概要信息：

目　录
课程介绍 （１）
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第一章　绪论 （３）
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第二章　流体静力学 （８）
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第三章　一元流体动力学基础 （１７）
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第四章　流动阻力和能量损失 （３１）
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第五章　孔口管嘴管路流动 （４１）
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第六章　气体射流 （５０）
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第七章　不可压缩流体动力学基础 （５３）
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第八章　绕流运动 （６４）
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第九章　一元气体动力学基础 （７５）
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第十章　相似原理和因次分析 （７９）
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课程介绍
一、教材版本说明
龙天渝，蔡增基，《流体力学》，中国建筑工业出版社，２０１０年。
二、考情分析及命题规律总结
１．试题构成与特点
试题一般分为填空、判断题、选择题、名词解释、问答、计算题几大部分，试卷总分１５０分。试题难
度适中，难题、偏题较少。
２．教材基本内容与考题权重分析
全书包括静力学，动力学基础，流动阻力和能量损失，孔口管嘴管路流动，不可压缩流体动力学基
础，相似性原理和因次分析，气体射流，绕流运动，一元气体动力学基础。在试卷中，各章节中基本概
念、名词解释和基本理论的理解以名词解释和简答形式考查，占２０－３０分左右。计算题占的比重非
常大，而且很多情况下需要将这门课程的需要对这门课程中的基础理论理解深刻。教材静力学，动力
学基础这两章内容较多，并且重点比较突出，是全书的重点，希望考生加以注意。为此，需要考生依次
掌握好各章节重点难点。
３．命题规律总结及命题趋势分析
本门专业课严格按照考研大纲出题，考察重点较为突出，题量和难度适中，怪题、偏题较少。预测
今后几年的出题趋势，应当会较为稳定，与前几年变化不大，新题型很可能就是某些学校将某一个生
产实际情况让考生用学过的某一理论加以解释。
三、备考与应试策略
关于备战复习，要做到“三要三忌”：要抓基础、要注重理解基本原理和方法、要勤于思考和总结；
—１—
《流体力学》考点精讲及复习思路
忌死记硬背、忌眼高手低、忌主次不分明。在复习中要注意对基本概念、原理的几何意义、物理意义和
数学表达这三方面的重点掌握。
复习过程中①注意透彻理解基本概念、掌握基本原理、灵活运用各种分析方法；②注意拓展思维，
充分发挥联想，深刻体会各章节之间的联系。③动手做题，在练习中领悟知识点、考点以及出题规律
之间的关系。重视真题，透彻分析，全面提高分析问题解决问题的能力。④重视理论与实际结合的
题型。
四、要点精讲及复习思路
本阶段我们结构设置如下：
１．本章考情分析：在每章开篇，本章所需掌握的内容有个大概了解，以及本章的常考题型、分值、
重要性、重难点等等。
２．本章基本内容：在每章开篇，介绍本章的基本内容，了解考点重要程度以及考点之间的联系。
３．本章要点精讲：提炼本门课程中的考点和重难点，原则上覆盖考试大纲内容。讲解过程中着重
对复习思路进行引导和强调。
４．本章名校经典试题回顾。
—２—
第一章　绪论
１　本章考情分析
本章主要介绍了流体力学中的最基本概念和流体的主要力学性质，考试中主要在名词解释、简答
以及小计算题涉及，相对来说属于基础题，但切不可掉以轻心，本章是理解全书的基础。在试卷后五
道计算大题中，本章的内容虽不会直接予以考察，但对于理解题目、分析和计算中占有举足轻重的地
位，所以这一章显得尤为关键。
２．本章框架结构
本章首先介绍了流体的概念，然后介绍了流体的主要力学性质，继而按照流体上力的作用方式分
析了作用在流体上的力。最后阐述了力学模型及三大假设。
３．［考点精讲］
考点一　流体的概念
（１）流体
流体指可以流动的物质，包括气体和液体。
特点（与固体比较）：流体分子间引力较小，分子运动剧烈，分子排列松散，流体不能保持一定的形
状，具有较大的流动性。
（２）气体和液体差别：
一是气体具有很大的压缩性，液体压缩性非常小；
二是气体将充满整个容器，而液体则有可能存在自由液面。
（３）流体的分类：
一、按流体作用力的角度分类：
流体静力学、流体运动学、流体动力学
二、按力学模型分类：
理想流体动力学、
粘性流体动力学、
非牛顿流体力学、
可压缩流体动力学、不可压缩流体动力学
（４）牛顿流体与非牛顿流体
符合牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体，牛顿流体受力后极易变形，是切应力与变形率成正比
的低粘性流体。凡不同于牛顿流体的流体都称为非牛顿流体。
—３—
《流体力学》考点精讲及复习思路
常见的牛顿流体：空气，水，酒精，特定温度下的石油等；
常见的非牛顿流体：聚合物溶液，原油，血液等。
（５）实际流体和理想流体
实际流体：粘度不为０的流体称为实际流体或粘性流体。
理想流体：粘性为０的流体称为理想流体或无粘流体。
（６）不可压缩流体：
不可压缩流体是指每个质点在运动全过程中密度不变的流体，对于均值的不可压缩流体，密度是
是处处都不变化，即ρ＝常数。
液体分子距很难缩小，而可以认为液体具有一定的体积，因此通常称为不可压缩流体
考点二　连续介质假设
（１）连续介质假设定义
这一假设认为流体质点（微观上充分大，宏观上充分小的分子团）连续的充满了流体所在的整个
空间，流体所具有的的宏观物理量（如质量、速度、压力、温度等）满足一切应该遵循的物理定律及物理
性质，例如质量守恒定律，牛顿运动定律、能量守恒定律、热力学定律以及扩散、粘性及热传导等输运
性质。
引入连续介质假设的意义：
有了连续介质假设，就可以把一个本来是大量的离散分子或原子的运动问题近似为连续充满整
个空间的流体质点的运动问题。而且每个空间点和每个时刻都有了确定的物理量，他们都是空间坐
标和时间的连续函数，从而可以利用数学分析中的连续函数的理论分析流体的流动。
（２）流体质点
它是微观上充分大、宏观上充分小的分子团，它完全充满所占空间，没有空隙存在。
（３）流体质点、流体微团区别：
流体质点是指微观上充分大，宏观上充分小，不具有变形和旋转等线性尺度效应的分子团。流体
微团是由大量流体质点组成的，但具有线性尺度和效应的微小流体团。
考点三　流体的主要力学性质
（１）密度
定义：单位体积流体所具有的质量称为密度，以ρ表示。
对于均质流体，如其体积为Ｖ，质量为ｍ，则ρ＝ｍＶ　单位ｋｇ／ｍ
３；
对于非均质流体，某一点的密度可表示为ρ＝ｌｉｍ
ΔＶ→０
Δｍ
ΔＶ
＝ｄｍｄｖ
此时密度是空间位置坐标和时间的函数。
（２）相对密度
液体的相对密度
液体的相对密度是指其密度与标准大气压下４℃纯水的密度的比值，用δ表示，即δ＝ ρρ水
—４—
注意：一物理量的数值大小受单位选取的限制，而相对密度为以无量纲量，不受单位的限制。
气体的相对密度
气体的相对密度是指气体密度与特定温度和压力下氢气或者空气的密度的比值。
［典型例题］　５００ｃｍ３的某种液体，在天平上称得其质量为０．４５ｋｇ，试求其密度和相对密度。
解　 液体的密度ρ＝ｍＶ ＝
０．４５３
５×１０－４
＝０．９０６×１０３
相对密度δ＝ ρρ水
＝０．９０６×１０
３
１．０×１０３
＝０．９０６
（３）重度
流体单位体积内所具有的重量称为重度，或称为容重、重率，以γ表示，单位为Ｎ／ｍ３。
对于均质流体，设其体积为Ｖ，重量为Ｇ，则γ＝ＧＶ
对于非均质流体，根据连续介质假设，则γ＝ｌｉｍ
ΔＶ→０
ΔＧ
ΔＶ
＝ｄＧｄＶ
根据牛顿第二定律可知，质量和重量的关系为Ｇ＝Ｍｇ
对此式两边同除体积Ｖ后，则γ＝ρ·ｇ
式中重力加速度ｇ取９．８０ｍ／ｓ２
（４）压缩性
流体的压缩性是指在温度不变的条件下，流体的体积会随着压力的变化而变化的性质。压缩性
的大小用体积压缩系数βｐ表示，是指温度不变时压强增加一个单位所引起的流体体积相对缩小量，即
βｐ ＝－
１
Ｖ
ｄＶ
ｄｐ
体积压缩系数的物理意义：在一定温度下，变化单位压力所引起的体积相对变化率。
体积压缩系数的倒数称为体积弹性系数，用Ｅ表示，单位为Ｐａ。
［典型例题］　体积为５ｍ３的水，在温度不变的条件下，当压强从９８０００Ｐａ增加到４．９×１０５Ｐａ时，
体积减小１Ｌ。求水的压缩系数和弹性系数。
解　 由压缩系数公式
βｐ ＝－
１
Ｖ
ｄＶ
ｄｐ＝
０．００１
５×（４．９×１０５－９８００）
＝５．１×１０－１０（Ｐａ－１）
Ｅ＝１
βｐ
＝ １
５．１×１０－１０
＝１．９６×１０９（Ｐａ）
（５）膨胀性
流体的膨胀性是指在压力不变的条件下，流体的体积会随着温度的变化而变化的性质，其大小用
体积膨胀系数βｔ表示，是指压强不变时温度增加一个单位所引起的流体体积相对增大量，即βｔ＝
１
Ｖ
ｄＶ
ｄｔ
体积膨胀系数的物理意义：在一定压力下，单位温度变化所引起的体积相对变化率。
（６）粘性
—５—
《流体力学》考点精讲及复习思路
流体所具有的阻碍流体流动，即阻碍流体质点间相对运动的性质称为粘滞性，简称粘性。
液体与气体粘性的差别：
对液体来讲，粘性主要是由液体分子之间的引力引起的；对气体来讲，粘性石油气体分子的热运
动引起的。
（７）牛顿内摩擦定律
例题　１．流体动力粘度的单位是（　　 ）
