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2014 考研数学基础班概率统计讲义—汤家凤 
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2014 考研数学基础班概率统计讲义 
第一章  随机事件与概率 
一、随机试验与随机事件 
（一）基本概念 
1、随机试验—具备如下三个条件的试验： 
（1）相同条件下可重复。（2）试验的可能结果是多样的且是确定的。 
（3）某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为 E 。 
2、样本空间—随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。 
3、随机事件—样本空间的子集称为随机事件。 
（二）事件的运算 
1、事件的积—事件 A与事件 B 同时发生的事件，称为事件 BA, 的积，记为 AB 。 
2、事件的和—事件 A或者事件 B 发生,称为事件 BA, 的和事件，记为 BA + 。 
3、事件的差—事件 A发生而事件 B 不发生,称事件 BA, 的差事件，记为 BA − 。 
（三）事件的关系 
1、包含—若事件 A发生则事件 B 一定发生，称 A包含于 B ，记为 BA ⊂ 。 
若 BA ⊂ 且 AB ⊂ ，称两事件相等，记 BA = 。 
2、互斥（不相容）事件—若 A与 B 不能同时发生，即 φ=AB ，称事件 BA, 不相容或互斥。 
3、对立事件—若 φ=AB 且 Ω=+ BA 称事件 BA, 为对立事件。 
【注解】（1） ABBAA +−= )( ，且 BA − 与 AB 互斥。 
（2） ABABBABA +−+−=+ )()( ，且 ABABBA ,, −− 两两互斥。 
（四）事件运算的性质 
1、（1） BABAAB +⊂⊂ )(或 ；        （2） ABBABAAB +=+= , ； 
2、（1） AAAAAA =∩=∪ , ； 
（2） )()()(),()()( CABACBACABACBA ∪∩∪=∩∪∩∪∩=∪∩ ； 
3、（1） ABAA ∪−= )( ；              （2） BAABA −=∩− )( ； 
（3） )()( ABABBABA −∪∪−=+ 。 
4、（1） Ω=+ AA ；                   （2） φ=∩ AA 。 
 
二、概率的定义与性质 
（一）概率的定义—设随机试验的样本空间为Ω，满足如下条件的随机事件的函数 )(•P 称为所对应事件的
概率： 
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1、对事件 A，有 0)( ≥AP （非负性）。 
2、 1)( =ΩP （归一性）。 
3、设 LL ,,,, 21 nAAA 为不相容的随机事件，则有 ∑
∞
=
∞
=
=
11
)()(
n
nn
n
APAP U （可列可加性）。 
（二）概率的基本性质 
1、 0)( =φP 。 
2、设 nAAA ,,, 21 L 为互不相容的有限个随机事件列，则 ∑
==
=
n
k
kk
n
k
APAP
11
)()(U 。 
3、 )(1)( APAP −= 。 
4、（减法公式） )()()( ABPAPBAP −=− 。 
（三）概率基本公式 
1、加法公式 
（1） )()()()( ABPBPAPBAP −+=+ 。 
（2） )()()()()()()()( ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP +−−−++=++ 。 
2、条件概率公式：设 BA, 是两个事件，且 0)( >AP ，则
)(
)()|(
AP
ABPABP = 。 
3、乘法公式 
（1）设 0)( >AP ，则 )|()()( ABPAPABP = 。 
（2） )|()|()|()()( 12121312121 −= nnn AAAAPAAAPAAPAPAAAP LLL 。 
 
三、事件的独立性 
1、两个事件的独立—设 BA, 是两个事件，若 )()()( BPAPABP = ，称事件 BA, 相互独立。 
2、三个事件的独立—设 CBA ,, 是三个事件，若
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
=
),()()()(
);()()(
);()()(
);()()(
CPBPAPABCP
CPBPBCP
CPAPACP
BPAPABP
，称事件 CBA ,, 相互独立。 
【注解】 
（1） BA, 相互独立的充分必要条件是 BA,  、 BA, 、 BA, 任何一对相互独立。 
（2）设 0)( =AP 或 1)( =AP ，则 A与任何事件 B 独立。 
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（3）设 0)(,0)( >> BPAP ，若 BA, 独立，则 BA, 不互斥；若 BA, 互斥，则 BA, 不独立。 
 
