概要信息：

自测题 09（内） 
题  号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总     分
得  分            
一、单选题 (每小题 2分, 共 10 分) 
答题须知：本题答案必须写在如下表格中，否则不给分。 
小题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
答案           
1. 对事件 , ,A B  下列命题中正确的是 (      ). 
(a) 如果 互不相容, 则,A B ,A B 也互不相容; 
(b) 如果 相容, 则,A B ,A B 也相容; 
(c) 如果 相互独立, 则,A B ,A B 也相互独立; 
(d) 如果 ,A B互不相容, 且  则( ), ( ) 0,p A p B > ,A B相互独立. 
2. 设 1 2, , , ,nη η η⋅⋅⋅ ⋅⋅ ⋅是相互独立且具有相同分布的随机变量序列, 若 0nEη =  
( 1, 2, )n = ⋅⋅⋅ , 则
1
lim | |
2
n
in i
np η
→∞
=
⎛ ⎞< =⎜
⎝ ⎠
∑ ⎟ (      ). 
(a)            (b)  1;           (c)  0; 1 ;
2
         (d)  无法确定. 
3. 设 分别是随机变量1 2( ), ( )F x F x 1 2,ξ ξ 的分布函数, 且 
1
1( ) ( )
3
F x F x= 2 ( )F xκ+  
是一个分布函数, 则  (      ). κ =
(a)  
2 ;
3
−          (b)  
2 ;
3
         (c)  
1 ;
3
         (d)  
1 .
3
−  
4. 从总体 中随机抽取一个容量为 16 的样本, 则样本平均数2(10,2 )Y N 10Y ≥  
的概率为 (      ). 
(a)             (b)  1;          (c)  0.5         (d)  0.8413  0; ; .
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自测题 09（内） 
5. 设一批滚珠的直径服从正态分布, 现从中随机抽取 9个滚珠, 测得样本平均
数为10  样本标准差为1(  则这批滚珠直径的期望值的置信度为0.9
的置信区间为 (      ). 
( ),cm ),cm
(a)  0.05 0.05
1 110 (9), 10 (9) ;
3 3
t t⎛ ⎞− +⎜ ⎟
⎝ ⎠
     (b)  0.1 0.1
1 110 (9), 10 (9) ;
3 3
t t⎛ ⎞− +⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
(c)  0.05 0.05
1 110 (8), 10 (8) ;
3 3
t t⎛ ⎞− +⎜ ⎟
⎝ ⎠
     (d)  0.1 0.1
1 110 (8), 10 (8) .
3 3
t t⎛ ⎞− +⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
二、填空题 (每空 3分, 共 36 分)  
答题须知：本题答案必须写在如下表格中，否则不给分。 
小题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
答案           
1. 一射手对同一目标独立地进行四次射击, 若至多击中三次的概率为
15 ,
16
 则
该射手的击中率为             . 
2. 10 只灯泡中有 3只坏的, 7 只好的. 现从中随机抽取 2只进行检验, 则 2 只
灯泡中恰有 1只是坏的概率为            . 
3. 假设 是两个相互独立的事件, 若1 2,A A 1 1 2
3 7( ) , ( ) ,
10 10
p A p A A= + =  则
            2( ) =p A . 
4. 若随机变量ξ的概率密度函数为 
22 ,
( )
0, 0
xe x
x
x
ϕ
−⎧ >
= ⎨
≤⎩ ,
0
 
令 ,e ξη −=  则方差 Dη =              . 
5. 设随机变量ξ的概率密度函数为 
2sin , 0 ( 0)
2
( )
0, 0 ,
2
x x
x
x x
πρ ρ
ρ
ϕ
π
ρ
⎧ ≤ ≤ >⎪⎪= ⎨
⎪ < >
⎪⎩
或
 
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自测题 09（内） 
 则 ρ =        , (
8
p )π ξ π≤ ≤ =        .   
6. 设二元离散型随机变量 1 2( , )ξ ξ 的联合概率分布为 
第 3 页  共 8 页 
    0 1 
0 0.4 λ  
1 0.1 μ  
2ξ
1ξ
μ =      . 若事件{ 02 }= 1 2 1}与{ ξ+ = 相互独立, 则 ξ ξ λ =     ,  
7. 设 1 2, , , ,nη η η⋅⋅⋅ ⋅ ⋅⋅为独立同分布的随机变量序列, 且服从参数为 2的普哇松分 
布, 记 0 ( )xΦ 为标准正态分布函数, 则 1
1 2
lim
2
n
i
i
n
np x
n
ξ
=
→∞
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎜ ⎟≤ =
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑
      . 
8. 若随机变量 ,ξ η相互独立, 且 , (0,N 1),ξ η 4 3ξ η+        . 
9. 从总体 中随机抽取一个容量为 9的样本, 其样本平均数为 4, 
则
2( , 0.3 )X N μ
μ的置信度为 0.95 的置信区间为               . 
10. 设总体ξ的分布密度为 
, 0 (
( ; )
0, 0,
xe x
x
x
θθ θ
ϕ θ
−⎧ ≥ >
= ⎨
<⎩
0)
 
现从中抽取 个个体, 得数据分别为n 1 2, , , ( 0, 1,2, , )n ix x x x i n⋅ ⋅ ⋅ > = ⋅⋅⋅ , 则参数
θ的最大似然估计为             . 
三、计算题 (共 24 分, 其中第 1小题 8分, 第 2 小题 16 分) 
1. 某手机生产厂断言, 该厂生产的某型号手机的合格率为 0.9. 质检部门抽查
了 400 部该型号手机, 如果不少于 350 部手机合格, 就接受这一断言, 否则
拒绝断言. 设实际上该型号手机的合格率为0.9. 试求接受这一断言的概率. 
 
