统计学讲义.pdf
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概要信息：
专业知识
统计学
(全 二十一 讲)
主讲：张乃岳
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目 录
第一章 绪论 .................................................................................................................................... 5
第一节 统计的产生与发展 .................................................................................................... 5
第二节 统计研究的对象、特点、方法和过程 .................................................................... 5
第三节 统计学的基本概念 .................................................................................................... 7
第四节 统计制度 .................................................................................................................. 10
第二章 统计调查 .......................................................................................................................... 11
第一节 统计调查方法 .......................................................................................................... 11
第二节 统计调查方案设计 .................................................................................................. 12
第三节 统计调查误差检查与控制 ...................................................................................... 13
第三章 统计整理 .......................................................................................................................... 15
第一节 统计分组 .................................................................................................................. 15
第二节 次数分布数列 .......................................................................................................... 17
第三节 统计表 ...................................................................................................................... 20
第四节 统计图 ...................................................................................................................... 21
第四章 总量指标 .......................................................................................................................... 23
第一节 总量指标的概念 ...................................................................................................... 23
第二节 总量指标的种类 ...................................................................................................... 23
第三节 总量指标的计量单位 .............................................................................................. 24
第四节 总量指标的统计要求 .............................................................................................. 24
第五章 相对指标 .......................................................................................................................... 24
第一节 相对指标的意义及其表现形式 .............................................................................. 25
第二节 相对指标的分类及其表现形式 .............................................................................. 25
第三节 相对指标的计算要求 .............................................................................................. 31
第六章 平均指标 .......................................................................................................................... 31
第一节 平均指标的特点和作用 .......................................................................................... 31
第二节 算术平均数 .............................................................................................................. 32
第三节 调和平均数 .............................................................................................................. 35
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第四节 几何平均数 .............................................................................................................. 36
第五节 位置平均数 .............................................................................................................. 37
第六节 计算和应用平均指标应注意的问题 ...................................................................... 40
第七章 变异指标 .......................................................................................................................... 41
第一节 变异指标的概念和作用 .......................................................................................... 41
第二节 变异指标的计算 ...................................................................................................... 42
第三节 分布的偏度和峰度 .................................................................................................. 45
第八章 时间序列指标 .................................................................................................................. 47
第一节 时间指标的意义、种类和编制原则 ...................................................................... 47
第二节 水平指标 .................................................................................................................. 48
第三节 速度指标 .................................................................................................................. 53
第九章 国民经济指标 .................................................................................................................. 57
第一节 国民经济核算总量指标 .......................................................................................... 57
第二节 人均水平指标 .......................................................................................................... 58
第三节 收入分配指标 .......................................................................................................... 59
第四节 其他重要的分析指标 .............................................................................................. 59
第十章 综合指数 .......................................................................................................................... 60
第一节 综合指数的意义 ...................................................................................................... 60
第二节 综合指数编制的一般原则和方法 .......................................................................... 62
第三节 综合指数编制的其他方法 ...................................................................................... 63
第十一章 平均指数 ...................................................................................................................... 63
第一节 平均指数的意义和分类 .......................................................................................... 63
第二节 综合指数变形权数的平均指数 .............................................................................. 63
第三节 固定权数的平均指数 .............................................................................................. 65
第十二章 指数体系与因素分析 .................................................................................................. 66
第一节 指数体系的概念和用途 .......................................................................................... 66
第二节 总量指标变动的两因素分析 .................................................................................. 66
第三节 平均指标变动的两因素分析 .................................................................................. 68
第四节 总量指标变动的多因素分析 .................................................................................. 69
第十三章 经济指数与综合评价指数 .......................................................................................... 70
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第一节 几种常见的经济指数 .............................................................................................. 70
第二节 综合评价指数的构建 .............................................................................................. 71
第十四章 参数估计 ...................................................................................................................... 72
第一节 参数估计的一般问题 .............................................................................................. 73
第二节 总体参数的点估计 .................................................................................................. 73
第三节 一个总体参数的区间估计 ...................................................................................... 75
第四节 两个总体参数的区间估计 ...................................................................................... 78
第十五章 假设检验 ...................................................................................................................... 81
第一节 假设检验的基本问题 .............................................................................................. 81
第二节 总体均值的假设检验 .............................................................................................. 82
第三节 总体成数的假设检验 .............................................................................................. 86
第四节 总体方差的假设检验 .............................................................................................. 89
第十六章 方差分析 ...................................................................................................................... 91
第一节 单因素方差分析 ...................................................................................................... 91
第二节 双因素方差分析 ...................................................................................................... 93
第十七章 相关分析 ...................................................................................................................... 97
第一节 相关分析的意义和内容 .......................................................................................... 97
第二节 单相关 ...................................................................................................................... 97
第三节 复相关和自相关 ...................................................................................................... 99
第十八章 回归分析 .................................................................................................................... 100
第一节 一元线性回归 ........................................................................................................ 101
第二节 多元线性回归 ........................................................................................................ 103
第三节 可线性化的曲线回归 ............................................................................................ 105
第十九章 统计预测 .................................................................................................................... 107
第一节 统计预测的一般问题 ............................................................................................ 107
第二节 回归预测 ................................................................................................................ 108
第三节 趋势外推预测 ........................................................................................................ 110
第四节 季节变动预测 ........................................................................................................ 116
第二十章 统计决策 .................................................................................................................... 116
第一节 风险型决策 ............................................................................................................ 117
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第二节 完全不确定型决策 ................................................................................................ 120
第三节 贝叶斯决策 ............................................................................................................ 122
第二十一章 统计分析报告的写作 ............................................................................................ 123
第一节 统计写作的原则、特点和类型 ............................................................................ 124
第二节 统计分析报告的选题 ............................................................................................ 125
第三节 统计分析报告的写作步骤 .................................................................................... 126
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第一章 绪论
第一节 统计的产生与发展
一、统计实践产生与发展
统计实践作为人类活动重要组成距今已有四、五千年的历史。人类社会早期的结绳记事、垒石
记事等计量形式都是统计实践工作。《周礼·天官冢宰》、《周礼注疏》记载有周朝建立了“上计”制
度对国家人口、土地、收入、财税等方面进行统计。1932 年，民国政府颁布了《中华民国统计法》。
二、统计学产生与发展
政治算术学派：威廉·配第；用数字表达研究观点；《政治算术》。
国势学派：康令；研究过程使用“统计”一词。
数理统计学派：阿道夫·凯特勒；将古典概率理论应用于研究社会学；《社会物理学》。
三、现代统计发展趋势
计算机技术和信息论等现代科学出现，现代统计学发展进入全面发展阶段。20 世纪 50 年代以
来，第一台计算机问世并迅速发展，混沌学、信息论、系统论等现代科学技术被广泛应用，现代统
计学的基础理论和分析方法研究不断完善，在社会科学各个领域的应用都取得了重大发展。
第二节 统计研究的对象、特点、方法和过程
一、统计研究的对象
1、统计研究的对象——大量社会经济现象数量方面及其发展规律的数量表现。
2、统计学是是方法论科学。
3、统计学主要研究统计实践工作开展程序、社会经济活动信息搜集的方法与手段。
二、统计的特点
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1、随机性特点。
2、总体性特点。
3、社会性特点。
4、具体性特点。
三、统计研究方法
1、大量观察法。
2、统计分组法。
3、综合指标法。
4、数学模型法。
四、统计的任务和工作过程
1、任务：对国民经济和社会发展情况进行统计调查、统计整理和统计分析，提供统计资料和统
计咨询，实行统计监督。
2、具体任务包括：为决策者提供信息；为信息使用者提供咨询；监督社会经济运行。
3、统计工作过程
① 统计设计。
② 统计调查。
③ 统计整理。
④ 统计分析。
⑤ 统计预测、决策。
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第三节 统计学的基本概念
一、统计总体与总体单位
1、统计总体——客观存在具有相同性质结合起来的若干个别事物构成的整体。
2、统计总体三个特征：大量性；同质性；差异性。
3、总体可分为有限总体和无限总体。
4、总体单位：构成总体的个别事物，也称个体。
5、统计资料的搜集：对总体单位特征进行调查，统计数据信息资料的承担者则是总体 单位。
总体与总体单位的关系
1、总体与总体单位是整体与局部的关系。
2、总体是由具有相同性质的总体单位构成，总体单位是构成总体的元素。
3、总体与总体单位是相对的，随着研究目的和范围变换，总体与总体单位也随着变化， 4、同
一对象可以是总体，也可以是总体单位。
二、标志与指标
1、标志：
① 标志——说明总体单位特征的名称。
② 标志由标志名称和标志值组成。
③ 品质标志和数量标志
④ 不变标志和可变标志
标志数据计量尺度
① 定类尺度——对现象总体按某一品质标志进行平行分类和分组，分组后各组、各类间的关
系表现为并列或平等，但各组、各类之间必须互相排斥，各组、种类排序可以改变顺序。
② 定序尺度——对现象总体按某一品质标志划分为若干等级，按等级排序分组，分组后相同
等级需要归类，不同等级需要排序，其结果可以比较大小，但不能精确计量。
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③ 定距尺度——对现象总体按某一数量标志进行顺序排列分组，分组后各组间可以计算大小，
还可以计算差异大小，即计算数量间隔。
④ 定比尺度——与定距尺度计量方法属于同一级尺度，两者的主要差别在于对“0” 的理解，
定距尺度计量时，“0”表示一特定的数值，定比尺度计量时，“0”表示“没有”、 “不存在”。
2、指标
指标——说明现象总体特征的概念。通过对统计总体单位特征，特别是数量特征汇总形成说明
总体性质的数量概念。
统计指标包括指标名称、指标值、时间限制、空间范围的计量单位等几部分。
指标分类：
按说明总体性质不同分为数量指标和质量指标。
