概要信息：

高等数学作业 2025-2026-2 班级： 姓名： 序号：
1
8-1 向量及其线性运算
一、填空题
1. 把 ABC 的边 BC 三等分，分点依次为 1D 、 2D ，再把各分点与点 A连接，若记 ac  BCAB , ，
则向量 1AD ， AD2 .
2. 已知两点 )0,1,1()2,1,0( 21 MM 和 ，则向量 21MM 的坐标为 .
3. 与向量 )6,7,6( a 同向的单位向量为 .
4. 点 )3,2,1(  关于 xoy 坐标面的对称点为 ，关于 y轴的对称点为 ，
关于坐标原点的对称点为 .
5. 设向量 kjia 472  ，则a 在 z轴上的投影为 ，a 在 y轴上的分向量为 .
6. 设点 )5,4,3( A ，则 A到 x轴的距离为 ， A到 xoz 面的距离为 ，
A到坐标原点的距离为 .
7. 已知三点 )3,5,0()1,1,4()1,1,2(  CBA 、、 ，则 ABC 的边 BC 的中点D坐标为 ，
ABC 的中线 AD 长度为 ， ABC 的重心坐标为 .
二、解答下列各题
1.在 yoz 面上，求与三点 )1,5,0()2,2,4()2,1,3( CBA 、、  等距离的点.
2. 一向量的起点为 )7,1,2( A ，它在 轴轴和轴、 zyx 上的投影依次为 74,4 和 ，求此向量的终点 B
的坐标.
2
3. 已知两点 )2,0,3()1,2,4( 21 MM 和 ，计算向量 21MM 的模、方向余弦和方向角.
三、如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形.
四、证明以三点 )6,1,10()3,4,2()9,1,4( CBA 、、 为顶点的三角形是等腰直角三角形.
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3
8-2 数量积 向量积
一、填空题
1. 设 )1,2,1(),2,1,3(  ba   ，则 ba ，  ba .
2. 设 )2,1,2(a ， ),2,3( b ，且 ba  ，则  .
3. 设 ,1,2  ba
6

的夹角为与ba ，则 ba ，  ba .
4. 设 )1,3,2(),0,2,1(  ba   ，以 ba , 为相邻边的平行四边形的面积为 .
5. 设 cba ,, 为单位向量，且满足 0 cba ，则  accbba .
二、解答下列各题
1.已知 )3,1,3()1,3,3()2,1,1( 321 MMM 和、 ，求与 3221 MMMM   、 同时垂直的单位向量.
2. 求向量 )4,3,4( a 在向量 )1,2,2(b 上的投影.
3. 设 )2,5,3( a ， )4,1,2(b ，问 和 有怎样的关系，能使得 z与ba   轴垂直？
4
三、已知向量 )0,2,1(),3,1,1(),1,3,2(  cba ，计算：
1. cba )( 
2. cba  )(
3. cba  )(
四、设三点 )1,1,3()4,3,1()1,1,2(  CBA 和、 ，
1. 证明三点 CBA ,, 不共线；
2. 求 ABC 的面积；
3. 求内角 BAC .
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5
8-3 平面及其方程
一、填空题
1. 过点 )1,0,3(  且与平面 07423  zyx 平行的平面方程为 .
2. 平面 0522  zyx 与 xoy 坐标面的夹角为 .
3. 点 )1,2,1( 到平面 01022  zyx 的距离为 .
4. 平面 0623  zyx 在 z轴上的截距为 .
5. 两平行平面 0122  zyx 与 0522  zyx 之间的距离为 .
6. 两平面 062  zyx 与 032  zyx 之间的夹角为 .
7. 设平面 : 092  zkyx ，若通过点 )6,4,5(  ，则 k ；
若与平面 0132  zyx 垂直，则 k .
二、解答下列各题
1. 求过 )2,1,1()2,2,2()1,1,1( 321  MMM 和、 三点的平面方程.
2. 求过点 )1,0,1(  且平行于向量 )0,1,1()1,1,2(  ba 和 的平面方程.
6
3. 求过两点 )0,1,3()1,2,1( 21  MM 和 且垂直于平面 0243  zyx 的平面方程.
三、分别按下列条件求平面方程：
1. 平行于 xoz 面且经过点 )3,5,2(  ；
2. 通过 z轴和点 )2,1,3(  ；
3. 在 x轴上的截距为 2 且垂直于向量 )3,1,4(  .
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7
8-4 空间直线及其方程
一、填空题
1. 过点 )3,1,4(  且与直线
5
1
12
3 

 zyx
平行的直线方程为 .
2. 通过两点 )2,0,1()1,2,3( 21  MM 和 的直线方程为 .
3. 点 )0,2,1( 在平面 012  zyx 上的投影为 .
4. 直线
11
3
2
4 zyx