自测题 09（内） 
2．在广东省某次高一数学统考中, 考生的成绩(百分制)服从正态分布
 成绩在 90 及 90 分以上、60 及 60 分以上且 90 分以下、60 分以
下的考生中, 来自重点中学的考生的概率分别是 0.6、0.3、0.05. 
2(72,12 ).N
   (1) 求考生中, 来自重点中学的考生的概率; 
   (2) 对来自重点中学的考生, 求考生成绩在 90 及 90 分以上的概率. 
 
四、证明题 (8 分) 
第 4 页  共 8 页 
2设 1,X X 和 分别来自总体 和 的两个样本, 令1 2,Y Y
1 2( )
2( , 2 )X N μ 2( , 3 )Y N μ
1 2( )Z a X= + X b Y Y+ + (其中 为常数). 证明: ,a b
(1) 当 1 2
2
ab −
= 时, Z 是μ的无偏估计; 
(2) 在μ的具有形式 )1 2 1 2( ) (Z a X X b Y Y= + + + 的无偏估计中, 取   0.3, 0.2a b= =
时的Z 是最有效的. 
五、应用题 (共 22 分, 其中第 1、2小题各 7分, 第 3 小题 8分) 
1. 从一批火箭推力装置中抽取 10 个进行试验, 测得燃烧时间的样本平均数
X =51.89, 样本方差 2S =111.14. 设该燃烧时间服从正态分布. 试以 90%的
置信度对燃烧时间的标准差σ 进行区间估计. 
2. 某工厂生产的一种铜丝的折断力ξ (单位: kg)服从正态分布。采用旧工艺时
服从 2( , 8 ). 现采取了一种新生产工艺, 从用新生产工艺生产的一批铜丝
中随机抽取 10 根, 测其折断力, 算得样本平均数
N μ
X =575.2, 样本方差
2S =75.73. 从抽测结果来看, 能否认为新生产工艺生产的铜丝的折断力的
方差与旧工艺时的方差相同 .05)?( 0α =  
3. 要鉴定一种国内生产的针织品的断列强度(单位: kg)是否已达到国外同种产
品的标准, 需要对国内外相同类型产品进行抽样试验, 现独立地随机抽取容
量均为 8 的样本, 根据实验数据算得样本平均数分别为 X =20.4, Y =19.4, 
样本方差分别为  假定此种针织品的断列强度服从2 2
1 20.8857, 0.8286.S S= =
自测题 09（内） 
正态分布, 且国内外生产的此种针织品的断列强度具有相同的方差. 试问能
否认为国内生产的此种针织品的断列强度指标已达到国外同种产品的标准
?( 0.05)α =   
(附本试卷的参考数据如下:  0.05 1.96,u =  0.025 2.24,u =  0 (0) 0.5,Φ =  
0 (1) 0.8413Φ = ,   0 (1.5) 0.9332,Φ = 0
5( ) 0.9525,
3
Φ =  0 (1.96) 0.975,Φ =  
0 (2) 0.9773Φ = ,   0 (2.24) 0.9875,Φ = 0 (2.5) 0.9938,Φ =  0
20( ) 1,
3
Φ ≈  
0 (60) 1,Φ ≈   0.05 (14) 2.145,t = 0.05 (16) 2.120,t =  0.1(14) 1.761,t =   0.1(16) 1.746,t =
2
0.05 (9) 16.9χ =
2
0.025 (9) 19χ =
,     2
0.05 (10) 18.3,χ = 2
0.95 (9) 3.33,χ = 2
0.95 (10) 3.94,χ =
.0,    ) 2
0.025 (10) 20.5,χ = 2
0.975 (9) 2.7,χ = 2
0.975 (10) 3.25.χ =
参考答案 
 
一  c  b  b  c  d 
二  0.5;         7/15;         4/7;          1/18;        2, 2 / 2 ;   
  0.1, 0.4;    0 ( )xΦ ;   ;   (3.804, 4.196);    2(0,5 )N
1
/( )
n
i
i
n x
=
∑
三 
1 解: 设事件 "ξ = 400部手机中的合格数",  则 ~ ( , ) (400, 0.9),B n p Bξ =  且Eξ =  
400np 0.9 360, (1 ) 360 0.1 36,D np pξ= × = = − = × =           …………3分 
于是接受这一断言的概率为 
350 360 360 400 360(350 400) ( )
36 36 36
5 360 20                        ( )
3 6 3
p p
p
ξξ
ξ
− − −
≤ ≤ = ≤ ≤
−
= − ≤ ≤  
从而由拉普拉斯定理得 
0 0 0
0
20 5 5(350 400) ( ) ( ) 1 (1 ( ))
3 3
5                            = ( ) 0.9525.
3
p ξ≤ ≤ ≈ Φ −Φ − ≈ − −Φ
Φ =
3
 …………8分 
第 5 页  共 8 页 
自测题 09（内） 
2 解: 设考生的成绩为 ,ξ  则  于是2(72,12 ),Nξ 72 (0,1).
12
Nξ −
 令 
事件 成绩在 90 及 90 分以上" ;    1 "A =
事件 成绩在 60 及 60 分以上且 90 分以下" ;    2 "A =
事件 成绩在 60 分以下" ;   事件3 "A = "B = 来自重点中学的考生".  
    则     1 2 3( | ) 0.6, ( | ) 0.3, ( | ) 0.05,p B A p B A p B A= = =
          1 0
72( ) ( 90) ( 1.5) 1 (1.5) 1 0.9332 0.0668,
12
p A p p ξξ −
= ≥ = ≥ = −Φ = − =  
2 0
0 0
72( ) (60 90) ( 1 1.5) (1.5) ( 1)
12
         (1.5) (1) 1 0.9332 0.8413 1 0.7745,
p A p p 0
ξξ −
= ≤ < = − ≤ < = Φ −Φ −
= Φ +Φ − = + − =
 