① 数量指标——说明总体数量规模大小和数量多少的指标，通常用绝对数形式表现，一般通
过加总取得。
② 质量指标——说明现象性质特征的指标，反映现象内部数量对比关系及数量特征一般水平。
按指标值表现形式不同分为总量指标、相对指标和平均指标。
① 总量指标——说明现象总规模和总水平的统计指标，用绝对数形式表现。
② 相对指标——两个有联系的指标对比的结果说明现象内部结构及比较关系，用相对数形式
表现。
③ 平均指标——总体内标志总量与总体总量相比说明现象特征一般水平，用平均数表示。
按指标值计量单位不同分为实物量指标、价值量指标和劳动量指标。
① 实物量指标——以实物单位计量的统计指标，反映现象的实物量状态。
② 价值量指标——以货币单位计量的指标，反映现象的货币量状态。劳动量指标是以劳动时
间单位计量的指标，反映现象的劳动消耗量状态。
按指标功能不同分为描述指标、评价指标和预警指标。
① 描述指标——描述社会经济现象过程和劳动成果的统计指标，反映现象自然的状态。
② 评价指标——考核和评价社会经济现象过程和劳动成果的统计指标，反映工作质量的状态。
③ 预警指标——监控社会经济现象超出正常状态的敏感性统计指标，反映国民经济运行的风
险状态。
3、标志与指标关系：
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联系：
(1)大多数统计指标是由数量标志汇总而来。
(2)随着研究目的和范围不同而转化。
区别：
(1)说明的对象不同——指标是说明总体特征的概念，标志是说明个体特征的概念。
(2)表现形式不同——标志的表现形式的用文字表现的品质标志和用数字表现的数量标志两种形
式。指标都必须使用数字表示。
4、统计指标体系：
统计指标体系是由若干个相互联系统计指标所组成的整体。
单一指标只能反映现象局部数量特征，不能揭示现象全面特征和规律，通过若干相互联系指标
构成指标体系，则可以反映现象全面特征和现象内部构成之间的相互联系。
统计指标体系分为基本统计指标体系和专题研究指标体系
基本统计指标体系——反映社会经济发展及组成部分基本情况的指标体系，也是经常使用的指
标体系。
三、变异与变量
专题研究指标体系——为配合生产经营管理及其它研究的需要，针对专门的问题设置的指标体
系，具有专门性、临时性和变化性特点。
变异——现象特征在同一总体的不同单位之间表现的差异就称为变异。
现象特征变异普遍存在是统计研究的前提和基础。
变量——可变的数量。可变的数量标志和统计指标都属于变量。
变量分为连续变量和离散变量。
① 连续变量——两个变量值之间可以无限细分，即两个变量值间可以取无限个数值的变量。
② 离散变量——两个变量值之间不可以无限细分，即两个变量值间只能取有限个数值，表现
形式为只能是整数，不能是小数的变量。
变量按其性质不同分为确定性变量和随机变量。
四、统计概念间的关系
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第四节 统计制度
一、统计制度概念
统计制度是统计工作的技术规范。统计实践中应用最普遍的是统计报表制度。统计报表制度是
在原始记录或核算资料基础上按规定表格形式、报送程序和报送时间，自下而上搜集统计资料的统
计制度。
二、统计制度的分类
1、国家统计报表制度：是由国家统计局制定的、为了满足实施国家统计调查项目需要的工作方
案。国家统计报表制度包括周期性普查制度、经常性调查制度和非经常性调查制度。
部门统计报表制度：是由国家统计局以外的部门制定为了满足实施部门统计调查需要的工作方案。
2、地方统计报表制度：是地方政府统计部门为满足实施地方统计调查需要的工作方案。
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第二章 统计调查
第一节 统计调查方法
一、统计调查的要求
二、抽样调查
三、非抽样调查
四、同调查方法体系
五、统计资料搜集方法
一、统计调查的要求
准确性——搜集真实、可靠符合社会经济发展客观实际的信息资料是统计调查工作的基本要求。
及时性——搜集及时的统计信息资料是统计调查又一基本要求。
系统性——统计调查要求信息资料具有系统性，包括调查工作的连续性和调查项目的连贯性。
全面性——统计调查还要求搜集全面的信息资料，包括调查单位和登记项目是全面的。
二、抽样调查
抽样调查——在总体中抽取一部分单位进行调查，根据调查结果去推断总体特征。被抽取的这
部分总体单位叫做样本，样本中的每个单位叫做样本单位，样本所包含的样本单位数叫做样本容量。
抽样调查的要点：样本容量；选择抽样方法。
抽样方法分为两大类——随机抽样和非随机抽样。
任意抽样：是从调查对象中随意抽选一定数量单位调查的抽样技术，也称方便抽样或偶遇抽样。
判断抽样：是调查者依据个人主观意愿、经验阅历或知识选择具有代表性样本进行调查的抽样
技术，也称目的抽样。通常有两种方法：1、由专家根据经验判断选择样本；2、根据统计抽样判断
选择样本。
配额抽样：是将总体按一定的标志分组，在不同组内利用任意抽样或判断抽样技术抽取样本进
行调查的抽样技术。配额抽样技术有：1、独立控制配额抽样；2、交叉控制配额抽样。
（二）随机抽样
随机抽样调查——按照随机性原则从总体中抽取一部分单位组成样本，通过对样本单位特征观
察、计量和分析，运用数理统计分析方法对总体特征作出具有一定可靠性估计的调查方法，也称为
概率抽样技术。
随机抽样方法
纯随机抽样——是从总体 N 个单位中按照随机性原则抽取 n 个单位作为样本的抽样方式，也称
简单随机抽样。
分层抽样——将总体按照某关键标志分成若干层，层与层之间差异大，层内部差异小，按随机
性原则从各层中抽取一定样本单位组成样本，这种抽样方式叫做分层抽样，也称类型抽样。
整群抽样——将总体划分为若干群，群与群之间差异小，群内部差异大，按随机性原则抽取一
定数量的群，对中选的群进行全面调查的抽样方式。
等距抽样：将总体单位按一定的次序加以排序形成抽样框，再按随机性原则抽取第一个样本单
位，然后按固定的间隔抽取剩余单位的抽样方式
多阶段抽样——在总体单位较多、分布面广，难以直接从总体中抽取样本进行调查时，需要把
抽样工作分成几个阶段来进行，先抽大单位，再抽小单位，直至最后抽到样本单位。
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三、非抽样调查
普查——专门组织的一次性全面调查。
普查组织方式：组织专门机构、发放调查表格。
重点调查——专门组织的非全面调查，是对调查总体中的重点单位进行专门调查，通过重点调
查了解被调查对象总体的基本情况。
典型调查——专门组织的非全面调查，是对总体中具有典型性的单位进行调查，取得与统计信
息相关的典型资料，以便深入统计分析。
固定样本调查——是将选取的样本单位固定下来长期进行调查的调查方法。
四、统计调查方法体系
五、统计资料搜集方法
初级资料搜集方法：
直接观察法——调查人员亲自到调查现场借助仪器设备对调查对象进行观察、记录，取得第一
手资料。
报告法——以调查对象活动原始记录和核算资料为基础，按照调查单位制发的表格形式、填报
要求和报送程序提供统计资料。
访问法——调查者向被调查者提问，根据被调查者提供的答案搜集资料。
问卷法——根据一系列调查问题与备选答案及辅助内容设置问卷，通过问卷调查搜集资料和信
息。
次级资料搜集方法——文献调查法
文案调查法也称文献调查法、桌面调查法、室内调查法，是对次级资料搜集的调查方法。具有
间接性、历史性、动态性等特点。文案调查法能够方便获得历史数据信息，调查费用也较低，在调
查时被广泛地应用于次级资料搜集。
文案调查法实施步骤：
确定搜集范围——确定调查资料的来源渠道——查找搜集资料。
第二节 统计调查方案设计
一、确定调查目的：是要明确统计调查工作需要解决的问题和确定搜集资料性质及取得资料用
途，是统计调查方案设计的关键环节。
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二、确定调查对象和调查单位：确定统计调查对象是要解决调查范围大小问题。
三、拟订调查项目：调查项目是向调查单位所要调查的具体内容。
四、选择调查方法
五、确定调查时间、地点：调查时间在统计调查方案设计中有两重含义：一是资料所属时间。
六、设计调查组织实施计划。
第三节 统计调查误差检查与控制
一、统计调查误差种类
登记性误差——由于计量不准确、记录出错、抄写过录差错、计算过程和结果错误、有意弄虚
作假等造成的误差。
代表性误差——用部分单位推断总体单位时，部分单位特征分布不足以代表总体特征分布引起
的误差。
实际误差——指统计调查活动取得调查资料计算的指标与调查总体对应的实际指标真值之间的
误差。
系统性误差——抽样过程违反随机性原则使样本特征与总体特征分布不一致产生的误差。
随机性误差（也称偶然性误差）——抽样过程遵循随机性原则，样本特征推断总体特征固有的
误差。
平均误差——指抽样调查中各种可能被抽中的样本配合数的综合指标（如平均数）同总体相应
综合指标的平均离差，表明样本指标与总体指标可能相差的范围，而不是确切的误差数值。抽样平
均误差大小受调查对象总体单位标志值波动程度、样本容量大小等因素的影响。
平均数指标抽样平均误差的计算
重复抽样的计算公式：
2
x
u
n
不重复抽样的计算公式：
2
(1 )
x
n
u
n N
成数指标抽样平均误差的计算
重复抽样的计算公式：
(1 )
p
p p
u
n
不重复抽样的计算公式：
(1 )
(1 )p
p p n
u
n N
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允许误差是指样本指标与总体指标之间的抽样误差不超过某一给定的最大可能范围，记着 △。
允许误差计算公式： tu
平均数指标抽样的允许误差的计算
重复抽样的计算公式：
2
x
t
n
不重复抽样的计算公式：
2
(1 )
x
n
t
n N
成数指标抽样允许误差的计算
重复抽样的计算公式：
(1 )
p
p p
t
n
不重复抽样的计算公式： )1(
)1(
N
n
n
pt
tP
二、统计调查误差控制
登记性误差控制
对于登记性误差要做到：
第一，制定周密的统计调查方案。在制定统计调查方案时尽可能使方案周密、完善，不给调查
工作出现误差留有漏洞，在调查实施前就最大限度地防止误差产生。
第二，认真组织实施统计调查工作。培训调查人员，做好调查前的各项基础工作，加强调查工
作和数据质量检查，杜绝调查工作弄虚作假现象发生。
代表性误差的控制：
第一，抽样过程中严格遵守遵循随机性原则。
第二，改变抽样方法和抽样组织形式。
第三，调整样本容量，确定抽样数目。
抽样误差受样本容量大小的影响较大，对于抽样误差的控制，重要的问题是抽取样本单位数目
的多少，抽样数目过少，样本的代表性差，可信程度低，对总体的推断误差大；抽样数目过多，在
人力、财力、时间上造成不必要的浪费。适当的抽样数目可以从允许误差和抽样平均误差推导而得。
以下只介绍简单随机抽样条件下抽样数目的确定。
平均数指标抽样数目的计算
重复抽样的计算公式：
2 2
2
x
t
n
不重复抽样的计算公式：
2 2
2 2
x
t N
n
N t
成数指标抽样数目的计算
重复抽样的计算公式：
2
2
(1 )
p
t p p
n
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不重复抽样的计算公式：
2
2 2
(1 )
(1 )p
t Np p
n
n t p p
第三章 统计整理
一、统计分组
二、次数分布数列
三、统计表
四、统计图
第一节 统计分组
统计分组——将总体按某种标志划分成若干不同性质的组。统计分组的对象是总体。统计分组
把性质不同的个体区分开，把性质相同的个体加以归类，对于总体是分，对于个体是合。统计分组
是统计整理的基础，而统计资料的审核是统计分组的基础。
一、统计分组的作用
1、区分事物不同性质属性
社会经济现象复杂多样，只有揭示构成客观现象不同事物现象的类型，对不同类型特征加以分
析，才能认清现象的本质规律。
淮阴工学院市场营销 2008 级学生性别分组表
性别分组 人数 比重（%）
男 46 65.7
女 24 34.3
合计 70 100.0
2、反映现象的内部结构
复杂的社会经济现象由许多性质不同的个别事物组成，通过统计分组能够区分现象内部不同组
成所占比重，说明因内部结构比重不同对现象发展产生的影响。
2007 年我国国内生产总值不同产业构成
类型 合计
第一产
业
第二产业 第三产
业 小计 工业 建筑业
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国内生产总值(亿元) 249529.9 28095.0 121381.3 107367.2 14014.1 100053.5
比重(%) 100 11.3 48.6 43 5.6 40.1
3、分析现象间数量依存关系
社会经济发展受到诸多因素的影响和制约，通过统计分组可以。把现象间数量依存关系表现出
来，揭示现象数量变动的规律
4、揭示现象特征和内在规律
统计调查得到的资料，一般都处于零星、分散不系统状态，需要通过统计分组揭示现象内在的
本质特征和发展规律。
统计分组方法
分组标志——将现象总体区分为不同性质组别的依据和标准。
统计分组的原则：
1、穷尽原则——使总体中的每一个总体单位都应有组可归，或者说各分组的空间足以容纳总体
中所有的总体单位；
2、互斥原则——在特定的分组标志下，总体中的任何一个单位只能归属于某一组，而不能同时
或可能归属于几个组。
按品质标志分组。选择反映事物的属性标志将总体划分为若干类型，例如，对企业职工分组，
选择性别、籍贯等品质标志分组。分组标志选择适当，分组标准科学，现象的性质差异显示比较明
确，分组结果容易形成。
按数量标志分组。选择反映事物的数量标志将总体划分为若干类型，例如，对企业职工分组，
选择工资、年龄等数量标志分组。
按标志的重要性分组。在实际统计分组工作时，需要选择一个主要标志外，还需要选择一个或
多个辅助标志配合，使统计分组结果能系统、全面认识事物的特征，准确揭示现象发展变化规律。
统计分组体系
统计分组体系——根据统计研究的目的和要求，对同一现象的总体选择多个分组标志分别进行
分组形成的体系。
简单分组：是选择一个标志对总体进行分组的分组方式。例如，对企业分组时选择固定资产规
模这一个标志分组。
平行分组体系：是对同一总体选择两个或两个以上标志分别进行简单分组形成的分组体系。例
如，对大学生进行分组时，选择年级、性别及学科等分组标志分别简单分组就形成平行分组体系
平行分组体系
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复合分组——选择两个或两个以上标志对总体进行层叠分组的分组方式。例如，对企业分组时
选择固定资产规模和销售收入两个标志进行层叠分组。
复合分组体系
是对同一总体选择两个或两个以上标志分别进行复合分组形成的分组体系。例如，对企业分组
时，选择类型、年销售收入及规模、职工人数四个分组标志分别两两进行复合分组就形成复合分组
体系。
复合分组体系
第二节 次数分布数列
次数分布数列
次数分布：将对总体选择某一分组标志分组后的次数（频数）按一定次序加以归并排列，形成
次数（频数）在不同组间的分布状态及特征，也称变量分布或统计分布。
次数分布数列：在统计分组工作基础上，将分组的级别和对应次数按一定次序加以排列形成说
明总体次数（频数）排序的数列，也称分配数列。
次数分配数列需要由分组组别和对应次数（频数）构成。
一、分配数列的种类
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1、品质分配数列——按品质标分组形成的次数分配数列。例如
2008 年我国分行业城镇投资情况
行业分组 投资额(亿元) 比重（%）
农林牧渔业 2256.12 1.5
采矿业 6912.67 4.7
制造业 46345.00 31.3
房地业 35215.26 23.8
交通运输仓储及邮政业 15551.99 10.5
其它 44126.96 28.2
合计 150408 100.0
2、变量分配数列——统计分组时选择数量标志进行分组形成的次数分配数列。例如：
某企业职工按工资收入分组情况
职工工资分组（元/月） 职工数(人) 比重（%）
1000 元以下 100 10
1000-1500 250 25
1500-2000 480 48
2000 元以上 170 17
合计 1000 100.0
（1）单项式变量数列——选择单个变量值确定统计分组界限形成的变量数列，一般离散变量特
征的现象选择单项式变量数列编制。例如：
某企业职工按完成产品件数分组情况
职工分组（件） 职工数(人) 比重（%）
11 10 10
12 20 20
13 40 40
14 30 30
合计 100 100.0
（2）组距式变量数列——选择一组变量值形成的范围确定统计分组界限形成的变量数列称为组
距式变量数列。
某地区中小企业按销售收入分组情况
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销售收入分组（万元） 企业数(个) 比重（%）
100-200 5 5
200-300 30 30
300-400 55 55
400-500 10 10
合计 100 100
二、变量数列编制
组限——变量数列分组中两个极端值称为组限，最大这为上限，最小者为下限。
组距=上限-下限。 “上限不在组内” 。
组数——一变量数列划分为多少组。组数与组距相互关系是反比例变化关系。
组中值=
2
上限 下限
组中值
组中值是一组变量范围的中间大小的数值，常根据分组后各组上限和下限进行简单算术平均得
到。
组中值=
2
上限 下限
实际分组时，开口组的组中值计算根据相邻组的组距计算得到，即：
频数、频率
变量数列编制的结果需要表现现象的分组状况，还需要表明相应各组单位数。各组单位数是就
是该标志值在这一组反复出现的次数，一般称为次数或频数，用相对数形式表示即为比率或频率，
所有分组的频率和等于 1 或 100%。
通过统计次数（频数），计算比率（频率）可以表现各组特征值对现象数量表现的影响作用大小
和出现的概率。
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第三节 统计表
统计表——由纵横交叉的线条绘制用来表现统计资料的表格，是应用最广泛的表现统计资料的
有效形式。
统计表的构成：包括总标题、横行标题、纵栏标题和指标数值四部分。
统计表的内容由主词和宾词两部分组成。
我国 2008 年全社会分类客货运输量情况
货运量(亿吨) 客运量(亿人)
铁路 33.01 14.56
公路 181.75 220.70
水运 29.73 2.42
民航 0.04 1.92
合计 244.53 2239.6
统计表分类
按在统计工作中的作用不同分为：
调查表——在统计调查工作过程中用于搜集、登记统计资料的表格。
整理表或汇总表——在统计整理过程用于分组、汇总，表现统计汇总或统计整理结果的表格。
分析表——在统计分析工作过程中用于分析统计资料的表格。通常与统计整理表一起使用，认
为是统计整理表的延续部分。
按表现统计分组情况不同分
简单表：统计表主词未经任何分组的表格。一般按总体单位名称或现象发展变化时间不同排列
的表格。
某企业 2008 年各季实现销售收入情况
季别 销售收入（万元） 比重（%）
一季度 120 13.95
二季度 160 18.61
三季度 280 32.56
四季度 300 34.88
合计 860 100.00
分组表：统计表主词选择一个标志进行简单分组形成的表格。
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某班级《统计学》考试成绩分组统计表
成绩分组 人数 比重（%）
60 分以下 3 6.67
60-75 17 37.78
75-90 20 44.44
90 分以上 5 11.11
合计 45 100.00
复合表：统计表主词选择两个或两个以上的标志进行层叠复合分组形成的表格。
某班级《统计学》考试成绩复合分组表
分组 人数 比重（%）
60 分以下
男生 3 6.67
女生 0 0.00
60-75
男生 7 15.55
女生 10 22.22
75-90
男生 8 17.78
女生 12 26.67
90 分以上
男生 2 4.44
女生 3 6.67
合计 45 100.00
三 、统计表编制规则
统计表标题简明确切，概括反映统计表基本内容和分组情况。
主、宾词排列顺序符合逻辑，时间从前到后，空间先局部后整体。
统计表栏目较多，通常需要编号。
统计表中指标数字需填写整齐，对准位数。
统计表中的指标数据资料需要注明计量单位。
根据需要增加附注说明，一般写在表脚。
统计表一般采用三线表。
第四节 统计图
统计图
是表现现象特征分布的另一类重要形式，具有直观、具体、生动、简明的优点。统计图是通过
点、线、面等图形要素绘制的几何图形或事物具体形象表现统计数据的图形。用来表现统计次数分
布的几何图有直方图、折线图、曲线图、饼图等常见图形。
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一、直方图
以许多宽幅相同，不同高度或长度条形显示统计数据资料的图形，每个条形的宽度表示组距的
宽度，高度或长度表示分组的次数（频数）或比率（频率）。
二、折线图
折线图是将坐标系表示现象不同特征的点用线段相邻两两连接构成的图形。折线图绘制有两种
方法。
三、曲线图
曲线图是用占、线绘制的光滑曲线，主要用于显示现象连续型变量次数分布的变化过程。曲线
图绘制可以在折线图绘制基础上将曲线成光滑的曲线形成。
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四、饼图
用圆形内的不同比例扇形面积表示现象总体内部各组结构的图形，是表现统计次数分布的又一
重要图形。
第四章 总量指标
第一节 总量指标的概念
第二节 总量指标的总类
第三节 总量指标的计量单位
第四节 总量指标的统计要求
第一节 总量指标的概念
总量指标——反映社会经济现象总体在一定时间、地点、条件下的总规模、总水平或工作总量。
用绝对数表示，又称绝对指标或绝对数。
特点： 有限性、 与范围、相关性
作用： 1. 是认识社会经济现象的起点
2. 是进行经济管理的主要依据
3. 是基础性指标
第二节 总量指标的种类
总体单位总量指标——总体单位数之和，即总体本身的规模大小。
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总体标志总量指标——总体各单位就某一数量标志的标志值之和。
时期指标——反映某种社会经济现象在一段时间发展变化结果的总量指标。
特点：
1. 可以累计相加
2. 数值与其计算时期有直接关系
3. 需要连续登记取得
时点指标——反映社会经济现象总体在某一时刻（瞬间）的数量状况。
特点：
1. 不具有累加性
2. 数值与其时间间隔没有直接关系
3. 一般是间断统计取得
第三节 总量指标的计量单位
实物单位——自然单位、度量衡单位、双重单位、多重单位、复合单位、标准实物单位
价值单位——以货币作为价值尺度来计量社会物质财富和劳动成果的计量单位。
劳动单位——用劳动时间来表示的计量单位，如工日、工时等（具有可加性、综合性和概括能
力）。
第四节 总量指标的统计要求
一、 明确总量指标的涵义、计算范围
二、 注意总量指标计算时现象的同质性
三、 要有统一的计量单位
第五章 相对指标
第一节 相对指标的意义及其表现形式
第二节 相对指标的种类及其表现形式
第三节 相对指标的计算要求
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第一节 相对指标的意义及其表现形式
相对指标——两个有联系的指标数值对比求得的比值，反映现象的发展程度、结构、强度、普
通程度或比例关系。
相对指标的作用：
相对指标的形式：
1、有名数
2、无名数
⑴ 系数或倍数
⑵ 百分数
⑶ 千分数
⑷ 成数
第二节 相对指标的分类及其表现形式
一、计划完成相对指标
二、结构相对指标
三、比例相对指标
四、比较相对指标
五、动态相对指标
六、强度相对指标
一、计划完成相对指标
计划完成程度相对指标（简称计划完成程度相对数）——在一定时期内的实际完成数值与计划
完成数值对比的结果，用来检查、监督计划执行情况的相对指标，一般以百分数表示。其基本计算
公式为：
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【例 6-1】某企业 2008 年工业总产值计划任务为 2500 万元，实际完成 2859 万元，则
计划完成程度相对指标的计算
1、 指标为绝对数
直接用实际水平和计划水平对比。
【例 6-2】某工业企业 2008 年第 1 季度的工业总产值计划为 7000 万元，实际完成 7700 万元，
则该企业计划完成情况是：
计算结果表明，企业超额完成计划。
2、指标为相对数
在经济管理中，有些计划任务数值是以提供或降低百分比来规定的。
【6-3】某企业某产品产量计划要求增长 10%，同时该种产品单位成本下降 5%，而实际产量增
长了 12%，实际单位成本下降了 8%，则计划完成程度指标为：
3、指标为平均数
【6-4】某企业某月生产某产品，计划单位成本为 100 元，实际为 95 元，则
计算结果表明该产品单位成本实际比计划降低 5%，即超额 5%完成计划.
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计划完成程度相对指标的推广应用
⑴ 计划执行进度情况检查
实际工作中，我们经常遇到计划期还没结束就要分析计划完成情况的问题，这主要是为了及时
发现计划执行过程中存在的问题，及时采取补救措施，保证完成或超额完成计划任务。我们称之为
计划执行进度情况检查。
计划执行进度情况检查的方法是用计划期中某一段时期的实际累计完成数与计划期全期计划数
对比。其计算公式为：
⑵ 长期计划执行情况检查：
1.水平法
【例 6-5】某企业按五年计划规定的最后一年的产量应达到 720 万件，实际执行情况如表 6-2 所
示。
表 6-2 某企业五年计划完成情况 单位：万件
年份
第
一
年
第
二
年
第
三
年
第四年
第五年
第一
季度
第二
季度
第三
季度
第四
季度
第一
季度
第二
季度
第三
季度
第四
季度
产量 300 410 530 150 160 170 170 190 190 210 210
则该企业产量五年计划完成程度相对指标为：
计算结果表明，该企业超额 11.11%完成产量五年计划
2.累计法
如果计划任务规定的是整个计划期限累计达到的水平，检查计划完成程度应使用累计法。将整
个计划期内实际完成的累计数与同期规定的累计计划数进行对比。累计法适用于检查计划期内国民
财产总量的经济指标，其计算公式为：
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【例 6-6】某市五年计划规定累计完成固定资产投资额 60 亿元，实际执行情况如表 6-3 所示：
表 6-3 某市“十五”期间固定资产投资情况 单位：亿元
年度 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年
1季度 2季度 3季度 4季度
投资额 10 12 13 14 3 4 4 5
计算表明，该市固定资产投资超额完成计划的 8.33%
二、结构相对指标
结构相对指标（又称结构相对数）——总体中各组成部分的数值占全部数值之比，又叫比重或
频率。通常用百分数表示。其计算公式为：
【例 6-7】我国第五次人口普查资料如表 6-4：
表 6-4 我国第五次人口普查资料
按性别分组 人数（万人） 各组人数所占比重（%）
男 65355 51.63
女 61228 48.37
结构相对指标的作用
⑴ 利用结构相对指标可以反映总体内部的构成情况，从而揭示现象的性质和特征
⑵ 不同时期的结构相对指标，可以反映事物内部构成的变化过程和发展趋势
⑶ 结构相对指标可以反映总体的质量和利用程度。如产品合格率、废品率等可以表明生产部门
的工作质量；再如企业中的工时利用率、设备利用率等可以表明管理者对企业中资源的利用的能力。
三、比例相对指标
比例相对指标又称比例相对数——同一总体中各组成部分之间数量对比，反映总体各组成部分
之间数量联系程度和比例关系。通常用百分比、成几比几的形式来表现。其计算公式为：
【例 6-8】我国历次人口普查性别比如表 6-6：
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表 6-6 我国历次人口普查性别比
人口普查序
第一次
（1953）
第二次
（1964）
第三次
（1982）
第四次
（1990）
第五次
（2000）
男：女 107.5：100 105.1：100 106.3：100 106.6：100 106.7：100
人口统计学家根据对不同时间、不同国家、不同地区人口性别比例进行分析后得出结论：在一
般情况下，在出生婴儿中，男性婴儿稍多于女性婴儿，正常比例大体是 105：100，在 104～106 之
间大致是均衡的。
四、比较相对指标
1. 比较相对指标的意义与计算
比较相对指标又叫比较相对数或类比相对数，它是同一时间不同空间（国家、地区、部门、单
位、个人等）同类指标对比而得出的相对数。用以表明两个同类事物在不同条件下的数量对比关系
和差异程度，通常用百分数和倍数表示。
其计算公式为：
例如，2008 年中国的国内生产总值为 43333.57 亿美元，美国国内生产总值为 142003.00 亿美元，
则美国是中国的 3.28 倍。
比较相对数中用来对比的两个指标，可以是总量指标，也可以是相对指标或平均指标。
比较相对指标的作用
1. 可以比较不同国家或地区等的同类经济现象发展状况
2. 可以找出某企业和典型之间的差异
【例 6-9】某地区机械厂的平均劳动生产率为 12500 元/人，某一农业机械厂的劳动生产率为 6800
元/人，则
这种情况下，对比的基础是具有特定意义的典型，即国内外同行业先进水平、平均水平或者国
家规定的有关标准水平等，所以分子项和分母项是不可以互换的。通过这种比较，可以为管理人员
找出差距，挖掘潜力，提高管理水平。
五、动态相对指标
动态相对指标（又叫动态相对数——在同一空间内某种社会经济现象在不同时间上的两个数值