四、全概率公式与 Bayes 公式 
1、完备事件组—设事件组 nAAA ,,, 21 L 满足：（1） ),,,2,1,( jinjiAA ji ≠== Lφ ； 
（2） Ω=
=
i
n
i
A
1
U ，则称事件组 nAAA ,,, 21 L 为一个完备事件组。 
2、全概率公式：设 nAAA ,,, 21 L 是一个完备事件组，且 ),,2,1(0)( niAP i L=> ， B 为事件，则
∑
=
=
n
i
ii ABPAPBP
1
)|()()( 。 
3、贝叶斯公式：设 nAAA ,,, 21 L 为一个完备事件组，且 ),,2,1(0)( niAP i L=> ， B 为任一随机事件，
0)( >BP ，则
)(
)|()()|(
BP
ABPAPBAP ii
i = 。 
例题选讲 
一、填空题 
1、设 7.0)(,4.0)( =∪= BAPAP ， 
（1）若 BA, 不相容，则 ________)( =BP ；（2）若 BA, 相互独立，则 ________)( =BP 。 
2、设
6
1)()()(,
4
1)()()( ====== BCPACPABPCPBPAP ，则事件 CBA ,, 全不发生的概率为
_________________ 。 
3、设两两相互独立的事件 CBA ,, 满足：
2
1)()()(, <=== CPBPAPABC φ ，且有
16
9)( =++ CBAP ，
则 ________)( =AP 。 
4、设事件 BA, 满足 )()( BAPABP = ，且 pAP =)( ，则 ________)( =BP 。 
5、设 BA, 为两个相互独立的随机事件，且 BA, 都不发生的概率为
9
1
，A发生 B 不发生的概率与 A不发生 B
发生的概率相等，则 ________)( =AP 。 
 
二、选择题： 
1、设 BA, 是两个随机事件，且 )|()|(,0)(,1)(0 ABPABPBPAP =><< ，则[    ] 
)|()|()( BAPBAPA = ；     )|()|()( BAPBAPB ≠ ； 
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)()()()( BPAPABPC = ；     )()()()( BPAPABPD ≠ 。 
2、设事件 BA, 满足 1)(0,1)(0 <<<< BPAP ，且 1)|()|( =+ BAPBAP ，则[    ] 
)(A 事件 BA, 对立；      )(B 事件 BA, 相互独立； 
)(C 事件 BA, 不相互独立；     )(D 事件 BA, 不相容。 
 
三、解答题 
1、一批产品共有 10 个正品和 2 个次品，任意抽取 2 次，每次抽取一个，抽取后不放回，求第二次抽取的是
次品的的概率。 
2、设工厂 A与工厂 B 的次品率分别为 1%和 2%，现从由 A和 B 生产的产品分别占 60%和 40%的一批产品
中随机抽取一件，发现是次品，求该次品是 A生产的概率。 
3、设事件 A在每次试验中的概率为 p ，三次独立重复试验中事件 A至少出现一次的概率为
27
19
，求事件 A
发生的概率 p 。 
4、甲乙两人独立对同一目标射击一次，命中率分别为 50%和 60%，已知目标被命中，求是甲命中的概率。 
第二章  一维随机变量及其分布 
一、基本概念 
1、随机变量—设 的样本空间为随机试验EΩ ， 上的函数为定义在Ωξ ，对任意的 Ω∈ω ，总存在唯一
确定的 )(ωξ 与之对应，称ξ 为随机变量，若ξ 的可能取值为有限个或可列个，称ξ 为离散型随机变量，若ξ 在
某可区间上连续取值，称ξ 为连续型随机变量。 
2、分布函数—设ξ 为一个随机变量，称函数 )}({)( +∞<<−∞≤= xxPxF ξ 为随机变量ξ 的分布函数。 
【注解 1】分布函数的四个特征为 
（1） 1)(0 ≤≤ xF 。         （2） 单调不减)(xF 。 
（3） 右连续)(xF 。         （4） 1)(,0)( =+∞=−∞ FF 。 
【注解 2】分布函数的性质 
（1） )0(}{ −=< aFaXP 。        （2） )0()(}{ −−== aFaFaXP 。 
（3） )()(}{ aFbFbxaP −=≤< 。  （4） )()0(}{ aFbFbXaP −−=<< 。 
3、离散型随机变量的分布律—称 )1(}{ nipxXP ii ≤≤== 称为随机变量 X 的分布律。 
【注解】（1） )1(0 nipi ≤≤≥ 。    （2） 121 =+++ nppp L 。 
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4、连续型随机变量的密度函数—设 X 的分布函数为 )(xF ，若存在非负可积函数 )(xf ，使得
∫ ∞−
=
x
dttfxF )()( ，称 )(xf 为 X 的密度函数。 
【注解】（1） 0)( ≥xf 。      （2） 1)( =∫
+∞
∞−
dxxf 。 
 
