概要信息：

书
!第一章
复数与复变函数
内容提要
!
一!复数及其代数运算和几何表示
!"复数的概念
定义!设!!"都是实数!我们把形如##!$$"的表达式称为
复数%其中$称为虚数单位!且具有性质$&#’!! 和" 分别
称为复数#的实部和虚部!记为
!#()"##!"#*+"##%
"!#当!#,!"",时!##$"称为纯虚数%
"&#当"#,时!##!$,$$视为实数!%
"-#设#!#!!$$"!!#&#!&$$"&!则#!##&!当且仅当!!#!&!
"!#"&%
".#当!#"#,时!称##,%
&"复数的运算
"!#加"减#法
两个复数的加"减#法!定义为实部与实部相加"减#及虚部
与虚部相加"减#!即
$!$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
"!!$$"!#/"!&$$"&##"!!/!&#$$"!/"&#%
"&#乘法
两个复数相乘按多项式乘法法则相乘并注意$&#’!!即
"!!$$"!#$"!&$$"&##"!! &’"!"&#$$"!!"&$!&"!#%
"-#除法
若#&",!将满足#&$###! 的复数#定义为#! 除以#& 的
商!
记为###!#&
!即
#!
#&
#!!$$"!!&$$"&
#!! &$"!"&
!&&$"&&
$$!&"!’!!"&!&&$"&&
%
".#复数的共轭及性质
设##!$$"!称!’$" 为 复 数#的 共 轭 复 数!记 为#或
##!即##!’$"!它有如下性质%
!#!/#&##!/#&!#!#&##!!#&!
#!
#" #& ##!#&"#&",#&
"###!###’()"##(&$’*+"##(&&
#()"###!&
"#$##!*+"###!&$
"#’##%
-"复数的几种表示方法
"!#复数的坐标表示
每一个复数##!$$"确定平面上一个坐标为"!!"#的点!
反之亦然!这意味着复数集与平面上的点之间存在一一对
应%由于这个特殊的一一对应存在!我们常把以!为实轴!
"为虚轴的平面称之为复平面%"!!"#为复数##!$$"的
坐标表示形式!称为点#%
"&#复数的向量表示
记复数##!$$"在平面上确定的点为&!原点为’%设复
数#对应向量 $%’&%这也是一个特别的一一对应%为此我们
称向量 $%’&为复数#的向量表示式%
$"$
第一章!复数与复变函数
向量 $%’&的长度称 为 复 数#的 模 或 绝 对 值!记 为&#&!我 们
有结论%
!!###&#&&#&#&&%
当#",时!以正实轴为始边!向量 $%’&为终边所确定的角!
称为复数#的辐角!记为
!!012##!%
当##,时!辐角不确定%
012#是一个多值函数%称满足条件’$’!($的!为幅角
的主值!记为312#%从而有
!!012##312#$&($!!"(#,!/!!/&!)#
利用复数的向量表示法对任意复数#!!#&!三角不等式
!!&#!$#& (&#!&$&#&
的意义为三角形的一边不大于两边之和!不等式
!!&#!’#& )&&#!&’&#& &
表示三角形的一边不小于两边之差的绝对值%
"-#复数的三角表示
设#",!)是#的模!是#的任意一个辐角%则
##)"456!$$678!#%
".#复数的指数表示
在三角表式示中!利用欧拉公式%)$!#456!$$678!可得
##))$!!
称为复数#的指数表示式%
以上复数的不同表示法仅是形式上的差异!它们各有其特
点%复数及其运算的 几 何 解 释 可 以 从 向 量 表 示 法 得 到!复
数运算中模与幅角的变化规 律 可 以 由 三 角 或 指 数 表 示 法
得到%
."复数的乘幂与方根
"!#积与商
设#!#)!)$!!!#&#)&)$!&则
$#$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
#!#&#)!)&)$"!!$!&#!
#!
#&
#)!)&
)$"!!’!&#!")&",#%
即
!&#!#& #&#!&&#& !
#!
#&
#&#!&&#& !
"#&",#&
"012"#!#&##012#!$012#&!012
#!
#" #& #012#!’012#&%
注意%"%#正确理解等式"的含义&
"&#乘积与商的几何解释%
"&#乘幂
设##))$!!则#*#)*)7*!#)*"456*!$$678*!#%棣莫弗"9):;
5$+1)#公式%"456!$$678!#*#456*!$$678*!及其应用%
"-#方根
设##))$!!则
*
!##
*
!))$
!$&($
* #
*
!)"456!$&($* $$678!$&($*
#
!"(#,!!&!)!*’!#%
注意%*!#的*值性及几何解释%
二!复变函数及其极限与连续
!%复变函数的概念
复变函数是高等数学中一元实变函数概念的推广!二者定义的
表述形式几乎完全一样!只要将定义中的*实数"或实数集#+换
为*复数"或复数集#+就行了%但对下面几点应多加注意%
"!#实变函数是单值函数!而复变函数有单值函数和多值函数
之分%
"&#复变函数,#-"##是从#平面上的点集. 到, 平面上的
点集.# 的一个映射!因此!它不但可以把#平面上的点映
射"或变换#为,平面上的点!而且可以把#平面上的曲线
或图形映射为, 平面上的曲线或图形!实现两个不同复平
面上的图形之间的有趣的变换!为简化或研究某些问题提
$$$
第一章!复数与复变函数
供了可能%
"-#由于一个复变函数,#-"##对应着两个二元实变函数%
/#/"!!"#!!+#+"!!"#!
所以!可以将对复变函数的研究转化为对两个二元实变函
数的研究%这是研究复变函数的常用思想方式之一%
&"平面点集
"!#, 的"’邻域%满足关系&#’#,&’"的点#的全体称为点
#, 的一个"’邻域!而满足,’&#’#,&’"的点#的全体
称为点#, 的一个去心"’邻域%
"&#内点%设.是一平面点集!#,*.!若存在#, 的某个邻域也
包含于.!则称#, 为.的内点%
"-#开集%若.的每个点都是内点!则称.为开集%
".#连通集%对.+!"即复平面#!.非空!若 存 在 一 对,中 不
交的开集.!!.&!满足.!-."#!.&-."#!且.+".!
..&#则称.为连通集%
"<#区域%连通的开集叫区域%应该注 意 的 是!可 以 证 明!对 于
开集!连通性等价于另一种更直观的属性!即道路连通!也
即.内任意两点都可以用一条. 中的折线连接%
"=#边界%若#, 点的任意一个邻域内既有区域.中的点!又有
不属于.中的点!则#, 称为区域.的一个边界点%由.的
全体边界点组成的集合称为.的边界%
">#闭区域%区域.及其边界一起构成闭区域!记为/.%
"?#简单闭曲线%设曲线0%###"1##!"1#$$""1#!2(1(3%当
!"1#与""1#连续时!称0为连续曲线%对1!!1&*’2!3#!当
1!"1& 而有#"1!###"1&#时!点#"1!#称为曲线0的重点%
没有重点的连续曲线0!称为简单"或@51A38#曲线%如果
简单曲线0的两个端点重合!则0称为简单闭曲线%
由以上定义知!简单 曲 线 自 身 不 相 交!简 单 闭 曲 线 则 只 有
起点与终点重合%
"B#光滑曲线%曲线###"1##!"1#$$""1#!2(1(3!当!4"1#
$%$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
与"4"1#连续且’!4"1#(&$’"4"1#(&",时!称为光滑曲线!
由几条光 滑 曲 线 依 次 连 接 而 成 的 曲 线!称 为 按 段 光 滑 曲
线%
"!,#单连通域%若属于区域.的任何简单闭曲线0 的内部也
属于.!则称.为单连通域%否则称为多连通域%
-"复变函数的极限与连续性
"!#定义%设函数,#-"##在#, 点的去心领域,’&#’#,&’$
内有定义!若任给%0,!存在"0,",’"($#!当,’&#’#,
&’"时!有&-"##’5&’%成立!则称常数5 为-"##当#
趋于#, 时的极限!记为%
C7+
#$#,
-"###5%
若-"##在#, 点有定义!且-"#,##5!则称-"##在点#, 连
续%若-"##在区域.内每一点都连续!我们称-"##在.
内连续%
"&#设-"###/"!!"#$$+"!!"#!5#/,$$+,!#,#!,$$",!
那么
C7+
#$#,
-"###51
C7+
!$!,
"$",
/"!!"##/,
C7+
!$!,
"$",
+"!!"##+
2
3
4 ,
!
由此可见!复变函数极限的定义虽在形式上与一元实函数
的极限定义相似!但 实 质 上 却 相 当 于 二 元 实 函 数 的 极 限%
这导致了第二章用极限定义的复变函数的导数的概念!较
之一元实变函数的导数概念!其要求要苛刻得多%
"-#如果C7+
#$#,
-"###5!C7+
#$#,
6"###7!那么
C7+
#$#,
’-"##/6"##(#5/7!
C7+
#$#,
’-"##$6"##(#57!
C7+
#$#,
-"##
6"###
5
7!
"7",#%
$&$
第一章!复数与复变函数
".#由定义及式!易得连续的充要条件%
C7+
#$#,
-"###-"#,#1
C7+
!$!,
"$",
/"!!"##/"!,!",#
C7+
!$!,
"$",
+"!!"##+"!,!",
2
3
4 #
两个连续函数8#6"##!,#-"8#复 合 所 得 的 函 数,#-
’6"##(仍是连续函数%
典型例题与解题技巧
"例!#!将复数##
"!-$$#"&’&$#
"!-’$#"&$&$#
化为三角形式与指数形式%
解题分析!将一个复数#化为三角形式与指数形式的关键在于求出
该复数的模与辐角的主值%通常 的 方 式 是 先 将#化 成 代
数形式##!$$"!再利用&#&# !&$"! &与反正切公式分
别求出它的模与主辐角%本题中 由 于#的 分 子 与 分 母 互
为共轭复数!而复数与 其 共 轭 复 数 的 模 相 等!因 此!容 易
利用复数商的模公式求出&#&%至于主辐角除可反正切公
式求得外%也可以利用关于乘积与商的辐角公式来求%下
面给出两种解法!便于读者比较%
解题 过 程!将#的 分 子 与 分 母 同 乘 以"!-$$#"&’&$#!得##
"!-$$#&
&!-$$&&
$"&’&$#
&
&&’&$&&
#"!&$
!-
&$
#"’$##!-&’
!
&$
!所以
&#&#!!312##314D2"’!--##’
$
=%
从而得到#的三角
形式与指数形式%
##456$=’$678
$
=#)
’$=$%
另一种解法是!由 于 分 子 与 分 母 恰 为 一 对 共 轭 复 数!故
其模相同!于是
$’$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
&#&#&
"!-$$#"&’&$#&
&"!-’$#"&’&$#&
#!
012##&’012"!-$7#$012"&’&$#(
#’$=$&E$%
"例&#!设#!!#& 为复平面上任意两点!证明不等式
!!&#!’#& ) &#!&’&#& %
分析!这个不等式的几何意义为以#!!#&!#!’#& 为边的三角形!一
边的长度"&#!’#& #不小于两边的长度之差的绝对值"&&#!&
’&#& &#%证明这个不等式可利用书中已证的三角不等式%
证明!&#!$#& (&#!&$&#&
F&#!&#&#!’#&$#& (&#!’#& $&#&
G&#!&’&#& (&#!’#& !
F&#& #&#&’#!$#!&(&#&’#!&$&#!&
G&#& ’&#!&(&#&’#!&#&#!’#& "
利用!与"得
&#!’#& )&&#!&’&#& &%
"例-#!设复数’满足&’&’!!试证
#’&
!’5&#
#!!当&#&#!
’!!当&#&’!
0!!当&#&0
2
3
4 !
分析!比较复数#!
#&
的模 #!
#&
与!的大小等价于比较 #!
#&
&
与!的大
小!也相当于比较&#!&& 与&#& & 的大小%此时常用公式 # &#
##!#!/#& &# #! &$ #& &/&()"#!#&#以及三角不等式%
证明!由等式
#’& &# # &$ & &’&()"5&##
!’5&# &#!$ & & # &’&()"5&##
可知
#’& &’ !’5&# &#"# &’!#"!’ & &#
$($
第一章!复数与复变函数
注意到 & ’!!便有
#’& &’ !’5&# &
#,!当 # #!
’,!当 # ’!
0,!当 # 0
2
3
4 !
从而
#’&
!’5&#
&
# #’& &
!’5&# &
#!!当 # #!
’!!当 # ’!
0!!当 # 0
2
3
4 !
由此即得要证明的结论%
"例.#!函数,# !
#$!
将#平面上的下列曲线变成, 平面上的什么
曲线,
"!#!&$"&#!&!"&#"#!$!&!"-#"#!%
解题分析!解此题的要点是利用公式
!#!&
"#$##!!!"#!&$
"#’##
及题中映射
!!,# !
#$!
!!##!,’!%
解题过程!令,#/$$+
"!#由!&$"&#!有
!!!.
"#$##&’!.
"#’##&#!
即
!!###!
!! !
," #’! !
’" #’! #!
!!
"!’,#$"!’’#
’’
#!
!!"!’,#"!’’##,’
!!,$’#!
$)$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
即
!!/#!&
即圆!&$"&#!映成了直线/#!&%
"&#由"#!$!知
!!!&$
"#’###!&
"#$##$!
代入##!,’!
得
!
&$
!
,’
!
,
3
4
6
7
’ #!&
!
,$
!
," #’& $!
两边乘以&7,,得
,’,#$",$,#
由前设,/#’7+知
,’,#’&$+
,$,#&/
代入上式则有
/#’+
即直线"#!$!被映成了直线/#’+%
"-#由"#!知
!!!&$
"#’###!
!!#’##&$
!!!,’!’
!
," #’! #&$
!!!,’
!
,
#&$
!!,’,#&7,,
即
!!&$"/&$+&##’&$+
$*!$
第一章!复数与复变函数
!!/&$+&$+#,
所以直线"#!映成了圆/&$+&$+#,%
"例<#!判断下列函数在给定点处的极限是否存在%若存在!试求出
极限的值%
"!#-"####()
"##
#
!!#$,&
"&#-"###()
"#&#
# & !!#$,&
"-#-"### #’$
#"#&$!#
!!#$$%
解题分析!判断一个复变函数在给定点处的极限是否存在有三种方
法%一是用函数极限的 定 义!类 似 于 实 变 函 数!定 义 多 用
于验证某函数的极限等式!本书 对 这 处 方 法 不 作 更 多 的
要求%但是!读者应当会用极限定义来判定某函数的极限
不存在&第二种方法是 利 用 教 材 第&=页 中 的 定 理 一!讨
论函数的实 部/#/"!!"#与+#+"!!"#的 极 限 是 否 存
在!这是判断极限是否存在的常用方法&第三种方法是利
用教材中第&>页的定理二!直接利用极限的有理运算法
则求函数的极限%与实变函数一样!应用时必须满足这些
法则成立的条件%
下面给出的解法都基于以上三 种 方 法!其 中 有 的 小 题 给
出了多种解法%
解题过程!"!#由于 -"### # ()"##
# ( # !所以!对于任给的
%0,!取9#%!则当,’&#&’9时!恒有
!! -"##’, # -"##( # ’%
根据极限定义!当#$,时!-"##的极限存在!并且其
值为,%
"&#令##!$$"!则-"###!
&’"&
!&$"&
!从而有
/"!!"##!
&’"&
!&$"&
!!+"!!"##,%
$!!$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
令#沿直线"#(!趋于,!则
C7+
"!!"#$",!,#
/"!!"##C7+
"!$,
!&’(&!&
!&$(&!&#
!’(&
!$(&%
由于它随(的不同而不同!因此!当"!!"#$",!,#时
/"!!"#的极限不存在!故#$,时!-"##的极 限 不 存
在%
"-#由于-"##的 分 子 与 分 母 中 含 有 极 限 为 零 的 因 子!消
去后得
-"### #’$
#"#&$!##
!
#"#$$#
"#"$#!
所以
C7+
#$7
-"###C7+
#$7
!
#"#$$##’
!
&%
历年考研真题评析!
"题!#!把复数##!$678&$$456&!’$’&’’$&
化为三角表示式
与指数表示式!并求#的辐角的主值%"山东大学&,,<年#
解题分析!本题主要考察复数的三角表示法和指数表示法!以及辐
角和主值的求法%
解题过程!##!$678&$$456&
#!$456 $&’" #& $$678 $&’" #&
#&456& $.’
&" #& $$&678 $.’
&" #& 456 $.’&" #&
#&456 $.’
&" #& 456 $.’
&" #& $$678 $.’
&" #’ (&
所以’$’&’’$&
!所以$
&’
$
.’
&
&’
-$
.%
因此 456 $.’
&" #& ’,
故
$"!$
第一章!复数与复变函数
)#&#&#’&456 $.’
&" #& %
由于
!!’456 $.’
&" #& #456$$$.’
&" #& #456<$.’
&" #& !
!!’678 $.’
&" #& #678$$$.’
&" #& #678<$.’
&" #& !
从而得#的三角表示式%
##’&456 $.’
&" #& 456<$.’
’" #& $$678<$.’
&" #’ (&
!
及指数表示式%
##’&456 $.’
&" #& )$"<$.’&&#%
注意!这里的辐角!#<$.’
’
&
不是主值!因为
-$
&’
<$
.’
&
&’
>
.$
!
但它只能与 主 值 相 差 一 个&$的 整 数 倍!从 上 式 容 易 看
出!如果不等式的每项各加"’&$#!得
’$&’’
-$
.’
&
&’’
$
.%
这个’-$.’
&
&
就符合关于主值的要求了%因此312##’
-$
.$
’" #& %如果!取主值!那么#的三角表示式与指数表
示式分别为
##’&456 $.’
&" #& 456-$.$
&" #& ’$678-$.$
&" #’ (&
!
##’&456 $.’
&" #& )’$"-$.$&&#%
"题&#!设*为自然数!证明等式
!$678!$$456!
!$678!’$456" #!
*
#456* $
&’" #! $$678* $
&’" #! %
$#!$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
"北京大学&,,<年#
分析!上面涉及到复数*次幂的等式!通常需要先将复数化为三角
形式!然 后 再 用 9):5$H1)公 式"456($$678(#
*#456*($
$678*(证明%
证明!令!#$&’(
!可知
!!!!$678!$$456!!$678!’$456!#
!$456($$678(
!$456(’$678(
!!!!#
&456&(&$&$678
(
&456
(
&
&456&(&’&$678
(
&456
(
&
!!!!#
456(&$$678
(
&
456(&’$678
(
&
!!!!# 456(&$$678
(" #&
&
#456($$678(!
故
!! !$678!$$456!!$678!’$456" #!
*
#456*($$678*(
#456* $
&’" #! $$678* $
&’" #! %
"题-#!求满足关系式456!’)’-456!"’$&’!’
$
&
#的点##)"456!
$$678!#的集合.%若.为一区域!则指明它是单连通域还是
多连通域%"中山大学&,,=年#
解题分析!此题考察知识点*单连通域+和*多连通域+%
解题过程!由##)"456!$$678!#!’$&’!’
$
&
!可知
)# !&$"! &!456!# !
!&$"! &
于是所给的关系式456!’)’-456!变为
$$!$
第一章!复数与复变函数
!
!&$"! &
’ !&$"! &’ -!
!&$"! &
或
!’!&$"&’-!
于是可见此区域是单连通的%
"题.#!在映射’##& 下!求下列平面点集在’平面上的象%
"!#线段,’)’&!#$.
&
"&#双曲线!&’"&#.&
"-#扇形区域,’!’$.
!,’)’&%"山东大学&,,<年#
解题分析!此题是关于映射的复习%
解题过程!"!#设##))$(!,#$)
$(!则$#)
&!(#&!!故线段,’)’&!
!#$.
映 射 为,’$’.!(#
$
&
!也 是 线 段’见 图!’!
"3#(%
图!’!"3#
"&#设##!$$"!,#/$$+!则
#&#!&’"&$$&!"
故 /#!&’"&!+#&!"
所以!&’"&#.1/#.!为平行于+轴的直线’见图!
’!"I#(%
"-#设##))$!!,#$)
$(!则
$#)
&!(#&!
$%!$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
图!’!"I#
故扇形域,’!’$.
!,’)’&映射为,’(’
$
&
!,’$
’.!也是扇形域’见图!’!"4#(%
图!’!"4#
"题<#!试证函数
-"###!&$
#
#
’#" ##
当#$,时的极限不存在%"天津大学&,,<年#
分析!这又是一道关于复变函数的极限问题%
证明!-"###!&$
$#
&’#’&
##
#
"#$##"#’##
&$# & #&()
"##$&$*+"##
&$# &
#&()
"##*+"##
# &
令##!$$"!则有-"### &!"
!&$"&
%由此得
/"!!"## &!"
!&$"&
!!+"!!"##,
$&!$
第一章!复数与复变函数
让#沿直线"#:!趋于零!我们有
C7+
!$,
"#:!$,
/"!!"## C7+
!$,
"#:!$,
&!"
!&$"&
#C7+
!$,
&:!&
!&$:&!&#
&:
!$:&%
可见沿不同斜率的直线!/"!!"#趋于不同的值!所以C7+
!$,
"$,
/"!!
"#不存在%虽然C7+
!$,
"$,
+"!!"##,!但根据前述结论!C7+
!$#,
-"##不存
在%
课后习题全解!!!
8!"求下列复数#的实部和虚部-共轭复数-模与辐角%
!# !-$&$
&#!
$’
-$
!’$
&-#
"-$.$#"&’<$#
&$
&.#$?’.$&!$$%
解!!# !-$&$#
-’&$
"-$&$#"-’&$##
-’&$
!- #-!-’
&
!-$
()"###-!-
&*+"###’&!-
&##-!-$
&
!-$
&
&#&# -" #!-
&
$ ’&" #!-!
&
# !
!!-
&312##’314D2&-
&
012##’314D2&-$&($
"(#,!/!!/&!)#%
&#!$’
-$
!’$#’$’
-$"!$$#
"!’$#"!$$##’$’
-$’-
& #-&’
<
&$
()"### -&
&*+ "### ’ <&
&## -& $
<
&7
&&#&#
" #-&
&
$ ’<" #&!
&
# !-.& &312##’314D2<-
&012##’314D2
<
-$&($
"(#,!/!!/&!)#%
-#
"-$.$#"&’<$#
&$ #&=’>$&$ #’>&’!-$
$’!$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
()"###’>&
&*+"###’!-&##’>&$!-$
&
&#&# ’" #>&
&
$!-! &#<&!&B&312##314D2
&=
>’$
&
012##314D2&=>’$$&($
"(#,!/!!/&!)#%
.#$?’.$&!$$#$.$.’.$.J<$!$$#!’.$$$#!’-$
()"###!&*+"###’-&##!$-$&&#&# !&$"’-#! &#
!!,&312##’314D2-&012##’314D2-$&($"(#,!/!!/&!
)#%
8&"当!!"等于什么实数时!等式!$!$$"’-#
<$-$ #!$$成立,
解!由所给等式可得
!$!$$"’-##"!$$#"<$-$##&$?$
利用复数相等的概念
!$!#&
".’-#?9 !#!"#!!. !
即!#!!"#!!时等式成立%
8-"证明虚单位$有这样的性质%’$#$’!#$%
证明!因’$#’$
$$
$ #’’$
&
$ #!$#$
’!!$#’$!所以
’$#$’!#$%
8."证明%
!#&#&&###&!!!!!&#!/#&##!/#&&
-#!#&##!!#&& .##!#" #& ##!#&!"#&",#&
<###&
=#()"###!&
"#$##!*+"###!&$
"#’##%
证明!!#设##!$$"!则&#&&#!&$"&!###"!$$"#"!’$"##!&
$"&!从而有&#&&###%
$(!$
第一章!复数与复变函数
&#设#!#!!$$"!!#&#!&$$"&!则
#!/#&#"!!$$"!#/"!&$$"&#
#"!!/!&#$"!/"&#$#"!!/!&#’"!/"&#$
#!/#&#"!!$$"!#/"!&$$"&#
#"!!’$"!#/"!&’$"&##"!!/!&#’"!/"&#$
从而有!#!/#&##!/#&%
-#设#!#!!$$"!!#&#!&$$"&!则
#!#&#"!!$$"!#"!&$$"&#
#"!! &’"!"&#$$"!!"&$!&"!#
#"!! &’"!"&#’$"!!"&$!&"!#
#!!#&#!!$$"!!&$$"&#"!!’$"!#"!&’$"&#
#"!! &’"!"&#’$"!!"&$!&"!#
从而有!#!#&##!!#&%
.#由 #!
#" #& # !!$$"!!&$$"" #& #"!! &$"!"&#$"!&"!’!!"&#$
!&&$"&&
#
"!! &$"!"&#’"!&"!’!!"&#$
!&&$"&&
#!
#&
#!!’$"!!&’$"&
#
"!!’$"!#"!&$$"&#
!&&$"&&
#
"!! &$"!"&#’"!&"!’!!"&#$
!&&$"&&
可知! #!#" #& ##!#&!"#&",#%
<#设##!$$"!则##!’$"!##"###!$$"##%即!##
#%
=#设##!$$"!则##!’$"!从而
!!&
"#$###!&
"!$$"$!’$"##!#()"##
!!&$
"#’###!&$
"!$$"’!$$"##!&$
"&$"##"#*+"##
$)!$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
结论得证%
:<"对任何#!#&#&#&& 是否成立, 如果是!就给出证明!如果不是!
对哪些#值才成立,
分析!考查复数性质%
解!对于任何复数##!$$"!易知
#&#!&’"&$&!"$!&#&&#!&$"&%
于是!由#&#&#&& 可得
!&’"&$&!"$#!&$"&
比较两边的实虚部!等价地有
&!"#,!&’"&#!&$"&9"&#,即"#,%
故对任何虚数#!#&#&#&& 不 成 立!只 有 当#为 实 数"虚 部 为
零#时!等式#&#&#&& 才成立%
:="当&#&(!时!求&#*$2&的最大值!其中*为正整数!2为复数%
分析!主要考查最大值问题%
解!由三角不等式及&#&(!可知
&#*$2&(&#&*$&2&(!$&2&
而且当#,#)7
3)62
* 时!&#*,$2&#&)73)62$&2&)73)62&#!$&2&!故
其最大值为!$&2&%
:>"判定下列命题的真假%
!#若;为实常数!则;#;&
&#若#为纯虚数!则#"#&
-#7/&7&
.#零的辐角是零&
<#仅存在一个数#!使得!
##’#
&
=#&#!$#& #&#!&$&#& &
>#!$##$#%
分析!一些命题的真假!要求有比较好的掌握基础知识%
解!!#真&#真&-#假"复数不能比较大小#&.#假"复数零的辐角是
$*"$
第一章!复数与复变函数
不确定的#&<#假"由!##’#
得#&#’!!从而#可取/$两个
值#&=#一般不真"由三角不等式&#!$#&&(&#!&$&#&&!等号
仅当312#!’312#&#&()"(#,!/!!/&!)#时成立#&>#真%
8?"将下列复数化为三角表示式和指数表示式%
!#$&!!!!&#’!&
-#!$$!-& .#!’456($$678(!",((($#&
<# &$’!$$
& =#
"456<($$678<(#
&
"456-(’$678-(#
-%
解!!#$#456$&$$678
$
&!
"三角表示式#
$#)$
$
&!"指数表示式#
&#’!#456$$$678$#)$$
-#&!$$!-&# !$"!-#! &#&!312" !!$ -$##314D2!-!#
$
-
!
故
!$$!-#&"456$-$$678
$
-
#"三角表示式#
!$$!-#&)
$
-$!"指数表示式#
.#&!’456($$678(&# "!’456(#
&$678&! (
# &’&456! (#&678(&
"注 意,((($#!312"!’456($$678(##314D2
678(
!’456(
#
314D2
&678(&456
(
&
&678&(&
#314D2"45D(&
##314D2"D2$’(&
#
#$’(&
!故
!’456($$678(#&678(&
"456$’(& $$678$’(&
#!"三角表示
$!"$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
式#
!’456($$678(#&678(&)
$$’(& !"指数表示式#
<# &$’!$$#
&$"’!’$#
"’!$$#"’!’$##
&’&$
& #!’$!其模为!&!其辐
角312 &$
’!$$#312
"!’$##314D2 ’!" #! #’$.
!
故 &$
’!$$ !# &456"’$.#$$678"’
$
.’ (#
!&"456$.’$678
$
.
#"三 角 表 示 式#! &$
’!$$ !# &
)"’
$
.#$"指数表示式#
=#
"456<($$678<(#
&
"456-(’$678-(#
-#
")$<(#&
")’-$(#-#
)$!,(
)’$B(#)
$!B("指数式#
#456"!B(#$$678"!B(#!"三角式#
8B"将下列坐标变换公式写成复数形式%
!#平移公式%
!#!!$2!!
"#"!$3!. &
&#旋转公式%
!#!!456&’"!678&!
"#!!678&$"!456&. %
解!!#令##!$$"!#!#!!$$"!!;!#2!$$3!!则平移公式的复数
形式为###!$;!%
&#令##!$$"!#!#!!$$"!!;#456&$7678&!;又可写成;#
)$’!从而旋转公式
!#!!456&’"!678&
"#!!678&$"!456. &
可写成
!!##"!!456&’"!678&#$$"!!678&$"!456&#
#"!!$$"!#"456&$7678&###!)$&
8!,"一个复数乘以’7!它的模与辐角有何改变,
解!由于复数##&#&)7312#!’7#)’
$
&7!所以复数#乘以’7为’7##
$""$
第一章!复数与复变函数
&#&)7312#%)’
$
&7#&#&)7"312#’
$
&#!即模不变!辐角减小$
&%
8!!"证明%&#!$#& &$&#!’#& &#&"&#!&&$&#& &#!并说明其几何
意义%
证明!&#!$#& &$&#!’#& &
#"#!$#&#"#!$#&#$"#!’#&#"#!’#&#
#"#!$#&#"#!$#&#$"#!’#&#"#!’#&#
#&#!&&$#!#&$#&#!$&#& &
!$&#!&&’#!#&’#&#!$&#& &
#&"&#!&&$&#& &#
几何意义为%以#!!#& 为 边 构 成 的 平 行 四 边 形 的 两 条 对 角
线长度的平方和等于四边长的平方和%
;!&"证明下列各题%
!#任何有理分式函数<"###&
"##
="##
可以化为>$$?的形式!
其中>与? 为具有实系数的!与"的有理分式函数&
&#如果<"##为!#中的有理函数!但具有实系数!那么<"###
>’$?&
-#如果复数2$$3是实系数方程
2,#*$2!#*’!$)$2*’!#$2*#,
的根!那么2’$3也是它的根%
分析!要明确有理分式的形式%
证明!!#设##!$$"!&"###&!"!!"#$$&&"!!"#!="###=!
"!!"#$$=&"!!"#则&$"!!"#!=$"!!"#"$#!!&#是!!"的
实多项式!而且
<"### !