Ａ．Ｐａ·ｓ　　　　　　　　 Ｂ．ｍ２／ｓ　　　　　　　　Ｃ．Ｎ／ｍ２　　　　　　　　Ｄ．Ｎ·ｓ
牛顿内摩擦定律数学表达式τ＝ＦＡ ＝μ
ｄｕ
ｄｙ
τ———作用在单位面积上粘性力称为粘性切应力，以τ表示，单位Ｐａ。
μ———由流体性质决定的物质常熟，称为粘滞系数或 动力粘度，简称
粘度，单位Ｎ·ｓ／ｍ２或Ｐａ·ｓ。
牛顿内摩擦定律的应用：　　　　　　　　　　 　
一是，流体的粘性切应力与压力关系不大，而取决于速度梯度的大小；
二是，牛顿内摩擦定律只适用于层流流动，不适用于紊流流动，紊流流动中
除了粘性切应力之外还存在更为复杂的紊流附加应力。
层流：层流是流体的一种流动状态。流体在管内流动时，其质点沿着与管轴平行的方向作平滑直
线运动。此种流动称为层流。流体的流速在管中心处最大，其近壁处最小。
紊流：指流体从一种稳定状态向另一种稳定状态变化过程中的一种无序状态，流体各质点不规则
地流动。
１－１某油的容重为 ８３３９Ｎ／ｍ３，其运动粘滞系数为 ３．３９×１０－６ｍ２／ｓ，试求该油的动力粘滞系数。
解　由油的密度定义，ρ＝γ／ｇ＝８３３９／９．８＝０．８５１×１０３ｋｇ／ｍ３
由油的粘滞系数定义，μ＝ρν＝０．８５１×１０３×３．３９×１０－６＝２．８８４×１０－３Ｎ· ｓ／ｍ２
［典型例题］　 如图，表示负载油面上的平板，其水平速度 ｕ＝１ｍ／ｓ，δ＝１０ｍｍ，油品的粘度 μ＝
０．９８０７Ｐａ·ｓ，求作用在平板单位面积上的阻力
解　根据牛顿内摩擦定律τ＝ＦＡ ＝μ
ｄｕ
ｄｙ
则　　τ＝μｕδ
＝０．９８０７× １
０．０１＝９８．０７（Ｎ／ｍ
２）　　
（８）动力粘度
牛顿内摩擦定律中的比例系数μ称为流体的动力粘度或粘度，它的大小可以反映流体粘性的大
小，其数值等于单位速度梯度引起的粘性切应力的大小。单位为Ｐａ·ｓ。
小结：气体（温度上升，μ升高）；液体（温度上升，μ下降）
（９）运动粘度
动力粘度与密度的比值称为运动粘度，用υ表示，单位ｍ２／ｓ，即υ＝μρ
流体粘度与压力和温度之间的关系：
—６—
流体的粘度与压力的关系不大，但与温度有密切的关系。流体的粘度随着温度的升高而减小，气
体的粘度随着温度的升高而增大。原因：液体的粘性表现为液体内部的摩擦力，气体的粘性表现为分
子间的相互作用力
（１０）表面张力
液体表面总是取收缩趋势，这种收缩趋势表明，液体表面各部分之间存在相互作用的拉力，液体
表面单位长度上的这种拉力就称为表面张力，以σ表示，单位为Ｎ／ｍ。
考点四　作用在流体上的力
（１）质量力
质量力作用在每一个流体质点上，其大小与流体质量成正比，合力作用线通过质量中心。即 ｆ＝
ｌｉｍ
ΔＶ→０
Ｆ
ｍ
单位质量力：Ｘ＝ｌｉｍ
Δｍ→０
ΔＦｘ
Δｍ
， Ｙ＝ｌｉｍ
Δｍ→０
ΔＦｙ
Δｍ
， Ｚ＝ｌｉｍ
Δｍ→０
ΔＦｚ
Δｍ
质量力不是因为流体与其他物体接触而产生的力，属于非接触力。
（２）表面力
表面力作用于所研究的流体的表面上，并与作用面的面积成正比。即
ｐｎ ＝ｌｉｍ
ΔＶ→０
ΔＦ
ΔＡ
表面力是由和流体相接触的其他流体或物体作用在分界面上的力，属于接触力。
考点五　三大假设
连续介质，无黏性，不可压缩。
４．本章历年经典试题回顾
（重庆大学，２０１１，一，１，，２分）水的黏度随温度的升高而 。
（河北工业大，２０１２，一，１，４分）简要回答：流体的连续介质模型。
（江苏大学，２０１２，一，１，７分）名词解释：可压缩流体与不可压缩流体。
（昆明理工大学，２０１２，一，２，１分）在连续介质假设的条件下，流体中各种物理量的变化是连续
的。（　）
（西安石油大学，２０１０，一，１，２，３，６分）膨胀性系数；实际流体；表面力
—７—
《流体力学》考点精讲及复习思路
第二章　流体静力学
１．本章考情分析
本章主要介绍了流体在静止状态下的平衡规律及其工程应用。研究的内容：静压力分布规律、静
止流体对固体的作用力，测量压力的仪表的原理等。
２．本章框架结构
本章首先介绍了静止状态下静压力的分布规律，进而确定静止流体作用在物面上的总压力，用以
解决工程实际问题。
３．本章要点精讲
考点一　绝对静止和相对静止
（１）绝对静止
流体整体对地球没有相对运动。此时，流体所受的质量力只有重力。这种状况称为绝对静止。
（２）相对静止
流体整体对地球有相对运动，但流体质点之间没有相对运动，称为相对静止。
考点二　流体静压力及其特性
（１）静压力
在静止流体中，不存在切应力。流体单位面积上所受到的垂直于该表面的力，即物理学中的压
强，称为流体静压力，简称压力，用ｐ表示，单位Ｐａ。
ｐ＝ｌｉｍ
ΔＡ→０
ΔＦ
ΔＡ
常用的压力单位有：帕（Ｐａ）、标准大气压（ａｔｍ）、毫米汞柱（ｍｍＨｇ）、米水柱（ｍＨ２Ｏ）；１ｂａｒ＝１×
１０５Ｐａ；１ａｔｍ＝７６０ｍｍＨｇ；
（２）静压力的两个重要特性
特性一：静压力沿着作用面的内法线方向，即垂直的指向作用面。
特性二：静止流体中任何点上各个方向的静压力大小相等，与作用方向无关。
—８—
考点三　流体平衡方程
（１）流体平衡微分方程
当流体处于平衡状态时，表示作用在单位质量流体上的质量力与压力的合力之间的关系式，称为
流体平衡微分方程，又称为欧拉平衡方程式。Ｅｕｌｅｒ于１７７５年推导。
Ｘ－１
ρ
ｐ
ｘ
＝０
Ｙ－１
ρ
ｐ
ｙ
＝０
Ｚ－１
ρ
ｐ
ｚ
＝






０
另一种表达　ｐ
ｘ
＝ρＸ， ｐ
ｙ
＝ρＹ， ｐ
ｚ
＝ρＺ
该式右边质量力Ｘ，Ｙ，Ｚ的分布通常是已知的，而左边各项表示流
体中沿ｘ，ｙ，ｚ方向上的压力梯度。该式表明，在平衡的情况下，压力梯
度必须和质量力取得平衡。
该方程的物理意义：当流体处于平衡状态时，作用在单位质量流体
上的质量力与压力的合力相平衡。
（２）等压面
等压面定义：在充满平衡流体的空间里，静压力相等的个点所组成
的面为等压面。特殊等压面：液体的自由液面。等压面方程：Ｘｄｘ＋Ｙｄｙ＋Ｚｄｚ＝０
等压面重要性质：等压面与质量力垂直。由此可知，根据质量力的方向可以确定等压面的形状，
也可以根据等压面的形状确定质量力的方向。例如，对只受重力作用的静止流体，因为重力的方向总
是铅直向下的，所以其等压面必定是水平面。
（３）静力学基本方程式ｚ１＋
ｐ１
ρｇ
＝ｚ２＋
ｐ２
ρｇ
几何意义：
在流体力学中，约定俗成的将高度称为“水头”，ｚ称为位置水头，ｐ／ρｇ称为压力水头，而ｚ＋ｐ／ρｇ
称为测压管水头。
适用条件：重力作用下的均质流体。
静力学基本方程式的 几何意义：静止流体中测压管水头为常数。
物理意义：
质量为ｍ的流体处在ｚ高度时，所具有的位置时能为ｍｇｚ，那么单位重力流体所具有的的位置势
—９—
《流体力学》考点精讲及复习思路
能为
ｍｇｚ
ｍｇ＝ｚ，流体力学中也将ｚ称为比位能。
如果流体中某点的压力为ｐ，在该处接测压管后，在压力作用下液面会上升高度 ｐ／ρｇ，压力时能
变为位置势能。因此，ｐ／ρｇ代表单位重力流体所具有的压力势能，简称比压能。
流体静力学基本方程的物理意义：静止流体中总比能为常数。
考点四　流体静力学基本公式及其应用
（１）流体静力学基本公式
ｐＡ ＝ｐ０＋ρｇｈ
流体静力学基本公式表明：
一、重力作用下的均质流体内部的静压力，与深度ｈ呈线性关系，因此水坝都设
计成上窄下宽的形状；
二、静止流体内部任意点的静压力由液面上的静压力ｐ０与液柱所形成的静压力ρｇｈ两部分组成，
深度ｈ相同的点静压力相等；
三、静止流体边界上压力的变化将均匀地传递到流体中的每一点，这就是著名的帕斯卡定律。
（２）流体压力的计量标准和表示方法
流体静压力的计量标准
流体力学中，静压力的计量有两个标准，一个是以物理真空为零点的标准，称为绝对标准，按照绝
对标准计量的压力称为绝对压力；另一个是以当地大气压力为零点的标准，称为相对标准，按照相对
标准计量的压力称为相对压力。
流体静压力的表示方法
绝对压力用ｐａｂ表示，对敞口容器中液面以下深度为ｈ的点来讲，其绝对压力可表示为ｐａｂ ＝ｐａ＋
ρｇｈ
当绝对压力大于当地大气压力时，相对压力大于零，称为表压，用 ｐＭ来表示，即 ｐＭ ＝ｐａｂ－ｐａ ＝
ρｇｈ
称之为表压是因为压力表所显示的压力就是这个压力。当绝对压力小于当地大气压力时，相对
压力小于零，称为真空压力或真空度，用ｐｖ来表示，即ｐｖ＝ｐａ－ｐａｂ
绝对压力、表压和真空度之间的关系如图：
绝对压力：ｐａｂ ＝ｐａ＋ρｇｈ
—０１—
表压：ｐＭ ＝ｐａｂ－ｐａ ＝ρｇｈ
真空度：ｐｖ＝ｐａ－ｐａｂ
（３）流体静压力的测量
简单测压管：ｐＡ ＝ρｇＨ
简单测压管的优缺点？
优点：
结构简单，精度较高，造价低廉。
缺点：
一是量程较小，这主要是因为测压管内工作液的密度是一定的，如果压力很
大其度数Ｈ也会很大，测量起来非常不方便；
二是也不适于测量气体的压力。
Ｕ型测压管：（等压面法）　　ｐＡ＋ρｇｈ＝ｐＢ ＝ρ′ｇＨ
所以Ａ点表压为　ｐＡ ＝ρ′ｇＨ－ρｇｈ
例题　 油罐内装相对密度为０．８的油品，装置如图所示的 Ｕ形测压管。求
油面的高度Ｈ及液面压力ｐ０。
解　Ａ点的压力可用自由液面的压力 ｐ０及罐内外两个液柱的压力来表
示，即ｐ０＋ρｏｇＨ＋０．４ρｗｇ＝ｐＡ ＝ｐ０＋１．６ρｗｇ。
可得Ｈ＝１．２ρｗ／ρｏ ＝１．５ｍ。
为了计算液面压力ｐ０取Ｂ－Ｂ为等压面，Ｂ点的压力可表示为ｐ０＋（１．６
＋０．３＋０．５）ρｗｇ＝ｐＢ ＝０．５ρ汞 ｇ，
所以，ｐ０ ＝０．５ρ汞 ｇ－２．４ρｗｇ＝４３１２０Ｐａ。
Ｕ形压差计
—１１—
《流体力学》考点精讲及复习思路
现在用如图所示的Ｕ形管测量管道上Ａ、Ｂ两点的压差，取０－０为等压面则有：ｐＡ＋ρｇ（ｘ＋Ｈ）
＝ｐ０ ＝ｐＢ＋ρｇｘ＋ρ′ｇＨ
整理后可得Ａ、Ｂ两点的压差为Δｐ＝ｐＡ－ｐＢ ＝（ρ－ρ′）ｇＨ
例题　 如图所示的水管线上孔板流量计两端的压差为１０５Ｐａ，求Ｕ形水银压差计的度数Ｈ。
解　Ｈ＝ Δｐ
（ρ′－ρ）ｇ
＝ １０００００
（１３．６－１）×９８００＝０．８１ｍ
考点五　静止流体作用在平面上的总压力
（一）解析法
（１）总压力的大小和方向：Ｐ＝ρｇｙＣｓｉｎαＡ＝ρｇｈＣＡ＝ｐＣＡ
Ａ———面积；ｙＣ———形心坐标；ｐＣ———形心Ｃ处的压力
它表明：作用在任意形状平面上的总压力大小等于该平面的面积与其形心Ｃ处的压力的乘积。
（２）压力中心
总压力的作用点称为压力中心。
ｙＤ ＝ｙＣ＋
ＪＣ
ｙＣＡ