二、常见随机变量及其分布 
（一）离散型 
1、二项分布—若随机变量 X 的分布律为 )0()1(}{ nkppCkXP knkk
n ≤≤−== −
，称随机变量 X 服从二
项分布，记为 ),(~ pnBX 。 
2、Poisson 分布—若随机变量 X 的分布律为 ),2,1,0(
!
}{ L=== − ke
k
kXP
k
λλ
，称随机变量 X 服从泊松分
布，记为 )(~ λπX 。 
3、几何分布—若随机变量 X 的分布律为 ),2,1()1(}{ 1 L=−== − kppkXP k
，称随机变量 X 服从几何分
布，记为 )(~ pGX 。 
（二）连续型 
1、均匀分布—若随机变量ξ 的密度函数为
⎪⎩
⎪
⎨
⎧ ≤≤
−=
其他,0
,1
)(
bxa
abxf ，称随机变量ξ 服从均匀分布，记为
),(~ baUξ ，其分布函数为
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≥
<≤
−
−
<
=
bx
bxa
ab
ax
x
xF
,1
,
0,0
)( 。 
2、正态分布—若随机变量ξ 的密度函数为 )(
2
1)( 2
2
2
)(
+∞<<−∞=
−
−
xexf
x
σ
μ
σπ
，称随机变量ξ 服从正态
分布，记为 ),(~ 2σμξ N ，特别地，若 1,0 == σμ ，称随机变量服从标准正态分布，记为 )1,0(~ Nξ ，其密度
为 )(
2
1)( 2
2
+∞<<−∞=
−
xex
x
π
ϕ ，其分布函数为 
∫ ∞−
=Φ
x
dttx )()( ϕ 。 
3、指数分布—若随机变量ξ 的密度为 )0(
0,0
0,
)( >
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
−
λ
λ λ
x
xe
xf
x
，称随机变量ξ 服从指数分布，记为
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)(~ λξ E ，其分布函数为
⎩
⎨
⎧
≥−
<
=
− 0,1
0,0
)(
xe
x
xF xλ
。 
【注解】（1） )(1)(,
2
1)0( aa Φ−=−Φ=Φ 。 
（2）若 ),(~ 2σμξ N ，则
2
1}{}{ =>=≤ μξμξ PP 。 
（3）若 ),(~ 2σμξ N ，则 )1,0(~ N
σ
μξ −
。 
（4）若 ),(~ 2σμξ N ，则 )()()()(}{
σ
μ
σ
μξ −
Φ−
−
Φ=−=≤<
abaFbFbaP 。 
例题选讲 
一、选择题 
1、设 21, XX 的密度为 )(),( 21 xfxf ，分布函数为 )(),( 21 xFxF ，下列结论正确的是[    ] 
)()()( 21 xFxFA + 为某随机变量的分布函数； 
)()()( 21 xfxfB + 为某随机变量的密度函数； 
)()()( 21 xFxFC 为某随机变量的分布函数；   
)()()( 21 xfxfD 为某随机变量的密度函数。 
2、设随机变量 X 的密度函数 )(xf 为偶函数，其分布函数为 )(xF ，则          [    ] 
)()( xFA 为偶函数；               1)(2)()( −=− aFaFB ； 
∫−=−
a
dxxfaFC
0
)(1)()( ；           ∫−=−
a
dxxfaFD
0
)(
2
1)()( 。 
3、设 )5,(~),4,(~ 22 μμ NYNX ，令 }5{},4{ +≥=−≤= μμ YPqXPp ，则  [    ] 
)(A 对任意实数μ 都有 qp = ；      )(B 对任意实数μ 都有 qp < ； 
)(C 对个别μ ，才有 qp = ；        )(D 对任意实数μ ，都有 qp > 。 
4、设 ),(~ 2σμNX ，则随σ 的增大，概率 }|{| σμ <−XP                    [    ] 
)(A 单调增大；   )(B 单调减少；    ` )(C 保持不变；   )(D 增减不确定。 
 
二、填空题 
1、 _______,
2
104),,(~ 22 ==++ μσμ 则无实根的概率为方程设 XyyNX 。 
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2、 ______}1{,
9
5}1{),,3(~),,2(~ =≥=≥ YPXPpBYpBX 则若设 。 
 
