 |~|￠i,oz,￠j,γ
|i.
∷ (4)(A)、 (C)均是}^∵ |=o妁充分条件并不必要,只要有△行(列 )是
其余各行(列 )的线性组合就可保证 |A|=0.         ∷∷
3.(1× A)5,6,0    ∷(B)1,2,⒍ ∶   ∷      ∷
【提示】
(A)把第 2行的 -2倍加至第 3行 ,可 出 ￡ˉ5的公因式 ,即
|ε∶
1 J∶
5 ￠i5 =|茁
i1 ~盂 :∶ 5) ￠i5
· 28 ·
第△薰∷∶行列式
=(￡—5;|￠
i∶  1∶∫ i|
|∴
i￡
_5)|￡
i∷
∷∶5 ∶⒈∷ ∷∴
开式:舁
把笫 1行的—3倍、虽 徭
孑;扌善尉 0尸罕
4t,可
尸拉普拉斯展
1111
2 茁 3  1
3 3 ε 6
4 4 6 =
1   1     1        1
2 J   3    1
o 0 茁— 3  3
0 0  2  多一 4
—
泸
— y— c2
色
3
∶Ⅱ∷ C∷
 · =
勹:∷J÷Ⅱ±
|∶ J
鼢笙≡妻窭iζ箬垂扭裎毒藐:i缶 |i山曳
(3)因为AB是钔阶矩阵 ,行列式 |AB|=0幽 充分必妻架牵桌秧
^加
)
(狃。由于   . 苷r-AB)≤ 亻。)≤ 0吖砰9m)∴ .∴
可见当御 >忱 时 ,必有 ∷∷Ⅱ  Ⅱ ∵  ∴ △
'(AB)≤
r(B)≤ m(仞
(4)由 于系数行列式
c
0
0
1
3
ο
1
ο
曰
1
0
0
o
 
 
@
 
,
D
 
 
c 0  0  0
1  0  0
0  1 0
0Ⅱ o 1
∶1∷ ∷,  、∷Ⅱ ∷∷̄  ∷Ⅱ∷
=— ('+沪 +c⒎ )≠ 0∶
· 29 ·
营习扎亿 :
线性代数辅导讲义
第二章 矩
工钿识结栖胬结崮
i
艹
℃
∵
耐
〓∷
酽
忄
Ⅱ
×″个数排成的″行
`列
的表格
阵的幂
分块矩阵
初等矩阵p奋乘A所得PA就是
^作
了-次与F.同 样的行弈换
〓
· 
 
i
〓
〓
‘
 
 
 
〓冖
 
 
 
一
〓
〓
〓̂
“⒈
∷ 
 
'
;
一
〓
D
〓
 
〓丨
∴
←
〓
 
〓’
Εi
〓
 
 
〓∵
〓 
 
.
△
〓
〓≡ 
 
∷〓
≡〓潞
〓
枷
〓
℃
一亠〓卜
 义定用
初等变换
特
殊
矩
阵
· 30 G
■■
∵ ∵丁TIⅠ∵∵∷
=∵
Ⅰ氵T∶TⅠ∶I=·l∷∵∵∷
t∵Ⅰr丁∵∷∵∵∶
⋯ '∷
I∵ ∶∶
∷̄
∶∷∶∷∷∴∷∷∵∵∷∵∷∷
-̈iˉ ∷           △
支缁鼷藕嘹甘午矩觯
今年考题
扌
∷
矩
文
 
 
位
i
黔
单
〓 
罴
阶
`
夸
 
 
〓 
 
Q
ˇ
〓 
 
`
饣
 艹刀
〓
 
亵
Ε
△
捋
中
Α
 氵
〓 
 
x
⒛
I
Ι
Ⅱ
x
(
∴
<
<
泰
∵
 
 
 
∷阵
撺泄
`
.泗Ⅱ 泅
熙泌”靼艹冬∷.x,忄 汕卜∴
^l
.∴,∵,愚 +扌 ,哎 I|,W`小 :心 1|∮
艹!,J}∶
^j
舌习扎忆 :
线 l±代数铺导讲义
菅习扎亿 :
叫
∷
丨
〓ι
⒈冖 )
定义
···   ‘乙2,I
·̈   夕mn
或 detA,
tr
阶方阵 .
2.】 祝×订邛嗽排成如下.材符汾列∷的△个羽擀ⅡⅡ∴
称为是一个 御×m矩 阵 ,当 勿 =″时 ,矩阵A称为Ⅱ阶矩阵或叫刀
如果一个矩阵的所有元素都是 0,即      .Ⅱ 。 Ⅱ
一
θ
 
ο
 
·:
 
0
则称这个矩阵是零矩阵,可简记为 o。
两个矩阵A=EcJm×Ⅱ,B〓 E沙犭彐J×”如果勿〓 s,饣 =彦 ,则 称A与 B是
同型矩阵。
两个同型矩阵A=h扌 ]湫″,B=E3矽 彐m×nP如果对应的元素都相等 ,即
cI,=九 (犭 =1,z,· ·,仞 ;丿 =1,2,¨·,m),则称矩阵
^与
B相等 ,记作A=B。
饣阶方阵A=△ d″×饣的元素所构成的行列式
@1】    @12    
···    C1彳
‘z21    (乙 22
‘乙饣1  ‘乙Ⅱ2
称为m阶矩阵A的行列式,记成 |A|
(二 )矩阵的运算与法则
定义2.2 设
^=EcJ,B=D矽
]是两个仍×m矩阵,则 铭×刀矩阵
C=Eε扌]〓 Ecl,+%]称 为矩阵A与 B的和,记为A+B=C,
三∷
t基本.内 容与重要:绐论Ⅲ
· 32 ·
第二章 :矩阵
菅习扎亿 :定 义 2.3 设 A丁 L犭 ]是 勿 × m矩 阵 ,屁 是 一 个 常 攀 ,贝刂御 × 绍矩 阵
E肠J称汐数屁与矩阵A0g熬乘,记∷汐u.          .∷
定义2.4 设A=L犭 ]是 勿×″矩阵,B=E%彐 是″×s矩阵,那么仍×
∶娃洚c三 亡:矽 彐滇|污 ⊥厶ij。 艹厶⒓疡|∴·艹枷石⊥觅 ,波犭j∷ ∷ ∷
∷  ∶乃圭I ∶    ∴
称为 A与 B的乘积 ,记为 C=AB。     ∷  ∷
矩阵的乘法可图示如下Ⅱ ∷  I ∷∷  ∷    ∶ ∷ ∷
(3×眈 ×田)=洲 。
(4)AE=AJ⒕ =A。
(5×⒕ =oJo=o
3.转置的运算法则 :
(1×AT)T=A。  (2)∝ +B)T≡ AT+BT.
(3)(般 )T=趔F. (4)(AB)T=刀%T。
转 置
d  四zz  
¨ ·  色动
线性代薮辘导讲义
营刁扎亿 :
亻≡λ阝粪特钵万阵∷Ⅱ∷△ ∴△∷
ti)革莅娃砗:圭对角线上完素全是
为 E
∷8翟嚣郭萝镊淼:罢∷黥
Ωi〈 叱j疒 ∷∷∷∷ Ⅱ|∷∷∷|∷ ∷
j森嘉店茹宙瀛诬连
二嘤∷货音芳些碡∵∶|
σ 34 ·
第.二∷章:|∷ 矩阵
扌刁札亿 :
代的c
〓
〓
素
∷
一兀·盯婀∷
 〓∷ ∷
亠ο
(
¨
V
硎
∷㈨川川训
雠
雠
舳
 ∷
确
棚
圯
“
6
子
∷
 
 
余
∷
· 
 
数
立
 
〓 
 
 
以
成
 
 
 
 
所
∶]
(四 )矩 阵的初等变换
定义 2.6 对 勿×刀矩阵 ,下列三种变换
(1)用非零常数 乃乘矩阵的某∵行 (列 );
(2)互换矩阵某两行 (列 )的位置 ;
(3)把某行 (列 )的 屁倍加至另一行 (列 );
称为是矩阵的初等行 (列 )变换 ,统称为矩阵的初等变换 .
.                            35 ·
称为矩阵厶妁伴随矩∷阵 :
(:9勃等奄「
=:蕈
莅娃哞銮赶⊥次初每獭 蓓蓟钿姑阵:
线性代数辅导讲义
寺习扎亿 : 定义 2.7 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵 B,则称矩阵A与
矩阵B等价 ,记作
^≡
厶  ̄ ~Ⅱ ∷     .  ∷ ¨
例如 ,3阶单位矩阵作如下初等变换∷ⅡiⅡ  ∷ ∷ ∵∵∷ .∶ ∷∷∷
‰ =l丨
lⅡ Ⅱ 十
揶
匆
十 ℃ l丨 l_Ⅱ Ⅲ 肀 F醵 唧 唧
至
F
/
 
 
 
 
 
 
 
 
°
‘
〓
 
 
〓
.
一
△
∷
 
 
以
〓
 ∷〓讪〓 
 
 〓
〓
 
〓
第
 
 
〓
∷
或
 
 
〓I
Ⅸ
 
 
 
冖̌
∷
一
 
〓 
〓∷〓
〓 
 
∷ 
Ε
 
 
 
·⒈
∷
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
〓
≡
刘
〓
∷̀
 
ο
〓
1
 
ο
~
≡
· 
〖
≡∷“
第
 
 
 
 
 
均
∶∷∷∷∷蚤占。襄露。褒跫:i各 ∷∷∷∴∷
∷∷|Ⅱ∷ ∷∷Ⅱ  ¨∴  ||∶
定理2.1 (行列式粜珐公式’诀i∶
j舶
龟,济芳泳:贝i.′
∷i∶ ·
|AB|=|^卜 |B卜         ⅡⅡ《2.2)
定理 2。 ’
∶
 箬 A是可迸矩阵 ,则 矩阵 A的逆矩阵唯-,记为 A丬 。
定理2.3 ″阶矩阵A可逆0|A|≠ 0   ∷ Ⅱ   ∵¨|Ⅱ |
·      ·Or(^)=m
㈠姓的列(行 )向量组线性无关 ∷∷Ⅱ
∴∴∷∵二壬Ξ晷廴彘郢叩肀笮吁∷
∷ 凼 0不是矩阵△ˉ0,+征值
F t∷ ⅡⅡ∶ ∷
定理⒎1∶}荇冖∷晕⒎珍符野
`早
谬足呷 T卩呷u垆歹卩|∴⒎E· ∷
· 36 ·
第二章|∷ 矩阵
走碴 2。 ⒌ ∷角初等矩眸 p左 (右 )乘矩阵直,真结果 PA(AP)就是对矩阵
A作一次相应的行 (列 )初等变换。           ∶
定理2.6 初等矩阵均订趑,直萁逆是向类垫的初等矩眸:唇0∵
∷∶
刃ρ|0扌△△0— |←Ⅲ矿÷0Ⅱ ∷
定理2.7 矩阵A与卩等价的苒分必翠条件是存在可溥矩阵P与口,使
PA0=B.    ∷∷  ∵∵ ∷ ∴∷  ∷ ∷ ∶∵
定理 2.8 秩 '(A)=A的列秩 ≡A的行秩. ∵Ⅱ ¨
定理 2.9 经初等变换矩阵的秩不变。Ⅱ ∷   ∷ ∷
∷ Ⅱ    :”·t’ ’?叩·∞◆∞◆00◆ 00◆ 00:
:∶丰胃兮:萃Ⅱ∶∷
1i      ∶   ∷∶   ∶∷    |∷  ∷
!:)尸「|号 ∵∷∷∷∷∷ Ⅱ∵∵    ∷||
CA l尸 =A;⒄尸=扣ˉα≠ω;
CAB)· 圭 B丬 A亠 ;(A`)~∶≡ (AI)″ ; ∴
ω̄
'=⑾
亠|1|1|击Ⅱ∷-∵
∷·Aa·±却 ∷ ∷ ¨ ∷ ∷
(2)伴随
AA关 =A女 A=|A}E;
A*=|A|A1;|A叫 三1^|仁
1;
㈩ =̄Ⅱ长
市却f
(A女 )T=(AT)∷
关;            ,
(2.3)
· 37 ·
(2.4)
营习扎亿 :
线性代薮辅导讲义
菅习扎妃 :
1
^
 
1
∷
’
〓
 一∷〓 
_
饣
 
 
印
 
 
m
〓
∷
〓
 
<
r
∷
(
4
)
〓舢
≡〓
⒀
果
果
∷
果
如
〓
如
‘
如
‘
饣
冖
1
〓
 
ο
亻
l
夺
丨
ι
〓 
_
冖
〓
∷
4
∷
 
∷
●
〓 
r
~
,
〓
 
 
 
〓 
 
 
〓
(3)∶秩 ∷|∴ ∶∵ ∷¨ ∴ △ .¨ Ⅱ  ∷∶∷∷
'(A)='(AT);'(AFA)=r(A)
当尼≠Q蚪
:吓铧冫
=【
4);f `∷ Ⅱ
r(^+B)≤ '(4)+KB)∴    ∵ ′
'(AB)≤
mⅡ('(加 ,冫 (0)^Ⅱ
若A可逆:贝刂r(AB)=r(j),'(JA)=冫 (B〉∶
若∷A·是印X叩 矩阵,刀 是m× s矩阵。羽 :丁 0,则 r(A)+r(B)≤ m.
(2.5)
(4)分块矩阵          ∴ ∴∶∷∷∷
对矩阵洱当搀分终蛉理,有却下运算法则:Ⅱ ∷
吱宜⒈哇l卜 吱Il货 I驷∵。
匚
∷
勿彦;亠 [笠l纟 岁l郭i
巴:]T=[:∶ Ⅰ;∶∫∶∷∷∷∷∵∷∵
(2。 6∶)
:]
(2.7)
有             
∷ ∶ ∷   -
AB=AEB1,B2,· ··,Bs彐 丁 EAB亠 9ABz,· ·
∶冖出J丁-[090,:ot`0]
∵∵        A:氵 =0∶ (。
Tl,?∵∶
·
∶s)·  Ι   ∷ ∷̄
即 B的列向量是齐次方程组A:亠 0的解。
若 AB=C,其 中A是 御×m矩阵 ,B是 m× s矩阵 ,则对 B,C按行分块
有
曰12
‘122
‘⒎″2
38 ·
ω
 
块
⒉
 
分
(
 
列按
,
蛐
Ⅷ
钅
ο
,
对
B
’
c
分
 ’c
分
卩L
o
翱
Β
 
 
B
 
 
 
 
 
A
若
 
若
 
 
 
若
P
μ
卜
瓯
〓
P
μ
卜
ι
·︱
 
·
‰
 ‰
 ⒊
·
 ‰
I
·
∶虫.;畿瓣蟓盯令含嚣景晷曹乏
∷             ∷                   ∷           。
可见矩眸AB的行向量 o【 ,臼2,⋯ ,臼历可由B的行向量Fl捣 |·
·,Fm线 性表
氨凡,赢磙直庞疝戚慧Ξ静蜮:    ∷
b1】  312 ⋯· D1,
E/l,/z,∴ ·,礴 .∵ ||凌
∷̄ 熟 辈Ⅱ奏
乏氵和:笮文蜃
由此得
R,矩眸A9的钠俩甚黼 莳蚶栖皇续倥表出。ⅡⅡ
∷   Ⅲ⒒Ⅱ
∷   ∷∷̈ +刂 -△曳∷弋
i∴
¨∴。∵町鸯再
馨苓咖i铲 阝媾△纛芷淤奔弪∵≡揩 ●繁事:艹
^涪
△轳妤簿蓦妻
∴=,1∶ | : ∵ ; ∴茸
I铀
奔爨翳露∷濯:∶
。
;I∶
∶ t  殳̄    ⒋
|| ∷̈    ∶|i∶    F∷
∶艹  |Ⅱ∶ 氵
C-0||:— ∶∷ ∶￡
△=Ⅱ赢冬ρ‘ 舡埭 Ej 蔓:、 t;姑 鹰
:i纂 孟战 鐾蔡畲蔡
、1恩 芟l
l       ∷ r∶
∶△ tˇ i∴ r∶ |± 丿
」       ∶ :∶
镞·袅'
〓
‘
≡
⒈̈
艹
〓
宀
〓
一 
 
~
 
 
 
 
一
〓
‘
∴〓
〓̄
廴 
 
 
 
 
 
 
〓
吝
〓~
 
 
 
 
〓̀
,
〓
∷
∵
一
+
〓
+
 
〓幸
〓 轹
 
 
'
∴
+
 
+
 
 
一〓+
咖
〓鳓
〓”一泫
?
+
奉
 
〓
扩
僦
诔
弹
 
·〓
 
气
〓w
.
 
 
氵
〓
↓= i孓 。丁
° &象 。
胥刁扎亿 : ;^`△ ∮
线楗代数鞴导讲义
fii|
0∶  l气 ;Ⅱ
∷
∷  ⅡⅡ△ `Ⅱ .
≡ 1典型例题分析进讲
=i,△
∴| =∶
9乒△卩∴I△ |
△
一 
 
 
 
 
 
 
 
 
如
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
而
刳
扪
1
 
 
3
 
 
+
 
 
 
 
〓
一 
2
 
一
 
 
 〓
1
 
 
 
 
 
屮
2
 
 
 
冂
︱
︱
︱
L
 
 
 
一贝
<
廿
△
艹
1
,
2
 
 
一
2
 
4
2
8
 
1
’
2
忏
〓
Α〓
【
〓
【
l
E
「
.
L
︱
"
 
 
甜 
 
 幽
 
 咖
硎
岬
m
么刀 = 9。
2
卩
h
r
L一〓8
一
2
η
l
I
l
I
Ⅰ
l
I
L
卩
︱
·r
L
_
2
卩
h
r
L〓Α故 -ˉ 3彐
。 40 ·
营习扎亿 :
墀茫螭淤廾矩陴
诤习扎忆 : i△ i|即 Az=-8A 归纳得
'丁
(T卩)tA|∫
【侈刚2,3】
∶I∵ i⒈ Ⅱ∶
;
【分析Ⅱ
lⅡJ
岐Ⅱ
∵
 
∷〓 
 
 
 
〓o
.
〓
〓
 
 
 
〓
〓 
 
 
 
 
 
 
 
〓
〓
 
·I
〗
〓
〓
 
0
¨
o
ο
0
ο
ο
l
〖
〓
〗︱̈
〓≡〗
∷÷
∷〓
^
υ
·
 
 
^
υ
 〓
 °
°
 
 
^
"
ˇ
 
 
^
υ
 
 
·0
0
∴∴∴J÷ⅡJ
【侈刂2∶ 4】
【分析】
若
^-=
线性代数辅∵寻讲义
∷
 
 
 
 
 
∷̂
∷
 
 
 
〓_
 
 
 
〓
∷→〓∷
 
〖〓 〓∷~
一∷
∷〓∷  
 ∷∷
 ∷ ∷
 匚例
2
¨
5
 
 
 
 
m
 
 
出
[
:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
〓∷〓郦〓∷
∷
 
 ̌
 
 
分
∷
∷
 
∷ 
 
 
 
 
需
∷
 
〓·
∷·
}
〓
 
 
 
∷ 帜∵  
 
 
 
 
 
 
≡q
讨
∷一∷
∷
〓∷ 
 
 
 
 
 
 
 
 
忄
我
∵
〓 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
〓
∷ 
 
 
 
 
,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
●
 
。
。
 
 
 
t
∷
.
‘ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
η
l
I
I
J
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
m
,
∷
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
^
∴
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
·●
〓∷〓
 ∷〓
 〓←〓 
 ∷ ~
一
~
"̄
∷ 〓别算
因为
故
从 而
Β+xΑ足满
`
·
x
∷
 
∷∵
∷
∷
∷ 
 
若
△
△
"
!
〗
I
I
△
l
I
丨
I
J
J
丨
I
J
J
〓
J
 
 
 
 
 
 
 
 
,
卜
∷⒐
∷卩
∷引
~
川
n
丨
ˇ.
︱
d
〓
∷
〓
〓
∷8∷ .
0
二
σ
忄
·㈥
 饣
〓俨 
n
一
·̄
o
一
〓
3
 
 
 
 
 
B
 
一
'
〓
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
’
 〓
∵
广
 
 
〓
∷
 
 
 
 
1
 
o
∷
2
·
3
护
∷
⒍
0
0
8
∷
0
m
·
 
 
〖
卩
μ
︱o
L
o
≡〓_
一
一
〖
A′ =
【例 2.6】  已知A=
一
·
2
⒛
— 2E
一埔
麽
←
∷程
 
 
0
 
 
Α
方
 
 
丿
畔勰
 ∷
坝
∴侈
∷姗
胚
Ι
~
一  
 
 
即
x
 
x
 
f
丨
丨
¨
2
 
D
 
 
 
〓
· 42 ·
因为
菅习扎亿 :
第
=章
ⅡI|矩眸
扌习扎亿 :X≡ (A-2E)lB(A— 2E)故
爿阝么
∷
 
 
 
ο
 
ο
 
1
∷
0
 
1
 
ο
m
h
吖
b
〓
 
 
〓
∷
 
∷〗
〓0
 
j
⊥
 
ο
〖
∴
⑾
 
m
△
ο︱△
d
一 
 
ο
 
⒈
 
o
Α狄
Ι
r
1
_
2
 
o
 
o
Ε
 
 
 
 
 
 
 
〓
~
2
 ο
 
.
 
o
∝
队
卩
丨
协
︱
u
~
_
 
 
 
〓
严
阶
∵
为
∷
∷
P
∴
〓
中
∷
其
〓
胛F
.
一~
〓
 
∷
〓
Β
 
 
·
一︱
〓
1
ο
 
0
∷
二
一 
0
 
°
m
︱
"
卜
⒛
【例 2.7, (2004,4)设 A=
殉
 ∵.
·
 
 
是.
 