3 0
72( ) ( 60) ( 1) ( 1) 1 (1)
12
         1 0.8413 0.1587.
p A p p 0
ξξ −
= < = < − = Φ − = −Φ
= − =
 
  …………8分 
(1) 由全概率公式知, 考生中来自重点中学的考生的概率为 
        
3
1
( ) ( ) ( | )
        0.0668 0.6 0.7745 0.3 0.1587 0.05 0.28037.
i i
i
p B p A p B A
=
=
= × + × + × =
∑
                                                     …………12分 
(2) 由贝叶斯公式知, 对来自重点中学的考生, 考生成绩在90及90分以上
的概率为 
1 1
1
( ) ( | ) 0.0668 0.6( | ) 0.14295.
( ) 0.28037
p A p B Ap A B
p B
×
= = =   …………16分 
 
 
四   证明: 由于 1, 2X X 和 分别来自总体 和  故 1 2,Y Y 2( , 2 )X N μ 2( , 3 ),Y N μ
1 2 1 2(1) ( ) ( )
         ( ) ( ) 2 ( ),
EZ a EX EX b EY EY
a b aμ μ μ μ μ
= + + +
= + + + = + b
 
    当
1 2
2
ab −
= 时, ,EZ μ=  从而Z 是μ的无偏估计;    …………3分 
第 6 页  共 8 页 
自测题 09（内） 
第 7 页  共 8 页 
2b
b
( )
2 2
1 2 1 2
2 2 2
(2) ( ) ( )
         (4 4) (9 9) 2 (2 ) (3 )
             2 2 3 12 ,
DZ a DX DX b DY DY
a b a
a b ab
= + + +
= + + + = +
≥ =
 
上式当 时等号成立, 于是当2 3a = 2 3a b= 且
1 2 ,
2
ab −
=  即
时, 最小, 从而结论成立.        …………8分 0.3a = , 0.2b = DZ
 
 
五  
1 解: 因燃烧时间的期望值未知且燃烧时间服从正态分布, 故统计量
2
2 2
2
( 1) ( 1)n S nχ χ
σ
−
= ,−              …………2分 
     由 得2 2 2
0.05 0.9510, 111.14, (9) 16.9, (9) 3.33n S χ χ= = = = 2σ 的置信度为90%
的置信区间为: 
                
2 2
2 2
0.05 0.95
( 1) ( 1), (59.187, 300.378),
(9) (9)
n S n S
χ χ
⎛ ⎞− −
=⎜ ⎟
⎝ ⎠
      …………6分 
     于是σ 的置信度为 90%的置信区间为:       …………7分 (7.693, 17.331).
 
2 解: 设新生产工艺生产的铜丝的折断力 2( , ),Nη μ σ  检验程序如下. 
(1) 建立待检假设 2 2; 0 : 8H σ =
(2) 选取样本的统计量
2
2
2
( 1) ,
8
n Sχ −
=  在 0H 成立的条件下, ;n  2 2 ( 1)χ χ −
(3) 对于给定的检验水平 0.05,α =  查表确定临界值 2
aχ 及 2
bχ 使 
2 2
2 2
2 2
( 1) ( 1)( ) 0.025, ( ) 0.025,
8 2 8 2a b
n S n Sp pα αχ χ− −
< = = > = =  
查表得          …………5分 2 2 2 2
0.975 0.025(9) 2.7, (9) 19.0 ;a bχ χ χ χ= = = =
(4) 利用 10n = 及样本方差 计算统计量 22 75.73S = χ 的观察值为: 
2
2
9 75.73 10.65;
8
χ ×
= ≈  
自测题 09（内） 
(5) 由于10.65  则可认为新生产工艺生产的铜丝的折断力的方
差与原铜丝的相同.                                 …………7分 
(2.7,19.0),∈
 
 
第 8 页  共 8 页 
13  解: 设国内生产的这种针织品的断列强度 2
1 1( , ),Nξ μ σ   国外生产的这种
针织品的断列强度 2
2 2( , ),N 2ξ μ σ  在条件 2 2
1 2σ σ= 下, 检验程序如下. 
(6) 建立待检假设 0 1 2: ;H μ μ=  
(7) 选取样本的统计量
1 2
1 2
,X YT
S S
n
−
=
+
 由于 2 2
1 2 ,σ σ=  故 这里 
8);n =  
(2 2) (T t n −
(8) 对于给定的检验水平 0.05,α =  查表确定临界值 at 使  (| | ) 0.05,p T tα> =
查表得                           …………5分 0.05 (14) 2.145;t tα = =
(9) 利用 8n = 及样本平均数 20.4, 19.4,X Y= =   样本方差  2
1 0.8857,S =
2
2 0.8286S = 计算 | 的观察值为: |T
                  
| 20.4 19.4 || | 2.1603;
0.8857 0.8286
8
T −
= =
+
         
(10)由于 0.05  故应拒绝 0H , 即认为国内生产的此种针
织品的断列强度指标没达到国外同种产品的标准.       …………8分 
2.1603 2.145 (14),t> =
 
测题自 10（内 E） 
题  号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总     分 
得  分            
一、填空题（共 10 空，每空 2 分，共 20 分） 
答题须知：本题答案必须写在如下表格中，否则不给分。 
小题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
答案           
1． 设 A 和 B 是两个随机事件。试表示以下事件：          
A 和 B 中至少有一个发生__________；A 发生但 B 不发生______________。 
2． 设 A 与 B 是互斥的两个随机事件，已知 P(A)=0.2，P(B)=0.7。则 
 P(A∪B)= _____________   ________；P(AB)=___________ _ __  _________。 
3． 设 A 和 B 相互独立的两个随机事件，已知 P(A)=0.4，P(B)=0.2，则 
P(A|B)=____________    __________；P(A－B)=___________   ___________。 
4． 设随机变量 X 的数学期望 E(X)=3，方差 D(X)=4。则   
E(2X+3)=__________ __     ________；D(2X－3)=____________ ___________。 
5． 设随机变量 X 服从标准正态分布，已知 P(X<0.5)=0.69。则 
P(|X|<0.5)=_________   ___________；P(X<−0.5)=_______ __   ___________。 
 