三、解答题 
1、有 3 个盒子，第 1 个盒子有 4 个红球 1 个黑球，第 2 个盒子有 3 个红球 2 个黑球，第 3 个盒子有 2 个红
球 3 个黑球，若任取一个盒子，从中任取 3 个求，以 X 表示红球个数。 
（1）写处 X 的分布律；  （2）求红球个数不少于 2 个的概率。 
2、设离散型随机变量 X 的分布函数为
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≥
<≤
<≤−
−<
=
2,1
21,7.0
11,3.0
1,0
)(
x
x
x
x
xF ，求 X 的分布律。 
3、设 X 的分布函数为
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥−
<≤
<
=
−− 1,1
10,
0,
)(
)1( xAe
xB
xAe
xF
x
x
， 
（1）求 BA, ；  （2）求密度函数 )(xf ；  （3）求 }
3
1{ >XP 。 
4、设 )2,0(~ UX ，求随机变量
2XY = 的概率密度。 
5、设 )1,0(~ NX ，且
2XY = ，求随机变量Y 的概率密度。 
第三章  二维随机变量及其分布 
一、基本概念 
1、联合分布函数—设 ),( YX 为二维随机变量，称 },{),( yYxXPyxF ≤≤= 为 ),( YX 的联合分布函数。 
2、二维离散型随机变量的联合分布律—设 ),( YX 为二维离散型随机变量，称 
),,2,1,,,2,1(},{ njmipyYxXP ijji LL =====  
为 ),( YX 的联合分布律，称 
),,2,1(}{),,,2,1(}{
11
njppyYPmippxXP j
m
i
ijji
n
j
iji LL ======== ⋅
=
⋅
=
∑∑  
分别为随机变量 YX , 的边际分布律。 
3、连续型随机变量的联合密度函数—设 ),( YX 为二维连续型随机变量，若存在 0),( ≥yxf ，使得
∫∫ ∞−∞−
=≤≤=
yx
dvvufduyYxXPyxF ),(},{),( ，称 ),( yxf 为随机变量 ),( YX 的联合密度函数，称 
∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
== dxyxfyfdyyxfxf YX ),()(,),()(  
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分别为随机变量 YX , 的边际密度函数。 
【注解】联合分布函数的特征有 
（1） 1),(0 ≤≤ yxF 。 （2） ),( yxF 关于 yx, 为单调不减函数。 
（3） ),( yxF 关于 x 或者 y 都是右连续。 
（4） 1),(,0),(,0),(,0),( =+∞+∞=−∞+∞=+∞−∞=−∞−∞ FFFF 。 
 
二、常见的二维连续型随机变量 
1、均匀分布—设二维连续型随机变量 ),( YX 的联合密度为 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∉
∈
=
Dyx
Dyx
Ayxf
),(,0
),(,1
),( ，其中 A为区域 D 的面积，称 ),( YX 在区域 D 上服从均匀分布。 
2、正态分布—设二维连续型随机变量 ),( YX 的联合密度为 
]})())((2)[(
)1(2
1exp{
12
1),( 2
2
2
21
212
1
1
22
21
σ
μ
σσ
μμρ
σ
μ
ρρσπσ
−
+
−−
−
−
−
−
−
=
yyxxyxf 则称 ),( YX 服
从二维正态分布，记为 ),,,,(~),( 2
2
2
121 ρσσμμNYX ，其中 0,0 21 >> σσ 。 
【注解】若 ),,,,(~),( 2
2
2
121 ρσσμμNYX ，则 ),(~),,(~ 2
22
2
11 σμσμ NYNX 。 
 
二、随机变量的条件分布与随机变量的独立性 
（一）二维离散型随机变量的条件分布 
1、设 0}{ >= jyYP ，在事件 }{ jyY = 发生的情况下，事件 }{ ixX = 发生的条件概率为 
),2,1(}|{ L====
⋅
i
p
p
yYxXP
j
ij
ji ； 
2、设 0}{ >= ixXP ，在事件 }{ ixX = 发生的情况下，事件 }{ jyY = 发生的条件概率为 
),2,1(}|{ L====
⋅
j
p
p
xXyYP
i
ij
ij 。 
（二）二维连续型随机变量的条件密度 
1、设 0)( >yfY ，则在“ yY = ”的条件下， X 的条件概率密度为
)(
),()|(| yf
yxfyxf
Y
YX = 。 
2、设 0)( >xf X ，则在“ xX = ”的条件下，Y 的条件概率密度为
)(
),()|(| xf
yxfxyf
X
XY = 。 
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（三）随机变量的独立性 
1、定义—设 ),( YX 为二维随机变量，若对任意的 yx, 都有 )()(),( yFxFyxF YX= ， 
称随机变量 YX , 相互独立。 
2、独立的充分必要条件 
（1）离散型随机变量—设 ),( YX 为二维离散型随机变量，则 YX , 相互独立的充要条件是 
LL ,2,1;,2,1(.. ==×= jippp jiij 。 
（2）连续型随机变量—设 ),( YX 为二维连续型随机变量，则 YX , 相互独立的充要条件是 
 )()(),( yfxfyxf YX= （可以除去有限个点）。 
【注解】若 ),( YX 为二维连续型随机变量，求 ),( YX 的分布或数字特征时常需要使用联合密度函数
),( yxf ，一般有如下三种情况： 
（1）题中直接给出 ),( yxf （若其中含参数，用归一性求出）。 
（2） YX , 服从的分布已知且 YX , 独立，则 )()(),( yfxfyxf YX= 。 
（3） X 的边缘分布已知，且Y 的条件密度已知，则 )|()(),( | xyfxfyxf XYX= 。 
 