=&!$=&&
’"&!=!$&&=&#$$"’&!=&$&&=!#(
令!!>#
&!=!$&&=&
=&!$=&&
!?#’&!=&$&&=!=&!$=&&
易知>与? 都为具有实系数的!与"的有理分式函数!并
$#"$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
且<"###>$$?%
&#如果&"##!="##是 实 系 数 多 项 式!则 有 关 系 式&"###
&"##!="###="##%
事实上!对任一实系数多项式
&"###2,#*$2!#*’!$)$2*’!#$2*
"2,!2!!)!2* 为实数!即2@#2@!"@#,!!&!)!*##
&"###2,#*$2!#*’!$)$2*’!#$2*
#2,#*$2!#*’!$)$2*’!#$2*
#2,#*$2!#*’!$)$2*’!#$2*#&"##
从而
<"###&
"##
="##
#&
"##
="##
# &"##
="#" ###">$$?##>’$?
-#令&"###2,#*$2!#*’!$2!#*’!$)$2*’!#$2*!由&#
中的事实有&"###&"##%如果2$$3是所给实系数方程的
根!则&"2$$3##,%于是&"2’$3##&"2$$3##&"2$$3#
#,!这说明2’$3也是它的根%
小结!有理分式函数可以化为复数形式!其中虚-实部全为实系数
有理分式函数&实系数方程的根的共轭也是根%
:!-"如果##)71!证明%
!#*$!#*#&456*1
&!!&#*’!#*#&$678*1%
分析!复数的幂性质要掌握%
证明!由##)$1易 知#*#")$1#*#)$*1#456*1$$678*1!!#*#)
’$*1#
456*1’7678*1!所以
!#*$!#*#456*1$7678*1$456*1’7678*1#&456*1
&#*’!#*#456*1$$678*1’
"456*1’$678*1##&$678*1
8!."求下列各式的值%
!#"!-’$#<&!!!!&#"!$$#=&
$$"$
第一章!复数与复变函数
-#
=
!’!& .#"!’$#
!
-%
解!!#"!-’$#< # & !-&’
!
&" #’ ($
<
# &456 ’$" #= $$678 ’$" #’ (. 0=
<
#&< 456’<$= $$678’<$" #=
#-& ’!-&’
!
&" #$
!#’!= -’!=$
&#"!$$#= !# &456$.$$678
$" #’ (.
=
#?456-$&$$678
-$" #& #’?$
-#由’!#)$$#456$$$678$得
=
!’!#)
$$&($
= $#456$$&($= $$678$$&($= !"(#,!!&!-!.!<#%
即=个值分别为!-
&$
!
&$
!$!’!-&$
!
&$
!’!-&’
!
&$
!’$!!-&’
!
&$%
.#由!’$ !# &456 ’$" #. $$678 ’$" #’ (.
得
"!’$#
!
-#
=
!&456
’$.$&($
- $$678
’$.$&($
3
4
6
7-
"(#,!!&#
即-个值分别为
=
!&456$!&’$678
$" #!& !
=
!&456>!&$$$678
>
!&" #$ !!=
!&456<.$$$678
<
." #$ %
:!<"若"!$$#*#"!’$#*!试求*的值%
分析!化为三角表示式计算%
$%"$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
解!由"!$$#*#"!’$#* 可得
!&456$.$$678
$" #’ (.
*
!# &456’$. $$678
’$" #’ (.
*
&
*
& 456*$.$$678
*$" #. #&
*
& 456*$.$$678
’*$" #.
即有!678*$.#678
’*$
. #’678*$.
!9678*$.#,
!*$
.#($
!*#
.(!"(#,!/!!/&!)#%
8!="!#求方程#-$?#,的所有根&
&#求微分方程"*$?"#,的一般解%
解!!#方程#-$?#,等价于#-#’?!其根为
##
-
!’?#
-
!?"456$$&($- $$678$$&($-
#!"(#,!!&#
即!#, !#!$ -$!#!#’&!#- !#!’ -$为所求的根%
&#因微分方程"*$?"#,的特征方程为
)-$?#,
由!#得其特征值为’&! !/ -$!故方程的通解为
"#0!)’&!$)!"0& !456-!$0- !678 -!#
其中0!!0&!0- 为任意常数%
:!>"在 平 面 上 任 意 选 一 点#!然 后 在 复 平 面 上 画 出 下 列 各 点 的 位
置%
’#!#!’#!!
#
!’!
#
分析!考查复数的基本知识%
解!取##!’$得’##’!$$!##!$$!’##’!’$!
!
##
!
&$
!
&$
!!
#
#!&’
!
&$
!
’!
#
#’!&$
!
&$
各点位置如图!A&"3#所示%
一般地!如图!A&"I#所示!’#与#关于原点对称&#与#关于
$&"$
第一章!复数与复变函数
图!!A&
实轴对称&’#与#关于虚轴对称%又由!
#
##
##
# #
&#&&
得!
#
与
#的辐角相同!且 !
# # !&#&
!即!
#
与#是 关 于 单 位 圆 周 的 对
称点%如图!A!"I#中!设&#&’!!则!#
在单位圆外!且使,!#和
!
#
共一条射线!而且&#&$
!
# #!%’!
#
是!
#
关于原点的对称
点%
:!?"已知两点#! 与#&"或已知三点#!!#&!#-#!问下列各点#位于
何处,
!##!&
"#!$#&#&
&##+#!$"!’+#&!其中+为实数&
-##!-
"#!$#&$#-#%
分析!做好图!就能看出来%
解!!#设#!#!!$$"!!#&#!&$$"& 则##!&
"#!$#&##
!!$!&
& $
$"!$"&&
位于#! 与#& 连线的中点%
&##+#!$"!’+#&#’+!!$"!’+#!&($$’+"!$"!’+#
$’"$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
"&(!当+为 实 数 时!# 位 于#! 与#& 的 连 线 上!其 中+#
&#’#&
&#!’#& %
特别地!若,(+(!!则#是在以#!!#& 为端点的线
段上的点%
-#再设#-#!-$$"-!则当#!!#&!#- 不共线时##!-
"#!$#&$
#-##
!!$!&$!-
- $$"!$"&$"--
位 于 三 角 形#!#&#- 的 重 心&
若#!!#&!#- 共线时!则#在此直线上!物理意义仍是重心所在
点%
:!B"设#!!#&!#- 三点适合条件%#!$#&$#-#,!&#!&#&#&&#&#-&
#!%证明%#!!#&!#- 是内接于单位圆周&#&#!的一个正三角
形的顶点%
分析!要掌握三角形的性质%
证明!由!!题的结论及题设条件可知
&#!$#& &$&#!’#& & #&"&#!&&$&#& &#
#&"!$!##.
&’#-&&$&#!’#& & #.9&#!’#& &#-!
&#!’#& !# -
类似地
&#&’#-&&#&"&#& &$&#-&&#’&#&$#-&&
#.’&’#!&&#-
&#!’#-&&#&"&#!&&$&#-&&#’&#!$#-&&
#.’&’#& &#-
即&#!’#& #&#&’#-&#&#!’#-& !# -%#!!#&!#- 是内接于
单位圆周&#&#!的一个正三角形的顶点%
;&,"如果复数#!!#&!#- 满足等式#&’#!
#-’#!
##!’#-#&’#-
!证明&#&’#!&#
&#-’#!&#&#&’#-&!并说明这些等式的几何意义%
分析!思维灵活!掌握各种三角形的性质%
$("$
第一章!复数与复变函数
解!由所给等式可得
!!! #&’#!#-’#!
# #!’#-#&’#- 9&
#!’#-&&
#&#&’#!&$&#&’#-& !
及#&’#!
#-’#!’!#
#!’#-
#&’#-’!9
#&’#-
#-’#!
##!’#&#&’#-
两边取绝对值又可得
#&’#-
#-’#!
# #!’#&#&’#- 9&
#&’#-&&
#&#-’#!&$&#!’#& "
上面式!与式"相除可知&#!’#-&-#&#&’#-&-!即&#!’#-&
#&#&’#-&!再代入式!便有&#-’#!&#&#&’#-&#&#!’#&&!
这说明#!!#&!#- 构成一个等边三角形%
小结!复数的差的关系!对应了点的距离!本题主要考查了这一性
质%
:&!"指出下列各题中点#的轨迹或所在范围!并作图%
!#&#’<&#=&!!!!!&#&#$&$&)!&
-#()"#$&##’!& .#()"7###-&
<#&#$$&#&#’$&& =#&#$-&$&#$!&#.&
>#*+"##(&& ?##’-#’& )!
&
B#,’312#’)& !,#312"#’$##).%
分析!考查基础知识!做图要标准%
解!设##!$$"%
!#由&#’<&#=得&#’<&# "!’<#&$"! &#=!轨迹为以"#*+"##(&相当于"(&!#的轨迹为直线"#&及其下方区
域!见图!A-"2#%
?#由 #’-
#’& #
"!’-#&$"! &
"!’&#&$"! &
)!得
"!’-#&$"&)"!’&#&$"&
化简得!(<&
!#的轨迹为直线!#<&
及其左方区域!见图!A-
$*#$
第一章!复数与复变函数
"L#%
")# "K#
"2# "L#
图!A-
B#由312##314D2"!
得
312##,9#为!轴正向上的点!"正实轴#
312##$9#为!轴负向上的点!"负实轴#
所以,’312#’$为上半平面"不含实轴#!即#的轨迹为不包
含实轴的上半平面!见图!A-"7#%
!,#由312"#’$##312’!$"’!#$(#$.
得
D2’312"#’$#(#!!"!0,!"0!#
即"’!
! #!!故312"#’$##).
相当于"’!’!#,"!0,!"0
!#!#的轨迹为以$为起点的射线"’!’!#,"!0,#!见图!A
-"M#%
;&&"描出下列不 等 式 所 确 定 的 区 域 或 闭 区 域!并 指 明 它 是 有 界 的
还是无界的, 单连通的还是多连通的,
!#*+"##0,&!!!!!!!&#&#’!&0.&
$!#$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
-#,’()"##’!& .#&(&#&(-&
图!A-"7#
图!A-"M#
<#&#’!&’&##-&& =#’!’312#’’!$)&
>#&#’!&’.&#$!&& ?#&#’&&$&#$&&(=&
B#&#’&&’&#$&&0!& !,##’"&$$#’"&’$#(.%
分析!考查基础知识!做图要标准%
解!令##!$$"后可将本题的条件转化为!!"满足的条件!然后
在直角坐标系中解答%
图!A."3#
!#*+"##0,!即"0,为 不 包 含 实 轴 的 上
半平面!是无界单连通区域!见图!A."3#%
&#&#’!&0.!即"!’!#&$"&0!=为圆周
"!’!#&$"&#!=的 外 部"不 含 圆 周#!是
无界多连通区域!见图!A."I#%
图!A."I#
-#,’()"##’!!即,’!’!为由直线!#,及!#!所构成
的带形区域"不含两直线#!是无界单连通区域!见图!A."4#%
.#&(&#&(-!即.(!&$"&(B为由圆周!&$"&#.与!&$
"&#B所围成 的 环 形 闭 区 域"包 括 圆 周#!是 有 界 多 连 通 闭 区
$"#$
第一章!复数与复变函数
域!见图!A."A#%
<#&#’!&’&#$-&即
"!’!#&$"&’"!$-#&$"&
图!A."4#
图!A."A#
化简得!0’!为直线!#’!右边的区域"不含直线!#’
!#!是无界单连通区域!见图!A.")#%
=#’!’312#’’!$$为由射线312##’!及312##’!$$
构成的角形 域"不 含 两 射 线#!是 无 界 单 连 通 区 域!见 图!A.
"K#%
图!A.")# 图!A."K#
>#设##!$$"!则&#’!&’.&#$!&可写成
"!’!#&$"&’!="!$!#&$!="&
化简得 !$!>" #!<
&
$"&0 ?" #!<
&
!表示以##’!>!<
为中心!?
!<
为
半径的圆周的外部区域"不含圆周#!为无界多连通区域!见图
!A."2#%
?#&#’&&$&#$&&(=为椭圆&#’&&$&#$&&#=的内部"包
含椭圆#!此椭圆是 以"&!,#与"’&!,#为 焦 点!=为 长 轴 的 椭
圆%!
&
B$
"&
<#!
!这是一个有界单连通的闭区域!见图!A."L#%
图!!A."2#
图!!A."L#
$##$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
B#&#’&&’&#$&&0!可写成
"!’&#&$"! &0 "!$&#&$"! &$!!两边平方
!&’.!$.$"&0!$& "!$&#&$"! &$!&$.!$.$"&
’?!’!0& "!$&#&$"! &!"由此易知!’’!?
#!两边再平
方
=,!&’."&0!<或.!&’.!<"
&0!
再注意到!’’!?
!即知不等式&#’&&’&#$&&0!表示双曲
线.!&’.!<"
&#!的左边分支的内部"含焦点##’&的那部
分#区域!是无界单连通区域!见图!A."7#%
!,##’"&$$#’"&’$#(.可写成
!&$"&’"&$$#"!$$"#’"&’$#"!’$"#(.
化简得!!&$"&$&"’.!(.!或
"!’&#&$"$!#&(B
是以"&!’!#为圆心!-为半径的圆周及其内部!这 是 一 个 有
界单连通闭区域!见图!A."M#%
图!!A."7#
图!!A."M#
小结!区域-闭区域-有界的-无界的-单连通-多连通的概念与基
本性质!只要区分明确即可%
$$#$
第一章!复数与复变函数
;&-"证明复平面上的直线方程可写成
&#B&#C;!"&",为复数!;为实常数#%
分析 ! 考查直线与圆周基本知识%
证明 ! 设#C!B$"!&C2B$3!则
&#B&#C;可写为"2B$3#"!D$"#B"2D$3#"!B$"#C
;!等价地&2!B&3"C;!这是直线的一般方程%反过来!对
任一条直线5!B7"B0C,"5!7不同时为零#只须令#
C!B$"!&C5B$7&
!;CD0!便可将其方程写成
&#B&#C;!"&",为复数!;为实常数#%
小结 ! 复平面上的直线方程表示形式!代入基本形式即可得出%
;&."证明复平面上的圆周方程可写成%
##B&#B&#B;C,!"其中&为复数!;为实常数#%
分析 ! 考查直线与圆周基本知识%
证明 ! 圆周的一般方程为
!&B"&B&2!B&3!B;C,"2&B3&D;),#
令#C!B$"!&C2B$3!则
!&B"&B&2!B&3"B;C##B&#B&#B;
故圆周方程可写成 !##B&#B&#B;C,%
小结 ! 复 平 面 上 的 圆 周 方 程 的 表 示 形 式!代 入 基 本 形 式 即 可 得
出%
:&<"将下列方程"1为实参数#给出的曲线用一个实直角坐标方程
表出%
!# C1"!B$#&
&# C24561B$36781"2!3是不为零的实常数#&
-# C1B$1
&!!!!.# C1&B$1&
&
<# C24L1B$36L1"2!3是不为零的实常数#&
=# C2)71B3)’71& >#C)&1"&C2B3$为复数且3",#%
$%#$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
分析 ! 坐标系转换%
解 ! 令#C!B$"%
!##C1"!B$#C1B1$相当于
!C1
"C. 1
!消去参数1后!化成
直角坐标方程为"C!"直线#%
&##C24561B$36781相当于
!C24561
"C3678. 1
!消去参数1后化成
直角坐标方程为 !" #2
&
B "" #3
&
C!"椭圆#%
-##C1B$1
相当于
!C1
"C !2
3
4 1
!消去参数1后化成直角坐标系
方程为!"C!"等轴双曲线#%
.##C1&B$1&
相当于
!C1&
"C !1
2
3
4 &
!消去参数1后为!"C!"!0
,!"0,#"等轴双曲线在第一象限中的一支#%
<##C24L1B$36L1相当于
!C24L1
"C36L. 1
!消去参数1后为!
&
2&D
"&
3& C!
"双曲线#%
=##C2)71B3)’71 C24561B$26781B34561D$36781
C "2B3#4561B$"2D3#6781
相当于
!C "2B3#4561
"C "2D3#678. 1
!化成直角坐标方程为
!&
"2B3#&B
"&
"2D3#& C
!!"椭圆!其中2"E3#
当2C3时!则方程表示!轴上的线段’DF2B3F!F2B
3F(&当2CD3时!则方程表示"轴上的线段’DF2D3F!
F2D3F(%
>##C)&1 C)"2B$3#1 C)21$)$31 C)21"45631B767831#相当于
$&#$
第一章!复数与复变函数
!C)2145631
"C)21678. 31
!消去参数1后化成直角坐标方程"只须由
"
! CD23191C
!
3314D2
"
!
代入!&B"& C)&21 即可#为
!&B"& C)
&2
3314D2
"
! %
8&="函数,C !#
把下列#平面 上的曲线映射成, 平面上怎样的
曲线,
!#!&B"& C.&!!!!!&#"C!&
-#!C!& .#"!D!#&B"& C!%
解 ! 令#C!B$"!,C/B$+!则,C !#
相当于
/B$+C !
!B$" C
!
!&B"&
D$ "
!&B"&
或
/C !
!&B"&
+C D"
!&B"
2
3
4
&
!#由函数,C !#
的如上关系式可知当!&B"&C.时/&B
+&C.!=C
!
.
!即,平面上像曲线为/&B+&C!.
"圆周#%
&#当"C!时!/CD+或/B+C,为,平面上的直线%
-#当!C!时!易知
/C !
!B"&
+C D"
!B"
2
3
4
&
!消去"后为 /D" #!&
&
B+&
C !.
!是,平面上的圆周%
.#当"!D!#&B"&C!时
!C!B456!
"C678. !
! ",(!(&)#代
入
$’#$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
/C !
!&B"&
+C D"
!&B"
2
3
4
&
! 得 !
/C !B456!&B&456!C
!
&
+C D678!
&B&456
2
3
4 !
为,平面上的直线/C !&%
:&>"已知映射,C#-!求
!#点#! C$!#& C!B$!#- C!-B$在, 平面上的像&
&#区域,’312#’ $-
在,平面上的像%
分析 ! 掌握平面上的像的概念%
解 !!##! C$!,! C#-! C$- CD$
#& C!B$!,& C#-& C "!B$#- C "!B$#&"!B$#
CD&B&$
#- C!-B$C&456$=B7678
$" #= !,- C#--
C&- 456-$=B7678
-$" #= C?$
即#!!#&!#- 的像分别为D$!D&B&$!?$%
&#令#C)"456!B$678!#!则,C#- C)-"456-!B$678-!#%
于是当,’312#’)-
时,’312,C-312#’$!即区域
,’312#’ $-
的像区域为,’312,’$"上半平面#%
:&?"证明%!#如 果C7+
#$#,
-"##C5!C7+
#$#,
6"##C7!那 么C7+
#$#,
’-"##E
6"##(C5E7&C7+
#$#,
-"##6"##C57&C7+
#$#,
-"##
6"##C
5
7!
"7"
,#&
&#函数-"##C/"!!"#B$+"!!"#在#,C!,B$", 处连续的
充要条件是%/"!!"#和+"!!"#在"!,!",#处连续%
分析 ! 基本性质的证明%
$(#$
第一章!复数与复变函数
证明 !!#令-"##C/"!!"#B$+"!!"#!6"##CG"!!"#B$H"!!
"#!5C2!B$2&!7C3!B$3&!#, C!,B$",%于是
C7+
#$#,
-"##C51
C7+
!$!,
"$",
/"!!"#C2!
C7+
!$!,
"$",
+"!!"#C2
2
3
4 &
C7+
#$#,
6"##C71
C7+
!$!,
"$",
G"!!"#C3!
C7+
!$!,
"$",
H"!!"#C3
2
3
4 &
利用高等数学中关于极限的运算法则易知
C7+
!$!,
"$",
’/"!!"#EG"!!"#(C2!E3!
C7+
!$!,
"$",
’+"!!"#EH"!!"#(C2&E3
<
6
7&
1C7+
#$#,
-"##E6"##
C5E7
C7+
!$!,
"$",
"/GD+H#C2!3!D2&3&
C7+
!$!,
"$",
"/HB+G#C2!3&B2&3
<
6
7!
1C7+
#$#,
-"##6"##C57
C7+
!$!,
"$",
/GB+H
G&BH&
C2!3!B2&3&3&!B3&&
C()5" #7
C7+
!$!,
"$",
+GD/H
G&BH&
C2&3!D2!3&3&!B3&&
C*+ 5" #" #
<
6
77
1C7+
#$#,
-"##
6"##
C 5" #7 !"7",#
&#-"##C/"!!"#B$+"!!"#在#, C!,B$", 处 连 续
1-"##在#, 处有定义且C7+
#$#,
-"##C-"#,#1/"!!"#与
+"!!"#在"!,!",#处有定义且
$)#$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
C7+
!$!,
"$",
/"!!"#C/"!,!",#
C7+
!$!,
"$",
+"!!"#C+"!,!",
2
3
4 #
等价地/"!!"#与+"!!"#在"!,!",#处连续%
;&B"设函数-"##在#,连续且-"#,#",!那么可找到#,的小邻域!
在这邻域内-"##",%
分析 ! 考查连续的性质%
证明 ! 设#C!B$"!#,C!,B$",!-"##C/"!!"#B$+"!!"#!
则-"##在#,连续1/"!!"#与+"!!"#在"!,!",#连续%由
-"#,#C/"!,!",#B$+"!,!",#",可 知/"!,!",#与
+"!,!",#之中必有一个不为零!不妨设/"!,!",#",!于
是/"!,!",#0,"或 ’,#%由高等数学中连续函数的保号
定理可知!必有"!,!",#的一个邻域!在此邻域内/"!!"#0
,"或 ’,#%从而在#, C!,B$", 的这个邻域内-"##",%
小结 ! 函数连续的性质!即在此点的小邻域内连续!利用此性质
就可以得到结果%
;-,"设C7+
#$#,
-"##C5!证明-"##在#, 的某一去心邻域内是有界的!
即存在一个实常数I 0,!使在#, 的某一去心邻域内有
F-"##F(I%
分析 ! 掌握有界!有极限!连续的性质%
证明 ! 由C7+
#$#,
-"##C5根据极限的定义!对于%’!!相应地存在
正数"!当,’F#D#,F’"时
F-"##D5F’!9F-"##FCF-"##D5B5F(
F-"##D5FBF5F’!BF5F%
取I C!BF5F"0,#!可知在#, 的"去心邻域内有F
-"##F(I%
小结 ! 函数在一点有极限!则在小邻域内有界!考查极限与有界
的关系%
$*$$
第一章!复数与复变函数
;-!"设-"##C !&$
#
#
D#" ## !"#",#%试证当#$,时-"##的极
限不存在%
分析 ! 掌握有界!有极限!连续的性质%
证明 ! 令#C!B$"!-"##C/"!!"#B$+"!!"#!则
/"!!"#B$+"!!"#C !&$
!B$"
!D$"D
!D$"
!B$" #" C &!"
!&B"&
即 !/"!!"#C &!"
!&B"&
!+"!!"#C,%注意到C7+
#$,
-"##存在
的充要条件是C7+
!$,
"$,
/"!!"#与C7+
!$,
"$,
+"!!"#存在!而C7+
!$,
"$,
/"!!"#
CC7+
!$,
"$,
&!"
!&B"&
不存在"沿"C(!趋于零易知其极限随(变
化#!故当#$,时-"##的极限不存在%
小结 ! ,,
型的极限!利用复数的通用形式!代入即可%
;-&"试证312#在原点与负实轴上不连续%
分析 ! 掌握有界!有极限!连续的性质%
证 明!令-"##C312#%由于-",#无定义!所以-"##C312#在原
点不连续%
设#,",为负实轴上任意一点!则-"#,#C312#,C$!而
且不难看出!当#从上半平面趋于#,时!-"##C312#$$!
即
C7+
#$#,
*+#0,
-"##CC7+
#$#,
*+#0,
312#C$
当#从下半平面趋于#, 时!-"##C312#$D$!即
C7+
#$#,
*+#’,
-"##CC7+
#$#,
*+#’,
312#CD$
故C7+
#$#,
-"##不存在!-"##在#, 点不连续!再由#, 的任意性
可知结论%
小结 ! 考查连续的概念!对于特殊函数!结合本身的性质!与连续
的性质!即可得到%
$!$$
! 第二章
解析函数
内容提要
!
一!复变函数的导数与解析函数的概念
!"复变函数的导数与微分
设函数,C-"##定义于区域J!#,!#,B,#*J%若极限
C7+
)#=,
),
,# #
C7+
)#=,
-"#,B,##D-"#,#
,#
存 在!则称-"##在#, 处可导!该极限值称为-"##在#, 处的导
数!记作
-4"#,##A,A# #C#,#C7+)#=,
-"#,B,##D-"#,#
,# !
此时!称-4"#,#,# 为-"##在#, 处 的 微 分!记 作 A, #
-4"#,#9#%若-"##在#, 处的微分存在!则称-"##在#, 处可
微%若-"##在区域J内每点都可导"可微#!则称它在J 内可
导"可微#%与一元实变函数相同!复变函数可导与可微是等价
的%
由于复变函数的导数定义在形式上与一元实变函数的导数定
$"$$
第 二 章!解 析 函 数
义相同!因此!复变函数的求导法则也与一元实变函数的求导
法则完全相同%
注意!由于导数定义中对极限式 ! 存在的要求是与,#=,的
路径和方式无关!因此!复变函数导数的定义实际上比对一元
实变函数导数的定义要求苛刻得多%如果当,#沿某一路径趋
于,时!,,
,#
的极限不存在!或者沿两条不同路径趋于,时!,,
,#
趋于不同的数!那么该函数在#, 处不可导%这就为判断函数的
不可导性提供了有效的方法%
同一元实变函数可导与连续的关系一样!复变函数,C-"##
在点#, 可导!则它必在该点连续&反之不成立%
&"柯西’黎曼条件!0D<条件"
"!#若,C-"##在#, 点可导!则当,#分别沿平行于坐标轴的
路径趋于零时!,,
,#
必定要趋于同一个数"如图&D!#!由
此得到可导的一个必要条件!0D<条件%
图&’!
若函数,C-"##C/"!!"#B$+"!!"#于点#C!B$"可
导!则在点"!!"#必有
-/
-! C
-+
-"
!-/
-"CD
-+
-! "
式 " 也称为0D<方程!在极坐标系下!它的表达式为
-/
-)C
!
)
-+
-!
!-+
-)CD
!
)
-/
-!
$#$$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
由此可见!可导的复变函数-"##C/"!!"#$$+"!!"#的
实部/"!!"#和虚部+"!!"#不是随意拼起来的!它们之间
有密切的联系%
可用此命 题 的 逆 否 命 题 来 判 断 某 些 函 数 不 可 导!即%若
-"!#在#, 点不满足0D<方程则-"##在#, 点不可导%
"&#若-"##可导!则-"##的导数可写成以下四种形式%
-4"##C-/-!B
$-+
-! C
-+
-"’
$-/
-"
C-/-!’
$-/
-" C
-+
-"$
$-+
-!
故当-"##可 导 时!仅 由 其 实 部 或 仅 由 其 虚 部 就 可 求 出
-"##的导数来%
-"解析函数
"!#定义
如果-"##在点#, 及#, 的邻域内处处可导!那么称-"##在#,
点解析%如果-"##在区域J内每一点解析!那么称-"##在J
内解析!或称-"##是J内的一个解析函数"全纯函数或正则
函数#%如果-"##在#, 不解析!那么称#, 为-"##的奇点%
两个解析函数的和-差-积-商"除去分母为零的点#都是解析
函数&解析函数的复合函数仍是解析函数%
"&#函数解析的一个充分必要条件
定理 ! 函数-"##C/"!!"#B$+"!!"#在#C!B$"处可导
的充要条件是%/"!!"#!+"!!"#在点"!!"#处可微!而且满足
柯西D黎曼"N3O4LP’($)+388#方程"简称N’(方程#%
-/
-! C
-+
-"
!-/
-" CD
-+
-!
%
当函数满足N’(条件时!可按下列公式之一计算-4"##%
-4"##C-/-!B
$-+
-! #
-+
-"B
$-+
-! #
-/
-!’
$-/
-" #
-+
-"’
$-/
-"
%
注意%>0D<条件只是函数-"##可导的必要条件而并非充分
条件%
$$$$
第 二 章!解 析 函 数
如果考虑区域上的解析函数!由N’(条件就可以得到下面的
结论%
函数-"##C/"!!"#B$+"!!"#在区域J内解析"即在J内可
导#的充要条件是%/"!!"#和+"!!"#在J内处处可微!而且
满足N’(方程%
推论 ! 设-"##C/"!!"#B$+"!!"#在区域J内有定义!如
果 在J内/"!!"#和+"!!"#的四个偏导数/4!!/4"!+4!!+4" 存
在且连续!并且满足N’(方程!则-"##在J内解析%
"-#运算法则
! 导数的四则运算
设-"##和6"##都是区域J上的解析函数!则-"##E6"##!
-"##6"##!及-
"##
6"##
"6"##",#在J上解析!且有
’-"##E6"##(4C-4"##E64"##!
’-"##6"##(4C-4"##6"##B-"##64"##!
-"##
6"#’ (#4C-4"##6"##D-"##64"##’6"##(&
%
" 复合函数的求导法则
设函数.C-"##在区域J内解析!函数,C6".#在区域.内
的解析!又-"J#+."-"J#表示函数.C-"##的值域!也就
是区域J的像#!则复合函数,C6"-"###C8"##在J内解
析!且有
84"##C ’6"-"###(4C64"-"###-4"##%
# 反函数的求导法则
设函数,C-"##在区域J内单叶解析且-4"##",!又反函
数#C-D!",#C(",#存在且连续!则
(4",#C
!
-4"###C(",#
C !
-4"(",##
%
".#复变函数可导与解析的判别方法
! 利用可导与解析的定义以及运算法则&
" 利用可导与解析的充要条件%
$%$$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
二!初等解析函数
!"指数函数
定义% )# #)QR##)!"456"$$678"#%
主要性质有%
"!#解析性%在#平面内处处解析!且")##S#)#%
"&#加法定理%)QR"#!B#&##)QR#!$)QR#&%
"-#周期性%)QR"#B&($$##)QR#!"(#,!/!!/&!)#%
&"对数函数
定义% T8##C8U#U$$012#%
主要性质有%
"!#多值性%对数函数有无穷多个分支!其中C8##C8U#U$
$312#称为主值支!其余分支为%
T8##C8#$&($$!!(#/!!/&!)%
"&#解析性%在除去原点和负实轴的#平面内处处解析!且
"T8##S# "C8##S# !#
"-#保持了实变对数函数的如下性质%
T8"#!#&##T8#!$T8#&!!T8#!#& #
T8#!’T8#&%
但是!T8#* "*T8#"*0!#!并且*负数无对数+这个结论
不成立%
-%乘幂23 与幂函数
定义%设2为不等于零的一个复数!3为任意一个复数!我们定
义乘幂23 为)3T82!即
23 #)3T82%
因为T82#C8U2U$$"3122$&($#是多值的!因而23 也是多
值的%
如果2C#为复变数!就得到一般的幂函数,C#3 C)3T8V!当
$&$$
第 二 章!解 析 函 数
3C*与!
*
时!就分别得到通常的幂函数,C#* 及#C,* 的
反函数,C#
!