之比，用以说明某以现象在不同时间上发展变化的相对程度，一般用百分数或倍数表示。通常将作
为对比基础的时期叫做基期，所研究的时期叫做报告期。其计算公式为：
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【例 6-10】我国 2008 年全社会固定资产投资 172291 亿元，2007 年全社会固定资产投资 137239
亿元。
六、强度相对指标
强度现对指标——两个性质不同，但有一定联系的总量指标对比得到的相对指标。它反映现象
的强度、密度和普及程度。其计算公式为：
【例 6-11】我国 2007 年末，全国共有卫生机构 29.8 万个，医院和卫生院床位 343.8 万张，2007
年末人口数为 132129 万人。
强度相对指标是两个有联系的总量指标之比，这两个总量指标是不同性质的，不存在各标志值
与各单位的对应问题。
强度相对指标的表现形式
有名数。强度相对指标的计量单位大多采用有名数，即由相对指标的分子项与分母项的计量单
位形成的双重单位来表示。如人口密度用“人/平方公里”表示，人均粮食产量用“公斤/人”表示
等。
无名数。少数强度相对指标采用无名数。无名数表示的强度相对指标是由于进行对比的两个指
标的计量单位相同，对比的结果用抽象化的倍数、百分数、千分数等表示。如人口出生率、人口死
亡率等用千分数表示，利税率、商品流通费率等用百分数表示。
强度相对指标的正逆指标
正指标是指数值大小与现象的发展程度或密度方向相一致的强度相对指标；逆指标是指数值大
小与现象的发展程度或密度方向相反的强度相对指标。
【例 6-12】某地区有零售商业网点 5 万个，该地区人口为 1000 万人，则计算强度相对指标为：
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计算结果，正指标表明，该地区每万人拥有 50 个商业网点，指标数值越大，说明商业网点越多，
人们生活越方便；逆指标表明，该地区平均每个商业网点服务 200 人，指标数值越小，说明商业网
点密度越大，人们购物更方便。
强度相对指标的作用：
1. 说明一个国家、地区、部门的经济实力
2. 反映现象分布的密度或普遍程度
3. 反映社会生产条件或效果
第三节 相对指标的计算要求
一、 正确地选择对比的基期
二、 保持对比指标的可比性
三、 相对指标和总量指标结合运用
四、 多种相对指标结合运用
第六章 平均指标
第一节 平均指标的特点和作用
第二节 算术平均数
第三节 调和平均数
第四节 几何平均数
第五节 众数和中位数
第六节 应用平均指标应注意的问题
第一节 平均指标的特点和作用
特点：
1. 平均指标将总体单位标志值的差异抽象化
2. 平均指标只能在同质总体中计算
3. 平均指标反映了总体单位标志值的集中趋势
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作用：
1. 平均指标可以作为评价事物的标准或依据
2. 平均指标可以用来分析现象之间的依存关系
3. 平均指标具有比较分析作用
4. 平均指标是统计推断的基础
第二节 算术平均数
在公式中，分子和分母在经济内容上有着从属关系，即分子数值是各分母单位特征的总和，两者在
总体范围上是一致的，这也是平均数和强度相对数的区别所在。
一、 算术平均数的计算方法
1. 简单算术平均数
式中： X 代表算术平均数；n 代表标志值；X 代表总和符号；代表变量个数。
【例 7-1】某餐饮中心共 8 名服务员，这 8 名服务员的月工资分别为 680 元、700 元、800 元、750
元、860 元、820 元、840 元，则这 8 名服务员的月平均工资为：
2. 加权算术平均数
①将各组标志值（ X ）分别乘以相应的频数（ f）求得各组的标志总量，并加总得到总体标志总量
（ ）。
②将各组的频数加总，得到总体单位总数（ ）。
③用总体标志总量除以总体单位总数，即得算术平均数。
⑴ 由单项式数列计算加权算术平均数
【例 7-2】某纺织厂织布车间工人人数和日产量情况如表 7-1
表 7-1 某纺织厂织布车间工人人数和日产量情况
日产量（米） 工人数（人） 日总产量（米）
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200
220
240
260
300
12
10
35
30
15
2400
2200
8400
7800
4500
合计 102 25300
则该纺织厂织布车间工人的平均日产量为：
⑵ 由组距数列计算的加权算术平均数
根据组距数列计算加权算术平均数，要用各组的组中 （见第三章的第三节）代表变量值进行计算。
具体方法是，必须先算出组距数列各组的组中值，以各组的组中值代表该组的标志值，然后再来计
算加权算术平均数。
【例 7-3】某商店有营业员 30 人，某日按销售额分组的变量数列如表 7-3：
表 7-3 某商店日营业额情况
日销售额（元） 人数（人） 组中值（元） 组日销售额（元）
50-100
100-150
150-200
200-250
250-300
4
6
10
7
3
75
125
175
225
275
300
750
1750
1575
825
合计 30 - 5200
则：
二、加权算术平均法的特殊应用
1. 计算交替标志平均数
【例 7-4】一批产品总量为 100 件，经检验有 90 件合格品，10 件不合格品，则这批产品的平均数为：
2. 计算各种产品的平均等级
【例 7-5】某企业生产工人的技术水平按某等级标准分为三个技术等 级，2007 年和 2008 年生
产工人技术等级人数分布表如表 7-4。请分析该公司工人技术水平是否提高了？
表 7-4 某企业 2007 年和 2008 年生产工人技术等级人数分布表
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技术等级
人数（人）
2007 年 2008 年 2007 年 2008 年
1
2
3
11
16
3
7
6
1
11
32
9
7
12
3
合计 30 14 52 22
解：2007 年工人技术水平平均等级
2008 年工人技术水平平均等级
计算结果表明，2008 年该公司生产工人的平均技术水平有所提高。
三、算术平均数的数学性质
四 算术平均数的不足
1. 算术平均数易受极端变量值的影响，使平均值 的代表性变小；而且受极大值的影响大
于受极小值的影响
2. 当组距数列为开口组时，由于组中值不易确定，使 的代表性也不很可靠
3. 算术平均数只适合于正态分布，当分配数列呈 U 型分布或 J 型分布时，则计算算术平均数就
缺乏代表性了
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第三节 调和平均数
一、简单调和平均数
适用于未分组的总体各单位的标志值和标志总量
【例 7-6】有甲、乙、丙三种商品，其价格分别为 30 元、40 元、50 元，各购进 10000 元的商品，请
问商品的平均价格是多少？
二、加权调和平均数
适用于各变量值对于平均数的作用是不同情况
式中 iM 表示第 i 组的权数。
【例 7-9】2007 年某地区三个市场第一季度某产品的价格及销售资料如表 7-5：
表 7-5 2007 年某地区三个市场第一季度某产品的价格及销售资料
市场名称 商品单价（元/公斤） 销售额（元） 销售量（公斤）
甲
乙
丙
1.2
1.4
1.5
3600
2800
2400
3000
2000
1600
合计 - 8800 6600
则商品的平均价格为
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令 M X f ，则
M
f
X
，代入算术平均数公式：
X f M
X H
Mf
X
加权算术平均数
调和平均数的特点：
1. 调和平均数易受极端值的影响，而且受极小值的影响比受极大值的影响更大。
2. 只要有一个变量值为零，就不能计算调和平均数。
3. 调和平均数也是根据总体（或样本）的变量值计算的结果。在统计调查资料缺损的情况下，仍然
无法计算。
第四节 几何平均数
简单几何平均
1 2 3
nn
nG X X X X X
求解几何平均数，一般需要开高次方。另外一种方法是利用对数求解。
几何平均数也可用对数的算术平均形式表示，所以几何平均数也称“对数平均数”。将上述公式
两边取对数得：
1 2 3
1 1
lg (lg lg lg lg ) lgnG X X X X X
n n
【例 7-10】某车间生产某产品，要经过铸造、切削加工和电镀三个连续作业的工序，各工序合格率
如表 7-6 所示。
表 7-6 某车间某产品合格率表
工艺 产品合格率（%） 合格率的对数
铸造
切削加工
电镀
95.0
95.8
93.0
1.9777
1.9814
1.9685
合计
100.0 5.9276
产品平均合格率 3 395.0% 95.8% 93.0% 84.64% 94.59%nG X
加权几何平均数 31 21 2 3
1 2 3
nn ff ff ff f f f f
nG X X X X X
1 1 2 2 3 3
1 2 3
lglg lg lg lg
lg n n
n
f Xf X f X f X f X
G
f f f f f
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lg
lg
f X
G arc
f
【例 7-11】某商业银行，存款存期 10 年，以复利法计息。10 年的利率分配是：第 1-2 年为
5%，第 3-4 年为 8%，第 6-8 年为 10%，最后两年为 12%，求平均年利率。
表 7-7 加权几何平均数计算表
本利率（%） 年数（次数） 本利率的对数 次数×对数
105
108
110
112
2
3
3
2
0.0212
0.0334
0.0414
0.0492
0.0424
0.1002
0.1242
0.0984
合计 10 - 0.3652
10 2 3 3 2105% 108% 110% 112% 108.773%G
几何平均数的特点：
1. 几何平均数受极端值的影响较算术平均数小
2. 几何平均数中的变量值中不能有零，否则就不能计算；变量值中如有负数，计算出的几何平
均数就会成为负数或虚数，其结果失去意义
3. 几何平均数仅适用于具有等比或近似等比关系的数据
第五节 位置平均数
众数——总体中出现次数最多或最普遍的标志值，反映变量分布的集中趋势，一般以 表示。
【例 7-12】某商店销售主管要了解该店男款西装哪种尺码最需要，则调查了该商店一个月内销
售的男款西装情况，资料如表 7-8：
表 7-8 某商店某月男款西装销售情况
男款西装号码（厘米） 销售量（件） 比重（%）
90
95
100
105
110
115
6
8
48
30
12
6
5
15
40
25
10
5
合计 110 100
次数列中最大的为 48 件，则西装尺码的众数 ＝100（厘米）
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组距数列众数的确定
首先确定众数所在的组， 再利用比例插值法确定众数。
1
0
1 2
M L d
2
0
1 2
M U d
【例 7-11】某车间实行计件工资，100 名工人的月工资资料如表 7-9 所示，试计算工人月工资的众数。
表 7-9 某车间工人工资
月工资（元） 人数（人）
400 以下
400-500
500-600
600-700
700-800
10
20
40
25
5
合计
100
1
0
1 2
40 20
500 100 557.14( )
(40 20) (40 25)
M L d
元
众数的特点：
⑴ 是位置平均数，不受各个标志值大小的影响，难以准确反映数列标志值的一般水平。不受两
端极值的影响。
⑵ 当分配数列没有明显的集中趋势二趋向均匀分布时则无众数
⑶ 如果数列中有多个众数出现，这时就应重新分组，或将各组次数依序合并，并求得一个明显
的集中趋势，然后再计算众数
中位数
中位数——总体中各单位的标志值依其大小顺序排列，位于中间位置的标志值用 eM 表示。
未分组的中位数
【例 7-14】某生产小组有 5 个生产工人，生产的某种产品按日产量顺序排列，依次为 18 件、20 件、
20 件、22 件、23 件，则：
则中位数就是第三个位置上的数，所以 20( )eM 件
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【例 7-15】某生产小组有 6 个生产工人，生产的某种产品按日产量顺序排列，依次为 18 件、20 件、
20 件、22 件、23 件、25 件，则：
这个位置介于第三、第四个位置之间，所以应把第三、第四个位置上的数求简单算术平均数，即：
由单项数列确定中位数
【例 7-16】2007 年对某住宅小区家庭人口数调查资料如表 7-10：
表 7-10 2007 年某住宅小区家庭人口数调查资料
按家庭人口数（人）分组 家庭数（户） 向上累计 向下累计
1
2
3
4
5
10
50
200
80
20
10
60
260
340
360
360
350
300
100
20
合计
360 - -
3eM
由组距数列确定中位数
根据组距数列确定中位数可按照以下步骤：
①计算中位数位置
2
f
；
②对各组次数做向上累计或向下累计；
③根据中位数位置找出中位数所在组；
④利用比例值法推算出中位数的近似值。
下限公式：
1
2
m
e
m
f
S
M L d
f
上限公式：
1
2
m
e
m
f
S
M U d
f
【例 7-17】对某地居民家庭收入情况做调查，调查资料如 表 7-11：
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表 7-11 某地居民家庭收入情况
年收入水平（元） 居民户数（户） 向上累计 向下累计
10000 以下
10000-15000
15000-20000
20000-25000
25000-30000
30000-35000
35000-40000
40000 以上
10
20
40
100
200
160
80
50
10
30
70
170
370
530
610
660
660
650
630
590
490
290
130
50
合计
660 - -
第一步：确定中位数位置
中位数位置
660
330
2 2
f
第二步：确定中位数所在组。根据向上累计或向下累计确定中位数在第五组。
下限为 25000，上限为 30000。
第三步：利用比例插值法公式，求出中位数的近似值。
下限公式为：
1
2
m
e
m
f
S
M L d
f
660
170
225000 5000 29000( )
200
元
中位数的特点
⑴ 是位置平均数，不受极大值和极小值的影响。
⑵ 各单位标志值与中位数离差的绝对值之和为最小值。
⑶ 对某些不具有数学特点或不能用数字测定的现象，可用中位数求其一般水平
第六节 计算和应用平均指标应注意的问题
X G H
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在钟形分布只存在适度或轻微偏斜的情形下，中位数一般介于众数与算术平均数之间，并且，
中位数与算术平均数的距离是众数与算术平均数距离的，即： 0 3 eX M X M
0 3 2eM M X
0
1
2
3
eM M X
0
1
3
2
eX M M
总 结
计算和应用平均指标的原则
1. 现象总体同质性原则
2. 用分配数列补充说明平均数的原则
3. 用组平均数补充说明总平均数的原则
4. 剔除极端值影响的原则
第七章 变异指标
第一节 变异指标的概念和作用
第二节 变异指标的计算
第三节 分布的偏度和峰度
第一节 变异指标的概念和作用
一、变异指标
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变异指标（又叫标志变异指标）——用来说明总体各单位标志值变异程度和离散趋势的指标。
【例 7-1】对两个车间生产的日光灯的耐用时间抽检结果分别为：
A 车间：1400 小时，1450 小时，1500 小时，1550 小时，1600 小时；
B 车间： 900 小时，1200 小时，1500 小时，1800 小时，2100 小时。
两个车间生产的均衡性明显存在着很大差异。有必要把同质总体内各单位标志值的差别和离散
状况计算出来。
二、变异指标的作用
1、变异指标可以测定平均指标的代表性高低程度
2、变异指标可以测定数量现象的均衡性、稳定性、整齐性
【例 7-2】有两个数学小组同学的数学成绩分别为：
甲组：76，78，80，82，84
乙组：60，70，80，90，100
两组的数学平均成绩均为 80 分，但两组同学的数学成绩差异明显不同，第一组的最高分和最低
分相差 8 分，第二组却相差 40 分，可见第一组的平均成绩 80 分代表性高，而第二组的平均成绩 80
代表性较低。
【例 7-3】某企业两个车间某月份产品生产计划完成情况如下表所示：
甲乙两个车间虽然都完成了全月生产计划，但两个车间在执行计划的均衡性方面差异较大。甲
车间各旬比较均衡，而乙车间表现为前松后紧。显然，甲车间计划执行情况优于乙车间。
第二节 变异指标的计算
一、 全距
1、全距——总体各单位标志中最大标志值与最小标志值之差。
（1）分组资料确定全距
（2）组距数列确定全距
【例 7-4】计算下表中职工工资的差距
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（元）200010003000 R
2、全距的特点：简便、粗略
3、全距的应用：
（1）休哈特质量控制图的基本格式
（2）休哈特质量控制图的基本原理
（3）休哈特质量控制图的使用条件和预警标准
二、平均差
平均差——总体各单位标志值与其算术平均数的离差的绝对值的算术平均数，反映各标志值与
算术平均数之间的平均差异。
1、简单平均差
x x
A D
n
2、加权平均差
x x f
A D
n
平均差的特点：
离散趋势有较充分的代表性。
不适合于代数方法的演算，使其应用受到限制
三、方差与标准差
方差： 标准差：
2
2
( )x x
n
f
fxx 2
2
)(
2
2 2
( ) ( )
[ ]
x A x A
n n
2 (1 )p p
n
xx
2)(
2( )x x f
f
2
2
( ) ( )
[ ]
x A x A
n n
d
f
f
d
Ax
f
f
d
Ax
2]
)(
[
2)(
(1 )p p
【例 7-10】某班 40 名同学的统计学成绩分布如下表：
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计算结果说明：该班学生在平均成绩 78.75 分的水平上平均每人离差 9.92 分。
【例 7-11】批产品 100 件，经检验有 85 件合格品，则该批产品的标准差为：
(1 ) 85% 15% 12.75% 35.71%P P
四、离散系数
离散系数——变异指标与平均指标之比，反映总体各单位标志值的相对离散程度。
离散系数越大，总体各单位离散的相对程度越大，平均数的代表性越差；离散系数越小，总体各单
位离散的相对程度越小，平均数的代表性越好。
【例 7-１２】有两个不同水平的工人日产量（件）资料：
甲组：60，65，70，75，80。乙组：2，5，7，9，12
以此计算得：
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【例 7-13】从某校一年级大学生中随机抽取 100 人，测得他们的身高和体重的平均值分别是 168 厘
米和 52 公斤，相应的标准差为 9 厘米和 5 公斤，问身高和体重的差异哪一个大。
解：由于身高和体重不是同一类性质的测量，不能用标准差进行直接比较，必须用相对数—离散系
数。
由于 5.36%＜9.62%，表明体重的差异比较大。
第三节 分布的偏度和峰度
偏度——次数分布的相对偏斜程度，也是总体各标志值次数分布的非对称程度。
偏度是测定偏态的依据，也是反映次数分布性质的一个重要指标。
一、算术平均数与众数比较法
【例 7-1４】某乡某年农民家庭年纯收入的资料如下表，用比较法求该乡这年农民家庭年纯收入
的偏态系数。
O
p
MX
SK
， OMX
%36.5%100
168
9
身高标准差系数
%62.9%100
52
5
体重标准差系统
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解： 元）(1596
30480240
30250048013002401100
f
fX
X
f
fXXf
2)(
（元）2605.305
30480240
30)15962500(480)15961300(240)15961100( 222
（元）7647.151OM
4553.1
2605.305
2353.444
2605.305
7647.11511596
O
p
MX
SK
偏态系数不仅可以说明偏态的相对程度，而且还可以说明偏态的方向。
二、动差法
时，用动差法。当 OMX
f
fkxx
km
k
)(
极中心动差：
.158
3
3
应用见例
动差偏态系数公式：
m
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三、峰度
峰度——测定次数分布曲线顶端的尖峭或扁平程度的指标。它表明某种次数分布曲线与正态分
布曲线相比较，是尖顶，还是平顶，其尖顶或平顶的程度如何。
峰度的测定公式： 4 4
4
2
m m
m
见例 8-16
第八章 时间序列指标
第一节 时间指标的意义、种类和编制原则
第二节 水平指标
第三节 速度指标
第一节 时间指标的意义、种类和编制原则
一、时间序列的概念
时间序列——统计数据按时间先后顺序排列而形成的一种数列。
（1）时间序列可以反映现象发展变化的过程和特点，是研究现象发展变化的趋势和规律以及对
未来状态进行科学预测的重要依据。
（2）时间序列由两个要素构成，即现象所属的时间和反映客观现象在各个时间上的统计指标值。
二、时间序列的作用
1、 描述社会经济现象在不同时间的发展状态和过程。
2、 说明研究事物的相互比例，揭示事物变动的程度。
3、 考察社会经济现象发展变化的方向、速度、趋势及其变化的规律。
4、 预测社会经济现象未来。
5、 系统的保存资料。
三、时间序列的分类
1、绝对数时间序列
（1）时期序列
（2）时点序列
2、相对数时间序列
3、平均数时间序列
（1）平均数时间序列——由一系列同种平均指标按时间先后顺序排列而成的时间序列。它用来反映
社会经济现象不同时期一般水平的发展变化过程。
（2）相对数时间序列——由一系列同类的相对指标数值所构成的时间序列。它反映社会经济现象之
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间相互联系程度的发展过程。
四、时间序列编制的原则
1、时间长短要统一
2. 总体范围要统一
3. 经济涵义要统一
4. 计算方法要统一
第二节 水平指标
一、发展水平
发展水平——时间序列的每一项具体指标值。
1、发展水平反映社会经济现象在一定时期或时点上所达到的规模或水平，是计算其他动态分析
指标的基础。
2、发展水平一般是指总量指标，如工农业总产值，年末人口数等；也可用相对指标来表示，如
工业总产值占工农业总产值的比重；或用平均指标来表示，如全国职工年平均工资等。
3、最初水平——时间序列中第一项水平
4、最末水平——时间序列中最后一项水平
5、中间水平——除了最初水平和最末水平以外的各项水平。
二、增长量
增长量——说明时间序列水平在一定时期内增长的绝对数量的指标。它是以相减的方法计算的
时间序列比较指标。即报告期发展水平减去基期发展水平所得的差额。
1、累计增长量
2、逐期增长量
3、年距增长量
三、平均发展水平——序时平均数
平均发展水平（又称序时平均数）——对时间序列中不同时间上的指标值加以平均所得的平均
数。
1、作用：反映现象在一定时间上的一般水平；便于广泛进行比较。
2、序时平均数的计算方法
（1）绝对数时间序列的序时平均数
（2）相对数时间序列的序时平均数
（3）平均数时间序列的序时平均数
【例 8-1】我国 2001-2007 年粮食产量资料如表 8-7，要求计算 7 年我国平均粮食产量。
表 8-7 2000-2006 年我国粮食产量 单位：万吨
年份 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
粮食产量 45263.67 45705.75 43069.53 46946.95 48402.19 49747.89 50148.3
1 2 3 ... n
aa a a a
a
n n
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45263.67 45705.75 43069.53 46946.95 48402.19 49747.89 50148.3
7
47040.61
（万吨）
计算结果表明我国近 7 年来，平均粮食年产量为 47040.61 万吨。
【例 8-2】某学期开学第一周，为了解学生返校及上课出勤率情况，班长每天都作学生考勤，一周考
勤资料如表 8-8，则这个班开学第一周的平均出勤人数是多少？
表 8-8 某班学生出勤情况
日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
出勤人数 36 37 40 40 39
36 37 40 40 39
38
5
a
a
n
（人）
说明该班本学期初出勤人数平均为 38 人。
【例 8-3】某企业 2007 年 3 月份彩电库存资料如表 8-9，试计算该企业本月彩电平均库存量。
表 8-9 某企业 2007 年 3 月份彩电库存量
日期 1～5 日 6～12 日 13～17 日 18～24 日 25～30 日
库存量（万台） 12 15 30 13 20
12 5 15 7 30 5 13 7 20 6
17.87
5 7 5 7 6
af
a
f
（万台）
说明该企业 2007 年 3 月份彩电的平均库存量为 17.87 万台。
【例 8-4】某企业 2007 年第三季度职工人数情况资料如表 8-10，则该企业第三季度职工月平均人数
为：
表 8-10 某企业 2007 年第三季度职工数
时间（日） 6 月 30 日 7 月 31 日 8 月 31 日 9 月 30 日
职工人数（人） 480 495 500 540
1
2 3 1
2 2
1
480 495 495 500 500 540
2 2 2
4 1
480 540
495 500
2 2
4 1
502
n
n
aa
a a a
a
n
（人）
【例 8-5】某企业 2007 年成品仓库中某产品的库存量资料如表 8-11，试计算月平均库存量。
表 9-11 某企业 2007年某产品的库存量资料
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时间（日） 1 月 1 日 4 月 1 日 8 月 1 日 10 月 1 日 12月 31日
库存量（台） 50 65 40 59 0
全年月平均库存量：a ＝
1321
1
1
3
43
2
32
1
21
2222
n
n
nn
ffff
f
aa
f
aa
f
aa
f
aa
＝
3243
3
2
059
2
2
5940
4
2
4065
3
2
6550
＝48（台）
【例 8-6】某企业 2007 年第三季度生产计划完成情况的资料如表 8-12 所示，现计算其第三季度的平
均计划完成程度。
表 9-12 某企业 7-9月份生产计划完成情况
月份 7 月份 8 月份 9 月份
a 实际产量（件） 500 618 872
b 计划产量（件） 500 600 800
c 产量计划完成%（
b
a
c ） 100 103 109
则 c ＝
b
a
＝
b
a
＝
800600500
872618500
＝104.74%，
计算结果表明，第三季度平均每月计划完成程度为 104.74%。
由于相对数
b
a
c ， bca ，代入上式： c ＝
b
a
＝
b
cb
【例 8-7】我国 2000-2006 年人口构成（年底数）情况如下表所示，计算城镇人口构成情况。
表 9-13 我国 2000-2006年城乡人口构成情况
年份 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
a 年末城镇人口（万人）
b 年末总人口数（万人）
c 城镇人口比重（%）
45906
126743
36.22
48064
127627
37.66
50212
128453
39.09
52376
129227
40.53
54283
129988
41.76
56212
130756
42.99
57706
131448
43.90
精品专业课
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c ＝
b
a
＝
17
2
131448
1307561299885129227128453127627
2
126743
17
2
57706
5621254283523765021248064
2
45906
＝
0833.129191
8333.52158
＝40.37%
计算结果表明 2000-2006 年我国城镇人口平均比重为 40.37%。
【例 8-8】某商店 2007 年第三季度月平均商品流转次数资料如下表所示，计算第三季度平均商品流
转次数。
表 9-14 商品销售额与库存额资料表
指标 单位 7 月 8 月 9 月 10 月
a 商品销售额
b 月初库存额
c 商品流转次数
万元
万元
次
100
45
2.00
150
55
2.44
240
68
3.36
75
上表中商品销售额是时期序列，月初商品库存额是时点序列，商品流转次数是将商品销售额与
平均商品库存额对比求得的强度相对指标，其序时平均数计算如下：
第三季度月平均商品销售额为：
n
a
a
＝
3
240150100
＝
3
490
＝163.33 万元
第三季度月平均库存额为：
1
22
132
1
n
b
bbb
b
b
n
n
＝
14
2
75
6855
2
45
＝
3
183
＝61 万元
第三季度每月平均商品流转次数为：c ＝
b
a
＝
61
33.163
＝2.68 次