与平面 03  zyx 的交点为 .
5. 直线
7
2
2
4
3
1 




 zyx
与平面 03723  zyx 的位置关系是： .
二、求过点 )3,0,2(  且与直线





01253
0742
zyx
zyx
垂直的平面方程.
三、求过点 )4,2,0( 且与两平面 2312  zyzx 和 平行的直线方程.
四、求过点 )2,1,3(  且通过直线
12
3
5
4 zyx




的平面方程.
8
五、解答下列各题
1. 求直线





012
023
zyx
zyx
与平面 01  zyx 的夹角.
2. 求点 )2,1,3(  到直线





042
01
zyx
zyx
的距离.
3. 求直线





0923
042
zyx
zyx
在平面 014  zyx 上的投影直线的方程.
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9
8-5 曲面、空间曲线及其方程
一、填空题
1. 球心在点 )3,1,2(  且通过原点的球面方程为 .
2. 以 )2,0,1()1,1,1(  和 为直径的两个端点的球面方程为 .
3. 与 z轴和点 )1,3,1(  等距离的动点的轨迹方程为 .
4. 球面 03242222  zyxzyx 的球心为 ，半径为 .
5. 将 xoz 坐标面上的抛物线 2xz 5 绕 z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为 .
6. 将 xoy 坐标面上的双曲线 3694 2  yx 2 绕 x轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为
,绕 y轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为 .
7. 母线平行于 x轴且通过曲线






1
73
22
22
zyx
zyx
2
2
的柱面方程为 .
8. 球面 9222  zyx 与平面 1 zx 的交线在 xoy 面上的投影为 .
9. 方程 92  yx 在平面解析几何中表示的图形是 ，在空间解析几何中表示的
图形是 .
10. 方程






3
1
94
22
y
yx
在平面解析几何中表示的图形是 ，在空间解析几何中表示的
图形是 .
11. 曲线






2
2
)1()1(
2
yxz
yxz
2
2
在 xoy 面上的投影曲线方程为 .
10
二、画出下列方程所表示的曲面
1. 224 yxz  2. 224 yxz 
3. 24 xz  4. 122  yx
三、画出下列各曲面所围立体的图形
1. 1,1,0,0.0 2222  zxyxzyx 2. 2222 1, yxzyxz 
（在第一卦限内）
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11
9-1 多元函数的基本概念
一、填空、选择题
1. 函数 )12ln( 2  xyz 的定义域为 .
2. 函数 yxz  的定义域为 .
3. 函数
22
arccos
yx
zu

 的定义域为 .
4. 函数
1
14
222
222


zyx
zyxu 的定义域为 .
5. 221,0(),(
1lim
yx
xy
yx 

 ）
= .
6.
y
xy
yx
sinlim
0,3(),( ）
= .
7. 设函数










0,0
0,1sin)(
),(
22
22
22
22
yx
yx
yx
yx
yxf
                                   
    
，则 ),( yxf 在点 )0,0( （ ）
（A）无定义 （B）不存在极限 （C）极限为 0 （D）不连续
8.设函数







00
0
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf
，
，
，则 ( , )f x y 在点 )0,0( （ ）
（A）无定义 （B）不存在极限 （C）极限为 0 （D）连续
二、计算下列极限
1.
xy
xy
yx
42
lim
0,0(),(

 ）
2.
x
xyy
yx
tanlim
2,0(),( ）
12
3. 22
)(
)cos(1lim
22
22
0,0(),( yxyx eyx
yx


 ）
三、写出二元函数 221 yxz  的定义域并描绘函数的图形.
四、证明
yx
yx
yx 

 ）0,0(),(
lim 不存在.
五、证明 0lim
220,0(),(

 yx
xy
yx ）
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13
9-2 偏导数与全微分
一、填空、选择题
1. 设 )ln( 2yxz  ，则全微分 zd .
2. 设 222),,( zxyzxyzyxf  ，则 )2,0,1(xzf .
3. 曲线