二、单选题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 
答题须知：本题答案必须写在如下表格中，否则不给分。 
小题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
第 1 页 共 7 页 
自测题 （内 ） 10 E
第 2 页 共 7 页 
答案           
1. A 与 B 是两个随机事件，若 AB=φ，则称这两个随机事件是（     ）。 
(A) 对立；   (B) 独立；   (C)互斥；   (D) 相容。 
2. 函数 sin x 在以下哪个区间上可以作为随机变量的密度函数？(       ) 
 (A) 0
2
π⎡ ⎤
⎢⎣ ⎦
, ⎥；  (B) [ ]0 π, ；   (C) 
30
2
π⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
, ；  (D) [ ]0 2π, . 
3. 设 F(x)是随机变量 X 的分布函数，则 F(x)具有性质(       )。 
 x x x x
x x x x
A F x 1 F x 0 B F x 0 F x 1
C F x 0 F x 0 D F x F x
→−∞ →+∞ →−∞ →+∞
→−∞ →+∞ →−∞ →+∞
= = =
= = = −∞
( ) lim ( ) , lim ( ) , ( ) lim ( ) , lim ( ) ,
( ) lim ( ) , lim ( ) , ( ) lim ( ) , lim ( ) .
=
= +∞
 
4. 设随机变量 X 服从正态分布 N(4, 9)，则（    ）。 
(A) E(X)=3，D(X)=4；(B) E(X)=9，D(X)=4；(C) E(X)=4，D(X)=3；(D) E(X)=4，D(X)=9。 
5. 设 1 2 3 是总体 X 的随机样本，则下列那些样本函数不是统计量（     ）。 X ,X ,X
(A)
3
i
k 1
1 X
3 =
∑ ；  (B) ；  (C) 1X (
3
2
i
i 1
1 X
3 =
)− θ∑ ； (D)  1 2X Xmax{ , }
6. 设 是总体 N(2,25)的随机样本,则样本均值1 2 5X ,X ,...,X X 服从的分布是（    ）。 
(A) N(2, 5)；      (B) N(2, 25)；     (C) N(2/5,5)；     (D)N(2/5, 25) 
7. 设 是总体 N(μ,σ2)的随机样本,则服从 t(4)分布的样本函数是（    ） 1 2 5X ,X ,...,X
(A)
X
5
− μ
σ
( )
；  (B)
X
4
− μ
σ
( )
；  (C)
X
s 5
− μ( )
；  (D)
X
s 4
− μ( )
 
8. 概率论中论证大量测量值的算术平均值具有稳定性的定理被称为（   ）。 
 (A) 概率公理化定义；      (B)大数定律；  
 (C) 小概率事件实际不可能性原理；   (D)中心极限定理。 
9. 设 θ̂ 是总体参数θ 的点估计量。若E θ = θˆ( ) ，则称 θ̂ 是θ 的(        )估计量。 
 (A)相合；   (B)一致；   (C)有效；   (D)无偏 
10. 在假设检验中，原假设不成立但被接受，这种错误称为第(         )类错误。 
 (A) 一；    (B) 二；    (C) 三；    (D) 四 
三、计算题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 
自测题 （内 ） 10 E
第 3 页 共 7 页 
1. 一箱中装有 4 个红球和 6 个黑球，随机取 3 个球，求其中（恰）有 1 个黑球的概率。 
 
2. 一条生产线次品率为 10%，求随机抽取 5 件中至多有 1 件次品的概率。 
 
3. 若鸡蛋的孵化率为 80%，则 10000 个鸡蛋中不足 7000 个孵化的概率是多少？. 
4. 已知随机变量 X 的密度函数为 ，求常数 a 和 EX. 
ax, 0
θ ⎨
⎩ 其它
, 其中θ>0. x1,x2,…,xn是 X 的一个随机样
本,求参数θ的最大似然估计。 
 
8.设(X,Y)是二维离散随机变量，其联合分布律如下表 
X             Y －1 0 1 
1 0.2 0.3 0.1 
2 0.1 0.1 0.2 
求 X 的边缘分布和当 Y=1 时 X 的条件分布，并判断 X 与 Y 是否相互独立。 
 
四、应用题(共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 
 
1．商场销售的灯泡由由 A 与 B 两家工厂生产。A 厂的产品占总产量的 70%，B 厂的产品占总
产量的 30%。已知 A 厂产品的次品率为 5%，B 厂产品的次品率为 10%。已若随机抽取一个灯
泡是次品，求其是 A 厂生产的概率。 
 
2．面粉厂规定每袋面粉标准重量为 10kg。从已装好的面粉中随机抽查 9 袋，测得样本平均重
量为 10.5kg。假定袋装面粉重量服从正态分布 N(μ，0.25)。检验该厂面粉袋装重量是否符合标
准(显著水平α = 0.1，检验临界值查卷尾表 1 和表 2)。 
  
3.选取两个品牌灯泡各 9 只进行使用寿命测试。测试结果统计如下表  
指标 品牌 1 品牌 2 
样本均值(小时) 2000 1970 
标准差(小时) 100 80 
假设两品牌的灯泡寿命均服从正态分布且方差相同。试检验两品牌灯泡寿命有无显著差异？(显
著水平α = 0.01，检验临界值查卷尾表 1 和表 2) 
 
