概要信息：

自测题-12（内） 
 
题  号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总    
得  分            
 
 
得分 评阅人 
  
一、 选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分,
请将答案写在答题框内） 
 
题号 1   2   3   4   5   6   7   8   9  10 
答案           
 
1．设 、A B 、C 为三个事件，则事件“ 、A B 、C 中恰有两个发生”可表示为(    ). 
A． ；  B.  AB AC BC+ + A B C+ + ； C. ABC ABC ABC+ + ；  D.  ABC  
2.. 设在 Bernoulli 试验中,每次试验成功的概率为 )10( << pp ，重复独立进行
3 次试验, 至少失败一次的概率为 (  ).   
A. ;                     B. ; 3)1( p− 31 p−
C. 3(1 )p− ;                     D. . )1()1()1( 223 ppppp −+−+−
3. 设 1 2, , , ,nη η η⋅⋅⋅ ⋅⋅ ⋅是相互独立且具有相同分布的随机变量序列, 若 1nEη = ,方差存在, 
( 1, 2, )n = ⋅⋅⋅ ,  则
1
lim | |
3
n
in i
nP nη
→ ∞
=
⎛ ⎞
− <⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ = (     ). 
A.               B. 1;            C.  0; 1 ;
3
               D. 
1
2
. 
4. 设随机变量 X 的概率密度为 , 则方差 D(X)= (    ) 
33 ,
( )
0, 0
xe x
x
x
ϕ
−⎧ >
= ⎨
≤⎩
0
A.  9；          B.  3；               C. 
1
3
；                D. 
1
9
.     
 
5. 设随机变量 的概率密度函数X
)1(
1)( 2x
xf
+
=
π
，则 XY 3= 的概率密度函数为
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自测题-12（内） 
（   ）． 
A．
)1(
1
2y+π
     B．
)9(
3
2y+π
      C．
)9(
9
2y+π
  D．
)9(
27
2y+π
 
6. 设 且 ，则( )~ 1X N σ 2, , ( 1 3) 0.7P X− < < = ( ) =−< 1XP （   ） 
A．0.15      B. 0.30         C. 0.45      D. 0.6 
 
7．设 ，则)2,3(~ 2NX =<< }51{ XP （    ）（设
2
2
0
1( ) d
2
xx
x e
π
−
−∞
Φ = ∫ x ）． 
A．   B．     C．0 0(5) (1)Φ − Φ 02 (1) 1Φ − 0
1 1( ) 1
2 2
Φ −   D． 0 0
5 1( ) ( )
4 4
Φ − Φ  
 
8．设总体
2~ ( , )X N μ σ ，其中μ 未知， 1 2 3 4, , ,x x x x 为来自总体 X 的一个样本，则以下
关于的μ 四个无偏估计： 1μ̂ = ),432 xxx +++(
4
1
1x 43212 5
2
5
1
5
1
5
1ˆ xxxx +++=μ  
43213 6
1
6
2
6
2
6
1ˆ xxxx +++=μ ， 43214 7
1
7
3
7
2
7
1ˆ xxxx +++=μ 中，哪一个最有效？（    ） 
A． 1μ̂ ；              B． 2μ̂ ；        C． 3μ̂ ；            D． 4μ̂  
9. 设 为 总 体 的 一 个 样 本 ,),,,( 21 nXXX L 2( 2, 3 )N X 为 样 本 均 值 , 
, 则下列结论中正确的是 (   ).  S 为样本标准差
A. 
2 ~ ( )
3 /
X t n
n
−
；               B. 2
1
1 ( ) ~ (
9
n
i
i
,1)X X F n
=
−∑ ； 
C. 
2 ~ (0,1)
/
X N
S n
−
；           D. 2 2
1
1 ( 2) ~ (
9
n
i
i
)X nχ
=
−∑ . 
10. 在假设检验中,记 为原假设，则犯第一类错误指的是（     ）. 0H
   A. 正确，接受 ；          B. 不正确，拒绝 ；   0H 0H 0H 0H
 C. 正确，拒绝 ；          D. 不正确，接受  0H 0H 0H 0H
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二、 填空题（共 9 小题, 每空 3 分, 共 30 分, 请将
答案写在答题框内） 
 
题号 1  2  3    4  5   6   7   8   9 
答案          
第 2 页  共 9 页 
自测题-12（内） 
1. 假设 是两个相互独立的事件, 若1 2,A A 1 1 2
3 9( ) , ( ) ,
10 10
P A P A A= + =  则    2( )P A = . 
2. 若 )45.0, ,则它的概率函数 ( )122(~ BX P X k= 在 k =      取得最大值. 
3. 若 ,
1( ) 25,  ( ) 4,  ,
2X YD X D Y ρ= = =  则 ( )D X Y− =              . 
4. 设 ， 的联合分布律为 X Y
     