〓枇
≡
艹
△
〓∷篙
∵
∷i
3
Ⅰ·
冂
丨
L
 
 
 
一 
 
 
 
 
r
逆矩阵
’
贝
m
「
Γ
〓
见
 
以̈
.
∷
∷〓
么
因
 
 
丶
 
∴
一
”
·∷‰
 
)
·
4
¨
可
 
 
 
 
 
又
 
 
〓
易
 
 
历
〓
 
那
又
 
 
∷故
与J∷ 可交换。
∶∴
=∴
∶|△
∷∴∵ : ∷
甘∷ ∶
鳐嗑代巍辅导漭义
营习扎亿 :
年 |i;亠
∷
〓
∷
∷
∷ 
 
〓
~
∷
 
∴
【例 2.9】  (1995,3冫 设 Ai-
∵̄ ∷f.:  =∷
∶氓   t∷ i  ∵ i, ∫,∷
=祥
塥泓函潆飞:瓿 |-∷
宀
●00◆ 00◆ 00◆ 00◆ 00◆ 00◆ 00◆ 008     . ∷     ·.
∶∷r=i雀
j∴Ⅱ篷
∷.|Ⅱ ∷i0|Ⅱ i△
拿∷ii∶ i∶ ∶零
,沁∴是 直 的伴随矩阵 ?∷
mlJ
ˉ
ο
ο
喝
,
￠
⒉
⒋
〖
 
〓(A女 )ˉ =
【分析】
现 |^
|△
°r宁 |A!|有
传 廾
A·
忄 ||敌
(豇艹)1=击 处
∵∶亠
∶∶∷l,∵
于A黥签髻赁纪汪罕壁亻↑螽幂fF罗T∫∴↑∶r号?宵
对
j较:)⑿潜
°卩∷凵∴⒎中·∷I”
|∶
∷
∷Ⅱ 艹Ⅱ击∷∵∷∷̈
·⒋⒋ 。
第
=章
 ∷矩阵
【例2,11】  (1998,2)设 A是任-m(汀≥ 3)阶方阵 ,A艹 是其伴随矩阵 ,
又尼为常数 ,且 虍≠ 0,± 1,则 必有(肚 )艹 =        ∶  Ⅱ∷∷
(AⅪ⒕女
  .(B)虍 9r∴
A女   (C)乃 F^∵ ∶ ∶(D)屁∵A【 [∶     彐
【分析】 对任何 m阶矩阵都要成立的关系式,对特殊的Ⅱ阶矩阵自然
也要成.亠∷,那 么当4可逆时,申 4∶ 丁 |A^→ 有      ̈∷¨
G姓 )关 =|枕 |α姓 尸 =屁″
|A|·
青
姓
ˉ =屁「1A艹
∷  ∷
故应选 (B)。           ∴   ·
【例 2.12】  (1996,3)设 拓阶矩阵A非奇肄(m≥ 2),Ai是 A的伴随矩
阵 ,则 ∷     ∷ ∷      ∷   ∷ ∷  ∷  ∷ ∷
(A)(A计 )艹 =|A|’
r1A      (B)(A艹
)关 =|A|浒
1A
(C)(A兴 )艹 =|A|r2A      (D)(A艹 )女 =|A|浒
2A
【分 析 】 因 为 A可 逆 ∫由 A长 =|A|Aˉ 有
∝
艹
r=|A∶ {∝
艹
r干
|Ar·
击
=|A|r2A
故应选 (C)。
【例 ⒉)13】 ,B女 分别为A,B的伴(20092∶
3
T6['I:1 %1]⊥ [3J∶
艹飞
关
]
【Fll2114】
'(A女
)=
营习扎亿 :
线性代数辅导讲义
营习扎亿 : 【证⒈ 若秩
'(A)ˉ
切丿则 |A|≠ 0,由 于 |A叫 =|A|-I,故 |A、 |≠ 0,
所 以秩
'(A关
)=彳。            ∵  Ⅱ
若秩'(A)<刀
ˉ⒈则厶中所有祝一1阶子式均为0∶ 即行列式|厶 |的所
宥代数余手式岛为o∶ 即直“≡0,故 k厶
艹’⊥⒍ Ⅱ ⋯
若秩r∝)=饣 -1,则 }i|二 0Ⅱ直
^中
荐在饣△i娇宇式禾为⒍郑么:由
|A|=0有  . ¨  ∷Ⅱ∴    ∷ ∷⋯∴  ∴·
AA艹 =|A|E=0       ∷ ∶
丛面“4)+∷r(^∶ )≤ m,得Ⅱr←∷∴)≤ 1|∵ ∶∴   ∷
又因A中有″-1阶子式非0,知有凡≠0,即 A女 ≠o,得
'∝
女
)≥ 1,故
r【
A∴ 冫
=1。         ∷∷∷   ∷  ∶  ∷      .   ∶  ∵  ∶ ∶∶
【例 2.15∑  已知     ∷      | ′∷      ∷
|A|=
J∶
00
那么行9lJ式 丨
^|/,f右
元素的代数余字式之相为
【分析】 由于 A扌 =EA、 ],只 要 能求 出 A的·
伴髓 矩 阵 ,就 可 求 出
∑ A氵 .因 为 A艹 =|^|A19桁 ∵
|A=÷ ·(-1)4∵
|寺 =|击
又由分块求逆 ,有  ∵              ∴   '
4
0
°
⒑
ο
 
o
 
o
〓
3
 
 
‘
ο
 
o
 
2
 
ο
l
·
〓
o
 
o
 
1
一
3
 
°
0
 
1
_
2
 
0
 
 
o
1
 
 
ο
 
 
 
ο
 
 
 
o
ο
 
ο
 
 
ο
 
1
_
在
连
 
0
 
0
 
0
的
为
A
 
n
廾
畅贝叨
肛
°
 
⒍
 
1
一
3
 
ο
o
 
1
一
2
 
ο
1
 
 
o
 
 
 
0
o
 
ο
而
 
∷ 
 
 
 
 
随
从
 
 
 
故
 
 
伴
扌叼扎忆 : Ⅱ Ⅱr1
k胡驻鼬姊广矩眸
△
οl
︱
叫
︱
L
 
们
川
引
川
L
甄
 
 
 
〓∵
战
 
〓I
 
 
 
 
〓
1
ο
o
⒈
〓
ο
1
丫
 
·∷
〓
i
⒐
m
1
o
 
 
〓∷ 
〓
⒈
∷
冖
一
f
飞
:
〓
t
1
︱·
o
,
·
〓∷1∷
一
∷ 
 
·〓
∴
≡ 
 
 
 
 
 
〓
{
 
 
 
〓
 οο ㈠ ≡o
 
"
呐
 
 
 冖一 〓 〓 
 
 
 〓
邗
 
 
m
·
 
o
 
 
〓
 
〓t¨ j
 
∴
〓
飞
"
 ≡
叫
Ⅱ
凵
〓
ι
⒈
〓
忄
←
 
 
 
⒋
E
Α
 
 
i
又
 
〓
△
宫1I叉莛撰。廷。玉
詈习扎亿 :
线性代数辅导讲义
1  0  0
o  1  0
0  0  1
3
~
2
≡
ˉ
3
_
~
∷
.
~
2
5
_
2
∴
苎一〓.
~
2
.
~
2
∷
≡一~
2
 ̄~
2
故
5
3
-1
【分析】 因为  ∷  -
(A+E)(A+2E)-4E=A2+3A-2E=o
有           (A+E)(A+2E)△ 4E
“十③∷扣 艹η|E
— E,B=
那么
故
÷
∷田
 ∷〓.
一
 
矧
Ε
 
3
+
【例 2.
故 +
 
为
 
 
ω
ω ∷助
〓 
,
贝
刂
,
 
︱
∷
 
灿
_
6
∷
o
·
o
 
4
 
0
1
 
 
 
一
1
 
匚
︱
⑷
︱
“
B一Α〓朋若阵矩位
)
d
 
单
⒛
 
阶
抖
 却
宀
澉
·
·
2
Ε
)
2
 
ο
 
o
0
 
一 
〓o
r
r
【分析】 由已知条件有 AB+2B— A— 2E=-3E,
即有 (A+2E)B-(A+2E)=-3E ∷  ∷
(A十 2E)Ⅱ:(E亠
:)— E
(A艹 2E)ˉ
∴
丁
告
(刀 一 :)T
。 厶8 ·,
吝
∵
言
卜
艹诀
∷旷 庶
|扌△
`苒
箨 :宙卦 △矩阵
扌叼扎亿 :
∷
〓 
 
 
 
 
 
 
 
 
矩
 
 
 
 
技
 
 
 
 
 
〓
〓
〓 
 
 
 
 
 
 
 
 
位
 
 
 
 
的
 
 
 
 
 
〓
那
 
 
 
 
 
 
 
阵
 
 
巧
 
 
〓 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
细
 
 
明
 
 
 
 
 
故
 
 
可
阝甲孓;?l∴ 弓狎|景f!印甲℃弹早r艹叩卩T1亻广纾:∴予型Γ=
Ⅱ  ⒈
'
;△Ⅱ
Ι1∴
∶
i`
一
∵〓
 
 〓
∴∴Ⅱ∷∷∶ 妄
· 奎9∷ ·∷
线性代数辅 导讲 义
≡〓
咖
〓[o
Β
L
咖
一〓
亻
丬
I
丿
η
⒈
△
入
 
 
 
 
 
Β
 
一
〓∷ 
 
 
 
 
∵
∷ 
 
 
 
戍
 
B
一卿 蛳〓 
 蛳 畔一∷ 
 
 〓~ 盯 ∷〓㈣⑼
〓 
 
明
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∷∴∷ 
 
 
 
∴
 
 
 
 
 
〓
证
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∷
 
 
 
 
 
∷ 
 
 
 
 
 
c
(C)A (D)— A
宫初
.等 矩阵 :
8oo◆ o。 ;占o·占-oρ占。-:‘ ρso。。8
则 B=
(A)P3APz (B)PzAP3 (C)PaAP1 (D)PzAP1
E    ]
【分析】 观察到把矩阵A的第一行的 2倍加至第三行 ,然后再二、三两
列对换即得到矩阵 B,这里的初等行变换应该用 P3来实现 ,初 等列变换应
该用 P1来完成 ,故 B=PsAP1。 应选 (C)。
∷
〓J
〓
〓≡
∷
∷ ∴%
∵一饧 
~
≡ 
 〓≡ ∷〓
n
 
 
 
 
 
 
 
∷
〓≡ 
8
〓
‰
∷οοη〓·
n
ˉ
H
浏
〓 
 
臼〓∷饧泱〓吐「·丨
^
一
〓⒓
〓∷ 细沪
毗
耵
o
ˉ ,
P
3
卜
〓∷ 「卜+
〓h
∷
〓̄
h
∷≡d
≡
屮J
⒈
·
℃
四
 
 
一@
 
 
@
 
 
 
 
 
 
’
∷
∷
诸
 细.
〓
.
锄
〓∷谝旬
〓∷丨
∷̄
〗
〓羽
肛
 
 
∷
〖
ˉ
≡硼 
 
 Α〓 
 
 
 
卜〓
· 50。
扌习扎记 :
第
=章
∷∷矩阵
营习扎亿 :(^o1Ⅲ ,ξ )淬 A痴
0盯雉呼||为 0即|逆
矩阵 ,且
冖
Ap
匚σ1,σ⒉,￠3彐 蝗 =Eσ1+‰ ,￠2,c3],则 ￡广硐 为
i  ∶  ∷    ∶      ∶     △   ∶
【分析】∷由于Eσ1+az,c2,σ 3彐
那么 σ
lAg
o
:1
0
1例 2.25】
【分析】∷因为
若 P=
■
 
 
 
 
 
 
·
⒛
 
 
臼
丨
叫
1
"
例
 
 
ο
 
.
 
ο
匚
 
μ
︱̂
卩
b
〓
o
 
o
 
1
 
 
 
∷
o
 
2
 
o
昱
〖
⒈
)
 
 
 
 
 
0
.
 
o
 
1
〓
D∷
(
 
 
 
0
 
1
 
0
〗
〖
o
 
△
 
o
 
 
 
叱
⒓
「l
^
卩
卜
⒛
 
 
 
 
σ2
∷ 
一0
 
 
 
 
 
 
 
σ〓
0
 
o
 
2
ο
 
1
 
o
I
B
q
^
︱
刈
L
o
 
2
 
o
〖
〓
A
o
 
0
 
2
一〓 
 
∷
● 
 
 
 
 
∷
ο
 
1
 
0
〓
〓
.
∴
∷ 
 
 
 
〖
∴
≡ 
〓∷ 
 
 
 
 
 
 
一~
.
冂
︱
︱
丨
L
 
 
 
 
 
 
 
o
 
ο
 
1
I
∵
〗
一~
 
 
⒈
∷ 
 
 
△
!
 
 
0
乙
 
 
°
0
·
 
 
 
 
 
 
 
 
 
,
F
∷
2
3
4
犭
·
Ⅲ
i
︱
〓̈
[
∷
书
〓
l
·
o
⒈
⑷
r
2
 
3
 
4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
·
m
︱
︱
·
o
︱
u
 
ο
 
1
∷
o
证
l
〖
丫
l
」
2
3
4
"
叫
5
L
0
 
0
 
1
 
 
∷
o
1
2
μ
屮
h
2
3
4
「
1
︱
^
吖
∞
「
1
︱
◇F
h
I
I
∷
∷
︱
一l
∷︱
︱̈
∷̄̈
I
△
 
ο
·
ο
η
刊
/
卜
ο
踮
∷H
F
〓·
一
 
∷ 
 
一 
 
 
 
~
一
一∷
所以应选 (B)。
线忮代巍鞯导讲义
+2α 2
+
姒
 
 
.
蝈
 
 
 
∷  
 
 
 
故 
 
 
 
 
 
 
田
艹
苏
3
 
 
︱
iⅡ
1∶
2
804
+夕 13
+a23
+幻 3
△
I
︱J1
l
l
Lι锄
2
 
杰Ζ
奋
 
 
2
臼
+
 
幻
铝@
略
+
∷
2
〓
鲡
色
∷〓
 ‰〓 
 ∷〓
臼
 亠
 ̄
q
∷〓
卜
 
〓.
≡
∷
艹
∷
∵
’贝刂圹_卜
l
⒈
l
l
丨
卜
J
△
l
丨
丨
l
」 
5
〓℃
灿
劬
鲡"
"
㈧
·
臼
〓
 
〓⒓
 
~
″
‘ 
灬弦
 
 
 
 
`
ο
 
￠
 
己
 门
「
丨^
~
l
.
m
B。 即
所 以
那么
”
n
⒛
m
·
2
 
%
「
丨̂
卩
︱
纟
【例
A=
若 Aˉ =
扌习扎亿 :
第∷二章
- 
矩阵
【分析彐 A经过行变换(第 3行的 2倍加至第 2行 )和列变换 (2、 3两列
互换)得到矩阵 B,即  : ∷ ∷  ∷       ∷
∷  ∷
所 以  B1=
⒈刂
御利2.28】  (2005,∶ )设 么另 饣(庞
≥
2)阶可逆矩阵 ,交换 AⅡ第一行
与第二行得到矩阵 B,A关 与 B*分别为 A和 B的伴随矩阵 ,则
(A)交换 A艹 的第一列与第二列 ,得 B关
(B)交换 A关 的第ˉ行与第
=行
”得JI∷ ∷  ∷ ∷∷ ∷∷ ∷
.-q冫 卒终毕:昀罕丁烈卢罕二烈:得 丁卩
*∷
       ∶
(D)交换 A头 的第一行与第二行,得 一B*  ∶      E  ]
【答案】 (C)      ∶ ∷∷ ∶  ∷ ∷  ∷ ∷ ∷ ∶∷
【分析】 按题意 ,有 E】2A=B,手是 Aˉ乜彳 =B1∷  ∷
因为 E劈 =E12,有 Aˉ
1El2亠 jˉ1     ,         ∶
又因矩阵 A的两行互换得到 B,而知 丨A|=— |B卜 于是 A艹 E1^=— B女
即 A关 的一 1二两列互换得到 工 B汆 。所以应选 (O。
o
 
1
 
 
0
0
o
1
T
l
l
l
l
J
o
 
’
~
 
·⊥
Α
〖
o
·
一
孤
〗
〖
1
 
 
 
 
∷
〓 
 
9
乙
 
 
刀
△ 
 
n
υ
∷
H
卜
∷≡
∷I¨︱.
一
_
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
〓
B
 
o
0
△
0
o
.
2
o
⒕
〖
〖
〖
营习扎亿 :
线性代数辅导讲 义
∷
是
∷
∷
阵
〓
∷
矩的
∷
 
价等
叫
n
︱△
叫
2
 
4
 
0『
〗
∴∷
 
一 
 
 
°
 
2
 
ο
∷〓M
︱
∷〓 矩
 
 
 
 
⒀
∷〓
与
〓
丶 
 
 
 
 
 
 
 
 
︱
〓
∷ 
 
 
 
 
 
 
 
 
o
 
 
ο
 
 
0
△
J
〓∷  
 ∷ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
^
一
〓'
'
'
〓
一
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
.
一
〓
〓
〓̌ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
·一〓
〓
〓̌
 
 
 
^
〓
〓
〓
ˇ
∷〓跏
 
Α
)
Ⅰ
(D)以 上都不正确
|Ⅱ△l
△
1
l
l
l
l
l
」
0
 
0
 
3
0
 
2
 
o
n
︱
m
︱
⒛
c
;芷∴茛奄裤 号
弘。。∞。∶∶。∶。。∶。。。∶:。∶∶蕊:
【例z.β 0】 设σ_〈 1,— 2,DT,厶 ≡刀+腕￠T
其|Ⅱ讠
:亠
⒍如慕
^是
芷荥枯蘸:灿 石∷」
【分析】 A是正交矩阵 QAAT=E
(E+IcoT)(E+铊 σ
T)T
α 54∷  ·
母习扎亿 :
第≡章 ∷∶矩阵
母刁扎亿 :
·
 
 
 
 
∷ 
扌
∵ 
 
 
 
 
 
〓冖
〓ο
,
〓
艹
 ∷
〓 
∵
 〓
鲫
∷
∷  
 
 
正
类
 
〓
〓 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
有
 
 
 
令
 
〓∷
 
 
 
 
明
 
 
交
即
 
 
 
若
 
 
 
 
 
 
说
 
 
正
【例 2.32】  在实对称矩阵求特征向量构造正交矩砗的问题上 ,常见的
错误是:      | ∷ ∷ Ⅱ ∶ ⋯   ∶
1
溽
1
萜
1
√t
这 4个矩阵都不是正交矩陴1要想清原因,引 以为戒。
【例 2.33】 Ⅱ设∷直:B均 勿}阶正交矩阵,且 |^|+|B|=±∴0,证叨 |∴A+
B|=0∴ Ⅱ∷ ∵   ∷ ∷   - |  ∷   ∷ ∷   Ι
〓
⊥
萜
 
o
 
⊥
萜
q
ο
∷̄
︱
制
∷
上
褥
i
~
倌
 
⒈
ο
廴
0
卩
︱̂
吖
匕
∷
 
2
1
 
o
 
一
o
 
1
 
o
「
1
︱
^
卩
L
ο
 
一 
.
~
 ⒓
 
~
3 (4)
Ⅱ 55∶  ·
线性代数辅导讲义
【证 】 ∶}毖 +B|△ 卜EA+BE|△ |(BBT)姓 +B∝ TA)′ | ∷
=|B(BT+^T)Al± }B(A+B)TA|
=|B卜 |(4+卩冫
T|丬
4⒈干卞|Br刊 A+卩
|
=— |A+B|  ∷ .
川 A+卩 l=ρ :.∵  ∷Ⅱ1 ∷、∶∷ ∷∵.∶ ∷ ∴-j ●
〓 
 
 
 
 
 
 
·
 
 
 
∷〓 
 
彐
 
 
∷ 
 
 
 
_
 
 
 
 
 
 
 
 
 
〓∷ 
 
程
∷
· 
 
 
〓
 
确
 
 
 
 
〓
 
 
∷∵
 
 
∵
∷〓
一〓碱一∴一∷〓∴L
≡
∷
后
 
 
 
 
 
中
 
〓一
 
 
〓∴
然
 
 
 
 
 
其
∷〓
 
 
∷
 
 
即
即
 
 
D
 
 
 
 
 
 
 
 
且
扌习札亿 :
∶第再鼙ⅡⅡ矩陴
营习札亿 :的两端 ,得:| ∶  ∷ ∶ ● |∷
∷   ∷ | ∷ 'B_B≡ 3A
因为
^艹
A=M艹 ˉ|A|E∶用
^+左
乘上式的两端,并将|A|=2代入,
得                            ∷
:【2E_⒕ =)丑ˉ :6E∵
于是 2E— A计 是可逆矩阵。从而∴|
Bˉ 6(2E— A女 )T1                       Ⅱ∷
o  0   0
1  0   0
0  1   0
3 0 — 6
【例 2.36】  已知AX=B,其 中⒕
3
6
-3
B=
齐次
【角厍,
∷
 
 
 
非
∷
〓 
 
 
解为换转
∮〓 
 
 
可
∷
 
 
的
~
 
逆可不是Α的在
〓
∷
〓 
 
现Β一Α
}
啭
 
 ’贝刂
x
〓
求
 
 
逆
⒈
}
卜
︱
J
可
.
〓
.
~
7
姒
组.
μ̄74
h
m
蛳
〓
〓·ο
"
.
~
“i
「
"
ο
ο
△
0
∷
 
_
~
 
〓
冂
丨
︱
︱
︱
丨
忄
」
ο
0
o
~
o
 
ο
 
6
 
ο
0
 
6
 
0
 
3
m
︱
№
︱
陀
「
№
一 
 
∷
3
〓
⒚
 
8
0
△
ο
1
_
2
Ⅱ
︱
№
Γ
h
Γ
︱
⑷
L
_
_
 
 
 
∷
一 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∷
μ
〓
卜
L
o
〓
即
 
 
 
 
 
这
组
△
I
I
I
I
I
I
I
I
L
z
 
 
z
 
 
z
y
 
y
 
γ
F
︱
~
r
L〓x设
贝刂
.
 
_
 
 
_
.
 
一 
 
一
″
丨
`
︱
μ
〓
钩
 
砀
 
钩
γ
 
γ
 
丿
F
︱
~
r
L
3
 
 
9
 
 
3P
μ
L
3
6
-3
-1
4
13
2 — 1
3   6
6  12
数
··5⒎  ·
蟓辍佚蝴 义
母刁扎忆: ∷Ⅱ△i、 ⒊
拙
渊
淞汹撤
 
 
砷
阝
h
.
 
一
 
⒛J
·̄〓
↓
鼬
2
 
8
 
ο
3
 
3
 
⒐
】卜∵|∶ :`璃
|铲、i扭 双 ,拶 渐邶扭J鞲 扌
J
∶! :ˉ !∷ ˉ∴∵t∶
 丨支
Ⅱ`小 Ⅱ∵ }̈iⅡ屮
∴
∴●∵ 。扌 0Ⅱ|1|¨ 、̄
俨∵冬T1:∶∶;∶森赢甚
舞
〓拭
从
1
,
 
 
∷
k
八
一
⒈ 
堪
 
 
 
∷
∷
犊
 
Ⅰ
.
 