三、随机变量函数的分布 
    已知 ),( YX 的分布， ),( YXZ ϕ= ，关于Z 的分布有以下几种情形： 
情形一：设 ),( YX 为离散型随机变量， ),( YXZ ϕ= ，则 Z 为离散型随机变量，求出其可能取值及对应的
概率即可。 
情形二： ),( YX 为连续型随机变量， ),( YXZ ϕ= ，其中ϕ为连续函数，则Z 为连续型随机变量，可用分
布函数定义求Z 的分布。 
情形三： YX , 中一个为连续型随机变量，一个为离散型随机变量，求 ),( YXZ ϕ= 的分布 
例题选讲 
一、选择题 
1、设相互独立的随机变量 YX , 分别服从 )1,0(N 及 )1,1(N ，则[    ] 
2
1}0{)( =≤+YXPA ；              
2
1}1{)( =≤+YXPB ； 
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2
1}0{)( =≤−YXPC ；            
2
1}1{)( =≤−YXPD 。 
 
二、填空题 
1 、 设 YX , 为 两 个 随 机 变 量 ， 且
7
4}0{}0{,
7
3}0,0{ =≥=≥=≥≥ YPXPYXP ， 则
_________}0),{max( =≥YXP 。 
 
三、解答题 
1、袋中有 10 个大小相同的球，其中 6 个红球 4 个白球，随机抽取 2 个，每次抽取 1 个，定义如下两个随机
变量：
⎩
⎨
⎧
=
⎩
⎨
⎧
=
次抽到白球第
次抽到红球第
次抽到白球第
次抽到红球第
2,0
2,1
,
1,0
1,1
YX ， 
就下列两种情况，求 ),( YX 的联合分布律： 
（1）每次抽取后放回；     （2）每次抽取后不放回。 
2、设 ),( YX 的联合密度为
⎩
⎨
⎧ >>
=
+−
其他,0
0,0,
),(
)2( yxAe
yxf
yx
，求 
（1）常数 A；  （2） ),( YX 的分布函数；  （3） YXZ 2+= 的分布函数； 
（4） }{}12{ YXPYXP <≤+ 及 。 
3、设随机变量 )(~ λEX ，求随机变量 }2,min{XY = 的分布函数。 
4、设 )(~),(~ 21 λλ EYEX 且 YX , 独立。 
（1）设 },max{ YXZ = ，求Z 的密度函数。 （2） },min{ YXZ = ，求Z 的密度函数。 
第四章  随机变量的数字特征 
一、数学期望及其性质 
（一）数学期望的定义 
1、离散型数学期望—设 X 的分布律为 ),2,1(}{ L=== kpxXP kk ，则 ∑
∞
=
=
1k
kk pxEX 。 
2、连续型数学期望—设 X 的概率密度为 )(xf ，则其数学期望为  ∫
+∞
∞−
= dxxxfEX )( 。 
3、二维离散型随机变量的数学期望—设离散型随机变量 ),( YX 的联合分布律为 
),2,1;,2,1(},{ LL ===== jipyYxXP ijji ， ),( YXZ = ，则 
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∑∑
∞
=
∞
=
=
1 1
),(
i
ijji
j
pyxEZ ϕ 。 
4、二维连续型随机变量的数学期望—设二维连续型随机变量 ),( YX 的密度为 ),( yxf ， ),( YXZ = ，则
∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
= dyyxfyxdxEZ ),(),(ϕ 。 
（二）数学期望的性质 
1、 CCE =)( 。       2、 kEXkXE =)( 。      3、 EYEXYXE +=+ )( 。 
4、 bEYaEXbYaXE +=+ )( 。 
5、若随机变量 YX , 相互独立，则 EYEXXYE ⋅=)( 。 
 
二、方差的定义及性质 
（一）方差的定义— 2)( EXXEDX −= 。 
（二）方差的计算公式— 22 )(EXEXDX −= 。 
（三）方差的性质 
1、 0)( =CD 。   2、 DXkkXD 2)( = 。 
3、设随机变量 YX , 相互独立，则 DYbDXabYaXDDYDXYXD 22)()( +=++=+ ， 。 
 