X 
Y    
1 2 
1 
6
1
 
3
1
 
2 
9
1
 α  
3 
18
1
 β  
 
且 X，Y 相互独立，则α =     ， =β      . 
5. 设 2( ) , ( ) ,E X D xμ σ= = 由切比雪夫不等式知 { }2P X 2μ σ μ σ− < < + ≥      . 
6. 设 是 次独立试验中事件An n A 发生的次数， 是事件p A 在每次试验中发生的概率，则
lim {P 0}
(1 )n
n np
p→∞
−
≤
−
A
np
=          . 
7. 若随机变量 ,ξ η 相互独立, 且 ~ ( 1,1),Nξ −  ~ (2,4)N ,η 则2 3 ~ξ η−         . 
8. 若随机变量 , 则 ~ ( , )F F m n 1 ~
F
          . 
9. 设总体ξ 的分布密度为 , 现从中抽取 个样
本, 测得观测值分别为
, 0 (
( ; )
0, 0,
xe x
x
x
θθ θ
ϕ θ
−⎧ ≥ >
= ⎨
<⎩
1 2, , , ( 0, 1, 2, , )n i
0)
n
x x x x i n⋅ ⋅ ⋅ > = ⋅⋅⋅ , 则参数θ 的最大似然估
计为         . 
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三、计算题（共 5 小题，每小题 9 分，共 45 分） 
1. 甲罐中有一个白球，二个黑球，乙罐中有一个白球，四个黑球，现掷一枚均
匀的硬币，如果得正面就从甲罐中任取一球，如果得反面就从乙罐中任取一
球，若已知取的球是白球，试求此球是甲罐中取出的概率。          
 
 
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自测题-12（内） 
2.设二维随机变量 的概率密度为 ),( YX
1 0 1 0 1
0
,   x , y ,
f ( x, y )
,              
< < < <⎧
= ⎨
⎩ 其他
 
（1）求 ； ,   EX EY
（2）求协方差 ； ( , )Cov X Y
（3）令 ,求协方差 . 2 ,   2U X Y V X= + = −Y ( , )Cov U V
  
 
 
 
 
 
 
 
        
3. 设随机变量 X 的密度函数为： | |( )  ( )xf x Ce x−= − ∞ < < +∞  
（1）试确定常数 C ；    （2）求 ( )1P X < ；  （3）求 2Y X= 的密度函数. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
第 4 页  共 9 页 
自测题-12（内） 
4. 进行 9 次独立测试，测得零件加工时间的样本均值 5.5x = （秒），样本标准差 
（秒）. 设零件加工时间服从正态分布 ，求零件加工时间的均值1.7s = ),( 2σμN
μ 及方差 2σ 置信度为 0.95 的置信区间. (分布表见最后一页) 
 
 
 
 
 
 
5.食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐的标准重量为 500（g），每隔一定时间
检查机器工作情况，现抽取 16 瓶，测得其重量，计算得平均重量 502x g= ，样
本方差 ，假设罐头重量2 42.25s = X 服从正态分布 ，问：机器工作是否
正常？（显著性水平
),( 2σμN
02.0=α , 分布表见最后一页）    
 
 
 
 
 
 
 
 
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四、证明题（共 1 题，每题 5 分，共 5 分） 
1.设  是总体),,,( 21 nXXX L X 的样本, ,   D( )X Xμ σΕ = 2= , 证明：样本方差 
                  ( )
n
k
k
S X
n =
= −
− ∑
2
2
1
1
1
X  
   是总体方差 σ 2  的无偏估计量. 
    
 
 
 
 
 
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自测题-12（内） 
表 1：t 分布双侧分位点数值表 （n：自由度） αP(|t(n)|>t )=α
n    α 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.05 0.02 0.01
8 0.130  0.262  0.399  0.546 0.706 0.889 1.108 1.397 1.860  2.306  2.896 3.355 
9 0.129  0.261  0.398  0.543 0.703 0.883 1.100 1.383 1.833  2.262  2.821 3.250 
10 0.129  0.260  0.397  0.542 0.700 0.879 1.093 1.372 1.812  2.228  2.764 3.169 
15 0.128  0.258  0.393  0.536 0.691 0.866 1.074 1.341 1.753  2.131  2.602 2.947 
16 0.128  0.258  0.392  0.535 0.690 0.865 1.071 1.337 1.746  2.120  2.583 2.921 
17 0.128  0.257  0.392  0.534 0.689 0.863 1.069 1.333 1.740  2.110  2.567 2.898 
∞ 0.126  0.253  0.385  0.524 0.675 0.842 1.036 1.282 1.645  1.960  2.327 2.576 
表 2： 分布上侧分位点数值表2χ ( )2 2P (n)α =χ > χ α （n：自由度） 
n       α  0.995  0.990  0.975 0.950 0.900 0.100 0.050 0.025  0.010  0.005 
8 1.344  1.646  2.180 2.733 3.490 13.362 15.507 17.535  20.090  21.955 
9 1.735  2.088  2.700 3.325 4.168 14.684 16.919 19.023  21.666  23.589 
10 2.156  2.558  3.247 3.940 4.865 15.987 18.307 20.483  23.209  25.188 
15 4.601  5.229  6.262 7.261 8.547 22.307 24.996 27.488  30.578  32.801 
16 5.142  5.812  6.908 7.962 9.312 23.542 26.296 28.845  32.000  34.267 
17 5.697  6.408  7.564 8.672 10.085 24.769 27.587 30.191  33.409  35.718 
 