∷
忄
嚯∷鼬∷
〓∷
〓、"
 卩
飙
∷
一 
 
 
 
∷
.
∷
 
戴
∷
 
卜
 
⒋ι
 
〓
 
☆
c
∴〓 
 
 
 
 
〓∷∵ 
 
 
△
〓  
 
忄·r
 
 
 
〓.
解出 -
∴ i9
i`|
举叨毕屮
从而
裘醺蜜簿
瑙  嚣鞣愚
&
明t Ci惑 lRM驷 it搿糠溥弹涂
0∷  l1∴ ⒏  ¨  i
〖∶屮  ii∶∷∴|!| 
∷  s ∶
、
肛:扌  ε̈   ΙⅡⅠ
r亡
∶′∴
唧
〓i
 
 
 
艹
☆
 
 
 
〓
一
’〓 
 ι‘^ 
 
〓≡
f
`
 
 
中
丶
∷       ∶   ∷   ∷     ∶∷ ∷∷颦
∷
=Fl∶
Ι千:丁‖ΙjJI
舍△个∷≯郯犍嘿-诨 潦铃奄奸牧HⅡ 褂Ⅱ耷寂耦藜赣辞蚪捻鹦衣忄∴茹
‘
一
 
 一
〓
·ρt球 "
△ I_Ⅱ △0;Ⅱ|∷Ⅰ!△ ··
'f∷
|氵∷ △̌0△ ¨∷ ∶=∶I∷Ⅱ|0=0Ⅱ ∷ ∶
¨∵·●Ⅱ¨∶ 宀∷△∷●∷Ⅱ ∷’∷ ∷∵
¨ⅡI厂 0∷
Ⅱ̄ i∵ · ¨ˉ 畔̄ ∵ ●̄ Ⅱ¨ |Ⅱ△ ˉ ˇ ·△●0△ ∷ˉ̄ Ⅱ¨Ⅱ Ⅱ
△0∷rf: 
·̄ ∴0午》r∷ ⋯
`∷ 'Ⅱ
ˉ∵ˉ¨ ’̄”ˉ Ⅱˉ -呷灬∷△芒艹△
:
文瑙幂衤章窿护觯
乙《(Ι ∶ :∷ △;)    Ⅱ∴|
上凑答 苫睾 ∷∶
菡犍芳J肃虏哇
r∷ ∷ 虹Ⅱ 尊扌
且阵矩零非阶是B
囗
引
川
L
〓一 
8
一
.
'
勰∷
_
·
臀〓
〓蚪
厅
j
i
Α
〓
〓
 
煳
←
一
日分4奎o02
∶i∶ k华》(i加06,∶旷夯)谖矩雠h亠 E即考l茁
骑2^于
珲
矩
f乒
蹙郄辅B瀹
则
Ω
1
@
四、练习题精选
⋯ r亨 书篮弭玉 窍 ⋯̄ |奥 Ⅱ容、每Ⅱ燕磴弗 ⒋0姿、为 |Ⅱ
子△廴肆懿窍诹 .热
:f|琴
巍∵瓷 -撼 Ⅰ·螽.虹 F∷澳 :秕f小 ×艹连 镘少 〈Ⅱ
(1)岜 知 A是 3阶矩幛 :且 fJf宥元素都是一⒈灿A4|2A3= ·卞F氵
(^)波 A嘉ヵ盼矩阵,瀹足泓
·L甚;建上∝|勤。∶瑜(Ι 工貌∫湃1≡
ABˉ 0,贝刂厶=
|￠   il  忄Ⅱ
《∶iˉ Ⅱ「∶.9
鼓氵奉谣
(A》
,^雷舌:且 ;j膏:
譬妇甄t匾 ) ]
督
:呃 |惑蜜、孓 |̄
沫i'艹足 |,扌
|Ⅱ 舞0t狂 雾
∵ īE氨 i〗
(3)设 A=
{渣
`.
菅旬札亿: .△ △孓△
线性代数辅导讲 义
母习扎亿 : (A)1  CD— 1  (C)-:  (D)3     E ]
∶ ∵ ∷  }
3.解答题
(1)设 A是 彳阶矩阵 ,若 (A+E)犰 =0,证 明矩阵A可逆。
(2)设 B是 勿×绝矩阵,田
T可
逆,A=E一 BT Gr)ˉ B,其申j是 ″阶单
位矩阵。  ∷ ∵ I.|∶  I∶ ∷∷ ∴Ⅱ∶ ∷∶
=∷
∶Ⅱ f∴∷ ∷
证明:(I)4T=4 ,(Ⅱ )42丁 i4·∶ ∶ ∷ - ∷ ∷ ∶ -∷
i∶∶宵i荨⒊:言H::△∴∷
一
 
ˇ
 
 ̈
 
 
∷
 
可
(
 
 
 
 
 
^
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
〓^
 
 
 
 
 
一 
 
 
 
〓
〓
∵
△
∷
!
∷
︱
∷
 
箔
∴〓 
 
 
 
 
 
 
 
第
∴
〓 
 
 
{
〓
 
 
 
 
将
|← 咭ωˉ
|=Pˉ 独叫
了
u尸 ~狄叫 =岬 卜
2.(1)(C)      (^)(D’ ∷ -   (3)(C)。 ∴          ∷
【提示】 (D角定义,计算△矽时不要丢(亠 DI+J,组装伴随矩阵时位置
要正确.(A× B× 0)是主种常见的错误 ,要 特别小心,∵
(20AB=o不能保证B^≡∶仉丽ω+B)2=Az+∶AB+BA+'≠ 尸
+zAB+B2;当 j乒 o时 ,行列式|B|可 以为零亦可木为零,油 B是否可逆而
定。(其实,|B凵 =|jiⅡⅠ,苛见(勘 i与 (c)要∷
对就奎对,妻镨就全镨,在本
题必全错);由 AB=0,B≠ o知
^Ⅱ
⊥0有非零解。郑么|A}≡ 0,从而|A艹 |
=|A|r1=0.       - ’ ∵        J ∴
o〓A
∷ 
 
 
故
⒈
 
⒈
 
3
一
 
_
 
〓
m
 
 
m
 
 
m
 
`
'
_
_
 
〓
〓<
⒁
r
r
ΛΑ
泓
r
(
Α涮
若
若
∷若
4
’
〓 
 
一
 
.
仂「
打
△
∞
 
彳
 ∞
_
一
 
 
而
 
·
⑷i
 
 
)
〓
于
 
 
⑺
岫
 
 题r
G
 
 
本
|第毛章 |∴矩阵
因为 |A|≡
显然 四=1时 ,'(A)=
3.(1)(用定义法)因为⒁ +P孓
=∷
°,犟
1∷ ∷Ⅱ ∴ ∶∷  -
A铭 +C淤 叮
1+g淤 旷 2+¨ 。+C知
】
A+E=o
那 么  A(-A旷
1⊥
C加 叮
2— ⋯ ·亠 C伊
1E)=刀
。
(2× I)AT丁 EE_:Tq甲?黥 :疟 卩l=E:⒎(弭:r钥
=∴
∷   丁 E— BFE(BBT)_
∷    丁刀一亻〈叩iN|
(Ⅱ )A2丁 l卩疒:卩l呷:丫?:
=ETz卩飞卩么
r氵
=:∶=ET2:I(::I),飞
:Ι
3仍 ←̄1
色
色
夕
|上 ∷置∷||∷|∷ ∷|∴||| Ⅱ
亲:△ ∶
=。
i}¨ ∷∷Ⅱ妄Ⅱ∶,
△o=峰 r=∶亠,¨ ∵·,∴
乏~● ·Ⅱ妄   :`艹 。-乏 I|
∶⒈iI i‘ - ^∴Ⅱ扌⒈∷廿,  (∶ △l1|=∴ ∶-∶|
≡ (3色 +D(1一 伤)3
3Ω ←̄1  3伤 ←̄1
1      @
@       1
玎∷∶1;|
1,那 么只有色≡
i苔 ∷
|∶ △::
3色 +1
Ω
四
∵∵ 色
营习扎亿 :
艹冬 |
1
_
3一
i i
Ⅱ|;走 |罩≡Ξ童;二∶I∷·
=∶
|̄∷
· 、艹:△ ∶:·亠|I|i∷ ,音 ∷△·̄
表了|i;七Ⅱ:∴ ,
∶
°
'I- 
∷
△ Ⅱ :∶ ∷
∶∶+:  Ⅱ
Ⅱ|、 |÷∷△|
∷
^Ⅱ
Ιi∴至:
〓
一
∷〓
||∶ ∶
0△∷∴△
i△∷r
△∶∶j∷∶
; {讠
。 61 ·
线性代数∷辅导耕 义
第三 土早 m维向量
肀匚聘岬品⒈增扌唧
sch贫idt正茭花
∶:| ∷     ∶        |∴
如果 r乱
'出
1ˉ
·忄厶瓦  :
称卩可由饣1,.¨ ,吨线性表出
-钆 ,¨、砥无关,内
若 Jl, ss与 ,扩t可互相线性表出
若存在不全为 0的 11,·
··,九 使】1g1ˉ ⋯+l:0J=o
如果 】1olˉ
·叶厶os-0则 必有厶司 ,⋯ ,九-o
—、知识结构网络图
充要条件 TE量
{耳r芦 廴 Ι 1T,残表出
充分条件  l多 数含叠嚣母帚数向量表示
-H0∶∶
← 阶梯形向量组
加法、数乘、内积
卡仅数学一要求
· 62 ·
■0△△:△∶
第置薰扌飧维囟量
今年考题j∴ △I夂 Ⅱ△ⅡⅢ “△Ⅱ∴ }∶=oˉ∷¨ ∴△l’
(zO15,D设 向量组 α1,α。,C3内 R3的△伞摹丬‰肀孝%∴扌I早徊冖枷
=
2α2,F3亍 cl醛 :q矸十 V助 Ⅱ 礻Ⅱ∶
Ι
珉.∷ ∷Ⅱ
¨ ·I△ ∷
(I)证叩冖鼻缉Fl,Fz,F3∷扛尽:趵=个
基气∵
∴j=Ⅱ、:艹 夺i
∷ △
(1)当 屁为何值时,钅耷非-￡ 向旱豆年綦屮,岬?σ3与基Fl猁崾Fa下的
坐标姆卩
'并
求玎阜叩钅:ˉ .,】=△Ⅱ∴1△ ∷Ⅱl i∶   Ⅱ△△Ⅱ
冫|:j|, ; △冫̈ ·∷小∴∷氵
|∴  ∶tⅡ
|t||∷
=∵
∶
∴=I艹 :∶△卩∷||
△ |; ∷ 氵 ●
Ⅱ·0二
℃ 符:i势 ||廴
l|∶  ∶大
ˉ
→∷ -、 咖∷
∷
 ∵∮l| ∷、′
∵沦∷ ∵J∵ Ι,(
⒈
=△
邙 :
|‘ |∷ Ⅱ
.
63 ·
{
∷
 
忄
“
ν
 
 
`
泗
∵:∴
|IⅡ ∶~:.
1丛:∴
,营 习札亿 :
线性代数辅导讲义
营习扎亿 :
二、基本内容与重要结论
∞
°:
8
吃
∷°〓
≡
识
乩
≡
知
≡
≡
砒
乩
〓
基
〓
饣个数曰1,@2,¨ ,C饣 所组成的有序数组        ∴ ∷∶
σ=E@1,饧 ,⋯ ,夕″彐
T或 α=E@19也 2,·
·
,伤饣彐
叫做 m维 向量 ,其 中曰l,勿 2,⋯ ,@饣 叫做向量σ的分量(或坐标),前一个表示
式称为列向量 ,后 者称∷为行向量∴   ∷ ∷ ∷ ∷∴  ̈  ∷
设 ″维向量σ=hⅡ‰ ,·
··,‰ ]T,卩 =E31,乙 2丿
··
,0彳 lT∵ ,贝刂·   ∷
向量加法
数乘 向量
向量 内积
σ+卩 二 Eal+3i,Ω么+02亠·,瓦 ∴+0】]T; ∷
劢
:=E肠
i,朊 2Ⅱ·,腕 月T;    Ⅱ∷ ∷
(σ ,卩)=α
T卩 =/σ =Ω 1乙1+Ω ∶莎2+∴ +a饣乙刀。
挣
群
Ⅱ
屁1α1+屁 2σ2+¨ 十乃sσ s
是 cl,α2,⋯ ,σs的 线性组合。
定义 3.2 对 m维向量σ1,σ2,⋯ ,σs和 卩,如存在实数 乃1,屁 2,·
··
,尼s使得
屁1cl+屁 2%+⋯ +屁 sα s=卩 ,
则称 卩是σ1,α2,¨ ,σs的 线性组合 ,或 者说 卩可由σ1,α2,¨ ,αs线性表出
(示 ),
例如 ,cl=E1,0彐 T,σ2=E2,1彐
T,α3=E1,-1彐 T,卩 =E3,2]T则
卩=~cl+2%+0σ 3=2cl+σ 2丁 α3=50l+0σ2工 2α3=⋯·
即卩可由α1,σ2,山 3线性表出 ,且表示法不唯一。
又如ol=E1,0彐 T,σ2=E2,0]T,卩 =EO,3彐 T,那 么无论屁1,屁 2取何值 ,
定义 3.1 设 助 ,σ2,⋯ ,σs是 m维向量 ,虍 1,屁 2,·
··
,虍s是一组实数 ,称
· 64 ·
第三章∷∷力维向量
恒有∷尼1cl+诧 2u2≠ 卩,即
`不
能曲σ1,臼’线性表出。∷     ∶·
定义 3.3 对 m维向量 σ1,α 2,⋯ ,αs,如 果存在不全为零 的数便得
:|
屁1al+炀α2+¨ +尼 sα s=0,     ∷
则称向量组cl,Ⅱ /·
·呷’线性捃关。甭则∵,称冖量缉Ⅱ,c2∴∶·,α5线性无关。
、华犁早衤,肖早饵肖∷勹T ⅡiT∷
·
∶F阝sT∵
?∶叮
`∷
Ⅱ卩I|即α
:,_∵广夕sq∶ 干
?才辈盛辛·萃煮谇I只翠弘∷勹∵∶∴
`弘
∷否拿却霞尸阝佟幻〃l十 夕2q⒎ t∶
:· ∶十
庞sσ s必不为零。)                     ∷∴  ∴
∷ 例如 ,对于下列向量组申线惟相苯性是谷易:WlJ瞥的:∷ ∷Ⅱ
∷  (1)m∷ =E1,2,β ]卩 ∷,￠-≡ Ez93,4]T,c3,=【ρ,⒐ 0]F· Ⅱ∷∷∴ ∷∶∶ ∶
因为 0cl十 0%|+0艹△ o
组合系数∷0-o,】 ∶不全为 0,故向量组 u1丿α2,σ3线性相关∴  ∷
(2)α 1=匚 1,2,3彐
T,σ2=E2,4,6]T,α 3=[3,0,5]T∶∷ ∴  ∶ ∷-
星骸薮2亠∴銮i∷羝谑苤:孑 ,∶∫森蔽。∷∷
∷ -卩 )吖 1∶ =亍 f1'?|3^T9屮 ∷F亍 Izf:叩I?￠卩ⅡT EⅡ
5.,7卩
.II|∷   ∷
因为          CIl+σ 2一 a3=o
蕴杳紊薮1∶ i,△ r禾全为0,故 沆:jjˉ忆:线性相关∴  
∶∷
∴   ∷ Ⅱ
∷茹氨Ⅰ1Wl贺厅魄魁
∴
曹Ⅱ∷∷∷
可 见 屁lJl+花 2α2+屁 3σj=00屁 1≡ 0,尼2=0,屁 3=0
故 cl,σ 2,α3线性无关。
定义 3.4 垛有两个 仁维向晕组 (ェ∷)〃 1∷ 呷2`∵ ∴卟“ Ⅱ)Fl9Fzr∶∶,n;
如果(I)中每个向量 σ氵(犭 =1,2,⋯ ,s)都可由(Ⅱ )中 的向量 伍,屁 ,
’̈
1筢募T⒊罟铉霉\踵墓:麝鹭,瓦辗两个向量组
等价.
例如 ,已 知向量组 .       ∶  ̄ ∷ ∵  Ⅱ
(1)cl=E1,0,0彐 T,饧 ÷ EO,1,0]△ σ。干·
EO∷ 》0,1彐∷F∷与 Fl∴
ˉ El,l,1彐
T,
饧 =匚 1,1,0彐
T,F3=匚 1,⒐,0]T
由T∷∷=Ⅱ
∴ρFα|十∷屮∷十屮:华 Ⅱ丁卩∵}卩 :∵`F:了 〃∴
cl=F:,山 2=屁 一F:,。3=Fl— 屁
知向量组 cl,σ 2,铙 与 Fl,饧 ,卩3可互相线性表出,所以 gl,α2,C:与 Fl,
屁,F:是 等价向皇组。 ; ∶∷ ∷ ∷ ∷i∷ ∷Ⅱ ∷∷
· 65 ·
营习扎亿 :
线牲代数辅导讲|义
∷
 
∷知
∷线
组
 
 
性
性
 
 
称
 
 
 
 
 
~
~
 
 
饰
组
 
 
大
(2)α1=E1,0,0]T,02∶ ˉ[1,⒉,0]T
凡△∷[β-l,ρ
]I∷ ∷∴∶∷∶∷∴ ∷
由       ∵  ∷
与 Fl∶ △岖‰1∵,1]T,`2厂 E⒐,l,彐 T1
‘    ∷∵ 
∷
 ∶∷  ∷  ∷        ∷∷∶∶
∷
∷
 ∷
解
〓 
 
一〓
〓有
 
 
 
〓
出
∷
 
〓
卩
∷
 
 
∷∵̀
螗一阼趾胩汁凵
硎
∶重∷
要定理
:
∷   ∷     ◆po◆ ¨ ◆?o◆ ?。 ◆∞ ?叩 ●qP◆ °°·
定理 t。 ⒈
∶
扃 量
:卩
可 由向量纽 山i∷ ,j,,∶
·∶∶砝
∷∶∷∷
- ∷∷∷∵ ∷∶
∷Ⅱ∷∷   ,|k∶   ∷.⒎
∷ 
∷
 ∴∷  ∷ Ⅱ∶-∷
 ∷|∷   ∶ ∶
|
Ⅱ∶Ⅱ?gF-齐次罕芈
=珲
缉∷即:∴
￠∵∵呷J
㈠ 秩 rEσ1,σ 2,·
·
,αs]=rEα 1,α 2,·
·
定理 3.2∶△向量组∷讠1油乞,¨ ,吨 线性相关
o荠次纷跬芳裢组E臼 庀2
;^   ∷ ∶  Ⅱ
∴∶ ∷∷
∵
∷ o∷∶ ∴ ∷ △ ∴Ⅱ ∷∷
㈠ 向量组 的秩 r(cl,σ2,⋯
。 ∷66 ·
~
亻
<
s
.
∷尸.
∷
 〓
 诚
o.有非零解
菅习札亿 :
第三章  刀维向量
∷
〓∷
甄∵_
部
 
一
 舯
叼
定理 3.5 如果 α1,夕 2,·
·
,αs(s≥ ?)线性相关 ,贝刂其中必有一个向量
可尸:萃畲叩冖旱终竿零屮氵辱率⒎宥歹=个
向量可用其余的o T li个 向量线
性表出,则 这 s个向量必线性相关。
j∶ 定珲|f 却界￠19￠ 2’ ∵呷l绋性无关∷,ci,g2?∵ ,〃s,卩 线忤相关 ,则 卩
可由∵cl,c2,∵ ,α“线性表出,且表示法唯ˉ。 、 ∷  ∷
定理 3.7 如果向量组 Fl,助 ,¨ 矾 可由向量组σ1'α 2,?·
·
,αⅡ线/眭表
出,而且s>莎 ,那 么 Fl,卩2,⋯ ,卩s线性相关。即如果多数向量能用少数向量
线性表出
∵
,那么多数向量一定线性相关.∷
推论 如Fl裼 ,⋯ 矾 线性无关 ,且它可由cl,σ 2,⋯ ,σ彦线性表出,则 s
≤ 莎。 、             ∷  ∷
走座 j∶ 8 设山1∶ 山2∴·∶
,山s可 由
^1,饧
,⋯ ,厶 线性表出,则 冫(α l,α∶,⋯ ,
σs)≤ r(Fl,卩2,⋯ ,屁 ).
推论 如果(I),(Ⅱ )是两个等价的向量组 ,则 '(I)='(Ⅱ )。
定理3.9 如果 '(A)=',则
A中有r个线性无关的列向量 ,而其他列
向量都是这 '个线性无关列向量的线性组合,tL就是“A)=^的列秩.
一般地,r(A)=A的 行秩 =A的列秩.
· 67 ·
菅习扎亿 :
线性代数辅导讲义
扌习扎亿 :
钠巾蛄解△∷∷∷∷∷∷△÷ i|∷∷∷∷∷∷Ⅱ∷∷△∷△0
例如 ,若 竹维向量σ1,α 2,⋯ ,αs线性相关 ,判 断下列向量组的线性相关
性
(1)σl,α 2厂 ,̈σs,α汁1   (2)α 1,σ2,⋯
·
,σ「1
【分析】 (D因为 cl,α 2,⋯ ,σs线性相关 ,故存在不全为 0的 屁1,屁 2,·
·
,
乃s使得
乃1α 1ˉ←屁2σ 2ˉ←·⋯‖-屁 sα s =o
那么有 乃1cl+屁 2σ2艹 ⋯ +尼 sσ s+oσ什1=0,而 屁1,屁 2,·
··
,屁s90不全为零 ,
所以 ,cl,σ2,⋯ ,αs,σ+1必线性相关 .
(2)m,α2,⋯ ,σ「1的线性相关性不确定 .
从几何上看
· 68 ·
t丫T∵∵∵丫:丫∵∵∷∶I∷∵∵∷∵∷̈ ∷
=⒎
∵∷
=∵
∷
==Ⅱ
∷ ∶∷∷ ∷∷∷∷∶∷∷f
ˉ ∷Ⅱ∷ ∷     ⊥ ∷ ∷ ∷∷堪甚:厶骶 ∷∷∷∷
共线、相关
△:|锋 梦 姜
吼∷∷
从坐标上看
势 ·∷ ∷吁△
每宙|乓;督 “△ ∶△Ⅱi縻寮∷∴奏扌
艹共 t盂 各蕃 1、o繁
=
∶; ; ∶
|
Ⅱ∴iⅠ ; ∶i :∶ b
∶∴  ,   夕 |
艹
≡ 
 
 
一
一
∷I 
 
 
〓●
∷一 ∷〓
 ∷一
 
`
≡
〓
∷
 
’`
∵
∴
 
(
·〓
 
 〓一
一 ∷ 
 
.
∷
 艹〓∷
一△
 
∷△
 
 
∷
 
△
曹习扎亿 :Ⅱ_,∴ i|
线性代数辅导讲:义
营习扎忆 :
@ 犭 c d
1130
2240
3350
∶∶∶卜=0=— J
从而线性相关。
(D)中 ,因 为
Τ
 