注意：因为ＪＣ／ｙＣＡ恒为正值，所以 ｙＤ＞ｙＣ，说明压力中心 Ｄ永
远低于平面形心 Ｃ。但是，这一结论对水平放置的平面不适用，此
时的压力中心与形心重合。
（二）图形法
总压力大小为作用面图形的体积。
作用点的位置位于图形的形心处。
［典型例题］　 一个边长为１．２ｍ的正方形平板竖直地置于液体中，已知压力中心位于形心以下
０．０７５ｍ处，试求该正方形平板的上缘在液面下的深度。
解：设正方形平板的上缘在液面下的深度为ｘ，依题意可知
ｙＣ＝ｘ＋０．６，ｙＤ－ｙＣ＝ＪＣ／（ｙＣＡ）＝０．０７５，
所以
１．２４／１２
（ｘ＋０．６）×１．２２
＝０．０７５
解之可得　　　　　ｘ＝１ｍ
［典型例题］　 如图所示，矩形闸门两面受到水的压力，左边水深 Ｈ１＝４．５ｍ，右边水深 Ｈ２＝
２．５ｍ，闸门与水平面成α＝４５°倾斜角，闸门宽度ｂ＝１ｍ，试求作用在闸门上的总压力及其作用点。
—２１—
解　作用在闸门上的总压力为左右两边液体总压力之差，即Ｐ＝Ｐ１－Ｐ２。
因为ｈＣ１ ＝Ｈ１／２，Ａ１ ＝ｂＨ１／ｓｉｎα，
ｈＣ２ ＝Ｈ２／２，Ａ２ ＝ｂｌ２ ＝ｂＨ２／ｓｉｎα，
所以Ｐ＝ρｇｈＣ１Ａ１－ρｇｈＣ２Ａ２
＝ρｇ
Ｈ１
２ｂ
Ｈ１
ｓｉｎα
－ρｇ
Ｈ２
２ｂ
Ｈ２
ｓｉｎα
＝９７０３０Ｎ。
对于液面与上边线平齐的矩形平面而言，压力中心坐标为
ｙＤ ＝ｙＣ＋
ＪＣ
ｙＣＡ
＝ ｌ２＋
ｂｌ３／１２
（ｌ／２）ｂｌ＝
２
３ｌ
根据合力矩定理，对ｏ点取矩可得
Ｐｌ＝Ｐ１
ｌ１
３－Ｐ２
ｌ２
３ ＝Ｐ１
Ｈ１
３ｓｉｎα
－Ｐ２
Ｈ２
３ｓｉｎα
代入已知数据可解得 ｌ＝２．５４ｍ
这就是作用在闸门上的总压力的作用点距闸门下端的距离。
考点六　静止流体作用在曲面上的总压力
（１）压力大小　　Ｐｘ ＝ρｇｈＣＡｘ
ｈＣ———Ａｘ的形心在液面以下的铅直深度
上式表明：静止流体作用在曲面上总压力在某一水平方向上的
分力等于曲面沿该方向的投影面所受到的总压力，其作用线通过投
影面的压力中心。作用在曲面上的总压力可表示为：Ｐ ＝
Ｐ２ｘ＋Ｐ
２
ｙ＋Ｐ
２
槡 ｚ
总压力的大小为：Ｐ＝Ｐｘｉ＋Ｐｙｊ＋Ｐｚｋ
（２）压力体
压力体是由受力曲面、液体自由表面（或其延长面）以及两者间
的铅垂面所围成的封闭体积。压力体是从积分∫ＡｈｄＡｚ得到的一个体
积，是一个纯数学的概念，与体积内有无液体无关。
—３１—
《流体力学》考点精讲及复习思路
实压力体
如果压力体与形成压力的液体在曲面的同侧，则称这样的压力体为实压力体，用（＋）来表示，其
方向垂直向下。
虚压力体
如果压力体与形成压力的液体在曲面的异侧，则称这样的压力体为虚压力体，用（－）来表示，其
方向垂直向上。
需要注意的是：以上的两个压力体给人的感觉是实压力体就是内部充满液体的压力体，虚压力体
就是内部没有液体的压力体。其实压力体的虚实与其内部是否充满液体无关
压力体的合成
压力体的画法：
（ａ）将受力曲面根据具体情况分成若干段；
（ｂ）找出各段的等效自由液面；
（ｃ）画出每一段的压力体并确定虚实；
（ｄ）根据虚实相抵的原则将各段的压力体合成，得到最终的压力
（３）总压力的方向和作用点
如图所示的ＡＢ曲面，由于铅直分力的作用线通过压力体的中心，且方向
铅直向下，而水平分力的作用线通过投影面 Ａｘ的压力中心，且水平地指向作
用面，所以曲面总压力的作用线必然通过这两条作用线的交点 Ｄ’而指向作
用面，总压力矢量的延长线与曲面的交点 Ｄ就是总压力在作用面上的作
用点。
［典型例题］如图所示，有一圆柱扇形水闸门，已知Ｈ＝５ｍ，α＝６０°，闸门
宽度Ｂ＝１０ｍ，求作用于曲面ａｂ上的总压力。
—４１—
解　闸门在垂直坐标面上的投影面Ａｘ＝ＢＨ，其形心深ｈＣ＝Ｈ／２，代入得
Ｐｘ ＝ρｇｈＣＡｘ ＝ρｇ
Ｈ
２ＢＨ＝
１
２ρｇＢＨ
２ ＝１２２５０００Ｎ
受压曲面ａｂ的压力体为Ｖ＝ＢＡａｂｃ。面积Ａａｂｃ为扇形面积ａｏｂ与三角形ｃｏｂ面积之差，所以有
Ｐｚ＝ρｇＢＡａｃｂ ＝ρｇＢ α
３６０π（
Ｈ
ｓｉｎα
）２－１２Ｈ·
Ｈ
ｔｇ[ ]α
＝９８００×１０×［３．１４×６０
０
３６００
（
５
ｓｉｎ６００
）２－１２
５２
ｔｇ６００
］＝１００２３００Ｎ
故总压力大小、方向为
Ｐ＝ Ｐ２ｘ＋Ｐ
２
槡 ｚ ＝ １２２５０００２＋１００２３００槡
２ ＝１５８２７９０Ｎ
ｔｇθ＝
Ｐｘ
Ｐｚ
＝１２５０００１００２３００＝１．２２２
θ＝５０°４２′
［典型例题］　有一圆形滚动门，长１ｍ（垂直图面方向），直径Ｄ为４ｍ，上游水深为４ｍ，下游水深
２ｍ，求作用在门上的总压力的大小。
解　左部水平分力为ｐｘ１ ＝ρｇｈＡｘ１ ＝９８００×ｚ×（４×ｘ）＝７８４００Ｎ
垂直分力为ｐｚ１ ＝ρｇｈＶｘ１ ＝９８００×ｚ×（０．５×０．７８５×４
２）＝６１５４０Ｎ
右部水平分力为　　　ｐｘ２ ＝ｐｘ１／４＝１９６００Ｎ；
垂直分力为　　　　　ｐｚ２ ＝ｐｚ１／２＝３０７７０Ｎ．
水平方向合力为　　　ｐｘ ＝ｐｘ１－ｐｘ２ ＝５５８８０Ｎ；
铅直方向合力为　　　ｐｚ＝ｐｚ１＋ｐｚ２ ＝９２６１０Ｎ；
合力Ｐ＝ Ｐ２ｘ＋Ｐ
２
槡 ｚ ＝ （５８８００）２＋（９２３１０）槡
２ ＝１０９４５０Ｎ，
ｔｇθ＝
Ｐｘ
Ｐｚ
＝５８８００９２３１０＝０．６３７
θ＝３２°３０′
４．本章历年经典试题回顾
（西安石油大学，２０１２，四，２０分）四、如图所示两水管Ａ和Ｂ以Ｕ型压力计相连，Ａ、Ｂ两点的高差
为２ｍ，Ｕ型管内装有水银（水银的相对密度为１３．６），若水银面高差读数为Δｈ＝０．５ｍ，求Ａ、Ｂ两点
的压力差为多少？（本题２０分）
—５１—
流体力学》考点精讲及复习思路
（重庆大学，２０１１，二，２，１２分）２．某蓄水罐如图所示，蓄水罐侧面为半球形，顶面为半圆柱形，球
和圆柱的半径均为Ｒ＝１ｍ，垂直于纸面方向容器宽 Ｌ＝２ｍ，ｈ＝２ｍ，Ｅ点压力表读数为９．８Ｎ／ｃｍ２。试
求：１）作用在顶盖ＡＢ上的总压力；２）作用在侧盖ＣＤ上的总压力水平分力和垂向分力。
（昆明理工大学，五，２，１３分）２．图示绕铰链 Ｏ转动的倾角 α＝６０°的自动开启式矩形闸门，当闸
门左侧水深ｈ１＝２ｍ，右侧水深ｈ２＝０．４ｍ时，闸门自动开启，试求铰链至水闸下端的距离ｘ。
—６１—
第三章　一元流体动力学基础
１．本章考情分析
本章主要介绍了流场中各个运动参数的变化规律，以及这些运动参数之间的关系等问题。本章
以数学的思想、方法来对流场进行描述，试题中本章节有关概念以名词解释考察，主要以计算题进行
考察，光有思路计算不出结果显然是不行的，所以这一章节显得尤为关键。理想流体连续性方程，动
量方程，能量方程，这三大方程解决流体动力学是研究运动流体之间以及流体与固体边界之间的作用
力，即研究速度、加速度与质量力、压力、粘性力之间的关系。
２．本章框架结构
本章首先介绍了描述流动的两种方法，然后介绍了流体运动学的基本概念，继而给出了流体运动
的连续性方程，动量方程，能量方程的建立及其求解。
３．本章考点精讲
考点一　几个重要基本概念
（１）流体质点
流体质点是微观上足够大、宏观上充分小的物质实体。流体是由这种流体质点连续组成的，质点
之间不存在间隙。
流体质点在运动的过程中，在不同的瞬时，占据不同的空间位置。
（２）空间点
空间点仅仅是表示空间位置的几何点。空间点是不动的，而流体质点则动。
同一空间点，在某一瞬时为某一流体质点所占据，在另一瞬时又为另一新的流体质点所占据。也
就是说，在连续流动过程中，同一空间点先后为不同的流体质点所经过，或占有。
（３）流场
流场———即运动流体所占的空间。
考点二　描述流动的两种方法
（１）拉格朗日法（质点法）
拉格朗日法是从分析单个流体质点的运动着手，来研究整个流体的运动。它着眼于流体质点，设
法描述出单个流体质点的运动过程，研究流体质点的速度、加速度、密度、压力等参数随时间的变化规
律，以及相邻流体质点之间这些参数的变化规律。如果知道了所有流体质点的运动状况，整个流体的
运动状况也就知道了。
设任意时刻，任意流体质点的空间坐标为（ｘ，ｙ，ｚ），则以（ａ，ｂ，ｃ）标识的流体质点在 ｔ时刻所对应
—７１—
的位置（ｘ，ｙ，ｚ）应该是（ａ，ｂ，ｃ）和时间ｔ的函数，即
拉格朗日变量：ｘ＝ｘ（ａ，ｂ，ｃ，ｔ）
ｙ＝ｙ（ａ，ｂ，ｃ，ｔ）
ｚ＝ｚ（ａ，ｂ，ｃ，ｔ）
其速度和加速度为：（ｘ方向）
ｕｘ ＝
ｘ（ａ，ｂ，ｃ，ｔ）
ｔ
ａｘ ＝
ｕｘ（ａ，ｂ，ｃ，ｔ）
ｔ
＝
２ｘ（ａ，ｂ，ｃ，ｔ）
ｔ２
（２）欧拉法（空间点法）
欧拉法是从分析流体所占据的空间中各固定点出的质点运动着手，研究整个流体的流动。它着
眼于流场中的空间点，即设法描述出空间点处质点的运动参数，如速度和加速度随时间的变化规律，
以及相邻空间点之间这些参数的变化规律。
若不同时刻每一空间点处流体质点的运动状况都已知道，则整个流场的运动状况也就清楚了。
物理量在空间中的分布即为各种物理参数的长，如速度场、压力场：ｕ＝ｕ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ），ｐ＝ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）。
欧拉法表示的加速度在直角坐标系中为：
ａｘ ＝
ｄｖｘ
ｄｔ＝
ｖｘ
ｔ
＋ｖｘ
ｖｘ
ｘ
＋ｖｙ
ｖｘ
ｙ
＋ｖｚ
ｖｘ
ｚ
ａｙ ＝
ｄｖｙ
ｄｔ＝
ｖｙ
ｔ
＋ｖｘ
ｖｙ
ｘ
＋ｖｙ
ｖｙ
ｙ
＋ｖｚ
ｖｙ
ｚ
ａｚ＝
ｄｖｚ
ｄｔ＝
ｖｚ
ｔ
＋ｖｘ
ｖｚ
ｘ
＋ｖｙ
ｖｚ
ｙ
＋ｖｚ
ｖｚ
ｚ
其中各项的含义：
１）
ｖｚ
ｔ
：表示在同一空间点上由于流动的不稳定性引起的加速度，称为当地加速度或时变加速度
（时间加速度）。
２）ｖｘ
ｖｘ
ｘ
＋ｖｙ
ｖｘ
ｙ
＋ｖｚ
ｖｘ
ｚ
：表示同一时刻由于流动的不均与型引起的加速度，称为迁移加速度或位
变加速度（位移加速度）。举例：水箱水面不变（恒定流）
对于Ａ、Ｂ点：
ｕｘ
ｔ
＝０；
Ａ—Ａ’：
ｕｘ
ｘ
＝０，ｕｘ
ｕｘ
ｘ
＝０；Ｂ—Ｂ’：
ｕｘ
ｘ≠
０，ｕｘ
ｕｘ
ｘ≠
０
—８１—
例题　已知以拉格朗日描述为
ｘ＝ａｅｔ，ｙ＝ｂｅ－ｔ
求：速度与加速度的欧拉描述。
考点三　流动的分类
Ａ．按流体的性质分类：
１）理想流体流动；
