概要信息：

自测题 09（内） 
题  号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总     分
得  分            
一、单选题 (每小题 2分, 共 10 分) 
答题须知：本题答案必须写在如下表格中，否则不给分。 
小题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
答案           
1. 对事件 , ,A B  下列命题中正确的是 (      ). 
(a) 如果 互不相容, 则,A B ,A B 也互不相容; 
(b) 如果 相容, 则,A B ,A B 也相容; 
(c) 如果 相互独立, 则,A B ,A B 也相互独立; 
(d) 如果 ,A B互不相容, 且  则( ), ( ) 0,p A p B > ,A B相互独立. 
2. 设 1 2, , , ,nη η η⋅⋅⋅ ⋅⋅ ⋅是相互独立且具有相同分布的随机变量序列, 若 0nEη =  
( 1, 2, )n = ⋅⋅⋅ , 则
1
lim | |
2
n
in i
np η
→∞
=
⎛ ⎞< =⎜
⎝ ⎠
∑ ⎟ (      ). 
(a)            (b)  1;           (c)  0; 1 ;
2
         (d)  无法确定. 
3. 设 分别是随机变量1 2( ), ( )F x F x 1 2,ξ ξ 的分布函数, 且 
1
1( ) ( )
3
F x F x= 2 ( )F xκ+  
是一个分布函数, 则  (      ). κ =
(a)  
2 ;
3
−          (b)  
2 ;
3
         (c)  
1 ;
3
         (d)  
1 .
3
−  
4. 从总体 中随机抽取一个容量为 16 的样本, 则样本平均数2(10,2 )Y N 10Y ≥  
的概率为 (      ). 
(a)             (b)  1;          (c)  0.5         (d)  0.8413  0; ; .
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自测题 09（内） 
5. 设一批滚珠的直径服从正态分布, 现从中随机抽取 9个滚珠, 测得样本平均
数为10  样本标准差为1(  则这批滚珠直径的期望值的置信度为0.9
的置信区间为 (      ). 
( ),cm ),cm
(a)  0.05 0.05
1 110 (9), 10 (9) ;
3 3
t t⎛ ⎞− +⎜ ⎟
⎝ ⎠
     (b)  0.1 0.1
1 110 (9), 10 (9) ;
3 3
t t⎛ ⎞− +⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
(c)  0.05 0.05
1 110 (8), 10 (8) ;
3 3
t t⎛ ⎞− +⎜ ⎟
⎝ ⎠
     (d)  0.1 0.1
1 110 (8), 10 (8) .
3 3
t t⎛ ⎞− +⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
二、填空题 (每空 3分, 共 36 分)  
答题须知：本题答案必须写在如下表格中，否则不给分。 
小题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
答案           
1. 一射手对同一目标独立地进行四次射击, 若至多击中三次的概率为
15 ,
16
 则
该射手的击中率为             . 
2. 10 只灯泡中有 3只坏的, 7 只好的. 现从中随机抽取 2只进行检验, 则 2 只
灯泡中恰有 1只是坏的概率为            . 
3. 假设 是两个相互独立的事件, 若1 2,A A 1 1 2
3 7( ) , ( ) ,
10 10
p A p A A= + =  则
            2( ) =p A . 
4. 若随机变量ξ的概率密度函数为 
22 ,
( )
0, 0
xe x
x
x
ϕ
−⎧ >
= ⎨
≤⎩ ,
0
 
令 ,e ξη −=  则方差 Dη =              . 
5. 设随机变量ξ的概率密度函数为 
2sin , 0 ( 0)
2
( )
0, 0 ,
2
x x
x
x x
πρ ρ
ρ
ϕ
π
ρ
⎧ ≤ ≤ >⎪⎪= ⎨
⎪ < >
⎪⎩
或
 