五、证明题(第 1 小题 3 分，第 2 小题 2 分，共 5 分)  
自测题 （内 ） 10 E
第 4 页 共 7 页 
设 X1,X2,…,Xn 是总体 X~N(μ,σ2)的随机样本， 记
n n
2 2
n i n i
i=1 i=1
1 1X = X , S (X X)
n n 1
=
−∑ ∑ − ,证明： 
1.统计量 nX 是总体均值μ的一致估计. 
2.统计量 n+1 n
n
X Xn
n+1 S
−
服从分布 t(n－1). 
表 1：t 分布双侧分位点数值表 （n：自由度） αP(|t(n)|>t )=α
n    α 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.05 0.02 0.01
8 0.130  0.262  0.399  0.546 0.706 0.889 1.108 1.397 1.860  2.306  2.896 3.355 
9 0.129  0.261  0.398  0.543 0.703 0.883 1.100 1.383 1.833  2.262  2.821 3.250 
10 0.129  0.260  0.397  0.542 0.700 0.879 1.093 1.372 1.812  2.228  2.764 3.169 
15 0.128  0.258  0.393  0.536 0.691 0.866 1.074 1.341 1.753  2.131  2.602 2.947 
16 0.128  0.258  0.392  0.535 0.690 0.865 1.071 1.337 1.746  2.120  2.583 2.921 
17 0.128  0.257  0.392  0.534 0.689 0.863 1.069 1.333 1.740  2.110  2.567 2.898 
∞ 0.126  0.253  0.385  0.524 0.675 0.842 1.036 1.282 1.645  1.960  2.327 2.576 
 
表 2： 分布上侧分位点数值表2χ ( )2 2P (n)α =χ > χ α （n：自由度） 
n       α  0.995 0.99 0.975 0.95 0.9 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005
8 1.344  1.646  2.180 2.733 3.490 13.362 15.507 17.535  20.090  21.955 
9 1.735  2.088  2.700 3.325 4.168 14.684 16.919 19.023  21.666  23.589 
10 2.156  2.558  3.247 3.940 4.865 15.987 18.307 20.483  23.209  25.188 
15 4.601  5.229  6.262 7.261 8.547 22.307 24.996 27.488  30.578  32.801 
16 5.142  5.812  6.908 7.962 9.312 23.542 26.296 28.845  32.000  34.267 
17 5.697  6.408  7.564 8.672 10.085 24.769 27.587 30.191  33.409  35.718 
 
 
  参考答案 
 
一 , A B∪ AB ;     0.9,  0;      0.4, 0.32;    9, 16;    0.38, 0.31 
 
二 CABD CACB  DB 
 
三 
1 解    
1 2
6 4
3
10
C CP A
C
=( )
4 36
2
10 9 8
3 2
×
×
=
× ×
×
6 6 3
10 3 4 10
×
= =
× ×
 
      (3 分)      (5 分) 
2 解 =0.59049+0.32805=0.91854 0 0 5 1 1
5 5P k 1 C 0 1 0 9 C 0 1 0 9≤ = +( ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . )4
自测题 （内 ） 10 E
第 5 页 共 7 页 
      (3 分)      (5 分) 
 
3 解： X~B(10000,0.8) 
X 10000 0 8 7000 10000 0 8P X 7000 P
10000 0 8 0 2 10000 0 8 0 2
− × − ×⎧ ⎫
≤ = ≤⎨ ⎬
× × × ×⎩ ⎭
. .{ }
. . . . 0 25 0= − ≈( )Φ    
        (3 分)      (5 分) 
4 解： 
2 22
00
a 11 f x dx axdx x a
2 2
∞
−∞
= = =∫ ∫( ) , =      (3 分)   
 
2 23
00
1 1EX xf x dx x xdx x
2 6 3
∞
−∞
= = ⋅ =∫ ∫( ) 4
=      (5 分) 
 
5 解：因为  (1 分)  262.6)15(,488.27)15(,131.2)15(t,05.0 2
975.0
2
025.005.0 ==== χχα
所以均值的置信区间为: 
0 1 0 11 2 131 1 2 131
16 16
⎡ ⎤
− +⎢
⎣ ⎦
. .. , . ⎥             (3 分)  
方差的置信区间为: 
2 215 0 1 15 0 1
27 488 6 262
⎡ ⎤× ×
⎢
⎣ ⎦
( . ) ( . ),
. . ⎥           (5 分) 
6  解：  3
YF y P Y y P 1 X y= ≤ = − ≤( ) { } { }        (1 分)  
3P X 1 y 1 F 1 y= ≥ − = − −{ ( ) } (( )3 )
2
     (3 分)  
3 3
Y Yf y F y 1 F 1 y f 1 y 3 1 y′ ′= = − − = − − − −( ) ( ) [ (( ) )] (( ) )[ ( ) ]    
2
6
3 1 y x
1 1 y
−
= −∞ <
π + −
( ) (
( ( ) )
< +∞)       (5 分) 
7 解：   (2 分) 
         (3 分) 
  
1n n
1 n n
1 2 n i i i
i 1 i 1
L x x x 3 x 3 x x 3
− θ+
θ − θ+ θ
= =
⎛ ⎞
θ = θ = θ >⎜ ⎟
⎝ ⎠
∏ ∏
( )
( )( , , ..., ; )
n
i
i 1
L n n 3 1 x
=
θ = θ + θ − θ + ∑ln ( ) ln ln ( ) ln
n
i
i 1
d L n n 3 x 0
d =
= + − =
θ θ ∑ln ln ln          (4 分) 
  n n
i i
i 1 i 1
n 1
1x n 3 x 3
n= =
θ = =
− −∑ ∑
ˆ
ln ln ln ln
        (5 分) 
8  解 
Y 1 2         (1 分) 
自测题 （内 ） 10 E
第 6 页 共 7 页 
PY 0.6 0.4 
 
X －1 0 1 
PX 0.3 0.4 0.3 
  (2 分) 
 
X －1 0 1 
PX|Y=1 1/3 1/2 1/6 
  (3 分) 
因为P X 1 P X 1 Y 1= ≠ = =( ) ( | ) ，所以 X 与 Y 不相互独立。     (5 分) 
 
四 
1 解：令 D 表示次品，A 表示产品由 A 生产，B 表示产品由 B 生产。 
  
P A P D AP A D
P D
=
( ) ( | )( | )
( )
 
0 7 0 05 0 035 7
0 7 0 05 0 3 0 1 0 065 13
×
= = =
× + ×
. . .
. . . . .
 