２）黏性流体流动
３）不可压缩流体流动：密度ρ＝常数
４）可压缩流体流动：密度ρ＝（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）
Ｂ．按运动形式分类：
１）层流／紊流流动；
２）有旋／无旋流动；
３）亚音素／超音素流动。
Ｃ．按与时间关系分类：
１）定常流动，
２）非定常流动
（１）稳定流动与不稳定流动
稳定流动：如果流场中每一空间点上的部分或所有运动参数均不随时间变化，则称其为稳定流
动，也称作恒定流动或定常流动。
不稳定流动：如果流场中每一空间点上的部分或所有运动参数随时间变化，则称其为不稳定流
动，也称作非恒定流动或非定常流动。
注：运动参数———流体质点的速度、加速度；流体密度、压强、切应力等物理量的总称。
均匀流与非均匀流———流场中，若流线是相互平行的直线，称为均匀流；反之，则叫做非均匀流。
非均匀流包括渐变流和急变流。
渐变流：流线为近似平行的直线，或曲半径很大的
流体流动。
急变流：流线为不相互平行的直线，且夹角很大，
或曲率半径很小的流体流动。
注：恒定与非恒定———相对时间而言，
均匀与非均匀———相对空间而言。
（２）一元、二元和三元流动
几元就是需要几个空间坐标来描述流动。
１）一元流动：流体的运动参数只是一个坐标的函数。如：理想流体在圆管内流动，因它不具有黏
性，沿管半径流速变化比较缓慢。或者实际流体的黏性很小可以忽略，以管横截面上的平均流速来描
写管内流动，即将二元流动化为一元流动求解。
—９１—
２）二元流动：流体的运动参数只有两个坐标的函数。平面流动是二元流动。实际流体由于具有
黏性，故其流动至少是二元的，例如实际流体在圆管内的流动。由于水的黏性影响，靠近管壁的流速
低于中部的流速，即管道中的流速随管道的半径和流动方向的位移而变化，所以是二元流动。
３）三元流动：流体在空间流动一般说都是三元流动，运动参数是空间三坐标的函数。
考点四　流体运动学的基本概念和相关计算
（１）迹线
迹线：流体质点在不同时刻的运动轨迹。
如上图，一条迹线表示一个流体质点在一段时间内描述的路径。
特点：迹线上各点的切线方向表示的是同一流体质点在不同时刻的速度方向。
（２）流线
流线：流线是用来描述流场中各点流动方向的曲线，即矢量场的矢量线。在某一时刻该曲线上任
意处质点的速度矢量与此曲线相切。
注：矢量线———线上任一点的切线方向与该点的矢量方向重合，称为矢量线。
流线的微分方程：
ｄｘ
ｖｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）
＝ ｄｙ
ｖｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）
＝ ｄｚ
ｖｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）
注：由于流线是对某一时刻而言的，所以在上述方程积分时，变量ｔ被单作常数处理。
流线特征：
①流线充满整个流场，构成某一时刻流场内的流谱，表示瞬时流动方向。②定常运动，流线的形
状不随时间变化，流体质点沿流线前进，流线与轨迹线重合。③流线不能交叉，亦不可能是折线，流线
只能是光滑曲线。④对于不可压缩流体，流场中流线的疏密程度反映此时刻流场中各点处压强、流速
的变化。流线疏的地方，流速小压强大。
（３）迹线与流线的比较
一是，迹线是表示一段时间同一个流体质点的动态；流线是表示某一瞬间多个流体质点的运动
趋势。
二是，在同一时刻，质点的微元位移总是和它的速度同方向。故在定常流场中，不同时刻的流线
是重合的，流点微元位移与流线重合，流点沿着流线运动。
三是，不同的时刻，非定常流场中的流线是变化的，迹线只能是在某一时刻正通过某点，它只是与
—０２—
那时刻过该点的流线的微元段相重合而已。
例题 　已知流场的速度分布为
ｕ＝ｘ２ｙｉ－３ｙｊ＋２ｚ２ｋ
１）属于几元流动？
２）求（ｘ，ｙ，ｚ）＝（３，１，２）点的加速度？
［经典例题］　已知拉格朗日变数下的速度表达式为：
Ｖｘ＝（ａ＋１）ｅ
ｔ－１　　　 Ｖｙ＝（ｂ＋１）ｅ
ｔ－１
ａ、ｂ为ｔ＝０时流体质点所在位置的坐标。试求：
１）ｔ＝２时刻流体质点的分布规律；
２）ａ＝１，ｂ＝２时这个质点的运动规律；
３）流体质点的加速度；
４）欧拉变数下的速度与加速度。
解　１）ｄｘｄｔ＝ｖｘ ＝（ａ＋１）ｅ
ｔ－１；ｄｙｄｔ＝ｖｙ ＝（ｂ＋１）ｅ
ｔ－１
则有ｘ＝（ａ＋１）ｅｔ－ｔ＋Ｃ１；ｙ＝（ｂ＋１）ｅ
ｔ－ｔ＋Ｃ２
注意到在ｔ＝０时，ｘ＝ａ、ｙ＝ｂ，即有
ａ＝（ａ＋１）＋Ｃ１，ｂ＝（ｂ＋１）＋Ｃ２　 可得　Ｃ１＝－１，Ｃ２＝－１
进一步求得流体质点的一般运动规律为：
ｘ＝（ａ＋１）ｅｔ－ｔ－１，ｙ＝（ｂ＋１）ｅｔ－ｔ－１
ｔ＝２时流体质点的分布规律：ｘ＝（ａ＋１）ｅ２－３，ｙ＝（ｂ＋１）ｅ２－３
２）ａ＝１，ｂ＝２的特定流体质点，其运动规律为：
ｘ＝２ｅｔ－ｔ－１，ｙ＝３ｅｔ－ｔ－１
３）质点的加速度为：　　ａｘ ＝
ｄｖｘ
ｄｔ＝（ａ＋１）ｅ
ｔ，ａｙ ＝
ｄｖｙ
ｄｔ＝（ｂ＋１）ｅ
ｔ
４）由质点一般运动规律ｘ＝（ａ＋１）ｅｔ－ｔ－１，ｙ＝（ｂ＋１）ｅｔ－ｔ－１
则拉格朗日变数ａ与ｂ的表达式
ａ＝（ｘ＋ｔ＋１）ｅ－ｔ－１　　　ｂ＝（ｙ＋ｔ＋１）ｅ－ｔ－１
代入所给的拉格朗日变数下的速度表达式，可求得在欧拉变数下的速度表达式为
ｖｘ ＝（ａ＋１）ｅ
ｔ－１＝ｘ＋ｔ　　　ｖｙ ＝（ｂ＋１）ｅ
ｔ－１＝ｙ＋ｔ
可进一步求得欧拉变数下的加速度为：
ａｘ ＝
ｖｘ
ｔ
＋ｖｘ
ｖｘ
ｘ
＋ｖｙ
ｖｘ
ｙ
＋ｖｚ
ｖｘ
ｚ
＝ｘ＋ｔ＋１
ａｙ ＝
ｖｙ
ｔ
＋ｖｘ
ｖｙ
ｘ
＋ｖｙ
ｖｙ
ｙ
＋ｖｚ
ｖｙ
ｚ
＝ｙ＋ｔ＋１
（４）有效断面、流量和平局流速等
流管
流管———在流场中作一条不与流线重合的任意封闭曲线，则通过此曲线上任一点的所有流线将
—１２—
构成一个管状曲面，这个管状曲面称为流管。
流束———充满在流管内部的流体。微小流束：断面无穷小的流束。
总流———管道内流动的流体的集合。
流管特点：
①流管表面不可能有流体穿过；②稳定流动时流管的形状和位置都不随时间变化，就像固体管道
的管壁；非稳定流动时，流管的形状及位置有可能随时间变化；③流管不可能在流场内部中断。
有效断面
有效断面———流束或总流上垂直于流线的断面。（有效断面可能是平面，也可能是曲面）
流量———单位时间内流经有效断面的流体量。
体积流量：单位时间内通过有效截面的流体体积，称为体积流量，符号为ｑｖ。Ｑ＝Ａｖ。
质量流量：单位时间内通过有效截面的流体质量，称为质量流量，符号为ｑｍ。
质量流量与体积流量的关系为：Ｑｍ ＝ρＱ
［经典例题］　用直径２００ｍｍ的管输送相对密度为０．７的汽油，使其流速不超过１．２ｍ／ｓ。试求
每秒最多输送多少ｋｇ？
解　 由质量流量公式
Ｑｍ ＝υＡρ＝υ×
πｄ２
４ ×ρ
得Ｑｍ ＝１．２×
３．１４×０．２２
４ ×０．７×１０３ ＝２６．２７６（ｋｇ／ｓ）
平均流速
平均流速———有效断面上速度的平均值。
平均流速的物理意义？
实际流体流动的有效断面上个点处的速度大小都不一样，工程
上位了将问题简化，引入有效断面上速度的平均值。平均流速的物理意义就是假想有效断面上个点
的速度相等，而按平均流速流过的流量与实际上以不同的速度流过的流量正好相等。
［经典例题］　 截面为３００ｍｍ×４００ｍｍ的矩形孔道，风量为２７００立方米／小时，求平均流速
解　 有平均速度公式Ｖ＝Ｑ／Ａ
—２２—
得Ｖ＝Ｑ／ｂｈ＝２７００／０．３×０．４×( )３６００ ＝６．２５（ｍ／ｓ）
考点五　连续性方程
（１）系统
系统———就是确定物质的集合。
特点：①系统始终包含着相同的流体质点；
②系统的形状和位置可以随时间变化；
③边界上可以有力的作用和能量的交换，但不能有质量的交换
（２）控制体
控制体———指根据需要所选择的具有确定位置和体积形状的流场空间。控制体的表面称为控
制面。
控制体具有以下特点：
①控制体内的流体质点是不固定的；
②控制体的位置和形状不会随时间变化；
③控制面上不仅可以有力的作用和能量交换，而且还可以有质量的交换。
（３）一元稳定流动的连续性方程Ｑｍ ＝ρＡｖ＝常数
既适用于不可压缩流体，也适用于可压缩流体。
物理意义：沿一元稳定流动的流程质量流量不变。
对于不可压缩流体，密度为常数，则有Ｑ＝Ａｖ＝常数
（４）空间运动的连续性方程（推导）
流体最普遍的运动形式是空间运动，即在空间ｘ，ｙ，ｚ三个坐标方向都有流体运动的分速度。
（ρｖｘ）
ｘ
＋
（ρｖｙ）
ｙ
＋
（ρｖｚ）
ｚ
＋ρ
ｔ
＝０
或　　　　　　　ρ
ｔ
＋ｄｉｖ（ρｖ

）＝０
①对于稳定流动：
流体的密度不随时间变化，则
（ρｖｘ）
ｘ
＋
（ρｖｙ）
ｙ
＋
（ρｖｚ）
ｚ
＝０
②对于不可压缩流体：
流体的密度为常数，则
ｖｘ
ｘ
＋
ｖｙ
ｙ
＋
ｖｚ
ｚ
＝０
（５）连续性方程的建立条件：
①恒定流，总流形状、位置不随时间变化。（边界条件）
②不可压缩流体、体积守恒、流入＝流出。
③连续介质、内部无空隙。（质量守恒）
［经典例题］　已知流动速度场为ｕｘ ＝６（ｘ＋ｙ
２），ｕｙ ＝２ｙ＋ｚ
３，ｕｚ＝ｘ＋ｙ＋４ｚ，试判断流动
是否可压缩。
—３２—
［经典例题］　 已知平面流场的速度为ｕｘ ＝ｘ
３ｓｉｎｙ，ｕｙ ＝３ｘ
２ｃｏｓｙ，试判断流动是否可压缩。
考点六　流体微团的运动
流体的运动方式除了有与刚性运动相同的相对运动和旋转运动外，通常还必须具有十分复杂的
变形运动，变形运动包括线变形和角变形。
流体微团的运动可分解为：平动、转动、线变形和角变形四种运动方式。
有旋运动———流体微团有绕着穿过自身轴的转动，转动角速度ω
→
≠０。
无旋运动———流体微团除平移和变形以外，本身没有旋转，这时转动角速度为零，ω
→
＝０
注：
流体微团是否旋转与流体质点的运动形式无关，或者说与流线的形状无关。流线为直线的流动
未必无旋，流线为圆的流动也未必有旋。这是因为，流体的旋转是针对流体微团而言，仅仅是局部的
特征，二不是流动的总体特征。
考点七　动量方程
恒定总流动量方程　∑Ｆ

＝ρＱ（α２，ｖ２－α１
，ｖ１）
投影形式：
∑Ｆｘ ＝ρＱ（α２′ｖ２ｘ－α１′ｖ１ｘ）