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自测题 09（内） 
 则 ρ =        , (
8
p )π ξ π≤ ≤ =        .   
6. 设二元离散型随机变量 1 2( , )ξ ξ 的联合概率分布为 
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    0 1 
0 0.4 λ  
1 0.1 μ  
2ξ
1ξ
μ =      . 若事件{ 02 }= 1 2 1}与{ ξ+ = 相互独立, 则 ξ ξ λ =     ,  
7. 设 1 2, , , ,nη η η⋅⋅⋅ ⋅ ⋅⋅为独立同分布的随机变量序列, 且服从参数为 2的普哇松分 
布, 记 0 ( )xΦ 为标准正态分布函数, 则 1
1 2
lim
2
n
i
i
n
np x
n
ξ
=
→∞
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎜ ⎟≤ =
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑
      . 
8. 若随机变量 ,ξ η相互独立, 且 , (0,N 1),ξ η 4 3ξ η+        . 
9. 从总体 中随机抽取一个容量为 9的样本, 其样本平均数为 4, 
则
2( , 0.3 )X N μ
μ的置信度为 0.95 的置信区间为               . 
10. 设总体ξ的分布密度为 
, 0 (
( ; )
0, 0,
xe x
x
x
θθ θ
ϕ θ
−⎧ ≥ >
= ⎨
<⎩
0)
 
现从中抽取 个个体, 得数据分别为n 1 2, , , ( 0, 1,2, , )n ix x x x i n⋅ ⋅ ⋅ > = ⋅⋅⋅ , 则参数
θ的最大似然估计为             . 
三、计算题 (共 24 分, 其中第 1小题 8分, 第 2 小题 16 分) 
1. 某手机生产厂断言, 该厂生产的某型号手机的合格率为 0.9. 质检部门抽查
了 400 部该型号手机, 如果不少于 350 部手机合格, 就接受这一断言, 否则
拒绝断言. 设实际上该型号手机的合格率为0.9. 试求接受这一断言的概率. 
 
自测题 09（内） 
2．在广东省某次高一数学统考中, 考生的成绩(百分制)服从正态分布
 成绩在 90 及 90 分以上、60 及 60 分以上且 90 分以下、60 分以
下的考生中, 来自重点中学的考生的概率分别是 0.6、0.3、0.05. 
2(72,12 ).N
   (1) 求考生中, 来自重点中学的考生的概率; 
   (2) 对来自重点中学的考生, 求考生成绩在 90 及 90 分以上的概率. 
 
四、证明题 (8 分) 
第 4 页  共 8 页 
2设 1,X X 和 分别来自总体 和 的两个样本, 令1 2,Y Y
1 2( )
2( , 2 )X N μ 2( , 3 )Y N μ
1 2( )Z a X= + X b Y Y+ + (其中 为常数). 证明: ,a b
(1) 当 1 2
2
ab −
= 时, Z 是μ的无偏估计; 
(2) 在μ的具有形式 )1 2 1 2( ) (Z a X X b Y Y= + + + 的无偏估计中, 取   0.3, 0.2a b= =
时的Z 是最有效的. 
五、应用题 (共 22 分, 其中第 1、2小题各 7分, 第 3 小题 8分) 
1. 从一批火箭推力装置中抽取 10 个进行试验, 测得燃烧时间的样本平均数
X =51.89, 样本方差 2S =111.14. 设该燃烧时间服从正态分布. 试以 90%的
置信度对燃烧时间的标准差σ 进行区间估计. 
2. 某工厂生产的一种铜丝的折断力ξ (单位: kg)服从正态分布。采用旧工艺时
服从 2( , 8 ). 现采取了一种新生产工艺, 从用新生产工艺生产的一批铜丝
中随机抽取 10 根, 测其折断力, 算得样本平均数
N μ
X =575.2, 样本方差
2S =75.73. 从抽测结果来看, 能否认为新生产工艺生产的铜丝的折断力的
方差与旧工艺时的方差相同 .05)?( 0α =  
3. 要鉴定一种国内生产的针织品的断列强度(单位: kg)是否已达到国外同种产
品的标准, 需要对国内外相同类型产品进行抽样试验, 现独立地随机抽取容
量均为 8 的样本, 根据实验数据算得样本平均数分别为 X =20.4, Y =19.4, 
样本方差分别为  假定此种针织品的断列强度服从2 2
1 20.8857, 0.8286.S S= =
自测题 09（内） 
正态分布, 且国内外生产的此种针织品的断列强度具有相同的方差. 试问能
否认为国内生产的此种针织品的断列强度指标已达到国外同种产品的标准
?( 0.05)α =   
(附本试卷的参考数据如下:  0.05 1.96,u =  0.025 2.24,u =  0 (0) 0.5,Φ =  
0 (1) 0.8413Φ = ,   0 (1.5) 0.9332,Φ = 0
5( ) 0.9525,
3
Φ =  0 (1.96) 0.975,Φ =  
0 (2) 0.9773Φ = ,   0 (2.24) 0.9875,Φ = 0 (2.5) 0.9938,Φ =  0
20( ) 1,
3
Φ ≈  
0 (60) 1,Φ ≈   0.05 (14) 2.145,t = 0.05 (16) 2.120,t =  0.1(14) 1.761,t =   0.1(16) 1.746,t =
2
0.05 (9) 16.9χ =
2
0.025 (9) 19χ =
,     2
0.05 (10) 18.3,χ = 2
0.95 (9) 3.33,χ = 2
0.95 (10) 3.94,χ =
.0,    ) 2
0.025 (10) 20.5,χ = 2
0.975 (9) 2.7,χ = 2
0.975 (10) 3.25.χ =
参考答案 
 