               (2 分)               (4 分)                (5 分) 
 
2. 解：假设  0 1H 10 H 10μ = μ: , : ≠          (1 分) 
检验统计量     0XU N
n
− μ
=
σ
~ ( , )
/
0 1         (2 分) 
检验临界值              (3 分) 0 1u u 1 645α = =. .
检验统计量样本值   0X 10 5 10U
n 0 5 9
− μ −
= =
σ
.
/ . /
3=
2
       (4 分) 
统计推断  因为 |U|=3>1.645，所以拒绝原假设，即在 0.1 显著水平上认为该面粉厂袋装面粉不
符合 10kg 的标准。              (5 分) 
3. 解：假设              (1 分) 0 1 2 1 1H Hμ = μ μ ≠ μ: , :
检验统计量     1 2
1 2
w
1 2
X XT t n
1 1S
n n
−
=
+
~ ( )n 2+ −
1.
         (2 分) 
检验临界值              (3 分) 1 2 0 01t n n 2 t 16 2 92α + − = =.( ) ( )
检验统计量样本值   1 2
2 2
w
1 2
X X 2000 1970T 0 703
1 1 8 100 8 80 1 1S
n n 16 9 9
− −
= = =
× + ×+ +
.  (4 分) 
统计推断  因为 |T|=0.707<2.921，所以接受原假设，即在 0.01 显著水平上认为两品牌灯泡寿命
无显著差异。                 (5 分) 
 
五 
自测题 10（内 E） 
第 7 页 共 7 页 
1 证：因为
2
nEX DX
n
σ
= μ =, ，由切比谢夫不等式有 { }
2
2P X 1
n
σ
− μ < ε > −
ε
| |   (1 分) 
所以  { }
2
2n n
1 P X 1
n→∞ →∞
⎛ ⎞σ
≥ − μ < ε > −⎜ ⎟ε⎝ ⎠
lim | | lim 1= ，即有  { }
n
P X 1
→∞
− μ < ε =lim | |   
由定义知X 是总体均值μ的无偏估计和一致估计。      (3 分) 
2. 证：因为 
2
2 n
n+1 n 2
(n 1)S1+nX X ~ (0, ), ~ (n 1
n σ
N − 2 )− σ χ −       (1 分) 
所以   
n+1 n
n+1 n
2
n n
2
n+1(X X )X Xn n ~ t(n 1)
n+1 S (n 1)S (n 1)
− σ−
= −
−
−
σ
       (1 分) 
 
自测题-12（内） 
 
题  号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总    
得  分            
 
 
得分 评阅人 
  
一、 选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分,
请将答案写在答题框内） 
 
题号 1   2   3   4   5   6   7   8   9  10 
答案           
 
1．设 、A B 、C 为三个事件，则事件“ 、A B 、C 中恰有两个发生”可表示为(    ). 
A． ；  B.  AB AC BC+ + A B C+ + ； C. ABC ABC ABC+ + ；  D.  ABC  
2.. 设在 Bernoulli 试验中,每次试验成功的概率为 )10( << pp ，重复独立进行
3 次试验, 至少失败一次的概率为 (  ).   
A. ;                     B. ; 3)1( p− 31 p−
C. 3(1 )p− ;                     D. . )1()1()1( 223 ppppp −+−+−
3. 设 1 2, , , ,nη η η⋅⋅⋅ ⋅⋅ ⋅是相互独立且具有相同分布的随机变量序列, 若 1nEη = ,方差存在, 
( 1, 2, )n = ⋅⋅⋅ ,  则
1
lim | |
3
n
in i
nP nη
→ ∞
=
⎛ ⎞
− <⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ = (     ). 
A.               B. 1;            C.  0; 1 ;
3
               D. 
1
2
. 
4. 设随机变量 X 的概率密度为 , 则方差 D(X)= (    ) 
33 ,
( )
0, 0
xe x
x
x
ϕ
−⎧ >
= ⎨
≤⎩
0
A.  9；          B.  3；               C. 
1
3
；                D. 
1
9
.     
 
5. 设随机变量 的概率密度函数X
)1(
1)( 2x
xf
+
=
π
，则 XY 3= 的概率密度函数为
第 1 页  共 9 页 
自测题-12（内） 
（   ）． 
A．
)1(
1
2y+π
     B．
)9(
3
2y+π
      C．
)9(
9
2y+π
  D．
)9(
27
2y+π
 
6. 设 且 ，则( )~ 1X N σ 2, , ( 1 3) 0.7P X− < < = ( ) =−< 1XP （   ） 
A．0.15      B. 0.30         C. 0.45      D. 0.6 
 
7．设 ，则)2,3(~ 2NX =<< }51{ XP （    ）（设
2
2
0
1( ) d
2
xx
x e
π
−
−∞
Φ = ∫ x ）． 
A．   B．     C．0 0(5) (1)Φ − Φ 02 (1) 1Φ − 0
1 1( ) 1
2 2
Φ −   D． 0 0
5 1( ) ( )
4 4
Φ − Φ  
 