* C
*
!#%
#3 的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的!且
"#3#4C3#3D!%
务 必把)的#次幂)#"它一般是多值的#与指数函数)#"它一定
是单值的#严加区分%
.%三角函数与双曲函数
定义% 678##)
$#’)’$#
&$
!456##)
$#$)’$#
& %
它们在复平 面 上 处 处 解 析!并 且"678##S#456#!"456##S#’
678#%实变数中的一 些 三 角 恒 等 式 在 此 仍 然 成 立%678#或456#
也同样分别具有周期性与奇偶性!但不再具有有界性!即不等
式U678#U(!与U456#U(!不成立%
其它复三角函 数 如D2#!4D2#等 的 定 义 与 性 质 可 仿 照678#与
456#讨论%
双曲正弦函数与双曲余弦函数
6L##)
#’)’#
&
!4L##)
#$)’#
&
在复平面上处处解析!并且"6L##S#4L#!"4L##S#6L#%实变
数中一些双曲恒等式在此仍然成立%6L#与4L#也分别具有奇
偶性%应该注意的是复双曲正弦与双曲余弦函数是以&$$为周
期的函数%
其它复双曲函数如DL#!4L#等的定义与性质可仿照6L#与4L#
讨论%
<%反三角函数与反双曲函数
定义%014678##’$T8"$#$ !’#! &#
014456##’$T8"#B #&D! !#
014D2##’$&T8
!$$#
!’$#
$’$$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
分别称为#的反正弦-余弦-正切函数%
定义%016L##T8"#B #&B! !#
014L##T8"#B #&D! !#
01DL## !&T8
!$#
!D#
分别称为#的反双曲正弦-反双曲余弦-反双曲正切函数"
典型例题与解题技巧
"例!#! 指出下列各函数的解析区域!并求出其导数%
"!#-"##C #&
#&B!
&"&#-"##C678!4L"$$456!6L"%
解题分析 ! 利用可导与解析的判别方法找出解析区域!然后用求导
公式或-4"##C-/-!$
$-+
-!
求出其导数%
解题过程! "!#函数-"##C #&
#&B!
的分子与分母均为解析函数!所
以-"##C #&
#&B!
在除去分母为零的点##/$外是
解析的%又分子在#C/$处不为零!故-"##的解析
区域为复平面除去/$两点!而且
-4"##C "#
&
#&B!
#4C &#
"#&B!#&
"#"/$#
"&#/#678!4L"!+#456!6L"!故
*/
*!#
456!4L"!-/-" #
678!6L"!
*+
*!#’
678!6L"!-+-" #
456!4L"%
以上四个偏导在复平面上连续!故/!+可微!又满足
0D<方程-/
-!C
-+
-"
!-/
-"CD
-+
-!
!易得-"##在复平面
上处处解析!且
-4"##C/!B$+! #456!4L"’$678!6L"%
$($$
第 二 章!解 析 函 数
"例&#!设函数-"##C/"!!"#B$+"!!"#在区域J内解析!且满足
下列条件之一!试证-"##在J中内是常数%
"!#-"##在J内也解析&
"&#/#)+$!%
分析 ! 为了证明-"##在J 内 是 常 数!只 要 证 明 在J 内 它 的 实 部
/"或虚部+#是常数!或者-4"##>,!也就是要证明在J 内
/"或+#的一阶偏导数恒为,%对于"!#!由-"##及-"##都在
J内解析!故必满足N’(方程!从而不难得到所要证明的结
论&对于"&#!由于/#)+$!!所以只要证明/与+中有一个
为常数就行了%这也可利用-"##解析!满足N’(方程及上
述等式得到%
证明 ! "!#由-"##与-"##都在J内解析!必满足N’(方程得%
-/
-! C
-+
-"
!!-+-! CD
-/
-"
!
-/
-! CD
-+
-"
!!D-+-! CD
-/
-"
%
将上面两组等式分别相加!我们有
-/
-! C
,!!-/-"C
,%
再利用导数公式及N’(方程!有
-4"##C-/-!B
$-+
-! C
-/
-!D
$-/
-" C
,%
故知-"##在J内是常数%
"&#利用N’(方程及等式/#)+$!可得
-+
-" C
-/
-! #
)+-+
-!
!!-+-! CD
-/
-"#’
)+-+
-"
!
从而有
"!$)&+#-+-" #
,!
故-+
-"C
,!-+
-! C
,%因此!+与/在J 内都是常数!说明
-"##在J内也是常数%
$)$$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
"例-#! 证明"!#D&&"&#)#&"-#678#在复平面上不解析%
分析 ! 一般证明函数在复平面处处不可导或不解析多用函数不满
足N’(条件来证明%
证明 ! "!#因#& C!&D"&’$&!"!所以
/"!!"#C!&D"&!+"!!"#CD&!"%
-/
-! C
&!!-/
-"CD
&"!
-+
-! CD
&"!-+-" CD
&!%
由此可知!,C#& 仅在点",!,#处N’(条件成立!所以
,C#& 仅在点",!,#处可导!而在整个复平面上不解析%
"&#因)# #)!"456"’$678"#!所以
/#)!456"!+C’)!678"!
-/
-! #
)!456"!-+-"#’
)!456"%
所以只有当"C($/$1&"(C,!E!!E&!)#时!才有
-/
-! C
-+
-"
%
由此可见!)# 在复平面上不解析%
"-#由678##678!4L"’$456!6L"!所以
/#678!4L"!+#’456!6L"!
-/
-!#456!4L"
!-+
-"#’456!4L"
!
因此!只有当!C($/"$1&#"(C,!E!!E&!)#时!才
有
-/
-! C
-+
-"
!
可见678#在复平面上不解析%
"例.#! 证明下列函数在#平面上解析!并分别求出其导数%
"!#-"###)!"!456"’"678"#$$)!"456"$!678"#&
"&#-"!##678!4L"$$456!6L"%
$*%$
第 二 章!解 析 函 数
解题分析 ! 利用N2(方程和导数运算法则%
解题过程! "!#若令-"##C/B$+!则/!+具有连续偏导数%故只要
验证在#平面上0D<方程成立%
!!/#)!"!456"D"678"#
!!+#)!"456"B!678"#
!!-/-! #
)!"!456"D"678"#$)!456"
#)!"!456"D"678"$456"#
!!-/-" #
)!"D!678"’678"D"456"#
#’)!"!678"$678"B"456"#
!!-+-! #
)!"456"B!678"#$)!678"
#)!"456"B!678"$678"#
!!-+-" #
)!"456"’"678"$!456"#
所以0D<方程-/
-!C
-+
-"
!-/
-"CD
-+
-!
在#平面上成立%
-4"##C-/-!$
$-+
-!
#)!"456"$!456"’"678"#
!$$)!"678"$!678"$"456"#
#)!’)$"$!)$"$$")$"(
#)!$$"’!B!$$"(
#)#"!B##
"&#/C678!4L"!!!+C456!6L"!
-/
-! C
456!4L"!!!-/-" #
678!6L"!
-+
-! #’
678!6L"!!!-+-" #
456!4L"!
所以0D<方程在#平面上成立%
-4"##C-/-!$
$-+
-! #
456!4L"’$678!6L"%
$!%$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
"例<#! 证明-"##在上半平面解析的充要条件是-"##在下半平面
解析%
分析 ! 当-"##与-"##都解析时!-"##必为常数%故当-"##不是常
数时!-"##与-"##不可能同时解析%但本例却指出%当-"##
解析时!不论-"##是否为常数!-"##必解析&反过来也成立%
证明 ! 设-"##C/"!!"#$$+"!!"#!则
-"##C/"!!D"#’$+"!!D"#%
先证必要性%因为-"##解析!故有
-/
-! C
-+
-"
!-/
-"CD
-+
-!
!
因此!
-/"!!D"#
-! C-+
"!!D"#
-"D"# C-
’D+"!!D"#(
-"
-/"!!D"#
-"D"# CD-+
"!!D"#
-! C-
’D+"!!D"#(
-!
两式表明-"##的实部与虚部满足N’(条件!又显然/"!!D
"#与D+"!!D"#可微!所以-"##在下半平面可微%
再证充分性%若已知-"##于下半平面解析!则由必要性中推
出之等式!-"##必于上半平面解析!亦即-"##于上半平面解
析%
"例=#! 证明不等式
U*+"##U(U678#U()U*+"##U
分析 ! 利用正弦函数及不等式有关知识证明%
证明 ! 令#C!B$"!则题中不等式为
U"F(U678"!$$"#U()U"U
由正弦函数的定义
678"!$$"##)
$"!$$"#’)’$"!$$"#
&$
# !&$
")’"$$!’)"’$!#
# !&$
’")’"’)"#456!$$678!")’"$)"#(
$"%$
第 二 章!解 析 函 数
!!!GU678"!$$"#U( !&
")"$)’"#
( !&
")F"F$)U"U##)U"U
!!!!U678"!$$"#U) !&U)
"’)’"U)U"U
G 原不等式成立%
历年考研真题评析 !
"题!#!设-"##C/"!!"#B$+"!!"#在区域J内解析!并且+C/&!
试求-"##%"大连工学院&,,=年#
解题分析 ! 利用0D<条件求解%
解题过程 ! 由0D<条件及关系式+C/& 可知
-/
-! C
-+
-" C
&/-/
-" !
-/
-" CD
-+
-! CD
&/-/
-! "
将式 " 代入式 !!得
-/
-!
"./&B!#C,
因为./&B!",!所以-/
-! C
,
由 " 有-/
-" C
,!所以/C;"常数#!于是-"##C/B$+
C;B$;& 为常数%
"题&#! 设-"##在区域J内解析!证明%
"!#若312-"##为一常数!则-"##恒为常数&
"&#若-"##也在区域J内解析!则-"##恒为常数%"东北大
学&,,<年#
分析 ! 利用解析函数的性质证明%
证明 ! "!#因为312#在J 内是一个常数!所以可设312##!"!为常
数#!则’$’!($%
$#%$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
!若!#/$&
!则/#,!从而-/
-!C
-/
-"C
,!又因为-"##
在J内解析!所以
-+
-"C
-/
-! C
,!-+
-! CD
-/
-" C
,
从而有-/
-! C
-/
-" C
-+
-! C
-+
-"C
,!所以+为常数%
故-"##在J内为常数%
" 若’$& ’!’
$
&
!则!#314D2+/
!于是有
D+-/-!B
/-+
-! C
,
D+-/-"B
/-+
-" C
2
3
4
,
同上的讨论!可得/!+均为常数%
故-"##为常数%
# 若$
& ’!($
!则!#$$314D2+/
若’$’!(-$&
!则!#’$$314D2+/
对于这两种情形的讨论与 " 类似!均可得知-"##为常
数%
综上所述!只要-"##在J内解析!且312#为常数!就有
-"##为常数%
"&#因为-"##在J内解析!所以
-/
-! C
-+
-"
!-/
-" C
D-+
-! !
又-"##C/’$+也在J 内解析!所以
-/
-! C
-"D+#
-"
!-/
-"CD
-"D+#
-! "
由 ! 与 " 可得 !-/-! C
-/
-" C
-+
-! C
-+
-" C
,
故-"##在J内为常数%
$$%$
第 二 章!解 析 函 数
"题-#! 设#C!$$"!-"##C !)!456"’")!678"$ !
!&B"" #&
$$!)!678"$")!456"’ "
!&B"" #& !问-"##在哪几点 对#
可导,求出-4"##%"兰州大学&,,<年#
解题分析 ! 利用可导的充要条件求解%
解题过程 ! 设/!+分别表示-"##的实部-虚部!则
-/
-! C
"!B!#)!456"’")!678"’ !&D"&
"!&B"&#&
-+
-! C
"!B!#)!678"$")!456"$ &!"
"!&B"&#&
-/
-"CD
"!B!#)!678"’")!456"’ &!"
"!&B"&#&
-+
-" C
"!B!#)!456"’")!678"’ !&D"&
"!&B"&#&
故当!&B"& ",时!-/
-!C
-+
-"
!-/
-"CD
-+
-!
!即0D<条
件成立!且-/
-!
!-/
-"
!-+
-!
!-+
-"
在!&B"&",的点都连续!因
此-"##在#",的点可导%
实际上!不难看出-"##C#)#$!#
!从而当#",时
-4"##C "#B!#)#D!#&%
"题.#! 若-"##!6"##在 单 连 通 区 域 J 内 解 析!&-/* J!证 明
?
/
&
-"##64"##A#C-"##6"##F/&D?
/
&
6"##-4"##A#%"东北大
学&,,<年#
分析 ! 利用解析函数及导数的性质%
证 明!因为-"##!6"##在单连通区域J内解析!故-"##$6"##也在
J内解析!且
’-"##6"##(4C-4"##6"##B-"##64"##
所以-"##$6"##是-4"##6"##B-"##64"##的原函数%对&-
$%%$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
/*J!得
?
/
&
’-4"##6"##B-"##64"##(A## ’-"##6"##(F/&
即 ?
/
&
-"##64"##A##-"##6"##F/&D?
/
&
6"##-4"##A#
"题<#!验证6"##C678#在复平面上解析!而6"##在复平面上不解
析%"东北大学&,,<年#
分析 ! 用0D<条件求解%
证明 !6"##C678#在复平面上解析!
因为678##)
$#’)’$#
&$
)$# #)’""456!$$678!#!)’$# #)""456!’$678!#
所以678##678!4L"’$456!6L"
而-
-!
"678!4L"##456!4L"!--"
"’456!6L"##’456!4L"即
678#不满足0D<条件!故6"###678#在复平面上不解析%
课后习题全解 !!!
8!"利用导数定义推出%
!#"#*#4C*#*D!"*为正整数#&!!!&#!" ##4CD!#&%
证明 !!#令-"##C#*!!-4"##CC7+
,#$,
"#B)##*D#*
)#
用数学归纳法证%"#*#4C*#*D!
当*C!时
-4"##CC7+
)#$,
"#B)##D#
)# CC7+
)#$,
)#
)#C
!C!$#!D!
即"#!#4C!$#!D! 成立%
设当*C(时!有 !!!!!"#(#4C(#(D!
则*C(B!时
"#*#4C "#(B!#4C "#$#(#4C#4$#(B#"#(#4
$&%$
第 二 章!解 析 函 数
C!$#(B#$($#(D! C#("(B!#C*#*D!
由数学归纳法原理知%
"#*#C*#*D!!"*为正整数#
&#令-"##C !#
-4"##CC7+
,#$,
!
#B)#D
!
#
)# CC7+
,#$,
D)#
#&B)#$#
)#
CC7+
,#$,
D!
#&B)#$#CD
!
#&
:&"下列函数何处可导,何处解析,
!#-"##C!&D$"&!!!&#-"##C&!-B-"-$&
-#-"##C!"&B$!&"& .#-"##C678!4L"B$456!6L"%
分析 ! 在某点可导%验证是否满足0D<方程即可%在#, 解析%
-"##在点#, 及含#, 的某邻域内处处可导%
解 !!#令/C!&!+CD"
@/
@!C
&!!!@/@"C
,!!@+@!C
,!!@+@"CD
!
满足 @/
@!C
@+
@"
!!@/@"CD
@+
@!
即 ! &!CD!9!CD!&
所以-"##在直线!CD!&
上可导!而在复平面上处处不
解析%
&#/C&!-!+C-"-
@/
@!C
=!&!!@/@"C
,!!@+@!C
,!!@+@"C
B"&
若 @/
@!C
@+
@"
!!@/@"CD
@+
@!
有 =!& CB"&
即 !&!CE!-"
$’%$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
即只在!&!E!-"C,上可导!但在复平面上处处不解析%
-#/C!"&!+C!&"
@/
@!C"
&!!@/@"C
&!"!!@+@!C
&!"!!@+@"C
!&
满足 @/
@!C
@+
@"
!!@/@"CD
@+
@!
即"&C!&!&!"CD&!"9"CE!! C,或"C,9!C
,!"C,
即只在#C,处可导!在复平面上处处不解析%
.#/C678!4L"!!+C456!6L"
@/
@!C
456!4L"!!@/@"C
678!6L"!!@+@!CD
678!6L"!
@+
@"C
456!4L"!!@/@!C
@+
@"
!!@/@"CD
@+
@!
%
故-"##在复平面上处处可导!处处解析%
:-"指出下列函数-"##的解析性区域!并求出其导数%
!#"#D!#<&!!!&#-B&$#&
-# !
#&D!
& .#2#B3;#B9
";!9中至少有一个不为,#%
分析 ! 考查关于连续-解析等基本性质%
解 !!#-"##C "#D!#<
-4"##C<"#D!#.!-"##在复平面内处处解析%
&#-"##C#-B&$#
-4"##C-#&B&$!-"##在复平面内处处解析%
-#-"##C !
#&D!
-4"##C D&#
"#&D!#&
!又#&D!C,!#CE!
除#CE!点外!-"##在复平面上处处解析%
.#-"##C2#B3;#B9
";!9中至少有一个不为,#
$(%$
第 二 章!解 析 函 数
-4"##C2
";#B9#D"2#B3#$;
";#B9#& C 29D3;
";#B9#&
若;C,!则处处解析%若;",!;#B9C,!#CD9;
!则除#
CD9;
点外!-"##在复平面上处处解析%
8.%求奇点%
!# #B!
#"#&B!#
&!!!!!&# #D&
"#B!#&"#&B!#
%
解 !!#由#"#&B!#C,得#C,!#CE$
奇点%,!E$
&#由"#B!#&"#&B!#C,!得#CE$!#CD!
奇点%E$!D!
:<"复变函数的可导性与解析性有什么不同,判断函数的解析性有
哪些方法,
分析 ! 考查连续-解析等基本性质%
解 ! 复变函数的可导性反映了函数在某一点的局部性质!而解析
性则反映了函数在一个区域内的整体性质%函数可 以 在 某
个区域内仅在一 点 处 可 导!在 这 个 区 域 内 的 其 他 点 均 不 可
导!此时在这一点处不解析&而如果说函数在某一点处解析!
则这个函数必定在这一点的某邻域内处处解析%因此!函数
在一点处解析与在这一点的领域内可导才是等价的%
判断函数的解析性有 两 种 常 用 方 法%"!#是 用 定 义!利 用 可
导性判 断 解 析 性&"&#是 用 定 理%函 数-"##C/"!!"#B
$+"!!"#在其定义域J内解析 1/"!!"#和+"!!"#在J内
任一点#C!B$"可微!且满足02<方程@/
@!C
@+
@"
!@/
@"CD
@+
@!
%
:="判断下列命题的真假%若真!请给以证明&若假!请举例说明%
!#如果-"##在#, 连续!那么-4"#,#存在&
$)%$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
&#如果-4"#,#存在!那么-"##在#, 解析&
-#如果#, 是-"##的奇点!那么-"##在#, 不可导&
.#如果#, 是-"##和6"##的一个奇点!那么#, 也是-"##B
6"##和-"##16"##的奇点&
<#如果/"!!"#和+"!!"#可导"指偏导数存在#!那么-"##C
/B$+亦可导&
=#设-"##C/B$+在区域J 内是解析的!如果/是实常数!那
么-"##在整个J内是常数&如果+是实常数!那么-"##在J内
也是常数%
分析 ! 考查关于连续解析等基本性质%
解 !!#命题为假%
例如!-"##C!B&7"在 复 平 面 内 任 一 点 连 续!但 不 满 足
02<方程!故-4"##不存在%
&#命题为假%
例如!-"##CF#F& 在#C,可导!但不解析%
-#命题为假%
例如!见上例!不解析的点叫奇点!但可能有导数%
.#命题为假%
例如!-"##C !
#D!
!6"##C D!
#D!
#, C!为-"##和6"##的一奇点!但不是-"##B6"##C,
和-"##16"##CD!的奇点%
<#命题为假%
例如!令/"!!"#C!&!+"!!"#C!"!则/"!!"#!+"!!"#均
可导!但@/
@!C
&!"@+@"C
!!于是-"##不可导%
=#命题为真%
已知-"##在J内解析 A#*J!有
-4"##C@/@!B
$@+
@!C
@+
@"D
$@/
@"
$*&$
第 二 章!解 析 函 数
且满足0A< 方程%@/
@!C
@+
@"
!@/
@"CD
@+
@!
%
又/C 常数 9@/@!C
,!@/
@"C
,9@+@!C
,!@+
@"C
,9+C 常
数
故-"##C/B$+C 常数%
;>"如果-"##C/B$+是#的解析函数!证明%
@
@!F-
"##" #F
&
B @
@"F-
"##" #F
&
CF-4"##F&
分析!考查解析函数的性质!利用0D<方程代入即可得到结果%
证明 ! 由-"##C/B7+得
F-"##FC /&B+! &
又由于-"##是解析函数
有 @/
@!C
@+
@"
!@+
@!CD
@/
@"
@
@!F-
"##FC
/@/
@!B
+@+
@!
/&B+! &
@
@"F-
"##FC
/@/
@"B
+@+
@"
/&B+! &
所以 ! @
@!F-
"##" #F
&
B @
@"F-
"##" #F
&
C
/@/
@!B
+@+
@!
/&B+!
3
4
6
7
&
&
B
/@/
@"B
+@+
@"
/&B+!
3
4
6
7
&
&
"将@/
@!C
@+
@"
!@+
@!CD
@/
@"
代入#
C
"/&B+& ’# @/
@" #!
&
B @+
@" #! (
&
/&B+& C @/
@" #!
&
B @+
@" #!
&
又由-4"##C@/@!B
$@+
@!!
可得
$!&$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
F-4"##F& C @/
@" #!
&
B @+
@" #!
&
左 C @/
@" #!
&
B @+
@" #!
&
C 右
得证%
小结 ! 解析函数的性质!涉及到函数求模!求偏导!求导数等!代
入即可%
8?"设:"-B*!&"B$"!-BK!"&#为解析函数!试确定K!:!*的值%
解 ! 设/C:"-B*!&"!+C!-BK!"&!则
@/
@!C
&*"!!@/@"C
-:"&B*!&!
@+
@!C
-!&BK"&!@+@"C
&K!"%
由0D<方程
&*"!C&K!"
-!&BK"& CD"-:"&B*!&. #
所以*CKCD-!:C!%
;B"证明%柯西A黎曼方程的极坐标形式是
@/
@)C
!
)
@+
@!
!@+
@)CD
!
)
@/
@!
分析 ! 运用复合函数求导的方法!再运用"D<方程作转换#%
证明 ! 由!C)456!!"C)678!
得 )& C!&B"&!!!C314D2"!
再由复合函数求导法则可得
@)
@!C
&!
& !&B"! &
C !
!&B"! &
C !)
!@)
@"C
"
)
!
@!
@!C
D"!&
!B "" #!
& C
D"
!&B"&
CD")&
!@!
@"C
!
)&
!
@/
@!C
@/
@)
$@)
@!B
@/
@!
$@!
@!C
@/
@)
$!
) B
@/
@!
$ D")" #&
$"&$
第 二 章!解 析 函 数
@+
@"C
@+
@)
$@)
@"B
@+
@!
$@!
@"C
@+
@)
$"
) B
@+
@!
$!
)&
@/
@"C
@/
@)
$@)
@"B
@/
@!
$@!
@"C
@/
@)
$"
) B
@/
@!
$!
)&
@+
@!C
@+
@)
$@)
@!B
@+
@!
$@!
@!C
@+
@)
$!
) D
@+
@!
$"
)&
由@/
@!C
@+
@"
!得
@/
@)
$!
) D
@/
@!
$"
)& C
@+
@)
$"
) B
@+
@!
$!
)&
即 !$@/
@)D"
$@+
@)C
!
)
$@+
@!B
"
)
$@/
@! !
由@/
@"CD
@+
@!
!得
@/
@)
$"
) B
@/
@!
$!
)& CD
@+
@)
$!
) B
@+
@!
$"
)&
即 "$@/@)B
!$@+
@)C
"
)
$@+
@!D
!
)
$@/
@! "
仅将@/
@)
及@+
@)
看做线性方程组中的!!!&!其余看做系数
2!!!2!& 等!联立求解 !"!得
@/
@)C
!
)
@+
@!
@+
@)C
D!
)
@/
@!
小结 ! 此题使用0D<方程时作转换要小心!最后要用到代数中
解线性方程组的知识%
:!,"证明%如果函数-"##C/B$+在区域J内解析!并满足下列条
件之一!那么-"##是常数%
!#-"##恒取实值&
&#-"##在J内解析&
-#F-"##F在J内是一个常数&
.#312-"##在J内是一个常数&
$#&$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
<#2/B3+C;!其中2!3与;为不全为零的实常数
分析 !!#使用02<方程和常数导数为,的知识%
&#使用0D<方程作转换%
-#利用&#的结论和0D<方程%.#利用0D<方程%
<#关键还是02<方程的使用%
证明 !!#-"##C/"!!"#B$+"!!"#> 实值
则 +"!!"#>,且@+
@!C
@+
@"C
,
-"##解析!则-"##满足02<方程%
@/
@!C
@+
@"
!@/
@"CD
@+
@!
于是 !!@/@!C
,!!@/@"C
,9/C 常数 !
-"##>002<%
注意%关键是使用02<方程%
由-"##C/B$+在J 内解析!有
@/
@!C
@+
@"
!@/
@"CD
@+
@! !
又 !-"##C/D$+在J 内解析得
@/
@!CD
@+
@"
!@/
@"C
@+
@! "
由 !-"!得 @/
@!C
@/
@"C
@+
@!C
@+
@"C
,
所以 -"##C0!B$0& >0
注意%使用0D<方程!和常数导数为零的知识%
-#若F-"##F>0
若-"##C,!-"##是常数%
若F-"##F>0",!则-"##",
于是 -"##$-"##C0&
即 -"##C 0&
-"##
也解析
$$&$
第 二 章!解 析 函 数
于是由&#!知 -"##>0
注意%-"##FC,与 ",两种情况%
.#设312-"##C!>0!则
+
/ CD2!CD20C049+C/
$04
上式分别对!及"求偏导!再用02<方程
9@/@!C
@+
@"C
04@/
@"
!@/
@"CD
@+
@!CD
04@/
@!
即
@/
@!D
04@/
@"C
,
04@/
@!B
@/
@"C
2
3
4
,
系数矩阵
! D04
04 !
C!B04& ",
由克拉默法则知 @/
@!C
@/
@"C
,
再由0A< 方程得 @+
@!C
@/
@"C
,
于是 />0!!+>0&
即 -"##C0!B$0&
要注意克拉默法则的使用条件%
<#若2",!由2/B3+C;!得
/C;D3+2
有 @/
@!CD
3
2
@+
@!
!!@/@"CD
3
2
@+
@"
由02<方程 @/
@!C
@+
@"
!!@/@"CD
@+
@!
于是 @+
@"CD
3" #2
&@+
@"
即 !! 3" #2
&
B’ (!@+@"C,
$%&$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
9@+@"C
,9@/@!C
@/
@"C
@+
@"C
@+
@!C
,
9/>0!!+>0&
9-"##C0!B$0&
注意0D<条件中!各个式的转化%
:!!"下列关系是否正确,
!#)# CL#&!!!!Lj#C456#&
-#678#C678#%
分析 ! 对等式左端和右端分别进行计算!再对两端进行比较%
解 !!#)# CL# 正确%因为
)# C)!"456"B$678"#C)!"456"D$678"#
C)! 456"D"#B$678"D"’ (#C)!)D$" C)!D$" C)#
Lj#C456#正确%因为
456#C456"!B$"#C456!4L"D$678!6L"
456#C456!4L"B$678!6L"
而456#C456"!B$"#C456"!D$"#C456!4L"B$678!6L"
所以 456#C456#
-#678#C678#正确%因为
678#C678"!B$"#C678!4L"B$456!6L"
C678!4L"D$456!6L"
678#C678"!B$"#C678"!D$"#
C678!4L"D"#B$456!6L"D"#
C678!4L"D$456!6L"
所以 678#C678#
注意%计算和各公式的应用!特别是和差化积%
8!&"找出下列方程的全部解%
!#678#C,&!!!!!Lj#C,&
-#!B)# C,& .#678#B456#C,%
解 !!#由678#C,!得
)$# D)D$# C,
$&&$
第 二 章!解 析 函 数
即 )&$# C!
故 #C*$"*C,!E!!E&!)#%
&#由456#C,得)$#B)D$# C,!即)&$# CD!!故
#C)&B*)!
"*C,!E!!E&!)#
-#由!B)# C,得)# CD!!故
#C "&*B!#)$!"*C,!E!!E&!)#
.#由678#B456#C,!得
!
&$
")$#D)’$##B!&
")$# B)’$##C,
即 )&$# CD$
故 #C*)D).!
"*C,!E!!E&!)#
8!-"证明%
!#456"#!B#&#C456#!456#&D678#!678#&&
678"#!B#&#C678#!456#&B456#!678#&&
ʦ&#B456&#C!&
-#678&#C&678#456#&
.#D2&#C &D2#
!DD2&#
&
<#678 )&D" ## C456#!456"#B)#CD456#&
=#F456#F& C456&!B6L&"!F678#F& C678&!B6L&"%
证明 !!#456#!456#&D678#!678#&
C)
$#!B)’$#!
&
$)
$#&B)’$#&
& D)
$#!D)’$#!
&$
$)
$#&D)’$#&
&$
C)
$"#!B#&#B)’$"#!B#&#
&
456"#!B#&#C)
$"#!B#&#B)’$"#!B#&#
&
所以 456"#!B#&#C456#!456#&D678#!678#&
同理 678"#!B#&#C678#!456#&B456#!678#&
$’&$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
&#左边 C )$# D)’$#" #&7
&
B )$# B)’$#" #&
&
C!C 右边
-#在!#678"#!B#&#C678#!456#&B456#!678#& 中!令#!C
#& C#可得-#%
.#右边C &678#1456#
!D678ְ&#C
&678#$456#
456&#D678&#
C
&)
$# D)’$#
&" #$
$ L
$#BLD7#" #&
)$# B)’$#" #&
&
D )$# D)’$#" #&7
&
C
)&$# D)’&$#
&7
)&$# B)’&$#
&
C678Lj&#CD2&#C
左边
<#左边 C678$&456
"D##B456$&678
"D##C456#C 右
边
左边 C456#456$D678#678$CD456#C 右边
=#F456#F& CF456!4L"D$678!6L"F&
C "456!4L"#&B"678!6L"#&
C456&!4L&"B678&!6L&"
C456&!"!B6L&"#B"!D456&!#6L&"
C456&!B6L&"
同理 F678#F& C678&!B6L&"
;!."说明%
!#当"$ W 时!F678"!B$"#F和F456"!B$"#F趋于无穷
大&
&#当1为复数时!F6781F(!和F4561F(!不成立%
分析 ! 将原问题转化为另处一个较简单的问题%
解 !!#456"!B$"#C456!4L"D$678!6L"
F456"!B$"#FC 456&!4L&"B678&!6L&! "
C "!D678&!#"!B6L&"#B678&!6L&! "
$(&$
第 二 章!解 析 函 数
C 456&!B6L&! ")F6L"F
6L"为奇函数!只须证%"0,时!6L"0"!则有F6L"F0
F"F!从而得
F456"!B$"#F0F"F
即得 "$ W 时!F456"!B$"#F$ W
下证%"0,时!6L"0"!而这是个高等数学问题%
令-"#C6L"D"!-4"#C4L"D!0,
所以 -"#B"当"0,时 #
而 -",#C6L,D,C,
所以 -"#0-",#C,
即 6L"0"!"当"0,时#
关于F678"!B$"#F为无穷大"当"$ W#!也可类似证明%
&#当1为复数时!F6781F(!和F4561F(!不成立!以456#
为例
456#F#C$ C)
$$$$)’$$$
& C)
’!$)
& C!%<.>!