一  c  b  b  c  d 
二  0.5;         7/15;         4/7;          1/18;        2, 2 / 2 ;   
  0.1, 0.4;    0 ( )xΦ ;   ;   (3.804, 4.196);    2(0,5 )N
1
/( )
n
i
i
n x
=
∑
三 
1 解: 设事件 "ξ = 400部手机中的合格数",  则 ~ ( , ) (400, 0.9),B n p Bξ =  且Eξ =  
400np 0.9 360, (1 ) 360 0.1 36,D np pξ= × = = − = × =           …………3分 
于是接受这一断言的概率为 
350 360 360 400 360(350 400) ( )
36 36 36
5 360 20                        ( )
3 6 3
p p
p
ξξ
ξ
− − −
≤ ≤ = ≤ ≤
−
= − ≤ ≤  
从而由拉普拉斯定理得 
0 0 0
0
20 5 5(350 400) ( ) ( ) 1 (1 ( ))
3 3
5                            = ( ) 0.9525.
3
p ξ≤ ≤ ≈ Φ −Φ − ≈ − −Φ
Φ =
3
 …………8分 
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自测题 09（内） 
2 解: 设考生的成绩为 ,ξ  则  于是2(72,12 ),Nξ 72 (0,1).
12
Nξ −
 令 
事件 成绩在 90 及 90 分以上" ;    1 "A =
事件 成绩在 60 及 60 分以上且 90 分以下" ;    2 "A =
事件 成绩在 60 分以下" ;   事件3 "A = "B = 来自重点中学的考生".  
    则     1 2 3( | ) 0.6, ( | ) 0.3, ( | ) 0.05,p B A p B A p B A= = =
          1 0
72( ) ( 90) ( 1.5) 1 (1.5) 1 0.9332 0.0668,
12
p A p p ξξ −
= ≥ = ≥ = −Φ = − =  
2 0
0 0
72( ) (60 90) ( 1 1.5) (1.5) ( 1)
12
         (1.5) (1) 1 0.9332 0.8413 1 0.7745,
p A p p 0
ξξ −
= ≤ < = − ≤ < = Φ −Φ −
= Φ +Φ − = + − =
 
3 0
72( ) ( 60) ( 1) ( 1) 1 (1)
12
         1 0.8413 0.1587.
p A p p 0
ξξ −
= < = < − = Φ − = −Φ
= − =
 
  …………8分 
(1) 由全概率公式知, 考生中来自重点中学的考生的概率为 
        
3
1
( ) ( ) ( | )
        0.0668 0.6 0.7745 0.3 0.1587 0.05 0.28037.
i i
i
p B p A p B A
=
=
= × + × + × =
∑
                                                     …………12分 
(2) 由贝叶斯公式知, 对来自重点中学的考生, 考生成绩在90及90分以上
的概率为 
1 1
1
( ) ( | ) 0.0668 0.6( | ) 0.14295.
( ) 0.28037
p A p B Ap A B
p B
×
= = =   …………16分 
 