8．设总体
2~ ( , )X N μ σ ，其中μ 未知， 1 2 3 4, , ,x x x x 为来自总体 X 的一个样本，则以下
关于的μ 四个无偏估计： 1μ̂ = ),432 xxx +++(
4
1
1x 43212 5
2
5
1
5
1
5
1ˆ xxxx +++=μ  
43213 6
1
6
2
6
2
6
1ˆ xxxx +++=μ ， 43214 7
1
7
3
7
2
7
1ˆ xxxx +++=μ 中，哪一个最有效？（    ） 
A． 1μ̂ ；              B． 2μ̂ ；        C． 3μ̂ ；            D． 4μ̂  
9. 设 为 总 体 的 一 个 样 本 ,),,,( 21 nXXX L 2( 2, 3 )N X 为 样 本 均 值 , 
, 则下列结论中正确的是 (   ).  S 为样本标准差
A. 
2 ~ ( )
3 /
X t n
n
−
；               B. 2
1
1 ( ) ~ (
9
n
i
i
,1)X X F n
=
−∑ ； 
C. 
2 ~ (0,1)
/
X N
S n
−
；           D. 2 2
1
1 ( 2) ~ (
9
n
i
i
)X nχ
=
−∑ . 
10. 在假设检验中,记 为原假设，则犯第一类错误指的是（     ）. 0H
   A. 正确，接受 ；          B. 不正确，拒绝 ；   0H 0H 0H 0H
 C. 正确，拒绝 ；          D. 不正确，接受  0H 0H 0H 0H
得分 评阅人 
  
二、 填空题（共 9 小题, 每空 3 分, 共 30 分, 请将
答案写在答题框内） 
 
题号 1  2  3    4  5   6   7   8   9 
答案          
第 2 页  共 9 页 
自测题-12（内） 
1. 假设 是两个相互独立的事件, 若1 2,A A 1 1 2
3 9( ) , ( ) ,
10 10
P A P A A= + =  则    2( )P A = . 
2. 若 )45.0, ,则它的概率函数 ( )122(~ BX P X k= 在 k =      取得最大值. 
3. 若 ,
1( ) 25,  ( ) 4,  ,
2X YD X D Y ρ= = =  则 ( )D X Y− =              . 
4. 设 ， 的联合分布律为 X Y
     
X 
Y    
1 2 
1 
6
1
 
3
1
 
2 
9
1
 α  
3 
18
1
 β  
 
且 X，Y 相互独立，则α =     ， =β      . 
5. 设 2( ) , ( ) ,E X D xμ σ= = 由切比雪夫不等式知 { }2P X 2μ σ μ σ− < < + ≥      . 
6. 设 是 次独立试验中事件An n A 发生的次数， 是事件p A 在每次试验中发生的概率，则
lim {P 0}
(1 )n
n np
p→∞
−
≤
−
A
np
=          . 
7. 若随机变量 ,ξ η 相互独立, 且 ~ ( 1,1),Nξ −  ~ (2,4)N ,η 则2 3 ~ξ η−         . 
8. 若随机变量 , 则 ~ ( , )F F m n 1 ~
F
          . 
9. 设总体ξ 的分布密度为 , 现从中抽取 个样
本, 测得观测值分别为
, 0 (
( ; )
0, 0,
xe x
x
x
θθ θ
ϕ θ
−⎧ ≥ >
= ⎨
<⎩
1 2, , , ( 0, 1, 2, , )n i
0)
n
x x x x i n⋅ ⋅ ⋅ > = ⋅⋅⋅ , 则参数θ 的最大似然估
计为         . 
得分 评阅人 
  
三、计算题（共 5 小题，每小题 9 分，共 45 分） 
1. 甲罐中有一个白球，二个黑球，乙罐中有一个白球，四个黑球，现掷一枚均
匀的硬币，如果得正面就从甲罐中任取一球，如果得反面就从乙罐中任取一
球，若已知取的球是白球，试求此球是甲罐中取出的概率。          
 
 
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自测题-12（内） 
2.设二维随机变量 的概率密度为 ),( YX
1 0 1 0 1
0
,   x , y ,
f ( x, y )
,              
< < < <⎧
= ⎨
⎩ 其他
 
（1）求 ； ,   EX EY
（2）求协方差 ； ( , )Cov X Y
（3）令 ,求协方差 . 2 ,   2U X Y V X= + = −Y ( , )Cov U V
  
 
 
 
 
 
 
 
        
3. 设随机变量 X 的密度函数为： | |( )  ( )xf x Ce x−= − ∞ < < +∞  
（1）试确定常数 C ；    （2）求 ( )1P X < ；  （3）求 2Y X= 的密度函数. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
第 4 页  共 9 页 
自测题-12（内） 
4. 进行 9 次独立测试，测得零件加工时间的样本均值 5.5x = （秒），样本标准差 
（秒）. 设零件加工时间服从正态分布 ，求零件加工时间的均值1.7s = ),( 2σμN
μ 及方差 2σ 置信度为 0.95 的置信区间. (分布表见最后一页) 
 
 
 
 
 
 
5.食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐的标准重量为 500（g），每隔一定时间
检查机器工作情况，现抽取 16 瓶，测得其重量，计算得平均重量 502x g= ，样
本方差 ，假设罐头重量2 42.25s = X 服从正态分布 ，问：机器工作是否
正常？（显著性水平
),( 2σμN
02.0=α , 分布表见最后一页）    
 
 
 
 
 
 
 
 
得分 评阅人 
  
四、证明题（共 1 题，每题 5 分，共 5 分） 
1.设  是总体),,,( 21 nXXX L X 的样本, ,   D( )X Xμ σΕ = 2= , 证明：样本方差 
                  ( )
n
k
k
S X
n =
= −
− ∑
2
2
1
1
1
X  
   是总体方差 σ 2  的无偏估计量. 
    