所以 F456#F#C$0!
小结 ! 关键在于找出一个较简单的问题来代替原问题%
:!<"求T8"’$#!T8"’-$.$#和它们的主值%
分析 ! 运用求主值的公式%
解 !T8"’$##C8U’$U$$012"’$#$$"&($#
C,D$&$B&($$
C &(D" #!& $$!"(C,!E!!E&)#
所以主值为D$&$%
T8"D-B.$#CC8FD-B.$U$$012"’-$.$#
CC8<$$314D2’" #.- B&($$
$)&$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
CC8<$$$’314D2" #.- B&($$
CC8<$$314D2.-B
"&(B!#$$
"(C,!E!!E&!))#
所以主值为C8<$$"$’314D2.-
#%
:!="证明对数的下列性质%
!#T8"#!#&#CT8#!BT8#&&
&#T8#!#" #& CT8#!DT8#&%
分析 ! 运用公式将#!!#&!分开!再分别组合%
证明 !!#T8"#!#&#CC8F#!#&FB$012"#!$#&#B&($$
CC8F#!FBC8F#&FB$012#!B&K$$
!$$012#&B&:$$
CT8#!BT8#& "(!K!:*"#
&#T8#!#" #& CC8#!#& B$012#!#" #& B&($$
CC8F#!FDC8F#&FB$012#!D$012#&B&($$
CT8#!DT8#& "(*"#
注意%运用012
#!
#" #& C012#!D012#&B&()$
:!>"说明下列等式是否正确
!#T8#& C&T8#&!!!!!!!&#T8!#C !&T8#%
分析 ! 将#转化为)L$! 形式再进行比较%
解 !!#不正确%因为
由 !#C))$!!#& C)&)$&!
T8#& CC8F#&FB$"&!B&($#
T8#& C&C8)B$"&!B&($#"(C,!E!!E&!)# !
T8#CC8F#FB$"!B&($#
&T8##&T8)$$"&!$.($#"(#,!/!!/&!)# "
$*’$
第 二 章!解 析 函 数
比较式!与式"发现%式!的值比式"的值要多一些%
&#不正确%因为
!
&T8##
!
&
.C8)$$"!$&($#0#!&)8)$$
!
&$E" #$
"(#,!/!!/&!)#
!##!))
!$&K$
& $"K#,!#!即!#的两个 值 为!))
$!
& 与#’!))
$!
&3
于是T8!#有两个无穷值%
第一组为
T8"!))
$!
&#C8!)$$ !&$&(!" #$ #!&C8)$$ !&$&(!" #$
"(!#,!/!!/&!)#
第二组为
T8"!))
$!$&)
& ##C8!)$$ !&$$$&(!" #$
#!&C8)$$
!
&$
"&(&$!#’ ($
"(&#,!/!!/&!)#
虽然当(#&(!!"(!#,!/!!/&!)#时!!
&T8#
与第一组无
穷值函数相同!当(#&(&$!"(&#,!/!!/&!)#时!
&T8#
与第二组无穷值函数相同!但T8!#与!
&T8#
是两个不同的
无穷值函数%
8!?%求)!’$
$
&!)QR’"!$$$#1.(!-$ 和"!$$#$ 的值%
解!!#)!’7
$
&#)$)’$
$
&#)456 ’$" #& $$678 ’$" #’ (& #’$)
&#)QR’"!$7$#1.(
#)QR !.$
$
." #$ #)!. 456$.$7678$" #.
#)
!
. !&
&$$
!&" #& #!&&)
!
."!$$#
$!’$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
-#-$#)7C8-#)$’C8-$&($7(#)$C8-’&($
#)’&($)7C8-#)’&($"456C8-$7678C8-#
"(#,!/!!/&!)#
.#"!$$#$#)$T8"!$$##)$.C8&!$$&$$’012"!$$#$&($(0
#)$"!C8&$$
)
.$7&()##)$ !C8&$$
&"$.$&($#
#)$ !C8&’"
$
.$&($##)’"
$
.$&($#$)$ !C8&
#)’"
$
.$&($#456C8&&$$678
C8&" #&
"(#,!/!!/&!)#
:!B%证明%!"#2#4#2#2’!!其中2为实数%
分析!将#转化为)的指数形式!再用复合函数求导%
证明!"#2#4#")2T8V#4#)2T8VAA#
"2C8####2$2$!##2#
2’!
:&,%证明%!
!#4L&#’6L&##!&!!!!!L&#$4L&##4L&#&
-#6L"#!$#&##6L#!4L#&$4L#!6L#&&
4L"#!$#&##4L#!4L#&$6L#!6L#&%
分析!还是将6L和4L转化为)# 和)’#的和与差%
证明!!#4L&#’6L&## )
’#$)#" #&
&
’ )
#’)’#" #&
&
#)
’&#$)&#$&
. ’)
’&#$)&#’&
. #!
L&#$4L&## )
#’)’#" #&
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$ )
#$)’#" #&
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& #4L&#
-#!6L#!4L#&$4L#!6L#&
#)
#!’)’#!
&
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&
$"’$
第 二 章!解 析 函 数
#&)
#!)#&’&)’"#!$#&#
. #)
#!$#&’)’"#!$#&#
& #6L"#!$#&#
4L#!4L#&$6L#!6L#&
#)
#!$)’#!
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#!’)’#!
&
$)
#&’)’#&
&
#)
#!$#&$)’"#!$#&#
& #4L"#!$#&#
:&!%解下列方程%
!#6L##,&!!!!L##,&!!!!-#6L##7%
分析!将6L和4L转化为三角函数形式%
解!!#6L##!$678$##’$678$#
!6L##,!
即
678$##,
由!!678$##678’$"!$$"#(#678"’"$$!#
#678"’"#4L!$$456"6L!#,
9
678"’"#4L!#,
456"6L!. #,
!
"
在式!中!4L!",9678"#,9"#($"(#,!/!!)#代入
式"456"($#6L!#,!"/!#6L!#,
96L!#,9!#,
9##!$7"#,$$($#($7! "(#,!/!!/&!)#
L##456"$###,
9456"$###456’$"!$$"#(#456"’"$$!#
#456"’"#4L!’$678"’"#6L!
#456"4L!$$678"6L!#,
9
4L!456"#,
678"6L!. #,
#
+
4L!",!由式#9456"#,
9"#($$$&
!(#,!/!)
$#’$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
代入式+!得!678($$$" #& 6L!#,
9"/!#6L!#,96L!#,9!#,
9##!$7"#,$$ $&$(" #$ #$$$&($& #&($!& $$
"(#,!/!!/&)#
-#由!#的推导过程知
6L##’$678$##"’$#"’678"4L!$$456"6L!##$
9
678"4L!#!
6L!456". #,
,
-
由式-!若6L!#,!得
)!’)’!
& #,9!#,
将!#,代入式,得
!$678"#!9"#&($$$&
若456"#,!得"#($$$&
!代入式,!得
678($$$" #& 4L!#!
94L!#/!
又4L!0,恒成立!舍去4L!#’!
94L!#!9!#,!"#&($$$&
9##!$$"# &($$$" #& $! "(#,!/!!/&!)#
8&&%证明教材中式"&%-%!B#与"&%-%&,#%
证明!4L$"#)
$"$)’$"
& #456"$$678"$456"’$678"& #456"
6L$"#)
$"’)’$"
& #456"$$678"’456"$$678"& #$678"
4L$"#456"!6L$"#$678"
"&%-%!B#得证%
$$’$
第 二 章!解 析 函 数
4L"!$7"##456$"!$7"##456"’"$7!#
#456"’"#456$!’678"’"#678$!
#456"4L!$$678"6L!
6L"!$7"##$678’"!$7"#"’7#(#$678"’7!#
#$678"456$!’$456"678$!
#6L!456"$$4L!678"
"&%-%&,#得证%
;&-%证明6L#的反函数016L##T8"#$ #&! $!#%
分析!用##6L’!然后将6L’用指数的组合写出!再求出#%
证明!设##6L,!则
,#016L#
又##6L,#!&
"),’)’,#!于是
)&,’&#),’!#,
),##$ #&! $!
,#T8"#$ #&! $!#
即 016L##T8"#$ #&! $!#
小结!这里用到解一元二次方程的知识%
;#&.%已知平面流速场的复势-"##为
!#"#$7#&&!!!&#-&!!!-# !#&$!%
求流动的速度以及流线和等势线的方程%
分析!求出-4"##和-4"##然后用公式
求流动的速度以及流线和等势线的方程%
解!!#-"###"#$$#&#"!$"7$7#&
#!&’"$!#&$&!"$!#$
-4"###&"#$$#!+#-4"###&"#’$##&!’&"$!#$
流函数 0"!!"##&!"$!#
流线方程 !"$!##;! 即"#
;!
!’!
$%’$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
势函数 ("!!"##!
&’"$!#&
等势线方程 !&’"$!#&#;&
速度方程为 +"###&"#’$#
&#-"####-#"!$"$#-
#!-’-!"&$$"-!&"’"-#
-4"###-#&#-"!&’"&$&!"$#
+#-4"###-#&#-"!&’"&’&!"7#
流函数 0"!!"##-!&"’"-
流线方程 "-!&’"&#"#;!
势函数 ("!!"##!"!
&’-"&#
等势线方程 !"!&’-"&##;&
速度方程为 +"###-#&
-#-"### !
#&$!#
!&’"&$!’&!"$
"!&’"&$!#&$.!&"&
-4"###’ &#
"#&$!#&
+#-4"###’&
"!’"$#"!&’"&$!$&!"$#
’"!&$"&$!#&$.!&"&(&
流函数 0"!!"## ’&!"
"!&’"&$!#&$.!&"&
流线方程 !"
"!&’"&$!#&$.!&"&
#;!
势函数 ("!!"##
!&’"&$!
"!&’"&$!#&$.!&"&
等势线方程 !&’"&$!
"!&’"&$!#&$.!&"&
#;&
速度方程式 +"###’ &#
"#&$!#&
小结!注意各公式的运用及计算%
$&’$
!第三章
复变函数的积分
内容提要
!
一!复变函数积分的概念
!%复积分的概念与性质
设函数,#-"##定义在区域J内!0是J 内起点为&终点为
/的一条光滑的"或分段光滑的#有向曲线!把曲线0任意分成
*个弧段!设分点为
&##,!#!!#&!)!#(’!!#(!)!#8 #/!
在每个弧段#(’!#D E
("(#!!&!)!*#上任意取一点.(!并作和式
M* #F
*
(#!
-".(#"#(’#(’!##F
*
(#!
-".(#)#(%
这里 )#( ##( ’#(’!!用 )N( 表 示 弧#(’!#D E
( 的 长 度!" #
+3Q
!(((*
.)N(0%当"$,时!如果不论对0的任何分法及.( 的取法
如何!M* 有惟一极限!那么称这极限值为函数-"##沿曲线0的
积分!记住
?N
-"##A##C7+
.$,F
8
EC!
-".(#)#(%
$’’$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
若-"###/"!!"#$$+"!!"#在区域J 内连续!则上述积分存
在!而且
?0
-"##A##?0
/A!’+9"$$?0
+9!B/9"%
复积分有许多与高等数学中曲线积分相似的性质!如
?0
-"##A# (?0
F-"##UUA#U#?0
U-"##UAN(IO
这里O为有向曲线0的长度!I#+3Q
#*0
&-"V#&!&A#&表示弧长
的微分!即
&A#&# "A!#&$"A"#! &#AN%
&%复变函数的计算
"!#化为两个二元实变函数的第二类线积分%
?0
-"##A#C?0
/A!’+A"$$?0
+A!B/AP&
"&#利用曲线0的参数方程将它化为定积分!设积分路径0由
参数方程###"1#"&(1(/#给出!起点5对应于’!终点X
对应于/!则
?0
-"##A"##C?
/
’
-’#"1#(#4"1#A1
二!柯西D古萨基本定理
!%柯西D古萨基本定理
设-"##在单连域7内解析!0为7 内任一闭曲线!则
G0
-"##A##,%
&%基本定理的推广
"!#设-"##在单连域7内解析!在闭区域/7上连续!0为7 的
边界曲线!则
G0
-"##A#C,%
"&#复合闭路定理!设-"##在多连通域J 内解析!0为J 内
$(’$
第三章!复变函数的积分
任一简单闭曲线!0!!0&)!0* 是0 内的简单闭曲线!它们
互不包含也互不相交!并且以0!0!0&!)N* 为边界的区域
全含于J 内!则
!G0
-"##A##F
*
(#!G0(
-"##A#!其中0与0( 均取正向&
"G1-"##A##,!其中0为由0及N("(#!!&!)!*#所组
成的复合闭路%
-%不定积分与原函数
若-"##在单连通区域J内解析!0是J内的光滑曲线!则积分
?0
-"##A#只与0的起点#,和终点#有关!固定起点#,!则P"##
#?
#
#,
-".#A.是J 内的单值函数%
"!#P"##在J内解析!且PS"###-"##!则称P"##是-"##在J
内的一个原函数%
"&#若P"##是-".#的一个原函数!则
?
#
#,
-".#A##P".#’P"#,#%
这与定积分中的牛顿’莱布尼兹公式类似!且有与之类似
的分部积分公式
?
#!
#,
-"##2S"##A##-"##2"##
#!
#,
’?
#!
#,
-S"##6"##A#
和换元公式
?
#!
#,
-’("##((S"##A##?
#!
#,
-’("##(A("##
#P’("#!#(’P’("#,#(
其中!("##是单值解析函数%
三!柯西积分公式
!"柯西积分公式
设-"##在区域J 内解析!0为J 内任一正向简单闭曲线%其
$)’$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
内部完全含于J!#, 为0内任意一点!则
-"#,## !
&$$G0
-"##
#D#,
A#%
柯西积分公式给出了解析函数-"##的一个积分表达式%它表
明!只要-"##在 区 域 边 界 上 的 值 一 经 确 定!那 么 它 在 区 域 内
部任一点处的值就完全确定%它反映了 解 析 函 数 在 区 域 内 部
的值与其在区域边界上的值之间的密 切 关 系!是 解 析 函 数 的
重要特性%
&"高阶导数公式
在柯西积分公式同样的条件下!我们有
-"*#"#,##*
4
&)$G0
-"##
"#’#,#*$!
A#!!"*#!!&!)#%
高阶导数公式表明!在区域J内的解析函数!其导函数仍是J
内的解析函数!而且具有任意阶导数%这是解析函数区别于可
微实变函数的又一重要特性%
利用上述两个公式!我们可以将教材第三章Y!例&中的公式
推广到一般情形%
G0
A#
"#’#,#*$!
#
&)$!*#,!
,!*". ,%
其中0为包含#, 的任一简单正向闭曲线%
四!解析函数与调和函数
!%定义
"!#调和函数%如果二元实函数("!!"#在区域J 内具有二阶
连续偏导数!且满足拉普拉斯"T3RC34)#方程%
@&(
@!&$
@&(
@"&
#,
则称("!!"#为区域J内的调和函数%
若-"###/$$+为解析函数%则其实部/和虚部+都是调
和函数%反之!若/!+为任意二个调和函数!则/$$+不一
$*($
第三章!复变函数的积分
定是解析函数%
"&#共轭调和函数%设/"!!"#为区域J内给定的调和函数!我
们把使/$$+在J 内构成解析函数的调和函数+"!!"#称
为/"!!"#的共轭调和函数%
若+是/的共轭调和函数!则’/是+的共轭调和函数%
&%关系
任何在区域J 内解析的函数!它的实部和虚部都是J 内的调
和函数&且虚部为实部的共轭调和函数%
调和函数在诸如流体力学和电磁场理论等实际问题中!有着重
要的应用%又由于解析函数与调和函数的密切联系!使我们可
以借助于解析函数的理论去解决调和函数的问题%
-%求解方法
已 知调和函数/"!!"#或+"!!"#求解析函数-"###/$$+的
方法
"!#不定积分法
因为 !!-S"###/!$$+! #/!’$/" #+"$$+!
即 !!!-S"###/!’$/" #O"##!-S"###+"$$+! #
+"##
所以 -"###?O"##A#$;
-"###?+"##A#$;
"&#线积分法
若已知实部/#/"!!"#!利用N’(方程可得A+#@+@!A!$
@+
@"A"#’
@/
@"A!$
@/
@!A"
!故虚部为
+#?
"!!"#
"!,!",#
’@/@"
A!$@/@!
A"$0%
由于该线积分与路径无关!可选简单路径"如折线#计算它!
其中"!,!",#与"!!"#为7内的点%若已知虚部+!可用类似
$!($
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
方法求得实部/%
典型例题与解题技巧
"例!#!计算积分G
;
"#’2#*A#!其中;为不经过点2的正向简单闭
曲线!*为整数%
解题分析!此例由于没有明确给出积分路径;!我们必须就点2与;
的位置关系以及"#’2#* 的解析情况!利用复积分基本定
理与复积分计算公式来完成此题%
解题过程!当*),时!函数"#’2#* 在复平面内处处解析!所以由柯
西’古萨定理得G
;
-"##A##,%同样!当2不在;内时!对
任何整数*!"#’2#* 在以;为边界的闭区域上 解 析!从
而G
;
"#’2#*A##,%
下面仅讨论*’,且2在;内的情形%
当2在;内部时!则在;内挖去2的邻域%&#’2&’$!由
复合闭路定理及复积分计算公式得
G
;
"#’2#*A##G
F#D2FC$
"#D2#*A#C?
&$
,
$
*)$*!$$7)
$!A!C
$*B!?
&$
,
)$"*B!#!A!
而当*CD!时 !?
&$
,
)$"*B!#!A!C&$
当*"D!时 ?
&$
,
)$"*B!#!A!C !
"*B!#$
)$"*B!#!
&$
,
C,
故上述讨论可总结如下%
G;"#D2#*A#C
,!!*"D!
&$$!*CD!!2在;内
,! *CD!!2不在;
2
3
4 内
"例&#! 计算积分G;
678$.#
#&D!
A#%
$"($
第三章!复变函数的积分
"!#0%&#$!&#!&
&
"�%&#’!&#!&
&
"-#0%&#&#&%
解题分析!计算积分时用柯西积分公式及复合闭路定理
678$.#
#&D! C
678$.#
"#B!#"#D!#
解题过程 ! "!#G
F#B!FC!&
678$.#
#&D!
A#C G
F#B!FC!&
678$.#
!#D!!
#B!
A#
C&$$
678$.#
#D!
#CD!
C!&&$$
"&#令-"##C
678$.#
#B!
!则
!G
0
678$.#
#&D!
A#CG
0
-"##
#D!
A#C&$$-"!#
C&$$$!&. C
!&
&$$
"-#由复合闭路定理
!G
F#FC&
678$.#
#&D!
A#C G
F#B!FC!&
678$.#
#&D!
A#BG
F#D!FC!&
678$.#
#&D!
A#
C!&&$$B
!&
&$$C!&)$
"例-#! 证明下列命题%
$#($
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
"!#柯西不等式 ! 设-"##在区域J内解析!#, *J!圆周
0)%F2D#,FC)及其内部全含于J!则F-"*#"#,#F(
*4I")#
)*
!其中 I")#C +3Q
F#D#,FC)
F-"##F&
"&#刘维尔$T75OH7C)%定理!若-"##在复平面上解析且有
界!则-"##必恒为常数"
分析! "!#柯西不等式是关于在J内的解析函数的*阶导数的不等
式!因此!它的证明需要利用解析函数的高阶导数公式"
由于该公式是关于-"*#"#,#的积分表达式!所以在估计F
-"*#"#,#F的过程中还要利用积分的不等式性质"
"&#为了证明-"##在复平面上恒为常数!只要证明-4"##>
,%为此!利用"!#中的柯西不等式可得
F-4"#,#F(I
")#
) (I)
!其中I为F-"##F在复平面上
的上界"再令)$BW!即可证明该结论"
证明 ! "!#应用高阶导数公式与积分的不等式性质可得!
F-"*#"#,#FC *4
&$$G
0)
-"##
"#D#,#"*B!#
A#
(*
4
&$G
0)
F-"##F
F#D#,F*B!
AN(*
4
&$
I")#
)*B!G
0)
AN
C*
4
&$
I")#
)*B!
$&$)C*
4I")#
)*
"&#设F-"##F(I!#, 为复平面上的任意一点"由于对任何
)!I")#(I!故由柯西不等式知!对任何)都有
F-4"#,#F(I)
令)$BW!即得-4"#,#C,%根据#, 在复平面上的任意
性!所以在复平面上恒有-4"##C,!从而得知-"##恒为
常数"
注 ! 柯西不等式和刘维尔定理在复变函数中有许多重要的
应用!因而是两个重要的结论"
$$($
第三章!复变函数的积分
"例.#! 求积分*CG
0
!
#-"#B!#"#D&#
A#的值!其中0为F#FC)!
)"!!&%
解题分析 ! 利用解析及复合闭路定理%
解题过程 ! "!#当,’)’!时!设-"##C !
"#B!#"#D&#
!那么
-"##在0内解析"所以
*CG
0
-"##
#- A#C
&$$
&4-Q
",#
而
-Q"##CD=#
&D=#B=
"#&D#D&#-
!!-Q",#CD-.
所以
*CD-.$$
"&#当!’)’&时!作圆0,-0!!如图-D!"3#!这时!根
据复合闭路定理!得
*CG0,
A#
#-"#B!#"#D&#BG
0!
A#
#-"#B!#"#D&#
CD-$$. B&$$6
"D!# 6"##C !
#-"#D&" ##
CD-$$. B&$$
!
#-"#D&’ (##CD!
CD-$$. B
&$$
- CD!!&$$
"-#当)0&时!作圆0,-0!-0&!如图-D!"I#!这时
*CG
0,
BG
0!
BG
0&
右端第一-第二两个积分的和就是"&#中的结果!即
等于
D$$!&"
在右端第三个积分中!设
$%($
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
图-D!
-"##C !
#-"#B!#
这个函数在0& 内处处解析!根据柯西积分公式!有
!!!!G
0&
CG
0&
!
#-"#B!#"#D&#
A#
C&$$-"&#C&$$ !
#-"#B!’ (##C&
C$$!&
所以
*CD!!&$$B
!
!&$$C,
"例<#!设/#!&’"&$!"为调和函数!试求其共轭调和函数+"!!
"#及解析函数-"###/"!!"#$$+"!!"#%
解题分析!本题有三种解法%利 用0’<条 件&线 积 分 法&不 定 积 分
法%我们在这里用0’<条件来解题%
解题过程!利用0’<条件
@/
@!C
&!B"!!!@/@"CD
&"B!
@&/
@!&
C&! @&/
@"&
CD&
故/"!!"#满足T3RC34)方程!又
@+
@!CD
@/
@"C
&"D!!!@+@"C
@/
@!C
&!B"
$&($
第三章!复变函数的积分
所以+C?"&"D!#A!B("#C&!"D!
&
&B(
"#
@+
@"C
&!B(4"#C&!B"
(4"#C"!!("#C
"&
&B0
故 +"!!"#C&!"D!
&
&B
"&
&B0!
"0为任意常数#
所以-"##C/"!!"#B$+"!!"#
C "!&D"&B!"#B$"&!"D!
&
&B
!
&"
&#B$0
C "!&B&$!"D"&#D!&$
"!&B&$!"D"&#B$0
C "!B$"#&D!&$
"!B$"#&B$0
C !&
"&D$#&B$0
"例=#!设R"!!"#具有二阶连续的偏导数!-"##C/B$+是#C!
B$"的解析函数!试证明
@&R
@!& B
@&R
@"&
C @&R
@/& B
@&R
@+" #& $F-4"##F&
并由此推证!对任意的G0,有
@&F-"##FG
@!& B@
&F-"##FG
@"&
CG&F-"##FGD&F-4"##F&%
分析 ! 由复合函数 求 导 法 则 结 合 解 析 函 数-"##的 性 质!如@
&/
@!&B
-&/
-"&
C,!-
&+
-!&B
-&+
-"&
C,!-/-!
-+
-!B
-/
-"
-+
-"C
,!-/
-!C
-+
-"
!-/
-"
CD-+-!
!-4"##C-/-!B
$-+
-!C
-/
-!D
$-/
-"
等可直接验证结论
"然后把要推证 的 结 果 与 所 得 结 论 相 比 较!取 R"!!"#CF
-"##FG C "/&B+&#G1& 即可%
证明 !因-"##C/B$+是#的解析函数!所以+为/的共轭调和函
$’($
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
数而且-4"##C-/-!B
$-+
-! C
-/
-!D
$-/
-"
%
于是由 !-R-! C
-R
-/
-/
-!B
-R
-+
-+
-!
-&R
-!&
C -&R
-/&
-/
-!B
-&R
-/-+
-+
-" #! -/-!B-R-/-
&/
-!&
!B -&R
-+-/
-/
-!B
-&R
-+&
-+
-" #! -+-!B-R-+-
&+
-!&
-&R
-"&
C -&R
-/&
-/
-"B
-&R
-/-+
-+
-" #" -/-"B-R-/-
&/
-"&
!B -&R
-+-/
-/
-"B
-&R
-+&
-+
-" #" -+-"B-R-+-
&+
-"&
"在-
&R
-!&
中将!换为"即可#
得 !-
&R
-!& B
-&R
-"&
!! C-
&R
-/&
-/
-" #!
&
B -/
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&
B&-
&R
-/-+
-/
-!
-+
-!B
-/
-"
-+
-" #"
!!!B-
&R
-+&
-+
-" #!
&
B -+
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&
B-R-/
-&/
-!&B
-&/
-"" #&
!!!B-R-+
-&+
-!&B
-&+
-"" #&
!! C -&R
-/& B
-&R
-+" #& -/
-" #!
&
B -/
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&
!! C -&R
-/& B
-&R
-+" #& $F-4"##F&
若令R"!!"#CF-"##FG C "/&B+&#G1&!则
-&F-"##FG
-!& B-
&F-"##FG
-"&
C -&"/&B+&#G1&
-/& B-
&"/&B+&#G1&
-+’ (& $F-4"##F&
CG&"/&B+&#
GD&
& -4"##&
CG& -"##GD& -4"##&
$(($
第三章!复变函数的积分
历年考研真题评析!
"题!#! 计算?0
)#
#"!D##-
A#!其中0是不经过,与!的闭光滑曲线%
"大连工学院&,,<年#
解题分析 ! 分情况讨论解决此题%
解题过程 ! 分以下四种情况讨论%
!S若 封 闭 曲 线0 既 不 包 含,也 不 包 含!!则-"##C
)#
#"!D##-
在0内解析!由柯西D古萨基本定理!有
?0
)#
#"!D##-
A#C,
&S若,在0内而!在0外’如图-D&"3#(!则-"##C
)#
"!D##-
在0内解析!据柯西积分公式有
?0
)#
#"!D##-
A#C?0
)#1"!D##-
# A#
C&$$$ )#
"!D##- #C,
C&$$
-S若!在0内而,在0外!则-"##C)
#
#
在0内解析!据
高阶导数公式有
?0
)#
#"!D##-
A#C?0
)#1#
"!D##-
A#C?0
D )#1#
"#D!#-
A#
C&$$&4
’D-Q"!#(
C$$
"#&D&#B&#)#
D#- #C!
CD)$$
.S若,和!都在0内!则分别以,! 为圆心!以$0,为
半径作圆0!!0&!使0! 和0& 也在0内’如图-D&"I#(!
且0! 与0& 互不相交!互不包含%据复合闭路定理有
$)($
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
图-D&"3#
?0
)#
#"!D##-
A#C?0!
)#
#"!D##-
A#B?0&
)#
#"!D##-
A#
积分 !?0!
)#
#"!D##-
A#即为&S的结果&$$!
!!?0&
)#
#"!D##-
A#即为-S的结果D)$$!
所以 !?0
)#
#"!D##-
A#C "&D)#$$
图-D&"I#
"题&#! 计算积分 ?F#FC)
!
"#D2#*
A#
其中)0,!*是整数!F2F")%"复旦大学&,,<年#
解题分析 ! 利用柯西定理计算积分%
解题过程 ! "!#F2F0)时!-"##C !
"#D2#*
在F#F()上解析!
所以
G
F#FC)
!
"#D2#*
A#C,
$*)$
第三章!复变函数的积分
"&#F2F’)时!2属于区域F#F()!
G
F#FC)
!
"#D2#*
A#C
&$$!*C!
,!*". !
"题-#!如果-"##在&#&(2上解析!在&#上!有&-"##&0:!且
&-",#&’:!其中2及: 为正数%证明%-"##在&#&’2内至
少有一个零点%"东北大学&,,<年#
分析!用反证法%
证明!假设-"##在&#&’2内无零点!已知在&#上!&-"##&0:
0,!且-"##在&#&(2上解析!则 !
-"##
在&#&(2上也解析!由
N3O4LP积分公式知%
!
-",#C
!
&$$G
U#FC2
!
-"##
#D,
A## !
&$$G
U#FC2
!
#-"##
A#
所以 !
-",##
!
&$$GF#FC2
!
#-"##
A#
( !&$
$G
U#FC2
!
F#-"##F
A#’ &$2&$:2#
!
:
即&-",#&):!这与已知-",#’:矛盾!得证%
"题.#!设/"!!"##)!"!456"’"678"#!
"!#试证明/"!!"#是复平面0上调和函数&
"&#求0上一个解析函数!使 其 实 部 恰 为/"!!"#%"吉 林 大
学&,,<年#
解题分析!此题考查知识点为调和函数及N’(条件%
解题过程!/"!!"##)!"!456"’"678"#
"!#-/-!#)
!’"!$!#456"’"678"(
-&/
-!&
#)!’"!$Lj"’"678"(
-/
-"#’)
!’"!$!#678"$"456"(
$!)$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
-&/
-"&
#’)!’"!$Lj"’"678"(
即 -&/
-!&
$-
&/
-"&
#,
故/"!!"#是复平面0上调和函数%
"&#设-"!!"##/"!!"#$$+"!!"#为0上 一 个 解 析 函
数!则由0’<条件!有
-+
-" C
-/
-! C
)!’"!B!#456"D"678"(
+C?)!’"!B!#456"D"678"(A"B("!#
#)!’!678"B"456"($("!#
且 -+
-! CD
-/
-"
所以 )!’"!$!#678"$"456"($(4"!#
#)!’"!$!#678"$"456"(
故 (4"!##,!!("!##;
+"!!"##)!’!678"$"456"($;
!!-"!!"##/"!!"#$$+"!!"#
#)!’"!$$"#456"$"!$$"#$678"($$;
##)#$$;
"题<#!设/"##是.,’&#&’W0上的调和函数!满足/"###/"&#&#!
试求/"##的一般形式%"复旦大学&,,=年#
解题分析!利用高阶求导及调和函数的性质求解%
解题过程!令##!$$"!则-#-!#!