∑Ｆｙ ＝ρＱ（α２′ｖ２ｙ－α１′ｖ１ｙ）
∑Ｆｚ＝ρＱ（α２′ｖ２ｚ－α１′ｖ１ｚ





）
考点八　 伯努利方程（能量方程）
（１）理想流体的伯努利方程
欧拉方程是非线性的，很难求得普遍条件下的精确解，只能求得某些特定条件下的解析解。
伯努利方程：ｚ＋ｐ
ρｇ
＋ｕ
２
２ｇ＝Ｃ
适用条件：
①理想流体；不可压缩
②稳定流动，质点沿着流线方向运动；
③质量力只有重力一项
对于同一条流线或微小流束上任意两点，伯努利方程可写成：ｚ１＋
ｐ１
ρｇ
＋
ｕ１
２
２ｇ＝ｚ２＋
ｐ２
ρｇ
＋
ｕ２
２
２ｇ
—４２—
要点一　伯努利方程的几何意义：
Ｚ———长度量纲，流体质点或空间点在基准面以上的几何高度，又称位置水头。
ｐ
ρｇ
———长度量纲，测压管中液面上升的高度，称为压力高度、或测管高度，或称压力水头。
ｕ２
２ｇ———具有长度的量纲，称为流速高度或速度水头。可用皮托管和测压管中液面高度差来表示。
结论：对于理想流体，定常运动，质量力只有重力作用时，沿流线有：几何高度、压力高度和流速高
度之和为一常数。三个高度（水头）之和称为总水头。
伯努利方程的物理（能量）意义：
Ｚ———代表单位重量流体的位能；
ｐ
ρｇ
———单位重量流体的压力能；
ｕ２
２ｇ———单位重量流体的动能。
伯努利方程表明单位重量流体的总机械能沿流线守恒。
例题 图示容器装有液体，在重力作用下从小孔流出。求小孔流速。
要点二　 实际流体总流的伯努利方程
理想流体的伯努利方程式表明流线上总比能不变，这与实际流体是不同的。实际流体流动时，由
于流体间的摩擦阻力，以及某些局部管件引起的附加阻力，使得在流动过程中产生了能量损失，所损
失的机械能变为热能而散失。因此实际流体流动时，沿着流动方向总比能应该是逐渐降低的。
水头损失———单位重力流体所损失的机械能在流体力学中称为水头损失，即流动过程中总水头
的降低。单位，米流体柱高。
—５２—
（１）实际流体沿微小流束的伯努利方程式：ｚ１＋
ｐ１
γ
＋
ｕ２１
２ｇ＝ｚ２＋
ｐ２
γ
＋
ｕ２２
２ｇ＋ｈ′ｌ－２
（２）动能修正系数
总流有效断面上的流速分布是不均匀的，在计算中需要找到一个合适的数值来代替。
动能修正系数———总流有效断面上单位重力流体的实际动能对岸平均流速算出的假想动能的比
值，用α表示。
α是由于断面上速度分布不均匀性引起的，不均匀性越大，α越大。在圆管紊流运动中取１．０５—
１．１０，在圆管层流中取２．在实际工程计算中由于流速水头本身所占的比例较小，故一般常取１．
（３）实际流体总流伯努利方程
ｚ１＋
ｐ１
γ
＋
α１ｕ
２
１
２ｇ ＝ｚ２＋
ｐ２
γ
＋
α２ｕ
２
２
２ｇ ＋ｈ
·
ｌ－２
α———动能修正系数，工程中常取１；
ｕ———总流１，２断面上的平均流速；
ｈ１－２———１，２两断面间单位重力流体的能量损失。
适用条件：稳定流；不可压缩流体；作用在流体上的质量力只有重力；所取断面为缓变流断面。
非均匀流包括缓变流和急变流：
缓变流：流线之间夹角比较小和流线曲率半径比较大的流动。
急变流：流线为不相互平行的直线，且夹角很大，或曲率半径很小的流体流动。
应用实际流体伯努利方程时注意的几点事项：
①实际流体总流的伯努利方程不是对任何流动都适用，必须注意适用条件。
②方程式中的水头位置是相比较而言，只要基准表面是水平面就可以。为方便起见，一般取两个
计算点中较低的一点所在的水平面为基准面，这样可以使得方程式中的位置水头一个为０，一个为
正值。
③在选取断面时，尽可能使得两个断面上只包含一个未知数。但这两个断面上的平均流速可以
通过连续性方程求得，只要知道一个流速，就能算出另一个流速。
④两个断面所用的压力标准必须一致，一般多用表压。
⑤方程中的动能修正系数若题目中没有规定，一般近似取１．
要点三　实际流体总流的伯努利方程的应用
（１）一般水力计算
例　一条水龙带，喷嘴和泵的相对位置如图。Ａ点压力１９６０００Ｐａ（表压），水龙带断面直径０．
０５ｍ，喷嘴Ｃ处直径为０．０２，水龙带水头损失０．５ｍ，喷嘴水头损失０．１ｍ。求喷嘴出口流速、泵的排量
和Ｂ点压力。
—６２—
（２）常用节流式流量计
节流式流量计应用范围特别广泛，在封闭管道的流量测量中各种对象都有应用，如流体方面：单
相、混相、洁净、脏污、粘性流等；工作状态方面：常压、高压、真空、常温、高温、低温等；管径方面：从几
ｍｍ到几ｍ；流动条件方面：亚音速、音速、脉动流等。它在各工业部门的用量约占流量计全部用量的
１／４～１／３。
工业上常用的节流是流量计主要有三种类型：
孔板；喷嘴；文丘利管。
节流是流量计的基本原理：
当管路中液体流经节流装置时，液流断面收缩，在收缩断面处流速增加，压力降低，使节流装置前
后产生压差。在选择一定的节流装置情况下，流量越大，节流装置前后压差也越大，因而可以通过测
量压差来计算流量大小。差压的大小和气体流量有确定的数值关系，即流量大时，差压大，流量小时，
差压小。流量与差压的平方根成正比。
孔板：结构简单，通常用于测量气体和液体的流量。
文丘利管：由收敛段、喉道和扩散段组成。
测速管（皮托管）：
皮托管原理：
一端开口面向来流，另一端垂直向上，管内液面上升到高出河面ｈ，水中Ａ距离水面高度Ｈ。Ａ端
形成一驻点，驻点处的压力称为驻点压力，或总压力。它应等于玻璃管内液柱高度乘以密度和重力加
速度。另一方面，驻点Ａ上游的Ｂ点未受到侧管的影响且和 Ａ点位于同一水平线上，应用伯努利方
程与Ｂ、Ａ两点，则：０＋
Ｖ２Ｂ
２ｇ＋
ｐＢ
ρｇ
＝０＋０＋
ｐＡ
ρｇ
其中，ｐＢ ＝ρｇＨ，ｐＡ ＝ρｇ（Ｈ＋ｈ）
—７２—
故：ｖＢ ＝
２ｇ
ρｇ
（ｐＡ—ｐＢ槡
） 槡＝ ２ｇｈ
（３）流动流体的吸力
如图喷射泵，它是利用喷嘴处高速水流造成低压，将液箱内液体吸入泵与主流混合后排出。
例题 　如图的喷射泵，其吸水管Ｈ为１．５ｍ，水管直径为０．０２５ｍ，喷射出口直径为０．０１ｍ，喷嘴损
失水头０．６ｍ，压力表读数３０００００Ｐａ，水管供水量为２升／秒，掺入液体相对密度为１．２；求喷嘴出口压
力，并判断能否将液体吸上。
例题　需在直径为１６０ｍｍ的管线中自动掺入稀油，如图装置如图，若压力表读数为２３０００ｐａ，喉
道内直径为ｄ＝４０ｍｍ，Ｔ管中油品的相对密度为０．９，流量为Ｑ＝３０Ｌ／ｓ，稀油的相对密度为０．８，稀油
池油面距喉道高度为Ｈ＝１．５ｍ，掺入稀油的流量为原输量，Ｂ管的水头损失为０．５ｍ，取动能修正系数
为１，试求Ｂ管的直径 。（２０分）
（４）水力坡度
水力坡度———沿流程单位管长上的水头损失称为水力坡度，用ｉ表示。ｉ＝
ｈＷ
Ｌ
水力坡度的大小代表了能量递减的快慢，其数值为总水头线的斜率。圆管层流的沿程水头损失
与速度的一次方成比例，则对于定水头的等直径圆管段来说ｉ为定值，即总水头线为以直线，且测压管
水头线和总水头线平行。
—８２—
（５）水头线
根据伯努利方程几何意义，方程中的每一项都表示一个液柱高度，ｚ叫做位置水头，表示从某基准
面到该店的位置高度，
ｐ
ρｇ
叫做压力水头，表示按该点压力换算的高度，
ｕ２
２ｇ叫做速度水头，表示动能转
化为位置势能时折算的高度，ｈ也代表一个高度，叫做水头损失。所以，可以沿着流程把它们以曲线的
形式描绘出来。位置水头的连线就是位置水头线。压力水头加载位置水头之和，其顶点的连线是测
压管水头。测压管水头线再加上流速水头，其顶点的连线就是总水头
水头线示意图
水头线画法：１）画出矩形边线；２）根据各断面的位置水头画出位置水头线；３）根据水头损失的计
算结果画出总水头线；４）根据压力水头画出测压管水头；５）给出必要的标注
４．本章历年经典试题回顾
（西安石油大学，２０１２，五，２０分）五、已知流体运动速度场为ｕ＝ｘ２ｙｉ＋２ｘｙｊ＋３ｘｙ２ｋ
（１）．属于几元流动？为什么？
（２）．求加速度场；
（３）．求点（ｘ，ｙ，ｚ）＝（２，１，３）处的加速度。（本题２０分）
（西安石油大学，２０１０，三，２０分）三、输油管道中安装一个收缩段以便测量流量 Ｑ，管径从 ｄ１＝
—９２—
２６０ｍｍ收缩到 ｄ２＝１８０ｍｍ，使用如图所示的缸
套、活塞装置，活塞直径 Ｄ＝３００ｍｍ，油的密度为
８５０千克／立方米，如果固定活塞所需要施加的力
Ｆ＝７５Ｎ，求管中油的体积流量 Ｑ（忽略摩阻损
失）。（２０分）
—０３—
第四章　流动阻力和能量损失
１．本章考情分析
本章主要介绍粘性流体动力学的基础，试题中将以本章中关于粘性流体运动方程、流态判断、水
头损失分类和计算方面的内容予以考察。试题中主要以名词解释、计算题形式出现。
２．本章框架结构
本章从管路中流动阻力的成因和分类、流态判断、粘性流体运动方程圆管中层流流动、以及圆管
紊流的沿程水头损失这几大方面来对粘性流体动力学基础做以学习。由浅入深，由抽象到具体，逐步
将理论研究应用到实际工程中这样一个过程来进行本章的学习。
３．本章考点精讲
流体动力学可分为理想流体动力学和粘性流体动力学两大分支，理想流体动力学采用数学方法
研究理想流体的流动规律；粘性流体动力学主要运用理论与实验相结合的方法研究粘性流体的流动
规律。通过前面的学习已经知道，粘性流体在流动过程中要产生能量耗散，所损失的这部分能量在粘
性流体管流中主要表现为水头损失。水头损失是伯努利方程中非常重要的一项，但在第三章中并没
有对其进行深入的探讨，要么是忽略不计，要么是给定数值。本章将在粘性流体运动方程以及流态判
别的基础上，探讨水头损失的分类和计算方法。
考点一　 管路中流动阻力的成因及分类
理想流体：指粘性为零的流体，实际上并不存在，但在有些问题中，粘性的影响很小，可以忽略不
计，致使所研究的问题简单化。
粘性流体：实际流体都具有粘性，称为粘性流体。
（１）管道阻力的产生原因
管流阻力的产生原因是多方面的。
①流体之间摩擦和掺混可视为内部原因，所形成的的阻力称为内部阻力，记为 Ｆｉ，其大小主要受
管道直径、流量和流体粘度的影响；
②流体与管壁之间的摩擦和撞击可视为外部原因，所形成的阻力称为外部阻力，记为 Ｆｏ，其大小
主要由液流与管壁接触面积、管壁粗糙程度和流量决定。
（２）流动阻力的分类
流体沿管路流动时，一方面，由于流体的粘滞性在直管段内所产生的粘性切应力将组织流体的流
动；另一方面，在管路中的阀门、弯头等各种不同类型的局部管件处将形成涡旋，产生额外的阻力。
