概要信息：

《概率论与数理统计》课堂作业(二)：参考答案
一、选择题
1. A与B是两个随机事件，若AB = ∅，则称这两个随机事件是[C]。
(A) 相容 (B) 对立; (C) 互斥; (D) 独立.
2. 假设连续型随机变量ξ的密度函数φ(x)为偶函数，分布函数为F (x)，则[C]。
(A) F (x)为偶函数; (B) F (x)为奇函数;
(C) F (x) + F (−x) = 1; (D) 2F (x)− F (−x) = 1.
3. 将一枚硬币独立地掷两次，定义事件A1 ={第一次为正面}，A2 ={第二次为正面}，A3 ={正、
反面各出现一次}，A4 ={两次都是正面}，则以下不正确的是[D]。
(A) A1, A2相互独立; (B) A1, A3相互独立;
(C) A2, A3相互独立; (D) A2, A4相互独立.
二、填空题
1. 设对于事件A,B,C，有
P (A) = P (B) = P (C) =
1
4
, P (AB) = P (BC) = 0, P (AC) =
1
8
则事件A,B,C至少一个发生的概率是 5
8 。
2. 设Dξ = 4, Dη = 9, ρξη = 0.6, 则D(3ξ − 2η) = 28.8 。
解答：
D(3ξ − 2η) = D(3ξ) +D(−2η) + 2cov(3ξ,−2η)
= 9Dξ + 4Dη + 2 · 3 · (−2) · cov(ξ, η)
= 72− 12 · ρξη ·
√
Dξ ·
√
Dη
= 28.8.
三、计算题
1. 设有来自两个地区的各10名、15名考生的报名表，期中女生的报名表分别为3份、7份。
现随机抽取一个地区，从这个地区中先后抽取两份报名表。
(a) 求先抽到的一份是女生表的概率；
(b) 若第二份抽到的是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率。
解答：分别用A,B表示第一次抽到女生表、第二次抽到男生表的事件，用Hi(i = 1, 2)表
示抽到第i个地区。由全概率公式得，先抽到的一份是女生表的概率为
P (A) = P (H1)P (A|H1) + P (H2)P (A|H2) =
23
60
;
第二份抽到男生表的概率为（注意抽签的公平性）
P (B) = P (H1)P (B|H1) + P (H2)P (B|H2) =
37
60
;
1
第一次抽到女生表、第二次抽到男生表的概率为
P (AB) = P (H1)P (AB|H1) + P (H2)P (AB|H2) =
1
4
.
故相应的条件概率为
P (A|B) =
P (AB)
P (B)
=
15
37
.
2. 设连续型随机变量ξ的概率密度为
φ(x) =
 Ax2 − 12x+ 3 x ∈ (0, 1)
0 otherwise
,
求A及ξ的期望、方差。
解答：积分可得∫ +∞
−∞
φ(x)dx =
∫ 1
0
(Ax2 − 12x+ 3)dx = (
A
3
x3 − 6x2 + 3x)|10 =
A
3
− 3,
故A = 12。进而可得
Eξ =
∫ +∞
−∞
xφ(x)dx =
∫ 1
0
(12x3 − 12x2 + 3x)dx = (3x4 − 4x3 +
3
2
x2)|10 =
1
2
,
E(ξ2) =
∫ 1
0
(12x4 − 12x3 + 3x2)dx = (
12
5
x5 − 3x4 + x3)|10 =
2
5
,
Dξ = E(ξ2)− (Eξ)2 =
3
20
.
3. 已知随机变量(ξ, η)的联合概率分布为
ξ\η 0 1
−1 1
4 0
0 0 1
2
1 0 1
4
(1) 求ξ + η 的分布; (2) 求Eξ, Eη.
解答：(1) ξ + η 的可能值为：
ξ −1 −1 0 0 1 1
η 0 1 0 1 0 1
ξ + η −1 0 0 1 1 2
P 1
4 0 0 1
2 0 1
4
所以
ξ + η −1 1 2
P 1
4
1
2
1
4
2
(2) 因为ξ, η的边缘分布分别为
ξ −1 0 1
P 1
4
1
2
1
4
η 0 1
P 1
4
3
4
所以 Eξ = −1× 1
4 + 1× 1
4 = 0, Eη = 3
4 .
4. 一厨房中有三个厨师A, B, C. 已知他们分别做了50%, 30%, 20% 的菜(以份数计算)，且
他们做菜时放辣椒的概率分别为：10%, 50%, 90%. 现在从厨房端出一份菜，发现放了辣
椒。求这份菜是厨师C做的概率。
解答：用贝叶斯公式。用S1, S2, S3分别表示一份菜是厨师A, B, C做的，用L表示一份菜
里放了辣椒。则
P (S3|L) =
P (S3L)
P (L)
=
P (L|S3)P (S3)
P (L|S1)P (S1) + P (L|S2)P (S2) + P (L|S3)P (S3)
=
0.9× 0.2
0.1× 0.5 + 0.5× 0.3 + 0.9× 0.2
=
9
19
.
5. 首先从1, 2, 3, 4四个数中随机抽取一个数记作X, 再从1, · · · , X中随机抽取一个数记作Y，
求P{Y = 2}.
解答：用全概率公式。
P{Y = 2}
= P{Y = 2, X = 1}+ P{Y = 2, X = 2}+ P{Y = 2, X = 3}+ P{Y = 2, X = 4}
= P{Y = 2, X = 2}+ P{Y = 2, X = 3}+ P{Y = 2, X = 4}
= P{Y = 2|X = 2}P{X = 2}+ P{Y = 2|X = 3}P{X = 3}+ P{Y = 2|X = 4}P{X = 4}
=
1
4
(
1
2
+
1
3
+
1
4
)
=
13
48
.
6. 已知随机变量ξ, η的概率分布分别为
ξ −1 0 1
P 1
4
1
2
1
4
η 0 1
P 1
2
1
2
且P{ξη = 0} = 1。
(a) 求(ξ, η)的联合分布；
(b) ξ, η是否独立？为什么？
3
解答：因为P{ξη = 0} = 1，所以
1 = P{ξ = −1, η = 0}+ P{ξ = 0, η = 0}+ P{ξ = 1, η = 0}+ P{ξ = 0, η = 1}
= P{ξ = −1, η = 0}+ P{ξ = 0, η = 0}+ P{ξ = 1, η = 0}
+ P{ξ = 0, η = 1}+ P{ξ = 0, η = 0} − P{ξ = 0, η = 0}
= P{η = 0}+ P{ξ = 0} − P{ξ = 0, η = 0}
=
1
2
+
1
2
− P{ξ = 0, η = 0}
所以 P{ξ = 0, η = 0} = 0.
∵ P{ξ = 0} =
1
2
∴ P{ξ = 0, η = 1} =
1
2
∵ P{η = 1} =
1
2
∴ P{ξ = −1, η = 1} = P{ξ = 1, η = 1} = 0
∵ P{ξ = −1} =
1
4
∴ P{ξ = −1, η = 0} =
1
4
∵ P{ξ = 1} =
1
4
, P{ξ = 1, η = 1} = 0
∴ P{ξ = 1, η = 0} =
1
4
.
因此(ξ, η)的联合分布为
ξ\η 0 1
−1 1
4 0
0 0 1
2
1 1
4 0
可见ξ, η不独立。
4