 
 
 
 
 
2
0
 
 
 
 
一⊥
0
,
 
 
 
_
〓 
 
m
纽
 
 
’σ
8
 
 
隋
伸
 
 
r
 
 
J
知
E
c
 
 
o
]
主(典型威题分析选讲
8ρ
ρ’ρρ●p9●虍0● qρ●qρ
,ρ
。◆。°
8
∶
Ⅱ
线性相关 :
罂∷1黑巽 ,鼻∷=κ恳∴∷ ⋯⋯
(B)E1,艺、
:⊥
ii|∶ Eβ ∶⒍,°
jT,E0,7,9彐 T,E1,0,2彐 T        ∷
∴i掉彳菇曹f∶资淼巍扌鞯翠∷芒∶音|
0σ1+Oc2+c3亠 o
系数 0,0,1不 全为 0。
(B)是 4个三维向量必线性相关。定理 3.2推论 2:m+1个 m维 向量必
线性相关。
(C)是 4个四维向量可用行列式 (定理 3.2推论 1)由 于
第三章 :|江维|向量
。
营习扎妃 :
线性代数辅导讲义
营习札亿 :
【例 3,4】  已知山1丿σ立,⋯ ,αs,卩1,Fz'· ·,廴i都是 九维向量 ,下列命题中
错误的是
(A)如果
关。 ∷        Ⅱ   ∷ ∷
(B)如果秩 r(cl,σ2,⋯ ,α s,卩1,饧∷|··Ⅱ99~1)
σ2,⋯ ,σs线性相关。         ∵
(C)如果 cl,α 2,⋯ ,σs线性相关 ,且 σs不 能由σ1,α2,⋯ ,α「l线性表出 ,
则 cI,α 2,⋯ ,σ←1线性相关。  ˉ
(D)如果 c￡ 不能由α1,α 2,¨ ,σ疒1线性表出 ,则 山i,σ2△
⋯
,a‘ 线性无关。
E     ]
【分析】 当 σs不能由α1,σ 2,⋯ ,σ「1线性表出时 ,并 不能保证每一个
向量σj(j=1,2,⋯ ,s-1)都不能用其余的向量线性表出.例 如 ,cl=(1,0,
0)T,σ2=(2,0,0)T,σ3=(0,0,3)T,虽 c3不能 cl,α 2线性表出 ,但 cl,σ 2,
饰 是线性相关的。所以(D)不正确。 ∷ .          ∷
关叙叫钊,㈦Ⅲ艮户性灬∷苄詈 ⅢⅡ 罕
性相关至望⊥廴 cl,σ 2,⋯ ,α「1,σs线性相关。 ∷ ∷ ∷ Ⅱ∷ ∶
∶苯丁
(B冫 ·r(α1Ⅱ⒉,∵ 旧ρ≤ F(cl9￠⒉,∵
`卟
,宀 :,Fz r:· ?Fs-1冫
=r￠1裼
'·
·,F~l)≤ s丁 1(s  ∷
或者 ,由
'(cl,σ
2,⋯ ,σs,F1,饧 r∶
·
,Fˉl)亍
'(卩
1,助 r:· ,卩←1) ∷
知 cl,α 2,⋯ ,σ∶可由卩1,屁 ,¨ ?F~l线性表出。据定理 β。7亦知 g1,c2,
⋯
,αs线性相关。            ∵
对于(C)。 由于 al,α 2,⋯ ,σs线性相关 ,故存在不全为 0的 屁l,屁 2,·
··
,屁 s
使得屁1cl+屁 2σ2+⋯ +屁￡α氵=0。 此时必有屁s=0,否则αs可 由σ1'·
·
,σ「1
线性表出.于是 屁1,屁 2,·
·
,屁 s-l不全为 0,而 屁1σ】+烫 2助 +⋯ +乃ⅡI山疒1亍 0即
Cl,α 2,∴ ,σ←1必线性相关。
臼
 
宀
,惯 ’∶·’
{i|∶
· 72 ·
第三章 ∴冖维向量
营习扎亿 :‰
∷〓
 
⑴
⑵
 
∷
⑶
≡_
 
 
〓 
~
∷
 
 
 
 
 
 
 
∷ 
∷
●
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∷ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
·
h
 
 
 
 
 
 
ο
 
 
 
∷· 
 
 
 
∷
∷
硼
也
删
枷
即
甘 
 
 
 
因̈为
〓 
牝
 
 
∷〓 
 
∴一 
 
∷ 
 
 
 
∷〓 
 
 
故
 
 
 
 
.
∷
 
 
 
因
 
 
屁
 
 
证
⒛
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
的
'
、
 
 
 
∷
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
·
 
^
"
v
’有̈ 
 
∷ ∷〓 
 
∷ 
 跌
勃
入
 
 
 
 
 
 
 
∷  
 
 
性
不
峭 
 〓∷
 ∷
∷
〓 
 ·σ线
贿
千ο’〓
 〓 ∷ο
∷
∷
 俨
柢
ˉ
(
·
)
为
 
 
 
 
 
 
 
而
 
 
 
 
珀
因
 
∷ 
 
 
 
从
 
∷
 
灯
线I性代数辅导讲义
扌习扎亿 :
、设 尼r,屁扌,Ⅱ Ⅱ油讠|中第工个不为:0韵是 钫(即 尼1△ 屁
'=¨
·△ 屁产i亠 0,
乃夕≠ 0,p≥ D于 是 尼pA/’
lσ +⋯ +屁淤 叮
1σ =0 (2)∷ Ι ∷∷ Ⅱ   ˉ
用 A犷p乘 (2)并把 A助σ≡ 0,A9r|1σ =0,⋯代入 ,就有九A’
’.Ij∷ 亠 o
又因A旷1￠
≠o,那 么△="与假设矛盾.敬 山,Ac,A'j,· ·~,^柠 1汪
线性
无关.  ∶  ∷∷         ∷| Ⅱ . ∴  ∷
【例 3。 ~7】 谖A是竹阶矩阵,cl、α2、σ∶是″维列向量 ,若腕 1△沆 ≠0,
Ac2=cIl+σ 2,细 3=σ2+σ3,证 明向量组 cl,α 2,σ3线性无关。
∷ 【证】 (用定义 ,同 乘)设 屁i祝 +炀σ2+屁 3σ3=o
由 于 (A— E)Jl=0,(A-E)饧 :≡ σi,(A一 E)c3=σ 2,
用 A— E左乘 (1)式两端 ,得        :
, Ⅱ ∷ i  △饧讥 +尼。σ∶± 0∶ ’I (2)
再用 A— E左乘 (2)式两端 ,有       ∵   ∷ ∷
∷  炖山 ˉ 0   ∷∵
因为 c1≠ 0,故 屁3=0.把 :屁
:∷
L° 代人(2)得 乃2=0,∷ ∷ Ⅱ∷∷Ⅱ
∵∴再把 勿2ˉ 0,岚 圭 o代人(1)得  屁r∷
≡ 0。 ∷  Ⅱ ∷  ∷ ∷ 。
因此 ,向 量组 cl,α 2,σ3线性无关。 ∷
【例3.8】  设cl,￠ 2,⋯ ,σ`是齐次方桂组苴艿̄ σ的基础解:系 ,n不是
A:=0的 解 ,证 明卩+cl,卩 艹σ∶,⋯ ,卩 +吨 线性无关。
【证】 (用定义 ,同 乘且重组)设
∶∷∵∶ ∶∴妨￠
∷+Jl)+九 0艹 j。
^艹
:1· ∴+⒋ (卩 +σ氵y=⒍ ∶∷△∶tD
因为 AJ氵 =0(犭 =1,2,⋯ ,莎 ),邮 ≠ 0,用 A左乘 (1)式两端 ,得
∷  ∷(妩 +妨+Ι +妍)A9=oⅡ∵∷∶Ⅱ ∵Ⅱ i∴ |
从而 Ⅱ.·  =∷ ∷ 尼1艹诼艹∷j+汀二o∷ i∷ 扌∷∷ ∴    (2)
由(D式又有       ∷ ∷ ∴ f  Ⅱ∶ 、Ⅱ .∷ ∶∷ ∵I i∷
.  “1+乃2+··J+屁∫)卩 +庞 1泣1+饧α2∷+∴ 4石访⊥
∶0 ∷∷∷(3)
∷ 将(2)式代人(3)式 ,得
屁1cl‘+疵α2+··Ⅱ+.扬扌夕
`l⊥
0∷ Ⅱ∷ `∵ ∶∶∷
因为 j1∶ 乙:,·
·夺,仇 是基础解系,它们绫幢艽夹∵嵌必有∷∴ .△
∷         乃1=0,屁 2≡0Ⅱ J,炳 L∷ 0
因此 ,向 量组 卩+cl,卩 +cz'··
,卩 +σ氵线性无关。
∷ Ⅱ∴ ·∷ ∷ i∶ ∶
砌⒊” C呷劫 谬|汐
3阶绠野ⅡⅡ∶夕|曲芬痢属手痔征值
-1,1的特征向量 ,向 量 σ3满足 Ac3=σ2+j3,证明 cl,σ
^,α
。线性无关 .
【证】 (用定义 ,同 乘)由特征值、特征向量的定义 ,有
AC1=亠 α1,AC2=α 2.
设 | ∶ l 琵1σ1+炳α⒉+炖 c3— o
用 4乘 (1)∴ 得Ⅱ ∷∴∷△ ∵ ⋯ Ⅱ ∷∴
’i∶ l∷ ∷(1)
一 屁1cl+乃 2σ2+屁 3(σ,+σ 3)∷ △ o
。 74 ·
(2》
第三章 :‘ 汀维向量
(1)_(2)得 ∷ ∶  ∵     ∷ ∷
2尼 1σ 1ˉ
一乃3α2 ==0              ∷ ∷Ⅱ ∷
因为 cl,α2是不同特征值的特征向量 ,σ1,o2线性无关 ,故 屁1=0,屁 3=
o。                           
∷
  ∷ ∶  ∷         ∷       ∷    ∶  ∴
代入(1)得 :屁2%=0。 ∷ ∷ ∷  ∷ = '  ∷
叉困σ⒉是特征向量 ,σ2≠ 0从丽 屁2丁 ρ.因此 ,ol,臼2,饣3线性无关。
【证法二】 (反证法)因为σ1,σ2是矩阵
^不
同特征值的特征向量它们
线性无关。那么如果 cl,σ 2,α3线性相关则Ⅱ色3|△ ∶屁壬αr+屁 2σ2∷ (1) ;∷
用 A左乘(1)式两端并把∷Ac⒈ 亍△ct,Ac^=α2,AC3=α2十 c3代入得
∷σ2+σ⒊丁T妩αa+炀饧 (2)Ⅱ∵ -
(2)— (1)得 α2=∵ 2乃 1cl与 cl,σ2线性无关相矛盾∴   Ⅱ  ∷
【例 3· lQ】 设4维列向晕 cl,￠ 2,￠3绋J性无苯,且与4维非零列向量Fl,
屁均正交,证明(I)卩1裼 线性相关 ,(Ⅱ )cl,α 2,σ3,卩1线性无苯. Ⅱ ∷
【证】 (I×用秩)构造矩阵       ∷ ∷ ∷ ∷
设屁1σ1+乃 2σ2+乃 3σ矿+lFl=0 = 言  ∷ (1)
用″ 左乘(1),又 附臼j=0(j± 1,2∫3),有 即rF1.≡ ō  ∴ ∷ ∷
而附Fl≠ Q.故必有屁=0。   `Ⅱ ∷∷ ∷ ∷  ∶
把屁=0代人(1)得   :  ⋯ ∵ . ∶  ∷ ∷ △ ∷
屁1σ 1ˉ←屁2α2+屁3oj|=0 ∶ ∷   
Ⅱ  ∷
因 cl,α 2,σ3线性无关。故必有 i     ∷   .  ∷  ∷
∷    屁1==0,屁 2|=0,尼 3==0∶   ∷ ∷  ∵   ∷
所 以 ca,α 2’ σ3’卩1必线性无关         Ⅱ ∷Ⅱ∷  ̄ ∷
Ⅱ ∴练习∷∷设 A,B为 满足 AB∵ —∵σ的∷任∵意两个非零矩阵 ,△m刂 必有 :|
(A)A的 列向量组线性相 关 ;B的行 向量组饯性相关: Ⅱ   |  ∷
(B)A的 列向量组线性相关 ,B的 列向量组线性相关。
(C)A的行 向量组线性相关 ,B的 行 向量组线性相关。      ∷
(D)A的行 向量组线性相关 ,B的 列向量组线性相关。
。 75 ·
~
一 
 
 
 
 
·
〓
饣 
 
 
 
 
 
 
 
 
~
~
 
∷
矩
 
 
 
 
 
以
 
∷
∷而
则
 
 
 
 
 
所
 
 
〓从
营习扎亿 :
线性代数辅导讲义
扌习扎亿 : 【例 3.11】  已知 m维向量σ1,σ 2,σ8线性无关 ,若 Fl,Fz,F:可 用臼 ,σ2,
g:线性表出,设      i  ∷
∷ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
α
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∷
叉
∷
∷ ∷ 
 
 
 
 
 
+
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∷
B
 
〓  
 
 
 
 
 
 
 
σ
)
丰 ∷∷ 
 
 
∷ 
 
 
 
 
蝻 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
〓∷
〓 
 
∷
 
宀
 
 
∷ 
∷ 
 
 
+
·
此
 
 
 
 
以
 
 
臼
因
 
 
 
所
 
 
+
 
 
 
 
 
有
|丨 :f1
=|丨
:丨
∴∶】=@2+曰 -2=0
硎 ⒊叫 【lgg⒎
驷
已知向觐 而 ”吼饿 J眭
|氵|则Ⅱ
尚薹缉
中,线性无关的是
(A)σ1+α2,σ2+o:,σ :— σl  ∷
(B)臼1+c2,o2+c3,cl+2臼 ?+α3     ∵    ∷ i
(C)σ lˉ卜2ε 2,2α 2ˉ卜3σ3,3σ3+σ1         ∴         ∷ ∷
(D)σ 1+σ刁+c3,2α l-3σ2+22α3,3α 1+5σ2-5aj ∷ ∷∷ E ]
【分析】 利用观察法 ,易 见 ∴  ∷  Ⅱ∷
(A) (σ1+饧 )— (σz+臼 )+(σ 3△ ol》 丁 Q∷     ¨ ∷
(B) (σ1+α2)+(α2+c:)— (σ1+2α2+α3)=o
故 (A),(B)均线性相关。       ∷  ∷ ∷  ` ∷ ∷
对于《C)和 (D),简 单地加加减减是得不到 0;就不应继续观察下:去 ,而
应立即转化为计算行列式 (其背:景是例 3J11)j∵ ∶ ,    ∷
H扣 |_∷ ∷∷由于
· 76 。
第:霉睾艹磙维向量
诂:=恿旨丨:;1∶?∶℃T竿锣圹i罕ξ帚0;:罕
)谬
￥罕
【例⒊14】 ∷〈定理0∶ Θ谖∷Jl,o2∶ ∴·芘咖 狗蔓J1∶翘,:∶
·,^是 m缌
向量 ,令              :i∵ △ ∷;∵ 0△
=∷
【证口 设nⅡ才仰0+∶Ι±华γsi△。、∶r.0Ⅱ∶、 Ⅱ1-i∵ ;∵ ∶)||
∷t△∷
`∷
灬  
·
(i)∴ ∶i∷ ∶
-∷
 ∷
. |0 ∶∶||i(|∷ |
∶
=●
Ⅱ∷ⅡⅡ∷∴
△∶ f° ∷∷|i'′ l|
Ⅱ∷∷∶∷|∷∷|∷
(3)
山手卉茨方硅蕴〈i》 由音黯巍 ∷彝濯蜘巍 ⒈̌郝么(0叩解宓嘉
(2〉 的解。因为 gl,祝 ,⋯ ,o∶ 线性无关 ,齐次方桩 ~。I(z)只宥零廨:茵此齐次
I即
∶|∶  =∴
←:却
饣孪罕♀∴典终更季堡∷严彡∵些亻∵f艹耸巽严蓬:∶ J∴
营习扎亿: ∵
`Ⅱ =
线性代数辅导讲义
∷
 
 
即
 
即
 
 
 
中
方
的
【例 3.15】  (定理 ⒊7特例)证明 :如果 FI-饧 ,Fd可 由 cl,汪 2线性表出 ,
则 Fl裼 ,F3线性相关:   ∷∴ ∷∷             ∷
【证】 因为 Fl裼 ,F3可 由 cl,c2线性表出 ,故可设    ∷
线 性 表 出
1
’
线
一_
 
 饣
砒
∷而
r
山
n
由屮
卜
鞑
耐
 
 
 
 
〓
·
~
3
∷
6
3
3
’
表
_
 性
扌习札亿 :
第≡章  ″维向量
营习扎妃 :
· 
 
 
 
 
 
出
·
 
∷
表
 
 
 
 
 
 
 
∷
∷
性
∷〓
 
∷ 
 
∷∵ 
3
线 
 
 
〓
 
 
‰
∷ 
 
 
〓 
 
 
〓∷ 
疝 
 
 
 
 
 
 
 
+
∷
一∷ 
∷
籼
籼
 
消
 
搠
∷
如
如
 
α
 
方
∷
 
 
 
 
 
 
〓∷
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
方
 
 
 
 
一~
 
+
与
〓
 
相
∷
冂
︱
︱
︱
」
有
∷ 〓
 ∷ △△
〓
讠∷·d
姗
线性代数辅导讲义
营习扎亿 : 唯一解 ,即 Ω≠-1时 ,Fl必可由σⅡ汪2,σ,线性表出。而 四=— 1时 ,方程组
无解 ,Fl不 能由α1,σ29σ3线性表出。
由方程组 lyl cl+”α2+执 c3=饧 知 ,V@方程组总有解 ,即 屁 必可由
Cl,α 2,α3线性表出。
由方程组 为cl+饧σ2+ヵ o3=F3知 ,只要 曰≠-1,方程组就有解 ,F3
就可由山1,σ 2,σ3线性表出.∷ ·     |
因此 ,当 色≠-1时 ,向量组 (Ⅱ )可由向量组(I)线性表出.∷
反之 ,由 于行列式
=6≠ 0
故 VΩ ,三个方程组 .zlFl十 砀饧 +岛F3=%
即 V@,向量组(I)总可由向量组 (Ⅱ )线性表出.
因此 ,@≠-1时向量∷组(I)与 (Ⅱ )等价。
恒有解 ,
而 @=-1时 ,Fl不 能由α1,σ∴乙3线性表出 ,向 量组 (I)与 (Ⅱ )不等
【例∷3· 1βX?OQ5,2) 啷宸常熬∷仍,使巾量缉gl=(1,1,@)T,饧 =(1,
@,DT,σ3=(伤 ,1,1)T可 由向量组Fl丁 (1,1,伤)T,屁 =(— ?,夕 ,4)T,FJ=
(T2’
甲’伤冫
T线性表T-悍回量缉华
,饧 ,Ⅱ
下串由向旱缉∷屮
,σ 29α3线性表
不.
【解法一】 因为 cl,α2,C3可 由Fl,屁 ,F3线性表出,有
r(j1,σ2,山3)<冫 (Fl,屁 ,FJ).
叉囟为Fl,Fz,FJ不能由 fzl,α 2,α3线性表出,故必有
r(cl,σ 2,臼3)<'(Fl,屁 ,F3)..
由于
'(卩
1,9z,F3)≤ ⒊,从而
'(cl,σ
2,α3)《 3。    ∶
瓿漉叫i←Ⅱ△|十∷∷
所以 夕=1或 a=-2。∷
若 伤=1,有 cl=α2≡ σ3=Fl,即 cl,夕 2,α。可由 Fl,饧 ,F3线性表出 ,
但 屁 =(二 2,1,4)T不 能由臼i,σ2,臼3线性表出
若 @=-2易 见       
、
Fl,Fz,F3卜 旺3∴夕廴⊥|∶ 3
2     0
1       0
夕+6 -2
0ˉ 1,2,3)
价。
〓
2~
 