4
4
22
y
yxz
在点 )5,4,2( 处的切线对于 x轴的倾角为 .
4. 设







,0,0
,0,sin
),( 2
xy
xy
y
xy
yxf 则 )1 ,0(xf .
5. 设
x
yxz sin ，则 





y
zy
x
zx .
6. ),( yxfz  在 ),( 000 yxP 处 ),( yxf x 、 ),( yxf y 存在是函数在该点可微分的 （ ）
（A）必要条件； （B）充分条件；
（C）充要条件； （D）既非必要亦非充分条件.
二、求下列函数的偏导数
1. xyxyz 2cossin 
2. yxyz )1( 
3. z
y
xu 
14
三、设
)11(
yxez

 ，求证： z
y
zy
x
zx 222 





.
四、设函数
x
yz arctan ，求    ,  
2
2
2
2
2
yx
z
y
z
x
z






， .
五、求下列函数的全微分
1、
y
xxyz 
2、 yzxu 
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15
9-3 多元复合函数的求导法则、隐函数的求导公式
1. 设 yxez 2 ，而 3,sin tytx  ，则 
t
z
d
d
.
2. 设 )arctan(xyz  ，而 xey  ，则 
x
z
d
d
.
3. 设 vuz ln2 ，而 yxv
y
xu 23,  ，求    ,
y
z
x
z




.
4.求下列函数的一阶偏导数（其中 f 具有一阶连续偏导数）
（1） ),( 22 xyeyxfz  （2） ),,( xyzxyxfu 
5.设 ）22( yxfz  ，其中 f 具有二阶导数，求    ,
2
2
2
yx
z
x
z




.
6.设 ),(
y
xxfz  ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 2
22
2
2
  ,   ,
y
z
yx
z
x
z






.
16
7.设 0sin 2  xyey x ，求
x
y
d
d
.
8.设 0 xyze z ，求 2
2
  ,
x
z
y
z
x
z






， .
9.设






2032 222
22
zyx
yxz
，求  
d
d  ,
d
d
x
z
x
y
.
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17
9-4 多元函数微分学的几何应用
一、填空题
1、曲线 32 ,, tztytx  上点 的切线平行于平面 42  zyx .
2、曲线






xz
xy
2
4
2
2
在点 )1 ,2 ,1( 处的切线方程为 .
3、曲面 3 xyze z 在点 )0 ,1, 2( 处的切平面为 ，
法线为 .
4、椭球面 2 2 22 3 6x y z   在点 (1, 1,1) 处的法线方程是 .
二、求曲线
2,1,
1
tz
t
ty
t
tx 



 在对应于 1t 点处的切线及法平面方程.
三、求曲线





04532
03222
zyx
xzyx
在点 )1 ,1, 1( 处的切线及法平面方程.
18
四、求椭球面 12 222  zyx 上平行于平面 02  zyx 的切平面方程.
五、试证曲面 )0(   aazyx 任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于 a .
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19
9-5 方向导数与梯度
一、填空题
1、函数 )3ln( yxz  在点 )1 ,2( 处沿向量 jil