!-#
-"#$
!
由/"###/"&#&#!得
/!#/4"###/4"&#&#!&#&
/"#/4"###/4"&#&#"&#
2
3
4 &
$")$
第三章!复变函数的积分
从而
/!!#/Q"###/Q"&#&#!
&
&#&&
$/4"&#&#$ "
&
&#&-
/""#’/Q"###/Q"&#&#"
&
&#&&
$/4"&#&#$ !
&
&#&
2
3
4
-
因为/为调和函数!所以
/!!$/""#/Q"&#&#$
/4"&#&#
&#& #,
从而 /Q"&#&#
/4"&#&##’
!
&#&
/4"&#&## ;&#&9/
"&#&##;C8&#&$9
易证该函数为调和函数%
又/"###/"&#&#!所以/"##的一般形式为
/"###;C8&#&$9
课后习题全解!!!
8!%沿下列路线计算积分?-$7, #&A#%
!#自原点至-$$的直线段&
&#自原点沿实轴至-!再由-沿直向上至-$$&
-#自原点沿虚轴至$!再由$沿水平方向向右至-$$%
解!!#所给路线的参数方程为%##"-$$#1!,(1(!!起点参数1#
,!终点参数1#!%由复积分计算公式%
?
-B$
,
#&A#C?
!
,
’"-B7#1(&’"-B7#1(4A1
C "-B$#-?
!
,
1&A1C !-
"-B$#- C=B&=-$
&#自原点沿实轴至-这一段路线;!的参数方程为%#C-1!,(
1(!!由-沿直向上至-B$这一段路线;& 的参数方程为%#C
-B1$!,(1(!%由公式%
?
-B$
,
#&A#C?;!#&A#B?;&#&A#
$#)$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
C?
!
,
"-1#&"-1#4A1B?
!
,
"-B1$#&"-B1$#4A1
C&>?
!
,
1&A1B$?
!
,
"BB=1$D1&#A1
C&>-BB$D-D
!
-$C=B
&=
-$
-#自原点沿虚轴至$这一段路线;! 的参数方程为%#C1$!,(
1(!!由$,沿水平方向向右至-B$这一段路线;& 的参数方程
为%#C1B$!,(1(-%由公式%
?
-B$
,
#&A#C?;!#&A#B?;&#&A#
C?
!
,
"1$#&"1$#4A1B?
-
,
"1B$#&"1B$#4A1
CD$?
!
,
1&A1B?
-
,
"1&B&$1D!#A1
CD$-B
&>
-BB$D-C=B
&=
-$
8&%分别沿"C!与"C!& 算出积分?
!B$
,
"!&B$"#A#的值%
解 !!#路线"C!的参数方程为
!C1
"C1. !,(1(!
!或#C1B$1!
,(1(!!这样A#C "!B7#A1%由公式%
?
!B$
,
"!&B$"#A#C?
!
,
"1&B$1#"!B$#A1
C "!B$
H
I
#?
!
,
1&A1B$?
!
,
1A
J
K
1 CD!=B
<
=$
&#路线"C!& 的参数方程为
!C1
"C1&. !
,(1(!!或#C1B
$1&!,(1(!!这样A#C "!B&$1#A1%由公式%
?
!B$
,
"!&B$"#A#C?
!
,
"1&B$1&#"!B&$1#A1
C "!B$#"?
!
,
1&A1B&$?
!
,
1-A1#
$$)$
第三章!复变函数的积分
CD!=B
<
=$
;-%设-"##在单连通域7内处处解析!0为7内任何一条正向简单
闭曲线!问
G()’-"##(A#C,!G*+’-"##(A#C,
是否成立,如果成立!给出证明&如果不成立!举例说明%
分析 ! 运用解析性质!并利用积分路径和找出个较好的特例%
解 ! 不一定成立%例如 !-"##C#!0%F#FC!%此时()’-"##(
C!!*+’-"##(C"!0%#C)$1",(1(&$#或
!C4561
"C678. 1
",
(1(&$#!A#C$)$1A1%由公式%
G
0
()’-"##(A#C?
&$
,
4561$$)$1A1
C$?
&$
,
4561"4561B$6781#21
C$?
&$
,
456&1A1D?
&$
,
45616781A1C$$",
G
0
*+’-"##(A#C?
&$
,
6781$$)$1A1
C$?
&$
,
67814561A1D?
&$
,
678&1A1CD$$",
小结 ! 找出实部虚部分别计算%
8.%利用在单位圆周上#C!#
的性质!及柯西积分公式说明G
0
#A#C
&$$!其中0为正向单位圆周F#FC!%
解!注意到复积分G
N
-"##A#中积分变量#始终限制在;上变化!在
单位圆周F#FC!上##C!!所以G
0
#A#CG
0
##
#A#CG
0
!
#A#%
而在柯西积分公式G
0
("##
#D#,
A#C&$$("#,#中取#, C,!("##
$%)$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
C!!;%F#FC!!易知G
0
!
#A#C&$$%
故G
0
#A#C&$$%
8<%计算积分G
0
#
F#F
A#的值!其中0为正向圆周%
!#F#FC&!!!!!&#F#FC.%
解 !!#正向圆周F#FC&的参数方程为%#C&)$1",(1(&$#%
由公式%
G
0
#
F#F
A#C?
&$
,
&)$1
F&)$1F
&$)$1A1
C&$?
&$
,
A1C.$$
&#由柯西积分公式及积分性质!则
G
0
#
F#F
A#CG
0
#
.A#C
!
.G
0
##
#A#
C.G
0
!
#A#C?$$
8=%试用 观 察 法 得 出 下 列 积 分 的 值!并 说 明 观 察 时 所 依 据 的 是 什
么,0是正向单位圆周F#FC!%
!#G
0
A#
#D&
& &#G
0
A#
#&B&#B.
&
-#G
0
A#
456#
& .#G
0
A#
#D!&
&
<#G
0
#)&A#& =#G
0
A#
#D$&
"#B&" ##
%
解 !!#被积分函数 !
#D&
的奇点#C&在F#FC!之外!利用柯
西D古萨定理即知积分值为零%
&#被积函数 !
#&B&#B.
的两个奇点#!CD!B!-$!#&CD!
D!-$"分母为零的点#均在F#FC!之外!利用柯西D古
$&)$
第三章!复变函数的积分
萨定理即知积分值为零%
-#被积函数 !
456#
的奇点#(C"(B!&
#$!"(C,!E!!E&!
)#"分母为零的点#均在F#FC!之外!利用柯西D古萨
定理即分值为零%
.#由柯西积分公式即知G
0
!
#D!&
A#C&$$%
<#被积函数#)& 在复平面上处处解析!利用柯西D古萨定理
即知积分值为零%
=#由柯西积分公式%
G
0
A#
"#D$&
#"#B&#
CG
0
!
#B&
#D$&
A#
C&$$$ !
#B& #C$&
C .$$.B$
8>%沿指定曲线的正向计算下列各积分 %
!#G
0
)#
#D&
A#!0%F#D&FC!&
&#G
0
A#
#&D2&
!0%F#D2FC2&
-#G
0
)$#
#&B!
A#!0%F#D&$FC -&
&
.#G
0
#
#D-
A#!0%F#FC&&
<#G
0
A#
"#&D!#"#-D!#
!0%F#FC)’!&
=#G
0
#-456#A#!0为包围#C,的闭曲线&
>#G
0
A#
"#&B!#"#&B.#
!0%F#FC -&
&
$’)$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
?#G
0
678#
# A#
!0%F#FC!&
B#G
0
678#
"#D$&
#&
A#!0%F#FC&&
!,#G
0
)#
##由柯西积分公式得
G
0
A#
"#&B!#"#&B.#C
!
&$G
0
!
#&B.
#D$
A#DG
0
!
#&B.
#B$
A
3
4
6
7
#
C !&$
&$$$ !
#&B. #C$
D&$$ !
#&B. #CD" #$ C,
$()$
第三章!复变函数的积分
?#由柯西积分公式得
G
0
678#
# A#C&$$
$678#F#C, C,
B#由高阶导数的柯西积分公式
G
0
678#
"#D$&
#&
A#C&$$$"678##4F#C$& C,
!,#由高阶导数的柯西积分公式
G
0
)#
#!在复平面上处处解析!由柯西积
分公式G
0
("##
#D$
A#C&$7("$#C&$$7!即得G
0
!
#D$
A#C&$$%
<#当F&F0!时!被积函数的奇点&在0外!由柯西D古萨
定 理得积分值为零%而当F&F’!时奇点&在0内!由高阶导
数的柯西积分公式得
G
0
)#
"#D&#-
A#C&$$$!&4
")##QF#C& C$$)&
8!,%证明%当0为任何不通过原点的简单闭曲线时!G
0
!
#&A#C,%
证明 !!#当#C,在0外时!由柯西D古萨定理得G
0
!
#&A#C,%
&#当#C,在0内时!在高阶导数的柯西积分公式
G
0
("##
"#D#,#*B!
A#C&$$*4(
"*#"#,#中取("##>!!*C!!#,C
$!*!$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
,得G
0
!
#&A#C&$$
$"!#4C,%
;!!%下列两积分的值是否相等,积分&#的值能否利用闭路变形原
理从!#的值得到,为什么,
!#G
F#FC&
#
#A#
& &#G
F#FC.
#
#A#%
分析 ! 注意函数是否解析%
解 ! 参阅本章习题<的解答!易知
G
F#FC&
#
#A#CG
F#FC&
##
#&A#CG
F#FC&
.
#&A#C,
G
F#FC.
#
#A#CG
F#FC.
##
#&A#CG
F#FC.
!=
#&A#C,
这里用到习题!,的结论及沿圆周F#FC<正向积分时被积
函数中##!F#F!#可分别用<&!%设-"##与6"##在区域J内处处解析!0为J内的任意一条简
单闭曲线!它的内部全含于J%如果-"##C6"##在0上所有
的点处成立!试证在0内所有的点处-"##C6"##也成立 %
分析 ! 此类问题关键在于由#, 的任意性推出普遍性%
证明 ! 对0内任一点#,!由柯西积分公式得’-"##D6"##(F#C#,
C !
&$$G
0
-"##D6"##
#D#,
A#%因为-"##D6"##在J内解析且
在0上-"##D6"##>,!所以
-"#,#D6"#,#C !
&$$G
0
,
#D#,
A#C,9-"#,#C6"#,#
再由#, 的任意性即知在0内所有点处-"##C6"##%
;!?%设区域J是圆环域!-"##在J内解析!以圆环的中心为中心
作正向圆周U! 与U&!U& 包含U!!#, 为U!!U& 之间任一点!
试证-"#,#C !
&$$
$G
0
-"##
#D#,
AV成立!但0要换为U!BU&"见
图-D.#%
分析 ! 本题只要想到做辅助线57 便很容易求解%
$&*!$
第三章!复变函数的积分
图"D#
证明 ! 如图-D.!作辅助线段57%这样在路线5=U!=5=7=
U&=7=5或U!B57BU&B75LLL
记为
O所围成的单连通
区域内及O上-"##均解析!且#, 在O内部%由柯西积分公
式得
!
&$$G
O
-"##
#D#,
A#C-"#,#
或
-"#,#C !
&$$G
U!BU&
-"##
#D#,
A#B !&$$G
57
-"##
#D#,
A#
!B !&$$G
75
-"##
#D#,
A#
而路线57与75在同一线上但方向相反!沿其上的积分值
相抵消%故有
-"#,#C !
&$$G
U!BU&
-"##
#D#,
A#
小结 ! 注意辅助线的方向%
8!B%设-"##在单连通域7内处处解析!且不为零%0为7内任何一
条简单闭曲线!问积分G
0
-4"##
-"##
A#是否等于零,为什么,
解!积分G
0
-4"##
-"##
A#C,!因为-"##在7内解析且-"##",!所以
$’*!$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
-4"##与 !
-"##
在7内解析!进而-4"##
-"##
在7内解析!由柯西D
古萨定理即知其积分值等于零%
8&,%试说明柯西D古萨基本定理中的0为什么可以不是简单闭曲
线,
解 ! 因为闭曲线可以由若干个简单闭曲线依次相互连接组成!又
沿闭曲线的积分等于沿这若干个简单闭曲线的积分之和!所
以函数-"##沿任一简单闭曲线积分等于零可推出-"##沿
闭曲线的积分也等于零!故柯西D古萨基本定理中的路线0
可以不是简单闭曲线%
:&!%设-"##在区域J内解析!0为J 内的任意一条正向简单闭曲
线!它的内部全含于J!证明%对在J内但不在0上的任意一点
#,!等式G
0
-4"##
#D#,
A#CG
0
-"##
"#D#,#&
A#成立%
分析 ! 属于定理的恒等变形%
证明!注意到-"##及-4"##在0上及J内都解析!由柯西积分公
式及柯西D古萨定理得
G
0
-4"##
#D#,
A#C
&$$-4"#,#!当#, 在0内
,! 当#, 不在0. 内
由高阶导数的柯西积分公式及柯西D古萨定理得
G
0
-"##
"#D#,#&
A#C
&$$-4"#,#!当#, 在0内
,! 当#, 不在0. 内
故有等式G
0
-4"##
#D#,
A#CG
0
-"##
"#D#,#&
A#
8&&%如果("!!"#和3"!!"#都具有二阶连续偏导数!且适合拉普
拉斯方程!而NC("D3!!1C(!B3"!那么NB71是!B7"的
解析函数%
解 ! 由 !-N-! C("! D3!!
!-N
-" C("" D3!"
!
-1
-! C(!! B3"!
!-1
-" C(!" B3""
%
$(*!$
第三章!复变函数的积分
及假设%(!!B("" C,!3!!B3"" C,!("! C(!"!3!" C3"!!可
知N!1可微"有连续的一阶偏导数#且满足
-N
-! C
-1
-"
!-N
-"CD
-1
-!
"柯西D黎曼方程#
故NB$1是!B$"的解析函数%
8&-%设/为区域J 内的调和函数及-C-/-!D
$-/
-"
!问-是不是J
内的解析函数,为什么,
解 ! 是%因为-"##的实部-/
-!
与虚部D-/-"
可微"有一阶连续偏导
数#且满足柯西D黎曼方程
-
-!
-/
-" #! C --"
D-/-" #" "即/!! B/"" C,#
-
-"
-/
-" #! CD--!
"D-/-"
#"即/!! C/"!#
所以-"##为J内的解析函数%
:&.%函数+C!B"是/C!B"的共轭调和函数吗,为什么,
分析 ! 验证是否满足0D<方程%
解 !不是%因为-/
-!C
!!-/
-"C
!!-4
-!C
!!-4
-"C
!!-
&/
-!&B
-&/
-"&
C,!
-&+
-!&B
-&+
-"&
C,!/!+调和!但柯西D黎曼方程-/
-! C
-+
-"
!-/
-"
CD-+-!
不成立!所以+C!B"不是/C!B"的共轭调和
函数"等价地/B$+不解析#%
8&<%设/和+都是调和函数!如果+是/的共轭调和函数!那么/也
是+的共轭调和函数%这句话对吗,为什么,
解 ! 不对%因为+是/的共轭调和函数相当于/!+调和且满足柯
西D黎曼方程%
-/
-! C
-+
-"
!-/
-"CD
-+
-!
若/也是+的共轭调和函数!那么必有
$)*!$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
-+
-! C
-/
-"
!-+
-"CD
-/
-!
上 面两式相结合便有-/
-!C
-/
-"C
-+
-!C
-+
-"C
,!/!+为常数%
即当/!+为常数时!互为共轭调和函数!除此之外这句话不
对%
:&=%证明%一对共轭调和函数的乘积仍为调和函数%
分析 ! 掌握复合函数的偏导%
证明 ! 设/!+是一对共轭调和函数"不妨设+是/的共轭调和函
数#!则
/!! B/"" C,!+!! B+"" C,!/! C+"!/" CD+!
于是 !! "/+#! C/!+B/+!!"/+#" C/"+B/+"
"/+#!! C/!!+B&/!+!B/+!!
"/+#"" C/""+B&/"+"B/+""
"/+#!! B"/+#"" C+"/!! B/""#
!B&"/!+!B/"+"#B/"+!! B+""#
C,
乘积/+仍为调和函数%
;&>%如果-"##C/B$+是一解析函数!试证%
!#$-"##也是解析函数&
&#D/是+的共轭调和函数&
-#-
&F-"##F&
-!& B-
&F-"##F&
-"&
C."/&!B+&!#C.F-4"##F&%
分析 ! 解析函数与调和函数有密切关系%
证明 !!#因$-"##C$-"##CD$-"##!-"##解析!所以D$-"##
即$-"##也是解析函数%
&#由!#可知$-"##C+D$/解析!从而其虚部D/是实部
+的共轭调和函数%
-#由F-"##F&C/&B+& 及解析函数-"##C/B$+的虚
部+是实部/的共轭调和函数!即/!! B/"" C,!+!! B+""
$*!!$
第三章!复变函数的积分
C,!/! C+"!/" CD+!!-4"##C/!B$+! 可得
-&F-"##F&
-!& B-
&F-"##&F
-"&
C&//!! B&"/!#&
B&++!! B&"+!#&B&//"" B&"/"#&B&++"" B&"+"#&
C&/"/!! B/""#B&’"/!#&B"+!#&B"/"#&B"+"#&(
B&+"+!! B+""#C&’"/!#&B"+!#&B"D+!#&B"/!#&(
C.’"/!#&B"+!#&(C.F-4"##F&
小结 !!#&#直接计算即可!-#要注意展开与合并%
:&?%证明%/C!&D"& 和+C "
!&B"&
都是调和函数!但/B$+不是
解析函数%
分析 ! 验证0D<方程%
证明 ! 因-/
-! C
&!!-/
-"CD
&"
-&/
-!& C
&!-
&/
-"&
CD&
-+
-! C
D&!"
"!&B"&#&
!-+
-" C
!&D"&
"!&B"&#&
-&+
-!& C
="!&D&"-
"!&B"&#-
!-
&+
-"&
C&"
-D="!&
"!&B"&#-
所以-
&/
-!&
B-
&/
-"&
C,!-
&+
-!&
B-
&+
-"&
C,!/!+都是调和函数!但
-/
-! C
-+
-"
!-/
-"CD
-+
-!
不成立!/B$+不是解析函数%
:&B%求具有下列形式的所有调和函数/%
!#/C-"2!B3"#!2与3为常数&
&#/C- "" #! !’提示%!#令1C2!B3"!因/!! B/"" C,!!从
而有-Q"1#C,&#令1C"!
(%
分析 ! 注意复合函数的偏导公式%
解 !!#令1C2!B3"!2&B3&",!因若2&B3&C,!则2C3C
$!!!$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
,%则无意义3则
/! C-4"1#$-1-! C
2-4"2!B3"#
/!! C2-Q"1#$-1-! C
2&-Q"2!B3"#
/" C-4"1#$-1-" C
3-4"2!B3"#
/"" C3-Q"1#$-1-" C
3&-Q"2!B3"#
由/!! B/"" C,得"2&B3&#-Q"2!B3"#C,9-Q"1#C,!
-4"1#C0!9-"1#C0!1B0&!其中0!!0& 为任意实常数!即
形如/C-"2!B3"#的调和函数为/C0!"2!B3"#B0&%
&#令1C"!
可知
/! C-4"1#D"!&
!/!! C-Q"1#"
&
!.B-4
"1#&"!-
/" C-4"1#!!
!/"" C-Q"1#!!&
由/!! B/"" C,得
-Q"1#!
&B"&
!. B-4"1#&"!- C,
即
-Q"1#"!B1&#B-4"1#$&1C,
于是A-4"1#
-4"1#CD
&1
!B1&
A19-4"1#C 0!
!B1&
进而-"1#C0!314D21B0&!故形如/C- "" #! 的调和函数为
/C0!314D2"! B0&
!其中0!!0& 为任意实常数%
:-,%由下列各已知调和函数求解析函数-"##C/B$+%
!#/C "!D"#"!&B.!"B"&#&
&#+C "
!&B"&
!-"&#C,&
$"!!$
第三章!复变函数的积分
-#/C&"!D!#"!-"&#CD$&
.#+C314D2"!
! 0,%
分析 ! 此类问题关键在于积分时分段求!简化积分形式并认真计
算即可得出正确结果%
解 !!#由公式
+"!!"#C?
"!!"#
",!,#
-+
-!
A!B-+-"
A" #" B0
C?
"!!"#
",!,#
D-/-"
A!B-/-!
A" #" B0
C?
"!!,#
",!,#
D-/-"
A!B-/-!
A"B?
"!!"#
"!!,#
D-/-"
A!B-/-!
A"B0
C?
!
,
D/""!!,#A!B?
"
,
/!"!!"#A"B0
C?
!
,
D-!&A!B?
"
,
"-!&B=!"D-"&#A"B0
CD!-B-!&"B-!"&D"-B0
因此 !-"##C "!D"#"!&B.!"B"&#
!B$"D!-B-!&"B-!"&D"-B0#
C"!D$#"!B$"#-B$0C"!D$#-B$0"0为
任意实常数#
&#由公式
/"!!"#C?
"!!"#
"!!#
-/
-!
A!B-/-"
A"B0
C?
"!!"#
"!!#
-+
-"
A!D-+-!
A"B0
C?
"!!#
"!!#
-+
-"
A!D-+-!
A"B?
"!!"#
"!!#
-+
-"
A!D-+-!
A"B0
C?
!
!
+""!!#A!B?
"
!
D+!"!!"#A!B0
C?
!
!
!&D!
"!&B!#&
A!B?
"
!
&!"
"!&B"&#&
A"B0
C?
!
!
A!
!&B!D
&?
!
!
A!
"!B!&#&B
!?
"
!
A"!&B"&#
"!&B"&#&
B0
$#!!$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
C314D2!D314D2!D& !&
314D2!B !
!B!" #’ (&
!C!
!C!
!B D!
!&B"’ (&
"C"
"C!
B0C D!
!&B"&
B!&B0
因此-"##CD !
!&B"&
B!&B0B$
"
!&B"&
C !&B0D
!
#
又-"&#C,得0C,!故-"##C !&D
!
#
-#由柯西D黎曼方程得
-+
-! CD
-/
-"CD
&"!D!# !
-+
-" C
-/
-! C
&" "
由式 ! 得+CD?&"!D!#A!B6"#CD"!D!#&B6"#
代入式 " 后!64"#C&"96"#C"&B0!所以
+"!!"#CD"!D!#&B"&B0
-"##C/B$+C&"!D!#"B$’D"!D!#&B"&B0(
CD$"#D!#&B$0
又-"&#CD$9D$B$0CD$90C,!即-"##CD$"#D
!#&%
.#由柯西D黎曼方程得
-/
-! C
-+
-" C
!
!&B"&
#
-/
-"CD
-+
-! C
"
!&B"&
+
由式 #得/C? !
!&B"&
A!B6"#C!&C8
"!&B"&#B6"#
代入式+后! "
!&B"&
B64"#C "
!&B"&
!64"#C,96"#
C0"实常数#!所以/"!!"#C !&C8
"!&B"&#B0%
即-"##C/B$+C !&C8
"!&B"&#B0B7314D2"!
$$!!$
第三章!复变函数的积分
CC8#B0%
8-!%设+C)5!678"!求5的 值 使+为 调 和 函 数!并 求 出 解 析 函 数
-"##C/B$+%
解 ! 由-+
-! CG
)G!678"!-+-"C
)G!456"
-&+
-!& CG
&)G!678"!-
&+
-"&
CD)G!678"
及+!! B+"" C"G&D!#)G!678"C,得GCE!时+为调和函
数 %
由柯西D黎曼方程得
-/
-! C
-+
-" C
)G!456" !
-/
-"CD
-+
-! CDG
)G!678" "
由式 !得/C?)G!456"A!B6"#C!G)G!456"B6"#代入
式 " 后!D !G
)G!678"B64"#CDG)G!678"
注意GCE
LLLLLL
!
64"#C,!6"#C0"任意实常数#!所以
/"!!"#C !G
)G!456"B0
-"##C/B$+C !G
)G!456"B0B7)G!678"
C
)#B0!! 当GC!时
D)D#B0!当GCD!. 时
: #-&%如果/"!!"#是区域J内的调和函数!0为J内以#, 为中心
的任何一个正向圆周%F#D#,FC)!它的内部全含于J%试
证%
!#/"!!"#在"!,!",#的值等于/"!!"#在圆周0上的平均
值!即/"!,!",#C !&$?
&$
,
/"!,B)456(!",B)678(#A(&
&#/"!!"#在"!,!",#的值等/"!!"#在圆域F#D#,F(),上
$%!!$
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
平均值%即
/"!,!",#C !
))&,?
),
,?
&)
,
/"!,B)456(!",B)678(#)A(A)
分析 ! 掌握调和函数和解析函数的关系%
证 明!!#对于区域J内的调和函数"只须对J内包含F#D#,F(
)的单连通区域上的调和函数#/"!!"#!总存在函数+"!!
"#使-"##C/"!!"#B$+"!!"#为解析函数%于是对-"##
应用平均值公式可知
/"!,!",#B$+"!,!",#C
!
&$?
&$
,
/"!,B)456(!",B)678(#A(B
$!&$?
&$
,
+"!,B)456(!",B)678(#A(
两边复数的实虚部对应相等即得结论%
&#利用结论!#!对任意的)!,()(), 都有
!
&$?
&$
,
/"!,B)456(!",B)678(#A(C/"!,!",#
所以 ! !
$)&,?
),
,?
&$
,
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圆周%F#FC8’85>&定理
若%&’
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当3"*时!/"(’当3"(时!/"*)
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#%*
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+)幂级数的运算性质
$!&代数运算性质
设幂级数#
(
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&#(# 的收敛半径分别为/! 与/$!令
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解 析 且 ,A$(&,&0!则 当 .(.& / 时!’+1$(&,"
#
(
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"#+1$(&,#)
$+&分析运算性质
设幂级数#
(
#%*
"#(# 的收敛半径为/ %*!则
($"#(
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
! 它的和函数’$(&"#
(
#%*
"#(# 是收敛圆.(.&/内的解
析函数’
" 在收敛圆内可逐项求导!即
’2$(&"#
(
#%*
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# 在收敛圆内可逐项积分!即
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#%*
"#
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(#-!!.(.&/!
其中!(为收敛圆中任意一点)
三!泰勒"B8<%C5#级数
!)泰勒展开定理
如果函数’$(&在圆域((.!(&/内解析!那么在此圆内’$(&
可以展开成幂级数*
’$(&%#
(
#%*
’$#&$!&
#-
$(,!&#
而且展开式是惟一的)
应该指出!如果’$(&在点!解析!那么使’$(&在!的泰勒展开
式成立的圆域半径等于点!到’$(&的奇点之间的最短距离)
此外幂级数的 和 函 数 在 收 敛 圆 周 上 至 少 有 一 个 奇 点)函 数’
$(&在点!解析等价于’$(&在!的邻域 内可以展开成幂级数
#
(
#%*
’$#&$!&
#-
$(,!&#!
$)函数展开成泰勒级数的方法
直接法$直接用泰勒定理&与间接法)所谓间接法就是根据函数
的幂级数展开式的惟一性!利用一些已知函数的幂级数展开式
+如 !
!.(
!3(!D&?(!:CD(!%?$!#(&!$!#(&!$!为复数&等函数的
(%"#(
第四章!级!数
幂级数展开式,!通过对幂级数进行变量代换!四则运算和分析
运算$逐项求导!逐项积分等&!求出所给函数的幂级数展开式)
四!洛朗"E8953?6#级数
!)双边幂级数 #
(
#%,(
+#!(,!"#
双边幂级数的收敛域为圆环5&.F,%,&G!其内外半径5与
G可分别由幂级数#
(
?"*
:.?$F.%&.?与#
(
?"*
:?$F.%&?的收敛半径
来确定!在收敛圆环内!双边幂级数具有与幂级数一样的运算
和性质 )
$)洛朗展开定理
在圆环0&((.!(&/$0**!/+#(&内解析的函数’$(&必
可展开成如下的双边幂级数$称为洛朗级数&
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(
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其中
+# % !
$%$,
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’$(&
$(,!&#-!
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&为圆环内绕!的任何一条正向简单闭曲线!并且展开式是惟
一的!
+!函数展开成洛朗级数的方法
洛朗级数是泰勒级数的推广!圆环内解析函数展开成洛朗级数
的一般方法并不是按照上面公式计算洛朗系数+# 进 行!而 主
要是根据洛朗级数展开式的惟一性!利用已知的幂级数展开式
去求所需要的洛朗展开式!
典型例题与解题技巧
$例!%!考察下列级数是否收敛. 是否绝对收敛.
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!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
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解题分析!此题考察级数收敛/发散/绝对收敛的判别方法!
解题过程!$!&由于!#"$!.!#$
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故原级数必发散)
$+&由于很难分离出!#"#
$
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$!#$&&# 的实部与虚部!故采
用绝对收敛准则)易见(!#("#$
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敛)
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!而级
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(
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$
3#
是一收敛的等比级数!根据正项级数的比较准则!
故知原级数绝对收敛)
(’"#(
第四章!级!数
$例$%! 设#
(
#%!
4#(# 的收敛半径为/ ’*!并且在收敛圆周上一点绝
对收敛)试证明这个级数对于所有的点($.(.+/&为绝对
收敛)
分析!此题需分情况讨论)
证明!$!&当(((&/时!设(* 是圆周((("/上一点!((*("/!且在
(* 点#
(
#%!
4#(# 绝对收敛!即级数#
(
#%!
,4#,(,(*,# 收敛)
由于,(,&/!所以,(0(*,&!)于是有
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(
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由于#
(
#%!
,4#,(,(*.# 收敛!所以#
(
#%!
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(
#%!
4#(# 绝对收敛)
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的点(而言!级数
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(
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对收敛)
$例+%! 设5为非负整数!试证对所有的(!幂级数
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#
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!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
的和函数7$(&满足如下微分方程
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>($ #
$!#5&>7>(.7"*
分析!按题意!首先要验证所给幂级数的收敛半径/"#($以保证
对所有的(!和函数存在&!其次证明对所有的(!和函数7$(&
满足所给的方程)而这一点只需要利用幂级数的逐项求导性
以及幂级数的运算性质即可完成)
证明 ! 由比值法可知所给幂级数的收敛半径/为
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于是由幂级数的运算易知!对所有($即,(,&#(&
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第四章!级!数
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#--
#-!
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$5-6&
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$例@%!将下例函数在指定圆环内展成洛朗级数
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解题分析!利用级数展开的基本方法)
解题过程!$!&当*&(((&!时
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!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
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解题分析 ! 本题有"# "*的情形!不能套用公式
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但仍可用比值收敛法或根值收敛法求收敛半径!
解题过程 ! $!&记’#$(&" $!.&&#.!
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!$时!幂级数发散)故该幂级数的收
敛半径为/"
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第四章!级!数
所以!当且仅当,(.!,+!时幂数级数绝对收敛)故该
幂级数的收敛半径/"!)
历年考研真题评析 !
$题!%! 求 洛 朗 级 数#
-(
#%,(
@,.#.$(.!&# 的 收 敛 域!$东 北 大 学$**H
年&!