1
 
1
△
 
一 
.2
 
ο
门
︱"
︱
卜
 ·8
〓'(j1,α
乞,σ。)
第主章卜拉雉∷向量
同时有解。
〓
佣
∷〓
∷
 ∷
 〓
〓
讪
≡∷
一
 
∷〓 
^
∷
∷脚〓.
〓
 ∷J砷一〓
〓
 
∷ 
矛
 
∷△
 
 
相
 
〓
Ⅱ瘩岛砀Ⅱ疡V印叠铒
.|Ⅱ
Ⅱ氵∷玎肀Ⅱ氵屮∷|Ⅱ|
5)T下能曲向量组Fl÷ 。I刂 :I冫「:卩|=∶。l∶勹?TP典∴T甲≠f!F∶终忤奉亍
(I)求 h的值;(卩 冫洚∷弘9Fz|9宀 ∵尸屮j屮
'。
垡哔奉亍∷∷l
t∷ ∷∷∷∷I.∷||  Ⅱ∷   ∷ Ⅱ∷Ⅱ∷ -Ⅱ 、∷∵|
∴Ⅱ 【例 3.19】 (1ρ叼?D设徇:量组Jl硐咖cB线性相关艹向量组汪2,口3,cd线性
无关,问                   ∴∷∷Ⅱ-1Ⅱ ∶∷Ⅱ∵
(1)σ⒈能否曲∷访2.,σ 3线性表出?证明你的结论 .∷  o,∷ .∷   ∷
∴ :(z)伍 能否由如 0毖讠h:线性表出咂 明你的结论ⅡⅡ∶∷∴∷Ⅱ∵∴
【解0 (l)泣1能由 c2、c3线性表出。       Ⅱ、∷= Ⅱ ∷
【证法 1】  因为已知向量组 c2,σ 3,σ4线性无关i那么它的部分组 cz,
臼3线性无关(定理3.3).又因cl,夕镰,oj线性檑关,故 Jl可以由cz|,岭线性表
· 81·
甘动扎亿 : ∷△∷0
线性代数辅导讲义
营习札亿 : 出(定理 3.6)。
∷【证法 2】  因为向量组cl砀 砘 线性相关 ,故存在不全为零的数妩砒2,乃3,
使得乃1al+尼 2σ2+乃3c3=0其 中必有 勿1≠ 0.否则 ,若 屁1=0,则 屁2,屁 3不
全为零 ,使 屁2%+屁 3σ3=0。 即α2,α∶线性相关 ,进而向量组σ2,σ 3,漉 线性
+gX啶理
⒎
ω,尸幽
T畀 T早 即亏℃卢哔亨屮||钎
旷
笋Ⅱ即妫
可由α2,σ3线性表出.   ∷  ∶      .
(2)σ衽不能由α1,σ2,α3线性表出.          ∷ ∷ ∷∷
【证法 1】 (反证法)若 σ衽能由 cl,σ 2,σ3线性表出 ,设
cd=屁 1臼 +乃 2α2+炖σ6
由(1)知 ,cl=J2α2+J3%,代 人上式整理 ,得到
α4=(屁 1J2+屁 2)σ2+(屁 1z3+屁 3)α 3
即仇 可由α2,α3线性表出 ,从而α2,α 3,α4线性相关 (定理 3.5),与 已知
矛盾。因此 ,饧 不能由 cl,σ 2,σ3线性表出。
【证法 2】  考查方程组 茁1cl+JrP σ2+奶α3=σ4,因为 cl,σ 2,σ3线性
相关 ,故系数矩阵的秩 r(A)='(cl,σ 2,α3)(3。 又因饧 ,σ3,%线性无关 ,
故增广矩阵的秩 ,r(臼 ,α2,α 3,σ4)≥ 3.于是 '(A)≠
r(万),方程组无解 ,因
此 ,α衽不能由 cl,σ 2,σ3线性表出.
【例 3,⒛】 攀冖旱 卩可u由 冖晕缉卩∷l冖?¨ ,〃〃绋竿零出 ,但 卩不能
由向量组 cl,σ 2,¨ ,α旷1线性表出。
判断(1)山勿能否由ci,∴·
,应△i,`线性表出?为什么0 Ⅱ i
(2)σ讠能杏由山1Ⅱ·∶σ庄1线硅衾出0另什么? 
∷ ∷∵ ∷
【解法一】 (Dσ″可以由α”⋯
,α旷1,卩 线性表出.
因为 卩可以由σ1,⋯ ,ε胜线性表出 ,故可设
卩 =J1α 1+¨ ·+J饣 1α旷 1+J狃 α 狃
(1)
此时必有 J功 ≠ 0,否则卩可以由σ1'·
·
,α旷l线性表出与已知矛盾.那 么
‰=旁￠一犰¨ 枉1j润 )
即 σ研可以由α”⋯
,σ旷1,卩 线性表出。
(2)α〃不能由σ”⋯
,αP,r1线 性表出.
如果 σ〃可以由α”⋯
,σ旷1线性表出 ,可设
|∷ ∶  ̄   ∷ ∷∷σ访
∷△ 乃1cl十 炀α2+ⅡⅡ艹 %讧iα汪1 I       (2)
将 (2)代人 (1),整 理得                   ∷
卩=(J1+J〃乃1)cl+(J∶ +J讠屁
2∷ )σ,+Ⅱ +o旷 i+J〃屁讧1)j沪 1
说明卩可以由σ1,山立-Ⅱ ,j△ 线性表出∫与已知矛盾:故 j扌 不能由α1,
·⋯
,σ旷I线性表出。         ∷  - ∷∷  ∷
【解法二1 据已知有 ∷
r(α⒈,α2'Ⅱ ,α狃) ==r(σ l ,o^,¨ ·
,α枋,卩 )∵ ,
· 82
第≡章0血 维向量
'(α
”饧 r¨ ,σ旷1)+1丁
'(cl扣
立ⅡⅡ,σ砝i9ρ ∶̄ ∷∷∷0∷ ∷ ∴|∷ ∴Ⅲ
由于
'(cl,a宀 ^·
·
,σ饣)|÷
'(cl9σ
9Ⅱ 9̈￠狃9卩)|∶
Ⅱ∴∴
0∷ ∷≥【σr、 σ∶Ⅲ,σ沪ⅡρⅡ  Ⅱ0
r     ∶∷   ∷△ r(。1,σ∶Ⅱ⋯
,σ旷1)+△
∷∷∶ ∷△Ⅱ⒎ ∷Ⅲ∵ ∷Ⅲ∷∶∷t.讠≥j'《
ai∷,α玄。”Ⅱ,a讠 )∴∷̄∷|∷ lⅡ ∵
∷
 I |∷   ∷ ∴∴∶
从而r(cl,σ 2,∴
·
,σ旷1,F)=汉 Cl,σ 2,⋯ ,σ″,少:亠∵汶济宀
^△⋯∶J~∴宀
漉 )`郡乇,订由访l讠 ε2ⅡI功讧r,`∶线性表出。Ⅱ△ ∶Ⅱ∷∷ ∷∴ Ⅱ∴
又 r(α1,σ2,·
·
,σ旷1)+1='(σ 1,σ 2,·
·
,α沪19α狃)即 0荔 不台邕由ε1,α
。·
’
⋯
,α旷1线性表出。   Ⅱ∷ ∷′∵∵ |Ⅱ
∷森缶乙““勖;苫富⒋|Ⅱ讠∷Ⅱ∶Ⅱ寄∴|白熹:务1Ⅱ枷|Ⅱ
尿喊性表诬:iyll命翅jE m莳霆:Ⅱ ∷∵∷ⅡⅡ∷∷亠∷∴Ⅱ△ Ⅱ
(A)若 向量组 I线性无关 ,则
`《
0丿
△Ⅱ(⑴ 若向薹荭∴r该崔相关,顿i'。 fˉ
(0旁 南̀萱蕴∷Ⅱi钱、渣疳:夹:娴 冫《⒈
(D)若向量组 Ⅱ 线性相关 ,Anll'>’ j∶
冖:|
馐巍丞娩∷馐黜烹魑驴0Ⅱ噼~
谓遏扌拐罾 :∶∴挺睾宰∵∷
∶
∷̄
::俨
:谌言戆猡号饰 ;∶弘|:)·
刀:
(I)唛讧霆 ?芽
￡
      l哼 茸:i⒎尽0i点
讠 由∷宙量组
从而秩
'(Ⅱ
)=仞 ,即 Fl,·
·,‰ 线性无关 ,充分性成立。
那么 ,当 御<刀 时 ,条件 (A)必要吗?亦 即如果向量组(I)与 (Ⅱ )均线
q 83 q
营习扎亿 :
线性代数辅导讲义
营叼扎亿 :
A
 
 
 
〓
抓
 
 
D
山
山 
 
 
 
 
r
阳
·︱
^
︱
Ⅷ凵
瓣 
 味
裼
 
 
裼
 
 
秩r
无
 
 
 
 
 
~
叨
要
性
 
 
 
 
 
则
必
 
 
有
不是
″。即
r(Fi厂 ·,‰ )≤ 仍
所以 Fl'·
·,‰ 的线性无关不能确定。(B)不是充分条件。
那么条件 (B)必要吗?即 向量组 (I)与 (Ⅱ )均线性无关 ,能 否保证
(Ⅱ )必可由(I)线性表出?(A)中 的反例说明(B)也不是必要条件 ,因 此条
件(B)既不充分也不必要.(C)向量组(I)与 (Ⅱ )等价 ,即 (I)与 (Ⅱ )可
互相线性表出。由(A× B)知 (C)只是充分条件。
(D) 矩阵A与 B等价是指经初等变换矩阵A可转换为矩阵B,A与 B
等价的充分必要条件是秩 '(A)='(B)。
如果矩阵A=EgⅡ ⋯
,σ祝]与 B≡ EF1,⋯ ,‰ ]等价 ,则 r(A)=r(α l,
⋯ ,c昭 )=r(Fl'··,‰ )=r(B),因为向量组 cl'··
,α〃线性无关 ,秩 r(cl,
⋯
,σ″)=勿 .从而
'(Fl'·
·,‰ )=勿
因此 ,向 量组 Fl,⋯ ,‰ 线性无关 ,充分性成立。
反之 ,若 向量组 cl'· ·
,σ〃与卩1'·
·,‰ 均线性无关 ,则
r(σ 1,⋯ ,α昭)=r(卩1,⋯ ,‰ )=勿
从而秩 '(A)='(B)。 即矩阵 A与 B等价 ,必要性成立。所以应选 (D)。
练习 (2013,'念 )设 4,B,C均 为″阶矩阵 ,若 AB=C且 卩可迢则
(A)矩 阵 C的行向量与矩阵A的 行向量等价。∷
(B)矩 阵 C的 列向量与矩阵A的 列向量等价。
(C)矩 阵 C的 行向量与矩阵B的行向量等价。
(D)矩 阵 C的 列向量与矩阵B的 列向量等价。
· 84 ·
第三章  勿维向量
F百篷汤扣玎祺1
【例 3.22】  如果 向量组 (I):σ订,σ⒓,⋯ ,σ
'与
(Ⅱ ):妨1,%2-∴ ’0冫 都
是 向量组 σ1,σ2,⋯ ,σs的极大线性无关组 ,证 明
'ˉ
莎。
【证】 因为 σd,α谚,¨ ,σ护是 α1,02,·
··
,σs的极 大 线 性 无 关 组 ,所 以
σ汀,α⒓,⋯ ,臼冫,吨 (屁 =1,2,¨ ·
,彦 )线性相关 。于是 α讪可 由臼i,α谚,⋯ ,σ″线
性表 出。
从而向量组(Ⅱ )可由向量组(I)线性表出。
又因向量组(Ⅱ )是极大线性无关组,是线性无关的.所以莎≤∴(定理 3.7)
同理 r<矽 ,故
'=莎
。
练 习 证明定理 :如果 cl,α 2,⋯ ,αs可 以由卩i,F~9Ⅱ
·,Ff线 性表 出,则
'(cl,α
2,⋯ ,σ。)≤
'(Fl,饧
,⋯ ,凸 ).
【例 3.23】  已知向量纽 j1≡ E1,1,1,snT,σ2≡ E1,3,-5,-1]T,c3
[— 2,-6,10,Ω ]T,σ4=E4,1,6,色 +10彐
T线性相关,则 向量组臼,σ2,σ 3,
的极大线性无关组是
【分析】     ∶
一
 
 
山
.
 
Β
 一 
一 「︱肛︱n
吖
ˉ^
四
¨
 
∷
→
〓
∷
 
σ●σα
-2
-6
5   10
1   色   色
1  ∶∷ 2
2 — 4
0   ∷0∶
o a-2
2
厶
 一
3
 
⒉
∷一
_
2
∵
4
⒓
冖
 
 
 
∷
一_
~
~
~
~
 
 
 
 
~
_
_
一
~
~
~
~
~
~
_
~
~
~
~
~
~
· 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
·一_
_
~
~
~
~
~
~
~
~
一
一
~
_
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
~
.
 
2
 
_
 
~
 
 
∷ 
 
 
∷
l
 
∷ 
 
 
 
 
∷
〓
·
→
 ∷ 
 
·
卜
︱
︱
丨1
︱
L
乩
叫川凵d
凵+
·ο
L
{
·
3
~
7
冖
.
啻习扎亿 :
线性代数辅导讲义
娅
忆
溯
剥
 
 
 
〓
.
娩
 
∷
σ〓且α
 
¨
0
ˉ
~
 
 
 
 
·
组
 
 
 
 
 
∷
 
 
一
〓 
 ∷峤∷峤
 ∷
一i
 
~
·
o
o
2
2
_
咖
 砩
∷;
∷
⒊
~
7
3
∷
.
.
啪
汕
·时.
对2
∷
∷丬
2
2
2
,
性
该
∷
〓
营习扎亿 :
第三章  ″维向量
么 α订,α谚,⋯ ,α'也是向量组 (Ⅱ )中 的 r个线性无关的向量。又因 r(Ⅱ )=
r(I)=r,从 而 αd,α″,⋯ ,σ
'也是向量组 (Ⅱ )的极大线性无关组,因 此 ,
Fl,卩 2,⋯ ,Fr可以由αd,α谚,⋯ ,σ访线性表出 ,也就有 Fl,卩2,¨ ,Ff可以由σ1,
α2'¨ ,σs线性表出。
【例 3.26】  设向量组(I)可 由向量组 (Ⅱ )线性表出 ,且秩 冫CI)=
r(Ⅱ ),证明向量组(I)与 (Ⅱ )等价.     ∶
【分析】 要证向量组(I)与 (Ⅱ )等价 ,也就是要证 (I)与 (Ⅱ )可 以
互相线性表出 ,现 已知(I)可 由(Ⅱ )线性表出 ,故只需证 (Ⅱ )可 由(I)线
性表出 ,出 发点就是秩 '(I)=r〈 Ⅱ)。             ∶
【证】 设秩r(I)=r(Ⅱ )=',且汪1,α 2,∶
·
,αr与卩1,F~9,⋯ ,宀 分另刂是
向量组(I)与 (Ⅱ )的极大线性无关组.由 于(I)可 由(Ⅱ )线性表出,故
臼 ,σ2,⋯ ,σr可 由卩l,卩2,⋯ ,β 线性表出。那么
'(α
1,σ 2,·
·
,σr9FI,凡 ,⋯ ,卩')=r(卩1,屁 ,·
·,几 )丁 r
又因犰 ,σ2,⋯ ,σ/线性无关 ,于是α1,α2,⋯ ,α'是向量组α1,α2,⋯ ,σr,
Fl,宀
'·
·侈 的极大线性无关组.从而Fl,宀
'·
·,n可 由卩1,σ2,⋯ ,σ∷线性奉
出.进而向量组(Ⅱ )可由σ1,σ2,⋯ ,σr线性表出。也就是(Ⅱ 冫可由(I)线
性表出,又 已知(I)可 由(Ⅱ )线性表出,所以(I)与 (Ⅱ )等价.
⒈矩阵的秩 :
【例 3,27, 设矩阵
^
【奥潺】
A=
彻
l
Α
1
1
3
5
阵
 
 
1
矩
1
 
~
 
曰
1
对
卩
︱̂
卩
b
Γ
B
罐
铆
忄
△1
-1
夕
l
,将它
1
-1∷
@^2
-2
∷ 
 雠 
 
 
有
∷〓 蛳 
 
 咖冂卜〓̄
」
~
叫
叫
纠
钊
阶
1
乃
2
4
为
1
1
1
2
1
1
启
5
化
· 87 ·
甘习扎亿 :
线性代数辅导讲义
·
∷ 
 
 
∷  
 
 
丁
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∷ 
 
∷ 
 
 
 
∷ 
 
 
 
 
∷ 
 
 
 
子
 
 
)
,
 
 
 
 
 
得
∷ 
 
∷ 
 
〓∷ ∷ 
 
∷
硐 
 
 
 
〓
︱
卜
⒈
 
_
∷
∷ 
 
∷
 
 
 
 
 
 
 
 
 
的
 
〓∪ 
 
 
 
题
∷ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
〓 + 
 
 
 
 
 
奎
 
⒓
∷1
∷ ∷ 〓 ∷〓 
 ∷ 〓∷ 〓∵
∷ ∷ 
 
8
∷
∞ ⒈〓∷ ∷ ∷∷
舷
 
 
 
知α
蛤
岵
即
证.
母习扎亿 :
· 88 ·
第三章
∷
饣维向量
营习扎亿 :
眭
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
表
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
向
溯 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
缃
∷ 
· 
 
 
∷ 
 
 
 
ο∷解 ∷ 
 
 
∷
%
 
 
 
 
σ
〓 
 
 
 
 
 
σ
 
 
 
 
)
叽
 
 鼽
屿
饣
助
‰堍
h
h
.
’
 
向
⒊
〓
与
出表
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
出
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
量
转置,/为 卩的转置。      ∴ . Ⅱ ∷  ∷∷ ∷
(D证明秩 r(A)≤ 2;
(2)若 α,卩 线性相关 ,则 r(A)<2。
【证】 (D因为σ,卩 均是列向量,那么mηB△ 是3阶矩阵,且有
r(avc T)≤
'(α
)≤ 1,'(FlBI)≤
'(卩
)≤ 1·
-
那 么 '(A)='(访
T艹
加|)≤ 议访
T9+K″ T)《
2。
(2)若 α,卩 线性相*。 不妨潍肛丁∷即月阝咨∷∷∷    ∷  ∵
r(A)=rEmT+(扔 × 励 )T]∷干 rE(1+凫 2)四 T]=r(四 T)≤ 1<2.
【例3.32】  设直是3跻卖对∷标矩阵,奢 AzL o,证荫A=α
【例 3.31】  (⒛08,1)设 A=四 T+FJBT,α
,卩 是 3维列向量 ,/为 σ的
· 89 ·
线性代数辅导讲义
营习扎亿 :
【证】 设
A2=
【例 3.33⒈ 设 A是 4阶矩阵∷,若 cl≡ [1,9,9,9r,J2± E2,o,0,0彐
T,
α3≡ E2,0,0,1彐
T是
线性方程组 Ajr于 D的三个解,证 明A艹 =0∶ ∷
|
【证】 因为 cIl工 饧 ±∷
E△ 1,9,9,91T,Jl工 α∶≡ E⊥
∶
⒈0∶0,8]T是齐次
方程组拙 =0的两个线性无关的解,所 以刀一r(A)≥ 2     ∷ ∶
又因刀=4,故 r(A)《 2,说萌A申 3阶子式全为0,因而伴随矩阵A艹
=0。       Ⅱ              ∷
∶⒌hmidt正 交 化 :
∷    ∷     ∷            ∴∷.∷ ∷   ∷∶            ∶=∷
-
如果向量组 cl,α 2,σ3线性无关 ,令
Fl=cl,
助F旷猁釉’
F3町拂 订|孺肛
那么伍裼 ,F3两两正交 ,称为正茭伺量组.籀其单莅花
Ⅱ南 Ⅱ卩|倦宀∷|南
~
~
 
。蹋
〓
o
·
幻
 〓
知
理
Α
可
同
故
o
·  
 
 
∷一
△
丬
︱
︱1
l
I
l
凵
Ω
∷ 
 
∷  
 
 
+
〓
 
 
 
 
 
≡ 
 
 
 
〓
 ∷Ⅸ 溺
 〓0
饣
 
 
"
 
∷
μ
△
屮
∷
〓
〓
〓
‰
饧
锄
≡
腕
※
旷
旷
臼 
饧 
饧
h
h
〃
阮
 
 
彳
 
 
邓
一_
P
μ
L
P
︱
L
+
″
· 90 j
第三章 |∷ |汾维向垦
≡∷
〓“ 
∷ 
 
 
 
∷〓 
 
〓∷ 
 
 
〓
∷ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
·
∷ 
 
 
 
 
〓
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∷ 
 
 
 
 
 
 
∷
∷
〓
∷
 
∷
 
 
 
l
≡
·〓∷
∷
〓∷≡
∷〓~
〓
〓≡
 
〖
∷
·
r
 
 
〓∴ 
 
 
 
∷ 
 
 
⒈
歹
k
∷
∷
化
 
’
o
 
 
 
 
∷ 
〓_
 
∷ 
 
 
 
〓
 
 
一
σ贝
卩
μ
卜
∷
⊥
福
∷ 
〓
〓
h
∷〓 
 
 
2
P
卜
[
1
∷
⊥
颡
〓‰
m
h
r
p
⊥
福
〓γ
罨 向 量 空 间 :兴  - ∷
定义 3.8 全体 m维向量连同向垦的力阝法和数乘运算合称为 m维 向量
空间。
定义 3.9 设 W是 彡维向量的非空集合 ,如果满足
∷ ∷ (D Vσ ,卩 ∈W必有 σ+卩 ∈ W∷ i ∷  Ⅱ∶Ⅱ | ∷ ∷
(2)Vo∈ W及任-实数 乃必有 尼σ∈ W,
则称 W是 m维向量空间的子空间。
定义 3.10 如果向量空间 V中的″个向量 乙1,o2,⋯ ,o狃 满足  
·
(Dcl,σ2,⋯ ,0铭
∷线性无关 ;
(2)对于V中任蓐向量卩,卩均可虫印量组:臼 1冖 2’
··,0″ 线性表u∶。
即             ∷ ∷
∷   ∷ ∵∷  茁ij14助j2十
·∶·|1勿1讠
∷二
0∶       ˉ
则称 j1,臼2,⋯ ,σ″为向量空间 V的一个基底(或基)。 基中所含向量的个数
狃称为向量空间 V的 维数,记作 滋锑V=庇 ,并称 V是历磙稿薹基间:F。l萱
`的
表示系数￡1,ε 2,⋯ ,ε仞称为向量卩在基底 c,j cz尸·,臼狃下的坐标。
· 91 ·
艹 注 :仅数学一要求
扌习扎亿 :
线性狩数辅导讲义
营习札亿 : 定义 3.11 设 01,饣。,· :|j纟i是阿量空间的一组基 ,如果它们满足 :∷
∷
而 =拄
:二 ;∶
∶
∷
· ∷ ·∴
则称 巳,ε2,⋯ ,ε″为规范正交基。        -
齐次方程组AF=0的解向量的集合 W,由解的性质知 :
若 c,卩 是
^男
=0的解 ,则 σ+卩,切 仍是Air=o的解 ,所 以W是刀维
向量空间的子空间 ,通常称为解空间.
|=〓 [: ∶ ∷: 1∴]
则齐次方程组 拙 ≡ 0的基础解系∴    ∷ ∷
= 9,l=△09Q,1,0彐T,%ˉ E2,∵ 1,0,1]T
是解空间的基 ,解空间的维数是 饣—
'(A)≡
4— 2=2。 ∶
本题中,,91与 △∶∷已经正交 -将其单位化   Ⅱ
例如
β
∷ 
 
 
∷
〓 
 
基
∷ 
 
∷
 
∷
 
 
〓∷ 
 
到
.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∷〓 
 
.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
〓 ∷ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
一〓
 
 
 
 
 
 
一
∷
〓
∷
∵
∷
⒒
‰〓
℃
⒈
一
渡矩̈阵
卜
.
 