 方向的方向导数为 .
2、函数 222 yxz  在点 )1 ,1(  的梯度为 .
3、设 )ln(),,( 222 zyxzyxf  ，则  )2 ,2 ,1( grad f .
4、函数 22 2 yxyxz  在点 )3 ,2( 处方向导数的最大值为 .
二、求函数 xyzzxyu  32 在点 )2 ,1 ,1( 处沿方向角为
3
,
4
,
3
  的方向的方向导数.
三、求函数 xzyzxyu  在点 )2 ,1 ,2( P 处沿点 P向径方向的方向导数.
20
四、求函数 22 yxz  在点 )2 ,1(0M 处沿从 0M 到 )32 ,2(1 M 的方向的方向导数.
五、求函数 zxyu 2 在点 )2,1,1(0 M 处，从 0M 指向 )1 ,1 ,2(1 M 方向的方向导数，并求函数在 0M 点
处的最大方向导数.
六、设球面 14222  zyx 在点 )2 ,3 ,1(0P 处的外法线方向为 n，求函数 32 zyxu  在点 0P沿方向
n的方向导数.
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21
9-6 多元函数的极值及其求法
一、填空、选择题：
1、函数 xyz  在附加条件 1 yx 下的极大值为 .
2、函数 134232 22  yxyxyxz 在驻点 处取得极 值为 .
3、斜边之长为定值的一切直角三角形中有最大周长的三角形是 .
4、设函数 ),( yxfz  具有二阶连续偏导数，且在点 ),( 00 yx 处有 0),(),( 0000  yxfyxf yx ，
2),(),(0),(),( 00000000  yxfyxfyxfyxf yxxyyyxx ， ，则 （ ）
（A）点 ),( 00 yx 是函数 ),( yxfz  的极大值点；（B）点 ),( 00 yx 是函数 ),( yxfz  的极小值点
（C）点 ),( 00 yx 不是函数 ),( yxfz  的极值点；（D）无法判定.
二、求函数 22)(4),( yxyxyxf  的极值.
三、求函数 zyxzyxf 22),,(  在附加条件 1222  zyx 下的极大值.
22
四、在 xoy平面上求一点，使它到 0,0  yx 及 0162  yx 三直线的距离平方之和为最小 .
五、求内接于半径为 a的球且有最大体积的长方体.
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23
10-1 二重积分的概念与性质
一、填空、选择题
1.设有一平面薄片占有 xoy 面上的闭区域D，薄片上分布有面密度为 ),( yx 的电荷，且 ),( yx
在D上连续，则薄片上的全部电荷可用二重积分表示为 .
2.设D是由 )1,0( ),0,1( ),0,0( 为顶点的三角形区域，利用二重积分的几何意义可得

D
yxyx dd)1( .
3.设 )(tf 为连续函数，则由平面 0z 、柱面 122  yx 和曲面 )(2 xyfz  所围立体的体积可用
二重积分表示为 .
4.设 
 

1
22 sincos1
dd
yx yx
yxI ，则 I 满足 （ ）
（A） 2
3
2
 I ； （B） 32  I ； （C）
2
10  I ； （D） 01  I
5.设  
DDD
yxIyxIyxI  d)(  ,d)(  ,d)ln( 3
2
21 ，其中D是由直线 0,0  yx ，
2
1
 yx 及 1 yx 所围成的区域，则 321 ,, III 的大小顺利为 （ ）
（A） 123 III  ； （B） 321 III  ；（C） 231 III  ；（D） 213 III 
6.设 )0(  : 222  aayxD ，则 
D
yxyxa dd222 .
7.若 ),( yxf 在D上连续，且 DD 1 ，是否一定有  
DD
yxfyxf  d),(d),(
1
？ .
二、试讨论  
D
yx d)( 22 与  
1
d)( 22
D
yx  的关系，其中
 22,11),(  yxyxD ，  20,10),(1  yxyxD
24
三、试利用二重积分的性质估计下列积分值：
1.  
D
yxI d)2( ，其中  20,10),(  yxyxD
2.  
D
yxI d)14( 22 ，其中  4),( 22  yxyxD
四、设 ),( yxf 是连续函数，试利用积分中值定理求极限



222
d),(  1lim 20
ryx
r
yxf
r

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25
10-2 二重积分的计算法(一）
一、填空题
1.设区域  1,1),(  yxyxD ，则二重积分 
D
yx d)( 22 .
2. 设平面薄片所占的闭区域由直线 xyyx  ,2 及 y轴所围成，它的面密度为
22),( yxyx  ，则该平面薄片的质量为 .
3.交换二次积分的次序  
1 
0 
1 
 
d),(d
x
yyxfx .
4.交换二次积分的次序  
2 
0 
2 
 2
d),(d
y
y
xyxfy .
5.交换二次积分的次序  
e 
1 
ln 
0 
d),(d
x
yyxfx .
二、计算下列二重积分
1.  
D
yxI d)23( ，其中D是由两坐标轴及直线 2 yx 所围成的闭区域；
2. 
D
yxI d ，其中D是由两条抛物线 2, xyxy  所围成的闭区域；
26
3.  
D
xyxI d)( 22 ，其中D是由直线 xyy  ,2 及 xy 2 所围成的闭区域；
4. 
D y
xI d2
2
，其中D是由直线 xyx  ,2 及曲线 1xy 所围成的闭区域.
三、化二重积分 
D
yxfI d),( 为二次积分（两种不同次序），其中积分区域D是由直线 xy 
及抛物线 xy 42  所围成的闭区域.
四、计算由四个平面 1,1,0,0  yxyx 所围的柱体被平面 0z 及 632  zyx 截得的立体
的体积.
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27
10-3 二重积分的计算法(二）
一、填空题
1.设区域  1),( 22  yxyxD ，则二重积分 
D
yx d)( 22 .
2.设区域D是由圆周 41 2222  yxyx ， 及直线 0,  yxy 所围成的在第一象限的闭区域，
则二重积分 
D x
y darctan .
3.  
1 
0 
 