解题分析 ! 先把该洛朗级数分为两部分!再求收敛域的交集!
解题过程 ! #
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即 ,(.!,’@
故原级数收敛域为!
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$题$%!将’$(&" !
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$(&(’("(’*&按下例指定区域8
展成洛朗级数)$上海交大$**J年&
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!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
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解题分析!此题仍是基本方法的考查)
解题过程! !
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求79 及收敛半径)$北京大学$**J年&
解题分析 ! 级数展开的考查!
解题过程 !’$(&" !
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第四章!级!数
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解题分析 ! 洛朗级数展开的考查)
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第四章!级!数
$题H%!设函数’$(&在区域) 内解 析!证 明*如 果 对 某 一 点(*$)
有’$#&$(*&"*!$#"!!$!%&!那 么’$(&在) 内 为 常 数)
$东北大学$**H年&
分析!利用解析及B8<%C5定理解题)
证明!’$(&在(* 点解析!由定 义!:(*的 某 个 邻 域)!使’$(&在)
上处处解析)
由邻域的性质!:’’*!使:’$(*&""(*((.(*(&’#;)!故’
$(&在
!:’$(*&内解析)从而由B8<%C5定理有
’$(&"#
#(
9%*
’$9&$(*&
9-
$(.(*&9
!因为!’$9&$(*&"*$9"!!$!%&
!所以!’$(&"’$(*&!命题得证!
课后习题全解 !!!

2
3 !
证明 ! 令 !%0=$) %0$:CD)-&D&?)&
!&.!.&!!即0&!
"# %0#$:CD#)-&D&?#)&
所以 *+.!#.+0#$.:CD#).-.&D&?#).&+$0#
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所以由两边夹法则!%&’
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所以 !# %:CD*#-&D&?*#%:CD*%!
所以 %&’
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所以 !# %:CD#)-&D&?#)
但%&’
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D&?#)均不存在!根据数列收敛的充要条
件知%&’
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!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
分析!主要是对收敛和绝对收敛概念的考查严格把握定义即可!
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以上两级数均为收敛的交错级数!所以原级数收敛!
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%?#"%?$!##.!&&#.!$#.!’*&
所以 !
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为调和级数!发散!
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第四章!级!数
由比较判别法知*#
(
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!
%?#
发散!
所以#
(
#"$
$#
%?#
条件收敛!
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$J#H$&#
L#
因为J#H$ !" J!$:CD)#&D&?)&!)"85:6AHJ
所以(#" !J!$ &L
#
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又因为((#(" !J!$ &L
#
!且 !J!
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所以#
(
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((#(收敛!
所以#
(
#%*
$J#H$&#
L#
绝对收敛!因而也收敛!
@&令(# ":CD&#$# "
!
$#
3##3.#
$ "3
##3.#
$##!
"!$
( 3$ &$
#
#!$
!$ &$3
#
因为#
(
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!
$
3$ &$
#
发散!#
(
#%*
!
$
!$ &$3
#
收敛!
所以原级数发散!
<@!下列说法是否正确. 为什么.
!&每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛’
$&每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点’
+&每一个在(* 连续的函数一定可以在(* 的邻域内展开成泰勒
级数!
分析!主要是举反例!掌握收敛概念!并熟悉一些特殊函数和点!
解!!&不正确!
在收敛圆内的点处处收敛!而收敛圆周上的点可能收敛!也可
能发散!
(*$#(
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
例如!幂级数#
(
#%!
$(,!&#
#
的收敛圆为.(,!.%!!在收敛圆
.(,!.%!上不一定收敛!当(%*时!原级数成为#
(
#%!
$,!&#
!
#
!收敛’当(%$时!原级数成为#
(
#%!
!
#
!发散!
$&不正确!
和函数在收敛圆内处处解析!
+&不正确!
每一个在(* 解析的函数才一定可以在(* 的邻域内展开成泰
勒级数!
例如!’$(&"(在(* 连续!但不可导!故不能在(* 点展开成泰
勒级数!
=H!幂级数#
(
#%*
+#$(,$&# 能否在(%*收敛而在(%+发散.
解 ! 不能!
令(,$%<
? 因为#
(
#%*
+#<# 在(%*收敛!所以在<%,$处收敛!
由阿贝尔定理知#
(
#%*
+#<# 在.<.&$内均绝对收敛!
当(%+时!因为(,$%<%!!所以.<.&$!
所以在(%+处一定绝对收敛!
=J!求下列幂级数的收敛半径*
!&#
(
#%!
(#
#>
$>为正整数&’ $&#
(
#%!
$#-&$
## (
#’
+&#
(
#%*
$!-$&#(#’ @&#
(
#%!
3$
&
#(#’
H&#
(
#%!
:; $$ &# $(,!&#’ $J&#
(
#%!
(
E?&$ &#
#
!
解 !!&+# % !#>
(!%#(
第四章!级!数
所以#%%&’
#"(
+#-!
+# %%&’
#"(
#
#-$ &!
>
%%&’
#"(
!
!-!$ &#
>
所以收敛半径/% !# %
!!
$&+# %
$#-&$
##
%&’
#"(
+#-!
+# %%&’
#"(
+$#-!&-,$
$#-!&#-!
( ##
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$#-!&#$#-!&
( ##
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#-!$ &#
# %%&’#"(
$#-!&
!-!$ &#
#
% (!%&’
#"(
$#-!&% (!%&’
#"(
!-!$ &#
#
%$ &=
所以收敛半径/%*!
+& !-$%!$:CD&@-&D&?
&$ &@ %!$3
&
@$
+# % $!-$&# % $!$
#%
@$
%&’
#"(
+#-!
+# %%&’
#"(
$!$&#-!
$!$&#
%!$
所以收敛半径/% !
!$
%!$$!
@&+# %3$
&
#!.+#.%!!%&’
#"(
#
.+#! .%!
所以收敛半径/%!!
H&+# %:; $$ &# %3
$
# -3,
$
#
$
"
:CD!##&D&?
!
##:CD .
!$ &# #&D&? .!$ &#
$
":CD!#
(#%#(
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
(+#(" :CD!#
所以 %&’
#"(
+##!
+#
"%&’
#"(
:CD !
##!
:CD!#
"!!"!
所以收敛半径/"!!
J&E?&#"%?($#(#$$25A&#&"%?##&$$
所以 (E?&#(" %?$##&
$
$ &@
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$
!
所以 (+#(" !
(E?&#(#
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$
2
3
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#"(
#
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$
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!
$
"*!
所以收敛半径/"(!
(
!-($ %)
(
*
$!,($-(@,(J-%&>(
%(,(
+
+-
(H
H,
(M
M-
% %#
(
#%!
$,!&#,! (
$#,!
$#,!
.(.&!!收敛半径/%!!
)!$#%*!3!!3$!%&!
+提示!在对应教材公式$@!@!L&中!取4为.(.%!!在此圆
上设积分变量$%3
$)!然后证明*+# 的积分的虚部等于零!,
分析 ! 本题对计算技巧和几个常用公式要求较多!有一定难度!
证明 !’$(&%:CD(-!$ &(
+#% !$&&,
4
’$+&
$$,(*&
#-!>$!$令+%3
$)!>+%$3
$)>)!)*B$&!
!(* %*&
(#&#(
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
% !
$&&)
$&
*
:CD$3$)-3,$)&
$3$)&#-!
$3$)>)% !
$&$)
$&
*
:CD$:CD)&
3$#)
&>)
% !$&)
$&
*
:CD$:CD)&+:CD#),&D&?#),>)
其虚部为*,!$&)
$&
*
:CD$:CD)&D&?#)>)
令1$)&%:CD$:CD)&D&?#)
由于 :CD+$:CD$)-$&&,%:CD$:CD)&
D&?#$)-$&&%D&?$#)-$#&&%D&?#)
所以1$)-$&&%:CD+$:CD$)-$&&,D&?#$)-$&&
%:CD$:CD)&D&?#)%1$)&!以$&为周期
又1$,)&%:CD+$:CD$,)&,D&?#$,)&
%:CD$:CD)&$,D&?#)&
%,:CD$:CD)&(D&?#)%,1$)&
1$)&为奇函数!
于是虚部 %,!$&)
$&
*
1$)&>)%,!$&)
&
,&
1$)&>)%*
故+# % !$&)
$&
*
:CD$:CD)&:CD#)>)!!$#%*!3!!%&
=!H!下列结论是否正确.
用长除法得 (
!,(%
(-($-(+-(@-%
(
(,!%
!-!(-
!
($-
!
(+-
%
因为 (
!,(-
(
(,!%
*
所以 %-!(+-
!
($-
!
(-!-(-(
$-(+-(@-% %*
解 ! 不正确!
(
!,(%
(-($-(+-%!.(.&!
(
(,!%
!-!(-
!
($-
%!.(.’!
("&#(
第四章!级!数
用长除法所得到 的 两 式 的 取 值 范 围 的 交 集 为 空 集!故 不 能
相加!
(的值!设’$(&为
!& !
($(-$&
’ $& (-$$(-!&(
’
(*&#(
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
+& !
($(-!&$
’ @& (
$(-!&$(-$&
!
解 !!&因为 !
($(-$&%
!
$(
( !
!-($
% !$(
!,($-
($
@,$ &%
因为 (
$ &!!所以.(.&$!
故 !’$(&% !
($(-$&
在域4*.(.%+内不全解析!
设4!!4$ 为两两互不相交!互不包含的圆周!且各自包围
奇点(%*!(%,$
所以,
4
’$(&>(%,
4!
-,
4
$ &
$
’$(&>(
%,
4!
!
($(-$&
>(-,
4$
!
($(-$&
>(
% !$
($&&- !
,$
($&&%*
$&因为 (-$
$(-!&(%
!
(
!- !
!-$ &(
故在4*.(.%+内’$(&不全解析!
设4!!4$ 为既不相交又不包含且各自包含奇点(%*!(
%,!的小圆周!
由柯西积分公式
,
4
(-$
($(-!&
>(%,
4!
-,
4
$ &
$
’$(&>(%$($&&,$&&%$&&
+&设4!!4$ 为互不相交!又互不包含的两小圆域!且各自包
含着奇点(%*!(%,!!
所以 !,
4
’$(&>(%,
4!
-,
4
$ &
$
’$(&>(
%,
4!
!
(,
!
(-!,
O!
$(-!&$ &$ >(
(!’#(
第四章!级!数
!-,
4$
!
(,
!
(-!,
!
$(-!&$ &$ A(
%$&&,$&&%*!
@&设4!!4$ 为互不相交且互不包含的两小圆域!且各自包
围着奇点(%,!!(%,$!
所以,
4
(
$(-!&$(-$&
>(%,
4!
-,
4
$ &
$
’$(&>(
% ,!
,!-$
$&&- ,$
,$-!
$&&
%$&$
<$*!试求积分,
4
#
(
#%,$
($ &# >(的值!其中4为单位圆.(.%!内的任何
一条不经过原点的简单闭曲线!
分析 ! 考查级数积分的求值方法!先利用级数展开!逐项积分即可!
解 ! #
(
#%,$
(# %(,$-(,!-#
(
#%*
(#
因为#
(
#%*
(# 在.(.&!内收敛!所以可对其逐项积分*
,
4
#
(
#%,$
($ &# >(%,
4
(,$-(,!-#
(
#%*
($ &# A(
%,
4
(,$>(-,
4
(,!>(-#
(
#%*,4(
#>(
%*-$&&-*%$&
+
&)
已知*,
4
>(
$(,(*&#-!
%
*!!#%*
$&&!#%" *
!’$(&%(# 在.(.&!
,内解析
(#’#(
!第五章
留!数
内容提要
!
一!解析函数在孤立奇点邻域内的性态
!/孤立奇点的定义
如果(* 是’$(&的奇点!且存在(* 的某邻域!’$(&在此邻域内
除了(* 点外再无其它奇点!那么称(* 为’$(&的孤立奇立!
$/解析函数在有限远奇点邻域内的性态
若(* 为’$(&的孤立奇点!则必存在’’*!使得’$(&于圆环
*&.(,(*.&’内解析!由第四章可知’$(&在此圆环内可展
成洛朗级数*
’$(&%#
-(
#%*
4#$(,(*&#-#
-(
#%!
4,#$(,(*&,# !
若式 ! 中不含!只含有限个/含无穷多个(,(* 的负幂项!那
么分别称(* 为’$(&的可去奇点/极点/本性奇点!
$!&如果(* 为’$(&的孤立奇点!则下列三条是等价的!因此每
一条都是可去奇点的特征!
!’$(&在(* 点的洛朗展式中不含(,(* 的负幂项!即
("’#(
第 五 章!留!数
’$(&%4*-4!$(,(*&-%-4#$(,(*&#-%
"%&’
("(*
’$(&%4*!$% (&
#’$(&在(* 点的某去心邻域内有界!
此性质再次反映了解析函数函数值之间深刻的内在联系!
因为在实函数中!函数在某点邻域内有界显然不能保证在
该点可微!也不能保证在该点连续!
$&如果(* 为’$(&的孤立奇点!则下列三条中的每一条都是
5级极点的特征!
!’$(&在(* 点的洛朗展式为
’$(&% 4,5
$(,(*&5
-%- 4,!
(,(*-#
-(
#%*
4#$(,(*&#
$4,5 %*!5’*&
"’$(&在(* 的某去心领域内能表示成
’$(&% #$(&
$(,(*&5
或 %&’
("(*
$(,(*&5’$(&%#$(*&$% (&
其中!#$(&在(* 的邻域内解析!且#$(*&%*’
#1$(&% !
’$(&
以(* 为5级零点$可去奇点当做解析点
看&!
下述定理也能说明极点的特征!其缺点是不可能指明极点
的级’
’$(&的孤立奇点(* 为极点 C%&’
("(*
’$(&% (
$+&如果(* 为’$(&的孤立奇点!则下列二条中每一条都是本
性奇点的特征*
!’$(&在(* 点的洛朗展式中含有无穷多(,(* 的负幂
项’
"%&’
("(*
’$;&不存在!
利用极限判断奇点的类型!当极限是$*
*
&型时!可以像在
($’#(
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
1高等数学2中那样用E3=CDP&68%法则来求!
如果’$(&与1$(&是以(* 为零点的两个不恒等于零的解
析函数!那么
%&’
("(*
’$(&
1$(&%
%&’
("(*
’2$(&
12$(&
+/解析函数在无穷远点的性态
无穷远点 ( 总是复变函数的奇点/
若’$(&在无穷远点(的去心领域/&.(.&-(内解析!则称
(% ( 为’$(&是孤立奇点/
通过变换B%!(
!将研究’$(&在孤立奇点(%(处的分类与性
态转化为研究函数’$!B
&在孤立奇点B%*处的分类与性态/若
B%*为’$!B
&的可去奇点/极点/本性奇点!则(%(就是’$(&
的可去奇点/极点/本性奇点/
(%(为’$(&的可去奇点/极点/本性奇点的充要条件分别是
%&’
("(
’$(&存在且有限/%&’
("(
’$(&% (!%&’
("(
’$(&不存在!
若’$(&在(% ( 的去心领域/&.(.&-( 内的洛朗级数
中不含(的正幂项/含有限多个(的正幂项!且最高正幂项为
(5/含无限多个(的正幂项!则(% ( 为’$(&的可去奇点/5
级极点/本性奇点!
二!留数的定义及留数定理
!/留数及其计算
设"$% (&为’$(&的 孤 立 奇 点!那 么’$(&在" 的 留 数
G3D+’$(&!",% !
$&$,
+
’$(&>(%+,!!其中+是"的去心邻域内
围绕"的任意一条正向简单闭曲线!
计算留数最基本的方法 就 是 求 洛 朗 展 开 式 中 负 幂 项+,!$(,
(%’#(
第 五 章!留!数
"&,! 的系数+,!!但是如果知道奇点"的类型!那么留数的计算
也许稍简便些!例如当"$% (&为可去奇点时G3D+’$(&!",
%*!对于极点处留数的计算!有如下公式或规则*
$!&如果"为’$(&的5级极点!那么
G3D+’$(&!",% !
$5,!&-
%&’
(""
>5,!
>(5,!
+$(,"&5’$(&,!
特别地!如果"为’$(&的简单极点$5%!&!则G3D+’$(&!",
%%&’
(""
$(,"&’$(&!
注 ! 如果极点"的实际级数比5 低时!$!&仍然有效/
$&设"为’$(&%C
$(&
D$(&
的一级极点$只要C$(&与D$(&在点
"解析且C$"&%*!D$"&%*!D2$"&%*&!那么
G3DC
$(&
D$(&
!+ ," % C
$"&
D2$"&!
注 ! 如果C$(&与D$(&在"点解析!"为D$(&的一级零点!
则同样有G3DC
$(&
D$(&
!+ ," % C
$"&
D2$"&/
如果("(为’$(&的孤立奇点!那么’$(&在("(的留数G3D
+’$(&!(," !$&$,
+
.’$(&>(".+.!!其中+为0&(((&# (
内绕原点的任意一条正向简单闭曲线/函数在(处的留数就
是洛朗展开式负幂项+.!(.!前系数的相反数*.+.!!当("(
为’$(&的可去奇点时!按定义G3D+’$(&!(,可以不等于零/
$/留数定理
设函数’$(&在区域)内除有限个孤立奇点(!!($!%!(# 外处
处解析!4是) 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线!那么
,4
’$(&>(%$&$#
#
9%!
G3D+’$(&!(9,!
由柯西定理极易得到以上的留数定理!更确切地说!留数定理
是柯西定理的一个直接应用!它把计算 封 闭 曲 线 积 分 的 整 体
问题!化为计算各孤立奇点处留数的局部问题!即利用留数计
(&’#(
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
算积分!因此!有必要专门研究留数的计算!
三!用留数定理计算定积分
!!形如)
$&
*
/!:CD)#D&?)">)的定积分的计算
其中/$:CD)!D&?)&为:CD)与D&?)的有理函数/
作变换!令
!("3$)!>("$(>)"$3$)>)
!>)">($(
!D&?)"!$$
$3$).3.$)&"(
$.!
$$(
!:CD)"!$
$3$)#3.$)&"(
$#!
$(
则
!)
$&
*
/$:CD)!D&?)&>)%,
.(.%!
/ (
$-!
$(
!(
$,!
$+ ,$(
>(
$(
%,
.(.%!
’$(&>(
其中
!’$(&"/ (
$#!
$(
!(
$.!
$&+ ,(
!
&(
然 后 由 留 数 定 理 求 得 积 分 值 为$&$#
#
9%!
G3D+’$(&!(9,其 中
(9$9%!!$!%!#&为’$(&在单位圆周内的所有孤立奇点!
$!形如)
-(
,(
/!;">;的积分的计算
其中/$;&为;的有理函数!且分母的次数比分子的次数至少
高二次!/$(&在实轴上无孤立奇点!则
)
-(
,(
/$;&>;%$&&#G3D+/$(&!(9,!
其中(9 为/$(&在上半平面内的极点!
(’’#(
第 五 章!留!数
+!形如)
-(
,(
/!;"3$";>;!"’*" 的积分的计算
其中/$;&是;的有理函数!分母的次数比分子次数至少高一
次!且/$(&在实轴上无孤立奇点/则
)
-(
,(
/$;&3$";>;%$&$#G3D+/$(&3$"(!(9,!
其中(9 为/$(&在上半平面内的极点/
典型例题与解题技巧
$例!%! 试求下列函数的所有有限孤立奇点!并判断它们的类型
$!&’$(&% 6A(
($,&J(
’ $&’$(&% ($
D&? !
(-!
’
$+&’$(&% D&?+(,+D&?(D&?($(,D&?(&
’ $@&’$(&%
(,&@
($D&?(,:CD(&
!
解题分 析 ! 为 了 求 出 函 数 的 孤 立 奇 点!首 先 必 须 求 出 它 的 所 有 奇
点!其次要判定它们是否孤立!最后再选择适当的方法
判断奇点的类型!
解题过程! $!&显然!(%*与(%%J
是’$(&的奇点/又由于:CD(
的 零点为(9%9&#&$
$9%*!3!!3$!%&!所以(9
都是’$(&的奇点/容易看出*!&J
及(9 都是有限孤
立奇点/因为(%*是分子6A(的一级零点!也是分
母的一级零点!所以它是’$(&的可去奇点/其余奇
点都是’$(&的一级极点/
$&由于(%,!与(9 % !9&,
!$9%3!!3$!%&都是
’$(&的有限奇点!并且(9",!$9"(&!故(%,!
不是孤立奇点/因此!’$(&的有限孤立奇点为(9%
((’#(
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
!
9&,
!$9%3!!3$!%&!并且!它们都是一级极点!
$+&易见(%9&$9%*!3!!3$!%&都是’$(&的奇点!
并且是孤立的/下面判断它们的类型/由于
(,D&?(%(, (,(
+
+--
(H
H-,$ &%
%(+ !+-,
($
H--$ &% %(+($(&!
其 中($(&%
!
+-,
($
H--
%是解析函数!且($*&%
!
+-
%*!所以(%*是(,D&?(的三级零点!因而是分
母的四级零点/又因为
D&?+(,+D&?(% +(,!+-
$+(&+-!H-
$+(&H,+ ,%
!,+(,(
+
+--
(H
H-,$ &%
%,+
+,+
+- (
+-+
H,+
H- (
H,%
%(+,$(&
其中,$(&%,
++,+
+- -+
H,+
H- (
$,% 是解析函数!
且,$*&%*!所以(%*是分子的三级零点!从而知
(%*是’$(&的一级极点/
根据极限的有理运算法则和洛必达法则!
%&’
("9&
D&?+(,+D&?(
$(,D&?(&D&?(%
!
9&
%&’
("9&
D&?+(,+D&?(
D&?(
% !9&
%&’
("9&
+:CD+(,+:CD(
:CD(
%*
所以(%9&$9%3!!3$!%&是’$(&的可去奇点/
此题中!为了判定奇点(%*的类型!将分子与分母
分别展开为洛朗级数!判断它的级数!需利用零用与
极点的关系/对于(%9&$9%3!!3$!%&!用求
()’#(
第 五 章!留!数
’$(&的极限的方法来判定/
$@&容易看出!(%*是’$(&的奇点!分母D&?(,:CD(
的零点也是’$(&的奇点/由于
D&?(,:CD(%!$D&?(,&$ &@
所以D&?(,:CD(的零点是(%9&-&@
$9%*!3!!
3$!%&!并且都是一级的!从而得知(%*与(%9&
-&@
$9%3!!3$!%&都是’$(&的一级极点/又因
(% &@
也是分子的一级零点!所以(% &@
是它的可
去奇点/
$例$%! 求下列函数在所有孤立奇点处的留数*
$!& ($
:CD(,!
’ $& !
D&?!(
!
解题分析 ! 求出函数的奇点$不解析点!无穷远点也应考虑在内&!
找出孤立奇点$注意*并非所有 奇 点 都 是 孤 立 的&!然 后
根据每一类孤立奇点的特征来判定类型!明确计算留数
的方法!即用公式或规则$特别适合于极点的情形&还是
用洛朗展开式求+,!$一般方法&!
解题过程! $!&函数’$(&% ($
:CD(,!
有奇点*$9&$9%*!3!!3$!
%%&$分母的零点&与 (/显然当9" ( 时$9&以
(为极限点!(为非孤立奇点/又:CD(,!以$9&为
二级零点!(%*为分子的二级零点!所以(%*为
’$(&的 可 去 奇 点+也 可 由%&’
("*
’$(&%,$推 知,!
$9&$9%3!!3$!%%&为’$(&的二级极点/由公
式G3D+’$(&!*,%*
G3D+’$(&!$9&,%%&’
("$9&
$(,$9&&$ ($
:CD(,+ ,!2
(*’#(
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
$9%3!!3$!%%&
注意 到 :CD(,! % :CD$(,$9&&,! % $(,
$9&&$($(&!其中($(&%,
!
$--
!
@-
$(,$9&&$,!J-
$(
,$9&&@-%!
G3D+’$(&!$9&,%%&’
("$9&
($
($($ &&2
%%&’
("$9&
$(($(&,(
$
(2$(&
(
$$(&
%
@9& ,!$$ &- ,*
,!$$ &-
$
%,L9&!$9%3!!3$!%&
$&函数’$(&% !
D&?!(
有奇点*!(!!9&
$9%3!!3$!
%&!显然*为非孤立奇点!!
9&
为D&?!(
的一级零点!
所以!
9&
为’$(&的一级极点!由公式
G3D’$(&!!9+ ,& %
!
D&?!$ &(2 (%!9&
%
$,!&9-!
9$&$
$9%3!!3$!%&
G3D+’$(&!(,%,G3D !($’
!$ &( !+ ,*
%,G3D !
($D&?(
!+ ,*
%,!$-
(
D&?$ &(@ (%*
这里 !
($D&?(
以(%*为三级极点/令 !
($(&
% (
D&?(
!易
知($(&%!,
!
+-(
$-!@-(
@,%!故
(!(#(
第 五 章!留!数
G3D+’$(&!(,%,!$-
!
($($ &&@ (%*
%!$
(@$*&($*&,$$(2$*&&
$
$($*&&
+ %,!J
$例+%! 计算下列积分
$!&,.(.%$ $(,!($(,!&$
>(’
$&,4
>(
$(,!&$$($-!&
!!!4*;$-<$ %$$;-<&’
$+&)
.(.%#
6A&(>($#为正整数&’
$@&)
.(,$&.%$&
!
3(,$$
>(’
$H&)4
!
!-(@
>(!其中4为正向椭圆*;$,;<-<$-;-<%
*$(%;-$<&!
解题分析 ! 利用留数定理计算复积分!一般先要求出被积函数在积
分路径内部的孤立奇 点!判 断 类 型!计 算 出 奇 点 处 的 留
数!应用留数定理便可以得到所求的积分值/如果积分
路径内部孤立奇点处的留数计算比较困难时!也可以类
似地考查被积函数在积分路径 外 部 孤 立 奇 点 处 的 留 数
计算/
解题过程 ! $!&令
!!’$(&% $(,!
($(,!&$
’$(&在圆周.(.%$内只有二个极点!(%*为一级
极点!(%!为二级极点!由留数计算规则知
!!G3D
(%*
’$(&% $(,!
$(,!&$.(%* %,
!
!!G3D
(%!
’$(&% $(,!$ &( 2.(%! %!
由留数定理得
(#(#(
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
!!,.(.%$ $(,!
($(,!&$
>(%$&$$,!-!&%*
$&由线4为圆周
!!$;,!&$-$<,!&$ %$
被积函数
!!’$(&% !
$(,!&$$($-!&
有两个一级极点(%3$!一个二级极点(%!!只有
(%!!(%$在4 的内部!(%,$在4的外部/
G3D
(%$
’$(&%
!
$(,!&$
$($-!&
6
7
8
92 (%$
% !
$(,!&$
(!
$(.(%$
% !@
G3D
(%!
’$(&% !
$($-!+ ,&2(%!
%, $(
$($-!&$.(%! %,
!
$
由留数定理知
,4
>(
$(,!&$$($-!&%
$&$+G3D
(%$
’$(&-G3D
(%!
’$(&,
%$&$ !@,+ ,!$ %,&&$
$+&被积函数6A&(%D&?&(:CD&(
在.(.%#内有孤立奇点*
9-!$
$9%*!3!!3$!%!3$#,!&!,#&!均为
一阶极点/由公式
G3D+6A&(!9-!$
,% D&?&(
$:CD&(&2 (%9-!$
%,!&
于是由留数定理
)
.(.%#
6A&(>(%$&$ #
9-!$ &#
G3D6A&(!9-+ ,!$
("(#(
第 五 章!留!数
%$&$$#,!$ && %,@#$
$@&由$$"3$E?$"3,$
&
$-$9&&可知被积函数’$(&% !
3(,$$
以(9 %, &
$-$9$ && $9%*!3!!3$!%&为一阶
极点!其中(,!%$&,&$
与(,$%@&,&$
包含在.
(,$&.%$&内部/由公式!
G3D+’$(&!(9,%
!
$3(,$$&2 (%(9
%3
&
$-$9&
$9%*!3!!3$!%&
以按$$%3(,! 理解为例!由留数定理
)
.(,$&.%$&
!
3(,$$
>(%$&$G3D+’$(&!(,!,
%$&$3
,+&
$
其余情况类似!
$H&所给椭圆的内部由不等式;$,;<-<$-;-<&*
来描述!被积函数 !
!-(@
的@个一阶极点3!
!$
3!
!$
&
中只有一个即(*%,!
!$
,!
!$
&位于椭圆4的内部/
所以由留数定理
!!)4
>(
!-(@ %
$&$G3D !
!-(@
!(+ ,*
%$&$!@(+*
% &
!$ $
$,!-$&
$例@%! 指出下列函数在零点(%*的级*
$!&($$3F
$
,!&’ $&JD&?(+-(+$(J,J&!
解题分析 ! 利用导数或展开式验证!
解题过程 ! $!&用求导数验证*记’$(&%($$3(
$
,!&!’$*&%*!不
难计算
($(#(
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
’2$(&%,$(-$$(+-(&3(
$!!’2$*&%*!
’@$(&% $@(@-!*($-$&3(
$
,$!!’@$*&%*!
’*$(&% $L(H-+J(+-$@(&3(
$!!’*$*&%*!
’$@&$(&%$!J(J-!!$(@-!HJ($-$@&3(
$!’$@&$*&%$@!
即
’$*&%’2$*&%’@$*&%’*$*&%*!!’$@&$*&%*!
故(%*为函数($$3(
$
,!&的四阶零点/
用泰勒展式*由展开式
3(
$
%!-($-!$-(
@-%-!#-(
$#-%!.(.&-(
可知
($$3F
$
,!&%($ ($-!$-(
@-$ &% %(@($(&
其中($(&%!-
!
$-(
$-%-!#-(
$#,$-%在.(.&-(
内解析!($*&%!!
故(%*为函数($$3(
$
,!&的@阶零点/
$&由展开式
!D&?(+ %(+,!+-(
N-!H-(
!H,%-$,!&# (J#-+
$#-!&-
!-%!.(.&-(
可知
!JD&?(+-(+$(J,J&
%J(+,!+-(
N-!H-(
!H,%-$,!&# (J#-+
$#-!&--$ &%
!-(N,J(+ %(!H($(&
其中
($(&%J
!
H-,
!
M-(
J-%-$,!&# (J#,!$
$#-!&--$ &%
在.(.&-( 内解析!($*&%
J
H- %*!
故(%*是函数
JD&?(+-(+$(J,J&的!H阶零点/
(%(#(
第 五 章!留!数
$例H%! 设#为整数!计算积分)
$%
*
3:CD(:CD$#(,D&?(&>(
及)
$%
*
3:CD(D&?$#(,D&?(&>(!
解题分析 ! 把如上两个积分视为一个复积分的实部与虚部!再用留
数定理求积!
解题过程 ! 设E! %)
$&
*
3:CD(:CD$#(,D&?(&>(!
E$ %)
$&
*
3:CD(D&?$#(,D&?(&>(
则 E%E!-$E$ %)
$&
*
3=
,$(3$#(>(/
令 3$( %(!则>(%
!
$(>(
E% !E,.(.%!(#,!3
!
(>(%$&G3D+(#,!3
!