 
 
 
 
 
第 5 页  共 9 页 
自测题-12（内） 
表 1：t 分布双侧分位点数值表 （n：自由度） αP(|t(n)|>t )=α
n    α 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.05 0.02 0.01
8 0.130  0.262  0.399  0.546 0.706 0.889 1.108 1.397 1.860  2.306  2.896 3.355 
9 0.129  0.261  0.398  0.543 0.703 0.883 1.100 1.383 1.833  2.262  2.821 3.250 
10 0.129  0.260  0.397  0.542 0.700 0.879 1.093 1.372 1.812  2.228  2.764 3.169 
15 0.128  0.258  0.393  0.536 0.691 0.866 1.074 1.341 1.753  2.131  2.602 2.947 
16 0.128  0.258  0.392  0.535 0.690 0.865 1.071 1.337 1.746  2.120  2.583 2.921 
17 0.128  0.257  0.392  0.534 0.689 0.863 1.069 1.333 1.740  2.110  2.567 2.898 
∞ 0.126  0.253  0.385  0.524 0.675 0.842 1.036 1.282 1.645  1.960  2.327 2.576 
表 2： 分布上侧分位点数值表2χ ( )2 2P (n)α =χ > χ α （n：自由度） 
n       α  0.995  0.990  0.975 0.950 0.900 0.100 0.050 0.025  0.010  0.005 
8 1.344  1.646  2.180 2.733 3.490 13.362 15.507 17.535  20.090  21.955 
9 1.735  2.088  2.700 3.325 4.168 14.684 16.919 19.023  21.666  23.589 
10 2.156  2.558  3.247 3.940 4.865 15.987 18.307 20.483  23.209  25.188 
15 4.601  5.229  6.262 7.261 8.547 22.307 24.996 27.488  30.578  32.801 
16 5.142  5.812  6.908 7.962 9.312 23.542 26.296 28.845  32.000  34.267 
17 5.697  6.408  7.564 8.672 10.085 24.769 27.587 30.191  33.409  35.718 
 
 
参考答案： 
一、 
题号 1   2   3   4   5   6   7   8   9  10 
答案   C   B   B   D   B   A   B   A   D   C 
 
二、 
题号 1  2  3    4  5   6   7   8   9 
答案 6/7 55 19 2/9, 1/9  3/4  0.5 ( 8,40)N − ( , )F n m  θ
∧
=1/ x  
 
三、 
1．解：令 ,{ }B = 摸出的球是白球 1 2{ },    { }A A= =球取自甲罐 球取自乙罐 ,
则 
    1 2 1 2,   =A A A A ΩU 互不相容，且 ,                 (2 分) 
      由题意知 1 2
1( )= ( )=
2
P A P A ， 1
1 1( | ) ,   ( | )
3 5
P B A P B A2= = ,     (4 分) 
      利用 Bayes 公式知 
            1 1
1
1 1 2
( ) ( | )( | )
( ) ( | ) ( ) ( | )
P A P B AP A B
P A P B A P A P B A
=
+ 2
             (7 分) 
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自测题-12（内） 
                   
1 1
2 3
1 1 1 1
2 3 2 5
5
8
×
=
× + ×
=
                             (9 分) 
 
2．解：(1) 
1 1
0 0
1( , ) ,
2
EX xf x y dxdy xdxdy
+∞ +∞
−∞ −∞
= =∫ ∫ ∫ ∫ =          （1 分） 
         
1 1
0 0
1( , ) ,
2
EY yf x y dxdy ydxdy
+∞ +∞
−∞ −∞
= =∫ ∫ ∫ ∫ =          （2 分） 
      (2) 
1 1
0 0
1( , ) ,
4
EXY xyf x y dxdy xydxdy
+∞ +∞
−∞ −∞
= =∫ ∫ ∫ ∫ =      （3 分） 
                          （5 分） ( , ) 0Cov X Y EXY EXEY= − =
      (3) 
1 12 2 2
0 0
1( , ) ,
3
EX x f x y dxdy x dxdy
+∞ +∞
−∞ −∞
= =∫ ∫ ∫ ∫ =      （6 分）  
          
1 12 2 2
0 0
1( , ) ,
3
EY y f x y dxdy y dxdy
+∞ +∞
−∞ −∞
= =∫ ∫ ∫ ∫ =      （7 分） 
          2 2
( , )
                 =4 (2 )(2 )
1 1 3 1 1                 =4
3 3 2 2 4
Cov U V EUV EUEV
EX EY EX EY EX EY
= −
− − + −
× − − × =
   （9 分） 
 
3．解（1） ( )
0
2 2x xf x dx Ce dx C e dx C
+∞ +∞ +∞− −
−∞ −∞
= = =∫ ∫ ∫ 1=  
          得：
1
2
C =  
( ) (1
2
xf x e x− )∴ = −∞ < < +∞                          (3 分) 
     （2） ( ) 1 1
1 0
1 11
2
x xP X e dx e dx
e
− −
−
1< = = =∫ ∫ −                  (5 分) 
     （3）当 时，0
（3） 将样本观测值代入T 可得 
4(502 500)| | 1.231 2.602
6.5
t −
= = <  
       从而接受原假设 , 即机器工作正常.                     (9’) 0H
 
 
四、 
证明：由于 
      
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自测题-12（内） 
( ) ( )
                                              = ( (( ) ))
                                              = ( )
   
n n
k k k
k k
n
k
n
k
ES E X X EX E X EX X
n n
n
n n n
n n
σσ μ μ μ σ μ
σ
= =
=
=
= − = + −
− −
+ + + − − + +
−
−
−
∑ ∑
∑
∑
2 22 2
1 1
2
2 2 2 2 2 2
1
2
1
1 1
2
1 1
1 2
1
1
1 1
1
1
                                           =σ 2
  
从而 是总体方差 S 2 σ 2  的无偏估计量. 
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