由此可以推算出第三季度的商品流转次数＝2.68×3＝8.04 次
【例 8-9】某厂 2007 年第二季度月平均工作情况如下表，计算该厂 2007 年第二季度月平均工资。
表 9-15 某厂 2007年第二季度职工人数、工资情况
3 月 4 月 5 月 6 月
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b 月末职工人数 1250 1258 1260 1280
c 月平均工资 - 1780 1760 1740
因为各月的平均工资其平均的基础不同，所以不能直接将三个月的平均工资之和除以 3 来计算
月平均工资，而应通过计算第二季度工资总额的序时平均数与月平均人数的对比来求得。
本例中，没有工资总额的资料，但可由月平均工资乘以各月的平均人数求得，即
a ＝ bc ，则：
c ＝
b
a
＝
1'
22
132
1
n
b
bbb
b
n
a
n
n
＝
1'
22
132
1
n
b
bbb
b
n
bc
n
n
＝
1'
22
222
4
32
1
3
43
2
32
1
21
n
b
bb
b
n
c
bb
c
bb
c
bb
＝
14
2
1280
13601258
2
1250
3
1740
2
12801260
1760
2
12601258
1780
2
12581250
＝1714.60（元）
【例 8-10】某厂 2008 年第一季度某物资各月平均库存量情况如下表，计算第一季度月平均库存量。
表 9-16 某厂 2008 年第一季度某物资各月平均库存量
月份 1 月 2 月 3 月
平均库存量（吨） 60 73 80
第一季度月平均库存量为： a ＝
n
a
＝
3
807360
＝
3
213
＝71（吨）
【例 8-11】某企业职工一月份平均人数为 4500 人，二月份～三月份的职工平均数为 4550 人，四月
份～六月份职工平均人数为 4505 人，那么上半年平均每月的职工人数为：
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a ＝
f
fa
＝
321
345052455014500
＝
6
27115
＝4519（人）
四、平均增长量
平均增长量——说明社会经济现象在一定时期内平均每期增长的数量，从广义来说，它也是一
种序时平均数，即是逐期增长量动态序列的序时平均数。
1、水平法
2、累计法
【例 8-12】我国 2002-2007 年移动电话年末用户数情况如下表：
表 9-17 我国 2002-2007年移动电话年末用户数情况 单位：万户
年 份 2002 2003 2004 2005 2006 2007
用户数 20600.5 26995.3 33482.4 39340.6 46105.8 54728.6
逐期增长量
累计增长量
－
－
6394.8
6394.8
6487.1
12881.9
5857.6
18740.1
6765.2
25505.3
8622.8
34128.1
（万户）
移动电话年平均增长量
62.6825
5
1.34128
5
8.86222.67656.58571.64878.6394
水平法平均增长量只与期末水平（ na ）和期初水平（ 0a ）有关，而同中间各期水平无关。因此，
用它所计算的平均增长量来推算各期水平，与实际水平可能有很大的差异。
第三节 速度指标
一、发展速度
发展速度反映现象在一定时期的发展方向和变化速度，一般用百分数表示，也可以用倍数表示。
1、环比发展速度：
31 2
0 1 2 1
n
n
a aa a
a a a a
， ，
2、定基发展速度： 31 2
0 0 0 0
na aa a
a a a a
， ，
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3、环比发展速度与定基发展速度之间的关系： 31 2
0 1 2 1 0
n n
n
a a aa a
a a a a a
【例 8-14】全国高等学校 2000-2007 年招生人数资料如下表，其发展速度的计算很简单：
表 9-18 2000-2007 年全国高等学校招生人数情况
年份 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
招生人数（万人） 220.6 268.3 320.5 382.2 447.3 504.5 546.1 565.9
环比发展速度（%）
定基发展速度（%）
－
－
121.62
121.62
119.46
145.29
119.25
173.25
117.03
202.77
112.79
228.69
108.25
247.55
103.63
256.53
环比增长速度（%）
定基增长速度（%）
－
－
21.62
21.62
19.46
45.29
19.25
73.25
17.03
102.77
12.79
128.69
8.25
147.55
3.63
156.53
二、增长速度
增长速度说明报告期水平比基期水平增加了若干倍（或百分之几）。
1、环比增长速度
1 0 3 2 12 1
0 1 2 1
31 2
0 1 2 1
1 1 1 1
n n
n
n
n
a a a a a aa a
a a a a
a aa a
a a a a
， ， ， ， 或
， ， ， ，
2、定基增长速度
1 0 2 0 3 0 0
0 0 0 0
31 2
0 0 0 0
1 1 1 1
n
n
a a a a a a a a
a a a a
a aa a
a a a a
， ， ， ， 或
， ， ， ，
三、平均发展速度和平均增长速度
1、平均发展速度——各个环比发展速度的动态平均数，说明某种现象在一个较长时期中逐年平
均发展变化的程度。
2、平均增长速度——各个环比增长速度的动态平均数，说明某种现象在一个较长时期中逐年平
均增长变化的程度。
（1）几何平均法
【例 8-15】某地区 2000 年国内生产总值 8000 万元，根据“十五”计划规定到 2005 年要达到
12200 万元，试计算“十五”期间该地区国内生产总值的平均发展速度和平均增长速度。
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解：平均发展速度
1 2
0 1 1 0
n n
n n
n
a aa a
x
a a a a
%8.108088.1
8000
12220
5
0
或 n
n
a
a
X
平均增长速度=108.8%-100%=8.8%
（2）平均增长速度=平均发展速度-1
【例 8-16】已知某地区 1995—2000 年钢产量的环比增长速度分别为 15.6%，7.8%，5.6%，3.6%，
7.2%，试计算“九五”期间钢产量的平均增长速度。
解：平均发展速度：
1 2
5 115.6% 107.8% 105.6% 103.6% 107.2%
1.08
108%
n
nX X X X
=
平均增长速度=平均发展速度—1=1.08—1=0.08=8%
（3）方程法
【例 8-17】某地区第九个五年计划期间基本建设投资额的资料如下表所示：
表 9-19 某地区第九个五年计划期间投资总额 单位：亿元
年份 基本建设投资额
1995 1074.37（a0 ）
第九个五年计划期间合计 7349.07
1996 1176.11（a1）
1997 1343.10（a2 ）
1998 1574.31（a3 ）
1999 1551.74（a4 ）
2000 1703.81（a5 ）
第一步 计算递增或递减速度
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n
aaaaa 54321
=
5
81.170374.155131.157410.134311.1176
= 81.1469
5
07.7349
则 a
n
aaaaa
0
54321
为递增速度，应在累计法查对表的增长速度部分查找。
第二步 计算总发展速度
37.1074
07.7349
0
54321
a
aaaaa
= 6.8404 = 684.04%
第三步 查表，见表 9—19 在累计法查对表中的 n=5 的栏内，找到接近 684.04%的数字是
683.34%，再查到该数所在行左边，第一栏内百分比为 10.6%，即为所求的平均每年增长速度。
投资额的平均发展速度：100%+10.6%=110.6%
（4）增长百分之一的绝对值
【例 8-17】报告期水平与基期水平的对比中，报告期比基期每增长百分之一所包含的绝对值是多少？
解：用下表的资料说明增长百分之一的绝对值的计算方法如下：
表 9-21 我国某地区财政收入及增长速度 单位：万元
年份 1998 1999 2000 2001 2002
国家财政收入 3149.48 3483.37 4348.95 5218.10 6242.20
逐期增长量 — 333.89 865.58 869.15 1024.10
环比增长速度 — 10.60 24.85 19.99 19.63
增长百分之一的绝对值 — 31.49 34.83 43.49 52.18
从表 9—21 可以看出，1999 年比 1998 年增加的财政收入绝对值为 333.89 万元，而这相当于基
年1998年的10.60%，那么每增长百分之一所包含的财政收入就等于：
333.89
31.499
10.60% 100
万元。
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第九章 国民经济指标
第一节 国民经济核算总量指标
第二节 人均水平指标
第三节 收入分配指标
第四节 其他重要的分析指标
第一节 国民经济核算总量指标
一、国民经济核算体系的概念和作用
1、国民经济核算的概念：
2、国民经济核算体系的概念：
3、国民经济核算体系的作用：
⑴ 为宏观决策和制订国民经济发展计划提供科学依据
⑵ 对国民经济运行进行监测
⑶ 为宏观经济分析提供基础数据
⑷ 用于国际间的经济比较
二、世界上两大核算体系的形成和发展
1、 物质产品平衡表体系
2、 国民账户体系
3、 两大核算体系的比较
⑴ 核算范围
⑵ 核算内容
⑶ 核算方法
三、我国国民经济的几个主要总量指标
1、社会总产品
2、增加值
3、国内生产总值（GDP）
4、国民生产总值
5、总产出、国内生产总值与社会总产值的区别和联系
⑴ 核算的范围不同
⑵ 指标的价值构成不同
⑶ 指标的计算方法不同
上述总产出、国内生产总值与社会总产值的区别和联系，举例计算如下表：
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表 10-1 某年某地区社会生产总量指标计算表 单位：亿元
指 标 合计 物质生产部门 非物质生产部门
1. 总产出
2. 中间消耗
5132
2847
4583
2646
549
201
3. 中间物质产品消耗
4. 中间服务消耗
5. 固定资产折旧
2664
183
240
2506
140
189
158
43
51
6. 国内生产总值（1－2）
7. 国内生产净值（6－5）
8. 社会总产值
2285
2045
-
1937
1748
4583
348
297
-
四、计算和运用总量指标应注意的问题
1、要明确总量指标的涵义
2、总量指标必须建立在同度量的基础上
3、不同时期、不同地区、不同国家同一现象的总量指标要注意其计算口径是否一致，如计算口
径不一致，在加总、分析时，应根据要求进行适当调整
第二节 人均水平指标
一、人均国内生产总值
人均国内生产总值，也称作“人均 GDP"，常作为发展经济学中衡量经济发展状况的指标，是重
要的宏观经济指标之一，它是人们了解和把握一个国家或地区的宏观经济运行状况的有效工具。将
一个国家核算期内（通常是一年）实现的国内生产总值与这个国家的常住人口（目前使用户籍人口）
相比进行计算，得到人均国内生产总值。
二、社会劳动生产率
1、社会劳动生产率——一定时期内全社会劳动者（从业人员）的劳动效率。
表明一个地区的社会生产力发展水平，是反映该区经济实力的基本指标之一。社会劳动生产率
只能采用价值量进行计算
2、决定劳动生产率高低的因素
⑴ 劳动者的平均熟练程度
⑵ 科学技术的发展程度
⑶ 生产过程的组织和管理
⑷ 生产资料的规模和效能
⑸ 自然条件
三、人均国民生产总值
人均国民生产总值是一个国家的国民生产总值(GNP)除以该国国民人口的总数所得的商，指国民
生产总值平均分摊到每个国民个体上的份额，它等于一个国家的国民生产总值(GNP)除以该国国民人
口的总数。
由于该指标在不同的国家和地区间具有可比性，所以是衡量或表示一个国家的经济发展程度和
人民福利水平的重要指标，也是国际上通行的判定一国经济发展所处阶段和进行横向对比的重要依
据。
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第三节 收入分配指标
一、收入
“可支配收入”，是指各机构单位或部门在核算期内通过初次分配和再分配最终得到、可自主支
配的全部收入；而“国民可支配收入”则是指一国的所有机构部门可支配收入之和。
二、分配
1、初次分配。初次分配与 GDP 的来源与创造相联系，按要素进行分配，在生产领域进行。初
次分配使资源合理配置。初次分配形成原始收入——劳动者原始收入、国家财政原始收入、生产单
位原始收入。
2、再分配。再次分配解决效率与公平问题，在全社会进行。再次分配在初次分配的基础上无偿
转让其原始收入的一部分给他人，或从他人那里获得一部分转移性收入。经常性转移收支有：现期
所得税、财产税等税收收支；社会保险和福利；其他经常转移收支。
三、居民收入分配差异
居民收入差距是分配的平等性问题。居民收入差距主要是个体素质的差距和行业、地区、部门、
职业等的差距所造成的
第四节 其他重要的分析指标
一、 最终消费和投资分析指标
1、消费率与恩格尔系数
消费率=消费/国内生产总值
恩格尔系数=食品支出总额/家庭或个人消费指出总额
2、投资率
投资率通常是指一定时期（年度）内总投资占国内生产总值的比率。但国内生产总值由于受进
出口的影响，又有生产额和使用额的区分
二、外贸依存度
对外贸易依存度是指一国进出口总额与其国内生产总值或国民生产总值之比，又叫对外贸易系
数。其中，进口总额占 GNP 或 GDP 的比重称为进口依存度，出口总额占 GNP 或 GDP 的比重称为
出口依存度。该指标反映一国对国际市场的依赖程度，也是衡量一国对外开放程度的重要指标。
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三、财政收入占 GDP 的比重
该指标是反映财政收入规模的一个重要指标。一般来说，一个国家财政收入占 GDP 比重的高低，
最根本的是取决于经济发展水平和政府职能范围的大小，经济发展水平越高、政府职能越大的国家，
财政收入占 GDP 比重相应要高一些
四、教育投入占 GDP 的比重
教育是社会发展的基础性事业，是非营利性生产部门，主要由政府投资。测度度政府对教育的
支持力度用指标——政府公共教育经费占 GNP 的比重
五、科技投入占 GDP 的比重
科技投入常用的指标是“研究与发展的经费支出”，这个指标发达国家在 2%以上，而我国仅在
1%以下。
六、能源使用效率
1、单位 GDP 能耗
单位 GDP 能耗又叫万元 GDP 能耗，就是每产生万元 GDP(国内生产总值)所消耗掉的能源，它
是反映能源消费水平和节能降耗状况的主要指标。该指标说明一个国家经济活动中对能源的利用程
度，反映了经济结构和能源利用效率的变化。
2、GDP 实际增长率与能源消耗量增长率之差
该指标反映扣除能源消耗后的 GDP 实际增长，是我们全面认识经济增长以及判断这样经济增长
是否可持续的重要指标。
3、能源消费弹性系数
第十章 综合指数
一、综合指数的意义
二、综合指数编制的一般原则和方法
三、综合指数编制的其他方法
第一节 综合指数的意义
一、综合指数的概念
指数（广义）——两个数值对比形成的相对数
指数（狭义）——反映所研究的不同事物综合变动的一种特殊相对数
个体指数——报告期单个指标与基期单个指标直接对比
个体质量指数
1
0
p
p
K
p
（10.1）
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个体数量指数 1
0
q
q
K
q
（10.2）
综合指数——当研究的总量指标受到两个或两个以上因素影响时，要分析其中某一个因素对该
总量指标的影响程度和影响方向，可以把其他因素固定下来，仅观察这一个因素的变动对总量指标
造成的影响，这样编制出来的总指数就是综合指数。并且我们把要研究的这一因素称为指数化因素
或指数化指标。
【例 10-1】已知某小型超市 2007 年及 2008 年销售的三种商品的销售量和单价资料如下表所示。
计算：（1）各种商品的价格指数和销售量指数。
（2）全部商品的价格指数和销售量指数。
三种商品的价格指数分别为 132.58%、70.59%、119.51%，是个体质量指数
三种商品的销售量指数分别为 106%、106.67%、92%，是个体数量指数
观察第二问，如果计算：
全部商品的价格指数=132.58%+ 70.59%+119.51%
结论是错误的，价格简单地相加无实际经济意义
全部商品的销售量指数=106%+ 106.67%+92%
结论是错误的，三种商品的计量单位不同，销售量不能直相加
二、综合指数的意义
上面提到的不同计量单位商品的销售量不能简单相加。
如果把价格因素固定下来（固定在基期或报告期或其它期），将销售量乘以各自的价格，转化为
可以加总的销售额总量指标，用报告期的销售额比基期的销售额就可以反映多种商品销售量的综合
变动了。
这样先综合后对比：先解决总体中的各个个体由于使用价值、计量单位等不同而不能直接相加
对比的问题。
同度量因素——使不能直接相加对比的现象变成能够直接相加对比的现象所引入的一个媒介因
素，如以上所固定的价格因素就是同度量因素。
同度量因素起着过度作用、同度量作用、媒介作用、权衡轻重的权数作用。
根据编制指数和统计研究的目的来确定同度量因素是固定在基期还是报告期或其它期。
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第二节 综合指数编制的一般原则和方法
一、数量指标综合指数
计算数量指标综合指数以质量指标为同度量因素。
【例 10-2】利用例 10-1 数据，计算三种商品的销售量总指数。
解：以基期价格为同度量因素
1 0
0 0
q
q p
K
q p
（ 10. 3）
以报告期价格为同度量因素
1 0
0 0
q
q p
K
q p
（ 10. 4 ）
本例选择基期价格为同度量因素，将数据代入公式（10.3）计算：
1 0
0 0
8.081 2650 85 800 1.64 920 90923.45
106.23
8.081 2500 85 750 1.64 1000 85592.5
%q
q p
K
q p
计算结果表明，三种商品销售量报告期比基期增长 6.23% ，
1 0 0 0 5330.95q p q p
说明由于三种商品销售量平均增长 6.23% ，而使销售额增加 5330.95 元。
二、质量指标综合指数
计算质量指标综合指数以数量指标为同度量因素
【例 10-3】沿用例 10-1 数据，计算三种商品的价格总指数。
解：以基期销售量为同度量因素
1 0
0 0
p
p q
K
p q
（ 10. 5 ）
以报告期销售量为同度量因素
1 1
0 1
p
p q
K
p q
（ 10.6 ）
本例选择以报告期的销售量为同度量因素，将数据代入公式（10.6）计算：
1 1
0 1
10.714 2650 60 800 1.96 920 78195.3
86
8.081 2650 85 800 1.64 920 90923.45
%p
p q
K
p q
计算结果表明，三种商品价格报告期比基期降低了 14%，
1 1 0 1 12728.15p q p q
说明由于三种商品价格平均降低 14%而使销售额减少 12728.15 元。
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第三节 综合指数编制的其他方法
拉氏质量指标综合指数：
1 0
0 0
p
p q
K
p q
拉氏数量指标综合指数： 1 0
0 0
q
q p
K
q p
派氏质量指标综合指数： 1 1
0 1
p
p q
K
p q
派氏数量指标综合指数： 1 1
0 1
q
q p
K
q p
费雪理想指数质量指数公式 1 0 1 1
0 0 0 1
p
p q p q
K
p q p q
费雪理想指数数量指数公式 1 0 1 1
0 0 0 1
p
p q p q
K
p q p q
成本计划完成指数 1
0
n
z
n
z q
K
z q
马歇尔—埃奇沃斯质量指数
1 0 1 1 0 1 1
0 0 1 0 0 0 1
2
2
p
p q q p q p q
K
p q q p q p q
马歇尔—埃奇沃斯数量指数
1 0 1 1 0 1 1
0 0 1 0 0 0 1
2
2
q
q p p q p q p
K
q p p q p q p
第十一章 平均指数
第一节 平均指数的意义和分类
第二节 综合指数变形权数的平均数
第三节 固定权数的平均指数
第一节 平均指数的意义和分类
一、平均指数的意义
以个体指数为基础，通过对个体指数进行平均得到总指数，由于各个个体的重要性不同，进行
平均计算时，只能采用加权平均法。这就是平均指数的含义。
二、平均指数的分类
按采用平均方法分为加权算数平均指数和加权调和平均指数按不同的权数分为基期价值总量
0 0p q 权数、报告期价值总量 1 1p q 权数和固定 W 权数三种。
第二节 综合指数变形权数的平均指数
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一、数量指标平均法指数：
0 0
0 0
q
q
K q p
K
q p
以个体指数 qK 为变量，以基期价值总量 0 0p q 为权数计算的加权算术平均指数。
【例 11-1】仍然根据例 10-1 的有关资料作如下修改，假设我们只知道三种商品销售量个体指数和基
期的价值总量如下表所示， 要求计算销售量总指数。
解：将相关数据代入公式得：
0 0
0 0
1.06 20202.5 1.0667 63750 0.92 1640 90923.45
106.23
20202.5 63750 1640 85592.5
%
q
q
K q p
K
q p
二、质量指标平均法指数： 1 1
1 1
1p
P
p q
K
p q
K
以个体指数 PK 为变量，以报告期价值总量 1 1p q 为权数计算的加权调和平均指数。
【例 11-2】仍然根据例 10-1 的有关资料作如下修改，现假设我们只知道三种商品的价格个体指数和
报告期的价值总量如下表所示，要求计算价格总指数。
解：将相关数据代入公式得：
1 1
1 1
28392.1 48000 1803.2 78195.3
86
1 28392.1 48000 1803.2 90923.45
1.3258 0.7059 1.1951
%p
P
p q
K
p q
K
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第三节 固定权数的平均指数
一、固定权数平均指数的计算公式
KW
k
W
其中 K 是个体指数。W 为固定权数，它通常是在过去资料的基础上调整而成的。
二、零售物价总指数的计算公式 P
K W
W
PK
其中 PK 为各代表规格品价格的个体指数， W 为各代表规格品所占商品零售额的比重。显
然各层次（大类、中类、小类）权数总和都为 100%，权数取整数。
【例 11-3】现以某地区某年粮食中类下的细粮小类价格指数为例，如下表所示，说明细粮小类
价格指数的编制方法。
解：（1）计算代表规格品的个体指数。
大米的价格指数： 1
0
114.04%p
p
K
p
面粉的价格指数： 1
0
98.15%p
p
K
p
（2）计算小类指数，如细粮类指数为：
114.04 80 98.15 20
110.86
80 20
P
K W
%
W
PK
（3）计算中类指数，如粮食中类指数为：
110.86 60 100 40
106.52
60 40
P
K W
%
W
PK
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第十二章 指数体系与因素分析
第一节 指数体系的概念和内容
第二节 总量指标变动的两因素分析
第三节 平均指标变动的量因素分析
第四节 总量指标变动的多因素分析
第一节 指数体系的概念和用途
一、指数体系的概念
商品销售额指数＝商品销售量指数×商品销售价格指数
0 11 1 1 1
0 0 0 0 0 1
p qp q p q
p q p q p q
像这种三个或三个以上有联系的经济指标之间如能构成一定的数量对等关系，我们就可以把这
种经济上有联系、在数量上保持一定关系的三个或三个以上的指数称为指数体系。
销售额的总变动量=销售量变动引起的增减额+价格变动引起的增减额
1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1p q p q p q p q p q p q
总变动指数等于两个（或两个以上）因素指数的乘积；现象总变动差额等于各个因素变动差额
的和。
二、指数体系的用途
1、指数体系是因素分析的基础和依据
2、分析现象总体指标的变动受各种因素变动的影响程度
3、分析社会经济现象总体平均指标受各种因素变动的影响程度
4、利用指数体系进行指数间的推算
第二节 总量指标变动的两因素分析
【例 12-1】下面以下表资料为例，对某企业三种产品的总成本变动进行因素分析。
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解：（1）成本总额变动分析：
成本总额变动指数 1 1
0 0
243300
79.5
306050
%
z q
z q
成本总额变动的绝对量 1 1 0 0 62750z q z q
（2）产量变动影响分析：
产量变动影响程度 1 0
0 0
301500
98.51
306050
%
q z
q z
产量变动影响绝对量 1 0 0 0 4550q z q z
（3）单位产品成本影响分析：
单位产品成本变动影响程度 1 1
0 1
243300
80.7
301500
%
z q
z q
单位产品成本变动影响绝对量 1 1 0 1 58200z q z q
（4）影响因素综合分析：
0 11 1 1 1
0 0 0 0 0 1
z qz q z q
z q z q z q
79.5% 98.51% 80.7%
1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1z q z q z q z q z q z q
62750 4550 ( 58200)
分析结果表明：从相对数方面看，该企业的成本总额报告期比基期减少 20.5%，是由于产量降
低 1.49%和产品单位成本降低 19.3% ，这两个因素共同作用的结果。从绝对数方面看，该企业成本
总额报告期比基期减少 62750 万元，是由于产量下降使成本总额减少 4550 万元和单位成本下降使
成本总额减少 58200 万元共同作用的结果。
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第三节 平均指标变动的两因素分析
一个是各组平均水平变动的影响，另一个是各组单位数在总体中所占比重的影响。
【例 12-2】某企业各车间的劳动生产率和人数资料如下表所示：
计算并分析由于劳动生产率水平和人数结构变动对企业平均劳动生产率的影响 。
解：（1）计算平均劳动生产率变动指数：
可变构成指数 0 01 1
1 0
8072
108.71
7425
%
x fx f
f f
变动绝对额 0 01 1
1 0
8072 7425 647
x fx f
f f
（2）计算各车间劳动生产率变动影响指数：
固定构成指数 0 11 1
1 1
102.83
7850
8072
%
x fx f
f f
各车间劳动生产率水平变动绝对额 0 11 1
1 1
8072 7850 222
x fx f
f f
（3）计算结构变动影响指数：
结构影响指数 0 1 0 0
1 0
7850
105.72
7425
%
x f x f
f f
结构影响变动绝对额 0 1 0 0
1 0
7850 7425 425
x f x f
f f
（4）影响因素综合分析
总平均劳动生产率指数＝结构变动影响指数×各车间平均劳动生产率变动影响指数
108.71% 105.72% 102.83%
总平均劳动生产率变动绝对额=结构变动影响额+各车间劳动生产率变动影响额
8072 7425 (7850 7425) (8072 7850)
647 425 222
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分析结果表明：从相对数方面看，该企业总平均劳动生产率报告期比基期上涨了 8.71%，这是
因为各车间劳动生产率水平变动使总平均劳动生产率上升.83%，职工结构变动影响使总平均劳动生
产率上涨 5.72%，二者共同作用的结果；从绝对数方面看，该企业总平均劳动生产率报告期比基期
增加 647 元，这是因为各车间职工劳动生产率水平变动使总平均工资增加 222 元，职工结构变动影
响使总平均工资增加 425 元的共同结果。
第四节 总量指标变动的多因素分析
由于影响因素涉及三个或三个以上，具体编制过程又区别两因素变动分析，有以下问题需要注
意：
确定数量指标与质量指标
确定多个因素的排列顺序
运用连锁替代法逐步分析各因素的影响方向和程度
【例 12-3】某企业的销售情况资料如下表所示，试对该企业的利润总额的变动进行因素分析。
解：（1）利润总额变动分析：
利润总额变动指数
1 1 1
0 0 0
5000 65 7 220 180 34 150 280 15 425.14
108.62
4500 60 8 230 200 29 140 300 10 391.4
%
q p r
q p r
利润总额变动的绝对量 1 1 1 0 0 0 425.14 391.4 33.74(q p r q p r 万元）
（2）销售量变动影响分析：
销售量变动影响程度
1 0 0
0 0 0
5000 6 220 150 1 .