 
 
 
∷
 
 
饧
 
1
,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
〓
’
 
 
 
'
q
屁
 
 
 
∷
〓 
 
山
 
 
·
3
阢 
 盯≡ 
 濉 枷
即
 
 
 
其
 
 
 
称
(I)σ1,σ 2,⋯·
,σ
"
若
|     ∷《∷Ⅱ∴冫卩1∵⒎屁o:|· ,几
Fl=c11犰 +c21α2+⋯ +c彳:σ″
屁:△ 古1疝⒈十疵,饧 +Ⅱf+氵庞u扩 |
⊥∷2臼i△ 疵ˉ
=3o1ˉˉ2σ2
(3.1)
(3.2)
二Ⅱ⒈
0÷ [∶l||咖|切
∷据
 
知
〓
∑
 
 
 
·
析
 
G
分
 
按
■
■̀
 
 
 
 
 
 
,
么尹
Ⅱ
二
EO’ 0,Ⅰ ,叩
iⅡ ·
锆
E2,LIⅢl」
i
就是解空间的规范正交基。
定义 3.12 在 彳维向量空间给定两组基
第主章∴访维向量
扌习札亿 :
C=
或,由 (3.2)有 E卩1,Fz彐 ˉ Eoi [σ1,oz彐
1EFl,Fz]
所 以
无关。
定理 3.1s 若 q,饣 2,¨ ,ε″是规范正交基,设
Eε1,gz尸 ,̈ε叨彐=E:l,ε2,⋯
·
,ε″]C,
则 a,ε2,⋯ ,ε″是规范正交基的充分必要条件是C为正交矩阵。
【例 3.35, (1987,D已 知三维向量空间的一组基底为cl=E1,1,0],
σ2=E1,0,1],c3=E0,1,1],则 向量 “=E2,0,0彐 在上述基底的坐标是
￠2,￡J称为向量Ⅱ在基底
因此 ,向 量“在基底σ1,σ2,σ3的坐标是E1,1,— 1彐 。
【例 3.36】  已知σ1=E1,2,1]T,σ 2=E2,3,3]T,c:=E3,7,1]T与 Fl
=[2,1,1]T,屁 =匚 5,2,2]T,几 =E1,3,4彐 T是 R3的两组基,那么,在这两组
基下有相同坐标的向量是____。
【分析】 设向量 γ在这两组基下有相同的坐标E钩 ,=2,奶 ]T,即
/==1Cl+￡ 2σ2+∞ 3α3=∞1Fl+跖2屁 +劣3F3
把坐标代人,并整理得
〓
囗
︱
引
 
c
△
 
一 
即
臼
邡
底
 
 
艹
 
 
 
 
 
 
 
中
基
 
 
量
 
 
 
 
 
 
 
其
助
 
 
 
2
 
0
 
0
硼
 〓
旷
旷
⒈
咖
御
 
 ·脚
’臼 
 
 
 
 
此
〓
 
 
 
 
 
解
σ 93 ·
畿犊傣数辅罾讲樊
詈习扎亿 :
愧i∶、∫::∶ ∶iiEh、 l∶Ⅱ
多】=-7莎 ,茁z=3莎 ,峦3=莎解出
所以 i~∷   ’∴
 ∶ i∷  ’∶
·
}·
I  |∷  ∵Ⅱ  ;°l ∴ i Ⅰ∶
f|△ 7彦 El,蛀 lli艹 3彦血,“∶3]I苷 :亡 :;夕 ,l]Ⅱ 亠tzJ,屁 :3Jl疒
△升【树奄∵铷△∶妇m戚蝻查分》酸 f弘∵△←匪1)2,苄 廴硐萝簸2斋枉蜕孽0,2彐
T,
c:音·Ez戍⒈al飞 :潜确l&i沌⒉,alo宫 ∴哇戤 鞫狲 量`盔 目缃敬∷翳 记∮WljⅡ 泱簧
∷,∴ 冖
=Ⅱ
∴Ⅱ Ⅱ̌
=0|∷
卜Ⅱ亠∴ ∵岛,∶ △△芒忄、△Ⅲ|f∷ △∷ 。∴·|,△ i
【分漉 七搂楚焚茹曲‰ j砀”瓴骈生跏 蠹空泪维郯鼹·篾薷黝瞬嘁
σ2,c3)=2。 那么对Egl,臼 2,ε 3彐 作初等变换 ,有 :iⅡ
|  ∷   i  I
所挞轹F· 0恃阝t忄、i0廴湃△∵饣 ,置冬̂⋯ 、艹‘!女⒒燕⒈芒 ⒈ ‘∴∷
=
卜:。 艹△突!△∷∴∷i|∶ ;|Ⅱ:∶ ∶i∴ l△Ι 艹i-
△ 艹△攵 △i羔 ∷父 △ Ⅱ .l↓△
^ 
露∷
∷i.=∶ ∴ ⒋∴|亠:眼 ~i∶ 。:.Ⅱ∶··Ⅱ豁。t′
:,;l、 打÷∴∷,心
-∴ i∶翳.`t冬  亩￠△售
Ⅱ ∶|=△铲i|i,铲 △艹 Ⅱ冖9i酗 艹̈
0f:∴I=∶
:
△̌  ∷ ∷七Ⅱ
=
Ⅱ
=氵
Ⅱ置
k△ 扌 .艹礤求 j廴 苄
△、.珏 艹巷室 架萎:疒;ˇ 盅氵卜i
Ⅱ△|艹 : 譬∴∷夂∷Ⅱ蜃
∷∵,∶ ∵∴I∷ ∷气-∵ | ∶-Fr!∷
I△ Ⅱ亠i艹 9暌 △∷∶扌
亠∷△占多 虿Ⅱ廿蛋
ˉ
I∶ Ⅱ∷Ⅱ 。=穹
艹I艹 △ f.i,fl萨 土 i1冬
池-; 篾∷||ˉ
` 驴⒋ 
·
￠0.
第圭案△访维向主
扌习扎亿 :
i
r
 
 
 
、
∷甲:|绔 -冖郐髀
r∴ Ⅱ甲∷嘎卢旱l争⒎〃I∷T:I:::q∶ ?Ι ,。?丁
:「
2∶∴9?,TI卩 l
-2彐T的
秩为 2,则 @= _。   Ⅱ~
1,填 空 题
.∷ ∷ ∷ 。 。△  ¨ Ⅲ ∷ ∷· ∴∷ Ⅱ |ⅡⅡ ∵ ∷∷∷
Ⅱ、 $Ⅱ ∷ .、 ∷∴| ∵△Ⅱ∷Ⅱ∵|  ∷:∴ Ⅱ∵∶| ∵∷∴Ⅱ∴∷·∶∶ .̄
冖∷g}甲旱屮ⅠⅠl∶
4∶
Fr∶
,cz∴
丁、甲Ⅰ
7∶
甲I∶ 叩厂
E?’ l∶ @丁
卩呀零T任丁
个 3维 向量 ,则 四的取值为   。
(2)已 知向量组σl=匚 1,3,2,丬 T,σ2=E2,7,色 ,3彐
T,o3=EO,@,5,
-5彐 T线
性相关 ,则 口=   。            ∵∷
=∶ El,-1,@,
,则 秩
'(A2ˉ
五)
tⅡ  ∶· ∵|∴ ∷ i∵
i ∶∶    Ⅱ ∴∶∷∶∴∷
冖
〓
 
〓̈̄≡
饣
〓0
 
0
 
·:
≡
1
.
·
 
〓一∷
·
 
·
∷
 
〓
·
〓
〓
〓
 
〓
〓
 
〓
 
〓
 
≡
〓∷
〓
厂
3
 
o
 
l
∴
一:
△
σ
∵
2
〓
1
 
ο
∫
:
∷
σ
〓
 〓 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∷(
∴∷ 
 
 
 
 
 
〓i
“
1
〓
o
 
o
 
●:
 
o
)·  i∶∴ ∷  ∷ ∷ ∶
∷
(4)已 知 饣阶矩阵 A=
∵∴ ∷
i∷、Ⅱ ∷
j∷
∷Ⅱ  ∷ ∴
∶|∷
`·
辶Ⅱ∴
=Ⅱ
∷ ∷∷∶
(3)若 r(cl,σ2,¨ ,臼s)ˉ :',则 ∷∷ ∷ ∷ Ⅱ
(A)向量组中任意 r— l个恂量都线性无关∵
(0向量组中任意 r个向量都线性无关
^                          · 95 ·
〓~
 
 
 
 
〓
∷
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
^
一
∷
∷ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
〓
〓∷
 
〓
 
 
亠叩
 △
〓∷ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∷●
△
〓 
其
线性代数辅导讲※
扌习扎亿 :
(C)向量组中任意 '+1个向量都线性相关
(D)向 量组中任意 '个向量都线性相关          匚  ]
(4)向量组 cl,σ 2,¨ ,汪￡线性无关的充分必要条件是
(A)cl,σ2,⋯ ,εs中任意 s— 1个向量都线性无关
(B)存在向量 σ汁1使向量组 cl,σ 2,⋯ ,σ‘,σ艹1仍线性无关。
∷思茨菟:蛋二墓蝥:寇∷署窖;扌饣芳∶扌氵廴毛|
-∶ ∷∷∷∷∷
∶
∷亡 ]
∷           ∷ |'  Ⅱ  - 。| ∷ ∶ ∷-   ∶   ∶̄ ∶∶1i∷ ∷∷∷ ∶ ∷
=
3,解答题                  Ⅱ ∷ ∷∴∶
='
′
ti)己 知m雍高堇纽(i此1,j2Ⅱ∶j∶
~bˉ ti)j∶ ,抚 ,∶
∶·∶扌:'看柏同的
秩 ,证明卩可以由σ1,σ2,⋯ ,σs绋性奉出。      
∴′ ∵∷Ⅱ
∷ ∷
(2)已 知 ″维向量σ1,α 2’
⋯,CJ非零且两两正交 ,证 明 cl,σ 2,¨ ,σs线
竿零氵G ∶  .     ∶ ∷ ∷  r.i∴ ●∷ ∷∷i∵
(3)设 cl,α 2,卩1,Fz均是 3维列向量,且 cl,汪2线性无关,Fl裼 线性无
关 ,证明存在非零向量γ,使得γ瞬可由σ1?ε2线性表出也可由91,饧 线性表
出.
;∞
¨̈ °°̈°◆°0∞ 叩̈∞°̈”♀°
;
廴。襞c零。毳:!i;:∶露:崔
γ量向
 
〓
∷的
 
∷
有
 
〓∷
所
 
~
∷
出
 
∷
求
 
〓〓
时
≡
∷
一宀
 
∴
田
︱
︱
副
「
μ
卜
一_
 
〓·∷
卩
卩
卜
L
∷
3
一~
 
〓~
〓
∷
σ
η
l
I
l
l
l
l
Ι
I
L
卩
h
吖
⒓
〓臼当
·
2
拟
r
∷
∷
妩
详
 
 
←
’
洌:
·
’α
2
∷
刿
酶
庀
一
~
μ
一
周
∷
川
暾
2
⒈
刽∴
3
∷
)
 
≡
∷
而
刀
 
~
勋
 
 
塑
征
饣
 
 ⒋
ˇ
定
等
卩
ˉ
ο
「
卩
b
分
条
 
 
臼
昧
航
一〓
沈
∵
〓
⒋
丨
〓
〓
5
.
.
硒
勹
猁
扩
o
〓
∴
5
.
充
要
 
∷∴
+
的
必
 
〓
 
饧
第
=章
∷ 访维向逶
哮习扎亿 :
可
 
 
∷ 
 
 
 
 
 
 
可
 
 
 
 
 
 
 
而
利
 
 
可
宀
 
 
 
 
 
 
 
 
线
1     1
0  -1
6    2
2   0
o   0
7   0
=〓 5￠ 4因为 {σ1,σ2,臼 3,σ4|=
所以 cl,σ 2,￠ 3,σ众既可能线性
确。
@1  ￠2  色3  色4
相关也可能线性无关 ,可 知 (C)(D)均 不正
(3)考查 (1,0,0)、 (2,0,0)、 (0,1,0)、 (0,0,1)可知 (A)、 (B)、 (D)均错
· 97 。
讠;昃:。
线惟甙数辅暑讲浆
扌习扎亿 :
(4× A)、 (C)都是必要条件 |(B)是充分条件。 ∶∷
3.(D考查方程组 助cl+Ⅱ饧 +¨ +εso s△ 卩Ⅱ
由于秩            Ⅱ ∷ ∷∴ ∷ ∵∷
r(c1'· ·
,臼‘)∵ =F(oI'∵、臼了|卩).∶
即
∷ ∶∷ ∷Ⅱ ∷ ∷ ∵∷  ∵∷ ∶. ∶∷. ∷∷  = ∴∶ ∶ ∵Ⅱ∶
∵∷̌ .Ⅱ
.∷
i|∶  ∵、I∷∷∷∴r⒁冫∷宁0〈4、 |∵ ∵∶∷∷∷∷ ∷   ∷∵∷i∷ ∷
方程组有解d卩 卩可由oⅡ :、￠J∷线橼求出: ∴∶o△ I∷∶∷Ⅱ 、̈ ∴
或者,设 臼Ⅱ,臼⒓··,σ冫是σ1,σ2irⅡ唪罅极大线梅不*缀|i曲 于KI)=
'(Ⅱ
)。 可知臼Ⅱ,￠⒓,∵σ扌在(Ⅱ )中仍是(Ⅱ
)∶ 的极大线性无关组,那 么σd,
c⒓∴,··l,σ扌,卩 必线性相关,从而卩可由田d,0宓 ,·
ρ·,臼氵线性表出P故卩可由￠1,
臼2,:· ,̄￠‘线性表出。 ∷ ∶= |‘  Ⅱ
|  
∶     .=|  ∶氵宀· ∷∶∴
∷(2)设
1乃 1cl∶+疵￠佥+⋯ 十风o‘ 亍 0∷ ∷〈1)∷  Ⅱ
因为臼与臼
'(犭
≠J)两两正交 ,有 σ「σ
'干
⒑ ∵∵∶∴∵̄ ∷Ⅱ  Ⅱ∶
用臼F左乘(1)式 ,得      o∶  ∷∴∷i∷ , △ :∶ f iⅡ ∷
I 滋i臼Fc1∷于0 ∫ ∶|氵 。
注意        ∷Ⅱ∶.  ∷ ∵ · ∴ Ⅱ∶,∷  ∷ ∷∷∷
Ⅱ ∷● ∷Ⅱ∶d￠△=1Jl‖ 卩》°·Ⅱ∷∴∷△Ⅱ ∷0
(3)4个宵β维向曩口I卩z,FL,Fa必绋性相关,故有不全为∷0∶的屁1,尼 2,J1,`'
使得|t△ ∶∷ ∷Ⅱ∷∴Ⅱ∴∶Ⅱ∵ ∶∴Ⅱ∵Ⅱ△∷∶ⅡⅡ∷∵∴∶∷△:Ⅱ ∷∷亠
∷甘△∷∴∶∵△ ∷0尼】哏∷+尼2%|∶彡⒈FI十 J?侈 干-ρ ∴ |t1∷ˉ ∷0
注庐ⅡI∷∶j∴ ∵∷∵∷ⅡⅡ亠∴Ⅱ△∷
=∷
∷∴'∵ ∵丿 |△ ⒈∵⒋△∴∷
屁1,饧 必不全为 0(想清楚为什么'?)△ △∷0△ △△∷ o
取 γ=屁 1屮 十 虍Ξ仰 :-亍
=JIn^△
fz9zⅡ ∵∷ △|亠 △·∷Ⅱ ∷ J∶
解方程组助cl+砀 cz+lylFl+助饧⒈=0∷求其通解可知 7=屁 EO,1,1彐
T。
i  Ⅱ  丿Ⅱ i ∶ = ∷刂
|I|Ⅱ∴ Ⅱ∷∷Ⅱ、
.∷
′.∷ ∷∴ ∷=∷ Ⅱ i∷ ¨
o 98 ·
第殴擎 ￠姗 撂媳
=〓
〓 〓
===============================j===ˉ
ˉ ˉ ˉ ˉ ~
二茹:查J扌∷∶∷
=,∶
蚤∷詈F廴
=∷
{苜∴
∷
∷{
〓
 ●
〓
〓一∷
∴
∷一
丁声
∷¤bⅡ是拓=J的解∴觋飞冲录伫了⒐申解
若△i,△ 2是 拓=0的解,则 h11+饧‰是拓=0的解
若α是加=J的解,η 是拓=0的解,则 臼+η 是 nFo的解
特解、通解                 :
自由变量                  :
∷虍∷|∶申
∷
ii:」渝钝鼙
石σ产∴碱,0:≡ o
纟· ~9骇  
α
线性代数辅导诽义
令年∵考题
贝2
〓Ω
 
 
 
 
 
∷
合
∵
〓
 
∷
∷
·
1
r
∷
厶
充
∷
∷
〓
∷
 
的
〓
 
≡
「
1
h
μ
L
解
∷
 
〓∷
∷ (201阝 ,213)∷ 菠∷娃:阵
^—
线性方程组拙 =沙 有无穷多∷Ⅱ
〈A9。 之。∫冫乏
:o∶ ∶∷∷
△(e》J。 白,沪 oΩ∶|Ⅱ Ⅱ∷
ⅡⅡ ∴ ∶∷
=∷
l∷∷ Ⅱ ∷∷∷ |∷△ Ⅱ
·̀ 100`·
营习扎亿 :
第四蕈∵i∷ 线∷性方程组
扌习扎亿 :
D
 
 
个
第
是
 
 
 
 
°
∷
 
的
 
使
的
 
 
 
〓∷
 
∷
‰
∴
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
〓∷
’
 
 
"
吁
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∷
尸
纽 
 
 
 
∷ 
 
∷
〓∷
砀
程
 
 
 
 
 
 
 
 
∷
次
 
 
△
组
 
 
〓∴
 
·
∷
 
 
为
齐
 
 
α
 
一
 
 
∷
 
 
〓 
 
称
二 t基本内容与重要结论
:°
°◆°°◆°。。δ5’ J-● o° ●o’●。。
:
s基 础知识t
∶P∶∶氵:·r◆∵?∷ :r::p∶氵:
的系数矩阵。
可以用矩阵表示为 |扭
称为方程组(4.1)
·∵方程组 (厶△》 亠 |D其申 峦△ 匚εl,J”Ⅱ 1瓦彐
T,D
· 101 ·
线性代数辅导讲∷义
未
 
 
 
 
 
 
 
 
∷〓
解
 
∷ 
.
∷
 
 
 
 
对
_
个
 
 
 
∷ ∷ 
 
 
〓∷
蒯
 ∷ ∷ 
 
 
阝么’
第
 
 
 
 
∷〓 
 
 
≡ 
的
 
≡ 
~
 
〓∷
 
 
,
刀
_
_
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
知
 
 
 
∷ 
 
 
则
 
∷
系
∷
 
 
 
 
 
 
〓任
. cl’,l+c2叨 2+∶·Ⅱ+。99,
是齐次方程组′拙 :芊 0Ⅱ的通解。∷ -∷ ∷,Ⅱ ∷|-∷∷  ∷∷ ∶∷ △∷ _∷ ∴
∶∶∷Ⅱ∷∶∷∷=∶∷  .∷
∷    · ∷ ∶∷∷ ∵ ∶“亠“、°1。 乩。。∶乩∴。。。。:      ∷∷∷ Ⅱ
¨Ⅱ ⅡⅡI∷ .:主 要∷定理△
:·
Ⅱ∷ ∷Ⅱ ∷∷ ∷
·°̈°
∶r∶r∵∷∵∷::∵∷∷∷∴△∶|∷∴ ∷. ∷| |∷ ∷∶
Ⅱ∷∷∴∵ △|∷ j ∴|j∷|!∷ ∷
∶∷∷∶ ∷ ∶ ∵ ∷∷∵ ∵∶ ∷∷
定理 4.1 线性方程组的初等变换把线性方程组变成与它同解 的方程
组。        ‘     ∶  丿
定理 4.2 设 m元线性方程组为 (4。 D,对它的塘广矩阵施行高斯消元
法 ,得到阶梯形矩阵 ∷          Ⅱ∴
A艹···→
如果 刁+l≠ Q,方程组 “△ )无解 烛日果∷犭△i△∶%方程组有解 /而且 当 r
· 102 ·
营习扎亿 :
第四章 ∷|线性方程组
=m时 有唯一解 ,当 '0
特征值全大于 o
正惯性指数 p=Ⅱ
顺序主子式全大于 0
^《
助码C可逆 ∷∷∶
>0
u}>o
今年考题          ·
(⒛ 15,2∶ 3)设土次型∫(茁1,ε 2,￡j’ 在正交变换 i亠 :Py卞 的标淮形矢 2j争 艹扔⊥夕∴其艹P=℃
缂弪孓∥
唧̈ 即
苜袢i:∵黔 ∵
正、负惯性指数
刀
元
一
一
次
型
配方法
正交变换法
充
要
条
件
· 162 ·
第i六
.阜Ⅱ∶二次犁
二t基本内容与重要结论
定义6.1 含有 m个孪晕J1,茁 2,∵ ,茁〃的二次齐次函数
△
=/-卩
|,?,∵ ’茁
')t即
彳 +卩 22茁 :十 ?· :+∶ q叩f;∶ Ⅱ| ∵ ∷△。
+ρ甲1z可。阝2寸∷?卩|3η =a+rr十 即 1刀弘 f。 ∶
∷      +‰羽砀￠3+¨·-卜 2Ω‰茁,茁″
∷    十 ∵:+2￠ r1,″￠宀】J: ∷
称为 m元二次型.如规定 %丁 c,I,Vj,J=1,2,∶ ·∶
,彳 ,则 二次型有矩阵表示
∫(￠”多2,,∵
·
,劣、)=力T'u, (6.1)
其 中 J=E纫 ,c2,⋯ ,茁″]T,A=E￠扌l具犭 ∷_|号 对踯 钽 阵
'称
夸为二次型
的矩阵。秩r-|冫 摊柙:咨犁:睁秣⒎F均 “ρⅡ∷∷ ∵●∷ ∷ ∷Ⅱ∷
例女日,二元二次型∫(￡1,￡ 2)=F￠:十 5f:+6茁 1茁2,有
∴∴●∶∷̈ /-孑l氵孑午冫丁亻才卩卸￠z∶十卩f1f2十 盱:|Ⅱ ∶∷∴∴△查△∷∷Ⅱ
=幼 (茁1+3劣2)+助 (3￡1+5茁2) ∴j∷ I△ ∶∷∶i∷
∷ ∷冖叫呒飞lI∷∷∷∷ .Ⅱ
∷¨ ·幽巳∷JU|∷丫肀:′ ∷∷∶∵∶∵∵Ⅱ为二
奎芰甲罕
阵
雾趸⊥次型中点食有矗品苹去顼。所有潺合顼￠阝̀
(⒋
≠
丿)的系数全是零 ,即     ∷ ∴ ∷
:TAir=d1彳 +d2峦:+⋯ +叱0亏 ,,
这样的二次型称为标准形.∷    ∷
(6.2)
在标准形中,如平方项的系数妨为1,— 1或 0,  。。Ⅱ∴
=⒎
Ⅱ
●  ∷rT^艹 ·菇∷十f=:=+∵ +亻 :t￠纡】=∵ 丁f‰ 9Ⅱ △j∷ “c。 p
则称其为二次型的规苑形Ⅱ∷~∷ ●Ⅱ∷∷ |Ⅱ ∷∴∷ Ⅱ¨∷ iⅡ
定义⒍3 在二次犁yT抄 的标准形∷中,正平方项:的个数p称为二次型
的正惯性指数,负∴平方项妁个数0称为二次型的:负惯性指数:∶∴∷∷∷
:.∶ 基 础 知 识 :
· 163 。
扌习札亿 :
线性代数辅辱诽义
(6.4)
T△呷1|c∴刁冫2十 ∷|fl″〃f
=cz191+c22夕2+⋯ +氵 2″丿n
=c闸 1丿1+c″2丿2+⋯ +c″ y″
助
∷
砀
 〓 
 