三、常见随机变量的数学期望和方差 
1、二项分布： npqDXnpEXpnBX == ,),,(~ 。 
2、泊松分布： λλπ == DXEXX ),(~ 。 
3、均匀分布：
12
)(,
2
),,(~
2abDXbaEXbaUX −
=
+
= 。 
4、正态分布：
22 ,),,(~ σμσμ == DXEXNX 。 
 
四、协方差与相关系数 
（一）定义 
1、协方差— ))((),( EYYEXXEYXCov −−= 。 
2、相关系数—
DYDX
YX
XY
),cov(
=ρ ，若 0=XYρ ，称随机变量 YX , 不相关。 
（二）协方差的计算公式： EYEXXYEYXCov ⋅−= )(),(  
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（二）性质 
1、 DXXXCov =),( 。             2、若 YX , 独立，则 0),( =YXCov 。 
3、 ),(),( XYCovYXCov = ，        4、 ),(),( YXabCovbYaXCov = 。 
5、 ),(),(),( ZYbCovZXaCovZbYaXCov +=+ 。 
6、 ),(2)( YXCovDYDXYXD ++=+ 。 
例题选讲 
一、填空题 
1、设随机变量 YX , 相互独立，且 2,3 == DYDX ，则 ______)23( =− YXD 。 
2、随机变量 )(~ λEX ，则 ______}{ => DXXP 。 
3、设 YX , 独立同分布，且都服从 )
2
1,0(N ，则 ______||______,|| =−=− YXDYXE 。 
4、设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数，每次射击命中概率为 4.0 ，则 ______2 =EX 。 
5、设随机变量 X 的密度为
1221)( −+−= xxexf
π
，则 __________, == DXEX 。 
6、设随机变量 X 服从参数为λ的泊松分布，且 1)]2)(1[( =−− XXE ，则 ______=λ 。 
 
二、解答题 
1、设 )1(~ EY ， )2,1(
,1
,0
=
⎩
⎨
⎧
>
≤
= k
kY
kY
X k ， 
（1）求 ),( 21 XX 的联合分布律；  （2） )( 21 XXE + 。 
2、设
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡−
2
1
2
1
10
~,
4
1
2
1
4
1
101
~ YXYX 的概率分布为与 ，且 1}0{ ==XYP ， 
（1）求 YX , 的联合分布律；    （2）问 YX , 是否相互独立？为什么？ 
3、设
⎩
⎨
⎧
>
≤−
=
⎩
⎨
⎧
−>
−≤−
=−
1,1
1,1
,
1,1
1,1
],2,2[~
U
U
Y
U
U
XUU ，求 
（1） YX , 的联合分布律；   （2） )( YXD + 。 
4、试验成功的概率为
4
1
4
3
，失败的概率为 ，独立重复试验直到成功 2 次为止，以 X 表示所需要进行的试
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验次数，求 X 的概率分布与数学期望。 
5、设 X 的密度函数为
⎪⎩
⎪
⎨
⎧ ≤≤
=
其他,0
0,
2
cos
2
1
)(
πxx
xf ，对 X 独立重复观察 4 次，Y 表示观察值大于
3
π
的次数，
求
2EY 。 
第五章  大数定律与中心极限定理 
一、车比雪夫不等式 
设随机变量 X 的方差存在，则对任意的 0>ε ，有 
2}|{|
ε
ε DXEXXP ≤≥− ，或者 21}|{|
ε
ε DXEXXP −≥<− 。 
 