.
4500 60 8 230 200 29 140 300 10 391.4
0 8 200 29 300 0 412 6
105 42%
q p r
q p r
销售量变动影响绝对量 1 0 0 0 0 0 . . .4 1 2 6 3 9 1 4 2 1 2q p r q p r （万元）
（3）单位产品价格影响分析：
单位产品价格变动影响程度
1 1 0
1 0 0
5000 6 220 150 1
5000 6 220 150 1 .
5 8 180 29 280 0 416.84
101.03%
0 8 200 29 300 0 412 6
q p r
q p r
单位产品价格变动影响绝对量 1 1 0 1 0 0 . . .416 84 412 6 4 24q p r q p r （万元）
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（4）利润率影响分析：
利润率变动影响程度
1 1 1
1 1 0
5000 65 7 220 180 34 150 280 15 .
.
5000 6 220 150 1
425 14
101 99%
5 8 180 29 280 0 416.84
q p r
q p r
利润率变动影响绝对量 1 1 1 1 1 0 .8 3q p r q p r （万元）
（5）影响因素综合分析：108.62% 105.42% 101.03% 101.99%
33.74 21.2 4.24 8.3
分析结果表明：从相对数方面看，该企业的利润总额报告期比基期增 8.62%，是由于销售量增
长 5.42%、产品单位价格上涨 1.03%和利润率上涨 1.99%这三个因素共同作用的结果；从绝对数方
面看，该企业利润总额报告期比基期增加 33.74 万元，是由于销售量上升使利润总额增加 21.2 万元、
单位产品价格上涨使利润额增加 4.24 万元和利润率增加使利润总额增加 8.3 万元共同作用的结果。
第十三章 经济指数与综合评价指数
第一节 几种常见的经济指数
第二节 综合评价指数的构建
第一节 几种常见的经济指数
一、居民消费价格指数
用于反映城乡居民所购买的消费品价格和生活服务价格的变动趋势和变动程度的指数，与我们
的日常生活息息相关。
采用抽样方法定人、定时、定点调查登记代表规格品种和服务项目的价格，在计算平均价格的
单项价格指数基础上，按加权算术平均数指数公式计算。
%100
基期居民消费价格指数
基期居民消费价格指数数报告期居民消费价格指
通货膨胀率
%100
1
居民消费价格指数
货币购买力
%100
居民消费价格指数
职工平均工资指数
职工实际工资指数
二、股票价格指数
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股票价格指数——反映股票市场整体状况或者某类特定股票价格变动的指标
（一）编制股价指数方法
1、综合法
综合法是先将样本股票的基期和报告期价格分别加总，然后相比
求出股价指数。
2、相对法
又称简单平均法。就是先计算各样本股票的个体股价指数，再按
简单算术平均法求得总体股价指数。
3、加权法
就是以样本股票的发行量或交易量为同度量因素来计算股价指数。
（二）常见的股票价格指数
1、道·琼斯股票价格指数
2、标准·普尔股票价格指数
3、香港恒生指数
4、上证股价指数
从各行业在港上市股票中选出 33 个有代表性的股票（成份股）作为计算的对象，以采样股在基
期的发行量为权数加权平均计算的，该指数每天计算三次。是目前香港股票市场最具权威性和代表
性的股票价格指数。
全称“上海证券交易所综合股价指数”， 它是上海证券交易所编制的，以 1990 年 12 月 19 日
为基期，以上海证交所挂牌上市的包括 A 股和 B 股在内的全部股票为计算范围，以报告期股票发
行量为权数进行编制的。
第二节 综合评价指数的构建
一、综合评价的评价过程步骤：
确定综合评价指标体系，这是综合评价的基础和依据。
对不同计量单位的指标数据进行同度量处理。
确定指标体系中各指标的权数。
对经过处理后的指标在进行汇总计算出综合评价指数或综合评价分值。
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根据评价指数或分值对参评单位进行排序，并由此得出结论。
二、综合评价指数的构建
综合评价指数
IW
W
，其中： I 为某单项指标的个体指数，W 为某单项指标的权重。
综合评价指数
IW
W
（一）标准比值法 i
i
m
x
I
x
（二）功效系数法 40 60i s
i
h s
x x
I
x x
【例 13-1】设某企业的工业经济效益 6 项指标如下表所示，试计算该企业的综合评价指数。
计算结果表明，该企业综合经济效益为 101.86 分，超过了 100 分，完成得较好说明该企业的工
业经济效益好于（大于 100 分）全国或全行业平均水平。
第十四章 参数估计
第一节 参数估计的一般问题
第二节 总体参数的点估计
第三节 一个总体参数的区间估计
第四节 两个总体参数的区间估计
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第一节 参数估计的一般问题
一、估计量
设总体 X 的分布函数 1 2( ; , , )mF X 已知， 为待估计的未知参数 i ，用样本构造一
个统计量 1 2
ˆ ( , , )i i nx x x 的值来估计 i ，则称统计量 ˆ
i 为 ˆ
i 的估计量。
估计量评价优良标准
1、无偏性： ˆ( )E
2、有效性：若
1 2
ˆ ˆ( ) ( )D D ，则称 1̂ 比 2̂ 更有效
3、一致性：对任意的 0 ，有 ˆlim 1
n
p
，则称̂ 是 的一致估计量。
二、置信度与置信区间
设 为总体 X 的一个未知参数， 1 2, , nx x x 为随机抽取的一个样本，根据该样本确定
的两个估计量分别为 1 1 1 2
ˆ ˆ ( , , )nx x x 和 2 2 1 2
ˆ ˆ ( , , )nx x x 其中 1 2
ˆ ˆ ，若对给定的
(0 1) 满足 1 2
ˆ ˆ( ) 1P ， 则称随机区间 1 2
ˆ ˆ( , ) 是 的 1 的置信区间，
1̂ 和 2̂ 分别称为置信下限和置信上限， 1 称为置信度。
置信度与置信区间相矛盾，要同时满足这两个要求，就要增加样本容量。增加样本容量有困难
时，就需要在二者之间权衡。在保证置信度的前提下，尽可能提高精确度。
第二节 总体参数的点估计
一、矩估计
对于正整数 K，称 ( )KE X 为随机变量 X 的 K 阶原点矩，记作称 ( ( )) ( )K KE x E x E x （ ） （ ）
为随机变量 X 的 K 阶中心矩，记作 KV 。
所谓矩估计就是用样本矩估计相应的总体矩，以及用样本 K 矩的函数估计相应总体矩的函数。
【例 14-2】 设总体 X 服从正态分布 ( , )2N ，求参数
2 、 的矩估计量。
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解：由于 ( , )2X N ，所以
1
1
2 2 2
2
1ˆ
n
i
i
V
n
V EX
x
设 1 2, , nx x x 是一组来自的样本值，则有：
1
1
2
2
1
1ˆ
1ˆ
n
i
i
n
i
i
V x
n
V x
n
用 1V̂ 和 2V̂ 分别估计 1V 和 2V ，即可得到
2 、 的矩估计量：
1
1
ˆ
n
i
i
x x
n
2 2 2 2 2
2 1
1 1 1
1 1 1ˆ ˆ( ) ( ) ( )
n n n
i i i
i i i
V V x x x x
n n n
二、最大似然估计
使似然函数 ( )L 达到最大值的 1 2
ˆ ˆ ˆ, , m 。作为 1 2, , m 的估计值是最合理的，这
就是最大似然估计的基本思想。
【例 14-3】设总体服从 0—1 分布，即
( 1)
( 0) 1
P X P
P X P
，求参数P 的最大似然估计。
解：在 0—1 分布中， X 的概率分布为
1( ) (1 ) , 0 ,1x xP X x P p x ，
对于给定的样本 1 2, , nx x x 似然函数为：
1 11
1 2( , , (1 ) (1 )
i 1
n n
i i
i i i i
n x n x
x x
nL L x x x P P P P P
；）
1 1
ln 1 1
( ) ( )
1
n n
i i
i i
d L
x n x
dP P P
1 1
ln ( ) ln ( ) ln(1 )
n n
i i
i i
L x P n x P
令
ln
0
d L
dP
，解得：
1
1ˆ
n
i
i
P x x
n
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第三节 一个总体参数的区间估计
一、总体均值的置信区间
二、总体成数的置信区间
三、正态总体方差的置信区间
一、总体均值的置信区间
（一）正态总体且总体方差已知
对于给定的 ，总体均值 的1 的置信区间为：
2 2( )X Z X Z
n n
，
【例 14-5】某厂生产某种零件，已知该零件外径尺寸服从标准差为 0.02 厘米的正态分布，现
随机抽取 35 件，测得其平均外径为 6.52 厘米，试求平均外径 的 80% 的置信区间。
解：已知总体服从正态分布且总体标准差 0.02 ， 6.52x ， 35n
由置信度 1 0.8 ，查表可知 2 0.1 1.28Z Z ，所以总体均值 的 80%的置信区间
为： 0.1
0.02
6.52 1.28 6.52 0.004 6.516
35
x Z
n
0.1
0.02
6.52 1.28 6.52 0.004 6.524
35
x Z
n
即有 80% 的把握保证该零件外径尺寸在 6.516 ～6.524 厘米之间。
（二）正态总体但总体方差未知
未知总体方差 2 时，总体均值 的 1 的置信区间为：
2 2( ( 1) , ( 1) )
S S
X t n X t n
n n
2
1
( )
1
n
i
i
x x
S s
n
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【例 14-6】排球比赛选拔中，为了解某班女生的平均身高，随机抽取了十名女生，得到样本均
值为 162.67 厘米，样本修正标准差为 8.54 厘米，假定学生的身高服从正态分布，求该班全部女生
平均身高 95%的置信区间。
解：已知总体服从正态分布， 162.67x ， 8.54s ，
由 10n 查 t 分布双侧分位数 2 0 . 0 2 5( 1 ) ( 1 0 1 ) 2 . 2 6 2t n t
所以总体均值 的 95% 的置信区间为： 0.05
0.025
0.025
8.54
(9) 162.67 2.262 156.56
10
8.54
(9) 162.67 2.262 168.78
10
s
x t
n
s
x t
n
（三）非正态总体
当关于总体的正态性假定不能满足时，总体均值的置信区间为：
2 2( , )X Z X Z
n n
，
当 2 未知时，用样本修正标准差 S 代替总体标准差 ，得到总体均值 的置信度为 1
的置信区间为 2 2( , )
S S
X Z X Z
n n
。
【例 14-7】为了解某学校 3000 名学生的日摄入平均热量，随机抽取 300 名学生组成一个样本，
样本的均值和修正标准差分别为 2000 千卡和 140 千卡，试求该学校全部学生日摄入平均热量的
95% 的置信区间。
解：已知 3000N ， 300n ， 2000x ，由于我们不知道总体 140s 是否服从正态
分布且总体方差也未知，又抽样比
300
5
3000
%
n
N
，
故抽样平均误差的修正系数不能忽略，则总体均值 的 95% 的置信区间为：
0.025
0.025
140 300
1 3000 1.96 1 1985
3000300
140 300
1 3000 1.96 1 2015
3000300
s n
x Z
Nn
s n
x Z
Nn
即有 95%的把握估计该校学生日摄入平均热量在 1985 ～2015 千卡之间。
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二、总体成数的置信区间
（一）概念
成数就是指总体中具有某种属性的个体所占的比例，一般用 P 表示。为了研究成数 P ，令
总体中具有该属性的变量值取 1，不具有该属性的变量值取 0，则总体服从 0—1 分布，
其均值为：
2 2 2 2( ) (1 ) (0 ) (1 ) (1 )
f
X X p P P P P P
f
，
方差为： 1 0 (1 )
f
X X p p
f
（二）总体成数的置信区间
大样本情况下总体成数 P 的置信度为 1 的置信区间为：
2 2
(1 ) (1 )
,
p p p p
p Z p Z
n n
【例 14-8】某所大学为了解已婚教师住房情况，抽查了 100 户，其中人均住房面积不足 10 平方
米的困难户有 28 户，试求该校住房困难户所占比率的 90% 的置信区间。
解：已知 100n ，
28
28
100
% p ， 2 0.05 1.65Z Z ，则置信区间为：
0.05
0.05
(1 ) 0.28(1 0.28)
0.28 1.65 0.21
100
(1 ) 0.28(1 0.28)
0.28 1.65 0.35
100
p p
p Z
n
p p
p Z
n
即有 90% 的把握估计该校住房困难户所占比率在 21% ～ 35%之间。
三、正态总体方差的置信区间
构造随机变量
2
2
2
( 1)n S
服从自由度为 n-1 的 2 分布，从而得到总体方差
2 的置
信度 1 为的置信区间为：
2 2
2 2
2 1 2
( 1) ( 1)
( , )
( 1) ( 1)
n S n S
n n
【例 14-9】某袋装食品由打包机自动打包，其重量服从正态分布，标准重量为 1000 克，今随机
抽取 12 袋，测得其重量分别为 1001、1004、1003、997、999、1000、1004、1000、996、1002、998、
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999 克，试以 95%的置信水平估计该袋装食品重量的标准差。
解：已知 12, 0.05n ，查
2 分布表得：
2 2
1 2 0.975( 1) (12 1) 3.816n ，
2 2
2 0.025( 1) (12 1) 21.92n ，所以总体方差 2 置信度为 0.95 的置信区间是：
2 2 211 11
21.92 3.816
S S ，
2
2
1
1
6.93
1
( )
n
i
S
in
XX
，
由样本数据计算得样本修正方差 23.48 19.98a ，两边开方得 1.87 4.47 。
第四节 两个总体参数的区间估计
一、两个总体均值之差的置信区间
二、两个总体成数之差的置信区间
三、两个总体方差值比的置信区间
一、两个总体均值之差的置信区间
（一）两个正态总体且总体方差已知
设总体 1 1( , )
1
2NX ，总体 2 2( , )
2
2NX ， 1
2 和 2
2 为已知，两总体相
互独立，各取一个容量分别为 1n 和 2n 的样本，样本均值、修正方差分别为 1X ，
2
1S ，和 2X ，
2
2S ，于是得到 1 2 的置信度为 1 的置信区间为：
1 2 1 2
1 2 2 1 2 2
1 2 1 2
(( ) , ( ) )
2 2 2 2
X X Z X X Z
n n n n
【例 14-10】用甲、乙两种机器设备生产同一种产品，为比较其性能的差异，分别从中各随意抽
取了 75 件和 100 件，测定某项性能指标得样本均值为 1220 和 1180，样本标准差为 60 和 52。设
测定结果和都服从正态分布 1( ,120 )2NX 、 1( , 95 )2NY ， 求均值差 1 2 的
95% 置信区间。
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解：已知 1 75n ， 2 100n ， 1220X ， 1180Y ， 1 120 ， 2 95 ，
2 1.96Z ，由于两总体服从正态分布且总体方差已知，故两总体均值之差 1 2 的 95% 的置
信区间为：
2 2
1 2
2
1 2
120 95
( ) (1220 1180) 1.96 7.07
75 100
2 2
X Y Z
n n
2 2
1 2
2
1 2
120 95
( ) (1220 1180) 1.96 72.93
75 100
2 2
X Y Z
n n
即以 95% 的把握估计甲、乙两种设备生产的该种产品的均值之差在 7.07 ～ 72.93 之间。
（二）两个正态总体且方差未知但相等
当两总体的方差 1
2 和 2
2 未知但相等时，可由 的联合无偏估计
2 2
1 1 2 2
1 2
( 1) ( 1)
2
w
n S n S
S
n n
代替，从而得到 1 2 的置信度为1 的置信区间为：
1 2 2 1 2 1 2 2 1 2
1 2 1 2
1 1 1 1
(( ) ( 2) , ( ) ( 2) )w wX X t n n S X X t n n S
n n n n
（三）两个非正态总体
当两总体 1X 和 2X 是非正态分布时，根据中心极限定理，当 1n 和 2n 足够大时，得到 1 2
的置信度为 1 的置信区间为：
2 2 2 2
1 2 1 2
1 2 2 1 2 2
1 2 1 2
(( ) , ( ) )
S S S S
X X Z X X Z
n n n n
【例 14-11】为了调查某校大一新生中理科生和文科生的高考数学成绩，在理科生和文科生中各
抽取一个由 650 人组成的随机样本，理科生中数学平均成绩为 103 分，修正标准差为 30 分，文科生
数学平均成绩为 95 分，修正标准差为 18 分，试求该校大一新生中理科生和文科生数学平均成绩间
差异的 95%的置信区间。
解：已知 1 2 650n n ， 1 103x ， 1 30s ， 2 95x ， 2 18s 由于未知总体服从
何种分布，总体方差未知，且 1n 和 2n 为大样本，故两总体均值之差 1 2 的 95% 的置信区
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间为：
2 2 2 2
1 2
1 2 2
1 2
2 2 2 2
1 2
1 2 2
1 2
30 18
( ) (103 95) 1.96 5.31
650
30 18
( ) (103 95) 1.96 10.69
650
s s
x x Z
n n
s s
x x Z
n n
即以 95% 的把握估计该校大一新生中文理科高考数学平均成绩之差在 5.31 ～ 10.69 分之间。
二、两个总体成数之差的置信区间
当 1n ， 2n 足够大时（ 1 30n ， 2 30n ），根据中心极限定理，便得到总体成数 1 2P P
的置信度为 1 的置信区间为：
1 1 2 2 1 1 2 2
1 2 2 1 2 2
1 2 1 2
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
(( ) , ( ) )
p p p p p p p p
p p Z p p Z
n n n n
【例 14-12】为了调查春节晚会在北方和南方地区收视率的差异，随机调查了北方地区观众 320
人，其中有 82%的人收看了晚会，南方地区随机调查观众 400 人，其中有 48%的人收看了春晚，
现估计春晚在北方和南方地区收视率差异的置信度是 90% 的置信区间。
解：已知 1 320n ， 1 82%p ， 2 400n ， 2 48%p ， 0.1 ，则置信区间为：
1 1 2 2
1 2 2
1 2
1 1 2 2
1 2 2
1 2
(1 ) (1 ) 0.82(1 0.82) 0.48(1 0.48)
( ) (82 28.56
320 400
(1 ) (1 ) 0.82(1 0.82) 0.48(1 0.48)
( ) (82 39.44
320 400
%-48%)-1.65 %
%-48%) 1.65 %
p p p p
p p Z
n n
p p p p
p p Z
n n
即有 90% 的把握估计春晚在北方和南方地区收视率之差在 28.56% ～ 39.44% 之间。
三、两个正态总体方差之比的置信区间
通过构造统计量
2 2
1 1
1 22 2
2 2
( 1, 1)
S
F F n n
S
，得到 1
2
2
2
置信度为1 的置信区间为：
2 2
1 1
2 2
2 1 2 1 2 1 22 2
1 1
( , )
( 1, 1) ( 1, 1)
S S
F n n F n nS S
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【例 14-13】某部队从 A、B 两市招收的新兵中，分别抽查 5 名新兵和 6 名新兵测量身高，数
据如下：A 市：172，178，180.5，174，175。B 市：174， 171，176.5， 168，172.5，170。设 A、
B 两市新兵的身高都服从正态分布 2 2( , )2N 和 1 1( , )2N ，求方差比 1
2
2
2
的 95% 的置信
区间。
解：由样本数据计算得
2
2 9.1s ， 1 175.9x ，
2
1 11.3s ， 2 172x ，查 F 分布表得：
2 1 2 0.025( 1, 1) (4, 5) 7.39F n n F ，
1 2 1 2 2 2 1 0.025
1
( 1, 1) 1 ( 1, 1) 1 (5, 4)
9.36
F n n F n n F ，
故方差之比的 95% 的置信区间为： 1
2
1 11.3 11.3
9.36
7.39 9.1 9.1
2
2
，即 1
2
0.17 11.62
2
2
。
第十五章 假设检验
第一节 假设检验的基本问题
第二节 总体均值的假设检验
第三节 总体成数的假设检验
第四节 总体方差的假设检验
第一节 假设检验的基本问题
一、假设检验的基本思想
二、假设检验的基本步骤
三、假设检验的两类错误
一、假设检验的基本思想
假设检验过程的主要依据是小概率原理，首先对总体参数提出假设，然后找出一个在该假设成
立条件下出现可能性甚小的小概率事件，如果实验或抽样的结果导致该事件发生，则表明原假设有
问题，应予以否定，即拒绝这个假设，否则不能拒绝原来的假设。
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二、假设检验的基本步骤
（1）根据研究问题提出原假设和备择假设。
（2）确定适当的检验统计量并计算。
（3）给定显著性水平，确定临界值。
（4）根据样本观测值计算检验统计量的值，将其与临界值比 较，根据比较结果做出决策。
三、假设检验的两类错误
人们自然希望犯这两类错误的概率越小越好，然而当样本容量 n 一定时，两者是矛盾的，为使