 
参考答案： 
一、 
题号 1   2   3   4   5   6   7   8   9  10 
答案   C   B   B   D   B   A   B   A   D   C 
 
二、 
题号 1  2  3    4  5   6   7   8   9 
答案 6/7 55 19 2/9, 1/9  3/4  0.5 ( 8,40)N − ( , )F n m  θ
∧
=1/ x  
 
三、 
1．解：令 ,{ }B = 摸出的球是白球 1 2{ },    { }A A= =球取自甲罐 球取自乙罐 ,
则 
    1 2 1 2,   =A A A A ΩU 互不相容，且 ,                 (2 分) 
      由题意知 1 2
1( )= ( )=
2
P A P A ， 1
1 1( | ) ,   ( | )
3 5
P B A P B A2= = ,     (4 分) 
      利用 Bayes 公式知 
            1 1
1
1 1 2
( ) ( | )( | )
( ) ( | ) ( ) ( | )
P A P B AP A B
P A P B A P A P B A
=
+ 2
             (7 分) 
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自测题-12（内） 
                   
1 1
2 3
1 1 1 1
2 3 2 5
5
8
×
=
× + ×
=
                             (9 分) 
 
2．解：(1) 
1 1
0 0
1( , ) ,
2
EX xf x y dxdy xdxdy
+∞ +∞
−∞ −∞
= =∫ ∫ ∫ ∫ =          （1 分） 
         
1 1
0 0
1( , ) ,
2
EY yf x y dxdy ydxdy
+∞ +∞
−∞ −∞
= =∫ ∫ ∫ ∫ =          （2 分） 
      (2) 
1 1
0 0
1( , ) ,
4
EXY xyf x y dxdy xydxdy
+∞ +∞
−∞ −∞
= =∫ ∫ ∫ ∫ =      （3 分） 
                          （5 分） ( , ) 0Cov X Y EXY EXEY= − =
      (3) 
1 12 2 2
0 0
1( , ) ,
3
EX x f x y dxdy x dxdy
+∞ +∞
−∞ −∞
= =∫ ∫ ∫ ∫ =      （6 分）  
          
1 12 2 2
0 0
1( , ) ,
3
EY y f x y dxdy y dxdy
+∞ +∞
−∞ −∞
= =∫ ∫ ∫ ∫ =      （7 分） 
          2 2
( , )
                 =4 (2 )(2 )
1 1 3 1 1                 =4
3 3 2 2 4
Cov U V EUV EUEV
EX EY EX EY EX EY
= −
− − + −
× − − × =
   （9 分） 
 
3．解（1） ( )
0
2 2x xf x dx Ce dx C e dx C
+∞ +∞ +∞− −
−∞ −∞
= = =∫ ∫ ∫ 1=  
          得：
1
2
C =  
( ) (1
2
xf x e x− )∴ = −∞ < < +∞                          (3 分) 
     （2） ( ) 1 1
1 0
1 11
2
x xP X e dx e dx
e
− −
−
1< = = =∫ ∫ −                  (5 分) 
     （3）当 时，0
（3） 将样本观测值代入T 可得 
4(502 500)| | 1.231 2.602
6.5
t −
= = <  
       从而接受原假设 , 即机器工作正常.                     (9’) 0H
 
 
四、 
证明：由于 
      
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自测题-12（内） 
( ) ( )
                                              = ( (( ) ))
                                              = ( )
   
n n
k k k
k k
n
k
n
k
ES E X X EX E X EX X
n n
n
n n n
n n
σσ μ μ μ σ μ
σ
= =
=
=
= − = + −
− −
+ + + − − + +
−
−
−
∑ ∑
∑
∑
2 22 2
1 1
2
2 2 2 2 2 2
1
2
1
1 1
2
1 1
1 2
1
1
1 1
1
1
                                           =σ 2
  
从而 是总体方差 S 2 σ 2  的无偏估计量. 
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