0 
d),(d
x
yyxfx 转化成极坐标系下的二次积分为 .
4.  
1 
0 
1 
 
d),(d
y
xyxfy 转化成极坐标系下的二次积分为 .
二、计算下列各题
1.  
D
yxe d
22
，其中D是由圆周 222 ayx  所围成的闭区域；
2.  
D
yx d)1ln( 22 ，其中D是由圆周 122  yx 及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域；
28
3.  
D
yx d22 ，其中D是圆环形闭区域： 2222),( byxayx  .
三、计算以 xoy 面上的圆周 axyx  22 围成的闭区域为底，以曲面 22 yxz  为顶的曲顶柱体的
体积.
四、求由曲面 22 2 yxz  及 2226 yxz  所围成的立体的体积.
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29
10-4 三重积分
一、填空题
1.化三重积分 

zyxzyxf ddd),,( 为直角坐标系下的三次积分 ，
其中积分区域是由三个坐标面及平面 13  zyx 所围成的闭区域.
2.设有一物体占有空间闭区域  10,10,10),,(  zyxzyx ，其体密度为
zyxzyx ),,( ，则该物体质量可用三重积分表示为 ，
其值为 .
二、计算 

zyxzxy ddd2 ，其中是曲面 xyz  与平面 1,  xxy 和 0z 所围成的闭区域.
三、计算 

zyxxyz ddd ，其中是球面 1222  zyx 及三个坐标面围成的第一卦限内的闭区域.
30
四、计算 

 vyx d)( 22 ，其中是曲面 zyx 222  及平面 2z 所围成的闭区域.
五、计算 

vxyd ，其中是柱面 122  yx 及平面 0,0,0,1  zyxz 所围成的第一卦限内的
闭区域.
六、计算 

 vzyx d)( 222 ，其中是球面 1222  zyx 所围成的闭区域.
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31
10-5 重积分的应用
一、填空题
1. 平面 422  zyx 被圆柱面 122  yx 割下的那部分面积为 .
2. 均匀薄片所占的闭区域由 1,2  yxy 围成，则其质心坐标为 .
3.球体 2222 azyx  在点 ),,( zyx 处的密度为 222),,( zyxzyx  ，则球体的质量为
.
二、已知曲面 22
1 6 yxz ： 与曲面 22
2 yxz  ： .
1.求两曲面所围成的立体的体积；
2.求立体的表面积（ 1 部分）.
三、求锥面 22 yxz  被柱面 xz 22  所割下部分的曲面面积.
32
四、求球面 1222  zyx 含在圆柱面 xyx  22 内部的那部分面积.
五、设平面薄片所占的闭区域D由抛物线 2xy  及直线 xy  围成，它在点 ),( yx 处的面密度为
yxyx 2),(  ，求该薄片的质心.
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33
11-1 对弧长的曲线积分
一、填空题：
1. 设 L是从点 )0,1( 到点 )1,0( 的直线段，则  syx
L
d)( .
2. 设 L是从点 )0,1( 到点 )2,1( 的直线段，则  syx
L
d)2( .
3. 设 L为曲线 xy ln 上介于 3,2  xx 的一段弧，则  sx
L
d2
.
4. 设 L为右半圆周 0,222  xayx ，则  sx
L
d .
二、计算下列对弧长的曲线积分：
1. sy
L
d ，其中 L为摆线的一拱