变小，就要尽量接受 0H ，其结果必然导致 增大，为使 变小就尽量拒绝 0H ，必然导致 增
大。
第二节 总体均值的假设检验
一、一个总体均值的假设检验
二、两个总体均值的假设检验
一、一个总体均值的假设检验
（一）正态总体且总体方差已知
（1） 0 10 0H H ： ， ：
0
2
x
Z Z
n
，拒绝 0H ，
0
2
x
Z Z
n
，接受 0H ，
（2） 0 10 0H H ： ， ：
0x
Z Z
n
，拒绝 0H ，
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0x
Z Z
n
，接受 0H ，
（3） 0 10 0H H ： ， ：
0x
Z Z
n
，拒绝 0H ，
0x
Z Z
n
，接受 0H ，
【例 15-2】假设某大型超市的日销售额服从正态分布，去年的日均销售额为 62.8（万元），方
差为 4
2
，今年随机抽查了包括节假日在内的总共 25 个日销售额，其样本均值 65x （万元），
根据经验认为方差仍为 4
2
，问今年的日均销售额与去年相比有无显著差异？（ .0 05 ）
解：根据题意，待检验的假设是： 0 .62 8H ： ， 1 .62 8H ：
在 0H 成立的条件下，检验统计量 Z 服从标准正态分布
62.8 65 62.8
2.75
4 4
25 25
Z
x
，
查表得 1.96
0.025
Z ，由于 2.75 1.96Z ，故否定原假设，认为今年的日均销售额与去年不
同。
（二）正态总体但总体方差未知
（1） 0 0
H ： ， 1 0H ：
0
2 ( 1)
x
t t n
s n
，拒绝 0H ，
0
2 ( 1)
x
t t n
s n
，接受 0H ，
（2） 0 0H ： ， 1 0H ：
0 ( 1)
x
t t n
s n
，拒绝 0H ，
0 ( 1)
x
t t n
s n
，接受 0H ，
（3） 0 0H ： ， 1 0H ：
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0 ( 1)
x
t t n
s n
，拒绝 0H ，
0 ( 1)
x
t t n
s n
，接受 0H ，
【例 15-5】假定灯泡的使用寿命服从正态分布，灯泡的额定寿命是 1000 小时，从某灯泡厂生
产的一批灯泡中随机抽查了 10 只作为样本，测得平均使用寿命为 995 小时，标准差为 8.5 小时，能
否说明该厂灯泡质量不符合规定（ .0 05 ）
解：因为寿命在 1000 小时以上的都算合格，所以原假设如下： 0 1000H ： ， 1 1000H ：
，
由于总体方差未知，故使用 t 统计量，令 0 99.5 1000
1.86
8.5 10
x
t
s n
，查得 0.05 ，
0.05( 1) (9) 1.833t n t ，由于 1.86 1.833t ，所以拒绝原假设，判定这批灯泡不合格。
（三）非正态总体
当样本容量 n 足够大时（通常 30n ），构造检验统计量
X
Z
n
，当 0
a 时， 近
似服从标准正态分布，可以沿用以上正态总体的各种检验规则，若总体方差
2 未知，直接用
2S
代替
2 即可。
二、两个总体均值之差的假设检验
（一）两个正态总体且方差已知
（1） 0 1 2
H ： ， 1 1 2H ：
1 2
2
1 2
1 2
2 2
x x
Z Z
n n
，拒绝 0H ，
1 2
2
1 2
1 2
2 2
x x
Z Z
n n
，接受 0H ，
（2） 0 1 2H ： ， 1 1 2H ：
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1 2
1 2
1 2
2 2
x x
Z Z
n n
，拒绝 0H ，
1 2
1 2
1 2
2 2
x x
Z Z
n n
，接受 0H ，
（3） 0 1 2H ： ， 1 1 2H ：
1 2
1 2
1 2
2 2
x x
Z Z
n n
，拒绝 0H ，
1 2
1 2
1 2
2 2
x x
Z Z
n n
，接受 0H ，
（二）两个正态总体且方差未知但相等
（1） 0 1 2
H ： ， 1 1 2H ：
1 2
2 1 2
1 2
( 2)
1 1
w
x x
t t n n
s
n n
，拒绝 0H ，
1 2
2 1 2
1 2
( 2)
1 1
w
x x
t t n n
s
n n
，接受 0H ，
（2） 0 1 2H ： ， 1 1 2H ：
1 2
1 2
1 2
( 2)
1 1
w
x x
t t n n
s
n n
，拒绝 0H ，
1 2
1 2
1 2
( 2)
1 1
w
x x
t t n n
s
n n
，接受 0H ，
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（3） 0 1 2H ： ， 1 1 2H ：
1 2
1 2
1 2
( 2)
1 1
w
x x
t t n n
s
n n
，拒绝 0H ，
1 2
1 2
1 2
( 2)
1 1
w
x x
t t n n
s
n n
，接受 0H ，
【例 15-6】用两种工艺生产纱线，其强力服从正态分布，且方差相等，为比较两种工艺生产出的纱
线强力，各抽取 7 个和 8 个样本进行测量，数据为： 1 1.52x ， 2 1.44x ，
2
1 0.0045s ，
2
2 0.0066s ，试问两种工艺生产纱线的平均强力有无显著差异。（ 0.05 ）
解：根据题意建立原假设 0 1 2
H ： ， 1 1 2H ：
由两总体都服从正态分布且方差未知但相等，取统计量
1 2
1 2
1.52 1.44
2.06
1 1 6 0.0045 7 0.0066 1 1
7 8 2 7 8
w
x x
t
s
n n
，
由 t 分布表得 2 1 2 0.025( 2) (13) 2.16t n n t ，由于 2.06 2.16t ，
所以接受原假设，认为两种工艺所纺纱线强力无显著差异。
（三）两个非正态总体
当 样 本 容 量 1n 和 2n 足 够 大 时 ， 根 据 中 心 极 限 定 理 ， 构 造 检 验 统 计 量
1 2 1 2
1 2
1 2
( ) ( )
2 2
X X
Z
n n
近似服从标准正态分布，仍可沿用正态总体的各种检验规则，若总体
方差 1
2 、 2
2 未知，就用
2
1S 和
2
2S 分别代替。
第三节 总体成数的假设检验
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一、一个总体成数的假设检验
二、两个总体成数之差的假设检验
一、一个总体成数的假设检验
（1） 0 0
H P p： ， 1 0H P p：
0
2
0 0(1 )
p p
Z Z
p p n
，拒绝 0H ，
0
2
0 0(1 )
p p
Z Z
p p n
，接受 0H ，
（2） 0 0H P p： ， 1 0H P p：
0
0 0(1 )
p p
Z Z
p p n
，拒绝 0H ，
0
0 0(1 )
p p
Z Z
p p n
，接受 0H ，
（3） 0 0H P p： ， 1 0H P p：
0
0 0(1 )
p p
Z Z
p p n
，拒绝 0H ，
0
0 0(1 )
p p
Z Z
p p n
，接受 0H ，
【例 15-7】某县抽查 100 户农民，其中有 60 户拥有彩色电视机，问该县农民的彩色电视机拥有率
是否大于 50%（ 0.05 ）
解：依据题意建立原假设 0 0.5H P ： ， 1 0.5H P ：
选取检验统计量 0
0 0
0.6 0.5
2
(1 ) 0.5 0.5
100
p p
Z
p p
n
查表得 0.05 1.65Z ，由于 2 1.65Z ，所以拒绝 0H ，认为该县农民的彩电拥有率大于 50%。
二、两个总体成数之差的假设检验
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当 1n ， 2n 足够大时（ 1 30n ， 2 30n ），构造检验统计量 1 2
1 2
1 1
ˆ ˆ(1 )
p p
Z
p p
n n
近似服从标准
正态分布，其中 p̂ 为 P 的无偏估计，且 1 1 2 2
1 2
ˆ
n p n p
p
n n
。则双边和单边检验结果如下。
（1） 0 1 2H P P： ， 1 1 2H P P：
其检验规则为：
1 2
2
1 2
1 1
ˆ ˆ(1 )
p p
Z Z
p p
n n
，拒绝 0H ，
1 2
2
1 2
1 1
ˆ ˆ(1 )
p p
Z Z
p p
n n
，接受 0H ，
（2） 0 1 2H P P： ， 1 1 2H P P：
其检验规则为： 1 2
1 2
1 1
ˆ ˆ(1 )
p p
Z Z
p p
n n
，拒绝 0H ，
1 2
1 2
1 1
ˆ ˆ(1 )
p p
Z Z
p p
n n
，接受 0H ，
（3） 0 1 2H P P： ， 1 1 2H P P：
其检验规则为： 1 2
1 2
1 1
ˆ ˆ(1 )
p p
Z Z
p p
n n
，拒绝 0H ，
1 2
1 2
1 1
ˆ ˆ(1 )
p p
Z Z
p p
n n
，接受 0H ，
【例 15-8】为比较甲、乙两地区的文盲率，在甲地去抽选 130 人，其中文盲和半文盲人数 17 人，
在乙地区抽选 140 人，其中文盲和半文盲达 11 人，问甲地区的文盲率是否高于乙地区。（ 0.05 ）
解：设甲地区文盲率为 1P ，乙地区文盲率为 2
P ，则原假设和备选假设如下： 0 1 2H P P： ，
1 1 2H P P： ，由已知条件得：
1
17
130
p ，
2
11
140
p
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1 1 2 2
1 2
17 11 14
ˆ
130 140 135
n p n p
p
n n
检验统计量 1 2
0.05
1 2
17 11
130 140 1.41 1.65
ˆ ˆ ˆ ˆ(1 ) (1 ) 14 121 1 1
( )
135 135 130 140
p p
Z Z
p p p p
n n
第四节 总体方差的假设检验
一、一个正态总体方差的假设检验
二、两个正态总体方差之比的假设检验
一、一个正态总体方差的假设检验
当总体服从正态分布时，构造统计量
2
2
2
( 1)
( 1)
n S
n
则双边、单边检验结果如下。
（1）
2 2
0 0H ： ，
2 2
1 0H ：
2 2 2 2
2 1 2( 1) ( 1)n n 或 ，拒绝 0H ，
2 2 2
1 2 2( 1) ( 1)n n ，接受 0H ，
（2）
2 2
0 0H ： ，
2 2
1 0H ：
2 2 ( 1)n ，拒绝 0H ，
2 2 ( 1)n ，接受 0H ，
（3）
2 2
0 0H ： ，
2 2
1 0H ：
2 2
1 ( 1)n ，拒绝 0H ，
2 2
1 ( 1)n ，接受 0H ，
【例 15-9】某炼铁厂铁水的含碳量 用 X 表示，在生产稳定情况下服从正态分布，按规定方差不
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许超过 0.03
2
，现随机抽取 10 炉铁水试样，测得其含碳量的样本修正标准差为 0.062，该厂铁水含
碳量的方差是否符合规定。（ 0.05 ）
解：依据题意建立原假设和备选假设：
2 2
0 0.03H ： ，
2 2
1 0.03H ：
检验统计量：
2 2
2
2 2
0
( 1) (10 1) 0.062
38.44
0.03
n s
由显著性水平 0.05 ，查
2 分布表得
2
0.05(9) 16.919 ，因为 38.44 16.919 ，所以拒
绝 0H ，认为该厂铁水含碳量显著地超过了标准不符合规定。
二、两个正态总体方差之比的假设检验
我们知道若两总体 1
1 1
1
( , )
2
X N
n
， 2
2 2
2
( , )
2
X N
n
，
则
2 2
1 1
1 22 2
2 2
( 1, 1)
S
F n n
S
，所以当
2 2
1 2 成立时，构造检验统计量
2
1
2
2
S
F
S
服从自
由度为 1 1n 和 2 1n 的 F 分布，则双边、单边检验结果如下。
（1）
2 2
0 1 2H ： ，
2 2
1 1 2H ：
其检验规则为： 2 1 2 1 2 1 2( 1, 1) ( 1, 1)F F n n F F n n 或 ，拒绝 0H ，
1 2 1 2 2 1 2( 1, 1) ( 1, 1)F n n F F n n ，接受 0H ，
（2）
2 2
0 1 2H ： ，
2 2
1 1 2H ：
其检验规则为： 1 2( 1, 1)F F n n ，拒绝 0H ，
1 2( 1, 1)F F n n ，接受 0H ，
（3）
2 2
0 1 2H ： ，
2 2
1 1 2H ：
其检验规则为： 1 1 2( 1, 1)F F n n ，拒绝 0H ，
1 1 2( 1, 1)F F n n ，接受 0H ，
【例 15-10】有甲、乙两台机床生产同一型号零件，根据已有经验，这两台机床生产的零件直径都服
从正态分布，现从这
两台机床生产的零件中分别抽取 8 个和 7 个，测得其直径数据为： 1 16.057x ，
2
1 0.1654s ，
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2 16.032x ，
2
2 0.0384s ，问乙机床生产的零件直径的方差是否比甲机床小。（ 0.05 ）
解：依据题意建立如下假设：
2 2
0 1 2H ： ，
2 2
1 1 2H ：
检验统计量
2
1
0.052
2
0.1654
4.31 (7, 6) 4.21
0.0384
s
F F
s
所以拒绝 0H ，也就是说乙机床的方差明显地比甲机床小。
第十六章 方差分析
第一节 单因素方差分析
第二节 双因素方差分析
第一节 单因素方差分析
单因素方差分析就是关于一个影响因素的不同水平下，
对观测变量均值差异的显著性检验。
现假设只单独考虑一个因素对观测变量的影响，此时其他
因素都不变或者控制在一定的范围之内。设因素 A 有 K 个水平 1 2, , kA A A ，每一水平下
2( , ) , 1 , 2i iX N i k 且相互独立。
将总离差平方和可以分解为组内平方和与组间平方和两部分：SST SSA SSE
总离差平方和 SST ：——反映观测变量的全部观测值的总变动
组间平方和 SSA ：——反映了各水平的样本平均数之间的差异度，即因素的水平差异对观
测变量产生的影响。
误差平方和 SSE ：——反映了所有水平的样本值与各自水平平均值之间的整体差异程度，
即随机误差及其他因素对观测变量所产生的综合影响，也称为组
内平方和。
可以借助对与的比较对方差分析结果进行检验，其检验步骤如下：
（1）建立原假设 0 1 1 ( 1 , 2 )2 k iH H i k ： ： 不完全相等 ，
（2）构造检验统计量并计算
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（3）给出显著性水平 ，并根据统计量 F 的概率分布表查出临界值 ( 1 , )F k n k 。
（4）给出统计分析决策。若 ( 1 , )F F k n k ，则拒绝原假设，认为因素的不同水平对
总体的差异有显著影响；若 ( 1 , )F F k n k ，则接受 0H ，认为因素的不同水平对总体的
差异无显著影响。
【例 16-1】某农科所为了比较 4 种不同品种油菜的产量，在 4 块条件完全相同的试验田上试种，
而且施肥与其他田间条件完全一样，测得每一品种下每块田的亩产量数据表 16-2。试分析不同品种
的油菜平均亩产量有无显著差异？
解：这是一个单因素方差分析问题，计算结果如表所示：
因为 4.450 3.49F ，所以拒绝原假设 0H ，认为不同油菜品种下的平均亩产量有显著差
异。
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第二节 双因素方差分析
一、无交互作用的两因素方差分析
所谓无交互作用是指两因素的联合作用不会对观测变量产生显著影响。现考虑观测变量 X 受
两因素 A 、 B 的影响，其中因素 s 有 A 个水平，因素 r 有 B 个水平。
其假设检验的原理与单因素方差分析的原理是相同的，只是由于存在两个因素，总离差平方和
可以分解为三个部分，即： SST SSA SSB SSE ，具体检验步骤如下。
（1）建立原假设
检验因素 A 的不同水平间的差异是否显著
0 1 1 ( 1 , 2 )2 rA A iH H i r ： ： 不完全相等
检验因素 B 的不同水平间的差异是否显著
0 1 2 1 ( 1 , 2 )B s B jH H j s ： ： 不完全相等
（2）构造检验统计量并计算
根据如下方差分析表，计算检验统计量，如下表所示。
（3）给出显著性水平 ，并根据统计量 AF 、 BF 的概率分布表查出两个临界值
( 1 ,( 1)( 1))AF r r s 和 ( 1 ,( 1)( 1))BF s r s
（4）给出统计分析决策
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若 ( 1 ,( 1)( 1))A
AF F r r s ，则拒绝 0 AH ，认为因素的不同水平对总体的差异有显著
影响；若 ( 1 ,( 1)( 1))A
AF F r r s ，则接受 0 AH ，认为因素 A 的不同水平对总体的差异
无显著影响。对于因素 B 也可以由 BF 做出类似的结论。
【例 16-2】将例 16-1 中 4 个不同的油菜品种安排在 4 块不同土质但面积相等的地块上试种，
测得各地块产量，如表 16-5 所示。假设油菜品种与地块无交互作用，试分析不同油菜品种和不同地
块的油菜产量差异是否显著。（ 0.05 ）
解：这是一个无交互作用的两因素方差分析问题。油菜品种是因素 A ， A 有 4 个不同水
平；地块是因素 B ， B 也有 4 个不同水平，具体计算结果如表 16-6 所示。
因为 0.051.211 (3 ,9)AF F ，所以接受原假设 0 AH ，认为不同油菜品种间的差异不显著；
而由 0.052.109 (3 ,9)BF F ，所以接受原假设 0BH ，认为不同土质地块间的差异不显著。
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二、有交互作用的两因素方差分析
当两因素间的联合作用可能对观测变量产生影响时，我们
称为有交互作用的两因素方差分析。
此时总离差平方和分解为四部分，即：SST SSA SSB SSAB SSE
其中 SSA SSB 称为主效应部分， SSAB 称为交互效应， SSE 是剩余部分，仍然通过构
造统计量来检验因素 A 、 B 及其交互作用对观测变量的影响是否显著，具体检验过程与无交互
作用的两因素方差分析大体一致，只是多了交互作用的影响，这里不再赘述，只给出以下方差分析
表，如下表所示。
当 ( , )A
A A eF F f f 时，拒绝 0 AH ，认为因素 A 的不同水平间的差异显著；若
( , )A
A A eF F f f ，则接受 0 AH ，认为因素 A 的不同水平间的差异不显著。
当 ( , )AB
AB AB eF F f f 时，拒绝 0 ABH ，认为 A 、 B 的交互作用对观测变量产生了显
著影响，反之则认为 A 、 B 的交互作用对观测变量没有显著影响。对于因素 B ，也可以由 BF
做出类似的结论。
【例 16-3】在某杨树育苗的实验中，选择 3 种栽培技术 1A 、 2A 、 3A ，4 种施肥方案 1B 、
2B 、 3B 和 4B ，每种栽培技术和施肥方案的组合下培育 3 株杨树苗，测得苗高的数据资料，
如表 16-8 所示。
试分析（1）不同栽培技术对苗高有无显著影响；（2）不同施肥方案对苗高有无显著影响 ；（3）
二者的交互作用对苗高有无显著影响。
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解：这是有交互作用的两因素方差分析问题，计算结果如表 16-9 所示。
因为 0.0511.210 ( 2 , 24 ) 3.40AF F ，所以拒绝原假设 0 AH ，认为不同的栽培技术对苗
高产生了显著影响。
因为 0.056.856 ( 3 , 24 ) 3.01BF F ，所以拒绝原假设 0BH ，认为不同的施肥方案对苗高
产生了显著影响。
因为 0.052.956 ( 6 , 24 ) 2.51ABF F ，所以拒绝原假设 0 ABH ，认为不同栽培技术与施肥方
案的交互作用对苗高产生了显著影响。
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第十七章 相关分析
第一节 相关分析的意义
第二节 单相关
第三节 复相关和自相关
第一节 相关分析的意义和内容
一.相关分析
函数关系——一个变量数值随着另一个变量的给定也确定下来（完全依存关系）。
相关关系——一种不完全确定的随机关系。
函数关系与相关关系的区别与联系：
区别：一个是完全的依存关系，一个则是不完全依存关系
联系：相关关系是相关分析的研究对象，函数关系是相关分析的工具.
二、相关的种类
按照相关关系涉及变量（或因素）的多少分为：单相关、复相关、偏相关。
按照相关形式不同分为：线性相关、非线性相关。
按照相关现象变化的方向不同分为：正相关、负相关。
按相关程度分为：完全相关、完全不相关、不完全相关。
第二节 单相关
相关表——把因素标志（x）按照从小到大的顺序并配合结果标志（因变量 y）一一对应而平行
排列起来。
【例 17-1】统计人员随机选择 10 家代理商年广告投入费和月平均销售额的数据，并编制成相关
表，如表 17-1 所示。
表 17-1 广告费与月平均销售额相关表 单位：万元
年广告费投入 月均销售额
12.5
15.3
23.2
26.4
33.5
34.4
39.4
45.2
55.4
60.9
21.2
23.9
32.9
34.1
42.5
43.2
49.0
52.8
59.4
63.5
一、相关图
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将（x， y）实数值放于指教坐标系中去，结合各有序实数对应的点形成的大致图象来判断相关密切
程度、相关方向。
二、相关系数
2 2
1
( )( )
ov( , )
1 1
( ) ( )x y
x x y y
c x y nr
x x y y
n n
2 2
( )( )
( ) ( )
x x y y
r
x x y y
2 2 2 2( ) ( )
n xy x y
r
n x x n y y
三、相关系数的性质
（1） 取值范围： 1r
（2） 1r 表明 x 与 y 之间存在着确定的函数关系。
（3） 0r 表明两变量成正相关。 0r 成负相关。 0r 不相关.