岛
果
f
L
J
l
丨
t
艹
只定义 6.4
满足
〓
〓 
 
 
 
 
·
换
 
 
 
 
 
一〓 
 
 
 
∷
·
4
)
为盯 
 
 ≡〓 
 〓
灿
6
 
∷̈
〓
 
称
合
型
是
昕
∵
称
就
为
次
数
说
〓∷
〓i
卜
唧5」
.
∷
叩
∷
一
}
·
∷〓
 ∷〓
 
∷
 〓⒈
〓舢∵灬一〓≡π灿
〓
 ㈤
舢
π
≡
叶
6
L
∷
仙
嘤
一
一5
定矩阵
.
郝
,
o
)
〓
o
〓
黼飞
正
请
’
1
〓
何
是
地
⑴
 
如
不
似
r
∷
也
类
有
∷
· 164 ·
曹习扎亿 :
第六章∷∷
=次
型
营习扎亿 :
Fr萋浇Ⅶ△
ω
 
 
 
使
都
∷ 
存
 
 
∷   
 
 
 
∷
一
 
其
说
标
换
 
即
 
其
 
 
.
〓
讹
舳
钮
龃
 
∷
缀傩撼薮辘蠡漭酞
营习扎妃 : ∶h∴丛暴曳
唧 Ⅰ
翠
∵ 丁 丫
·灬。:=∵
丫:¨
圹 }∵ ∵ iF丫 ∷ F∵ ¨ I,ˉ
。
忄 ∵ ∵ ●罗¨ ⋯ ∷ ~饣 ⒈ ′Ⅰ△F△ ?0∵ Ⅰ=∷ ∷ :°∵ ∷r∷ˇ ,∵ Iˉ∵ ¨ ∵ ∷ :∵ 艹 ¨0屮 呷 呷
析选讲
【例 6.” 遘鲫鼷鲰酊媾巍魏凳△覆蝴 器蘑镧 薪瑰懿鳜 巍夺
2△2奶 的秩为 2,则 a=`it春熏.:∶灬。:卜 i△ ∶|i晟      ∷
【分析⒈ 二次垫
'的
秩 为 2,知熘嗪黎蚺豳螽睨 蒯翳尔 △ :.置
i∶k缝:盅
∷∷Ⅰ∶ll11蓄薮鞲 F⒈
由 |A|丁 (@=1冫
:麴萤镘瀑HΩ -知∷
媒寺△∶或
`嬲
察絷酵噍扌⒁)=△故
@=-2。 筝△六阝蛊玎玉【扌郎碲棱典 溆〈艹
【例 6b3v,《 二献零塘稻邑谗Ⅱ￠拂嫘 料攮攮瀑拣盥扌扌嘁 )蜇十《龋巍f1)∷
2
△ 1蛋煜 呛
第六章∷Ⅰ二次型
的正惯性指数 夕=
【分析】 r(劣 1 ,砀 ,茁3)=厶 :艹 九台+2多:+2ε l￡2— 细2`。
∷ |屮ⅡK方|Ⅱ广:9|?
+h:⊥拓2i3— ;(12+奶 )2
丁 2(纫 +:劣 2+告
叫
i+号 0∶ ∶·讥 )卩
可见 夕ˉ 2.
◆00◆ 00◆ 00● j0◆ o0.。 。.。 0◆ 00◆ 00● 0◇ J00● 0。 。。。.
:二 次 型 的 标 准 形 :
·∷      ∷ ◆
?°
◆°°◆
??◆
∞◆
叩●°°◆°°◆°°◆∞◆∞◆00◆ 00◆ 00◆
【例:∶ 山̄ EL知二诙鱼
^亠
:劣2,空。∶⊥,历 |△扌艹,i∴3垒主芟变换
男=py可化成标准形￠ +Dty台 Tγ:P则 @△ ____
|、 :,  ∷  ∷
 ∷ ∶  | j ∶
【分析】 二次型/加 必存在坐标变换艹=Cy化其为标准形yTA,,,即
实对称矩阵 A必存在可逆矩阵q筚苓→怼狰∷笨阵Λ合同,亦 即σAC=^。
如果选择正交变换 ,即 C是正交矩阵 ,那 么  Ⅱ∷  ∷ ∷∷Ⅱ∷I
^=CTAC=σ
1AC
∴ 说̄l萌拄丘茭菱莰苄
.,i未
伎~b-^查茼斋直i鸢 i∵锸襁:茵
∷
茈1新毫A的
特征值。另△芳商÷在土次∷型尸Ay∶中,^就是标准形辛方项的系数∷‘。
.∷∷
因此,二次型 irT拙 经正交变换化为标准形时∷,标∴准形中平方项的系数
有∑么宛△∷∑a访 和1A.}÷ |B|
∷Ⅱ∵ ∷Ⅱ| ∷ ∷∷∷∶∶∵Ⅱ∷∷
。 167 。
1
 
 
 
茁
J
 
 
 
2‰
 ·⒈
F
+
 
y
∷
一
︱
一
征值
.
 
∷一 
3
 
〓一
特
μ
︱
︱
⒈
硎
⒈
阵
 ̈o
1
〓
"
矩
0
∷
o
⒈
翅
啦
是就
菅习扎亿 :
线性代数镣导讲义
曹刁札亿 :
o
 
·
亍Ω得
∴
~
十
3
 
 
〓
十
 
〓
〓〓
→
舛
丬
=(R-2)(λ2—
硪 一 D
(兴 )
又∷A的特征值是 廴,⒊,⊥ 1.Ⅱ ∷
把
^=1代
人 (兴 )而得 @=0。             .
菩璩廴普I崔釜Ξ筘遵畲氵潺∷荔廴1△1竽拿t?
砬。∶鼷肩描锪榀骗拣镪纟撼镒
形是   :。       |△ ∵
· ∶ |∷      ̄ ∶ ∶ ∷∷
解出 :￠ =b=2,^1=3.~    ⋯
Ⅱ∴  .̈  ∷ f∷  l  ∷
∷=铃咚f-_(冫 厂:⒎狎丿÷!丁 P∶ .丁景~TP晕 |叩缉丫γ享:F∶申∷Σ口即=   
′
∑
^j,有
l十 (=-0·+1F0十 Q+礼 9卸 ~亍∵⒐是4的特征值Ⅱ ∷
=∵
因此丿正交变换下主次型的标准形是 :吕夕⒊△ 6以 :∴ i∫ —∷∷ ∴Ⅱ
【例 6.6】  已知二次型       ∷△Ⅱ∷∶Ⅱ|∵ I∷ ∷ ∷∷i
∫(￡l,茁 2,劣3)=彳 +5￡:+5弼 +2￡ 1峦2-4=i茁 3
(D写出二次型 ∫的矩阵表∷达式。 ∵     ∷ ∷ ∷ Ⅱ Ⅱ     一
(2)用正交变换把二次型∫化成标准形 ,并写出相应的正交矩阵.
· 168 ·
嘉9i△
0~||∶ |∶ i∶ |蛊
阵
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
· 
 
〓∷
擞
∷·
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∴〓 〓∵
〓
∷
∷扭
∷∴ 
 
 
 
 
 
 
 
⒉
〓
 〓∷ 〓
 一
∷咖
∷  
 
 
 
臼"
屮旷∷
一〓∷
〓膨
∷一〓· 
 
1
∷
∷≡
〓≡~
∷
∷〓
∷
伽∷晰 
 
 
 
 
胛∷ 
 ∷一
∷Α
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∷
〓 
 
 
∷
即
〓
第六廪Ⅱ |∶
=次
犁
毋习扎亿 :
∷
 
〓
刭
∷
〓
”
 
 
 
 
〓 
 
砀
￠
〓
 
’ 
 
 
冖,
^
 
 
 
 
 
^
(3)当 石TF=2时 ,求 F(对讠
【解】 (D∫ 的矩阵表示为
:
{  .            ∷      /  ∴9
r(茁 1,砀 ,￡3)亠 JTAF亠 E△ i
(匆 曲矩阵∷i的锵征多喷贲
∷ ∷ ∷||∵∶干
得到 A的特征值是 :0,5,⒍  }
当
^=
∷I ∷
I∴∴∶
得基础解系
∷ 当饫查
得基础解系
当
^=
| 
·
∴  ∵   .   ∷
得基础解系
对于实
那么 ,令
∷丶
∷ 
旦
朽
⊥
朽
⒗
5
√π
1
·
撷
12
俪̌
P〓 匚γ1〃2,/B彐 =
线性代数辅导讲义
“FAy亍 5弱 +6y:≤ -(γ寻+弱∴十丿ξ)
无畋 =12.
经正交变换 J=PJ,,二次型化为标淮形 : ∶ Ⅱ  ∷∷∷ ∷
r(多 1,J2,奶 )=ェ
T拙
=丿 TAy∶
△ 09蚤 +∷ 69恳 ∷ Ⅱ
-
(3):T艿 丁 (Py)T(PJ,)_yTPTPy=yT9='+￠ +γ :=2
∶
∷i 抄 丁 γ: “ 蹈 .∶  ∷
所 以 , . ∵     ∫叼J=
奶
∷
 
 
换
 
 
 
∷
〓∷~
∷
∷ 岬 
 
 〓∷ 
 
 
 
 ∷〓
h
 
∵〓 
用
 
 
 
 
 
∷∵ 
 
〓
+
 
〓
 
所
 
 
 
〓 
、〓
 
 
∷ 
 
 
 
 
 
 
〓∷
规的
扌习扎亿 :
第六章 f娃±溴型
啻闸扎钇 :
2.
≡ (^— @-1)卩 α△扌+⒛∵ ¨ Ⅱ∷
=∷
∵|∷
得矩阵
^的
犄钲:值为汀+1,σ+弘访艹⒉ ∴∵ |— △.∴ ∴∷△∷∷ .:
∷∵囟嚣圭次型的规范形是赭艹j∷说萌杰晦特征值为 +,+,0。 折岍济
(Ⅱ )当 曰≡ 2时
氵j对:1△广瓦:曲(拊△厶)Ι讧劫ⅡⅡ∴∷
~
.
i
0
ˉ
f
∵
0
≡
 ⒈
〓一
卜
〓
鼯
卩
︱ο匚
四
沙
 
 ≡
︱^
吖
⒛
∵ 交̄
∷≡〓
〓∷≡丿〓∷ 
∷㈣ 
 Α满足Ᾱ
H
咖
卜
≡妊
△
⒈
1
<
 
一
〓△
_
〓
访
_
 
︱
.
 
.
∷
j隹
 
ο
 
 
≡〓
 
 
 
〓
 
∷
氵’
(
1
〓
_
 
丶
 
饧
 
一
 
·
1
乇
Ι
2
 
 
 
·
弦
一 
〓一 
1
∷
卢
墼
一
 
1
 
〓
 
〓
 
·亠
 
 
 
∷̌
〃
 
喜
里
_
 叫
.
汽
>
 
.
〓
 
 
灬
〓
≡
·
汾
ω
_
2
〓忄
丬
⒒
伽
妇
〓
¨
●
〓
1
,
¨
诳
丬
蹴
丬
端
量
 
~
一
 
 
〓 
 
∷量
^
咖
咖
 ∷〓
 〓鼬
鼬
一得
 
 
 
〓 
 
得
冷勹%=Ⅱh=Ⅱ ,
则饧
|铣 T罟1:|
η
丨
l
刂丨
l
{
L
卩
卜
L
2
一
△
_
⒉
一~
 
∷
μ
h
︱
¨
÷
“
1
一
2
二
「
1
︱
^
吖
匕
一
∷
〓
 
∷l
 
〓
∷
〓∏
∷
∷
△
溽
 
〓∷
二
一 
 
∷
γ
〓
〓忄
H
∷ 
 
吐
福
 
∷
·
〓∷·一
∷饧
 
 
 
∷
位
 
〓∷
 
 
么
单
 
 
〓
 
 
那
〓
犀∷
∷ 
 〓·
6
.
 
物
枷 
 Ⅷ 
 
御〓o
,
且
有
 
 
 
 
 
 
 
〓
冖 =` Ⅱ
线性代数辅导讲义
(I)求二次型 r(=1,砌 ,饣。)的表达式; ∷ ∶
(Ⅱ )若二次型 irT(A+朗 )J的规范形是 ,争 一弱丁j:’求
·
乃.∷ ∷∷ ∷
【分析⒈ 求二次型表达式就是求矩阵
^,故
应由特征值←特征 Fol量开
始。
一 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
一
 
 
 
 
 
 
 
∷ 
 
 
'
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
一 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
·
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
一
`
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
〓
~
一  
 
 
 
 
是̈
 
 
 
(
o
’
 
 
〓∷ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∷
 
~
细
 
 
 
 
 
仂
 
·
 
与
 
 
 
∷ 
 
 
 
 
 
 
 
∷· 
 
 
∷ 
 
T
锔 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∷〓
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
〓
∷
∷
一
 
 
〓
砀
 
 
 
 
∷
 
 
 
 
 
 
 
 
∷
8
 
 
 
 
 
一 
 
 
 
 
∷
〓 
 
 
 
 
螨
 
 
≡
标
 
 
助
 
 
 
∷
为
 
 
只
—
2。
由于规范形为
'-y吕
Ty:’
知{:=;<0 
自卩 0之 屁之
^。
营习扎亿 :
第蠓 :许
=次
銎
扌日扎亿 :
订:∴ ∷~
 
 
〓
∷ 
 
 
 
 
∷
~
令
△
 
一∵
 
〓
 
〓
旷〓艹〓
〓一啸
∷锏〓
〓
 
 矿∷ 〓
+
 
 
_
〓
∷
 
标
^
△
 
为
△
=z】  Ⅱˉ z3
T∵乏圩
再令
^∷ ,Ⅱ
莎
∵
Ⅱ廿 ∵  。
【分析】 二次型矩阵
7冬革f:
=z1^砀
r¨ :r°犭J逞筐
°
石;;莒:嚆旨V∞
P:
功
 
助
∷
驷
∵
{
∷
〓
〓
~
 
 
 
 
●
〓
∷ 
 〓
△
、
∷〓
耻
〓
∷·〓
劫
 丿〓μ〓
.
∷
 
助
∷
 
t
∷y
 
 
〓
 
∷
〓霈
_
_
〓
∷
.
冖
一〓
卩
+
ι
冫∷薮∷
变∷标
一J
称
土
△
经
i
即
一纽
≡
典
·〓
一
 
∷〓∷
iⅡ|j|
∷∴|亍 ∷
弘
∷
砀
 幻
〓
‰
{
∴
〓
〓∴~
 
 
 
 
 
 
一
r
丿
∴̌
 
△
形
一
∷ 
 
丶
准
∷〓 
 艹饰
〓 
 
 一∷硎≡
一
 
 〓二
·
 
 
 
 
〓∷〓 ∴
苏
〓∷
2
一L
∷2
一̄
i   
∶∷⋯ —∶∴△Ⅱ∴∷ ⅡⅡ|       I||∷
【例 ⒍ 11】  二次型 彳 +4溺 +4硝 +2沱 1砀 -2∞1菇 +4=2i3正 定 ,则
Ⅱ∶:
=.I
≡
一
 
'
 
〓扌
`
笋
 
 ∷ 
 
`
∷
一
l
·一 ”
 泓
饣
 
查
 
⒉
μ
匕
△
·
班
∷
∴|ˉ . |r
173 ··
线性代数辅导讲义
营习扎亿 : 的顺序主子式应全大于 0,即
△1=1)0
1   彦
莎  4
△3=|A|=一 幻2一 幼+8)0 ◇莎∈∶(丁 2?1)∷ i∷ ∴∶
可见 莎∈ (-2,1)时 ,二次型正定. .Ⅱ
∷Ⅱ∵·∷∷| ; ∶Ⅱi:
【例 6.12】  设 A晷 l阶实对邴∷埤阵 :早满尽亻∷十
2A=ρ ,若 肚 +E是
正定矩阵 ,则 屁___。         ∵ ∫∷ ∷ⅡⅡ∴∶ Ⅱ∷∴∶Ⅱ Ⅱ
【分析】 由〃∶十zA厂 ρ即缉吁全叩耸年倬是∴q!或 T21那饵铃的特
征值是 0或 -2屁 ,肚 +E的特征值是 l或 1— 2屁。
又因正定的充分必要条件是特征值全大于 0,故 屁(告。
【例 6.13】 下列矩阵中,正定矩阵是 ∷ -.∷ ∷ ∷ ∷∷∷
△2=
(A{∶
 i ~i31
(C,〖
 ∶ j丨 l∷
≡逛一
'》
0◇ 莎∈∷(-2,2)
吒:1∷
∷∷∷
Ⅱ挣Ⅰ剖,∷ :]
1  3
【分析】 (A)中 ￠33ˉ—3(0,(B)申 二阶主子式 =0,(C)中
3  9
行列式 |A|=0,它 们均不是正定矩阵。所以应选(D).
知C斧量耄严
’(p中
亍
↑
顺序主子式Δ ≡ 2,△2=6,`T∷
?-字个T∶
09而
【例 6.14】  已知A是 m阶对称矩眸,证明矩阵A正定的充分必要条件
是存在可逆矩阵C使 A=c’Tα      ∷
那么存在1标变霎扌=:∶￡￡
是正
产绠吁:叩干终犁Il饣 晕∵平产干
次犁,
:TAjr=yTA,,=d1'+J2弱 +¨ +喊 丿钅
则有f拙 =/匆 =z:+z:+⋯ +z;   ∷Ⅱ△∷
由 于 研 AC1=^,σ AC2=E   |  .
得 A=“ 玎 )1AC了1=“
玎)T1-σ 四 2σ!— s盅
1)T(0σ 1)
若记 C=Czσ 1,贝
刂C可逆 ,且 A=CTG
:△Ⅱ
沥
∷∴
·
·沉
 
 ∷〓
≡⒈.
 
 
艹
 ∷
∵〓
≡ 
 
’其中∷
丿
≡ ∷〓 
 
 叱 
~
∷
忱∷∴
 舭
 
 ·
·’
2
,
.
〓
而
饧
∷
搦
冖
~
_
_
_
∷
〓
〓
0
 
 
z
 
 
 
z
 
 
 
 
 
 
z
抄
由
ˉ
 
 
 
 
 
 
 
.
^
·
∷
其
 
 
 