因此，可将流动阻力划分成以下两类：
—１３—
①沿程阻力与沿程水头损失（直管阻力损失）
流体沿均一直径的直管段流动时所产生的阻力，称为沿程阻力。
克服沿程阻力所产生的水头损失，称为沿程水头损失（直管阻力损失），用ｈｆ表示。
②局部阻力与局部水头损失（局部阻力损失）
流体流过局部管件时所产生的阻力，称为局部阻力。
克服局部阻力所产生的水头损失为局部水头损失，用ｈｊ表示。
如下图所示的管路上，既有直管段，又有弯头、阀门和变径接头的局部构件，流体流过这样的管路
是会产生沿程水头损失和局部水头损失。总的水头损失应为各个直管段的严惩水头损失与所有局部
管件的局部水头损失之和，即：
ｈｗ ＝∑ｈｆ＋∑ｈｊ
（３）有效断面的水力要素
影响管路阻力的断面因素只要包括：
①流道的面积，即有效断面的面积
其值越大，内部阻力Ｆｉ越小，其值越小，内部阻力Ｆｉ越大；
②流体与管壁的接触面的面积，一般采用有效断面的湿周长来衡量其大小
其值越大，外部阻力Ｆｏ越大，其值越小，外部阻力Ｆｏ越小；
湿周：有效断面上流体与固体边壁接触的周界长度为湿周，用χ表示。
③管壁的粗糙程度，通常用管道内壁上粗糙突起高度的平均值来衡量，称为绝对粗糙度，用 Δ表
示。其值越大，外部阻力Ｆｏ越大。
管道粗糙度与管径的比值称为相对粗糙度。
常用管道管壁绝对粗糙度：
普通钢管（０．１９ｍｍ），干净的铸铁管（０．４５ｍｍ），污秽的金属管（０．７５～０．９），水管道（０．２５～１．
２５），混凝土槽（０．８～９．０）。
水力半径：流体力学中，将有效断面的面积Ａ与湿周长χ的比值称为水力半径，以Ｒｈ表示，即Ｒｈ ＝Ａ／χ
水力半径越大，流动阻力越小；水力半径越小，流体的流动阻力越大。
（４）几种特殊截面的管道阻力特性
—２３—
①圆管的水力半径：Ｒｈ ＝
πｄ２／４
πｄ
②矩形截面管道的水力半径：Ｒｈ ＝
ａｂ
２（ａ＋ｂ）
③井筒环形截面的水力半径：Ｒｈ ＝
π（Ｄ２－ｄ２）／４
π（Ｄ＋ｄ）
＝Ｄ－ｄ４
面积Ａ较大———内部阻力较小
水力半径大
面积Ａ较大———内部阻力较小
湿周较小———{ }外部阻力较小
综合阻力较小
水力半径小
面积Ａ较小———内部阻力较小
湿周较大———{ }外部阻力较大
综合阻力较大
水力半径与阻力特性
例题　图中所示为一从水箱引水的水平直管。已知管径 ｄ＝２０ｃｍ，
管长Ｌ＝４０ｍ，局部水头损失系数：进口ζ１＝０．５，阀门ζ２＝０．６。当通过流
量Ｑ＝０．２ｍ３／ｓ时，在相距△Ｌ＝１０ｍ的１－１及２－２断面间装一水银压
差计，其液面高差△ｈ＝４ｃｍ，
求作用水头Ｈ。
考点二　雷诺实验
实际流体的流动由于粘滞性的存在而具有两种不同的状态，英国物理学家雷诺（Ｒｅｙｎｏｌｄｓ）通过
大量的实验研究发现，实际流体在管路中流动存在着两种不同的状态，并且测定了管路中的能量损失
与不同的流动状态之间的关系，此即著名的雷诺实验。
试验过程（装置如下图）：
实验过程中使水箱中的水位保持恒定。实验开始前水箱中颜色水的阀门以及玻璃管上的阀门都是关
闭的。开始实验时，逐渐打开玻璃管出口端上的阀门，并开启颜色水的阀门，使颜色水能流人玻璃管中。
①层流：流动状态主要表现为流体质点的摩擦和变形，这种流体质点互不干扰各自成层的流动称
为层流。
ａ．流体质点做直线运动；
ｂ．流体分层流动，层间不相混合、不碰撞；
ｃ．流动阻力来源于层间粘性摩擦力。
②紊流：流体状态主要表现为流体质点的互相掺混，这种流体指点之间互相掺混杂乱无章的流动
称为紊流。
—３３—
ａ．主体做轴向运动，同时有径向脉动；
ｂ．特征：流体质点的脉动。　　　
③过渡流：流动状态表现为层流到紊流的过度，称为过渡状态。
ａ．不是独立流型（层流＋湍流），
ｂ．流体处于不稳定状态（易发生流型转变）。　
注：由于过渡状态的不稳定性，在实际工程计算中长将其归入紊流状态。
说明：ａ．过渡状态不稳定，在实际的工程计算中常归入紊流状态。
ｂ．如果实验从大流速到小流速，会发生相反的变化过程。
分析：流动状态与流速大小有直接关系。
临界流速：流态发生转化时的流速称为临界流速，用ｖｃ表示。
从表面上看，流动状态与流速的大小有直接关系。为了确定临界流速，单凭肉眼观察流态变化是很
不准确的。分析水头损失与流速之间的关系的实验数据更准确的确定临界流速。实验方法如下图所示：
试验方法：
在试验段上接出两根测压管。液体在等直径的水平管路中稳定流时，由伯努利方程可得：ｈｆ＝
ｐ１－ｐ２
ρｇ
由此实验结果整理可得出速度与水头损失的曲线图。
大量实验证实：
层流状态时，沿程水头损失与平均流速成正比；
紊流状态时，沿程水头损失与平均流速的１．７５～２次方成正比。
实验结果还表明：
由层流转变到紊流和由紊流转变到层流时临界流速也不相同。
—４３—
由层流转变到紊流时的临界速度称为上临界流速，以ｖｃｕ表示；
由紊流转变到层流时的临界流速称为下临界流速，以ｖｃｄ表示。
上临界流速大于下临界流速，即ｖｃｕ〉ｖｃｄ。
考点三　两种流动形态的判别标准
雷诺实验不仅表明了流动存在着两种截然不同的流动状态，同时也表明两种流动状态存在着不
同的规律。因此，在计算管流水头损失时必须首先判别出流动状态。
大量的实验表明，流体的流动状态不仅由临界速度一个参数决定。
影响流体流动类型的因素：
①流体的流速ｕ；②管径ｄ；③流体密度ρ；④流体的粘度μ。
ｕ、ｄ、ρ越大，μ越小，就越容易从层流转变为湍流。上述中四个因素所组成的复合数群ｄｕρ／μ，是
判断流体流动类型的准则。
这数群称为雷诺准数或雷诺数，用Ｒｅ表示。Ｒｅ＝ｄυρ
μ
＝υｄ
ν
对应临界流速的雷诺数称为临界雷诺数。
大量实验证明，不论流体的性质和管径如何变化，下临界数 Ｒｅｃｄ ＝２３２０，上临界数 Ｒｅｃｕ
＝１３８００。
工程实际中在计算水头损失时，为使计算结果安全，将临界雷诺数取为２０００。
流型的判据：
Ｒｅ小于２０００，即可认为流动为层流；
Ｒｅ大于２０００，即可认为流动为紊流。
有时出现层流，有时出现湍流，或者是二者交替出现，为外界条件决定，称为过渡区。
流型只有两种：层流和紊流。
雷诺数的物理意义：
当Ｒｅ较大时，流体的惯性力大于粘性力，占主导地位，流体的紊流程度大，流体流动形态为紊流；
而当Ｒｅ较小时，流体的粘性力大于惯性力，占主导地位，流体的紊流程度小，流体流动状态为层
流；即Ｒｅ越大，流体紊流程度越大。
水力粗糙管：
当层流地层厚度小于绝对粗糙度是，即关闭的粗糙凸出部分有一部分或大部分暴露在紊流区中，
流体流过突出部分将引起涡旋，造成新的能量损失，管壁粗糙度将对紊流流动产生影响。在流体力学
中，这种情况下不可再将管壁看作是光滑的，这种管称为水力粗糙管。
水力光滑管：
当层流地层厚度大于绝对粗糙度时，即层流底层完全淹没了管壁的粗糙凸出部分，层流底层以外
的紊流区域完全感受不到管壁粗糙度的影响，好像在完全光滑的管子中流动一样，即为水力光滑管。
例 某管路管径为０．０２ｍ。若温度１５摄氏度的水（粘度为０．０００００１１４平方米／秒）通过此管时，平
均流速为１米／秒，问流动状态是层流还是紊流？其他条件不变，当粘度为０．００００６平方米／秒的石油
通过此管路时是层流还是紊流？
—５３—
例 用直径１００ｍｍ的管路输送相对密度为０．８５的柴油，在温度２０摄氏度是，其运动粘度为０．
０００００６７平方米／秒，试问：（１）欲保持层流，平均流速不能超过多少？（２）最大输送量为多少？
考点四　圆管中层流速度的分布
速度分布：流体流动时，管截面上质点的轴向速度沿半径的变化。流动类型不同，速度分布规律
亦不同。
由实验可以测得层流流动时的速度分布，如图所示。
圆管中层流速度的分布特点：
ａ．速度分布为抛物线形状；
ｂ．管中心的流速最大；
ｃ．速度向管壁的方向渐减；
ｄ．靠管壁的流速为零；
ｅ．平均速度为最大速度的一半。
圆管中层流速度分布方程式：
如图所示，流体在半径为Ｒ的水平管中作稳定流动。在流体中取一段长为 ｌ，半径为 ｒ的流体圆
柱体。在水平方向作用于此圆柱体的力有两端的总压力（Ｐ１－Ｐ２）及圆柱体周围表面上的内摩擦
力Ｆ。
作用于圆柱体两端的总压力分别为Ｐ１ ＝πｒ
２ｐ１　　　Ｐ２ ＝πｒ
２ｐ２
式中的ｐ１、ｐ２分别为左、右端面上的压强，Ｎ／ｍ
２。
流体作层流流动时内摩擦力服从牛顿粘性定律，即τ＝－μｄυｄｒ
式中的负号表示流速沿半径增加的方向而减小。
作用于流体圆柱体周围表面２πｒｌ上的内摩擦力为Ｆ＝τＡ＝－（２πｒｌ）μｄυｄｒ
由于流体作等速流动，根据牛顿第二定律，这些力的合力等于零。
Ｆ＝Ｐ１－Ｐ２　　　　　　　故　　
ｄυ
ｄｒ＝－
Δｐ
２μｌ
ｒ
式中 Δｐ——— 两端的压力差（ｐ２－ｐ１）。
积分上式可得：　　υ＝－Δｐ４μｌ
ｒ２＋ｃ
利用管壁处的边界条件，ｒ＝Ｒ时，ｖ＝０。可得ｃ＝－Δｐ４μｌ
Ｒ２
则可得，速度分布微分方程式：υ＝Δｐ４μｌ
（Ｒ２－ｒ２）
由此式可知，圆管中层流速度分布为一关于管轴的旋转抛物面。
—６３—
考点五　圆管层流的最大流速、流量、平均流速、切应力
（１）最大流速
由圆管层流的流速分布不难看出，当ｒ为零时，管轴处的速度为最大，即
υｍａｘ＝
Δｐ
４μｌ
Ｒ２
（２）流量
Ｑ＝Ａυ；υ＝Δｐ４μｌ
（Ｒ２－ｒ２）
ｄＱ＝υｄＡ＝υ（２πｒ）ｄｒ＝２πｒΔｐ４μｌ
（Ｒ２－ｒ２）ｄｒ
Ｑ＝∫
Ｑ
０
ｄＱ＝∫
Ｒ
０
２πｒΔｐ
４μｌ
（Ｒ２－ｒ２）ｄｒ＝πＲ
４Δｐ
８μｌ
Ｑ＝ Δｐ
１２８μｌ
Ｄ４
它表明，层流时管中流量与管径的四次方成正比。
（３）平均流速
υ＝ Ｑ
πＲ２
＝
πＲ４Δｐ
８μｌ
πＲ２
＝Ｒ
２Δｐ
８μｌ
＝Ｄ
２Δｐ
３２μｌ
υ＝１２υｍａｘ
即牛顿流体圆管层流的平均流速为断面最大速度的一半。
（４）切应力
由牛顿内摩擦定律
τ＝±μｄｕｄｙ＝－μ
ｄｕ
ｄｒ＝－μ
ｄ
ｄｒ
Δｐ
４μｌ
（Ｒ２－ｒ２[ ]） ＝μΔｐｒ２μｌ＝Δｐｒ２ｌ
管壁ｒ＝Ｒ时的粘性切应力为τ０ ＝
ΔｐＲ
２ｌ
表明在圆管有效断面上，粘性切应力与ｒ成正比。
考点六　沿程水头损失的计算
由水平等直径圆管稳定流动能量方程式及圆管平均流速得ｈｆ＝
Δｐ
ρｇ
＝３２μｌυ
ρｇＤ２
上式表明，层流时管路沿程水头损失与平均流速成正比，将其变换成达西公式的形式，则有 ｈｆ＝
６４μ
ρＤν
ｌ
Ｄ
υ２
２ｇｈｆ＝λ
ｌ
Ｄ
υ２