（4） 1r 存在着一定的线性相关；绝对值越大 ，相关程度越高。
0.3r 微弱相关，0.3 0.5r 低度相关，
0.5 0.8r 显著相关，0.8 1r 高度相关。
根据表 17-1 的资料，可计算相关系数如表 17-2 所示。
表 17-2 相关系数计算表
0
10
20
30
40
50
60
70
0 20 40 60 80
月
均
销
售
额
年广告费投入
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序号
广告投入
(万元)
x
月均销售额
(万元)
y
x2 y2 xy
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12.5
15.3
23.2
26.4
33.5
34.4
39.4
45.2
55.4
60.9
21.2
23.9
32.9
34.1
42.5
43.2
49.0
52.8
59.4
63.5
156.25
234.09
538.24
696.96
1122.25
1183.36
1552.36
2043.04
3069.16
3708.81
449.44
571.21
1082.41
1162.81
1806.25
1866.24
2401.00
2787.84
3528.36
4032.25
265.00
365.67
763.28
900.24
1423.75
1486.08
1930.60
2386.56
3290.76
3867.15
合计 346.2 422.5 14304.52 19687.81 16679.09
将表 17-2 有关数据代入相关系数公式得：
2 2 2 2
2 2
( ) ( )
10 16679.09 346.2 422.5
10 14304.52 346.2 10 19687.81 422.5
0.9942
n xy x y
r
n x x n y y
相关系数为 0.9942，说明广告投入费与月平均销售额之间有高度的线性正相关关系。
四、相关系数的检验
相关系数检验的方法与步骤：
（1）提出零假设和备选假设
（2）构造统计量并计算
（3）给定显著性水平，查分布表得临界值
（4）判断
见【例 17-2】
五、相关分析中应注意的问题
相关系数不能解释两变量间的因果关系
警惕虚假相关导致的错误结论
第三节 复相关和自相关
一、复相关
复相关——反映一个要素或变量同时与几个要素或变量之间的相关关系。
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2
2
( )
( )
cy y
R
y y
2
2
( )
1
( )
cy y
R
y y
二、偏相关系数
偏相关系数——除去其它因素的影响，计算某两个因素之间的相关系数
12 13 23
12,3
2 2
13 231 1
r r r
r
r r
12,3 14,3 24,3
12,34
2 2
14,3 24,31 1
r r r
r
r r
12,34...( 1) 1 ,34...( 1) 2 ,34... 1()
12,34...( 1)
2 2
1 ,34... 1() 2 ,34...( 1)1 1
p p p p p
p
p p p p
r r r
r
r r
三、时间序列的自相关
时间序列的自相关——一个变量自身随时间不同，其前期和后期的数值也表现出一定的相关关
系。
时间数列的自相关关系普遍存在于社会经济生活的各个领域。比如，某企业今年生产的电视机
的数量与去年电视机的生产量有关；今年居民的生活消费水平与去年居民生活消费水平有关；今年
进出口贸易额和去年的进出口贸易额有关。
1
1
2
1
2 21
1 2
( )( )
1 1
( ) ( )
1 1
n
n
t t
t
n n
n
t t
t t
ny y ny y
y y
n n
r
ny y ny y
y y
n n
第十八章 回归分析
第一节 一元线性回归
第二节 多元线性回归
第三节 可线性化的曲线回归
第四节 自回归
回归分析——通过一个变量或一些变量的变化解释另一变量的变化，变量之间的关系是因果关系。
回归分析的主要步骤：
（1）根据理论和对问题的分析判断，将变量分为自变量和因变量。
（2）模拟回归模型，描述变量间的关系
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（3）对回归模型进行统计检验
（4）利用回归模型去估计、预测因变量。
第一节 一元线性回归
一、相关与回归的区别与联系
二、一元线性回归模型
三、回归系数与相关系数
四、回归估计标准差
五、回归方程的显著性检验
一、相关分析与回归分析的区别与联系
联系——相关分析是回归分析的基础和前提，回归分析则是相关分析的深入和继续。
区别——（1）在相关分析中不划分自变量和因变量（没有因果关系），变量之间的关系是对等
的；在回归分析中，则必须根据研究对象的性质和研究分析的目的，对变量进行自变量和因变量的
划分（有因果关系），变量之间的关系是不对等的。
（2）在相关分析中所有的变量都是随机变量；在回归分析中，自变量是给定的，因变
量是随机的。
（3）相关分析变量之间是对等的，相关系数是惟一的。回归分析中，对于互为因果的
两个变量 (如人的身高与体重，商品的价格与需求量)，则有可能存在多个回归方程。
二、一元线性回归（Simple Linear Regression）模型
回归直线方程又称一元线性回归方程，其表达形式为： cy a bx
参数 a，b 的值用最小二乘法求得：
y x
a y bx b
n n
，
2 2( )
n xy x y
b
n x x
【例 22-1】某地区 10 个同类企业生产性固定资产价值与工业增加值资料如表 22-1，求工业增加值关
于固定资产价值的回归方程。
表 22–1 直线回归分析计算表
企业 x y x2 xy
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
3
5
6
6
7
8
9
9
10
15
17
25
28
30
36
37
42
40
45
9
9
25
36
36
49
64
81
81
100
45
51
125
168
180
252
296
378
360
450
合计 66 315 490 2305
计算过程在 EXCEL 工作表上完成。
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三、回归系数与相关系数的关系
回归系数与相关系数两者可互相推算
2
( , )( , ) ( , )
.x x x
x y x x y x y y
cov x ycov x y cov x y
r b
y
x
b r
四、回归估计标准误差
回归方程的计算值 yc 与实际值 y 存在着差距，这差距用估计标准误差（用表示）来表示。
估计标准误差是衡量回归直线代表性大小的统计分析指标，它说明观察值围绕着回归直线的变化程
度或分散程度。
（一）估计标准误差的计算
估计标准误差计算原理与标准差基本相。
定义公式：
2( )
2
c
y
y y
S
n
，
2
2
y
y a y b xy
S
n
，ｎ－２为自由度
【例 22-2】 仍用例 22-１估计的回归方程，计算其估计平均误差。
解：利用表 22-２的最后一行，计算：
2( ) 15.6032cy y
2( ) 15.6032
1.9504025 1.4
2 10 2
c
y
y y
S
n
结果表明估计标准差是 140 万元。
（二）估计标准误差与相关系数的关系
估计标准误差与相关系数在数量上也存在着换算关系：
2
2
1
y
y
S
r
， 21y yS r
五、回归方程的显著性检验
（一）判定系数
2r
回归分析表明，因变量 y 的实际值（观察值）有大有小、上下波动，对每一个观察值来说，波
动的大小可用总离差( y y )来表示。总离差产生的原因有两个方面：一是受自变量 x 变动的影响；
二是受其它因素的影响（包括观察或实验中产生的误差的影响）。n 个观察值总的波动大小用总离差
平方和
2( )y y 表示。
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2
2
2
( )
( )
cy ySSR
R
SST y y
或 2 1
SSR SSE
R
SST SST
判定系数
2R 是一个回归直线与样本观测值拟合优度判定的指标。
2R 的值总在 0 和 1 之间。
一个线性回归模型如果充分利用了 x 的信息，则
2R 越大，拟合优度就越好；反之，如
2R 不大，
说明模型中给出的 x 对 y 的信息还不够充分，应进行修改，使 x 对 y 的信息得到充分利用。
（二）T 检验
在回归分析中，我们最关心的是因变量 y 和自变量 x 之间到底有无真正的关系，即需对总体参
数 b 作出某种假设，以便利用样本估计量来判断这种假设能否接受。其步骤如下：
（1）提出零假设、备择假设： H0：b= 0 H1：b≠0
当 x 与 y 有线性关系时 b≠0，当 x 与 y 没有线性关系时 b= 0。
（2）构造统计量并计算：
2( )
y
b x x
t
s
（3）确定显著性水平，并查 t 统计表，确定拒绝域。取 0.05 ，查
2
( 2)t n
（4）判定：计算结果表明
2
| | ( 2)t t n ，则拒绝原假设，即 X 作为 Y 的解释变量作用是显著的。
第二节 多元线性回归
一、二元线性回归
二、多元线性回归
三、多元线性回归的检验
一、二元线性回归模型的建立
设因变量 y 受自变量 1 2x x、 的影响，则因变量 y 倚自变量 1 2x x、 的二元线性回归方程
的基本形式为： 0 1 1 2 2cy b b x b x ，
式中： cy 是 y 的回归估计值， 1 2b b、 是对应于的回归系数， 0b 是常数项。
求解二元线性回归方程的方法仍然是最小二乘法。
令：
2( )cQ y y ，
2
0 1 1 2 2( )Q y b b x b x
按最小平方法的基本要求，通过对每个回归系数求偏导数，并令其等于 0，便可得下列正规方
程组：
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0 1 1 2 2
2
0 1 1 1 2 1 2 1
2
0 2 1 1 2 2 2 2
nb b x b x y
b x b x b x x x y
b x b x x b x x y
二、多元回归方程的建立
设因变量 y 受 1 2 3... kx x x x、 、 等 k 个自变量的影响，则因变量倚各个自变量的多元线性回
归方程的基本形式为：
0 1 1 2 2 3 3 ...c k ky b b x b x b x b x
式中： cy 是的 y 回归估计值， 1 2 3... kb b b b、 、 、 是对应于各个变量 ix 的回归系数， 0b
是常数项。 求解多元线性回归方程的常用方法仍然是最小平方法。按最小平方法的基本要求，通过
对每个回归系数求偏导数，并令其等于 0，便可得下列 k+1 个正规方程组成的方程组：
0 1 1 2 2 3 3
2
0 1 1 1 2 1 2 3 1 3 1 1
2
0 2 1 1 2 2 2 3 2 3 2 2
...
...
...
......... .........
k k
k k
k k
nb b x b x b x b x y
b x b x b x x b x x b x x x y
b x b x x b x b x x b x x x y
2
0 1 1 2 2 3 3
.........
...
k k k k k k kb x b x x b x x b x x b x x y
三、多元线性回归模型的检验
1、拟合程度的评价
在多元线性回归分析中，总平方和的分解公式依然成立。 为了判断一般线性模型（非一元线性
模型）与数据的拟合程度，需要计算一个与 R
2等价的多重决定系数 R
2。
2 2
2
2 2
( ) ( )
1
( ) ( )
cc
y y y y
R
y y y y
，
用自由度去修正多重决定系数：
2
2 1
1 (1 )
n
R R
n k
2、t 检验
一旦拟合了多元回归模型，就希望知道模型中的各个自变量的重要性，其方法就是对与自变量
密切联系的参数作 t 检验。
假设 0 : 0iH b ， 1 : 0iH b ，统计量 i
i
bi
b
t
s
服从 t 分布，故称 t 检验。
在显著水平α 下，当 /2( )it t n k （临界值）时，拒绝原假设，即相应自变量对因变量影
响显著。
如果不能拒绝原假设，可能自变量与因变量之间没有关系，也可能它们之间有关系但不是线性
关系而是曲线关系，所以这时我们只能说没有充分证据认为它们之间存在线性关系。 bis 为第 i 个
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参数估计值的标准差。
3、F 检验
对回归系数进行整体检验
反之，影响不显著。
。来对因变量有显著影响 所有自变量联合起
拒绝下， 给定显著性水平
＝构造统计量
不全为零。 ， 假设：
,),1(
1
1
).......3,2,1(:.......:
0
1210
HknkFF
n
ESS
k
RSS
F
kibHbbbH ik
4、估计
如果进行点估计，可直接利用求多元回归方程的估计值，计算所有自变量值都给定的估计值或
的预测值。
如果是区间估计，需要了解抽样分布的标准差，用样本的标准差去估计总体的标准差的计算公
式为
2( )
1
c
y
y y
s
n k
。
例 22-4 中，
2( )
1.4181
2 1
c
y
y y
s
n
第三节 可线性化的曲线回归
方程名称 原方程 代换 新方程 备注
指数函数 bxaey Yy ln' bxay ln'
幂函数 baxy xxyy lg'lg' ， 'lg' bxay
双曲线函数
x
b
a
y
1
x
x
y
y
1
'
1
' ， '' bxay
对数函数 xbay lg xx lg' 'bxay
S形曲线函数
xbea
y
1
xex
y
y '
1
' ， '' bxay
抛物线函数
2
21 xbxbay
2
21 , xxxx 2211 xbxbay
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【例 22-7】某商店商品销售额和流通费率的数据资料如表 22－7 所示。试分析销售额与流通费率的
关系，并建立流通费率对销售额的回归方程。
表 22-7 某商店 1996-2006 年商品销售额与流通率统计资料
年份 商店销售额 x（万元） 流通费率 y（%）
1996 10.5 6.5
1997 12.5 5.0
1998 14.5 4.2
1999 16.5 3.5
2000 18.5 3.0
2001 19.5 2.5
2002 22.5 2.4
2003 24.5 2.3
2004 25.5 2.2
2005 26.5 2.1
2006 28.5 2.0
解：作散点图
其数学模型为：
c
b
y a
x
可变型为： 'cy a bx
第一步，计算
1
'x
x
第二步，计算 'x
和 y
： 0.0552 3.2455x ； y
第三步，计算：
2( ' ') 0.003741x x
第四步，计算： ( ' ')( ) 0.275993x x y y
第五步，计算 a 和 b 的值：
' 3.2455 73.7445 0.0552 0.8285a y b x
，
'
2
( ')( ) 0.275993
73.7745
0.003741( ' ')
x x y y
b
x x
，
73.7745
0.8285cy
x
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非线性判定系数
2
2
2
( )
1
( )
cy y
R
y y
由表22–7资料列表计
2 0.9776R 。计算结果表明，销售额与流通费率之间存在高度双曲线相关。
对同一个问题进行模型的确定，在实际应用中，如果变化趋势不是非常明显可采用不同的模型分别
进行拟合，然后比较模型各自的残差平方和，残差平方和越小，回归模型越好，另外再结合判定系
数的比较。
四、自回归
在时间序列中， ty 与 1ty 呈线性相关， ty 与 1ty 可建立一元线性自回归模型 1t ty a by
（又称简单自回归模型）。
1
1
1
2 1 2
1 1
2 2
1 1
(1 )
1
( 1) ( )( )
( 1) ( )
n
n n n
t t t t
t t t
n n
t t
t t
ny b by y
a
n
n y y y y
b
n y y
第十九章 统计预测
第一节 统计预测的一般问题
第二节 回归预测
第三节 趋势外推预测
第四节 季节变动预测
第一节 统计预测的一般问题
一、统计预测的意义
二、统计预测的种类
三、统计预测的步骤
一、 统计预测的意义
运用一种现象的数量关系推算另一种现象的数量表现。
从局部的资料推算总体的数量特征。
对未来发展趋势进行科学预测，增强科学预见性。
统计预测为制订计划提供科学依据。
统计预测是宏观经济管理和微观经济决策的重要职能，是科学组织社会化大生产、优化配置资
源、提高经济效益的重要手段，是企业经营决策的客观依据。
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二、统计预测的种类
按时间跨度分类：短期预测、中期预测、长期预测
按经济活动范围分类：宏观预测、 微观预测
按预测的性质分类： 定性预测、 定量预测
按预测结果的条件分类：条件预测、 无条件预测
按预测对象分类：主观计划预测、客观发展预测
三、统计预测的步骤
确定预测目标，分析总体趋势
找出相关因素，进行因素分析
搜集整理资料
选择预测模型和预测方法
预测、评价结果
写出预测分析报告
第二节 回归预测
回归预测——在分析自变量和因变量之间相关关系的基础上，建立回归方程，并将回归方程作
为预测模型
一、一元线性回归预测
二、时间序列的自回归模型预测
三、多元线性回归预测
一、一元线性回归预测
用一元线性回归模型来研究两个变量之间的关系，根据一事物对它事物进行预测。
当我们建立了两变量之间的回归模型，并估计出参数以后，就可以根据已知或假定的自变量预
测出未知的因变量。
（一）模型的建立
理论模型的建立一般依据经济理论或经验建立。
设： x 为“因”(自变量)， y 为“果”(因变量)， x 与 y 的因果关系为： y kx b ，
满足： ( , ) 0 ( ) 0Cov x E ； ，
在实际操作中，随机误差项ε 的值无法得知，将模型改写为 cy kx b
（二）模型的参数估计
【例 19-1】
假设某个工业增加值与货币供应量回归结果为： 0.033010 3379.105k b 和
建立回归方程： 0.033010 3379.105cy x
这个回归方程表示货币供应量每增加 1 亿元，工业增加值就上升 330 万元。
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预测模型的回归参数，反映了自变量和因变量之间的一种变动的结构关系，这种变动结构对未
来是否合适，决定着模型是否用于预测。
（三） 模型检验
1．标准差检验
2( )
2
cy y
y n
S
预测模型的标准差（ yS ）越小越好，但是在实际分析中 yS 往往与样本值的大小有关，很难用
一个标准来衡量。通常采用
yS
y
来衡量标准的相对大小，当
yS
y
小于 15%时，则认为预测模型比较好。
2．模型拟合优度检验
用判定系数（18-10）式来概括模型对数据的拟合程度。判定系数
2r 越接近于 1 就表示模型对
样本数据的拟合越好，通常要求达到 0.8 以上，模型才算比较好。
3．显著性检验
t 检验是回归系数的显著性检验，用于考察单个自变量对因变量的影响是否显著
F 检验是方程的显著性检验，用于考察整个模型关于因变量的影响是否显著
对于简单的回归预测模型 t 检验和 F 检验是等价的。
（四）利用回归方程进行预测
1．单值预测
单值预测是指利用回归模型， 对于 x 一个特定的值 0x 求出的一个预测值。
2．区间预测
区间预测是指利用回归模型，对于一个特定的值求出的一个预测区间，而不是一个特定的值。对给
定 0x ，在显著性水平 下 的预测区间为 ：
2
0
2 2
1
( )1
0
( )
1 n
i
i
x x
y n
x x
y t S
二、时间序列的自回归模型预测
在社会经济现象中，如果某个经济变量在变化过程中具有周期性变动的规律或者前后期的变动
模式大体相同，可以选用自回归预测方法进行预测。
三、多元线性回归预测
影响因变量的因素往往不只一个，自变量的个数在两个或两个以上，这种用多个变量来拟合、
预测我们所关心的变量的方法属于多元回归预测法。
多元线性回归预测法是利用统计资料建立多元回归方程，以已知两个或两个以上的自变量代入
方程来估计另一个因变量（预测目标）的定量预测方法。
最简单的多元线性回归是二元线性回归。二元线性回归是一元线性回归的扩展，其预测原理、
方法和步骤与一元线性回归相同，只是要复杂得多。
可将二元回归的方法推广到多元回归。
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（一）自变量的选择
选择自变量首先定性分析研究影响预测目标的各种因素同预测目标是否确实存在着内在的必然
联系及其影响程度。根据选择的自变量有针对性地搜集资料，分别计算每个自变量的偏相关系数、
各自变量间的相关系数。根据计算结果进一步筛选自变量。
注意：
①所选自变量必须对因变量有显著的影响；
②所选自变量应该具有完整的统计数据资料，难以定量的因素不宜选入；
③所选的自变量与因变量之间具有经济意义和内在因果联系；
④所选的自变量之间的相关程度不应高于自变量与因变量之间的相关程度。
（二）估计参数，建立回归方程
多元线性回归模型形式为 1 1 2 2 i iy x x x
满足条件
( , ) 0
( ) 0
iCov x
E
多元线性回归预测模型可以改写为： 1 1 2 2c i iy x x x
（三）预测方程的显著性检验
（四）预测
第三节 趋势外推预测
趋势预测法就是根据预测对象的历史数据变化规律对预测对象未来状况作出预测的方法。内容：
一、直线趋势外推法
二、抛物线趋势外推法
三、指数曲线
四、移动平均法
五、指数平滑法
一、直线趋势外推法
直线趋势外推法就是根据预测对象具有随时间变化的线性变动趋势的历史数据，拟合成一条直
线，通过建立直线回归模型进行预测的方法。
直线趋势外推法适用于历史数据逐期增长大体相同的预测对象的中长期预测。
二、抛物线趋势外推法
（一）概念
抛物线趋势预测法就是根据预测对象具有抛物线变动趋势的历史数据拟合一条抛物线模型进行
预测的方法。
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抛物线趋势预测法适用于历史数据增长量呈抛物线趋势的预测对象。
【例 19-2】某市居民家庭消费支出中用于文化消费所占的比例如表 19-1 所示，试预测 2010 年
该市居民文化消费占消费支出的比重。
表 19-1 某市居民消费支出中用于文化消费所占的比例表
年份 2002 2003 2004 2005 2006 2007
比重 3.1 3.4 4 4.8 6.3 8.8
（二）预测模型
2
1 2cy t t ， 、 1 、 2 是模型参数，求参数的方法有以下两种：
1．最小平方法
基本思路是：拟合一条抛物线模型，使各期的实际值到这条抛物线的纵向坐标距离的平方和为
最小。仿照二元线性回归方法有：
2
1 2
2 2
1 2
2 2 2 4
1 2
y t t
ty t t t t
t y t t t t
令 0t ， 则
3 0t ， 0t
上式可推导为：
2
2
1 2
2 2
2 4 2 2
y t
y t
ty
t
t y
t t t
根据级数求和：
n 2
2 2
t n 2
( 1)( 2)
t
12
n n n
t
2n 2
4 2
t n 2
( 1)( 2)(3 6 4)
t
240
n n n n n
t
将
2t 和
4t 的代入上式得：
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2
1
2
2
( 1)( 2)
12
12
( 1)( 2)
12 ( 1)( 2)
60
( 1)( 2)[4 1)( 1) 21]
n n
y
ty
n n n
t y n n n y
n n n n n
4.15 ， 1 0.846429 ， 2 0.19642875
预测模型为：
24.15 0.846429 0.19642875cy t t
令 t=6， 则 2010 年该市居民消费指出中文化指出所占的比例为 16.3%。
2．分组平均法
与直线模型求参数的方法相同，要使实际值和理论预测值的偏差代数和为零，即：
2
1 2( ) [ ( )] 0cy y y t t
2
1 2[ ] 0y t t
2
1 2y n t t
由于求参数 、 1 、 2 需 3 个方程，可将上式的实际值和时间序列分为 3 组，则由上式
可产生一个由 3 个方程组成的方程组：
2
1 1 1 2 1
2
2 1 2 2 2
2
3 1 3 2 3
y t t
y t t
y t t
在例 19-2 中，设 2002 年到 2007 年的时间序数为：1，2，3，4，5，6。以时间序数为自变量，
以其对应的文化消费占居民消费支出中的比例为因变量，模拟回归方程。
把 2002 和 2003 年分为第一组， 2004～2005 年分为第二组，2006～2007 年分为第三组，
则： 1 21 2 31.5 3.5 5.5 3.25 4.4 7.55t t t y 3 , ， ， y ， y ，
将 1 2 3 1 2 3t t t y y y 、 、 、 、 、 代入（24.12）式得：
1 2
1 2
1 2
6.5 2 3 5
8.8 2 7 25
15.1 2 11 61
解方程得： 3.6375 0.675 0.25 １ ２ ， ＝－ ， ＝
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预测模型为：
23.6375 0.675 0.25cy t t
令 9t ，则 2010 年该市居民家庭消费支出中文化支出所占的比重为：17.8125(%)。
三、指数曲线趋势外推法
（一)概念
指数曲线趋势预测法是指根据预测对象具有指数曲线变动趋势的历史数据拟合成一条指数曲线
模型进行预测的方法。
指数曲线趋势预测法适用于历史数据环比系数大致相同的预测对象。
（二）预测模型
t
cy a b
这个方程可化为直线型
'
c clny lna tlnb y A kt
按照直线趋势预测法求参数 k、A，然后再求 k、A 的反对数，得到 b、a，建立指数曲线回归方
程。
ln 5.926076 ln 0.090211
1900.505
56.83756 0.109895
t
c
y
y
a b
a b
S
S
y
、
为：374.6814 、 为：1.094405
y =374.926076 1.094405 的预测值为
、
四、移动平均法
移动平均法是通过移动平均数来进行预测的方法。移动平均数就是在每段间距保持不变的情况
下逐次后移一次求其平均值，一系列移动平均数能修均历史数据，揭示变化趋势。
（一）一次移动平均法
一次移动平均预测法是将最近期数据加以平均作为下一期的预测值。一次移动平均法适用于呈
水平发展变化的一列数向外推一期的预测。
计算每一移动周期的平均数称为一次移动平均数。
一系列移动平均数所组成的新数列称为一次移动平均数数列。
有一时间序列 1 2 3 ...... ......t ny y y y y、 、 、 ，一次移动平均数数列用
(1) (1) (1)
1......k n ny y y
(1)
k+1、ｙ 、 表
示。
(1) 1 2
(1) 2 3 1
1
(1) 1 1
-1
(1) 1 2
......
......
......
k
k
k k
k
n k n k n
n
n k n k n
n
y y y
y
k
y y y y
y
k
y y y
y
k
y y y
y
k
．．．
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(1) (1)
1
n n k
n n
y y
y y
k
(1) (1) (1)
1 1
n n k
n n n n
y y
y y y y
n
用 预测第t+1期: 。
（二）二次移动平均法
1．概念
二次移动平均就是对一次移动平均数时间序列
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
1......k n ny y y
(1)
k+1、ｙ 、 再进行移动平均：
(1) (1) (1)
(2) 1 2 1
2 1
(1) (1) (1)
(2) 1 2 2
2
(1) (2) (1)
1 2
......