)cos1(
)sin(
tay
ttax
， )20  t（
2.  
L
syx d)432( ,其中 L为圆周 122  yx 在第一象限的部分.
34
3.  
L
yx se d
22
，其中 L为圆周   222 ayx  、直线 xy  及 x轴在第一象限内所围成的扇形的整个
边界.
4. s
zyx
d1
222 
，其中为曲线 ttt ezteytex  ,sin,cos 上相应于 t从 0 到 2 的这段弧.
三、设曲线形构件位于抛物线 2xy  的一段弧上（ 21  x ），它的线密度为 xyx 2),(  ，求该
构件的质量.（选作）
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35
11-2 对坐标的曲线积分
一、填空题：
1.设 L是圆 122  yx 上从点 )0,1( 到点 )0,1( 的半圆弧，则 L yxyd .
2. 设是曲线 tztytx sin,cos,  上对应 t从 0 到 的一段弧，则  zyyzxx ddd2
.
3. 设 L为抛物线 2xy  上从点 )0,0( 到点 )1,1( 的一段弧，则对坐标的曲线积分
 
L
yyxQxyxP d),(d),( 化成对弧长的曲线积分为 .
二、计算下列对坐标的曲线积分：
1. xyx
L
d)( 22  ，其中 L是抛物线 2xy  上从点 )0,0( 到点 )4,2( 的一段弧.
2.  
L
yxxya dd)2( ,其中 L为摆线 )cos1(),sin( tayttax  上对应 t从 0 到 2 的一段弧.
36
3.   zyxyyxx d)1(dd ，其中是从点 )1,1,1( 到点 )4,3,2( 的一段直线.
三、计算  
L
yxyxyx d)(d)( ，其中 L是：
1.从点 )1,1( 到点 )2,4( 的直线段.
2.先沿直线从点 )1,1( 到点 )2,1( ，然后再沿直线到点 )2,4( 的折线.
四、  
L
yxxy dd ,其中 L为圆周 222 ayx  （沿逆时针方向绕行）.
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37
11-3 格林公式及其应用
一、填空题：
1.设 L为圆周 922  yx （逆时针方向），则  yxyxyyx
L
d2d)3( 2
.
2.设 L为椭圆 1
52
22

yx
（逆时针方向），则  )dd( yxxye
L
xy
.
3.已知 2)(
dd)(
yx
yyxayx


为某二元函数的全微分，则常数 a .
二、计算曲线积分  
L
yyxxxxy d)(d)2( 22 ，其中 L是由抛物线 2xy  和 xy 2 所围成区域的正
向边界曲线,并验证格林公式的正确性.
三、证明曲线积分 yxyyxxyxy d)36(d)6( 22343
21
2 
），（
），（
在整个 xoy面内与路径无关，并计算积分值.
38
四、利用格林公式计算下列曲线积分：
1.  
L
yxyxyx d)635(d)42( ，其中 L是以 )0,3(),0,0( 和 ），（ 23 为顶点的三角形正向边界.
2., L (�
2 −�)d� + (� + sin2�)d� 其中 L是在圆周 22 xxy  上由点 ），（ 00 到点 ），（ 11 的一段弧.
五、验证 yyxxyx d)32(d)2(  在整个 xoy面内是某一函数 ),( yxu 的全微分，并求出这样的一个
),( yxu .
六、验证 0d)cos(d)2sin( 2  yxyxxy 是全微分方程，并求其通解.
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39
11-4 对面积的曲面积分
一、填空题：
1.设是上半椭球面 1
49
2
22
 zyx
）（ 0z ，已知面积为 A ,则 

Szyx d)3694( 222 .
2.设是抛物面 )(2 22 yxz  在 xoy面上方的部分，则 

Sd .
3.设是上半球面 222 yxaz  ，则 

Syxa d222 .
二、计算 

 Syx d)( 22 ，其中是锥面 22 yxz  及平面 1z 所围成的区域的整个边界曲面.
40
三、计算 

 Szyx d)( ，其中是球面 2222 azyx  上 )0(  ahhz  的部分.
四、已知曲面壳 )(3 22 yxz  面密度为 zyx  22 ，求此曲面壳在平面 1z 以上部分的质量.
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41
11-5 对坐标的曲面积分
一、填空题：
1.设是平面 63223  zyx 在第一卦限内的部分的上侧，把对坐标的曲面积分
yxzyxRxzzyxQzyzyxP dd),,(dd),,(dd),,(