二、大数定律 
1、（车比雪夫大数定律）设随机变量 LL ,,,, 21 nXXX 相互独立， iDX 存在且 ),2,1(0 L=≤ iMDX i ，则
对任意的 0>ε ，有 1}|11{|lim
11
=<− ∑∑
==
∞→
ε
n
i
i
n
i
in
EX
n
X
n
P 。 
2、（独立同分布）设 LL ,,,, 21 nXXX 独立同分布，且 ),2,1(, 2 L=== iDXEX ii σμ ，则对任意的 0>ε ，
有 1}|1{|lim
1
=<−∑
=
∞→
εμ
n
i
in
X
n
P 。 
3、（贝努利大数定律）设 LL ,,,, 21 nXXX 独立同分布于参数为 p 的 10 − 分布，则对任意的 0>ε ，有
1}|1{|lim
1
=<−∑
=
∞→
εpX
n
P
n
i
in
。 
4、（辛钦大数定律）设 LL ,,,, 21 nXXX 独立同分布，且 μ=iEX ，则对任意的 0>ε ，有 
1}|1{|lim
1
=<−∑
=
∞→
εμ
n
i
in
X
n
P 。 
三、中心极限定理 
1 、（ Levy-Lindberg 中 心 极 限 定 理 ） 设 随 机 变 量 序 列 LL ,,,, 21 nXXX 独 立 同 分 布 ， 且
),2,1(, 2 L=== iDXEX ii σμ ，则对任意实数 x ，有 
dtex
n
nX
P
x
t
n
i
i
n ∫
∑
∞−
−
=
∞→
=≤
−
21
2
2
1}{lim
πσ
μ
。 
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2、（拉普拉斯中心极限定理）设 ),2,1)(10)(,(~ L=<< nppnBX n ，则对任意实数 x ，有 
dtex
pnp
npXP
x
t
n
n ∫ ∞−
−
∞→
=≤
−
− 2
2
2
1}
)1(
{lim
π
。 
例题选讲 
1、设随机变量 )5(~ EX ，用车比雪夫不等式估计 _________}3|5| ≤≥−XP 。 
2、设 )5,2(~),4,0(~ 22 YNX ，且 YX , 相互独立，用车比雪夫不等式估计 _______}4|2{| ≥<−+YXP 。 
第六章  数理统计基本概念 
一、基本概念 
1、总体—被研究对象某指标的所有可能结果称为总体。 
2、简单样本及样本观察值—设总体为 X ，则来自总体 X 的 n 个相互独立且与总体 X 同分布的随机变量
nXXX ,,, 21 L 称为简单随机样本，样本 nXXX ,,, 21 L 的观察值 nxxx ,,, 21 L 称为样本观察值。 
3、统计量—样本的无参函数称为统计量。 
 
二、样本常用数字特征 
设 nXXX ,,, 21 L 为来自总体 X 的简单样本，则 
1、样本均值— ∑
=
=
n
i
iX
n
X
1
1
。        
2、样本方差— ∑
=
−
−
=
n
i
i XX
n
S
1
22 )(
1
1
。 
3、样本的 k 阶原点矩— L,2,1,1
1
== ∑
=
kX
n
A
n
i
k
ik 。 
4、样本的 k 阶中心矩— L,2,1,)(1
1
2 =−= ∑
=
kXX
n
B
n
i
ik 。 
 
三、常用的抽样分布 
1、 2χ —分布 
（ 1 ） 定 义 — 设 随 机 变 量 nXXX ,,, 21 L 相 互 独 立 且 都 服 从 标 准 正 态 分 布 ， 则 称 随 机 变 量
22
2
2
1
2
nXXX +++= Lχ 为服从自由度为 n 的
2χ 分布，记为 )(~ 22 nχχ 。 
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（2）性质： 
1）设 )(~ 2 nX χ ，则 nDXnEX 2, == ； 
2）设 )(~),(~ 22 nYmX χχ ，且 YX , 相互独立，则 )(~ 2 nmYX ++ χ 。 
2、 t —分布 
设随机变量 )(~),1,0(~ 2 nYNX χ ，且 YX , 相互独立，则称随机变量
nY
Xt
/
= 为服从自由度为 n 的 t 分
布，记为 )(~ ntt 。 
3、 F —分布 
（1）定义—设随机变量 )(~),(~ 22 nYmX χχ ，且 YX , 相互独立，则称随机变量
nY
mXF
/
/
= 为服从自由
度为 nm, 的 F 分布，记为 ),(~ nmFF 。 
（2）性质 
设 ),(~ nmFF ，则 ),(~1 mnF
F
。 
 