(!*,
由于
(#,!3
!
( %(#,! !-!(-
!
$-($-
%- !
#-(#-$ &%
故
G3D+(#,!3
!
(!*,%+,! %
!
#-
!!#**
*! #&
>
2
3 *
所以
E%
$&
#-
!!#**
*! #&
>
2
3 *
比较等式两边的实部和虚部即 得 题 中 所 要 证 明 的 两 个
结论/
$例J%!设函数’$(&与1$(&分别以(%"为5级与#阶极点!那么
下列三个函数*
$!&’$(&-1$(&’ $&’$(&1$(&’ $+&’
$(&
1$(&
(&(#(
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
在(%"处各有什么性质.
解题分析!由极点的特征!(%"分别是’$(&与1$(&的5级与#阶
极点 C 在"的去心邻域内
’$(&% ($(&
$(,"&5
!!1$(&% ,$(&
$(,"&#
其 中($(&与,$(&在"的邻域内解析!($"&%*!,$"&%
*!利用此表示式考查所给的三个函数/
解题过程 ! $!&不难看出
’$(&-1$(&%
($(&-$(,"&
5,#,$(&
$(,"&5
! 5’#
$(,"&#,5($(&-,$(&
$(,"&#
! 5&#
($(&-,$(&
$(,"&5
! 5%
>
2
3
#
其 中当5’#时!分子以(%"代入得($"&%*’当
5 &#时分子以(%"代入得,$"&%*’当5%#时
分子以(%"代入得($"&-,$"&!又显然各个分子
在"的邻域内解析!所以有结论*
当5%#时!点"是’$(&-1$(&的’8Q"5!##阶极
点’
当5%#时!若($"&-,$"&%*!点"是’$(&-1$(&
的#阶极点’若($"&-,$"&%*!点"是’$(&-1$(&
的低于#级的极点或可去奇点/
$&’$(&1$(&%(
$(&,$(&
$(,"&5-#
!因($(&,$(&在"的邻域内
解析且($"&,$"&%*!所以(%"是’$(&1$(&的5
-#阶极点/
(’(#(
第 五 章!留!数
$+&’
$(&
1$(&%
!
$(,"&5,#
($(&
,$(&
!5’#!"是5,#阶极点
$(,"&#,5(
$(&
,$(&
!5&#!"是#,5阶零点
($(&
,$(&
! 5%#!"是可去奇点$解析点
>
2
3
&
历年考研真题评析 !
$题!%! 设F表示以原点为中心的正向单位圆周!求下列积分!
$!&)F
3(D&?(
$(,$&+
>(’ $&)F
(,$D;(>(’
$+&)F
%?(,&&( .>(.!$兰州大学$**H年&
解题分析 ! 可利用解析函数的性质及留数定理等计算!
解题过程 ! $!&因为 3(D&?(
$(,$&+
在.(.+!上解析!故
)F
3(D&?(
$(,$&+
>(%*
$&(,$D;(在.(.+!内有一个一级极点(%*!据留数
定理及G3D+’$(&!(*,%%&’
("(*
$(,(*&’$(&有
)F
(,$D;(>(%$&$%&’
("*
(D;(($ %$&$:;*%$&$
$+&)F
%?(,&&(
(.>F.
%)F
%?.&,(.(.>(.,)F
!?.&(.(.>(.
%)
$&
*
!?+$:CD),&&$-D&?$),
!
$>),$&%?&
% !$)
$&
*
%?$!,$&:CD)-&$&>),$&%?&
% !$
($&%?&$.$&%?&"*
(((#(
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
$题$%!$!&函数 !
3(#$
有哪些孤立奇点. 各属何种类型. 无穷远点
是否为孤立奇点.
$& !
$!#(&+D&?
!
!.(
在 扩 充 复 平 面 上 有 哪 些 孤 立 奇 点. 各
属何种类型. $浙江大学$**H年&
解题分析!此题考查如何寻找奇点及奇点类型的判断!
解题过程!$!&显然(9"$ +$&#$9$ && !$9"*!R!!R$!%&是分母的
零点!又
$3(#$&2(("(9".$%*!$9"*!R!!R$!%&
所以(9"$ +
$&#$9$ && 是 !
3(#$
的 一 级 极 点!又%&’
9"(
(9
"(!故("(是极点的极限点!不是孤立奇点!
$&因为%&’
(".!
$!#(&+( !
$!#(&+D&?
!
!.("D&?
!
$%*
故(!".!是’$(&的三级极点!
%&’
("!
$(.!&( !
$!#(&+D&?
!
!.(".
!
L%*
故($"!是’$(&的一级极点!
又%&’
("(
!
$!#(&+
(D&? !
!.("*!I(+"(
是可去奇点!
所以在扩充复平面上!’$(&有一个三级极点(!".!!
一个一级极点($"!和一个可去奇点(+"(!
$题+%!$!&求 !
:CD(.:CD!
在扩充复平面上各孤立奇点的留数! 为一
固定复数’
$&若($(&在(""解 析!(2$"&%*!又 函 数’$$&以$*"(
$"&为简 单 极 点!且 G3D+’!($"&,"G!试 求 G3D+’$(
$(&&!",!$浙江大学$**H年&
解题分析!此题是关于留数计算的考查!要求对留数有深刻的认识!
解题过程!$!&设’$(&" !
:CD(.:CD!
!因为:CD(.:CD!仅以(9"$9&
()(#(
第 五 章!留!数
R!!$9"*!R!!%&为孤立零点!又因为
$:CD(.:CD!&2(("(9".D&?$9&R!&"DD&?!
$:CD(.:CD!&@(("(9".:CD$9&R!&".:CD!
所以!当D&?!%*时!(9"$9&R!$9"*!R!!%&各为
’$(&" !
:CD(.:CD!
的一级极点!此时
G3D+’$(&!(9,"%&’
("(9
!
$:CD(.:CD!&2"D
!
D&?!
当D&?!"*时!必须:CD!%*!因而(9"$9&R!$9"*!
R!!%&各为’$(&" !
:CD(.:CD!
的 二 级 极 点!此 时 可
以算得
G3D+’$(&!(9,"*
在扩充复平面上!因为
%&’
9"(
(9"%&’
9"(
$9&R!&"(
故("(为非孤立奇点!
$&由($(&在"点解析且(2$"&%*!可知
($(&"($"&#(2$"&$(."&#(
@$"&
$-
$(."&$#%
!#(
$#&$"&
#-
$(."&##%
若记($(&.($"&"$(."&H$(&!则
H$(&"(2$"&#(
@$"&
$-
$(."&#%#(
$#&$"&
#-
$(."&#.!
!#%
H$"&"(2$"&%*?在"的邻域内!H$(&%*!
函数’$$&以$*"($"&为简单极点且G3D+’$$&!$*,"
GC’$$&在$* 的去心邻域内洛朗展式的负幂项只有
+.!
$.$*
!而且+.!"G%*故可设’$$&在$* 的去心邻域
的洛朗展式为
(*(#(
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
’$$&"
G
$.$*
#+*#+!$$.$*&#%@
1$$&
$.$*
其中1$$&在$* 的邻域内解析且1$$*&"G%*$从而
在$* 的邻域内1$$&%*&!于是
’+($(&,"
1+($(&,
($(&.($"&
" 1+($(&,
$(."&H$(&
以"为一级极点!
G3D"’+($(&,!"#"%&’(""
$(."&’+($(&,
"%&’
(""
1+($(&,
H$(& "
1+($"&,
H$"& "
G
(2$"&
$题@%!用复变函数沿闭曲线积分的方法计算
E%)
(
*
;$-!
;@-!
>;!
$浙江大学$**H年&
解题分析 ! 先找出’$(&的孤立奇点再计算留数!
解 题过程!设’$(&%(
$-!
(@-!
!则’$(&的孤立奇点为(9%3
&-$9&
@ $!$9
%*!!$!+&!且都是’$(&的一级极点!其中(* 与(! 在
上半平面!
G3D+’$(&!(*,%%&’
("(*
($-!
$(@-!&2%
($*-!
@(+*
%,!$@$
G3D+’$(&!(!,%(
$
!-!
@(+!
%,!$@$
所以E%)
-(
*
;$-!
;@-!
>;% !$)
-(
,(
;$-!
;@-!
>;
% !$
($&$#
9%*!
G3D+’$(&!(9,
%&$,!$@$.
!$
@+ ,$
"!$$&
$题H%! 利用留数计算下列积分*
(!)#(
第 五 章!留!数
$!&)
(
*
;$
$!-;$&$
>;’
$&)
(
*
D&?;
; >;!
$东北大学$**J年&
解题分析 ! 这又是一道用留数计算积分的题目!是对基本知识基本
方法的考查!
解题过程 ! $!&/$(&% ($
$!-($&$
在上半平面有一个二级极点(%
$!且 G3D+/$(&!$,%,$@
易得*
)
(
*
;$
$!-;$&$
>;% !$)
-(
,(
;$
$!-;$&$
>;
%&$G3D+/$(&!&,% &@
$&采用以下积分路径*
4*4/-+,/!,0,-40-+0!/,$*&0&/&!来绕
开奇点I%*!如图H,!所示!
图H,!
令’$(&%3
$(
(
!则’$(&在4内有奇点(%*!据留数
定理有
,
4
3$(
(>(%)4/
3$(
(>(-)
,0
,/
3$;
;>;-)40
3$(
(>(-)
/
0
3$;
;>;
%)4/
3$(
(>(-)40
3$(
(>(-$$)
/
0
D&?;
; >;
(#)#(
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
%$&$G3D3
$(
(
!$ &* %$&$ !
课本中已证明 ! %&’
/"-()4/
3$(
(>(%* "
又 3$(
( % !(-$,
(
$-,
$($
+- -
% % !(-(
$(&
其中($(&在(%*解析!且($*&%$!故当.(.充
分小时!可使
.($(&.+$
所以 .)40
($(&>(.+)40
.($(&.>J+$&0
%&’
0"*)40
($(&>(%* #
而 )40
!
(>(%&$ (
将式 ! 两端令0"*!/"-( 取极限!并将式 "/
#/( 代入!得&$#$$)
-(
*
D&?;
; >;%$&$!
所以 )
-(
*
D&?;
; >;%
%
$
课后习题全解 !!!
=!!下列函数有些什么奇点.如果是极点!指出它的级*
!& !
($($-!&$
’! $&D&?((+
’!!! !!!+& !
(+,($,(-!
’
@&%?
$(-!&
(
’!!H& (
$!-($&$3&(-!&
’!!!J&!3(,!
’
M& !
($$3(,!&
’! L& (
$#
!-(#
$#为正整数&’N& !
D&?($!
解 !!&令’$(&% !
($($-!&$
!则 !
’$(&%
($(,$&$$(-$&$ 以(%
*为一级零点!(%3$为二级零点!所以’$(&有奇点*!
3$!并且由零点与极点的关系可知*(%*为’$(&的一级
(")#(
第 五 章!留!数
极点!(%3$为’$(&的二级极点!
$&(%*为D&?(
(+
的奇点!又在(%*的去心邻域*& ( &-
( 内D&?(
(+ %
!
(+
(,!+-(
+-!H-(
H,$ &% %!($,
!
+--
!
H-(
$
,%!所以(%*为D&?(
(+
的二级极点!
+& !
(+,($,(-!%
!
($$(,!&,$(,!&
% !
$(-!&$(,!&$
有奇点*,!!!(%,!为一级极点!(%!为二级极点!
@&由%?$(-!&%%?(-! -$85A$(-!&结合第一章习题
中+$题的结论可知%?$(-!&在负实轴上区间$,(!,
!,中每一点不连续!因 而 也 不 解 析!除 此 之 外 是 解 析 函
数!显然$,(!,!,上的点都是%?$(-!&的非孤立奇点!
也是%?$(-!&
(
的非孤立奇点!又(%*为%?$(-!&
(
的奇
点!且在其去心邻域*& ( &!内
!%?
$(-!&
( % !(
(,!$(
$-!+(
+,$ &%
%!,!$(-
!
+(
$,%
所以(%*为%?$(-!&
(
的可去奇点!
H&分母的零点*3$及方程3&(-!%*的根(9 % $9-!&$
$9%*!3!!3$!%&!均为函数的奇点!注意3&(-!%
*C3&( %,!C&(%E?$,!&%%? ,! -$$&-$9&&%
$9-!&&$!即(%$9-!&$!又$3&(-!&2
(%(9
%&3&(9 %
*!(9 为3&(-!的一级零点!且当9%*!,!时!(*%$!(,!
%,$!这样3&为函数$!-($&$3&(-!&的二级零点!故3
($)#(
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
$为 (
$!-($&$3&(-!&
的二级极点!(9 %$9-!&$ $9%
!!3$!3+!%&为此函数的一级极点!
J&(%!为3
!
(,! 的 奇 点!又 在( %!的 去 心 邻 域*&
(,! &-(内3
!
(,! %!- !
(,!-
!
$-
!
$(,!&$-
% 含
有无穷多个(,!的负幂项!因此(%!为本性奇点!
M&分母的零点* 及方程3(,!%*的根(9 %$&$9$9%*!
3!!3$!%&!均为函数的奇点!又$3(,!&2
(%(9
%3(9 %
*!(9 %$9&$为3(,!的一级零点!且当9%*时(*%*!
这样(%*为函 数($$3( ,!&的 三 级 零 点!故(%*为
!
($$3(,!&
的三级极点!(9%$9&$$9%3!!3$!%&为此
函数的一级极点!
L&由分母为零得(#-!%*C(%
#
,! !%3
&-$9&
# $$9%*!!
$!%!#,!&!且$(#-!&2
(%3
&-$9&
# $ %*!即(%3
$9-!&&$
# 为(#
-!的一级零点!因而(%3
$9-!&&$
# $9%*!!$!%!#,!&为
函数 ($#
!-(#
的一级极点!
N&由D&?($%($,!+-(
J-!H-(
!*,%%($ !,!+-(
@-$ &% 知
(%*是D&?($ 的二级零点!从而(%*为 !
D&?($
的二级极
点!
又D&?($ %*C($ %9&!$9%*!3!!3$!%&
当9%!!$!+!% 时!($ %9&给出(%3 9!&!
当9%,!!,$!,+!%时!($%9&给出(%3 9! &$!
而$D&?($&2%$(:CD($ 在3 9!&!3 9!&$$9%!!$!%&点
处不为零!所以3 9!&!3 9!&$均为D&?($ 的一级零点!
(%)#(
第 五 章!留!数
综上所述!函数 !
D&?($
有奇点*!3 9!&!3 9!&$$9%!!
$!+!%&!其中*为二级极点!3 9!&!3 9!&$均为一级
极点!
=$!求证*如果(* 是解析函数’$(&的5$5’!&级零点!那么(* 是
’2$(&的5,!级零点!
证明 !(* 是’$(&的5级零点 C’$(&%$(,(*&5($(&!($(&在
(* 解析且($(*&%*!而’2$(&%5$(,(*&
5,!($(&-$(,
(*&5(2$(&%$(,(*&
5,!+5($(&-$(,(*&(2$(&,EEE
>3S $(
,(*&5,!1$(&!1$(&%5($(&-$(,(*&(2$(&在(* 解析!
1$(*&%5($(*&%*!所以又由’2$(&%$(,(*&5,!1$(&!
1$(&在(* 解析且1$(*&%*可得(* 是’2$(&的5,!级
零点!
=+!验证*(%&$$
是:;(的一级零点!
证明 ! 由:;(% !$
$3(-3,(&得
:;&$$ %
!
$
$3&$0$-3.&$0$&% !$
$.$&%*
$:;(&2
(%&$$
%D;&$$ %
!
$
$3&$0$,3,&$0$&% !$
$#$&
%$%*
所以(%&$$
是:;(的一级零点!
<@!(%*是函数$D&?(-D;(,$(&,$ 的几级极点.
分析 ! 确定一个点是函数的几级极点!先确定逆函数的零点即可
求出!
解 !(%*是$D&?(-D;(,$(&,$ 的!*级极点!因为
D&?(-D;(,$(% (,!+-(
+-!H-(
H,$ &% -
! (-!+-(
+-!H-(
H-$ %
(&)#(
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
!- !
$#-!&-
($#-!- &% ,$(
%(H $H--
$
N-(
@-$ &%
以(%*为H级零点!所以(%*是$D&?(-D;(,$(&$ 的!*
级零点!结合零点与极点的关系!(%*是函数$D&?(-D;(,
$(&,$ 的!*级极点!
=H!如果’$(&和1$(&是以(* 为零点的两个不恒等于零的解析函
数!那么
%&’
("(*
’$(&
1$(&%
%&’
(B(*
’2$(&
12$(&
$或两端均为 (&!
证明!设(* 分别为’$(&与1$(&的5级零点与#级零点!则在(*
的邻域内!
’$(&% $(,(*&5(!$(&!!1$(&% $(,(*&
#
($$(&
其中(!$(&与($$(&在(* 解析!(!$(*&%*!($$(*&%*!
于是
’$(&
1$(&%
$(,(*&5,#(!
$(&
($$(&
!
’2$(&
12$(&%
$(,(*&5,#5(!
$(&-$(,(*&(2!$(&
#($$(&-$(,(*&(2$$(&
"
由式 ! 和式 " 可知
当5’#时!%&’
(B(*
’$(&
1$(&%
*%%&’
(B(*
’2$(&
12$(&
’
当5%#时!%&’
(B(*
’$(&
1$(&%
(!$(*&
($$(*&
%%&’
(B(*
’2$(&
12$(&
’
当5&#时!%&’
(B(*
’$(&
1$(&% ( %
%&’
(B(*
’2$(&
12$(&
!结论得证!

2
3
时
(()#(
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
当5’#时!($(&-,$(&表达式的分子在"点解析且当(
%"时!分子 %(!$"&%*!从而"为($(&-,$(&的5级
极点!
当5%#时!($(&-,$(&表达式的分子(!$(&-,!$(&在
"点解析!当且(%"时!分子 %(!$"&-,!$"&!若(!$"&
-,!$"&%*!则"为($(&-,$(&的5级极点’若(!$"&-
,!$"&%*!则"为($(&-,$(&的低于5级的极点或可去
奇点+此时!要根据"为(!$(&-,!$(&的多少级零点来判
断!设" 为(!$(&-,!$(&的K级 零 点!等 价 地(!$(&-
,!$(&%$(,"&
KH$(&!H$(&在"解析且H$"&%*!则($(&
-,$(&%(
!$(&-,!$(&
$(,"&5 % H$(&
$(,"&5,K
!当K&5时"为
($(&-,$(&的5,K级极点’当K’5时"为($(&-,$(&
的K,5级零点$解析点&’当K%5时"为($(&-,$(&的
可 去奇点$解析点&!所以当(!$"&-,!$"&%*时"为($(&
-,$(&%(
!$(&-,!$(&
$(,"&5
的低于5 级的极点或可去奇点
$解析点&,!
当5&#时!($(&-,$(&表达式的分子在"点解析!且当
(%"时!分子%,!$"&%*!从而"为($(&-,$(&的#级
极点!
在"分别为($(&与,$(&的5级与#级零点的情形!只要
在"的邻域内用
($(&% $(,"&
5
(!$(&!!,$(&% $(,"&
#
,!$(&
代替式 !!类似讨论即可!
(
’!!!!$&,
( %$
3$(
$(,!&$
>(’
+&,
( %+$
!,:CD(
(5 >($其中5为整数&’
@&)(,$$ %!
6;(>(’ H&,
( %+
6A&(>(’
J&,
( %!
!
$(,"&#$(,&&#
>($其 中# 为 正 整 数!且 " %!!
& %!!" & & &!+提示*试就 " !& 与!的大小关系分
别进行讨论,!
分析 ! 利用留数求积分!留数定理的内容只要掌握!求解较简单!
解 !!&由留数定理,
( %+$
D&?(
( >(%$&$G3D
D&?(
(
!+ ,* !而(%*为
D&?(
(
的可去奇点!G3DD&?((
!+ ,* %*!所以积分值为零!
$&由留数定理
,
( %$
3$(
$(,!&$
>(%$&$G3D 3$(
$(,!&$
!+ ,
%$&$( !
$,!&-
(%&’
("!
$(,!&$( 3$(
$(,!&+ ,$2
("*#(
第 五 章!留!数
%$&$%&’
("!
$3$( %@&$3$
+&由
!,:CD(
(5
% !(5 !,
!,!$-(
$-!@-(
@,%-
$,!&#
$#&-(
$#-$ &+ ,%
% !(5
!
$-(
$,!@-(
@-%-
$,!&#-!
$#&- (
$#-$ &%
*& ( &-(
易知!当5为偶数时!上式中不含(,! 项!即+,!%*’当5为
奇数!即5%$#-!时!上式中+,! %
$,!&#-!
$#&-
!而当5+$
时!上式无负幂项!+,! %*!故
G3D!,:CD((5
!+ ,*
%
$,!&#-!
$#&-
!! 当5%$#-!!#%!!$!+!% 时
*! 当5为其它整数或*
>
2
3 时
再由留数定理得
,
( %+$
!,:CD(
(5 >(%$&$G3D!,:CD((5
!+ ,*
%
$&$$,!&#-!
$#&-
!! 当5%$#-!!#%!!$!+!% 时
*! 当5为其它整数或*
>
2
3 时
@&由第L题L&小题可知函 数6;(%D;(:;(
有一级极点(9 %
9-$ &!$ &$$9%*!3!!3$!%&且G3D+6;(!(9,%G3D+D;(:;(
!
(9,%!!而(* %&$$
在 (,$$ %!内!所以由留数定理
,
(,$& %!
6;(>(%$&$G3D+6;BH(!(*,%$&$(!%$&$
($*#(
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
H&函数6A&(%D&?&(:CD&(
有一级极点(9 %9-!$
$9%*!3!!
3$!%&+:CD&(9%*且$:CD&(&2
(%(9
%*即(9 为:CD&(的一
级 零点且D&?&(9%*,且G3D+6A&(!(9,% D&?&(
$:CD&(&2 (%(9
%,
!
&
!而9%*!3!!3$!,+时!(*%!$
!(!%+$
!(,!%,!$
!
($%H$
!(,$%,+$
!(,+%,H$
!这J个极点在 ( %+内!所
以由留数定理
,
( %+
6A&(>(%$&$#
$
9%,$
G3D+6A&(!(9" ,
#G3D+6A&(!(,+ #,%$&$(J(,
!
& %,!$$
J&函数’$(&% !
$(,"&#$(,&&#
有两个#级极点"与&!其
留数分别为
G3D+’$(&!",% !
$#,!&-
%&’
(""
+$(,"&#’$(&,$#,!&
% !
$#,!&-
%&’
(""
!
$(,&&+ ,#
$#,!&
% !
$#,!&-
%&’
(""
$,!&#,!#$#-!&%$#,$&
$(,&&$#,!
%
$,!&#,!#$#-!&%$#,$&
$#,!&-$",&&$#,!
G3D+’$(&!&,% !
$#,!&-
%&’
("&
+$(,&&#’$(&,$#,!&
%
$,!&#,!#$#-!&%$#,$&
$#,!&-$&,"&$#,!
$只须在上式中把"!&互换&
! 当!& " & & 时!极 点"!&均 在 ( %!的 外 部!即
’$(&在 ( %!上及其内部解析!故积分,
( %!
’$(&>(%*!
(%*#(
第 五 章!留!数
"当 " &!& & 时!’$(&在 ( %!内只有极点"!由留数
定理,
( %!
!
$(,"&#$(,&&#
>(%$&$G3D+’$(&!",
%
$,!&#,!$&$$#,$&-
+$#,!&-,$$",&&$#,!
#当 " & & &!时!’$(&在 ( %!内有极点"与&!由留
数定理,
( %!
>(
$(,"&#$(,&&#
%$&$"G3D+’$(&!",-G3D+’$(&!&,#
%$&$
$,!&#,!#$#-!&%$#,$&
$#,!&-$",&&$#,!" -
!
$,!&#,!#$#-!&%$#,$&
$#,!&-$&,"&$#, #! %*
(!!4*( %+’
$&,4
(+
!-(
3
!
(>(!4*( %$’
+&,4
($#
!-(#
>($#为一正整数&!4*( %0’!!
解!!&函数’$(&% (!H
$($-!&$$(@-$&+
在圆周4*( %+的内部
有J个孤立奇点*3$!
@
!$3
&-$9&
@ $$9%*!!$!+&$均为分母的
零点&!而在4外部仅有孤立奇点(%(!由函数在扩充复
平面上这M个奇点处留数之和为零及留数定理可知
,4
(!H
$($-!&$$(@-$&+
>(%,$&$G3D+’$(&!(,
%$&$G3D !($’
!$ &( !+ ,* %$&$G3D !
($!-($&$$!-$(@&+
!+ ,*
%$&$%&’
("*
(( !
($!-($&$$!-$(@&+ %
$&$
$&与上题!&类似!
,4
(+
!-(
3
!
(>(%,$&$G3D+’$(&!(,
%$&$G3D !($’
!$ &( !+ ,*
%$&$G3D 3(
(@$!-(&
!+ ,*
%$&$( !
$@,!&-
%&’
("*
(@( 3(
(@$!-(+ ,&*
%$&$(!+-
($,$&%,$&$+
+&与!&题解答类似
((*#(
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
,4
($#
!-(#
>(%,$&$G3D ($#
!-(#
!(+ ,
而在 ( 的去心邻域!& ( &-( 内
($#
!-(# %
(# !
!-!(#
%(# !,!(#-
!
($# ,
!
(+# -$ &%
%(#,!-!(#,
!
($# -
%
展开式中正幂项最高次幂为(#!且!(
项的系数
4,! %
!!! 当#%!时
*! 当#%!" 时
!所以 ( 为 ($#
!-(#
的#级极点!
且 G3D ($#
!-(#
!(+ ,%,4,! % ,!!! 当#%!时
*! 当#%!" 时
故
,4
($#
!-(#
>(%,$&$($,4,!&%
$&$!!! 当#%!时
*! 当#%!" 时
=!+!计算下列积分*
!&)
$&
*
!
H-+D&?)
>)’!!$&)
$&
*
D&?$)
"-&:CD)
>)$"’&’*&’
+&)
-(
,(
!
$!-;$&$
>;’ @&)
-(
*
;$
!-;@
>;’
H&)
-(
,(
:CD;
;$-@;-H
>;’J&)
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,(
;D&?;
!-;$
>;!
解 !!&令(%3$)!则>(%&3$)>)%$(>)!>)%>($(!
于是
)
$&
*
>)
H-+D&?)%,
( %!
!
H-+(
$,!
$$(
>(
$(
%,
( %!
$
+($-!*$(,+
>(
% $+,
( %!
>(
(-$$ &+ $(-+$&
()*#(
第 五 章!留!数
% $+
($&$( !
(-+$ (%,$+
% &$
$&令(%3$)!则>)%>($(
!D&?)%(
$,!
$$(
!:CD(%(
$-!
$( !于是
)
$&
*
D&?$)
"-&:CD)
>)%$$,
( %!
$($,!&$
($$&($-$"(-&&
>(!函数’$(&%
$($,!&$
($$&($-$"(-&&
在 ( %!内有一个二级极点*及一个一
级极点(! %,"- "$,&! $
&
!其留数分别为
G3D+’$(&!*,%%&’
("*
$($’$(&&2%%&’
("*
$($,!&$
&($-$"(-+ ,&2
%,$"&$
G3D+’$(&!(!,%
$($,!&$
($
$&($-$"(-&&2 (%(!
%$ "$,&! $
&$
从而由留数定理得
)
$&
*
D&?$)
"-&D&?)
>)%$$
($&$"G3D+’$(&!*,-G3D+’$(&!(!,#
%$&&$
$", "$,&! $&
+&函数 !
$!-;$&$
分母的次数比分子的次数高四次!且在实
轴上不为零!而 !
$!-($&$
在上半平面有二级极点$!由公式
)
-(
,(
!
$!-;$&$
>;%$&&G3D !
$!-($&$
!+ ,$
%$&&( $(,$&$( !
$!-($&+ ,$2 (%$
%$&& !
$(-$&+ ,$2 (%$
%$&&(,$@ % &$
(**#(
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
@&在上半平面上!函数’$(&% ($
!-(@
有两个一级极点*(*%
3
&
@$与(!%3
+&
@$$均为(@-!%*的根!即(9%
@
,! !%3
&-$9&
@ $$9
%*!!$!+&&!其留数分别为
G3D+’$(&!(*,% ($
$!-(@&2 (%(*
% (
$
@(+ (%(*
% !
@(* %
!
@3
,&@$
G3D+’$(&!(!,% ($
$!-(@&2 (%(!
% !
@(! %
!
@3
,+&@$
由公式
)
-(
,(
;$
!-;@
>;%$&$"G3D+’$(&!(*,-G3D+’$(&!(!,#
%$&$ !@3
,&@$-!@3
,+&@" #$ %!$$&
注意到被积函数为偶函数!可知
)
-(
*
;$
!-;@
>;% !$)
-(
,(
;$
!-;@
>;%!$@&
H&函数 3$(
($-@(-H
在上半平面有一级极点*,$-$$分母的
一级零点&且
G3D 3$(
($-@(-H
!,$-+ ,$ % 3$(
$($-@(-H&2 (%,$-$
%3
,!,$$
$$ % !$$
(!
3
$:CD$,&D&?$&
由公式
)
-(
,(
3$;
;$-@;-H
>;%$&$G3D 3$(
($-@(-H
!,$-+ ,$
%$&$(!$$
(!
3
$:CD$,$D&?$&
% &3
$:CD$,&D&?$&
两边取实部得
(!!"(
第 五 章!留!数
)
-(
,(
:CD;
;$-@;-H
>;% &3:CD$
J&由公式
)
-(
,(
;3$;
!-;$
>;%$&$G3D (3$(
!-($
!+ ,$
%$&$( (3$(
$!-($&2 (%$
%&&3,!
两边取虚部得
)
-(
,(
;D&?;
!-;$
>;% &3
F!@!试用图H,$中的积分路线!求积分)
-(
*
D&?;
; >;
的值!
图 !H,$
分析 ! 沿指定路径求积分!一般分段求!由复积分计算公式及积
分不等式即可求出!
解!函数3
$(
(
在如图H,$的路线GL-L4-4)-)M-40-NG
上及其内部解析!由柯西,古萨定理
)GL
3$(
(>(-)L4
3$(
(>(-)4)
3$(
(>(-))M
3$(
(>(-
)40
3$(
(>(-)NG
3$(
(>(%* !
