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《概率论与数理统计》课堂作业（一）：参考答案
1. 设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不
发生的概率相等，求P (A).
解答：因为P (AB̄) = P (ĀB), 有
P (A)− P (AB) = P (B)− P (AB),
所以P (A) = P (B). 因为P (ĀB) = P (Ā)P (B̄) = (1− P (A))(1−P (B)) = (1−P (A))2, 所
以(1− P (A))2 = 1/9. 因此P (A) = 2/3.
2. 10个产品中有4个次品，从中任取3个，求其中恰有2个次品的概率。
解答：C2
4C
1
6/C
3
10 = · · · .
3. 10件产品中有4个次品，从中任取2件，已知其中至少有一件是次品，求2件都是次品的概
率。
解答：设A = {2件中至少有一件是次品}, B = {2件都是次品}. 有
AB = B,P (AB) = P (B).
因为 P (A) = 1− P (Ā) = 1− C2
6/C
2
10 = 2/3, P (B) = C2
4/C
2
10 = 2/15. 由条件概率得
P (B|A) =
P (AB)
P (A)
=
P (B)
P (A)
=
1
5
.
4. 甲、乙文具盒内都有2支蓝笔和3支黑色笔，现在甲文具盒中任取2支笔放入乙文具盒，然
后再从乙文具盒中任取2支笔，求最后取出的2支笔都是黑色笔的概率。
解答：设A1 = {从甲文具盒内取到2支蓝色笔}, A2 = {从甲文具盒内取到2支黑色笔}
A3 = {从甲文具盒内取到1支蓝色和笔1支黑色笔}, B = {从乙文具盒内取到2支黑色笔}.
显然A1, A2, A3构成一个完全事件组, 且
P (A1) = C2
2/C
2
5 =
1
10
, P (A2) = C2
3/C
2
5 =
3
10
, P (A3) = C1
2C
1
3/C
2
5 =
6
10
P (B|A1) = C2
3/C
2
7 =
3
21
, P (B|A2) = C2
5/C
2
7 =
10
21
, P (B|A3) = C2
4/C
2
7 =
6
21
.
由全概率公式有 P (B) =
∑3
i=1 P (Ai)P (B|Ai) =
23
70 .
5. 一本m页的书，共有r个错字，且每个错字等可能的出现在每一页上，求在给定的一页上
至少有两个错字的概率。
解答：(由于错字相互独立, 所以这是r重Bernoulli实验.) 设A = {给定的一页上至少有两
个错字}, Pr(k)表示在给定的一页上有k个错字的概率, 则有
Pr(k) = Ck
r
(
1
m
)k (
1− 1
m
)r−k
, k = 0, 1, · · · , r.
所以
P (A) = 1− P (Ā) = 1− Pr(0)− Pr(1) = 1−
(
1− 1
m
)r
− r
m
(
1− 1
m
)r−1
.
1