四、一个正态总体下几个常用的统计分布 
设总体 ),(~ 2σμNX ， nXXX ,,, 21 L 是来自正态总体 X 的简单样本，则 
1、 )1,0(~
/
),,(~
2
N
n
X
n
NX
σ
μσμ −
。          2、 )1(~
/
−
− nt
ns
X μ
。 
3、 )1(~)1()(1 2
2
2
1
2
2 −
−
=−∑
=
nSnXX
n
i
i χ
σσ
。  4、 )(~)(1 2
1
2
2 nX
n
i
i χμ
σ ∑
=
− 。 
5、 22 σ=ES 。                             6、 X 与
2S 独立。 
例题选讲 
1、设 nXXX ,,, 21 L 是来自正态总体 ),( 2σμN 的简单样本，记 
∑∑
==
−=−
−
=
n
i
i
n
i
i XX
n
SXX
n
S
1
22
2
1
22
1 )(1,)(
1
1
， 
∑∑
==
−=−
−
=
n
i
i
n
i
i X
n
SX
n
S
1
22
4
1
22
3 )(1,)(
1
1 μμ ， 
则服从自由度为 1−n 的 t 分布的统计量是 
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1/
)(
1 −
−
nS
XA μ
；    
1/
)(
2 −
−
nS
XB μ
；    
nS
XC
/
)(
3
μ−
；     
nS
XD
/
)(
4
μ−
。 
2、设 4321 ,,, XXXX 是来自正态总体 )4,0(~ NX 的简单样本，且
2
43
2
21 )43()2( XXbXXaU −+−= 服
从
2χ 分布，求 ba, 及自由度。 
3、设总体 YX , 独立同分布且都服从正态分布 )9,0(N ， 91 ,, XX L 与 91 ,, YY L 是分别来自总体 YX , 的简单
样本，求统计量
2
9
2
2
2
1
921
YYY
XXXU
+++
+++
=
L
L
所服从的分布。 
4、设 921 ,,, XXX L 是来自正态总体 X 的简单样本， )(
3
1,
6
1
9872
6
1
1 XXXYXY
i
i ++== ∑
=
， 
S
YYZYXS
i
i
)(2,)(
2
1 21
9
7
2
2
2 −
=−= ∑
=
，证明 )2(~ tZ 。 
5、设总体 )12,60(~ 2NX ，从总体中抽取容量为n 的简单样本，问容量n 至少为多少时，才能使样本均值
大于 54 的概率不小于 975.0 。 
第七章  参数估计 
一、点估计 
（一）估计量与评价标准 
1、估计量—用统计量 ),,,(ˆ
21 nXXX Lϕθ = 来估计未知参数θ ，称该统计量为参数的估计量。 
2、估计量的评价标准 
（1）无偏性—若 θϕθ == ),,,(ˆ
21 nXXXEE L ，称估计量 ),,,(ˆ
21 nXXX Lϕθ = 为参数的无偏估计量； 
（2）有效性—设 ),,,(ˆ
2111 nXXX Lϕθ = 与 ),,,(ˆ
2122 nXXX Lϕθ = 都是参数 θ 的无偏估计量，若
21
ˆˆ θθ DD < ，称 1̂θ 是比 2θ̂ 更有效的估计量。 
（3）一致性—设 ),,,(ˆ
21 nXXX Lϕθ = 是参数θ 的估计量，若对任意的 0>ε ，有 
1}|ˆ{|lim =<−
∞→
εθθP
n
， 
称 ),,,(ˆ
21 nXXX Lϕθ = 为参数θ 的一致估计量。 
（二）求参数估计量的方法 
1、最大似然估计法 
2、矩估计法 
 
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二、区间估计（仅限数学一） 
1、置信区间—设总体 X ，其分布函数为 ),( θxF ，其中θ 为未知参数， nXXX ,,, 21 L 为来自总体 X 的简
单样本，对给定的 10 <<α ，若存在统计量 ),,,( 2111 nXXX Lϕθ = 及 ),,,( 2122 nXXX Lϕθ = ，使得 
αθθθ −=<< 1}{ 21P ， 
称区间 ),( 21 θθ 为参数θ 的置信度为 α−1 的置信区间。 
2、一个正态总体下常用的置信区间： 
例题选讲 
1、设总体 X 的密度为
⎩
⎨
⎧ <<+
=
其他,0
10,)1(
)(
xx
xf
θθ
，其中 1−>θ 是未知参数， nXX ,,1 L 是来自总体的简
单样本，求参数θ 的矩估计量和最大似然估计量。 
2、某元件使用寿命 X 的密度为
⎩
⎨
⎧
≤
>
=
−−
θ
θθ
x
xe
xf
x
,0
,2
)(
)(2
，其中 0>θ 为未知参数，设 nXX ,,1 L 为来自总
体 X 的简单样本，求θ 的最大似然估计量。 
3、设总体 X 的概率密度为
⎪⎩
⎪
⎨
⎧ <<−
=
其他,0
0),(6
)( 3 θθ
θ
xxx
xf ， nXX ,,1 L 为来自总体 X 的简单样本。 
（1）求θ 的矩估计量θ̂ ；  （2）求 θ̂D 。 
4、设总体 X 的分布律为 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−− θθθθθ 21)1(2
3210
~ 22X ，其中 )
2
10( <<θθ 是未知参数， 81 ,, XX L 是
来自总体的简单样本，其观察值为 3,2,1,3,0,3,1,3 ，求θ 的矩估计值与最大似然估计值。 
5、设正态总体 )1,(~ 2μNX ， 1001 ,, XX L 为来自总体 X 的简单样本，且 5=x ，求参数μ 的置信度为 95.0
的置信区间。 
 
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