 化成对面积的曲面积分 .
2.设 }10,10,10),,{(  zyxzyx ,是长方体的整个表面的外侧，则曲面积分


yxzxzyzyx dddddd 333 .
二、计算 

yxxz dd ，其中是平面 1,0,0,0  zyxzyx 所围成的空间区域的整个边界曲面的
外侧.
42
三、计算 yxzyx dd22

，其中是球面 2222 azyx  的下半部分的下侧.
四、计算 

 yxzxzyzyx dddddd ，其中是柱面 122  yx 被平面 0z 及 3z 所截得的在第一卦限
内的部分的前侧.
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43
11-6 高斯公式 斯托克斯公式
一、填空题：
1.设向量场 kjiA )()()( 222 xyzxzyyzx  ，其散度 A div .
2.设向量场 kjiA )2()3()32( xyzxyx  ，其旋度 A rot .
3.设是由圆锥面 221 yxz  与 xoy面所围圆锥体的整个表面的外侧，则曲面积分


yxxzxzyz dddddd2 .
二、利用高斯公式计算下列曲面积分：
1. yxzxzyzyx dddddd 333 

， 其中是球面 2222 azyx  的外侧.
2. yxzxzyzyx dddddd 

， 其中是介于 0z 及 3z 之间的圆柱体 922  yx 的整个表面的
外侧.
44
三、计算 yxzyxzzyxzyxz dd)1(dd)(dd 2322 

，其中为上半球面 222 yxaz  的上侧.
四、计算 yxzxzyyzzyxz dd)10(dd)(dd2 322 

，其中为曲面 )(
2
1 22 yxz  介于平面 0z 与
2z 之间的部分的下侧.
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45
12-1 常数项级数的概念和性质
一、填空、选择题:
1. 级数  432 5
1
5
1
5
1
5
1
的一般项为 nu = ，部分和 ns = .
2. 已知级数
1
n
n
u


 收敛于 1，则级数
2
n
n
u


 收敛于 .
3. 若级数
1
n
n
u


 的部分和
1
2


n
nsn ，则 nu ， 

1n
nu .
4. 级数

1n
nu 的一般项 nu 趋于零，是该级数收敛的 （ ）
（A） 充分条件 （B）必要条件
（C） 充分必要条件 （D）既不充分、又非必要条件
5. 级数

1n
nu 的部分和数列 }{ nS 存在极限，是该级数收敛的 （ ）
（A） 充分条件 （B）必要条件
（C） 充分必要条件 （D）既不充分又非必要条件
6. 若级数

1n
nu 收敛，

1n
nv 发散，为正常数，则级数



1
)(
n
nn vu  ( )
（A） 一定收敛 （B） 一定发散
（C） 收敛性与有关 （D） 无法断定其敛散性
7. 下列级数收敛是 （ ）
（A） )1(
1
nn
n



（B） )11ln(
1


n n
（C） n
n
n
n
5
3)1(
1



 （D） 

1 2
1
n n
8.下列命题正确的是 （ ）
（A）若

1n
nu
2 收敛，则

1n
nu 收敛 （B）若

1n
nu 收敛，则

1
1
n nu
必发散
（C）若

1n
nu 发散，则

1
1
n nu
必收敛 （D）若 

1n
nu 发散，

1n
nv 发散，则



1
)(
n
nn vu 必发散
46
二、判定下列级数的收敛性，若收敛求其和：
1. 

 1 )12)(12(
1
n nn
2. 

1 7
1
n
n
3.   )
3
2
2
1)
3
2
2
1)
3
2
2
1)
3
2
2
1
3322 nn（（（（
4.  
6
sin
6
2sin
6
sin  n
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47
11-2 常数项级数的审敛法（一）
一、填空题：
1.部分和数列 ns 有界是正项级数

1n
nu 收敛的 条件.
2.正项级数

1n
nu 收敛是级数

1
2
n
nu 收敛的 条件.
3.设常数 0p ，则 p级数

1
1
n
pn
当 时收敛，当 时发散.
二、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列正项级数的收敛性：
1.

 1 )4)(1(
1
n nn
2.

1 4
sin
n
n

3. )0(
1
1
1




a
an
n   
三、用比值审敛法判定下列正项级数的收敛性：
1.

1
2
3n
n
n 2.



1
!2
n
n
n
n
n
48
3.



1
12
tan
n
nn 
四、用根植审敛法判定正项级数
n
n n
n








1 23
的收敛性：
五、判定下列级数的收敛性：
1.
n
n
n








1 4
3
2. 