２ｇ
式中，λ———圆管层流的沿程阻力系数或水力摩擦系数，λ＝６４Ｒｅ
说明：沿程阻力系数 λ仅与雷诺数有关，而与管道壁面粗糙与否无关。这也是被实验所证实
了的。
—７３—
《流体力学》考点精讲及复习思路
例　 圆管的直径为０．０２ｍ，流速为０．１２米／秒，水温为１０摄氏度。试求２０ｍ管长上的沿程水头
损失。
例　 在管径为０．０１ｍ，管长为５ｍ圆管中，冷冻机润滑油做层流流动，测得流量为０．００００８立方
米／秒，水头损失为３０ｍ，求润滑油运动粘滞系数。
层流区，过渡区，紊流光滑区，紊流过渡区，紊流粗糙区
考点七　局部水头损失
（１）局部水头损失的产生和计算
在液流断面急剧变化、液流方向转变的地方，从而产生局部阻力，引起局部阻力损失。
流体流经管件时，其速度的大小、方向等发生变化，出现漩涡，内摩擦力增大，形成局部阻力。
局部阻力以紊流为主，层流很少见，因为层流流体受阻后一般不能保持原有的流动状态。
常见的局部阻力有：
产生局部阻力损失的原因：
①液流中流速的重新分布；
②在漩涡中粘性力做功；
③液体质点的掺混引起的动量变化。
由局部阻力引起的能耗损失的计算方法有两种：阻力系数法和当量长度法。
①阻力系数法　　
ｈｊ＝ζ
υ２
２ｇ　　　　ζ为局部阻力系数。由实验得出，可查表或图。
②当量长度法
ｈｊ＝λ
ｌ当
ｄ
υ２
２ｇ
（２）圆管突然扩大局部水头损失
—８３—
量纲分析有何作用？
可用来推导个别物理量的量纲：简化物理方程；检验物理方程、经验公式的正确性与完善性，为科
学地组织实验过程、整理实验成果提供理论指导。
（２）量纲和谐原理
量纲和谐原理———凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲必须是一致的，即只有方程
两边量纲相同，方程才能成立。这称为量纲和谐原理。
量纲和谐原理的重要性：
①一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验经验公式的正确性和完整性。
②量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。
③可用来建立物理方程式的结构形式。
如：伯努利方程
ｚ＋ｐ
γ
＋ｕ
２
２ｇ＝Ｈ＝Ｃ
各项均具长度的量纲：
［ｐ／γ］＝［ｐ／（ρｇ）］＝（ＭＬ－１Ｔ－２）／（ＭＬ－３ＬＴ－２）＝Ｌ
经验公式是否满足量纲和谐原理？
一般不满足。通常根据一系列的试验资料统计而得，不考虑量纲之间的和谐。
（３）瑞利法
瑞利法：利用量纲和谐原理建立物理方程的一种量纲分析方法。
瑞利法的计算步骤如下：
１）确定与所研究的物理量现象有关的ｎ个物理量；
２）写出各物理量之间的指数乘积的形式；
３）根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应该相同，确定物理量的指数，代入指数方程式即得各
物理量之间的关系式。
应用范围：一般情况下，要求相关变量未知数ｎ小于等于４－５个。
下面结合声速公式的推到来水平瑞利法的步骤：
应用瑞利法的注意事项：
①瑞利法只不过是一种量纲分析方法，所推得的物理方程是否正确与之无关，成败关键还在于对
于物理现象所涉及的物理量考虑是否全面。
②瑞利法对涉及物理量的个数少于５个的物理现象是非常方便的，对于涉及５个及以上变量的
物理现象虽然也是用，但远不如π定理方便。
（４）π定理
π定理———如果一个物理过程涉及ｎ个物理量，且基本量纲数为 ｍ，则该物理过程可以用由这 ｎ
个物理量组成的（ｎ－ｍ）个无量纲量所表达的关系式来描述。因为这些无因次量用π来表示，就把这
个定理称为π定理。
π定理的解题步骤：
—０８—
１）确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确定影响这个现象的各个物理量及其关系式：ｆ（ｘ１，
ｘ２，．．．，ｘｎ）＝０
２）确定基本量：从ｎ个物理量中选取所包含的ｍ个基本物理量作为基本量纲的代表，一般取ｍ＝
３。
３）确定π数的个数Ｎ（π）＝（ｎ－ｍ），并写出其余物理量与基本物理量组成的π表达式：πｉ＝
ｘｘ１ｘ
ｙ
２ｘ
ｚ
３·ｘｉ ｉ＝１，２，．．．，( )ｎ－ｍ
４）确定无量纲π数：由量纲和谐原理解联立指数方程，求出各
π项的指数ｘ，ｙ，ｚ，从而定出各无量纲 π参数。π参数分子分母可以相互交换，也可以开方或乘
方，而不改变其无因次的性质。
５）写出描述现象的关系式：ｆπ１，π２，．．．，π( )
ｎ－ｍ ＝０；或显解一个 π参数，如：π４ ＝
ｆπ１，π２，．．．，π( )
ｎ－ｍ ；或求得一个因变量的表达式。
例　沿管道单位长度的压降与液体的密度、粘度、流速、半径有关，试用 π定理给出它们的关
系式。
解　根据题意有
Δｐ
ｌ＝ｆ（ｖ，ｒ，ρ，μ）
用π定理，得
Δｐ
ｌ
ｖａｒｂρｃ
＝ｆ（１，１，１， μ
ｖａ４ｒｂ４ρｃ４
）
其中，π＝
Δｐ
ｌ
ｖａｒｂρｃ
；π４ ＝
μ
ｖａ４ｒｂ４ρｃ４
应用量纲和谐原理，得π＝
Δｐ
ｌ
ｖ２ｒ－１ρ
；π４ ＝
μ
ｖｒρ
于是，得
Δｐ
ｖ２ ｌｒρ
＝ｆ（μｖｒρ
）＝ｆ（１Ｒｅ）＝λ
整理后，得
△ｐ
ｌ ＝λρ
ｌ
ｒν
２
λ———管道阻力系数，
Ｒｅ＝ｖｒρ
μ
———雷诺数
瑞利法和π定理各适用于何种情况？
瑞利法适用于比较简单的问题，相关变量未知数小于等于４－５个，π定理是具有普遍性的方法。
经典例题：试用瑞利法分析自由落体在重力影响下降落距离Ｓ的公式。假设Ｓ和物体的质量ｍ，
重力加速度ｇ和时间ｔ有关。
考点二　相似原理
现代许多工程问题，由于流动情况十分复杂，无法直接应用基本方程式求解，而有赖于实验研究。
—１８—
大多数工程实验是在模型上进行的。所谓模型通常是指与原型（工程实物）有同样的运动规律，各运
动参数存在固定比例关系的缩小物。通过模型实验，把研究结果换算为原型流动，进而预测在原型流
动中将要发生的现象。怎样才能保持模型和原型有同样的流动规律，关键要使模型和原型有相似的
流动，只有这样的模型才是有效的模型，实验研究才有意义。相似理论就是研究相似现象之间的联系
的理论，是模型试验的理论基础。
１．几何相似：所有的线性尺寸对应成比例，所有夹角对应相等。
ｌ１
ｌ２Ｍ
＝
ｒ２
ｒ２Ｍ
＝
Ｄ１
Ｄ１Ｍ
＝λＬ
α１ ＝α１Ｍ，β２ ＝β２
{
Ｍ
（５—５）
２．运动相似：所有的对应点处同名速度比值相等，方向相同。
ｕ１
ｕ１Ｍ
＝
ｖ２
ｖ２Ｍ
＝λｖ ＝λｌλ
－１
ｔ
ａ１
ａ１Ｍ
＝λａ ＝λｌλ
－２





ｔ
（５—６）
３．动力相似：所有的对应点处所受的同名力比值相等，方向相同。
Ｆ１
Ｆ２Ｍ
＝
Ｐ２
Ｐ２Ｍ
＝
Ｔ１
Ｔ１Ｍ
＝
Ｉ２
Ｉ２Ｍ
＝λＩ＝λρλ
２
ｌλ
２
ｕ
α２ ＝α２Ｍ，β１ ＝β１
{
Ｍ
（５—７）
４．边界条件相同：所有的对应点处边界条件相同。即两个流动相应边界性质相同，原型中的固体
壁面，模型中的相应部分也是固体壁面，原型中的自由液面，模型相应部分也是自由液面。在有的书
籍中，将边界条件归于几何条件相似。
ｕ１０
ｕ１０Ｍ
＝
ｖ２０
ｖ２０Ｍ
＝λｖ ＝λｌλ
－１
ｔ
α１０ ＝α１０Ｍ，β２０ ＝β２０
{
Ｍ
（５—８）
５．初始条件相似：
对于非恒定流，所有的对应点处开始以及整个过程中的流动相似。边界条件和初始条件相似是
保证流动相似的充分条件。对于恒定流动又无需初始条件相似，这样流体力学相似的涵义就简述为
几何相似、运动相似、动力相似三方面。
以上就是力学相似的涵义，表明凡力学相似的运动，必是几何相似、运动相似、动力相似的运动。
相似准则：
牛顿数：Ｎｅ＝ Ｆ
ρｌ２ｕ２
；Ｎｅ＝Ｎｅｍ
以上说明了相似的涵义，它实际上是力学相似的结果，重要的问题是如何来实现原型和模型流动
的力学相似。
首先要满足几何相似，否则两个流动不存在相应点，当然也就无相似可言，可以说几何相似是力
学相似的前提条件。
其次是实现动力相似。要使两个流动动力相似，前面定义的各项比尺须符合一定的约束关系，这
—２８—
种约束关系称为相似准则。
根据动力相似的流动，相应点上的力多边形相似，相应边（即同名力）成比例，推导各单项力的相
似准则。
１．雷诺准则
由式（５—７）ＩＴ ＝
Ｉｍ
Ｔｍ
鉴于上式表示两个流动相应点上惯性力与单项作用力（如粘滞力）的对比关系，而不是计算力的
绝对量，所以式中的力可用运动的特征量表示，则：
粘滞力Ｔ＝μＡｄｕｄｙ＝μｌυ；
惯性力Ｉ＝ρｌ２υ２。
代入上式整理，得
υｌ
ν
＝
υｍｌｍ
νｍ
（５—９）
Ｒｅ＝（Ｒｅ）ｍ
无量纲数Ｒｅ＝υｌ
ν
称雷诺数（Ｒｅｙｎｏｌｄｓｎｕｍｂｅｒ）。雷诺数表示惯性力与粘滞力之比。两流动相应
的雷诺数相等，粘滞力相似。
２．佛汝德准则
由式（５—７）ＩＧ ＝
Ｉｍ
Ｇｍ
式中重力Ｇ＝γｌ３，惯性力Ｉ＝ρｌ２υ２。代入上式整理，得：
υ２
ｇｌ＝
υｍ
２
ｇｍｌｍ
开方
υ
槡ｇｌ
＝
υｍ
ｇｍｌ槡 ｍ
（５—１０）
Ｆｒ＝（Ｆｒ）ｍ
无量纲数Ｆｒ＝ υ
槡ｇｌ
，称佛汝德数（Ｆｒｏｕｄｅｎｕｍｂｅｒ）。佛汝德数表征惯性力与重力之比。两流动相
应的佛汝德数相等，重力相似。
３．欧拉准则
由式（５—７）ＰＩ＝
Ｐｍ
Ｉｍ
　
式中压力Ｐ＝ｐｌ２，惯性力Ｉ＝ρｌ２υ２。代入上式整理，得：
ｐ
ρυ２
＝
ｐｍ
ρｍυｍ
２ （５—１１）
Ｅｕ＝（Ｅｕ）ｍ
—３８—
无量纲数Ｅｕ＝ ｐ
ρｌ２
称欧拉数（Ｅｕｌｅｒｎｕｍｂｅｒ）。欧拉数表征压力与惯性力之比。两流动相应的欧
拉数相等，压力相似。
在多数流动中，对流动起作用的是压强差Δｐ，而不是压强的绝对值，欧拉数中常以相应点的压强
差Δｐ代替压强，得：Ｅｕ＝Δｐ
ρｌ２
。
４．柯西准则
当流动受弹性力作用时，由式（５—７）
Ｉ
Ｅ ＝
Ｉｍ
Ｅｍ
式中弹性力Ｅ＝Ｋｌ２，Ｋ为流体的体积模量；惯性力Ｉ＝ρｌ２υ２。代入上式整理，得：
ρυ２
Ｋ ＝
ρｍυｍ
２
Ｋｍ
（５—１２）
Ｃａ＝（Ｃａ）ｍ
无量纲数Ｃａ＝ρυ
２
Ｋ，称为柯西数（Ｃａｕｃｈｙｎｕｍｂｅｒ）。柯西数表征惯性力与弹性力之比。两流动相
应的柯西数相等，弹性力相似。柯西准则用于水击现象的研究。
声音在流体中传播的速度（音速）ａ＝Ｋ
ρ
，代入式（５—１２）开方，得：