 
∵
一炉
c 174 σ
第 六章 : ∷
=次
型
日
 
·
充分性  如果 A=CTC;其 中 C可逆.那么   ∷ ∷
AT=(CTC)T=CT(CT)T=CTC=A∷ ∷
所以A是对称矩阵∷  ∷∵     ∷∶∷ ∷∷∶ ∷
V男 ≠ 0,由 于 C可逆 ,知 α ≠ 0,于是
irT拙 =fCTa=(a)T(a)=Hα H2>0
从而 jFTAir是 正定二次型,即 A是正定矩阵。  ∵ Ⅱ∵∷
F例
6.15】  已知矩阵 A是 刀阶正定矩阵 ,证明41晕正衣矩阵∷ ∷
【证明】 因为 A正定 ,所 以AT=A,那么      : ∷
(Aˉ )T=(AT)∵ 丁∷4△       △.
于是 A1是对称矩阵P  I        .∷
关于正定性的证明可以有多种思路⒊∷   ∷ ∵∴
(方法D用特征值设矩阵A1的特征值是扎,λ∶,¨ -λ饣,刀阝么矩阵A的
毓 雠 寺谤尸
诗油宁斑 定
尸尹笮t叶 |叩 {T:f∵∵0从
可绠阵41的节年倬、-o厂 192,∵ 呷)全大T∶ρ。困哔矩野4∵ 平牢∷
(方涔2)∷甲亨E拿卩因为笮阵厶王定,故仔枣可逆矩阵￠俾CTAc丁 刀,
尹阝么两边取逆 ,得至刂   ∷
,∷
i     ∵∷∶
(cTAg)∵
丁
g∵Aˉ (￠
冫T1丁,σ⒈Aˉ (σ
∶)l亍 卩 ∷
若记卩=(σ l冫
F∷ 9贝刂F可逆具PT≡ t1?于晕∷∷∷   ∶∷ =  ∷
PTA=?F刀  ∷  ∷  ∷ ∷∶∷
所以A1与 E合同,故 A1正定。
il龠l窍奢呼∷肀申为Ⅱ 秒
'|∷
肀逗:屮∷挈Ⅲ
∷ ∷ |    xTA∵ r=(匆 )T4丿 ◇” )=’ FA「丿亍 .丿FAJ,|   ∷ |
由于
^可
逆,那么 V:≠ 0,恒有 y≠ 0,又 因A正定,那么有 /AJ,)Q,故
VF≠∷0恒有 :Frl石 》 o,所 以A1正定.∵ ∷ ∷ˉ∴∷∷∶ ∷∷Ⅱ
(方法4)用 与已知的正定矩阵合同因为A正定 ,那么A对称且可逆,于是
ATAˉ1A=A      
∷∵∵∷
.∷ ∷|  |
所以 Aˉ 与 A合同,即 二次型 /A^1艿 与 yT拙 合伺。它们有拇同的正、负惯
性指数。由/拙 是正定二次型 ,故 ∷JTA∵ 艹正定 ,即 Aˉ 正定: Ⅱ ∶
【例 6.16】  已知 A与 A— E均是″阶正定矩阵,证明刀ˉ A丿 是正定
矩阵.               ∵∷ ∶  ∶∷∴ ∷ Ⅱ
【证1 -特ˉ
征值法  ∷    ∷      ∷ ∷ ∷ Ⅰ ∷∷
· 175 ·
扌习扎亿 :
线性代数辅导讲义
营习扎亿 |
(D由 于 (E— A1)T÷ ET△ (A÷ l∷)T— E~(AT)Tl÷ E一 ATl,知 矩 阵
E— A1是对称矩阵。∶ I ∷ ∷   ∷   ∷∷
(2)设 λ是矩阵A的特征值 ,那 么A-E的 特征值是
`△
1,E△ AⅠ:的
懒难是∵+∷ ∷ ∶∷∷∷∷∷
∵
∷∷
∷∷
由 A,A— E正定 ,知
^)0,λ
∷△ 1∷ ≥
0Ⅱ 故 E△ ATl∶ 的特征值
∵
》∷0∶
所以矩阵刀△
4ˉ 正定.   △  ∷ .∶∷∶∷ Ⅱ∷ ∵ =Ⅱ ∷
【例 6∶ 17i (1999。 β)诙讧∷为钐×0实矩阵,^汐 饣∷阶单位矩阵9弓 知婵
阵 B△ 加 十AT^,坡证 :当
^》
0莳 |矩阵￡为正定短阵.∷ ∶,
【证法 1】  定义法   ∵ ∷Ⅱ∶ ∷∴∶ ∷∷_I∷ ∷∷ ∷∷
(1)因 为 BT L· (丿旧 +^TA)T=(加 E)T+(4tA)T≡ 油 +AT(AT)i=
B,所以
·
B嘉访∷阶卖对称矩阵: ∷ ∷ ∵∴∴∶ ∴∷∷  ∷  ∷∴
(2)构造二次型 lrTBlr,有 ∷ ∵    ∷j Ⅱ∵∵    ∷
艿TBir=yT QE+ATA)艿    ∷   .
=alrTy+艿
TATAy=^yT艿
+(Air)T(Air)∷
  j   ∷
因 为 V‘ ≠ 0。 恒 有 irT y>0,CAjr)T(Air9》 o∷  ∷  ∷ 
∷ ∷∷
∷∶所以,当△》0时 ;V女 ≠⒍,恒有Ⅱ ∷ ∵∷ ∷∵∶∷ ∶ ∴∷
∷   ∷∷  亻助∷丁0∷Ir+(屮 );(拙 )∵≥0  ∷
∷
|∵ ∶∷
帜
甯产磊糈昏蕊骶 ,菠,铆眸⒈,缶庄恃症楂。
是相应曲锫钲尚堇浊F讧
iAc≡ 加,j去 j∶角∷j· 左兼上式莳两龋僖,∷
(Ac)T(Ac)=〃 αT⒉  ∷
∷∷∵∶∷∷ ∷
由 α≠ J,必肴 α
T汪
>∷o,tAc)T(Ac’ 》 0,嵌 o亠 0∶
∴
因为 B=洇 +ATA的 恃征值 毫 λ+应 ,苛苋 当 9亠 。时宓宥
^+0亠
⒍,
即B的特征值全大于 0.所 以B是正定矩阵。
耀
【例 6.18】 ∵诙⒕是方阶芷定矩阵,B是 访阶反对称矩阵,证明矩阵A— B2
可逆。 ∶∵∷∷∵∷I∷ ∶∶∷ ∷∷   ¨    ∷ ∶∷∶∷ ∷
【证】 因为 A是正定矩 阵 ,知 A↑ =A,j是 反对称矩眸 BT亠 =B∶ 于是
∷∷ (厶 △ j2疒 ≡ (厶+B。j)T二 么T∷艹 (0T卩》
·∴△姓∵+B卩卩
:=A亠 :B2
即 A— B2是对称矩阵。 ∷  ∷ ∷礻
Ⅱ ∵
构造二次型∷iT(厶 △∷j2):,有  Ⅱ   ∴  Ⅱ ∷ | · |∷ ∷
rT(A⊥ B孓)r亠 iT(盐 +BTB)y≡ ∷艿勹 ⒒ ∷+(jh)TCh)|  ∶∶ ∷ ∷∶ ∷
因 Ⅱ∶V女 ≠ 0∫恒有△TAJ>0,【Bir)F(h∶)≥ 0∷ ∷ ∷    ∷ |
即 V艿 ≠ 0,恒有 irT(A— B2)艿 )0,              ⅡⅡ
所以 f(A⊥ 〃 )y是正定二次型 ,那么 |A— B2|>0,矩 阵A△〃∶可逆。
· 176 ·
冖 f`△廿Ⅱ̄o∵~∴ ∷̄∵
=
男盼谮邬廖巽鎏骅
【例 6.19】  已知A是 m阶正定矩阵,m维非零列蹴 l磁擀:· 勤醪潜恩
c阳。
'≡
0(氵 莪 布犭,轳 l△ 里ja神 灬 ).,诅瑚 叼 f,cz夭梦,σ菝镧蝼呒 綦 艹 戎罢
夺⒒兵巫爿畲潋吵l仰,+饧孕扌肀 |年羚谐函锋舞靼|:∶ ∴ 一I-|笋 Ⅱ弘 :△ (1)
尸
'F直
在琴
(1)式 ,有      ∴t jⅡ》萦∷Ⅱ簿f瘥 1我 攵ir.△森
尼1ε冫姒1+‰峦FAc2七 ∷
·+尼 s四 FAc∶ =0      (2)
因为 σ阳 △ =0 (0≠ 艹时 )犭【2)未为 夂
孱1σFAJ1△ 0
因为A正定,cl≠ 0,有 jFAc1>0。 故必有屁1≡ 0.同
(3)
噪羿嘎缍乓q贤
衤△|j砷 ∴.△ △
=|拧
△琅Ⅱ ij o:∷、←
顶哆H薰濑 篷蓁Ι纛垂h蕾丰.诋
∷,罩缨 鼷 齐:盔 变 :|∵ .Ⅱ ⅡΙ
冬斡Ⅱ∴Ι∷“
=△
扌 1艹 艹i辟癖o菠未 :
猢滴 呼正 畴加 铽 ∷擢 摁 鞣 鼷
囟为秩冫(A)='(焉∫脐苡F乌艹鲧侪。Ⅱ ,∵
囟为
^与
B特征值不葙尚,缶泌i,j味箱顽:
茵为 ,·
T厶 |彳i拓台与Ⅱ厶 三
以A与 卩合同。∶或葺接珏
∵
 ∷
。 ∶∷
冉鬼擎森Ⅰ锤∵垄
⋯
9屁 s÷ 0,因哔向量组 汪
铬卿 饣扭争簦烽嘱举、△ 珉
∶̂|) |∶
 ∷
i郇轴迸卜矩搏茔戽阝 |∶ ]甚
: I厶宓禽郾̈这是因W膂掣甚勰鹦荜尝雹嚆笺害栓毒∶,裂狰)
当然 ,更苛以直鐾盍蝌 、渝卢B1c瞄丘、负惯性憎聃 来谖″ 与
j
不合同。
【例 6.22】  判断            ∷
〗
丶7
0
ο
0
w
冖
卩
l
^
l
ο
l
h
四
 
.
〓B
△
l
l
l
︱
丨
」
μ
h
r
h〓Α
营习札亿 : ∶△艹 争亭
线性代数辅蟛讲议
是杳等价 (相似、合闹 j∵ Ⅱ∵△△·∷Ⅱ∴ ∶∷ ∷,∷ ∷-∴ ∵ Ⅱ ∷ ∶∷∶
【分析1∶ △囟:为秩:【A)丰 ⒈
'《
j)∶ =△ ,所以A与召:等价。∷ ∷ ∵ i
∷
由 |屈 一A|=λ 3~SR2,知矩阵盎的特征值是 j,0,σ,又囱A是实对称
∷ ∷
Ⅱ|「Ⅱ∷l∷
郎￡与jⅡ柑祆∷¨ ∷ Ⅱ∶∴ ∴=Ⅱ
实对称矩阵 A~B◇ A与 扌肴相河的特征值
◇rTAjr与 yTBit有相同的正、负惯性指数
所啉题A与 j庙砍舄:蕲身艮∷△Ⅱ∷
'
· 178 ·
扌习扎亿 : ∷ ∷i∷
△ :|0△
=∷
∷̄∷∴
i|∴∷产,艹∷↑△∷ⅢI∴ :△
°̄∷△∷∵ ïˉ |  ̄:_ˉ  ̄^ˉ ∷̄¨̈∷ ∷∷   =ˉ I∶ ∷ △̄ △ ∷·̄ˉ“∶ △ ∷ Ⅱ△  =̄¨
·  '∵ ∷∷ˉ ∷̈ △∷丿  ∵  ∷ ·∵  ̈ △ ∷̈ 0̈冖
熠黉蟠鼙熔△澳翌
∶ ∷·|=
∴—:灬 Ι
△∷—|Ι|∴∶
艹 i|∶ ˉ 辶
1.填空题
^’
=Ⅱ
0●
`
tt l:.`:△ 艹
曹Ⅲ域
=iⅡ
|∴
存祆六 革ⅡⅢ
(D二次型灭￡1,砀 ,确 )=彳 —3弼 th1砀 +‰1奶 一G=z砘 的秩 KD=
2,选择题     艹i∴·Ⅱ
=f/∶
∴∷ ∵∷∷÷
·。△
=Ⅱ
lΙ
`
Ⅱ俪二
1÷ 】oⅡ笮呀If∵∶;y∶Ⅰ
_|「茹礻∷
=砂
『刂Ι∶三Y∶亠
∶∶〗1|∶|∶ ]∶ ∶j:0∶[∶ 0∶:廴:l∶ :∶ ∶:|甲
(2)厮
     ∵Ⅰ∶∷艹空
灬;ˉ∶j∷ 量
∷
∶iW-0∶∶
|:  ∶
∷
∶∶;∶ ii∶;∶ i∶
⊥。廴蟊霰:∵∷∶∶∶∴Ⅰ∶∶∶∶∶妊≡
=卢
二:∶·￡
(D已知二次型                  少 :亻ⅡJ∴
。 Lz9 ·
扌力札馅 : ∶
^扌
啦:
线性代数辅导磷蚁
营习札亿 : ∶Ⅱ ∷Ⅱ氵
的秩
窍f螽渭厂黠黯绺豁鼾 叩睿祟阵。
(3)A为 刀阶实对称矩阵且 |A|(0,证 明存在 饣维列向量 IrO,使得     ¨
砑Ajr° (0.
∶答案与提示 :         ∷
Ⅱ ∷∶∷∷ }Ⅱ  ∶   ;- ∵  j∷、I  .∵         ˉ
l∶ 1||∴ ∴  ∶ ∷∵  i∷ ∷  ∷  ∷∷ ∷∶∶  ∷ `∶ ∷I∷ ∵∶ ,∷       ∶
1.(1)2  (2)γ :+γ:— “   (3)彦 ∷)2 ∷ (4)尼 >o
【提示】 (D:二次型晦茯也∷就是二次型矩阵的秩Ⅱ  9Ⅱ ∷       ∷
(2)求二次型矩阵A的特征值 ,可知正、负惯性指|数 ,即 可知规范形.   `
蜘鹦吒:飞北咖肜 ¨
(3)用顺序主子式
(4)用特征值   Ⅱ△∷∷∷∷ Ⅱ∷ ˉ -  0∵ |Ⅱ ∷ Ⅱ∫
2.(1)(B)     (2)(D)   (3)(C)    .                        ~
【提示】 (D求 出A的特征值来看正、负惯性指数 ,用配方法也可。
(2)化二次型为标准形即可用正交变换法也可用配方法 ,所 |用坐标变
换不同,标准形也可以不同,敬 (A)、 (C)均不正确.∴
化二次型为规范形一般用配方法 ,或者先正交变换法化为标准形后再
用配方法化为规范形,方法不同所用坐标变换也就可不同,故 (B)不正确。   ∶
规范形实际上由二次型的正、负惯性指数所确定 ,而正负惯性指数在
坐标变换下是不变的躜 险定理∷6=逛),故仅(D正确∷
ˉI ∷∵∴∷
(3× A)是充分条猞 ,并不必要:捆为j提芷交矩阵 ,剪阝么 ∷ .
∶∷ Fl暌△̄ ∷pTAP∷亠∵E,△ ⒈ Ⅱ∵ I∷ ∷∶
表明A的特征值全是 1,所以A正定∷但 ￡狂定时特征值可以不全是 1。
∶ (B)是必要条件 ,并不充分 ,因 为iTAltⅡ芷定的菟要条擗是9≡ 饣.显然
有 g=0,但 日=0不能保
∷
证必有|'∷△|庞:例如∷ ∶∷ ∷∷ ∵∶∵ Ⅱ
∫(￡1,￡ 2,△ 3)△氵Ξ争+Bi唇 ,|∷∵∵ ∷ ∶   ̄             、
夕=2,g=0,并不是 3元正定二次型。
=∵
i,Ⅱ Ⅱ∴∴∷∵∷
(D)中矩阵 C是否可逆不明确 ,若 C不可逆则△Ⅱ Ⅱi∶ |∵        、
∶  ∶       |A|=|∷ CTε }△ 卜C巳,△ σⅡ∷|∷ ∷.
矩阵A不可能正定。      ,
关于(C)的直接证明 :若 A与 E合同,即对二次型′拙 森 立冻变换   .
J=o,使               △∴ ∷ⅡⅡ’
· 180 。
∫第 :六嫦酎兮二次型
:勹k=y勹” =y:+γ台+⋯ +y;
那么,V艿 ≠ 0,由 C可逆,知 男=o中 必有 y≠ 0因此,恒有 lrTAF
孑曳遮1T盅钰斟i冫 率f∵
=∷
 亠
o
`
 
 
 
 
 
 
●〓
 
 
 
 
·
〓 
 
 
>
反之 ,若经坐标变换 ェ=Cy化二次型为标准形
∫=d1彳 +da雎 +|:· +吨y钅
如果 dm≤ 0,那么取 yO=EO,0,⋯ ,0,1]T,有 玩 =CyO≠ 0,而
ⅡⅡⅡ Ⅱ J孑狃 Θ丁 d彳 ≤ Q∶
∷∴ ∷∷∴|ˉ Ⅱ :
与 irTAir正定相矛盾。故必有 J氵 》.0《讠每 ‘2,Ⅲ∷,m):肀是再经坐标变换
初=而1均 」Ⅱ 2ⅡⅡ汪|扭f∵∷
有 F=lrTAir=z寻 +z:+∵ +z亏 ∷∴∵ i ∴Ⅱ∵Ⅱ∶
3.(DC=2                ∶∷∷∷ . ∷
经坐标变换 y=0化 r为规范形
∫~∴ ∫t∶茹十碜tⅡ 十磁丁’纡1⊥ ·∴工
:冫
;∷ ∴∴t
r不正定,p<饣  又r(A)=m∷ Ⅱ。 g~Ⅱ_p>0)
=EO,0,··,0,1彐
T,有 ∫(y° )=亠 i(0      ∷
jrO=Cy° ≠ 0,而
r不正J
 
 
∷
~
~
F
 
〓
型次二即
 
∷
饣
〓
 ∷●
_
~
 
 
 
∷
Α
 
 
〓
<
〓
△
知0<Α油
〓
D
ω
由
(
∷
理
∷
定
|  
ˉ
∷    ==  ∷
(、
取 灿
那么
:FAirO=yFCT胎戏
即有 :° ≠ 0而 艿F拙°<0。
亠:菇
灬。≡-1(0 :-∴ I∷
· 18I ·
甘习扎亿 :
线性代数辅爵讲义
附录 45分钟水平测试:,
∷ 自测 (一 卜
∷ ’       ∶
∶∴-△  ,  ∷J   ∷∷ ∷   ∶∷‘  ̄      ∷   ∶  ∵         ∵∷
1.刀 元方程 “1+2砀 +3△ 3∷+∴ +砑″≡ 1的通解是  。
∷ ∶⒊ 已:知 |众 tB均 饣阶矩阵 ,满足 AB△ 直+B,则 :∵ ∷ ∶Ⅱ i∷ ∶     1
(D如果 A可逆 ,则 A+B必 可逆
(2)如果直岢逆:疝 AB‘宓苛逆   ∷  ∵             】
(3)矩阵 A— E一定可逆         ¨     ∶
中 ,正确的共有                     ¨  ∶      ·
(A)0个   (B)1个  (C)2个  (D)3个 ∷     E ]
3.设 cI,α 2,α 3,σ4是 3维 向量 ,则 正确命题是  -
(A)如果 cl,σ2线性相关 ,α3,ai线 性相关 ,则 cl+c3,c2+弘 线性相   `
5.已 知A是 m阶正交矩阵 ,A关 是 A的伴随矩阵 ,证 明
∷
^关
是正交矩阵 .
自测 (二
)
彐
 
求
ε̄
匦
仇
 
~
阵
咖泖咖
 ·知矩
(
(
(
 
 
 
4
关
〓∷〓
∵〓∷
 ∷一·’2
,
2
㈠
·̈若
←
2
·已
忡
3
·矩
m
〓 
1
 
 
 
 
 
 
 
Α
一 
_
 
 
 
 
 
 
+
A∞ 。
。 182 ·
菅习扎亿 :
附录 ●奶:分钟水平测试
营习扎亿 :
1,2,3,4),V cl(J=〓∷砒制
〓螂〓
蹈 
 
 
 
 
 
臼
 一
冂
Γh
卩
h
卩
匚
阳
 
 
 
旧
 
.
~
一 
 
 
 
沅
`
·
臼
 
m
C
已
当
设
‰
⒋
 
 
 
 
 
 
 
⒌
 
并
⒍
<
有
 
 
∷ 
 
 
值
'
屁
总
 
 
 
 
 
 
的
∷
 
〓
其
o
,
〓
 
 
 
Α
 
 
 
一 
 
 
 
矩
〓 
 
 
 
 
 
 
 
矩
E
 肫∷
∷
〓巾∷
噼峤∷喇〓
撖∷
,
σ4
线泓
「̄·槐扩
 骊
〓
∷
L
的
 
 
 
6
]
 
逆
L
棚
 
一
E
剌
∷
⒋
隈
〓
⑷
 丶
⒌
∷咿
⒍
 
。
C
· 183 ·
线性代数辅导讲义
营习扎亿 :
参考答案与提示
∷ⅡⅡ|ˉ t1 Ⅱ∷∷(^) ∶Ⅱˉ̄∴.亠 ∴∷∵Ⅱ ∶ 
¨
∷
i宀、|∷.油冖|试r1∶ i,⒐ 刖̈·巍山Ⅱ∵Ⅰ∴亦 +∴亠
弘‰靡辘盂嘁赢疵法直:淼瀛赢∷。∷ .
Ⅱ -廴咒 ⒎4寸刀礻∷￠玎饨0亠0孝 i_o"∷Ⅱ—∴i亠l亠 0⊥讠
可逆 ◇ AB可逆 → A+B可 逆    ∷∴ ∴. ∶∷∴ Ⅱ Ⅱ∴ Ⅱ — ∷
由 AB=A+B=>AB— A— B+E=E→ (A— E× B— E)=E。
3.(C)
+叱鲜￡。亏f廴;r⒊篷T2:1呢呈羞滚 ℃lf搌。
=DJ剧’则m
对于(B),考察向量组E1,0,0彐 ,EO,1,0],EO,0,1],
F吾∷∶|昔Ⅱ÷莹lⅡ∵∷∷
Ⅱ
∶
∷
l∷∷∶∵∴∴∶∴∵∶∵∶
=∴至于(C),因 为4个 3维 向量必线性糨柒-如若σ迂∷伪
"艹
绋性苒关 ,则 m
必可由c,,o2,ε3线性表出,现 σ衽不能被线性表出,故 cl,σ 2,α3必线性相
关.|∷—∶人j∶ ·
` |∷
 Ⅱ ∴̄Ⅱ∷戋:∷∵∷∷ |    ∴|∷
关于(D),请思考 cl=E1,0,0],饧 =E2,0,0彐 丿c3△ 匚0,1,0彐。
::了∷T÷夷噪茧0∶卜0∶}狞l|∶
∷
J}∷
由{泅|△
^阡
·(^.-3冫 舡∵+1)2知
^=△
1i必有两个线性无关的特征向
量,故秩:'∈胡 T够)⒎廴,得 也̄ 6·
^△
3特征向量 cl=匚 1,2,1彐
T,
∷丨汀茕△⒈特征向垦σ2音 [0扌1,明Ⅰ,c3÷ 哐1,o;△β]△ |IⅡ I .
A10=PA∞ 「1,P=Eσ
1,σ2,ε3].     ∷∷∷
5.用 定 义 法 证 A艹 (A{)T=E,注 意 AAT=E川 A2|=1,A关 A=|A|E等
的运∷用。∴ ∷∶ ∵  ∷  ⅡⅡ∷ -   ∴ ∷∴∷ ∶   ∷  ∷∴∶
(二 )
【注意, 尸 =α
∴
⒈
如
 
 
 
⒉
啊
⒈
∷
 
〓
∷
〓螂宀〓一〓
· 1泓 ·
附录 ~晦 分钟恭平
·
ml试
毋习扎亿 :
法
 
 
 
和
的
 
 
 
 
伸
Ⅱ|
心
一
i
∷
△
·
称
△
对
∷
实
p
-1
是
A
忄
△
由
〓
再
∵
△
`
钎
P
"
Ι
厣
宀̄̀
1
J
毋
”
.
=B
o
0
— 1(″ 一 屁个 )。
(三三)
◇
'(B+E)=屁
—
1
◇ A~
◇ A+E
可确定 A
卩
︱
︱
︱
丨
︱L
淤
一~
 
 
 
 
K
Ε
 
 
 
值
+
 
 
 
征
B
 
 
 
特
~
 
 
 
的
解的
r
 
 
’
ο冫
▲筏
盯
抵
r
搬
盱'
￠
猊
卜
蜓
〓l
卜
+
· 茔85 ·
3.(A)
线褴代数辅导淋义
^∷
曹叼扎亿 : 小:i r(臼1,臼2,¨
·
,臼“)≤≤r(臼1;Ⅱ
·丿0‘ ,卩1,△ |,卩「1)
4.(D。
Ⅱ̄{}Ⅱfc91∷肀’∷
’
I】丨≤
sTlI f ⅡⅡ∷、Ⅱ卜∵Ⅱ
A的特征值 0,1,2→
'n0特
征值 0,△4ˉ As的特征值 0,1,8◇ B的特
征值:∷ Iˉ| 乓
`∷
`iI 
∷̂⋯ ·
虍∷
-∷
0∶ | ∷∵|Ⅱ |  ,Ⅱ Ⅱ
|’
∶
P应按特征值是 0,5,5的 顺序排列特征向量,      扌 I∶i
.|Ⅱ I∶扩。,}」盅捃0亠
1      1     3
i四ⅠIf∶ ∷̀历∴
'∷ l  ∷:1=∷ ∷⒔∵∷
π̌ ∴伍 ∷历
∷iⅡ
∴Ⅱ∶i′ ∷{{i)辶i
(2)r不是正定二次型。
’
∷∷∶ ∶∶  ;̄Ⅱ
`∶
|奎
先写出二次型矩阵 A,再求 A的特征值|埯特征澍蜃 ,不要忘记sφmidt
正交化.                   i— |Ⅱ 弘
`艹因为特征值不是全大于 0,即 正惯性指数小于 ″,所以 ∫不是正定二次
型。             ∷          ∷ ∶
Ⅱ|∷
∴△|l=∴ 啻
△Ⅱ 艹·
=· 裟纟∷
`
 
 
月
〓
ˉ
 
丬
△
1
丬
丬
 
1
J
△
1
l
L
咱
犭
确
儡
嘎
瑙
衩
盱
耗
￥
· 186 。