1 3
sin2
n
n
n 
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49
12-3 常数项级数的审敛法（二）
一、填空、选择题：
1.级数

1n
na 收敛，是级数

1n
na 收敛的 条件.
2.下列级数中，为绝对收敛级数的是 （ ）
（A） 



1
)1(
n
n
n
（B）

 

1 1
)1(
n
n
n
（C） 





1
2
1
1
)1(
n
n
n
n
（D） 



1
1
2
1)1(
n
n
n
3.下列级数中，为条件收敛级数的是 （ ）
（A） 





1
1
1
)1(
n
n
n
n
（B）



1
1)1(
n
n n （C） 



1
1 1)1(
n
n
n
（D） 



1
2
1 1)1(
n
n
n
4.交错级数




1
1
1)1(
n
p
n
n
绝对收敛的充分必要条件是 （ ）
（A） 0p （B） 0p （C） 1p （D） 1p
5.设常数 0k ，则级数




1
2)1(
n
n
n
nk
（ ）
（A）绝对收敛 （B） 条件收敛 （C） 发散 （D）敛散性与 k有关
6.设常数 0a ，则级数

1
2sin
n n
a
（ ）
（A）绝对收敛 （B） 条件收敛 （C） 发散 （D）敛散性与a有关
7.若级数

1n
na ，

1n
nb 都收敛，则级数 n
n
nba

1
（ ）
（A） 发散 （B） 绝对收敛 （C） 条件收敛 （D）可能收敛，也可能发散
8.设 0nu ，若 1lim 
 nn
nu ，则级数

1n
nu （ ）
（A） 发散 （B） 绝对收敛 （C） 条件收敛 （D）可能收敛，也可能发散
二、判定下列级数是否收敛，如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？
1.




1
1
1
3
)1(
n
n
n 
50
2.


 

1
1 1ln)1(
n
n
n
n
3.



1
1
5
sin)1(
n
n
n n
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51
12-4 幂级数
一、填空、选择题：
1.若级数

0n
n
nxa 的收敛半径为3，则级数

0
2
n
nnxa 的收敛半径为 .
2.幂级数

 1 2)1(n
n
n
n
x
的收敛区间是 .
3.幂级数





1
1
1
)1(
n
n
n
n
x
的收敛域是 .
4.若幂级数 n
n
n xa )1(
0



在 1x 处收敛，在 3x 处发散，则该级数收敛域是 .
5.幂级数



1
)1(
n
n
n
n
x
的收敛域是 .
6.若幂级数 n
n
n xa )1(
0



在 3x 处收敛,则数项级数

0n
na 的收敛性为 .
7.若幂级数 n
n
nxa

0
的收敛半径为 2，则幂级数 n
n
n xna )1(
0



的收敛区间为 .
8.若幂级数 n
n
nxa

0
在 2x 处收敛，在 3x 处发散，则该级数 （ ）
（A） 3x 处发散 （B） 2x 处收敛 （C）收敛区间为 )2,2( （D）当 3x 时发散
9.若幂级数 n
n
n xa )2(
0



在 1x 处收敛,则该级数在 1x 处 （ ）
（A）发散 （B）绝对收敛 （C）条件收敛 （D）收敛性不确定
二、求下列幂级数的收敛域：
1.

 1 3n
n
n
n
x
2.



1
)5(
n
n
n
x
52
3. 22
1 2
12 


  n
n
n xn
三、利用逐项求导或逐项积分，求下列幂级数的和函数：
1.



1
1
n
nnx
2.



1
12
12n
n
n
x
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53
12-5 函数展开成幂级数
一、填空题：
1.函数
x1
1
的麦克劳林级数展开式为 ，收敛域是 .
2.函数 )1ln( x 的麦克劳林级数展开式为 ，收敛域是 .
3.函数
2xe 的麦克劳林级数展开式为 .
4.函数 x3cos 的麦克劳林级数展开式为 .
5.函数
x21
1

展开为形如 n
n
n xa )1(
0



的幂级数时，收敛域是 .
二、将下列函数展开成 x的幂级数，并求展开式成立的区间：
1. xxf 2sin)( 
2.
x
xf


3
1)(
3.
32
1)( 2 

xx
xf
54
三、将函数 xxf cos)(  展开成 




 
3
x 的幂级数。
四、将函数
x
xf 1)(  展开成  3x 的幂级数。
五、将函数
x
xf


1
1)( 展开成  1x 的幂级数。