 
四   证明: 由于 1, 2X X 和 分别来自总体 和  故 1 2,Y Y 2( , 2 )X N μ 2( , 3 ),Y N μ
1 2 1 2(1) ( ) ( )
         ( ) ( ) 2 ( ),
EZ a EX EX b EY EY
a b aμ μ μ μ μ
= + + +
= + + + = + b
 
    当
1 2
2
ab −
= 时, ,EZ μ=  从而Z 是μ的无偏估计;    …………3分 
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自测题 09（内） 
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2b
b
( )
2 2
1 2 1 2
2 2 2
(2) ( ) ( )
         (4 4) (9 9) 2 (2 ) (3 )
             2 2 3 12 ,
DZ a DX DX b DY DY
a b a
a b ab
= + + +
= + + + = +
≥ =
 
上式当 时等号成立, 于是当2 3a = 2 3a b= 且
1 2 ,
2
ab −
=  即
时, 最小, 从而结论成立.        …………8分 0.3a = , 0.2b = DZ
 
 
五  
1 解: 因燃烧时间的期望值未知且燃烧时间服从正态分布, 故统计量
2
2 2
2
( 1) ( 1)n S nχ χ
σ
−
= ,−              …………2分 
     由 得2 2 2
0.05 0.9510, 111.14, (9) 16.9, (9) 3.33n S χ χ= = = = 2σ 的置信度为90%
的置信区间为: 
                
2 2
2 2
0.05 0.95
( 1) ( 1), (59.187, 300.378),
(9) (9)
n S n S
χ χ
⎛ ⎞− −
=⎜ ⎟
⎝ ⎠
      …………6分 
     于是σ 的置信度为 90%的置信区间为:       …………7分 (7.693, 17.331).
 
2 解: 设新生产工艺生产的铜丝的折断力 2( , ),Nη μ σ  检验程序如下. 
(1) 建立待检假设 2 2; 0 : 8H σ =
(2) 选取样本的统计量
2
2
2
( 1) ,
8
n Sχ −
=  在 0H 成立的条件下, ;n  2 2 ( 1)χ χ −
(3) 对于给定的检验水平 0.05,α =  查表确定临界值 2
aχ 及 2
bχ 使 
2 2
2 2
2 2
( 1) ( 1)( ) 0.025, ( ) 0.025,
8 2 8 2a b
n S n Sp pα αχ χ− −
< = = > = =  
查表得          …………5分 2 2 2 2
0.975 0.025(9) 2.7, (9) 19.0 ;a bχ χ χ χ= = = =
(4) 利用 10n = 及样本方差 计算统计量 22 75.73S = χ 的观察值为: 
2
2
9 75.73 10.65;
8
χ ×
= ≈  
自测题 09（内） 
(5) 由于10.65  则可认为新生产工艺生产的铜丝的折断力的方
差与原铜丝的相同.                                 …………7分 
(2.7,19.0),∈
 
 
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13  解: 设国内生产的这种针织品的断列强度 2
1 1( , ),Nξ μ σ   国外生产的这种
针织品的断列强度 2
2 2( , ),N 2ξ μ σ  在条件 2 2
1 2σ σ= 下, 检验程序如下. 
(6) 建立待检假设 0 1 2: ;H μ μ=  
(7) 选取样本的统计量
1 2
1 2
,X YT
S S
n
−
=
+
 由于 2 2
1 2 ,σ σ=  故 这里 
8);n =  
(2 2) (T t n −
(8) 对于给定的检验水平 0.05,α =  查表确定临界值 at 使  (| | ) 0.05,p T tα> =
查表得                           …………5分 0.05 (14) 2.145;t tα = =
(9) 利用 8n = 及样本平均数 20.4, 19.4,X Y= =   样本方差  2
1 0.8857,S =
2
2 0.8286S = 计算 | 的观察值为: |T
                  
| 20.4 19.4 || | 2.1603;
0.8857 0.8286
8
T −
= =
+
         
(10)由于 0.05  故应拒绝 0H , 即认为国内生产的此种针
织品的断列强度指标没达到国外同种产品的标准.       …………8分 
2.1603 2.145 (14),t> =