由复积分计算公式
)GL
3$(
(>(%)
&
*
3&$/-$<&
/-$<
$/-$<&2>( +)
&
*
3,<-/$
/-$<
$><
(#!"(
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
%)
&
*
3,<
/$-<+)
&
*
3,<
/><
%!,3
,&
/ "*$当/"-(& "
同样
)4)
3$(
(>( %)
*
&
3$$,/-$<&
,/-$<
$,/-$<&2><
+)
&
*
3,<,/$
,/-$< ><
%)
&
*
3,<
/$-<
/ "-(
"GGGG * #
又
)L4
3$(
(>(%)
,/
/
3$$;-&&&
;-&$
$;-&$&2>;
%,)
/
,/
3,&-;$
;-&$
>;
%,3,&)
/
,/
;3$;
;$-&$
>;,&$)
/
,/
3$;
;$-&$
>" #; (
而由公式
)
-(
,(
;3$;
;$-&$
>;%$&$G3D (3$(
($-%$
!&+ ,$ %&$3,&
)
-(
,(
3$;
;$-&$
>;%$&$G3D 3$(
($-%$
!&+ ,$ %3,&
代入式 ( 即知
)L4
3$(
(>(
/ "-(
"GGGG * )
再注意到
))M
3$(
(>(-)NG
3$(
(>(%)
,0
,/
3$;
;>;-)
/
0
3$;
;>;
%,)
/
0
3,$;
;>;-)
/
0
3$;
;>;
%$$)
/
0
D&?;
; >; *
("!"(
第 五 章!留!数
%&’
0"*-)40
3$(
(>(%,&$
+教材例@中$H!+!H&式, +
在式 ! 中令/"-(!0"*-!并利用式 "!#!) - + 可
得
$$)
-(
*
D&?;
; >;,&$%*
!
即 )
-(
*
D&?;
; >;%
&
$
小结 ! 掌握沿指定路径求积分的方法!
= H!H!利用公式 !
$&$,4
’2$(&
’$(&
>(%O,C!计算下列积分*
!&,
( %+
!
(>(
’!!!$&,
( %+
(
($,!
>(’
+&,
( %+
6A(>(’ @&,
( %+
!
($(-!&
>(!
解 !!&设’$(&%(!则’$(&在 ( %+内零点总个数O%!!极
点总个数C%*!所以
,
( %+
!
(>(%$&$
( !
$&$,
( %+
’2$(&
’$(&
>(
%$&$$O,C&%$&$$!,*&%$&$
$&设’$(&%($,!!则’$(&在 ( %+内有一级零点3!!
无极点!即O %$!C%*!所以
,
( %+
(
($,!
>(% !$,
( %+
’2$(&
’$(&
>F% !$
($&$$O,C&
% !$
($&$$,*&%$&$
+&设’$(&%:CD(!则’$(&在 ( %+内有两个一级零点3
&
$
!无极点!即O %$!C%*!
所以
,
( %+
6A(>(%,,
( %+
,D&?(
:CD(>(%,,
( %+
’2$(&
’$(&
>(
($!"(
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
%,$&$$O,C&%,@&$
@&,
( %+
!
($(-!&
>(%,
( %+
!
(>(,,
( %+
!
(-!
>(!而(和(
-!在 ( %+内分别只有一个零点而无极点!故
,
( %+
!
(>(%$&$
!!,
( %+
!
(-!
>(%$&$
从而 ,
( %+
!
($(-!&
>(%*
FH!J!设4为区域)内的一条正向简单闭曲线!它的内部全含于)!
(* 为4内一点!如果’$(&在)内解析!且’$(*&%*!’2$(*&
%*!在4内’$(&无其它零点!试证*!
$&$,4
(’2$(&
’$(&
>(%(*!
分析 ! 解析函数的积分问题!分析积分函数的点!再利用留数定
理!即可解决!
证 明!被积函数(’2$(&
’$(&
在4内仅有一个一级极点(*$因(* 为分母
的一级零点&!而由分式给出的函数C$(&
D$(&
!当C$(&与D$(&
在(* 点解析且(*为D$(&的一级零点时!G3DC
$(&
D$(&
!(+ ,* %
C$(*&
D2$(*&
成立!注意*当C$(*&%*时!(* 为C$(&
D$(&
的一级极
点!此公式在书上被列为留数的计算规则,!当C$(*&%*
时!(* 为C$(&
D$(&
的可去奇点!G3DC
$(&
D$(&
!(+ ,* %*!此规则 ,
同样成立!于是由留数定理
!
$&$,4
(’2$(&
’$(&
>(%G3D(’2
$(&
’$(&
!(+ ,*
% (’2
$(&
$’$(&&2 (%(*
%(*
小结 ! 解析函数的积分问题!要熟练掌握留数定理!
= H!M!设($(&在4*( %!上及其内部解析!且在4上 ($(&&
(%!"(
第 五 章!留!数
!!证明4内只有一个点(* 使($(*&%(*!
证明 ! 设’$(&%,(!1$(&%($(&!则在4上*
1$(&% ($(&&!% ,( % ’$(&
由 儒歇$GC9:;3&定理!’$(&与’$(&-1$(&%($(&,(在
4内零点个数相同!而’$(&%,(在4*( %!内只有一
个零点!所以’$(&-1$(&%($(&,(在4内只有一个零
点记为(*!即4内 只 有 一 个 点(* 使($(*&,(* %*或
($(*&%(*!
&所示!所以所求映射为
7".$7$".$7$!".$ .(#!($ &.!
$
".$(#!($ &.!
$
$例+%!求出将圆((.@$(&$映射成半平面U’$7&’G3$7&的共形
(##"(
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
图J.$$:&
图J.$$>&
映射7"’$(&!且满足’$@$&".@!’$$&"*!
解题分析!在(平面与7 平面间插入两个4中间5平面!分别将((.
@$(&$和U’$7&’G3$7&映射成典型区域)))单位圆和
上半平面!以便利用公式!如图J.+/
解题过程!设7!"(.@$$
!则映射7! 将(平面上圆((.@$(&$映射
("#"(
第 六 章!共 形 映 射
图J.+
成7! 平面上单位圆(7!(&!!且7!$@$&"*!
设7$"3.
&
@$7!则映射7$ 将7 平面上的半平面U’$7&
’G3$7&映射 成7$ 平 面 上 的 上 半 平 面U’$7$&’*!且
7$$.@&".@3.
&
@$!
再作从上半平面U’$7$&’*到 单 位 圆(7!(&!的 共 形
映射!且将.@3.
&
@$映射为坐标原点!显然此映射为
7!"3&(
7$#@3.
&
@$
7$#@3
&
@$
将7!"(.@$$
!7$"3.
&
@$7 代入上式!得
(.@$
$ "3&(3
.&@$7#@3.
&
@$
3.
&
@$7#@3
&
@$
即 (.@$
$ "3&(7#@7#@$
又!’$$&"*!!故3&("!
所以!!(.@$$ "7#@7#@$
!即!7".@$ (.$$
(.$$!#$$&
($#"(
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
为所求的共形映射!
$例@%!求一共形映射!将单位圆周((("!内部在第一象限内的部
分映射为单位圆内部/
解题分析!有人认为这个题很简单!7"(@ 就是所求的映射!这是不
对的!因为7"(@ 将题中给定的区域映射成沿正实轴的
半径剪开后的单位圆内部/很多初学者容易犯这样的错
误- 为了将已知区域映 射 为 单 位 圆 内 部!只 要 能 将 它 映
射成上半平面就行了/因此!只 要 先 将 它 映 射 成 第 一 象
限/上半单位圆可以通过分式 线 性 映 射 映 成 第 一 象 限!
因此!只要将已知区域映成上半单位圆就可以了!这件事
可以利用幂7"($ 来完成/下面我们沿着分析过程相反
的程序一步一步地做!并将完成各步的映射复合起来!就
可得到所求的映射/
解题过程!第一步!通 过 映 射(!"($ 将 已 知 区 域 映 为 上 半 单 位 圆’
第二步!通过映射($".
(!#!
(!.!
将上半单位圆映为第一象
限’第三步!通过映射(+"($$ 将第一象限映成上半平面’
最后!通过分式线性映射7"(+.$(+#$
将上半平面映成单位
圆内部$图J.@&/因此!所求的映射为
7"
($#!
($$ &.!
$
.$
($#!
($$ &.!
$
#$
"
$($#!&$.$$($.!&$
$($#!&$#$$($.!&$
$例H%!求把(平面上的区域)""(*(((&!!(( !# +(’$#映为7
平面上的单位圆的一个保角映射/
解题分析!注意本题只需求出满足题目要求的某个保角映射!而不
是求把)映为(7(&!的所有保角映射/
解题过程!由((("!有(;#$<("!!从而有;$#<$"!!关 于;求
导!得
$;#$<<2"*
(%#"(
第 六 章!共 形 映 射
图J.@
故
9!"<2".;0<($*!&"*
同理!由(( !# +("$有9$ !". +!于是
6A""
9$.9!
!#9!9$"
!. +.*
!#*($ !. +&
!". +
所 以"".&0+
即)是在(".$!$处张角为&0+的月牙形区域/利用
$"
(.$
(#$
能把)映为$平面上开度为&0+的顶点在原点的角域/
适当旋转后可使此角域以正实 轴 为 一 边!另 一 边 在 第 一
象限内/利用幂函数可使它变为上半平面/最后把上半
平面变到单位圆!把各个映射顺次复合!即得待求之映射
$如图J.H所示&/最后有
7"/.$
/#$
"$
+.$
$
+#$"
3&
H
$&$
+.$
3&
H
$&$
+#$
"$
+.!
$
+#!
"
(.$
(#$ &$
+
.!
(.$
(#$ &$
+
#!
"
$(.$&+.$(#$&+
$(.$&+#$(#$&+
(&#"(
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
此类题的解不是唯一的!还可从不同角度得到不同答案/
图J.H
历年考研真题评析!
$题!%!求 一 个 共 形 映 射 7"’$(&!它 把( 平 面 上 的 区 域)*
(#!(&$
(.+(& !>
2
3 $ +
!映 射 为 7 平 面 的 上 半 平 面!$吉 林 大 学
$**H年&
解题分析!本题的解法是一种比较通用的解法!先把区域) 映射为
角形域!再射到第.象限!最后映射到上半平面!
解题过程!圆周(#!("$与圆周(.+( !"$ +的交点是(! !". +$
和($ !" +$!因此分式线性映射
(’#"(
第 六 章!共 形 映 射
7!"( !# +$
( !. +$
7!$ !. +$&"*!7!$!&" !.!# +$
$
!7!$!+$&"($ &
把区域)共形映射为7! 平面的角形域*
$
+&&85A7!&
M
J&
设 7$"3.
$
+%$7!
7$ 又将角形域$
+&&85A7!&
M
J&
映 射 为 第.象 限**&
85A7$&&$
!再 将 第.象 限*&85A7$&&$
映 射 为 上 半 平
面*&85A7&&!从而
7"7$$"$3.
$
+&&V!&$"=
. @
+%$ ( !# +$
( !. +
2
3
4
5$
$
即为所求的一个共形映射!如图J.J/
图J.J
((#"(
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
$题$%!求一单叶共形映射7"’$(&!将圆盘(((&!变为角形域&
+
&85A7&$+&!
$浙江大学$**H年&
图J.M
解题分析!本题的解法是先把单位圆映射到左半平面!再映射到上
半平面!继而映射到第U象限!最后映射到角形域!
解题过程!如图J.M所示!
()#"(
第 六 章!共 形 映 射
$题+%!试作一单叶解析函数7"’$(&!把(((&!映射成(7(&!!
并且使’$*&"!$
!’2$*&’*!$东北大学$**H年&
解题分析!这里提供以下两种方法供参考!请体会它们的不同思路!
解题过程!解法!!分式线性映射
7"3&)(.!
!.!(
将单位圆(((&!映射成单位圆(7(&!!因为’$*&"!$
所以 !
$".!3
&) !
又’2$*&’*!所以
3&)$!.(!($&’* "
由式"得!)"$9&!将)"$9&代入式!*!".!$
故 7"
(#!$
!#!$(
"$(#!$#(
为所求的单叶解析函数!
解法$!先求出将(7(&!映射为(((&!的分式线性映
射("’.!$7&!满 足’.!$!$
&"*!再 求 其 逆 映 射7"’
$(&!
因为 ’.!$!$
&"*
所以("3&)
7.!$
!.!$7
"3&)$7.!$.7
!7"!#$(3
.&)
$#(3.&)
!
72$*&"+@3
.&)’*
)"$9&!$9"*!R!!R$!%&
(*#"(
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
故7"!#$($#(
为所求的单叶解析函数!
$题@%!设在(((&!内!’$(&解析!并且(’$(&(&!!但’$!&"*!其
中(!(&!!证明*在(((&!内!有不等式
(’$(&(+
(.!
!.!(
$东北大学$**H年&
分析!分式线性映射7"(.!
!.!(
在(((&!内解析!且将(((&!共形
映射成(7(&!!且7$!&"*!其反函数("(
.!$7&在(7(&!
内解析!将(7(&!共形映射成(((&!!且(
.!$*&"!!
证明!作复合函数($7&"’+(
.!$7&,!则($7&在(7(&!内解析!
且($*&"’$!&"*
(($7&("(’$(
.!$7&&("(’$(&(&!
故($7&满足施瓦兹引理的条件!由该引理得
(($7&(+(7(!$(7(&!&
即
(’$(&(+ (.!
!.I!( !$(((&!&
施瓦兹引理!如果函数’$(&在单位圆(((&!内解析!并且满
足条件’$*&"*!(’$(&(&!$(((&!&!则在单位圆(((&!内
恒有(’$(&(+(((!且有(’2$*&(+!!
课后习题全解!!!
=!!求7"($ 在("$处的伸缩率和旋转角!问*7"($ 将经过点("
$且平行于实轴正向的曲线的切线方向映射成7 平面上哪一个
方向. 并作图!
解!因为72"$(!72
("$
"$$
所以伸缩率 72$&" $$ "$
旋转角$即转动角&25A72$&"25A$$&"&$
(!""(
第 六 章!共 形 映 射
因为7"($ 且(*"$
所以7$&".!!并由旋转角意义可知*
过("$且平行于实轴正向的曲线的切线方向
7"(
"GGG
$
过P".
!平行于虚轴的正向!如图J.L!
图J.L
<$!一个解析函数所构成的映射在什么条件下具有伸缩率和旋转角
的不变性. 映射7"($ 在(平面上每一点都具有这个性质吗.
分析!映射的伸缩率与旋转角的不变性!以及具备这些性质的区
域!
解!!&由第六章W!节定理!知条件为*该解析函数的导数不等于
*’
$&因为7"($!!所以72"$(
由使72
("*
"$(
("*
"*的点不具有该性质可得*
7"($ 在(%*处具有伸缩率与旋转角的不变性!
=+!设7"’$(&在(* 解析!且’2$(*&%*!为什么说*曲线4经过映
射7"’$(&后在(* 的转动角与伸缩率跟曲线4的形状和方向
无关.
解!因为曲线4经过映射7"’$(&后在(* 的转动角和伸缩率分
别为25A$’2$(*&&/’2$(*&!只 与7"’$(&有 关!所 以 与 经
过(* 的曲线4的形状及方向无关!
<@!在映射7"$(下!下列图形映射成什么图形.
!&以(!"$!($".!!(+"!为顶点的三角形’
$&圆域((.!(+!!
分析!图形在已知映射下映射成什么样的新图形!还是考查伸缩
(#""(
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
率与旋转问题!
解!!&分别将(!"$!($".!!(+"!代入7"$(得
7!".!!7$".$!7+"$
因为72"$%*!(72("($("!
所以7"$(是整个复平面上的分式线性共形映射!具有保角
性及保伸缩性!(7("($(("(((!25A7"25A(#&$
!辐 角 增
加&
$!
直线上的无穷远点会被映射成无穷远点!
7"$(将直线映射为直线!
映射成的图形是以7!".!!7$".$!7+"$为 顶 点 的 三 角
形!如图J.N$8&!
图J.N$8&
$&设(";#$
2
3 $
图J.!!$8&
因为U’$(&"<’*!所 以Q.P
$ ’*即Q’P!U’$7&’G3
$7&!映射成图J.!!$4&!
图J.!!$4&
+&由("!7"
!
P#$Q"
P.$Q
P$#Q$";#$<
知
(&""(
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
;" P
P$#Q$
!<" .Q
P$#Q$
因为*&U’$(&&!$
!所以*& .Q
P$#Q$&
!
$
由 .Q
P$#Q$’*?Q&*
即U’$7&&*
由 .Q
P$#Q$&
!
$?P
$#Q$#$Q’*
即P$#$Q#!&$’!$以$*!.!&为 圆 心! 为 半 径 的 圆 的 外
部!且U’$7&&*&
即(7#$(’!且U’$7&&*
映射成图J.!!$:&!
图J.!!$:&
@&由(";#$<"!7"
!
P#$Q"
P.$Q
P$#Q$
知
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P$#Q$
!<" .Q
P$#Q$
因为G3$(&’!!U’$(&’*
所以
P
P$#Q$’!
.Q
P$#Q$’
>
2
3
*
!?
P.$ &!$
$
#Q$&$ &!$
$
Q&
>
2
3 *
即(7.!$(&
!
$
且U’$7&&*
映射成图J.!!$>&!
H&由(";#$<"$7"
$
P#$Q"
Q#$P
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(’""(
第 六 章!共 形 映 射
图J.!!$>&
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因为G3$(&’*!*&U’$(&&!
所以
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3
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即 7.!$ ’!$
!且 U’$7&’*
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映射成图J.!!$3&!
图J.!!$3&

2
3
"
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!,$ &# $,#
$, &#
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!,;-$$ &< $,;-$<
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整理 # 得
!H$;$-<$,;,<&%;$-<$,;-< (
!H$!,<,;&%!-<,;
>
2
3 )
由 () 相减得;$-<$,!%*
即;$-<$ %! *
由 )*得
;%!
<%" *
$舍去!因7%3$) 不合题意&及
<% $+
;%,!H
>
2
3 +
将;!<值代入 ! 得 !3$) %!H-$$+
所以7%!H-$$+
(-!H+,
$
+$
(-!H+-
$
+
.
/
0
1
$
%+(-
$!H,$$&
$!H,$$&(-+
("$"(
第 六 章!共 形 映 射
小结 ! 掌握这类给出附加条件的求分式线性映射的方法!
F!J!求把单位圆映射成单位圆的分式线性映射!并满足条件*
!&’$ &!$ %*!’$,!&%!’
$&’$ &!$ %*!85A’2$ &!$ %%$
’
+&’$ &!$ %*!85A’2$ &!$ %*’
@&’$"&%"!25A’2$"&%(!
分析 ! 先设分式线性映射的基本形式!再由具体要求求解!
解 ! 将.(.&!映射成.7.&!的映射的一般形式*
7%3$( (,!!,!$ &( !$.!.&!!($G&
!&由’$ &!$ %*知!所求映射将.(.&!内的点(% !$
映
射成.7.&!的中心!可得!% !$
所以 7%3$(
(,!$
!,!$
2
3
4
5
(
%3$( $(,!$,$ &(
由此并结合’$,!&%!得
3$( ,$,!
$,$,!+ ,&%!
所以 3$( %,!
即 (%%
所以 7%,$(,!$,( %
$(,!
(,$
$&由’$ &!$ %*知!所求映射将.(.&!内的点(% !$
映
射成.7.&!的中心
所以 7%3$(
(,!$
!,!$
.
/
0
1
(
%3$( $(,!$,$ &(
($$"(
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
由此并结合85A’2$ &!$ %%$
得
!!!!72$ &!$ %3$($
$,(&-$(,!&
$,(&$ (%!$
% @+3
$(?85A72$ &!$ %85A$3$(&%(
所以 (%
%
$
7%3$
%
$
$(,!
$,$ &( %$$(,!$,(
+&由$&可知85A72$ &!$ %85A$3$(&%(%*
所以7%3* $(,!$,$ &( %$(,!$,(
@&将大问题化解为两个易于解决的小问题*
!S先将.(.&!映射到.+.&!!并使+$"&%*!25A+2$"&
%(’
$S再将.7.&!映射到.+.&!!并使+$"&%*!25A+2$"&
%*!
由于分式线性映射的逆存在!且也为分式线性映射!设+
%’!$(&%’$$7&!记’,!$ %’!则从.+.&!到.7.&
!的映射为7%’$+&!故7%’+’!$(&,!
7%’$+&将.+.&!内的+%*映射到.7.&!内的
7%"!由于7"+在"点的旋转角为*!故从+"7!在*
点的旋转角也为*!则
25A72$"&%25A’2$+* %*&-25A+2$(* %"&
%*-(%(
这样以.+.&!为中介!建立起满足题意从.(.&!到
.7.&!的映射7!
! 求将.(.&!映到.+.&!!并使+$"&%*!251+2$"&
%(的映射+%’!$(&!由+&可知!+%3
$( (,"
!,$ &"(
(%$"(
第 六 章!共 形 映 射
" 求将.7.&!映到.+.&!!并使+$"&%*!25A+2$"&
%*的映射 +%’$$7&
由$&可知 +%
7,"
!,"7
故由!S/$S得 ! 7,"!,"7 %
3$( (,"!,$ &"( !! 且.".&!
见图J,!H!
小结 ! 主要掌握此类题目的方法步骤!
图J,!H
&
图J,!M
!&U’$(&’!!.(.&$’
$&.(.’$!.(,!$.&!$’
(($"(
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
+&.(.’$!*&25A(&%@
’
@&.(.’$!*&25A(&+%$
’
H&沿连结点(%*和(%"$的线段有割痕上半平面’
J&单位圆的外部!且沿虚轴由$到 ( 有割痕’
M&单位圆的内部!且沿由*到!的半径有割痕的域’
L&.(.&$!.(,!.’!’
N&"&G3$(&&&’
!*&G3$(&’*!*&U’$(&&"!
解 ! $!&如图J,!L$8&所示!由已知可解出4! 与4$ 的交角!%
%
+!
先将4! 与4$ 交点$,!+!$&!$!+!$&分别映射成+平
面中的+%*与+%(!并使所围区域映射成角形域*&
25A+&
%
+
!可得
+%9
(,$,!+-$&
(,$!+-$+ ,& !9为常数
+应把4! 上的(%$映射到实轴的正半轴上!
故+%9
$,$,!+-$&
$,$!+-$+ ,& %,9!取9%,!使+%!落在
实轴的正半轴上!
再通过7%+
+ 将角形域*&25A+&
%
+
映成上半平面!
故所求映射为
7%, (-!+,$
(,!+,
2
3
4
5$
+
$&如图J,!L$4&所示!由已知可解得4! 与4$交点是$!$!,
!$$&!$!$!!$$&!在$!$!,!$$&!4! 与4$ 交角为%
@
!
作映射+%9
(,$!$,!$$&
(,$!$-!$$+ ,&
()$"(
第 六 章!共 形 映 射
图J,!L$8&
%9(,!$$!,$&
(,!$$!-$&
!$9为常数&
该 映射将(平面上的$!$!,!$$&!$!$!!$$&分别映到+平
面上的*!( !将所围区域映射到角形域*&25A+&
%
@
!
则4$ 上的点于(% !$ $应映射成
+%9!$,!$
$!,$&
!$,!$$!-$&
%9$应落在正实轴上!故取9%,$!
再通过7%+
@ 将角形域*&25A+&
%
@
映射成上半平面!
最终得到
7%+
@ % ,$(,!$$!,$&
(,!$$!-$+ ,&
@
% (,!$$!,$&
(,!$$!-$+ ,&
@
图J,!L$4&
+&如图J,!L$:&所示!先作映射+%(
@ 将扇形域变成上半
圆 域!再作$%9+
-!J
+,!J
将4!!4$的交点$,!J!*&!$!J!*&
分别映射成$平面上的*!( !把上半圆域映射成角形域*
(*$"(
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
&25A$&
%
$!
$应将4! 上的点+%*映射成*
$%9
*-!J
*,!J%,
9正实轴上一点!故可取9%,!
最后作7%$
$将角形域*&25A$&
%
$
映射为上半平面!
所以所求映射为
7%$
$ % ,+-!J
+,$ &!J
$
% (@-!J
(@,$ &!J
$
图J,!L$:&
@&如图J,!L$>&所示!先作映射+%(
$
+!将区域.(.’$!
*&25A(& +$%
映射成上 半 圆 的 外 域.+.’$
$
+!*&
251+&&!再作映射/%9+
-$
$
+
+,$
$
+
!9为常数!将4! 与4$
的 交点+!%,$
$
+!+$%$
$
+ 分别映射成/面上的*!(!把上
半圆的外域映射成角形域*&25A/&
%
$
把4! 上的点$
$
+$映射成/面上正实轴上一点!则
/%9
$
$
+$-$
$
+
$
$
+$,$
$
+
!!! 取9%$使/%!
最后作映射7%/
$ 将角形域*& 25A/&
%
$
映射成上半
平面!故所求映射为 !!
(!%"(
第 六 章!共 形 映 射
7%/
$ %, +-$
$
+
+,$$ &$+
$
%,
(
$
+ -$
$
+
(
$
+ ,$$ &$+
$
图J,!L$>&
H&如图J,!L$3&所示!先应用映射+%(
$!便得到一个具有
割痕,"$+G3$+&&-(!U’$+&%*的+平面!再把+平
面 向右作一距离为"$ 的平移*$%+-"
$!便得到了去掉正
实轴的$平面!最后通过映射7%!$!便得到上半7平面!
故所求映射为 !7%!$% +-"! $ % ($-"! $
图J,!L$3&
J&如图J,!L$S&所示!首先!通过映射(!%$(,$(-$
将已知区
域 映射成一个具有割痕G3$(!&%*!*+U’$(!&+!的上
半平面!再应用映射($%($!!便得到一个具有割痕,!+
G3$($&&-(!U’$($&%*的($ 平面!把($ 平面向右作一
距离为!的平移*(+%($-!!便得到去掉了正实轴的(+平
面!最后通过(@ % (!+!便得到上半(@ 平面!
故所求映射为
(@ % (!+ % !-(! $ % !-(! $
! % !, (,$
(-$ &$!
$
(#%"(
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
图J,!L$S&
M&如图J,!L$A&所示!首先通过(!%(
!
$ 将已知域映射成(!
平面上的上半单位圆!再应用($%,(!-!(!,!
将上半单位圆
映射成角形域*&25A($& &$
!最后用(+%($$ 将角形域
*&25A($ & &$
映射成上半平面!故所求映射为
7%(+ %($$ % ,(!-!(!,$ &!
$ 2
3
% !(-!
!(,
4
5!
$
L&如图J,!L$;&所示!! 应用(!% !
(,$
将切点(%$!(
%*!(%,$分别映射成 (!,!$
!,!@
!则.(.&$!
.(,!.&!映射成带形域,!$ &G3
$(&&,!@
’
" 平移*($ %(!-!$
’
# 旋转*(+ %3
&
$$($ %$($’
( 放大*(@ %@&(+’
) 应用(H%3(@ 将水平带形域*&U’$(@&&&映射成角
形域*&25A$(H&&&即上半平面!
("%"(
第 六 章!共 形 映 射
综上得
(H % 3(@ % 3@&(+ % 3@&&($ % 3@&&$(!-
!
$& % 3@&$$
!
(,$-
!
$& %
3$&$$
(
(,$&
图J,!L$A&
图J,!L$;&
N&如图J,!L$&&所示!! 向左平移"个单位*(! %(,"’
" 旋转*($ %$(!’
# 放大$缩小&*(+ % &
&,"
($’
(应用(@%3(+ 将水平带形域*&U’$(+&&&映射成上
半平面!
综上可得 !!(@ %3(+ %3
%
&,"($ %3
%
&,"$(! %3
%$$(,"&
&,"
!*&如图J,!L$Y&所示!! 放缩*(! % &"(
’
"($ %,3,(! 将G3$(!&’*!*&U’$(!&&&映射成上
半单位圆’
# 应用(+ %,($-!($,!
便得到角形域*&25A(+ & &$
’
($%"(
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
图J,!L$&&
图J,!L$Y&
( 应用(@ %($+ 便得到上半平面!
综上得 !(@ %($+ % ,($-!($,$ &!
$
$% 3,
&
"( ,!
3,
&
"( - &!
$
FH$*!求把上半(平面映射成7平面中如图J,!N$8&所示的阴影
部分的映射!并使;%*对应于G点!;%,!对应于L点!
图J,!N$8&
分析 ! 先根据要求列表!然后计算出映射后的图形!再求解!
解 ! 作($ 与7$ 的对应如表J,!*
(%%"(
第 六 章!共 形 映 射
表J,!
$ (& 7$ !$
! * ( *
$ ;$ * &
+ ( ( , &$
@ ,! &$ +
$&
因此
7%9)$(,*&
*
&,!($(,;$&
&
&,!?$(-!&
+
$%
% ,!>(-+
%9)!($(-!&
!
$>(-+%9$ (-! !-E? (-! !,!
(-! !-+ ,!-+
%9$ (-! !-%? (-! !,!
(-! !-!
-&25A (-! !,!
(-! !-
2
3
4
5
+ ,! -+
为了确定常数9与+!把上式改写成
P-$Q% $9!-$9$ >
2
3
&$
@$;-!&$-
2
3
$
@$;-!&$-*! $ 9!D&?$6&$ &$ -9$:CD$6&$ &+ ,$
!-9$%? ;-! !,!
;-! !-!
-9!25A ;-! !,!
;-! !-
2
3
4
5
J
4
5!
%+$-((9$-*(9$-9!(*((-9!(*
%+$-((9$
所以+$ %9$ %*
当7沿4L "&$时!(沿42L2",!!25A(%&!<%*
P%*%+!-%&’
;",!
>
2
3
,
$
@$;-!&$-*!
6
7
$ 9!:CD&-$6&$ &$
!,9$D&?&-$6&$ &8
9
$ -9!%? ;-! !,!
;-! !-!
!,9$25A ;-! !,!
;-! !-+ ,J4
5!
%+!,9$&%+!
Q%&%+$-9!&%9!&!即 !9! %!
所以 9%!!+%*
所求映射为 !!7%$ (-! !-%? (-! !,!
(-! !-!
见图J,!N$4&!
小结 ! 求点点对应的映射!要掌握求解步骤!
FH$!!求把图J,$*$8&所示的阴影部分映射成上半平面的映射!
(’%"(
第 六 章!共 形 映 射
图J,!N$4&
图J,$*$8&
并使G点对应;%,!!T点对应于;%!!
分析 ! 先根据题目要求列出对应的表再求出映射!
解 ! 作($ 与7$ 的对应如表J,$*
故可得
7%9)$(-!&
&
$
&,!$(,!&
&
$
&,!>(-+%9) !
($,! !
>(-+
%9%?$(- ($,! !&-+
%9%?(- ($,! ! -$925A$(- ($,! !&-+
表J,$
$ ($ 7$ !$
! ,! &$ &
$
$ ! * &
$
+ ( ( *
为确定常数9与+将上式改写成
((%"(
!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
!!P-$Q% $9!-9$ &%?(- ($,! ! -
$$9!-$9$&25A$(- ($,! !&-+!-$+$
即 !P%+!-9!%?(- ($,! ! ,9$25A$(- ($,! !&
Q%+$-9$%?(- ($,! ! -9!25A$(- ($,! !&
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见图J,$*$4&!
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第 六 章!共 形 映 射
图J,$*$4&
小结 ! 此类题目的方法步骤比较重要!主要是掌握方法!
= H$$!求出附录中J!N与!$三个关于区域变换的映射
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解 !!&! 旋 转*(! % $,$&(!得 到 区 域 G3$($&’*!, &$ &
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# 由上题知7%:;($!将区域G3$($&’*!*&U’$($&&
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!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
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!! 复变 函 数 同 步 辅 导 及 习 题 全 解
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