υ
ａ＝
υｍ
ａｍ
（５—１３）
Ｍａ＝（Ｍａ）ｍ
无量纲数Ｍａ＝υａ称马赫数（Ｍａｅｈｎｕｍｂｅｒ），可压缩气流流速接近或超过声速时，弹性力成为影
响流动的主要因素，实现流动相似需相应的马赫数相等。
两个相似流动相应点上的封闭力多边形是相似形。若决定流动的作用力是粘滞力、重力和压力，
则只要其中两个同名作用力和惯性力成比例，另一个对应的同名力也将成比例。由于压力通常是待
求量，这样只要粘滞力、重力相似，压力将自行相似。换言之，当雷诺准则、佛汝德准则成立，欧拉准则
可自行成立。所以又将雷诺准则、佛汝德准则称为定性准则，欧拉准则称为导出准则。
流体的运动是边界条件和作用力决定的，当两个流动一旦实现了几何相似和动力相似，就必然以
相同的规律运动。由此得出结论，几何相似与定性准则成立是实现流体力学相似的充分和必要条件。
５．表面张力相似准则
例如毛细管中的水流起主要作用的力是表面张力。表面张力 Ｓ＝σＬ，σ为单位长度的表面张
力。如作用力主要是表面张力，则 Ｆ＝Ｓ＝σＬ，于是 λＦ ＝λＳσ ＝λσλＬ，代入
λＦ
λρλＬ
２λυ
２ ＝１式得
λρλＬλυ
２
λσ
＝１，或写作：
ρＬυ２
σ
ρｍＬｍυｍ
２
σｍ
（５—１４）
—４８—
上式等号两边的无量纲数称为韦伯数（ＷｅｒｂｅｒＮｕｍｂｅｒ），用Ｗｅ表示，上式可写作Ｗｅ＝（Ｗｅ）ｍ，
由此可知，要使两个流动的表面张力作用相似，则它们的韦伯数必须相等，这称为表面张力相似准则，
也称韦伯准则。
６．惯性力相似准则
在非恒定流中由于在给定位置上的水力要素是随时间而变化的，因此在非恒定流中当地惯性力
往往起主要作用。由当地加速度
ｕ
ｔ
所引起的惯性力为　　Ｉ＝Ｍｕ
ｔ
＝ρＶｕｔ
因此，λＦ ＝λＩ＝λρλＬ
３λυλｔ
－１，代入
λＦ
λρλＬ
２λυ
２ ＝１式得　　　　　
或
λυλｔ
λＬ
＝１写作　 υｔ
Ｌ＝
υｍｔｍ
Ｌｍ
（５—１５）
上式等号两边的无量纲数称为斯特罗哈数，用Ｓｔ表示，上式也可写作Ｓｔ＝Ｓｔｍ
由此可知，要使两个流动的当地惯性力作用相似，则它们的斯特罗哈数必须相等，这称为惯性力
相似准则，也称为斯特罗哈准则。
考点三　模型实验
模型实验是依据相似原理，制成和原型相似的小尺度模型进行实验研究，并以实验的结果须测出
原型将会发生的流动现象。进行模型实验需要解决下面两个问题。
一、模型律的选择
为了使模型和原型流动完全相似，除要几何相似外，各独立的相似准则应同时满足。但实际上要
同时满足各准则很困难，甚至是不可能的。譬如按雷诺准则：Ｒｅ＝（Ｒｅ）ｍ，
原型与模型的速度比
υ
υｍ
＝ν
νｍ
ｌｍ
ｌ （５—１６）
按准则Ｆｒ＝（Ｆｒ）ｍ，且ｇ＝ｇｍ
原型与模型的速度比
υ
υｍ
＝ ｌ
ｌ槡ｍ
（５—１７）
要同时满足雷诺准则和佛汝德准则，就要同时满足式（５—１６）和式（５—１７），
νｌｍ
νｍｌ
＝ ｌ
ｌ槡ｍ
（５—１８）
当原型和模型为同种流体，ν＝νｍ，得：
ｌｍ
ｌ＝
ｌ
ｌ槡ｍ
。
可见只有ｌ＝ｌｍ，即λｌ＝１时，上式才能成立。这在大多数情况下，已失去模型实验的价值。当
原型与模型为不同种流体，ν≠νｍ，由式（５－１８）得：
υ
υｍ
＝ ｌ
ｌ( )
ｍ
３／２
，υｍ ＝
υ
λｌ
３／２
如长度比尺λｌ＝１０，则υｍ ＝
υ
３１．６２。若原型是水，模型就需选用运动粘度是水的１／３１．６２的实
验流体，这样的流体是很难找到的。
由以上分析可见，模型实验做到完全相似是比较困难的，一般只能达到近似相似。就是保证对流
—５８—
体起主要作用的力相似，这就是模型律的选择问题。如有压管流、潜体绕流，粘滞力起主要作用，应按
雷诺准则设计模型；堰顶溢流、闸孔出流、明渠流动等，重力起主要作用，应按佛汝德准则设计模型。
在下一章阐述的流动阻力实验中将指出，当雷诺数Ｒｅ超过某一数值后，阻力系数不随Ｒｅ变化，此
时流动阻力的大小与Ｒｅ无关，这个流动范围称为自动模型区。若原型和模型流动都处于自动模型区，
只需几何相似，不需Ｒｅ相等，就自动实现阻力相似。工程上许多明渠水流处于自模区，按佛汝德准则
设计的模型，只要模型中的流动也进入自模区，便同时满足阻力相似。
二、模型设计
进行模型设计，通常是先根据实验场地，模型制作和量测条件，定出长度比尺 λｌ；再以选定的比
尺λｌ缩小原型的几何尺寸，得出模型区的几何边界；根据对流动受力情况的分析，满足对流动起主要
作用的力相似，选择模型律；最后按所选用的相似准则，确定流速比尺及模型的流量。例如：
雷诺准则
υｌ
ν
＝
υｍｌｍ
νｍ
，如ν＝νｍ
υ
υｍ
＝
ｌｍ
ｌ＝λｌ
－１ （５—１９）
佛汝德准则　　　　 υ
槡ｇｌ
＝
υｍ
ｇｍｌ槡 ｍ
，　 如ｇ＝ｇｍ
υ
υｍ
＝ ｌ
ｌ( )
ｍ
１／２
＝λｌ
１／２ （５—２０）
流量比
Ｑ
Ｑｍ
＝ υＡ
υｍＡｍ
＝λｖλｌ
２
Ｑｍ ＝
Ｑ
λｖλｌ
２
将速度比尺关系式（５—１９）、式（５—２０）分别代入上式，得模型流量：
雷诺准则模型 Ｑｍ ＝
Ｑ
λｌ
－１λｌ
２ ＝
Ｑ
λｌ
佛汝德准则模型 Ｑｍ ＝
Ｑ
λｌ
１／２λｌ
２ ＝
Ｑ
λｌ
２．５
按雷诺准则和佛汝德准则导出各物理量比尺见表５—１。
表５－１　模型比尺表
名称
比尺
雷诺准则
λν＝１ λν≠１
佛汝德准则
名称
比尺
雷诺准则
λν＝１ λν≠１
佛汝德准则
长度比尺λｌ λｌλｌ λｌ λｌ 力的比尺λＦ λρλ λν
２λρ λｌ
３λρ
流速比尺λｖ λｌ
－１ λνλｌ
－１ λｌ
１／２ 压强比尺λρ λｌ
－２λρ λν
２λｌ
－２λρ λｌλρ
加速度比尺λａ λｌ
－３ λν
２λｌ
－３ λｌ
０ 功能比尺λＷ λｌλρ λν
２λｌλρ λｌ
４λρ
流量比尺λＱ λｌ λνλｌ λｌ
５／２ 功率比尺λＮ λｌ
－１λρ λν
３λｌ
－１λρ λｌ
２／７λρ
时间比尺λｔ λｌ
２ λｖ
－１λｌ
２ λｖ
－１λｌ
２
—６８—
［例５—５］　为研究热风炉中烟气的流动特性，采用长度比尺为１０的水流做模型实验。已知热
风炉内烟气流速为８ｍ／ｓ，烟气温度为６００℃，密度为０．４ｋｇ／ｍ３，运动粘度为０．９ｃｍ２／ｓ。
模型中水温１０℃，密度为１０００ｋｇ／ｍ３，运动粘度０．０１３１ｃｍ２／ｓ。试问：（１）为保证流动相似，模型中
水的流速是多少？（２）实测模型的压降为６３０７．５Ｎ／ｍ２，原型热风炉运行时，烟气的压降是多少？
解　（１）对流动起主要作用的力是粘滞力，应满足雷诺准则
Ｒｅ＝（Ｒｅ）ｍ
υｍ ＝υ
νｍ
ν
ｌ
ｌｍ
＝８×０．０１３１０．９ ×１０＝１．１６ｍ／ｓ
（２）流动的压降满足欧拉准则
Ｅｕ＝（Ｅｕ）ｍ
Δｐ＝Δｐｍ ×
ρυ２
ρｍυｍ
２ ＝６３０７．５×
０．４×８２
１０００×１．１６２
＝１２０Ｎ／ｍ２
考点四　带泵的伯努利方程
泵是指用来输送液体的装置，而输送气体的称为风机或压缩机。输油管线上的油品输送以及供
水和消防系统，经常使用泵来提高输送能力，使其达到规定的输送量、规定的输送高度或距离。当管
线与泵链接在一起时，泵将机械能传给液体，使液体本身的能量增加。
泵的排量———通过泵的流量称为泵的排量。
扬程———泵使单位重力液体增加的能量通常称为泵的扬程，用Ｈ表示。
在运用伯努利方程时，如果所取两个计算断面中一个位于泵前面，另一个位于泵后面，即液体流
经了泵，那么就必须考虑连个断面之间由于泵的工作而外加给液体的能量，此时的伯努利方程为：
ｚ１＋
ｐ１
ρｇ
＋
ｕ２１
２ｇ＋Ｈ＝ｚ２＋
ｐ２
ρｇ
＋
ｕ２２
２ｇ＋ｈ′ｌ－２
由此可见，泵的扬程的计算公式：
Ｈ＝（ｚ２－ｚ１）＋
ｐ２－ｐ１
ρｇ
＋
ｕ２２－ｕ
２
１
２ｇ ＋ｈ′ｌ－２
从上式可以看出，泵的扬程等于泵前后两断面上的总比能差加上两端面间的水头损失。这种平
衡关系，通过下图可以看得更清楚。
在上图图示的情况下，由于液面敞开在大气中，液面上的压力均为０，液面上的速度也都为０，故
上式简化为：
—７８—
Ｈ＝ｚ２－ｚ１＋ｈ１－２
上式表明：泵的扬程主要用于克服位差和水头损失。
Ｈ的几何意义：
假设一个水泵安装在水面上，其排出口竖直朝上，且吸水管路和压力管路都极短，可以忽略
水头损失，假设泵工作时能将液体扬起的高度为 ｈ，在下图所示的两个计算断面间运用伯努利方
程，有：
０＋０＋０＋Ｈ＝ｈ＋０＋０＋０
则液体能被扬起的高度为：
ｈ＝Ｈ
泵的功率———泵在单位时间内对液流所做的共（或给液流的能量）叫做泵的输出功率，也称为泵
的有效功率，用Ｎ泵表示，单位为Ｗ（Ｎ·ｍ／ｓ）
泵的有效功率（泵的有效功率与排量和扬程的关系）：Ｎ泵 ＝ρｇＱＨ习惯上，把泵的输入功率称为
泵的额定功率，由于输入功多是由轴输入的，所以也称为轴功率，用表示Ｎ轴。
泵的有效功率与泵轴功功率之比称之为泵效，用η泵表示，即：η泵 ＝
Ｎ泵
Ｎ轴
通常泵由电动机带动，若再计入电动机的效率η电后，可算出电动机所需要的功率 Ｎ电为（电动机
的输入功率）：Ｎ电 ＝
Ｎ轴
η电
例　 如图所示管路系统，欲维持出口流速为２０米／秒，管路水头损失为 ２ｍ，问水泵的功率为
多少？
例　 如图离心泵，吸入管与排出管内径均为０．２，流量为０．０２立方米／秒，真空表与压力表高差
１ｍ。真空表读数６６８００Ｐａ，压力表读书２２５４００Ｐａ。泵的效率０．８，电动机效率０．７。不计管路水头损
失。求泵的有效功率和所需电动机的输入功率。
—８８—
３．本讲历年经典试题回顾
（解放军后勤工程学院，２０１２年，一，４，２分）
１．如果考虑模拟的流动，主要作用力为粘滞力，则流动水利相似应考虑采用 准则。如模
型设计采用的长度比尺λｌ＝２０，若模型的流体与原型相同，模型中流速为５０ｍ／ｓ时，则原型流速为
ｍ／ｓ。（２分）
（解放军后勤工程学院，２０１２年，三，３，３０分）
２．水泵装置如图所示。水泵安装高度ｈｓ＝３ｍ，两水池液面高差ｚ０＝２０ｍ。吸水管的管径ｄ１＝
０．２ｍ，长度ｌ１＝４ｍ，沿程阻力系数 λ１＝０．０２４，总的局部阻力系数 ζ１＝６．０，排出管的管径 ｄ２＝
０．１５ｍ，长度ｌ２＝５０ｍ，沿程阻力系数λ２＝０．０２８，总的局部阻力系数ζ２＝８．５。测得水泵出口的表
压ｐ２ｍ＝１．８×１０
５Ｐａ。试计算水泵流量Ｑ，水泵扬程Ｈ，水泵有效功率Ｎｅ。（３０分）
—９８—