......
k k k
k
k k k
k
n k n k n
y y y
y
k
y y y
y
k
y y y
k
(2)
n
．．．．．．
y
得到新的移动平均数称为二次移动平均数。二次移动平均数不直接用于预测，二次移动平均数
与一次移动平均数一起构造预测模型。根据观察值（时间序列）的一次移动平均数和二次移动平均
数之间的滞后关系，建立预测模型进行预测的方法，称为二次移动平均法。二次移动平均法适用于
线性趋势变动的历史数据外推预测。
2．预测模型
n Ty b T
(1) (2)2
( )
1
n ny y
k
(1) (1) (2) (1) (2)( ) 2n n n n nb y y y y y
五、指数平滑法
移动平均法预测要求数据多，费时费力。指数平滑法是对移动平均法的一种改进，使其预测更
加简单，并且预测精度也较好。
（一） 一次指数平滑法
1．概念
一次指数平滑法——一种特殊的加权平均法，加权的特点是对离预测期较近的历史数据给较大
的权数，对离预测期较远的数据给个较小的权数，权数由近到远按指数规律递减，以本期及本期以
前的历史数据的加权平均数作为下期预测值。
一次指数平滑法适用于水平型历史数据的预测。
2．预测模型
一次移动平均法预测模型 ： (1) (1)
1 1
n n k
n n n
y y
y y y
k
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用
(1)
1ny 代替 n ky 得：
(1)
(1) (1) 1
1
n n
n n
y y
y y
k
(1) (1)
1
1 1
(1 )n n ny y y
k k
令
1
a
k
，
(1) (1)
n nS y ，代入上式得：
(1) (1)
1(1 )n n nS ay a S ， [0.1 , 0.3]a ，
用
(1)
ts 预测第 1t 期，即：
(1) (1)
1 1(1 )n n n ny S ay a S 。
表 19-2 指数平滑法公式推导表
(1)
1 1 0(1 )S ay a S
(1) (1)
2 2 1(1 )S ay a S ，
(1) 2
2 2 1 0(1 ) (1 )S ay a a y a S
(1) (1)
3 3 2(1 )S ay a S ，
(1) 2 3
3 3 2 1 0(1 ) (1 ) (1 )S ay a a y a a y a S
(1) (1)
4 4 3(1 )S ay a S ，
(1) 2 3 4
4 4 3 2 1 0(1 ) (1 ) (1 ) (1 )S ay a a y a a y a a y a S
…… …… ……
(1) (1)
1(1 )n n nS ay a S ，
(1) 2 3 1
1 2 3 1 0(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )n n
n n n n nS ay a a y a a y a a y a a y a S
(1) 2 3 1
1 2 3 1 0[ (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ] (1 )n n
n n n n nS a y a y a y a y a y a S
【例 19-3】重庆市农村居民家庭恩格尔系数（%）系数变化如表 19-3，预测 2008 年重庆市农村居民
家庭恩格尔系数（%）。
表 19-3 2000 年～2007 年重庆市农村居民家庭恩格尔系数表（%）
年 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
恩格尔系数 53.6 54.1 55.8 52.5 56.0 52.8 52.2 54.5
解：2008 年是 8 1y ，取 0.2a ， 0 54s ， (1 ) 0.8a ，则：
2 3 4
9
5 6 7 8
0.2 (54.5 0.8 52.2 0.8 52.8 0.8 56.0 0.8 52.5
0.8 55.8 0.8 54.1 0.8 53.6) 0.8 54 53.85
y
（二）二次指数平滑法
1．概念
把一次指数平滑数当着原始数据，再算一次平滑数，就是二次平滑数（用表示），二次平滑数不
直接用于预测，只是用于构造预测方程。适用于线性型趋势的历史数据的预测。
2．预测模型
n Ty T b
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(1) (2)2 n nb S S
(1) (2)[ ]
1
n n
a
S S
a
(2) (1) (2)
1(1 )n n nS aS a S
第四节 季节变动预测
季节变动预测法是根据历史数据中所包含的季节变动的规律性，对预测目标的未来状况作出预
测的方法。季节变动受很多因素的影响，这些综合因素影响集中反映在循环周期一年内随着季节的
更替呈现有规律的变动。
一、季节指数预测法
二、季节变差预测法
三、季节比重预测法
四、移动平均季节模型预测
五、长期趋势法
一、季节指数预测法
1．概念
季节指数预测就是根据从历史数据中找出的规律性对预测期进行季节的近期预测。
季节指数
历年同季 月 平均数
全时期总平均数
二、季节变差预测法
季节变差预测法——以历年同季平均数和全时期季总平均数的差值确定季节变差的方法。
季节变差 = 历年同季平均数—全时期总平均数
三、季节比重预测法
季节比重预测法——用历年同季季节比例的平均数进行预测的方法。
季节比重 = 历年同季季节比例之和 ÷ 年数
某年某季节比例 = 某年某季的实际值 ÷ 该年全年实际值
第二十章 统计决策
第一节 风险性决策
第二节 完全不确定型决策
第三节 贝叶斯决策
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决策——从为达到经营管理目标的多套可行性方案中选择一套最佳方案的过程。
决策的要素：决策目的明确；存在两个以上的行动方案；各方案在不同状态下的损益值（收益
或亏损称损益值）；影响决策目标的各种因素发生的概率。
决策程序：提出决策目标——拟定决策行动方案——选出最优方案——实施方案——反馈。
第一节 风险型决策
一、基本概念
二、风险型决策的思想基础
三、风险型决策方法
一、基本概念
风险型决策——决策者根据掌握的几种不同自然状态下可能发生的概率所进行的决策。
决策者对决策对象的自然状态和客观条件比较清楚，也有比较明确的决策目标，但是实现决策
目标必须冒一定风险。
在实现决策目标的多方案中，每个备选方案都会遇到几种不同的可能情况，而且已知出现每一
种情况的可能性有多大（即发生的概率有多大）。在依据不同概率所拟定的多个决策方案中，不论选
择哪一种方案，都要承担一定的风险。
（一）风险决策的基本要素
决策者——进行决策的个人、委员会或某个组织。在问题比较重大和严肃时，通常应以组织形
式出现。
方案或策略——参谋人员为决策者提供的各种可行计划和谋略。如渔民要决定出海打鱼与否便
是两个方案或称两个策略。
准则——衡量所选方案正确性的标准。作为风险型决策，采用的比较多的准则是期望效益值准
则，也即根据每个方案的数学期望值做出判断。从收益角度去看问题，期望效益值越大的方案越好；
反之对于损失而言，期望效益值越小的方案越好。
事件或状态——不以决策者所控制的、客观存在的且将发生的自然状态称为状态(事件)，如下小
雨，下大雨和下暴雨即为三个事件或称三种状态，均为人们不可控制的因素。
结果——某事件(状态)发生带来的收益或损失值。
（二）相关概念
先验概率——根据过去经验或主观判断而形成的对各自然状态的风险程度的测算值。
自然状态——指各种可行方案可能遇到的客观情况和状态。
损益矩阵——一般有三部分组成：可行方案、自然状态及其发生的概率、各种行动方案的可能
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结果。把这三部分内容在一个表上表现出来，这个表就是损益矩阵表。
二、 风险型决策的思想基础
（一）以期望值为标准的决策
以收益和损失矩阵为依据，分别计算各可行方案的期望值，选择其中期望收益值最大（或期望
损失值最小）的方案作为最优方案。
期望损益的计算公式：
1
( ) ( )
m
i ij j
j
E d x P
（二）以等概率（合理性）为标准的决策
假定几种自然状态的概率相等，求出各方案的期望损益值，选择收益值最大（或期望损失值最
小）的方案作为最优决策方案。
（三）最大可能性为标准的决策
以一次试验中事件出现的可能性大小作为选择方案的标准，不是考虑其经济的结果。
三、 风险型决策方法
基于以上的思想基础，对于风险型决策，现代决策技术发展了大量的方法，其中包括决策树法、
决策矩阵法、博弈论、多目标决策、优选理论等“硬”方法，还有德尔菲法、专家会议法、头脑风
暴法等“软”方法。这里介绍几种较为成熟的常用决策方法。
（一）决策树
决策树——对决策局面的一种图解。它是把各种备选方案、可能出现的自然状态及各种损益值
简明地绘制在一张图表上，使决策问题形象化。决策树图的制作步骤——
第一步：绘出决策点和方案枝，在方案枝上标出对应的备选方案。
第二步：绘出机会点和概率枝，在概率枝上标出对应的自然状态出现的概率值。
第三步：在概率枝的末端标出对应的损益值，这样就得出一个完整的决策局面图。
决策树图的分析程序是先从损益值开始由右向左推导，称为反推决策树法。为了更好地理解决
策树方法的应用，下面以例 20-1 进行说明（不考虑货币的时间价值）。
【例 20-1】 某公司为满足市场对某种新产品的需求，拟规划两套芳案建新厂，如表 20-1 所示。
表 20-1 建厂备选方案表
建厂 投资（万元） 畅销获利(畅销概率 0.7) 滞销获利(滞销概率 0.3)
建大厂方案 30 100 -20
建小厂方案 20 40 30
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（二）主观概率法
主观概率——反映决策者对事件出现的信念程度，如估计某企业倒闭的可能性，只能由决策者
根据对这事件的了解去确定。
主观概率法不是主观臆造事件发生的概率，而是依赖于对事件作周密的观察，去获得事前信息，
事前信息越丰富，则确定的主观概率就越准确。
确定主观概率时，一般采用专家估计法，其中又分为直接估计法和间接估计法。直接估计法是
要求参加估计者直接给出概率的估计方法，而间接估计法是指参加估计者通过排队或相互比较等间
接途径给出概率的估计方法。
（三）效用概率决策 3( ) (1 ) ( ) ( )pU x p U x U x ２ １
直接提问法是向决策者提出一系列问题，要求决策者进行主观衡量并作出回答，应用很少。
对比提问法，设决策者面临两种可选方案。
常用的关系式有以下六种：
1 1 2( ) ( )U x c x c
2 2( )
1 1( ) (1 )
x c
U x c e
3 22 2 ( )( )
1 1( ) (2 )
x cx c
U x c e e
2 2( )
1 1 3 2( ) (1 ) ( )
x c
U x c e x c
4
1 1 2 1 3( ) ( )U x c c x
1 1 3 2( ) log( )U x c c x c
（四）连续性变量的风险型决策方法
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连续性变量的风险型决策方法是解决连续型变量(或状态数量是很大的离散型变量)决策问题的
方法。
连续性变量的风险型决策方法可以应用边际分析法和标准正态概率分布等进行决策。
（五）马尔科夫决策方法
马尔科夫决策方法就是根据某些变量的现在状态及其变化趋向，来预测它在未来某一特定期间
可能出现的状态，从而提供某种决策的依据。
转移概率矩阵：矩阵各元素都是非负的，并且各行元素之和等于 1，各元素用概率表示，在一
定条件下是互相转移的，故称为转移概率矩阵。
（六）风险决策的敏感性分析
概率值变化到什么程度才引起方案的变化，这一临界点的概率称为转折概率。对决策问题做出
这种分析，就叫做敏感性分析，或者叫做灵敏度分析。
敏感性分析包括下面几个步骤。
第一步：求出在保持最优方案稳定的前提下，自然状态出现概率所变动的容许范围。
第二步：衡量用以预测和估算这些自然状态概率的方法，其精度是否能保证所得概率值在此允
许的误差范围内变动。
第三步：判断所作决策的可靠性。
第二节 完全不确定型决策
完全不确定型决策是在对各种状态发生的概率一无所知的情况下进行决策。
一、等可能性法
二、保守法
三、冒险法
四、最小的最大后悔值法
【例 20-2】某工厂以批发方式销售其生产的产品，每件产品的成本为 3 元/件，批发价格为 5 元
/件。如果每天生产的产品当天销售不完，每天要损失 1 元。已知该工厂每天的产量可以是 0 件、1000
件、2000 件、3000 件、4000 件；根据市场需要，每天销售的数量可能为 0 件、1000 件、2000 件、
3000 件、4000 件。根据条件，有五种备选方案，每一种方案有五种可能的收益。各个方案在不同的
市场需求下的收益如表 20-1 所示。
表 20-2 某工厂的收益矩阵表
收益(元)
市场需求 销售量（件）
0 1000 2000 3000 4000
生产
方案
0 0 0 0 0 0
1000 -1000 2000 2000 2000 2000
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产量
（件）
2000 -2000 1000 4000 4000 4000
3000 -3000 0 3000 6000 6000
4000 -4000 -1000 2000 5000 8000
一、等可能性法
等可能性法——假定自然状态中任何一种发生的可能性是相同的，通过比较每个方案的损益平
均值来进行方案的选择，在利润最大化目标下，选取平均利润最大的方案（即期望值最大的行动方
案）；在成本最小化目标下，选择平均成本最小的方案。
本例中，依次计算出每天生产 0 件、1000 件、2000 件、3000 件、4000 件等各方案的期望值分
别为 0 元、1400 元、2200 元、2400 元、2000 元。所以选择每天生产 3000 件的方案。
二 、保守法
保守法——小中取大的准则。
首先要确定每一可选方案的最小收益值，然后从这些方案最小收益值中，选出一个最大值，与
该最大值相对应的方案就是决策所选择的方案。
本例中，依次每天生产 0 件、1000 件、2000 件、3000 件、4000 件等各方案的最小收益值分别
是 0、-1000、-2000、 -3000、-4000。这些最小收益中最大者是０，所以选择每天生０件产品这一
方案。
三、冒险法
冒险法——大中取大的准则。
首先，确定每一可选方案的最大利润值；然后，在这些最大利润中选出一个最大值，与该最大
值相对应的那个可选方案便是决策选择的方案。
四、最小的最大后悔值法
步骤：
1、将决策矩阵从利润矩阵转变为机会损失矩阵，其具体方法：在表 20-2 中，从收益值矩阵中
找出每一列的最大值，用该最大值分别减去这一列中的相应数值，以所得出的数值为一列，重新构
造一个矩阵，这个矩阵即机会损失矩阵。如表 20-3 所示。
2、确定每一可选方案的最大机会损失（从机会损失矩阵的每一行中选择出最大的机会损失）。
本例中，依次每天生产 0 件、1000 件、2000 件、3000 件、4000 件等各方案的最大机会损失值如表
20-3 表中的最后一列。
3、在这些方案的最大机会损失中，选出一个最小值，与该最小值对应的可选方案便是决策选择
的方案。本例中，最大机会损失中的最小者是 3000，3000 所对应的方案是每天生产 3000 件。所以，
选择每天生产 3000 件时，决策者最满意。
表 20-3 最小后悔准则决策表
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机会损失(元)
销售量 S（件） 最大机会
损失 0 1000 2000 3000 4000
产量 Q
0 0 2000 4000 6000 8000 8000
1000 1000 0 2000 4000 6000 6000
2000 2000 1000 0 2000 4000 4000
3000 3000 2000 1000 0 2000 3000
4000 4000 3000 2000 1000 0 4000
第三节 贝叶斯决策
一、基本概念
二、 基本步骤
三、 敏感性分析
一、基本概念
贝叶斯决策——在不完全情报下，对部分未知的状态用主观概率估计，然后用贝叶斯公式对发
生概率进行修正，最后再利用期望值和修正概率做出最优决策。
在例 20-1 中，给出畅销和滞销的概率，是靠过去的记录和经验判断，带有一定的主观性，可靠
程度有限。为了准确，需要进一步的调查，获得新的信息，对先验概率进行修正，从而得到新的概
率——后验概率。
后验概率是在先验概率的基础上对先验概率修改而得到的，不是否定先验概率。
二、基本步骤
第一步：先由过去的经验或专家估计获得将发生事件的事前（先验）概率。
第二步：计算出各事件的事后（后验）概率
P(Y|S)=0.7 P(B|S)=0.3
P(Y|F)=0.1 P(B|F)=0.9
先验概率 P(S)、P(F)和条件概率 P(Y|S)、P(Y|F)、P(B|S)、P(B|F)都是已知的。将其代入以上叶斯
公式得： P(S|Y)=0.94；P(F|Y)=0.06；P(S|B) =0.44；P(F|B)= 0.56。
根据全概率公式得：P(Y) =0.52；P(B) =0.48，
现用后验概率取代先验概率，重新计算期望值。
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( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
P S P Y S
P S Y
P S P Y S P F P Y F
P F P Y F
P F Y
P F P Y F P S P Y S
P S P B S
p S B
P S P B S P F P B F
P F P B F
p F B
P F P B F P S P B S
如果调查公司调查的结论是企业拟将生产的新产品市场畅销，就选择建大厂方案，获益 92.8 万
元。反之，就选择建小厂方案，获益 34.4 万元。
通过调查后获得的新信息加上先验信息称为完全信息，在完全信息情况下做出以上决策方案的
期望值为：
0.52×92.8+0.48×34.4=64.768（万元）
在本例中，不调查，在不完全信息情况下选择建大厂方案，其期望值为 64 万元。在完全信息条
件下做出的决策的期望值为 64.768 万元。如果调查费超过 7680 元就没有调查的必要。
三、敏感性分析
状态的概率发生变化导致期望值变化，进而影响决策的取舍。把这种对应变化关系数量化，进
而探讨决策方案的取舍对状态概率变化的敏感程度。现以例 20-2 为例讨论只有两种状态的特殊问题。
因为 P(S)+P(F)=1，所以 P(F)=1-P(S)
建大厂方案的期望值=100×P(S)+(-20)×P(F)=120P（S）-20
建小厂方案的期望值=40×P(S)+30 ×P(F)=10P（S）+30
根据两直线相交处建大厂方案和建小厂方案的期望值相等可求出相交处的 P(S)=0.454545。
当 P(S)<0.4545 时，选择建小厂方案为最优方案；
当 P(S)>0.4545 时，选择建大厂方案为最优方案。
如果决策方案的取舍对状态概率变化很敏感，决策需慎之又慎，准确估计概率。
在上例分析建厂市场畅销的概率 P(S)=0.7，选择建大厂方案。
第二十一章 统计分析报告的写作
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第二节 统计分析报告的选题
第一节 统计写作的原则、特点和类型
第三节 统计分析报告的写作步骤
统计分析报告——根据统计学的原理和方法，运用大量统计数据来反映、研究和分析社会经济
活动的现状、成因、本质和规律，并做出结论，提出解决问题办法的一种统计应用文体。
统计分析报告是统计工作的最终成果，是衡量统计工作水平的综合标准。
高质量的统计分析报告，来自高质量的统计设计、统计调查、统计整理、统计分析和统计分析写作。
统计分析报告的写作是整个统计工作的最后阶段。
第一节 统计写作的原则、特点和类型
一、统计分析报告的写作原则
(一)充分性原则
(二)真实性原则
(三)针对性原则
(四)生动性原则
二、统计分析报告的写作特点
（一）方法特有性
（二）数量性
（三）准确性
（四）时效性
（五）实用性
（六）通俗性
三、统计分析报告的类型
（一）进度性统计分析报告
1. 统计报表说明
2. 快报
3. 计划执行情况
4. 总结分析
（二）专题性统计分析报告
（三）综合性统计分析报告
（四）统计调查报告
（五）统计预测报告
（六）统计研究报告
（七）统计公报
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第二节 统计分析报告的选题
一、选题的概念、意义和原则
（一）选题的概念
选题——从复杂的社会经济情况和大量的统计资料中选择一个我们要研究和反映的对象，确定
分析研究的范围，确定统计分析报告的主题思想，确定规划统计报告的基本内容。
选题是确定写作对象，选题决定标题，标题具体地体现选题。
统计分报告的选题有三种：
任务题，领导交办或上级部门布置的题目；
固定题，定期统计报表制度进行定期分析的题目
自选题，来自统计资料、现实生活的选题。
（二）选题的意义
选题是写作过程最重要的环节。
选题的好坏，关系到统计分析报告的编写能否顺利进行，关系到统计分析报告“销售”时是否
“产品对路”、是否具有实用性、是否符合社会需求适应律。
选题恰当，可以为之后的取材、分析、构思、表达等打下一个良好的基础。
如果选题的难度超过了作者的能力或工作条件，写作也不会成功。“选好题目等于成功的一半”。
（三）选题的原则
1．针对性原则
2．新颖性原则
3．可行性原则
二、选题“三要点”
“注意点”——社会各界比较关心的问题
“矛盾点”——在社会经济发展过程各个环节中问题比较集中、事情比较关键、影响比较大、
争议比较多的事物。
抓住“矛盾点”来选题，编写出的统计分析报告不但符合需要，而且实用价值较大，容易引起
党政领导和社会各界的注意。
“发生点——在经济发展过程和各个环节中，处于萌芽状态的、人们需要认识但尚未察觉到的
新事物。即新情况、新问题。
抓住“发生点”来选题，编写出的统计分析报告一般来说意义较大。
进行统计分析，应该具有超前意识，当新事物刚刚出头，即还处于“发生点”时，即去分析它、
研究它，基于这样选题的分析报告，不但具有现实意义，有时还具有一定的理论意义。
三、选题的具体方法
围绕社会经济发展中的新情况、新问题选题。关注经济改革过程中重大措施的出台，紧密跟踪
重大措施的执行情况提出统计分析报告的选题。
围绕贯彻执行方针政策的新成就和新经验来选题。
围绕国民经济和社会发展计划选题。
围绕中心工作选题。
围绕重点选题。
围绕群众意见选题。
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围绕各方面有不同看法的重大问题选题。
第三节 统计分析报告的写作步骤
一、搜集、整理和鉴别统计信息资料
（一）写作题材与写作素材
（二）统计分析报告写作材料的来源
二、统计写作的资料分析
（一）确定分析方法的一般原则
（二）统计分析的一般方法
三、系统分析与构思
（一）系统分析的意义
（二）构思
构思的第一步——确立文章。
构思的第二步——选定类型。
构思的第三步——划分内容。
四、拟定统计分析报告的写作提纲
写作提纲的主要内容是：主题思想、论点、论据。
写作提纲不是写作的框框，在具体的分析中，也常会出现新的问题，有新的发现，根据不同情
况，要随时补充新的资料、新的观点、论证新的发现，不要受写作前拟定的提纲的约束。最后形成
的统计分析报告，往往同提纲有不同程度的差别。
五、统计分析报告的撰写
标题——常见的标题类型：揭示主题、表明观点、设问提问、小标题的运用。
导语——导语的写法常见有以下几种：开门见山，直奔主题；说明动机式，导出正文；提问根
源，制造悬念。
正文——正文的结构一般有下面几种形式：横式结构、纵式结构、交叉式结构。
结尾——结尾的写法常见有以下几种：总括全文、呼应开头、得出结论、预测未来、提出建议。
六、修改
一、看主题是否符合形势：
二、看内容是否服从主题；
三、看结构是否严谨；
四、看材料是否准确；
五、看语言是否规范 。
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